（固体力学专业论文）塑性本构理论中几个问题的研究.pdf

哈尔滨t 稃火学硕十学位论文 摘要 塑性理论的目的是对于与时间无关的塑性变形物体内的应力和应变 关系进行数学研究。塑性力学和连续介质力学的其它分支的主要区别就在 于刻画材料的力学性质本构关系不同。在前人研究的基础上，以连续介质 力学和塑性理论中的基本假设为基础。本文主要研究了塑性理论中增量形 式本构关系的建立。推导出了一般加载规律的理想弹塑性材料、等向强化 材料、随动强化材料和热弹塑性材料两种对偶形式的增量本构关系和一般 加载规律的理想弹塑性材料、等向强化材料、隧动强化材料和混合强化材 料在应变空间中的两种对偶形式的增量本构关系。 将m i s e s 屈服条件、t r e s c a 屈服条件和最大偏应力屈服准则的等向强 化材料在主应力空间中描述的形式转换成了用偏应力的两个主不变量描述 的形式，应用简单试验资料从等效应力和等效应变的概念出发，建立了复 杂应力状态下的m i s e s 屈服条件、t r c s c a 屈服条件和最太偏应力屈服准则 的等向强化材料的增量形式的本构关系。并且探讨了以上两种方法所建立 的材料本构关系在某种情况下的一致性。 应用张量理论推导出了弹塑性耦合情况下一般加载规律的多维增量理 论。根据弹塑性耦合情况下的广义正交法则，推导出一般加载规律弹塑性 耦合情况下一般弹塑性材料、等向强化材料和随动强化材料在应力空间中 的两种对偶形式的增量本构关系和在应变空间中的两种对偶形式的增量本 构关系。 关键词：本构关系；塑性；简单拉压实验；纯扭转实验；弹塑性耦合 哈尔滨丁稃大学硕+ 学位论文 a b s t r a c t t h ep u r p d s co fp l a s t i ct h e o r yi st or e s e a r c ht h er e l a t i o n s h i po fs t r e s sa n d s t r a i ni nt h eb o d yo fp l a s t i cd e f o r m a t i o nw h i c hi si n d e p e n d e n to ft i m e t h e m a i nd i f f e r e n c eb e t w e e n p l a s t i c i t y a n dt h eo t h e rb r a n c h e so fc o n t i n u u m m e c h a n i c si sh o wt od e s c r i b et h em e c h a n i c a lp r o p e r t i e s t h ei n c r e m e n t a l c o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i po fp l a s t i ct h e o r yw a se s t a b l i s h e di nt h i sp a p e r b a s e d o nt h ep r e s e n tr e s e a r c h e s ，a n dt h ef o n d a m e n t a a s s u m p t i o no fc o n t i n u u m m e c h a n i c sa n dp l a s t i ct h e o r y , i nt h i sp a p e rw ep a ym o r ea t t e n t i o nt oh o wt o e s t a b l i s ht h ec o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i pd e s c r i b e db yi n c r e m e n t ，a n dw ed e d u c t t w ok i n d so fi n c r e m e n t a lc o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i p sc o n f l e da b o u tg e n e r a l l o a d i n g l a wm a t e r i a l s ，s u c h 觞i d e a le l a s t o p l a s t i cm a t e r i a l