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分数布朗运动下的回望期权定价研究 摘要 期权是金融数学领域内研究最广泛的一类金融工具，而期权定价是其核心 工作。 回望期权是为了满足金融市场及不同投资者的需求，在标准期权合同的基 础上，运用期权理论和分析方法，设计创造出一种路径依赖型奇异期权，它在 到期日的收益依赖整个期权有效期内标的资产价格经历的最大值或最小值。由 于具有路径的强依赖性，所以使得回望期权定价比标准期权定价要复杂。 本文是用分数布朗运动来刻画股票价格的变化，用p o i s s o n 跳跃过程来刻画 当有重大消息到达时股票价格的较大波动。主要应用随机过程等数学工具， 讨论了分数布朗运动模型下和分数跳扩散模型下并且在股票预期收益率、波动 率和无风险利率均为时间函数的情况下的回望期权定价问题，建立了回望期权 定价模型，结合w i c k 积分理论，推导出回望期权价格所满足的显示表达式。 关键词：期权定价；回望期权；分数布朗运动；分数跳扩散模型；w i c k 积分 s t u d yo nt h ep r i c i n go fl o o kb a c ko p t i o n s i nf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n a b s t r a c t o p t i o n sa r ef i n a n c i a lm a t h e m a t i c sa r e ao fs t u d yo ft h em o s te x t e n s i v eo n et y p eo f f i n a n c i a l ，w h i l et h eo p t i o np r i c i n gi st h ec o r ew o r k i no r d e rt om e e tt h ef i n a n c i a lm a r k e t sa n dt h en e e d so fd i f f e r e n ti n v e s t o r si nt h e s t a n d a r do p t i o nc o n t r a c tb a s e do nt h eu s eo fo p t i o nt h e o r ya n da n a l y s i sm e t h o d s ，l o o k - b a c k o no p t i o n s ，w h i c hd e s i g n e dt oc r e a t eap a t h d e p e n d e n te x o t i co p t i o n s ，i tr e t u r n st h ed u ed a t e d e p e n d e n tu p o nt h eo p t i o n sv a l i d i t yo ft h eu n d e r l y i n ga s s e tp r i c ee x p e r i e n c e st h em a x i m u m o rm i n i m u mv a l u e b e c a u s eo ft h es t r o n gp a t hd e p e n d e n c e ，i tm a k e st h el o o k b a c ko p t i o n p r i c i n gi sm o r ec o m p l e xt h a nt h es t a n d a r do p t i o np r i c i n g t h i sa r t i c l ei saf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o nt oc h a r a c t e r i z et h ec h a n g e si ns t o c kp r i c e s 、i t hp o i s s o nj u m pp r o c e s st oc h a r a c t e r i z ew h e nt h e r ei sb i gn e w sw h e nt h e ya r r i v ei n g r e a t e rv o l a t i l i t yi nt h es t o c kp r i c e m a i na p p l i c