（光学工程专业论文）光束的分数傅里叶变换研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 摘要 光束的传输变换是激光光学研究的重要内容，对现代光学理论和激光技 术的发展具有重要意义。目前，分数傅里叶变换被成功引入光学领域已有十 余年，其理论框架已基本建立，但它在实际应用方面的研究成果还相对较少， 而且也不够成熟。本论文以发展分数傅里叶变换的实际应用为目的，将分数 傅里叶变换应用于光束传输变换的研究。本论文主要工作如下： 1 结合目前国内外光学分数傅里叶变换的研究现状，概述了分数傅里叶 变换的基本理论和部分应用。简要介绍了光束传输变换研究的对象、基本理 论方法及最新进展。给出了w i g n e r 分布函数的定义及物理意义。 2 基于分数傅里叶变换的w i g n e r 分布函数定义，给出了研究光束分数 傅里叶变换的w i g n e r 分布函数法。运用陔方法分析了厄米一高斯、双曲余弦一 高斯等光束的分数傅里叶变换特性，研究了光强、轴上光强以及基于二节矩 定义的光束束宽等光束参数随分数傅里叶变换阶数的变化规律，并给出解析 表达式，对所得理论结果进行了数值分析。 3 利用分数傅里叶变换的a b c d 矩阵表示，结合广义惠更斯一菲涅耳衍 射积分( c o l l i n s ) 公式，研究了拉盖尔一高斯、贝塞尔一高斯等光束的分数傅 里叶变换特性，对贝塞尔一高斯光束还分析了调制参数对其分数傅里叶变换的 影响，对所得理论结果进行了数值分析。 4 详细的介绍了二维分数傅里叶变换的基本内容，以椭圆梯度折射率介 质作为实现二维分数傅立时变换的光学系统，运用w i g n e r 分布函数法，以椭 圆高斯光束为例研究了光束的二维分数傅里叶变化特性。 本论文的研究结果有望对光束的传输变换性质有更深层次的认识，对光束 的控制、整形、光学系统的设计以及光学信息处理有参考价值。 关键词：光束；分数傅里叶变换：w i g n e r 分布函数；广义惠更斯一菲涅耳 衍射积分( c o l l i n s ) 公式 西南交通大学硕士研究生学位论文第ll 页 a b s t r a c t t h ep r o p a g a t i o na n dt r a n s f o r m a t i o no fb e a m sa r et o p i c so fc u r r e n ti n t e r e s t ， w h i c hp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nd e v e l o p m e n to fm o d e r no p t i c st h e o r ya n dl a s e r t e c h n o l o g i e s a tp r e s e n t ，f r f t ( f r a c t i o n a l f o u r i e rt r a n s f o r m s 、h a sb e e n i n t r o d u c e di no p t i c sf o ro v e rt e ny e a r s a l t h o u g ht h eb a s i ct h e o r yf r a m eo ft h e f r f th a sb e e ne s t a b l i s h e d ，i t sp r a c t i c a la p p l i c a t i o n sa r em o r el e s sa n di m m a t u r e r e l a t i v e l y t h ep r e s e n tt h e s i si sd e v o t e dt o d e v e l o pt h ea p p l i c a t i o n so ft h ef r f tw e a p p l i e dt h ef r f tt os t u d yt h ep r o p a g a t i o na n dt r a n s f o r m a t i o n o fb e a m s t h e m a i nr e s u l t sa c h i e v e di nt h i st h e s i sc a r lb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 c o m b i n e dw i t ht h ep r e s e n ts t u d i e so no p t i c a lf r f ti nh o m ea n da b r o a d t h ef o u n d a t i o n a lt h e o r i e sa n ds o m ea p p l i c a t i o n so f o p t i c a lf r f t a r es u m m a r i z e d ac o m p r e h e n s i v er e v i e wo ft h eo b j e c t t h eb a s i ca n a l y t i c a lm