s ，i s o t r o p i c a l l y h a r d e n i n gm a t e r i a l s ，k i n e m a t i ch a r d e n i n gm a t e r i a l s a n dt h e r m o e l a s t o p l a s t i c m a t e r i a l s , a n da l s ow ee s t a b l i s ht w ok i n d sd fi n c r e m e n t a lc o n s t i t u t i v e r e l a t i o n s h i p sc o u p l e di ns t r e s ss p a c ea b o u tg e n e r a ll o a d i n gl a wm a t e r i a l sl i k e i d e a l e l a s t o p l a s t i cm a t e r i a l s ，i s o t r o p i c a l l yh a r d e n i n gm a t e r i a l s ，m i x e d h a r d e n i n gm a t e r i a l s t h ed e s c r i p t i o ni np r i n c i p a ls p a c ew a st u r n e dt ot h ed e s c r i p t i o nw i t ht h e t w op r i n c i p a li n v a r i a b l e so fd e v i a t o r ys t r e s so fm i s e sy i e l dc o n d i t i o n 、t r e s c a y i e l d c o n d i t i o na n dm a x i m u md e v i a t o r ys t r e s sy i e l dc r i t e r i o no fi s o t r o p i c h a r d e n i n gm a t e r i a l t h ei n c r e m e n t a lc o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i p sw e r ee s t a b l i s h e d o fi s o t r o p i ch a r d e n i n gm a t e r i a li nc o m p l e xs t r e s sc o n d i t i o n f u r t h e r m o r e ，t h e c o h e r e n c eo fc o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i p si nc e r t a i nc a s ew a ss t u d i e db e t w e e n t h e s et w om e t h o d s ， t h em u l t i d i m e n s i o n a li n c r e m e n t a lt h e o r yw a so b t a i n e db yt e n s o rt h e o r y o fg e n e r a ll o a d i n gl a wi ne l a s t o p l a s t i c i t yc o u p l e dc o n d i t i o n t h ei n c r e m e n t a l c o n s t i t u t i v er e l a t i o n s h i p so ft h et w od u a lf o r m sw e r eg a i n e do fg e n e r a l 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 e l a s t o p l a s t i c i t ym a t e r i a l s ，i s o t r o p i ch a r d e n i n g m a t e r i a l sa n dk i n e m a t i c h a r d e n