a t i o no fs t o c h a s t i cp r o c e s s e ss u c ha s m a t h e m a t i c a lt o o l st od i s c u s st h ef r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o nm o d e la n df r a c t i o n a l j u m p d i f f u s i o nm o d e la n dt h ee x p e c t e dr a t eo fr e t u r ni nt h es t o c k ，v o l a t i l i t ya n dr i s k - f r e e i n t e r e s tr a t e sa r eaf u n c t i o no ft i m el o o k b a c ko nt h ec o n t e x to fo p t i o np r i c i n gp r o b l e mt h e e s t a b l i s h m e n to fal o o k - b a c ko p t i o np r i c i n gm o d e l ，c o m b i n e dw i t hw i c kp r o d u c tt h e o r yi s d e r i v e dl o o k i n gb a c ko no p t i o np r i c e st om e e tt h ed i s p l a ye x p r e s s i o n s k e yw o r d s ：o p t i o np r i c i n g ；l o o k b a c ko p t i o n s ；f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ；f r a c t i o n a l - j u m p - d i f f u s i o nm o d e l ；w i c kp r o d u c t i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包含为获得 盒g 巴王些态堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位敝作者虢采必组签字日期：力矽年钿歹名 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金壁王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权盒监 些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：剁让 导师签名： 签字日期：矽房年彭璃左名 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 签字眺驯庠月7 日 电话： 邮编： 致谢 在读研究生期间，自始自终得到了许多人的指导、关心和热心的帮助。在 此毕业论文完成之际，我谨向指导、关心和帮助我的所有老师、同学和朋友致 以衷心的感谢。 首先，我要非常感谢我的导师杜雪樵教授。他那渊博的知识给我指明了研 究方向；敏捷的思维启迪了我的研究思路；严谨的治学精神培养了我的研究能 力；开明的作风为我创造了良好的研究环境。在他的指导下，我进一步懂得了 从事教学和科研应当具备什么样的素质和能力。在硕士论文写作期间，杜老师 付出了大量的心血，在百忙之中精心审阅和细心指导，才使论文得以顺利完成。 杜老师在学业和学术研究上对我严格要求，细心指导，在为人处事方面言传身 教，使我终身受益。杜老师高深的学术造诣，诲人不倦的育人风格以及对学术 不懈的研究精神，永远是我们学习的榜样。在此，我向他表示衷心的感谢。 感谢数学学院的凌能祥、惠军等许多老师，是你们的谆谆教导和辛勤培育 使我顺利完成硕士阶段的学习。感谢几位师兄师姐和同学等许多帮助我的人， 你们使我进步。 感谢我的家人，你们无私地给予了我物质的资助和精神的鼓舞。 最后，感谢并祝福所有给予我帮助关怀的人! i i i 作者：桑利恒 2 0 1 0 年3 月1 日 第一章绪论 1 1 期权的概述 我们描述任何一项资产都需要两项指标：当前价格和未来波动率。我们需 要发现某项资产背后隐含的不确定性，而这种未来的不确定性体现在期权这个 交易品种之中。