e t h o d sa n dt h e p r e s e n ts t u d i e sf o rb e a m sp r o p a g a t i o na n dt r a n s f o r m a t i o na r ei n t r o d u c e db r i e f l y t h ed e f i n i t i o na n dp h y s i c a lm e a n i n g so f w d f ( w i g n e r d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ) a r e a l s oi n t r o d u c e d 2 b a s e do nt h eawl o h m a n n sw d fd e f i n i t i o no ff r f t t h ew d f m e t h o do ft h ef r f tf o rl a s e rb e a m si sg i v e n b y u s i n gt h i sm e t h o d w ea n a l y s e s t h ec h a r a c t e “s t i c so ft h ef r f tt 0 rh e r m i t e g a u s s i a nb e a m s c o s h g a u s s i a n b e a m se ta 1 s t u d yo nt h et r a n s f o r m a t i v el a w so ft h e p a r a m e t e r s s u c ha s t h e i n t e n s i t yd i s t r i b u t i o n ，t h eo n a x i si n t e n s i t yd i s t r i b u t i o n ，t h eb e a mw i d t hd e f i n e d b yt h es e c o n d o r d e rm o m e n t sv e r s u sw i t ht h eo r d e ro ft h ef r f t ，t h ea n a l y t i c a l e x p r e s s i o n sf o rt h e s ep a r a m e t e r sa r eo b t a i n e d d e t a i l e dn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n s a r ep e r f o r m e dt oi l l u s t r a t et h et h e o r ya n a l y s i sr e s u l t s 3 s t a r t i n g f r o mt h em a t r i x e x p r e s s i o n s o ff r f t ，c o m b i n e dw i t ht h e g e n e r a l i z e dh u y g e n s f r e s n e ld i f f r a c t i o ni n t e g r a l ( c o l l i n s ) f o r m u l a ，w ea n a l y s e s t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ef r f tf o rl a g u e r r e g a u s s i a nb e a m s b e s s e g a u s s i a n b e a m s w es t u d y 0 nt h et r a n s f o r m a t i v ei a w so ft h ep a r a m e t e r so ft h e s eb e a m s v e r s u sw i t ht h eo r d e ro ft h ef r f t ，t h ei n f l u e n c eo ft h ed e c e n t e r e dp a r a m e t e ro n t h ef r f tf o rb e s s e l g a u s s i a nb e a m si sd i s c u s s e d 西南交通大学硕士研究生学位论文第l i1 页 4 t h eb a s i ct h e o r i e so ft h eo p t i c a lt w o d i m e n s i o n a if r f ta r es u m m a r i z e d i nd e t a i l s r e g a r d e dt h ee l l i p t i c a lg r a d i e n t i n d e xm e d i u ma st h eo p t i c a ls y s t e mt o i m p l e m e n tt h et w o d i m e n s i o n a lf r