i n gm a t e r i a l sb o t hi n s t r e s sa n ds t r a i n s p a c e s ，b a s e do ng e n e r a l i z e d o r t h o g o n a lr u l e k e y w o r d s ：e l a s t o - p l a s t i cc o n s t i t u t i v e ；p l a s t i c i t y ；s i m p l et e n s i o nt e s t ；s i m p l e t o r s i o nt e s t ；e l a s t o p l a s t i cc o u p l i n g 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献等的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中 已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签- - 7 - - ) ：盥趋竖 日期：卿年岁月d 日 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 引言 从连续介质力学的角度来考虑每一个固体力学问题在每一时刻必须 满足下面三个关系： ( 1 ) 平衡或运动方程； ( 2 ) 几何条件或应变和位移的协调； ( 3 ) 材料的本构方程或应力应变关系。 当考虑平衡( 或运动) 时，物体内部的应力与体力和作用在物体表面 的外力是联系在一起的。对于一个无限小的单元体，有三个与应力张量的 六个分量有关的平衡方程。在小变形问题中，这些方程不含应变和位移； 在大变形问题中，他们通常含有应变和位移。在动力问题中，平衡方程被 运动方程代替，并含有位移对时间的二阶导数。这些就是第一组方程。 在考虑几何条件或运动学时，我们可以将物体内部的应变与物体的位 移联系起来。有六个根据三个位移表示应变张量的六个分量的运动方程； 他们就是应变位移关系式。这些就是第二组方程。 平衡方程和运动方程与组成物体的特定材料无关。这些材料的影响由 第三组方程本构方程来表示。他们描述了应力应变关系。在最简单的情 况下，他们是用应力分量表示应变分量的六个等式或用应变分量表示应力 分量的六个等式。如果他们是线性的，就是大家熟悉的虎克定律。 六个应力分量，六个应变分量和三个位移分量由三个平衡方程或运动 方程、六个几何方程或应变协调方程和六个本构方程联系起来。物体内部 的这十五个应力、应变和位移由表示自然规律的十五个方程决定。 在很长一段时自j 里，变形固体力学一直依赖线性虎克定律来描述材料 的性质。然而众所周知，绝大多数的工程材料，如金属、混凝土、木材、 土、岩石和复合材料等，对于实际加载的全过程都不是线弹性的。事实上， 哈尔滨 = 程大学硕十学位论文 这些材料的实际力学行为是相当复杂的，当加载的条件不同时表现出不同 的性能。所以为了将简单的数学模型应用于实践，更进一步的理想化是必 要的。 没有一个数学模型能够在所有情况下完全的描述真实材料的复杂形 为。每一种材辩模型只是针对某种现象，抓住他们必要的性质忽略实际中 认为不重要的东西。所以当被忽略的影响因素变得重要时，这种模型就存 在应用的局限性“1 1 。 工程结构要充分发挥其作用，安全可靠是最基本的要求。应力和应变 分析是必不可少的。因而需建立相应的连续介质力学的完整微分方程组( 含 边界条件) 。在这些方程组中，质量、动量、动量矩、电荷、磁通量和能量 守恒方程以及热力学第二定律对所有介质都适用，且比较清楚。只有本构 方程因材料而异。它与材料内部组织，受载方式和外部环境的影响最终还 是受到材料内部组织的制约。同时，研究材料内部组织的差异对其宏观力 学性质的影响也可以为设计新型材料提供理论依据。可见对本构关系描述 的好坏，直接影响着应力和应变分析结果以及材料强度预测的准确性。在 计算技术获得重大发展的现代，本构关系研究的重要性显得尤为突出。材 料( 包括外部环境) 的多样性导致本构关系的多样性和复杂性，然而各种 材料又处于同一个自然界中，他们的本构关系必存在某些共性和某种统一 的规律。 1 2 塑性本构理论的研究现状 严格讲，我们所讨论的本构方程都是在结构适用条件下材料的某种理 性化的本构方程。