为此，需要研究期权。 1 1 1 期权的定义及发展 期权( o p t i o n ) 就是允许投资人在未来一段时间内以事先确定的价格，买入或 者卖出某项资产的权利。简而言之，其他投资方法都需要投资人事先对不确定 的事件采取行动，投资的成败也就取决于投资人对不确定性事件的事先做出的 判断。而期权投资人则是在收到新信息之后，再采取行动，这是处理不确定性 的最好办法。因此，期权普遍存在于金融的各个领域；有不确定性的地方就有 期权的存在。 从期权的定义来看，期权是一种权利，而不是义务。这是期权和期货的最 根本的不同之处。买入期货的投资人，到期时必须平仓或者执行合同，即便是 到期日的价格对其不利，也仍然必须履行这项义务。而买入期权的投资人，到 期日可以根据当时的市场价格是否对自己有利，而作出执行期权合同的决定。 期权的引进使得金融工程学实现了突破，帮助我们建立了未来不确定性和 当前资产价格之间的联系。 2 0 世纪5 0 年代以来，人们逐步从期货和远期交易中，发现了这两者的不 足之处。所以，期权也就应运而起，成为最近2 0 年来，国际金融市场上令人瞩 目的新交易品种。 1 9 7 3 年4 月，美国芝加哥期权交易所成立，同时推出了标准化的期权合同 进行交易。1 9 7 5 年起，美国证券交易所( a m e x ) 和美国费城证券交易所( p h l x ) 等多家交易所开始推出股票期权的交易。此后，期权主要以金融期权的形式在 世界各大金融市场上兴起。 2 0 世纪8 0 年代以来，期权的交易品种增加了许多。从原先主要交易股票期 权的品种，发展为多种金融载体的期权交易。包括外汇期权、利率期权、指数 期权以及期货期权等等。 期权交易的兴起，不仅仅得益于其提供的权力能够使投资人灵活地把握投 资机会，也来自交易所提供的交易合同越来越便利和标准化。交易所吸取了远 期合同和期货的长处，将几项有代表的期权进行标准化，推广交易。这些改进 措施包括： ( 1 ) 限制到期日 交易所规定，持有期权的投资人手中的这项“买入 或者“卖出”股票的 权力是标准化的、是有时效的。投资人如果获利，就会在到期日执行期权；如 果投资损失，则可以选择放弃期权，超过时效而不执行。 ( 2 ) 约定执行价格 在期权合约中，允许投资人以这个价格买入或卖出资产。期权交易所通过 指定几个交易量最大的期权合同为固定交易合同，这样大大地简化交易的过程， 形成合约的可能性更大。 ( 3 ) 设置交易合同的最大规模 交易所一般规定交易数量达到一定规模之后，才能够设立标准期权合同。 比如：对于股票期权交易的最低数量要求是1 0 0 股为单位。而外汇期权交易的 规模限定在每1 25 0 0 英镑或每1 00 0 0 美元为一个基本交易单位等。 1 1 2 期权的种类 期权的种类有很多，如果从头寸上区分期权，分为看涨期权( c a l lo p t i o n ，又 称买方期权) 和看跌期权( p u to p t i o n ，又称卖方期权) 。前者赋给期权持有者 在将来一定时刻以一定价格买入某资产的权利；后者赋给期权持有者在将来一 定时刻以一定价格卖出某资产的权利。 如果按照实施期权的期限条款或执行的时间上来区分期权，那么主要有欧 式期权和美式期权两种类型。欧式期权的持有者只能在到期日实施该项期权； 而美式期权的持有者能够在到期日前任何一天实施该项期权。 如果按照交易的标的物来区分期权，期权可以有多种交易的品种，比如外 汇期权、股票期权、利率期权、期货期权和商品期权等这些门类。 如果按照应用领域来区分，那么大致分为金融期权和实物期权( r e a lo p t i o n ) 前者是指在金融市场上交易的、标准化的、有明确标的物的合约；后者是指那 些不在金融市场上交易，但是符合期权基本逻辑特性的投资项目。 1 2 期权定价理论 1 2 1 早期的期权定价理论 在b l a c k s c h o l e s 以前，最早的股票期权定价模型可追溯到法国数学家l o u i s b a c h e l i e r 在19 0 0 年3 月1 9 日发表的博士论文( ( t h et h e o r yo fs p e c u l a t i o n ) ) ( 投 机交易理论) ，第一次给出了b r o w n 运动的严格的数学意义上的描述该模型假 设标的资产按无漂移的算术b r o w n 运动变化，即标的资产价格s 适合随机微分 方程a s , = 盯d 彬，这里彬是标准b r o w n i e 动，e ( d w , ) = 0 ，v a r ( a w t ) = d r ；第一次得 出了欧式看涨期权( c a l lp r i c e ) 的价格公式 h s 旧( 游) + 仃痂( 筹) ， ， 2 其中s 为标的资产价格，k 为执行价格( s t r i k ep r i c e ) ，丁为到期日( e x p i r a t e d a t e ) ，( ) 和( ) 分别为标准正态分布累积函数和标准正态分布密度函数。 