f t b a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ee c l u a l i t y b e t w e e nt h er o t a t i o no ft h ew d fa n dt h ef r f t ，t h ea n a l y t i c a lf o r m u l ao ft h e b e a mw i d t ha n dt h ei n t e n s i t yd i s t r i b u t i o nf o rt w o d i m e n s i o n a lf r f to fe l l i p t i c a l g a u s s i a nb e a m sa r ed e r i v e d b yu s i n gt h ed e r i v e df o r m u t a t h ej n f l u e n c e so ft h e f r a c t i o n a io r d e r s o n t h e p r o p e r t i e s o f e l l i p t i c a l g a u s s i a nb e a m si nt h e t w o d i m e n s i o n a la r es t u d i e di nd e t a i l 。 t h ea b o v er e s e a r c hr e s u l t sa r eo f s i g n i f i c a n c ef o rr e v e a l i n gt h ep r o p e r t i e so f p r o p a g a t i o n a n dt r a n s f o r m a t i o no fb e a m sa n do u rw o r k o f f e r ss c i e n t i f i c r e f e r e n c e st ob e a mc o n t r o l ，b e a m s h a p i n g ，o p t i c a ls y s t e m sd e s i g n a t i o n a n d o p t i c a li n f o r m a t i o np r o c e s s i n g k e y w o r d s ：b e a m s ；f r a c t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m s ( f r f t ) ；w i g n e rd i s t r i b u t i o n f u n c t i o n ( w d f ) ：g e n e r a l i z e dh u y g e n s - f r e s h e td i f f r a c t i e ni n t e g r a l ( c o l l i n s ) f o r m u l a 西南交通大学硕士研究生学垡论文第1 页 第1 章前言 本章简要回顾了光束传输变换研究和分数傅里叶变换研究的历史，介绍了光 束传输变换研究的对象、方法以及最新进展，给出了论文的选题、国内外研究状 况和论文结构。 1 1 光束传输变换研究的历史，方法以及最新进展 自1 9 6 0 年第一台红宝石激光器研制成功以来的4 0 多年里，激光技术以其强 大的生命力谱写了一部典型的学科创造发明史。迄今，激光的应用已经遍及科技、 经济、军事和社会发展的许多领域，而且它已成为当今高科技发展的一个重要方 向。在激光的许多应用领域，都需要处理光束的各类传输变换、光束的控制与整 形及光束质量的评价和测量等问题。这些问题具有相当的复杂性。是光学研究领 域的前沿课题，对这些问题的研究不仅具有重要的学术价值，还具有实际的应用 价值。 1 1 1 光束传输变换的发展历史和研究对象 在科研工作者们的辛勤耕耘下，光学这门起源于3 0 0 0 年以前的古老学科在 沉寂了数百年之后于二十世纪又重新焕发出了勃勃生机，丽这一转机的出现与激 光的发明休戚相关。特别值得一提的工作是1 9 4 6 年d u 衢e u x 将傅里叶变换引入 光学和1 9 4 8 年g a b o r 全息术的发明而发展形成的傅里叶光学或信息光学，以及 1 9 6 0 年m a i m a n 发明的世界上第一台红宝石激光器f | 】。激光科学技术的发展极大 的推动了相关基础和应用学科研究的进展，其中，也包括以研究光束的传输和光 束质量控制为主题的激光光学的形成和旋展。 激光光学以研究光束的传输和光束质量控制为主题，它既是激光技术中主要 的基础问题，又是与激光应用直接有关的重要课题l 1 。 事实上，人们对光现象的认识最初是从光的传输( 如直线传播) 和光通过物 体( 平面反射镜、球面镜和透镜等) 时光传播方向的几何量的变化开始的，这种 几何学的研究方法后来发展为一种比较系统的理论一几何光学，它以f e r m a t 原理 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 为基础，可以处理许多光学的问题，但也有一定的局限性。