任何一个本构方程，既要略去一些次要因素，又能正确 反映问题的物理本质：既有简单的方程形式，又有精确的数学描述方法并 能估计数学描述的精确程度。本构方程是通过材料的热力学状态变量加以 描述的，可将这些变量中的某一些取作独立变量，而另一些取作响应变量。 独立变量和响应变量是能量关系中的共轭变量对，他们的位置可以互换“1 。 本构方程中还包含些出实验确定的常数。在变形过程中，材料内部组织 2 哈尔滨t 程大学硕七学位论文 可能发生变化，常用内变量予以刻画。因此较完整的本构方程应包括两种 类型，第一类是响应方程，它描述状态函数随参变量的变化规律，如应变 ( 应变增量) 与广义应力( 应力增量) 、温度等之问的关系；第二类为演化 方程，它描述内变量在变化过程中的演化规律。最简单的情况是内变量不 变化，这时只有第一类方程0 1 。 本构方程的建立一般是需要通过理论分析，实验测量；数值计算检验 等手段加以实现。 1 2 1 实验方法 实验是本构理论的基础。本世纪实验技术取得了重大发展，特别是液 压伺服试验机、高速加载和测试装置以及电子显微镜等的不断改进，使本 构理论的研究有了突破性的进展。液压伺服试验机使复合加载和任意加载 历史的实验方案成为可能，从而揭示了加载历史的重要性。对弹塑性材料 进行的拉扭复合加载实验中，可明显看出应变历史对后继屈服面以及应力 应变关系的影响阳1 。分离式h o p k i n s o n 压( 拉，扭) 杆的不断改进以及氢 气炮和压剪炮的不断完善，使得计及温度效应的复合应力加载和应变率加 载条件下的动态本构实验研究成为可能。近年来，温度变化率( 快速升温) 的影响也受到了人们的关注。电子显微镜的广泛应用使人们对变化的微观 机理有了进一步的了解在。变形过程中，晶体内错结构形成和演化规律的 研究使建立宏微观的本构理论成为可能。 1 2 2 含内变量的热动力学理论 实际介质的变形都存在能量耗散，这种耗散过程和介质内部的不可逆 过程相关。统计物理学是研究这类问题的有力工具，但目| j i 还难以定量。 关于不可逆热力学的讨论，目前存在着不同的学派和观点“1 。增广状态空 自j 理论( 内变量理论) 【4 i 是比较简单实用且为多数学者接受的理论。这一 理论的热力学状念是由热力学变量和内变量共同组成的增广状态空间来描 述的。这时，内变量的改变将引起能量耗散的过程。过程中能量耗散由热 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 力学流和不可逆广义力的内积来表示，热力学第二定律要求上述内积非负， 这便是c l a u s i u s - d u h e m 不等式。热力学特性函数( 内能、自由能、g i b b s 函数等) 是状态函数的理论，可以得出有关热力学变量的第一类本构方程， 由热力学流是不可逆力的函数的这一假设，可以导出内变量的演化方程或 第二类本构方程，两者组成了完整的本毒句方程组。在许多情况下可以假设 存在耗散率势，此时演化方程可由耗散率势求得，从而本构方程便由热力 学特性函数和耗散率势决定。 l 。2 3 本构方程的数学理论 因果律是现实世界中在宏观范围内的基本定律之一。在本构理论中曾 提出过n o l l 三原则“1 ，即：确定性定理、客观性定理和局部作用定理。确 定性定理正是因果律的反映，认为应力是变形历史的函数。客观性原理表 示本构方程不依赖于我们选取的标架。局部作用原理表示一点的应力只和 该点附近的质点变形相关。此外，也曾提出其它一些本构原理，如减退记 忆原理。在以上这些原理基础上所建立的“简单物质”理论能包括目前已 知的一些本构关系 和上述理论相平行，为了具体表示变形历史的影响，b o l t z m a n n 提出 了线粘弹性体的积分本构方程；随后在非线性理论的推广下，人们提出了 多重积分模型和单积分模型。在弹塑性力学中依留辛提出应力是五维( 塑 性体积不可压缩) 应交偏量空间中变形路径的泛函，特舅j 是应变弧长和曲 率的泛函。在随后的研究中又被推广到各向异性的情形。v a l a n i s 的内时理 论，r i l v l i n - p i p k i n 的弧长理论都可纳入积分型本构过方程的范畴，并且可 与内部组织结构相联系。在上述诸理论中都认为应力( 响应变量) 只是某 个等效时间( 内时，塑性应变弧长，时温转换后的时j 日j ，蠕变和塑性变形 同时作用时的等效时| 刚等) 的泛函，而组成等效时问的各个独立因素并不 直接影响应力，从而使本构方程得到极大简化“。 有关塑性本构理论的文献浩如烟海，本文不能做到全面的叙述。 