l o u i sb a c h e l i e r 的期权定价理论宣告了现代金融学的诞生，但是这个模型的主要 缺陷是绝对b r o w n 运动允许股票价格为负和平均预期价格变化为零的假设脱离 实际，而且忽略了资金的时间价值，尽管如此，l o u i sb a c h e l i e r 的研究成果为后 人研究指出了方向 在l o u i sb a c h e l i e r 的研究基础上，人们对期权定价问题进行了长期的研究， 主要成果有： 1 9 6 1 年，c a s es p r e n k l e 提出了“股票价格服从对数正态分布”的基本假设， 以标的资产的价格的回报( r e t u r n ) 等代替d s , ，即假设s 适合几何b r o w n 运动： a s , ：p 出+ 盯d 形， ( 1 2 ) s t 。 其中均值p 和方差盯2 均是常数，并且肯定了价格发生偏移的可能性，在此基础 上提出了一个看涨期权定价模型。 1 9 6 4 年，j a m e sb o n e s s 将货币时间价值的概念引入到期权定价过程，还考 虑了风险溢价的重要性得到的期权定价公式为 i n s + ( c r + 5 t r 2 ) t 卜k 吖螋, r 4 r ) ， 3 ) jij 但他没有考虑到期权和标的股票之间的风险水平溢价。 1 9 6 5 年著名的经济学家p a u ls a m u e l s o n 把上述成果统一在一个模型中。该模 型考虑了股票预期收益率因风险特征的差异而不一致的现象，并认为期权有一 个更高的预期收益率，他所得到的期权定价公式为 矿：p ( 口一卢) r s f ! 呈：釜_ = ! 旦! 塑1 _ e - i f k ol n s + ( a - 1 ( 1 4 ) r ；c r 2 ) t i c r 4 r jo - 4 t 虽然他们已经建立了各种各样的期权定价模型，因为这些模型中都包含一 些主观的参数，如投资者的个人风险偏好，市场均衡价格等，因此适用价值不 大。 1 2 2b l a c k s c h o l e s 期权定价理论 1 9 7 3 年，美国芝加哥大学学者f b l a c k 与m s c h o l e s 发表了关于期权定价的 经典论文“t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s 【1 1 。引发了华尔 街又一次革命 ( 第一次为上世纪5 0 年代末6 0 年代初，m a r k o w i t z 的投资组合的 均值方差理论与s h a r p e 的资本资产定价理论) 。文中利用随机微分方程推导 出了期权定价模型，在推导定价公式时，b l a c k 和s c h o l e s 作出如下8 个假设条件： ( 1 ) 允许使用全部所得卖空衍生证券； ( 2 ) 无交易费，无税收，所有证券都是高度可分的； ( 3 ) 在衍生证券的有效期内没有红利支付； ( 4 ) 不存在无风险套利机会； ( 5 ) 证券交易是连续的； ( 6 ) 该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施的； ( 7 ) 无风险利率是常数，且对所有到期日都相同； ( 8 ) 标的资产价格的变动符合几何b r o w n 运动过程，在数学上则表现为拍过 程。即：姆= s ( u d t + o - d b ( t ) ) ，该假设等价于标的资产价格服从对数正态分布 该文利用套利原理和随机分析中的舶公式证明了欧式看涨期权价格， ( s ，t ) 满足的b l a c k s c h o l e s 微分方程： 隆心善弓等内2 = 。5 ， a f瓠2 瓠2 ( 1 5 ) i f ( s ，) = ( s k ) + 解得：f ( s ，) = c ( s ，) ， c 沪s il n + 盯( r 打+ 吉o - 2 ) t 一k e 川d 警 6 ) 其中：c 为看涨期权价格；k 为期权执行价格；s 为标的资产现价；丁为期权 有效期；，为连续复利计无风险利率；仃为标的资产价格的波动，( ) 为标准 正态分布函数。 