波动光学则侧重于研 究光波传输过程中交叠区的干涉和遇到障碍物时的衍射其理论可统一建立在描 述电磁场普遍运动规律的m a x w e l l 方程组上。利用k i r c h o f f 边界条件做适当合理 的近似，就可以从波动方程得到标量衍射理论的基本公式一f r e s n e l _ k i r c h o f f 衍射 积分。一般而言，对衍射和干涉问题的研究都可以用f r e s n e l ，k i r c h o f f 衍射积分统 一处理吼 自激光产生以来，光束传输变换特性的研究工作一直都很活跃。光束传输变 换特性研究的早期，研究的重点是以高斯光束为代表的完全相干非均匀振幅激光 束在自由空间、各种介质和在光学谐振腔中的传输变换规律。上世纪6 0 年代。 以f o x 、l i 和k o g e l n i k 等的工作为代表，所引入的a b c d 矩阵和a b c d 定律，以 及光腔衍射积分的f o x l i 数值迭代算法成为研究激光束传输和光学谐振腔的基 本方法吼 1 9 7 0 年，c o l l i n s 的开创性工作将复杂光学系统的衍射积分与a b c d 矩阵元 联系起来f 4 1 ，不仅大大增强了矩阵光学的活力，而且拓宽了衍射积分的应用范围， 这些研究成果被推广应用于处理部分相干光，非高斯光束的传输问题，并取得了 很大的成功。我们可以认为，在标量衍射理论和远轴近似框架内，使用激光光学 方法能够足够好地描述光束通过各种介质和光学系统以及光学谐振腔的变换规 律。 一般而言，激光光学中主要研究的光束类型有f 2 j f 3 l 【： 1 高斯光束 用高斯函数表征的高斯光束是近轴近似下波动方程的个特解，可以证明， 用高斯光束可以足够好的描述约束稳定腔基模激光束的特性。高斯光束的基本眭 质、表示方法、高斯光束通过成像光学系统、各种介质的传输，以及像散高斯光 束的变换是激光光学的主要研究内容。高阶高斯光束在直角坐标系和柱坐标系下 分别可用厄米一高额函数和拉盖尔一高斯函数来描写。 2 高斯一谢尔模型光束 实际中的光束大多是部分空间和部分时间相干的，描述部分空间楣干光的一 种比较好的数学一物理模型是高斯一谢尔模型光束。与完全相干光用场分布来描述 其性质不同，对部分相干光需要用空间一时间域中互强度或者空间一频率域中的交 叉谱密度函数描述，在传输中除光强变化外，谱密度也会变化。 3 平顶光束 光强均匀分布的平顶光束是实际中用途很广的一类光束，这类光束可以用超 高斯、平顶高斯光束以及平顶多高斯光束等多种数学形式描述。与高斯光束不同， 垄蜜窒鎏盔兰塑圭受塞皇兰焦鎏塞蔓i 垂 超高斯光束和平顶高斯光束都不是近轴近似条件下波动方程的解，在传输过程中 其形状会发生变化。 4 b e s s e l 光束 b e s s e l 光束因其“无衍射”特性在近年来备受人们关注，一般而言，我们将 零阶贝塞尔光束、高阶贝塞尔光束、w e b e r 函数和修正贝骞尔函数描述的光柬统 称贝塞尔光束。贝塞尔光束也是波动方程的特解，它与平顶光束可以作为非高斯 光束的两个典型代表，对其变换特性的研究扩震了激光光学中光束的研究范畴。 近年来激光光学的研究中还涉及矢量光束、非近轴光束和超短脉冲光束，由 于这些光束广泛的应用前景，其传输特性的研究十分活跃口】。 1 1 2 光束传输变换的研究方法 激光光学中光束传输变换的研究方法主要包括1 2 】【3 】：几何光学、波动方程和衍 射积分理论、矩阵光学、傅里叶光学、哈密顿光学、算子光学和李代数法、光流 体模型和微分几何方法。这些方法中以f e r m a t 原理为基础的几何光学最为简单和 直观；波动方程是利用边界条 孛对电磁场遵从的m a x w e l l 方程求解从而得到光场 的分布；衍射积分理论属波动光学范畴，它包括k i r c h o f f 公式、f r e s n e l - k i r c h o f f 衍射积分、时一空域衍射积分、c o l l i n s 公式和时域衍射积分：用矩阵代数方法研 究光学问题而产生的矩阵光学方法主要包括：a b c d 定理，空域广义a b c d 定理 以及时域a b c d 定理；傅里叶光学方法主要是用空间频谱概念来研究光传输和成 像中的信息提取和信息分析问题：哈密顿光学主要结果为：光学正则变量和算子 形式、光学拉格朗日方程、光学哈密顿正则方程；算子光学和李代数法包括基本 正则算子和c o l l i n s 公式的算子形式、时域衍射积分的正则算子表示、光学像差的 李代数理论。 1 1 3 光束传输变换的研究进展 近十余年来，激光科学技术依旧是高科技发展的前沿，依然保持着强劲的发 展势头，新涌现出的学科生长点对光束描述、传输与控制都提出了全新的研究课 题 首先，光场的研究由原来的完全相干性转而研究部分相干性，而且也开始考 虑光场的偏振性。实际的激光束大多都是部分时间、空间相干的，对部分相干光 西南交通大学硕士研究生学位论文篁兰垂 而言，目前采用由互相干函数描述的高斯一谢尔模型光束进行分析。 其次，因啁啾脉冲放大和光参量啁啾脉冲放大技术的出现，实验室可产生t w ( 1 0 ”) 至p w ( 1 0 ”) 量级的f s ( 1 0 “5 ) 的超短脉冲光束，聚焦后的功率密度 可达1 0 ”1 0 ”w c m 。