4 哈尔滨1 ：程大学硕士学位论文 1 3 本文的主要工作 本论文基于梁立孚教授在文献【1 1 1 2 】中提出的将文献【2 】中给出的一 般加载规律一维全量理论的简单模型推广到一维增量理论，进而推广到一 般加载规律的多维增量理论。在此基础上，建立的推导一般加载规律的多 维增量理论本构关系的一种途径。应用这种途径，从应力空间的加载函数 和应变空间的加载函数出发分别推导出在应力空间的一般加载规律的理想 弹塑性材料、等向强化材料、随动强化材料和热弹塑性材料在应力空间中 的两种本构关系和在应变空间中一般加载规律的理想弹塑性材料、等向强 化材料、随动强化材料和混合强化材料在应变空间中的两种对偶形式的增 量本构关系。 将m i s e s 屈服条件下的等向强化材料、t r e s c a 屈服条件等向强化材料 和最大偏应力屈服准则的等向强化材料在主应力空间中描述的形式转换成 用偏应力的两个主不变量描述的形式。应用文献【2 】中的等效应力和等效应 变的概念与简单试验资料建立复杂应力状态下的m i s e s 屈服条件下的等向 强化材料、t r e s c a 屈服条件等向强化材料和最大偏应力屈服准则的等向强 化材料的本构关系。并且探讨两种方法所建立的材料本构关系的关系。 应用张量理论推导出弹塑性耦合情况下一般加载规律的多维增量理 论。基于文献 1 3 1 中提出的弹塑性耦合情况下的广义正交法则，应用文献 【1 2 】中建立的推导一般加载规律的多维增量理论的本构关系的一种途径， 推导出一般加载规律弹塑性耦合情况下一般弹塑性材料、等向强化材料和 随动强化材料在应力空间中的两种对偶形式的增量本构关系，一般加载规 律弹塑性耦合情况下一般弹塑性材料、等向强化材料和随动强化材料在应 变空间中的两种对偶形式的增量本构关系。 5 哈尔滨一【程大学硕十学位论文 第2 章塑性增量本构的基本理论 2 1 引言 尽管弹塑性理论的研究已有一百多年，但随着电子计算机和各种数值 方法的快速发展，对弹塑性本构关系模型的不断深入认识，使得解决复杂 应力条件、加载历史和边界条件下的塑性力学问题成为可能。现在复杂应 力条件下塑性本构关系的研究，已成为当务之急。弹塑性本构模型大都是 在整理和分析试验资料的基础上，综合运用弹性、塑性理论建立起来的。 在采用有限元法对工程塑性问题进行数值分析时，关键问题就是选择恰当 的弹塑性本构模型，因此，弹塑性材料本构模型的研究就显得十分重要。 本章从理论基础的角度讨论弹塑性增量本构模型的基本理论：首先给 出弹塑性本构模型研究的基本假设：然后谈论弹塑性本构模型的三个基本 组成部分( 屈服面、硬化规律和塑性流动法则) 。 2 2 基本假设 建立弹塑性材料的本构方程时，应尽量反映它塑性材料的主要特性。 由于弹塑性变形的现象十分复杂，因此在研究弹塑性本构关系时必须作一 些假设“1 。研究弹塑性本构关系理论的基本假设一般有以下几点： ( 1 ) 连续性假设：弹塑性体是一种密实的连续介质并在整个变形过 程中保持连续性。 ( 2 ) 小变形假设：在小变形( 变形和物体尺寸相比可以忽略不计) 情况下，应变和位移导数间的几何关系是线性的。但对于大变形情况，必 须考虑几何关系中的二阶或高阶非线性项； ( 3 ) 均匀性假设；物体在不同点处的力学性质处处相同。实际上金 属材料都可以看作是均匀的。对于混凝土、玻璃钢等非均质材料，如果不 细究其不同组份分界面的局部应力，可以采用在足够大的材料上测得的等 效弹塑性参数束简化成均匀材料； 6 哈尔暝工程大学硕十学位论文 ( 4 ) 仅考虑等温过程中的应变率无关材料，即忽略了应变率大小( 或 粘弹性效应) 对变形规律的影响。这时任何与时间呈单调递增关系的参数 都可取作为变形过程的时间参数。由此得到的本构关系将会有相当的简化； ( s ) d r u c k e r 假设和i l y u s h i n 假设( 在流动法则中将详细讨论这两个 假设) 。 2 3 弹塑性本构模型的基本理论 弹塑性本构模型是根据弹性理论、塑性理论等发展建立起来的1 1 1 。在 塑性变形过程中总应变为两部分一部分是弹性应变和部分是塑性应变。 其中弹性应变可由广义h o o k e 定律计算。塑性状态下的本构关系目前存在 着两种理论：一种理论认为塑性状态下的应力应变仍是应力分量和应交分 量之间的关系，这种理论称为全量理论或形变理论；另一种理论认为塑性 状态下的应力- 应变关系应该是增量之间的关系，称为增量理论或流动理论 “”。