b l a c k - - s c h o l e s 期权定价公式给出的价格与股票的期望收益率无关，而且它 是一个完全由“可观察”变量组成的函数，这使得模型能接受直接的实证验证该 模型是现代分析型金融学的最杰出成就之一，其中的方法为其它金融衍生证券 的定价奠定了基础，以b l a c k s c h o l e s 为代表的期权定价理论具有一定的科学价 值与借鉴意义 1 2 3b l a c k s c h o l e s 期权定价理论的几种扩展 b l a c k s c h o l e s 模型出现后的研究基本上是两个方向扩展的，一个是对 b l a c k s c h o l e s 模型的修正、扩展，另一个是对模型的实证检验和应用研究对 b l a c k s c h o l e s 模型的修正扩展是从放松假定开始的 ( 1 ) 支付红利的b l a c k s c h o l e s 模型 每年以恒定比率q 支付连续红利率的标的股票，m e r t o n 于1 9 7 3 年推导出的 期权定价公式是： 4 ：=治一971lln-未+(r-q+吉a2)t一-【台一，7qp(!望!i：!=-学)c z 7 ， ( 2 ) m e r t o n 的随机利率模型 m e r t o n 除了把红利支付引入b l a c k s c h o l e s 模型，还放松了无风险利率是常 数的假定，提出了一个利率是随机变量的期权定价模型他定义b ( t ) 为与期权 同时到期且到期时支付给持有入l 单位货币的贴现债券的价值，且假设8 ( 0 遵循 以下过程如( r ) = b ( f ) a r t + b ( t ) o n d z s ，推导出利率随机时的欧式看涨期权的定价 公式为： = s ( 可) 一b ( o ；丁) k ( ) 其中b ( 0 ；丁) 是丁时刻到期单位面值的零息票在f = 0 的价格， 。 i n s h a b ( o ；丁) + 等丁 a l5 1 砺_ = 钟一丢彦厅。 彦是标的资产与零息票的联合方差。 ( 3 ) 随机波动率模型 b l a c k s c h o l e s 模型中假设股价的波动率为常数显然不符合实际市场情况， 1 9 8 7 年h u l l 和w h i t e 考虑了如下随机波动率模型： 峦( ，) = s ( f ) i r d t + 4 v d w ( t ) ) ； d v ( t ) = a ( b v ( t ) ) a t + 善y 口d ( f ) ， 其中a ，b ，f ，口为常数。 ( 4 ) 跳跃扩散模型 b l a c k s c h o l e s 模型中假定股票的价格服从几何布朗运动，意味着股价围绕 一个期望收益率在一个合理的范围内连续波动，这些连续波动一般是由金融市 场中的某些平常条件引起的，比如股票的供求关系、国家利率、税收关系等这 些常被称为系统风险。但越来越多的金融实践已经充分表明，股价并不是平滑 移动，而是呈现间断性的“跳跃”，这些跳跃现象可以视为由经济中的某些不 寻常情况带来的不正常变化，常被称为非系统风险，比如突发的战争，重大政 治事件的发生，东南亚金融危机的发生，自然灾害( 如海啸地震) ，许多影响经 济平稳发展的重大国家政策调整，这些因素使人们已经认识到建立和研究不连 续市场模型的重要性和迫切性如沈致远院士等人在科学杂志中指出：“研 究突发事件是数学金融学的重要课题”因此跳风险因素在资产定价中不容 忽视，m e r t o n 于1 9 7 6 年首次引入了跳一扩散过程0 u m p d i f f u s i o np r o c e s s ) 【2 1 ， 把股票价格运动从连续的几何b r o w n 运动推广到非连续的跳跃扩散过程，通 过在几何b r o w n 运动之上加上各种以p o i s s o n 过程给出的跳跃m e r t o n 的跳跃 一扩散模型表示为： d s ( t ) = s ( t ) ( u - 2 0 ) d t + o d b ( t ) + u d n ( t ) ， ( 1 8 ) 其中u 表示股票跳跃幅度且y = l n ( 1 + u ) n ( 蜥，仃；) ，u 为股票的期望回报率，旯 为跳跃发生频率，秒为平均跳跃幅度占股票上升幅度的比率，因此由跳跃带来 的平均增长率为五9 ，由几何b r o w n 运动部分提供的平均增长率为u 一2 0 ，仃为 无跳跃发生时股票收益的波动率， b = b ( f ) ，t 0 l 为标准布朗运动， n = ( f ) ，t 0 是参数为五( o ) 的p o i s s o n 过程，e ( u + 1 ) = 0 ；b ，n ，u 两两独立。 