当脉冲宽度接近光周期时，在激光光学中的常规处理方 法，例如缓变振幅近似失效、脉冲光束在传输中一般会出现空闻和时间参数耦合 等新现象，已用复解析信号法、傅里叶积分变换法和角谱表示法等研究了超短脉 冲光束在自由空间、色散介质和通i 要龙孚元件自孵输特性，然而不梦理论研究结 果尚待实验证实。 随着多种波长激光器件的研制成功，在不同的波段光束表现出不同的性质， 如真空紫外( 2 0 0 h m 0 2 r i m ) 、超紫外( 1 0 0 n m o 2 n m ) 和x 射线( 3 0 r u n 0 0 l n m ) 波段的光束都被几乎所有固体、液体和大多数气体强烈吸收，它们只能在真空和 极稀薄气体中传输，这是一个值得研究的课题。 1 9 9 8 年以来，由c a r s p e r s o n ，t o v a r 等f 8 i 给出了近轴近似直角坐标下h e l m h o l t z 方程的一类特解，即所谓厄米正弦类高斯光束( h s g ) 。h s g 光束是具有较为广泛 代表性的光束，对这类光束的研究有重要意义。 激光光学随着激光器的诞生而出现，激光实际应用的要求推动了激光光学研 究的进展，随着各种新型激光器的产生和应用的深入。会使激光光学的发展长足 进步。 1 2 分数傅里叶变换 分数傅里叶变换概念的提出最早可以追溯到1 9 3 7 年e u c o n d o n 的一篇论文 中，他首次将傅里叶变换嵌入函数变换的连续群，用连续群的方法确定了分数傅 里叶变换概念的雏形【9 】。1 9 6 1 年，v b a r g m a r m 又发展了这一概念，他将分数傅里 叶变换作为一种特殊的积分变换用于研究解析函数的h i b e r t 空间f 1 。为解决量子 力学中各种条件下的s c h r j d i n g e r 方程，vn a m i a s 于1 9 8 0 年比较系统的提出了分 数傅里叶的数学定义和性质，并讨论了其本征函数【i 1 。t 9 8 7 年，a ，c m c b r i d e 和fhk e l i 又进一步研究了分数傅里叶变换，把变换看作充分光滑函数构成的 向量空间中的算子，建立了分数傅里叶变换的完整理论系统【i “。 从1 9 9 3 年开始，分数傅里叶变换作为一种新的研究工具在光学领域迅速得 到应用。1 9 9 3 年9 月，h m o z a k t a s 和d m e n d l o v i c 首次利用平方率负梯度折射 率( g r i n ) 介质在光学上实现了分数傅里叶变换，并利用分数傅黾叶变换进行分 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 数傅里叶变换域滤波i ”l 【”i 。1 9 9 3 年1 0 月，a w l o h m a n n 利用傅里叶变换相当于 在w i g n e r 分布函数相空间中角度为石2 的旋转这一性质，将图像旋转、w i g n e r 分布函数相空间旋转和分数傅里叶变换三个概念结合起来阐释分数傅里叶变换 的物理意义，并基于此给出了实现分数傅里叶变换的单透镜和双透镜结构t l5 1 。至 此，分数傅里叶变换开始引起光学界的广泛关注，尤其在光学信息领域受到充分 的重视，1 9 9 5 年4 月h m o z a k m s 和d m e n d l o v i c 总结了光学分数傅里叶变换的 发展过程，研究了f r e s n e l 衍射和光学分数傅里叶变换的关系，提出分数傅里叶光 学( f r a c t i o n a lf o u r i e ro p t i c s ) 这个新概念m 】，目前，分数傅里叶光学已经发展成为 现代光学的一个重要分支i 】”。 1 9 9 5 年，d m e n d l o v i c 等人利用分数傅里叶变换的概念，提出了分数相关的 定义，并给出了可能的实现结构和相应的数值模拟结果i ”1 ，同年，刘树罔等人研 究了光学分数傅里叶变换级联的尺度问题，给出了实现分数傅里叶变换的推广结 构”i t ”。1 9 9 5 年以来，a s h i n 等较为系统研究了具有轴对性二维分数傅里叶变 换，给出了不同可调参数的光学实现结构2 1 】一【2 ”。1 9 9 6 年，a wl o h m a r m 基于分 数傅里叶变换的思想，将光学h i l b e r t 变换分数化，并给出相应的模拟结果f 2 4 】。 1 9 9 7 年，华建文等人给出了分数傅里叶变换光学实现的基本单元，提高了分数傅 里叶变换光学实现系统设计的自由度1 2 ”，同年，d d ，d r a g o m a n 等运用分数傅里 叶变换研究了光束的近场和远场特性口“。1 9 9 8 年吕百达等人基于光学a b c d 定理 研究了一般光学系统和光学谐振腔的分数傅里叶变换表示阱】f 2 ”，同年，x e w a n g 等人研究了定标分数傅里叶变换，讨论了定标参数对分数傅里叶变换的影响，并 给出了实现定标分数傅里叶变换的光学系统口。2 0 0 0 年赵道木等人利用经典的分 数傅里叶变换分别研究了时域和频域的c o l l i n s 公式，并说明了它与厚透镜的关系 3 0 l 巾2 i 。2 0 0 1 年，刘书田等人提出了基于广义分数卷积算子的光学图像加密【3 3 i 。 2 0 0 2 年王长涛等研究了复数阶分数傅里叶变换的光学实现【3 4 i t ”】。曾阳素等较为系 统的研究了分数傅里叶变换在光学全息、计算全息、滤波中的实际应用，并对其 相关理论和技术做了较深入的探讨p 1 1 ”。2 0 0 3 年谢世伟等研究了变形分数相关及 其光学和数字式实现【3 8 l 。2 0 0 4 年，m b r u n e l 等人将分数傅里叶变换应用于部分 相干光脉冲的研究”9 1 。目前，光学分数傅里叶变换正在进一步发展之中，相信其 研究成果将对现代光学产生深远的影响。 以上简要介绍了光学分数傅里叶变换的发展历史，关于分数傅里叶变换的定 义，数学表述，性质以及光学实现方法等内容将在下章给出。 西南交通大学硕士研究生学位论文蔓6 煎 1 3 论文的选题、国内外研究状况和论文结构 分数傅里叶变换引入光学已有十余年，在光学诸多领域，例如在分数傅里叶 变换域滤波1 4 0 1 4 1 1 、光学模糊识别4 “、光束整形【4 ”、图像处理、”h ”2 等已经有 了广泛的应用。分数傅里叶变换的出现极大的丰富了我们传统信息处理、图象识 别等方法，出现了多级，多通道的滤波方法，增加了滤波器没计的自由度，可以 处理常规傅里叶变换难以处理的问题。在光学模式识别中，出现了基于分数傅里 叶变换的联合分数傅里叶变换相关器它有利于信号的实时处理。将分数傅里叶 变换和相位恢复的普遍理论相结合，可以在分数傅里叶变换域中设计衍射光学元 件，从而提高光束整形的自由度。从分数傅里叶变换的角度讨论透镜的成像问题， 通过将适当阶的分数傅里叶变换单元串联使用，可以得到理想的成像构成一个 推广的离轴系统1 4 “。此外，菲涅耳衍射，光学小波变换，w i g n e r 分布函数，c h i r p 变换等与分数傅立叶变换有着密切的联系，相应的就可以从分数傅立叶变换的角 度来研究这些问题1 4 牛i ”i 。 借助分数傅里叶变换，我们可以从一个全新的角度来考察光束传输光束的 传输实际上是作分数傅里叶变换的过程，变换阶数由光波两个面之间的g o u y 相 移确定” 1 f “】，基于此，分数傅里叶变换也可以用来研究球面谐振腔的稳定性 问题i 5 1 1 【5 2 1 。 目前，利用分数傅里叶变换研究光束的传输是一个全新的研究内容，许多问 题有待进一步研究。用分数傅立叶变换的方法研究光束的传输变换特性的研究报 道很少，特别是，运用w i g n e r 分布函数法对光束的分数傅立叶变换特性的研究还 未见报道。基于此，本论文用w i g n e r 分布函数法和广义惠更斯菲涅耳衍射积分 ( c o l l i n s 公式) 法来研究光束的分数傅里叶变换性质和特点。 本论文的研究结果有望对光束的传输变换性质有更深层次的认识，对光束的 控制与整形以及光学系统的设计有参考价值。 本论文内容安排如下： 1 第一部分引言 本部分首先介绍光束传输变换研究的历史，方法以及最新进展，然后概述分 数傅里叶变换研究的历史，最后，给出论文的选题、国内外研究状况和论文结构。 2 第二部分包括第二章、第三章和第四章，是本论文主要部分。 第二章，首先较为详细的介绍了分数傅里叶变换的基本理论和部分应用。接 着给出了w i g n e r 分布函数定义和物理意义，然后在理论上给出了研究光束分数傅 西南交通大学硕士研究生学位迨窒篁! 亟 里叶变换的w i g n e r 分布函数法。基于分数傅里叶变换的a b c d 矩阵表述，结合 广义惠更斯一菲涅耳衍射积分( c o l l i n s ) 公式，研究了光束的分数傅罩叶变换。 第三章，用第二章给出的两种方法研究了典型激光束的分数傅里叶变换的性 质和特点。首先运用w i g n e r 分布函数法，以厄米一高斯光束和双曲余弦一高斯光束 为例研究了具有广泛代表性的一类光束一厄米一双益余弦一高斯光束的分数傅里 叶变换特性。然后，运用广义惠更斯- 菲涅耳衍射积分法，研究了柱坐标下的贝塞 尔一高斯光束和拉盖尔一高斯光束的分数傅里叶变换特性。 第四章，首先详细的介绍了二维分数傅里叶变换的基本知识，然后以椭圆梯 度折射率介质作为实现二维分数傅里叶变换的光学系统，运用w i g n e r 分布函数 法，以高斯光束为例研究了光束的二维分数傅里叶变换特性。 3 第三部分结论和展望 本部分给出论文结论、可能的应用结果、进一步的研究课题以及展望。 西南交通大学硕士研究生学位论文篁垦亟 第2 章光束分数傅里叶变换分析的理论方法 本章是全论文的理论基础和主要思路。本章首先比较系统的介绍了分数傅里 叶变换的基本知识，包括定义、光学实现、数学表述、基本性质以及部分应用。 接着介绍了w i g n e r 分布函数的定义及其丰富的物理意义。光束分数傅里叶变换的 w i g n e r 分布函数法是本论文的个重点，其基于一个可以证明的事实：信号函数 的分数傅里叶变换等价于信号函数对应的w i g n e r 分布函数旋转一定的角度。利用 w i g n e r 分布函数的物理意义可以求出光束经过分数傅里叶变换后的光强分布和 由二节矩定义的光束束宽的解析表达式，从而给出光束的分数傅里叶变换特性。 