m e r t o n 在推导期权定价公式过程中作了关键性假设，即跳成分为非系统性风险， 这意味着b l a c k - - s e h o l e s 形式的证券组合投资在消除了几何布朗运动带来的系 统性风险后同样获得无风险利率的收益，由此得到了欧式期权定价公式 1 3 国内外对分数布朗运动研究的现状 b b m a n d e l b r o ta n dj w v a nn e s s ，19 6 8 年在s i a mr e v i e w 上发表了 f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n s ，f r a c t i o n a ln o i s e sa n da p p l i c a t i o n s t 3 】此文章，在本文 中他假设标的资产价格的变动符合分数b r o w n 运动过程，即： 譬= u d t + 盯d b n ( f ) ( 1 9 ) o f 其中d b n ( t ) 表示带日参数的分数布朗运动。 此后l i n ，s j 与1 9 9 7 年也发表了此类文章：s t o c h a s t i ca n a l y s i so f f r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o n ，f r a c t i o n a ln o i s e sa n da p p l i c a t i o n 【4 】的。以及r o g e r s ，l c g 19 9 7 在m a t h e m a t i c a lf i n a n c e 上发表了a r b i t r a g ew i t hf r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o n 【5j 。d u c a nte ，h uy ，p a s i k d u c a nb 在2 0 0 0 年发表了一篇分数布朗运动 理论的文章s t o c h a s t i cc a l c u l u sf o rf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n i t h e o r y 6 1 。 随 后h u ，ya n db o k s e n d a l 又在2 0 0 3 年的i n f i n i t ed i m e n s i o n a la n a l y s i s ，q u a n t u m p r o b a b i l i t ya n dr e l a t e dt o p i c s 上发表了一篇有关金融中分数白噪声的文章 f r a c t i o n a lw h i t en o i s ea n da p p l i c a t i o n st of i n a n c e l 7 】，并且给出了欧式看涨期权的 分数b l a c k s c h o l e s 公式： z p 叩7 1 上赤( x e x p t r y + p t - 扩严h h + 唧| _ 劳p = x o ( 吩+ 与盯r ) - - c e - a r o ( r 一 仃r ) ( 1 1 0 ) 其中，刁= 仃一1 丁一片( 1 0 9 考+ 矿) ，( f ) = 忑1 l p 一譬出是标准正态分布函数( 误差函 数) 。分数布朗运动再次吸引了数学界和金融学界的目光。随后，大量关于分 6 数布朗运动的研究逐渐开展起来。 在国内，关于分数布朗运动的研究起步较晚，但随着期权定价研究的逐渐 升温，分数布朗运动下的定价问题也逐渐开展起来，而且越来越广泛。刘韵跃， 杨向群在2 0 0 2 年的经济数学期刊上发表了分数布朗运动环境中标的资产有红 利支付的欧式期权定价【8 】，在此文中他们改进了标准的几何布朗运动，假设 标的资产或基础股票的价格服从几何分数布朗运动模型下，分别在无风险利率 r 和股价波动率为常数和时间t 为非随机函数的情况下，求出了有红利支付的欧 式期权的定价公式，其后又在应用概率统计期刊上发表了题为分数布朗运动 环境中欧式未定权益的定价【9 j ，王旭和薛红在价值工程期刊上发表了分数 布朗运动环境下的美式看涨期权的定价方法l lo j 以及刘韶跃，方秋莲，王剑君 在系统工程期刊发表的多个分数次布朗运动影响时的混合期权定价】等文 章。 