结合广义惠更斯菲涅耳衍射积分( c o l l i n s ) 公式，基于分数傅里叶变换的a b c d 矩阵表示，我们也可以分析光束的分数傅里叶变换特性。 2 1 分数傅里叶变换 分数傅里叶变换的概念可以借助常规的傅里叶变换来定义，当满足一定的假 设时，可以认为一定的运算即为分数傅里叶变换。利用特殊函数理论，h m o z a k t a s 和d m e n d l o v i c 给出了分数傅里叶变换的定义，并首次利用平方率负梯度折射率 ( g r i n ) 介质在光学上实现了分数傅里叶变换。a w l o h m a n n 利用傅里叶变换 相当于在w i g n e r 分布函数相空间中角度为厅2 的旋转这一性质，将图像旋转、 w i g n e r 分布函数相空间旋转和分数傅里叶变换三个概念结合起来阐释分数傅里 叶变换的物理意义，并给出了实现分数傅里叶变换的单透镜和双透镜结构。在数 学上，分数傅里叶变换可以用级数和积分两种表述来定义，在实际应用中后者更 为常用。分数傅里叶变换有许多性质，本文只介绍一些基本性质，如线性、连续 性、自成像等。分数傅里叶变换引入为光学的发展注入了新的活力，经过十余年 的发展，光学分数傅里叶变换已经在诸多方面显示出了其应用价值，本文只介绍 其部分应用。 2 1 1 分数傅里升变换的概念 如果记f “ ( x ，_ y ) j 为，g 为一常数，可以是实数，可以是复数，文献c 1 2 证 明我们所定义的算子f 。 ( z ，y ) 满足以下假设： 西南交通大学硕士研究生学位论文簦! 垂 a 当a = i 时为常规傅罩叶变换： f f ( x ，y ) = f ! f ( x ，y ) e x p 一j 2 r c ( f ；x + f , y ) l c i x a y ( 2 一1 ) 式中s ，x ，y 的量纲都是长度。对常规的光学傅里叶变换系统，其中( x ，y ) 为 输入面坐标，( 六， ) 为输出面( 即傅立叶频谱面) 坐标。52 = ；t f ， 为光波波 长，厂为透镜焦距。 b 反复进行的分数傅里叶变换算子具有可加性： f4 f 6 f ( x y ) = f6 f “f ( x ，y ) = f ”“f ( x ，y ) ( 2 - 2 ) 时，即认为运算f “ f ( x ，y ) 】是函数的口阶傅里叶变换。 2 1 2 分数傅里叶变换的光学实现和数学表述 根据分数傅里叶变换的数学表述，一般认为，分数傅里叶变换在光学上有 两种方式可以实现，一是由透镜分立光学元件组成的光学系统实现，另一种方式 由光束在平方率负梯度折射率介质中的传输来实现。下面分别予以介绍： 1 透镜实现 a w l o h m a n n 利用傅里叶变换相当于在w i g n e r 分布函数相空间中角度为 丌2 的旋转这一性质，将图像旋转、w i g n e r 分布函数相空间旋转和分数傅里叶变 换三个概念结合起来阐释分数傅里叶变换的物理意义，l o h m a n n 提出用透镜和自 由空间的组合即可实现光学分数傅里叶变换，并给出两种典型装置，即所谓 l o h m a n ni 和l o h m a r m i i 型。目前，研究者们已对实现分数傅里叶变换光学系统 进行了广泛的研究”9 2 。【”l i 2 ”。本节以l o h m a n ni 和l o h m a n ni i 为例说明分数傅罩 叶变换的透镜实现及满足的条件。 如图2 1 ( a 1 所示的光学系统为由单透镜实现的分数傅里叶变换的l o h m a n n l 型光学系统。设入射面离透镜、透镜离输出面的距离均为，透镜的焦距为厂，。 图中r = t a n ( o 2 ) ，q = s i n f a ，妒= 芸。p 为输入面，p ! 为输出面，其结构参数如图 z 所示。 p 彳t q 石，月f , s r 五r ( a )f 1 圈2 - 1 实现分数傅里叶变抉的透镜秉熹；i ( a ) 单透镜系统( b ) 彀透镜晨绕 当满足条件： 小鑫b 印州等) 。1 时输出面p z 是输入面p 。的口阶傅里叶变换。其中称为标准焦距它是与分数傅 里叶变换的定标因子有关的一个参数，它的选取有一定的任意性，本论文不讨论 定标因子对光束分数傅里叶变换的影响，因此，可将】，；视为常数。 下面证明l o h m m mi 型光学系统可以实现分数傅里叶变换。 2 1 1 节己指出当运算f 。 厂( x ，y ) 满足假设a 和b 时，即说明其为分数傅里 叶变换。 首先证明l o k m o x mi 型光学系统满足假设a 。 根据矩阵光学理论容易写出如图2 - 1 ( a ) 所示的光学系统对应的a b c d 矩阵 为： 纠= 删喜砒 2 7 一二一 显然，式( 2 4 ) 中，当d = 1 时 ( 2 4 ) 争争 似 m c 西南交通大学硕土蛩究生堂堕焦塞蔓! ! 夏 m ：io l ! | ( 2 5 1 。= 一loi 0 l j 为常规傅里叶变换。即证明满足d = 1 时假设a 成立。 然后证明满足假设b 。 设紧接着图2 - 1 ( a ) 的口阶光学系统有一个b 阶的光学系统，其a b c d 矩阵只 需将( 2 - 4 ) 式中的口变为b 即可。由矩阵光学的知识可知1 7 8 l ，总变换矩阵为： a 彳。m = c o s ( a + b ) r c s i n ! ! ! 堕 邝- n ( 娑) c o s ( b = r c 。) r 2 6 1 ( 2 - 6 ) 式说明假设b 成立。 这即证明了图2 - l ( a ) 所示的光学系统可以实现e t 阶傅里叶变换，即l o h m a n n i 型光学系统可以实现分数傅立叶变换。 如图2 1 ( b ) 所示为实现分数傅里叶变换的l o h m a n ni i 为型光学系统，其中透 镜的焦距为凡，两透镜之间的距离为，。图中r = t a n ( 4 0 2 ) ，q = s i n 妒，p 为输入 面，p ：为输出面，其结构参数如图所示。用同样的方法可以证明该系统也可以实 现分数傅里叶变换，此处证明从略。 需要指出的是：a w l o h m a n n 所提出的实现分数傅里叶变换的光学系统是对 称的，当涉及级联问题时要求每个透镜的焦距需相同，这就限制了一些分数傅里 叶变换的实现。 2 平方率负梯度折射率( g r i n ) 介质实现 h m ，o z a k t a s 和d m e n d l o v i c 从光在平方律负梯度折射率( g r r n ) 介质中的 传播的本征模入手给出了分数傅里叶变换的具体数学表达式。 平方律负梯度折射率介质的折射率分布函数为 ! p ) = 2 1 一( 兰) ，二 ( 2 7 ) 其中r ：虿为径向坐标， ，”：为g r i n 介质参数。 争等 喊 c rijjijijiiiijiji址 譬争 m 私 等等 “ m 一 0 s 一 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 夏 可以证明折射率分布为( 2 7 ) 式的g r i n 介质的本征模式为正交归一的厄米 高斯函数【- 5 1 ( 训) ：h ，( 堕) 。( 巫羔) 。p 卜生# h ，( 坚) 和爿。( 业) 分别是，阶厄米多项式， w ：( ；) i ( 旦) ：，k ：孕= ( ) 2 ( 土) 4 ，= 兰 k n 2 是入射光束波长。在g r i n 介质中，对给定波长兄的光束 模以不同的群速度传输，因此有不同的传播常数风 而 ( 2 - 8 ) r 2 9 1 每个厄米一高斯 础_ 鲁” ( 2 1 0 ) 由于厄米一高斯函数是正交归一的，所以函数f ( x ，y ) 可以用厄米一高斯函数表 示为 ( y ) = 爿，卅一。( 五y ) ( 2 1 1 ) 其中a 。是函数f ( x ，y ) 按厄米一高斯函数展开的系数， 小也力半妫( 2 - 1 2 ) h h = 2 “l ! m m v ：2( 2 1 3 ) 根据上述表示，假定函数f ( x ，y ) 的分数傅里叶变换定义为： f “【厂( x ，州= 凡甲。( x ，y ) e x p ( i f l l 。a l ) ( 2 1 4 ) 其中，2 三j 卺是g r i n 介质实现常规傅里叶变换的长度，a z = a l 为实现d 阶 傅里叶变换的g r i n 介质长度。 让算子fa 作用于( 2 1 4 ) 式可得 f 6 【f “厂】= ，6 一，。一。( _ y ) e x p ( i , 8 ，a g ) l = 以( 工y ) e x p i f l t ，( a + 6 ) 上】_ f ”6 f 7 ( 2 - 1 5 ) 式说明由( 2 - 1 4 ) 式定义的分数傅里叶变换满足2 ( 2 15 ) 1 1 节中的假设 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 a 。同时，利用数学归纳法和特殊函数理论，文献 13 已经证明由( 2 1 4 ) 式定义 的分数傅里叶变换也满足假设b 。这就说明g r i n 介质可以实现分数傅里时变换， 当上述定义满足假设b 时，定标因子s 见( 2 - 1 ) 式 满足 j = w x e t ( 2 1 6 ) ( 2 - 1 4 ) 式是分数傅里时变换的级数表达式，按该式定义的分数傅里叶变换， 在使用中很不方便。实际中使用更多的是其积分表示，表达式为m f ” ( t ，) 卜ii f ( x ，y ) k 。( _ 儿u ，y ) 出咖 ( 2 1 7 ) 式中，k j z ，y ，a ，v ) 为变换积分核 疋( x , y , f l , v ，= 恶言筹咎唧卜考鬻等，陋 x e x p m ( x 2 + y2 + 2 + y2 ) c o t ( a r c 2 ) 】 上式可以推广到 维。文献 1 4 已经证明积分表达式( 2 1 8 ) 满足假设a ，b 。 2 1 3 分数傅里叶变换基本性质 分数傅里叶变换有许多数学性质1 1 3 1 1 4 “，本小节只给出其部分性质，考虑到论 文篇幅，此处只给出其表述，汪明从略。 1 线性 设f 1 厂( x ) 】，f 4 g ( _ ) 】分别表示函数f ( x ) ，g ( 工) 的a 阶傅里叶变换，则 ，”k ，厂( 工) 十c 2 9 ( j ) j = c 1 f “ ，( x ) 】+ 6 2 f “ g ( x ) 1 ( 2 1 9 ) 其中，c ，c ，为复常数。 2 连续性 对( r ) 进行连续两次a ，臼，阶的傅