但在实际分析股票价格行为中，发现股票价格变化并不总是连续的1 9 7 6 年r c m e r t o n 首先建立了股票价格的跳过程为p o i s s o n 跳的跳扩散模型【2 】其 后，k n u tka a s e 的i t 6 过程和随机点过程混合模型【1 2 】；a m i nj a r r o w ( 1 9 9 2 ) 的随 机利率模型；m a r t i ns c h w e i z e r 的一般半鞅模型【l 列；c h a n 的几何l e v y 过程模 型【l3 】等但由于投资者的投机心理和大众心理使得股票价格对过去价格具有依 赖性，于是一些学者考虑用分数布朗运动刻画股票价格的变化其中h uy 和 k e n d a lb 【7 】给出了一套关于分数布朗运动的随机积分理论及在金融中的应 用文献【8 】【1 8 研究了在分数布朗运动环境下期权定价问题 1 4 本文主要研究工作及目的 回望期权是一种强路径期权，它的敲定价格依赖于整个“回望期 内的原 生资产的价格。对于讨论具有浮动敲定价格的回望看涨或看跌期权，由于该期 权收益高，价格十分昂贵，所以如何才能更准确地对该期权进行定价，具有十 分重要的意义。 本文是用分数布朗运动来刻画股票价格的变化，用p o i s s o n 跳跃过程来刻画 当有重大消息到达时股票价格的较大波动。主要应用随机过程等数学工具， 讨论了分数布朗运动模型下和分数跳扩散模型下并且在股票预期收益率、波动 率和无风险利率均为时间函数的情况下的回望期权定价问题，建立了回望期权 定价模型，结合w i c k 积分理论，推导出回望期权价格所满足的显示表达式，试 图得到一些对金融实践具有指导意义的计算结果。 下面介绍一下本篇论文的主要内容及所做的主要工作： 第一章为绪论部分，介绍了期权的基本概念，回顾了期权定价理论的历史 和现状，简述了b l a c k s c h o l e s 理论的几种扩展情形，最后介绍了本文的主要内 容和机构安排。 7 第二章为预备知识部分，引入了回望期权、分数布朗运动、p o i s s o n 过程和 w i c k 积分等几个本文重要的知识定义及与分数布朗运动有关的重要知识理论。 第三章首先建立分数布朗运动下的数学模型，建立风险中性测度，结合w i c k 积分理论和g i r s a n o v 定理，得出了无风险利率，股票收益率，波动率均为时间 确定性函数的欧式回望看涨期权定价公式，欧式看涨，看跌之间的平价关系得 出欧式回望看跌期权定价公式。 第四章假设股票价格遵循带有非时齐p o i s s o n 跳跃的分数扩散过程，同时结 合已有的w i c k 积分理论，首先推导出了两种奇异期权的定价公式，然后类推回 望看涨( 看跌) 期权的定价公式。 第五章对本文的主要工作进行了总结和归纳，并对分数布朗运动的运用等 做了一定的预测和展望。 第二章预备知识 2 1 回望期权 回望期权是一种新型期权该期权持有者在期权到期日可以观察期权有效 期内标的资产价格的演化过程，选择最高( 低) 的标的资产价格作为执行价格购 买( 出售) 资产。因此，在期权到期日o = 乃的收益为曲一r n j 碱( 看涨期权) 或 o g s 7 m a x s , 一s t ( 看跌期权) 因此亦称它为“买进按低价，卖出按高价”期权或标准回 o 虫r 望期权。回望期权又是强路径有关期权，它的敲定价格依赖于整个“回望期 内的原生资产的价格。讨论具有浮动敲定价格的回望看涨或看跌期权，由于该 期权收益高，价格十分昂贵，所以如何才能更准确地对该期权进行定价，具有 十分重要的意义。 在参考文献 2 0 】和【4 5 】中分别运用鞅过程和偏微分方程给出了在标准布朗 运动下的欧式回望期权定价定价公式，如下： 其中 其中 欧式回望看跌期权定价公式： y ( s ，f ) = o r e h r f ( 6 1 ) 一吉( 舌) 8 一( 一6 3 ) 一s e g r f ( 6 j ) 一古( 一如) 6 l ：竺至上：丝) ! 三二生 a 4 t t 6 2 = 6 l 一盯打j ， 岛= 6 2 + _ 2 ( r 万- q ) ( t - , ) ， 9 ：2 ( r - q ) 。 盯 欧式回望看涨期权定价公式： y ( s ，f ) = 一沈一一r _ f ( q ) 一古e ) 卜9 ( 一口3 ) + s e 吲r 叫 ( q ) 一古( 一口1 ) 口1 = i n s + ( i r - q 霄+ 孚广) ( t - t ) ， a 2 = 口1 一仃再， 9 口3 = 一q + 2 ( r 习- q 万) ( t - t ) ， p ：刿。 求解过程会在第三章中给出。 为了下面表达方便在这里给出几个标记： t = m i 成，衫= m i n s u ， o u s ff s h s 7 t = m i n ( m o ，衫) ，m o = m a x s , , ，研= m 楚鼠，懈= m a x ( m o ，聊) 则对于回望期 ou盈tus7 权来说，在期权到期日o = 乃的收益为母一梯( 看涨期权) 或懈一母( 看跌期权) 。 2 2 分数布朗运动 在经典的b s 公式中我们都是假设标的资产服从几何布朗运动，认为标的 资产的价格在时间的过程中是相互独立的。而大量的实证研究表明，标的资产 的价格具有自相似性和长期依赖性。而分数布朗运动恰好满足这两种性质，与 几何布朗运动相比，具有更广泛性。 分数布朗运动是k o l m o g o r o v 在1 9 4 0 年的文章 4 9 】中基于希尔伯特空间的 框架中首先提出的，当时称它为w i e n e rh e l i x ，y a g l o m 【5 0 j 又进一步作了研究。 分数布朗运动这个称呼归因于m a n d e l b r o t 和v a nn e s s ，在1 9 6 8 年，他们在文 献 3 】中给出了在标准布朗运动条件下的这个过程的一个随机积分表达式。下面 给出常见的分数布朗运动的定义： 定义2 1 设0 去，则昂( f ) 是持久的( p e r s i s t e n t ) 或有长程关联性( l o n g - r a n g z d e p e n d e n t ) ，即，( 门) = e b n ( 1 ) b m ( n + 1 ) 一毋( ”) 】) o ，对所有n = l ，2 ，且，( 甩) = o o 。 如果厅 0 ) 的齐次泊松过程，若 它满足： ( 1 ) ( 0 ) = 0 ； ( 2 ) n ( t ) 是齐次独立增量过程； ( 3 ) 存在正的常数五，使得对充分小的f 0 ， p n ( t + r ) - n ( t ) = 1 ) = ；t r + o ( r ) ( 2 3 ) p n ( t + r ) - n ( t ) 2 = d ( r ) ( 2 4 ) 定义中条件( 2 2 ) 式表明，在充分小的时间间隔中事件出现一次的概率与时间 间隔的长度成正比，条件( 2 3 ) 式表示很小的时间间隔中事件不能出现两次或 两次以上。实际问题中很多随机现象都近似地满足这两个条件，可用泊松过程 来描述。 2 4w i c k 积分 文献【6 】中指出，在一些文章中一积分理论是应用了一般的积路径并且导 出积分，定义“合理”的被积函数础，忉为 m ，w 慨( r ) = 鼢荟n - i f ( ”) ( b n ( t k + 。) 一毋( 气) ) ， ( 2 5 ) 其中：a = t o f ： 乙= 6 是闭区间【口，b 】一个分区，l a i = m a x 。鳙如一，( t k + ，一气) ，这 些积分的期望不为0 ，并称它们为分数路径积分。 在文献【7 】中，运用文献【6 中的昂- 积分，并且通过下式来定义： e f ( f ，w 慨( ，) = 出婴荟- 1f ( 气，w ) ( 巩( 气+ 。) 一毋( 气) ) ( 2 6 ) 这儿o 记为w i c k 积分。这积分期望为0 。由于它们是基于使用w i c k 积而不是 普通积，参考标准布朗运动的相应情况，并称它们为分数伊藤积分。 关于w ic k 积分，文献 6 也给出了如下定义： 定义2 5 1 6 1 ：设y 为在r 的函数，同时有l ，( f ) ( f ) 可积，其中( f ) 为分数白 噪声。定义如下方程 工y ( f ) 慨( ，) = f 暇y ( t ) o g n ( t ) d t ( 2 7 ) 为伊藤型的分数随机积分，记为上l ，( ，) 嗥( f ) 。 由此可得出分数白噪声( r ) 和分数布朗运动( f ) 满足下式： 羔( f ) = ( ，) ，即为文献 6 分数白噪声的定义。 引理2 1 【6 l ：设f ，g 乓( r ) ，则有下式成立： 1 2 ( 量慨) ( 鹏) = ( 量慨) ( 鸱) 一( ，g ) 。 ( 2 8 ) 引理2 2