由于材料的塑性变形具有不可恢复性，在本质上是一个与加载历 史有关的过程，所以一般情况下其应力应变关系用增量形式描述更为合 理。因此塑性应变一般用塑性增量理论计算。应用塑性增量理论计算塑性 应变一般需要弹塑性材料的屈服面与后继屈服面、流动法则和硬化规律三 个基本组成部分，对服从非关联流动规则的材料，还需要弹塑性材料的塑 性势面。下面将讨论弹塑性增量理论的三个组成部分 2 3 1 屈服面和后继屈服面及几个常用的屈服条件 一般地，材料在外载荷作用下的响应与荷载的大小有直接的关系。当 外载足够小时，材料表现为线弹性，当外载继续增加，应力大小超过弹性 极限，应力应变关系则不再是理想弹性状态，而材料的某一点或某些点的 应力状念丌始进入塑性状态。判断材料开始进入塑性状念的条件或准则称 为屈服条件或屈服准则。根据不同的可能应力路径所进行的试验，可以定 出从弹性状念进入塑性状态的各个屈服应力，在应力空间中将这些屈服应 力点连接起来就形成了一个区分弹性和塑性的分界面，即称为屈服面“”。 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 m 1 1 在继续加载条件下材料从一种塑性状态到达另一种塑性状态，将形成系列 的后继屈服面。材料在简单加载作用下，屈服条件定义为材料的弹性极限， 可以由简单试验直接确定；而多数工程中的材料处于复杂载荷作用下，屈 服面与后继屈服面的形状一般不能通过试验求得，不同的本构模型有各自 不同形状的屈服面，且屈服准则或屈服函数的具体形式取决于材料的力学 特性。因此关于材料在复杂应力状态下的屈服面与后继屈服面( 或屈服准 则) 的确定具有理论和实践意义，方面它表征了材料从弹性状态过渡到 塑性状态的开始，确定开始塑性变形时应力的大小和状态，另一方面，它 确定了材料复杂应力状态下的后继屈服极限范围，它是塑性理论分析的重 要基础，并应用于各种实际工程结构的设计与施工。 屈服面与后继屈服面的数学表达式称为屈服函数。关于材料的屈服面 和屈服函数，已研究了上百年，提出的各种表达式不下几十种之多。在应 力空间中它一般可以表示成下式： 图2 1 屈服面在主廊力空间示意图 ，( ，孝) = 0 这表示它是应力空问中的一个超曲面。 若不考虑应力主轴旋转的情况下可在主应力空| 日j 中表示，则为： ( 2 一1 ) 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 ，( q ，c r 2 ，码，亭) 一0( 2 - 2 ) 如果屈服与静水压力无关，则表示为： ，u ：，l ) 。0( 2 - 3 ) 在应变空间中可用下式表示屈服函数 f ( # ，) t o( 2 4 ) 常用的屈服条件有：t r e s c a 屈服条件( 1 8 9 4 年) 、m i s e s 屈服条件( 1 9 1 3 年) 、c o u l o m b 屈服条件( 广义t r c s c a 条件) 、d r u c k e r - p r a g e r 屈服条件( 广 义m i s e s 条件) 、双剪屈服准则。 ( 1 ) t r e s c a 屈服条件( 1 8 9 4 年) “7 1 t r e s c a 认为，在最大剪应力达到极限时材料进入屈服，在仃l 乏0 2 苫0 3 的假设下t r e s c a 屈服条件表示为： f 。t 半一( 2 - 5 ) 或者： 0 1 一仃3 2 k 一0 ( 2 ) m i s e s 屈服条件( 1 9 1 3 ) m 1 m i s e s 克服t r e s c a 屈服面具有角点的缺陷( 即不考虑中间主应力的影 响) 提出了t r e s c a 屈服条件： ， ，：；七；或，：一七；一0( 2 - 7 ) 将j ：写成展开形式，则有： 吾( o 1 1 - - 0 2 2 ) 2 + 0 2 2 - - 0 3 3 ) 2 + 0 3 3 - - g i i ) 2 + 6 p 矗+ 口三+ 巧三) 一t ；= 。( 2 - 8 ) ( 3 ) c o u l o m b 屈服条件( 广义t r e s c a 条件) “6 9 哈尔滨_ t 程大学硕十学位论文 认为屈服与静水压力有关，则材料屈服曲面方程为： f ( i 。，2 ，j 3 ) 一0 ( 2 9 ) 与式( 2 9 ) 相吻合的是c o u l o m b 准则，由土力学可知： + o j g q d - c 0( 2 1 0 ) 式中：r 土的抗剪强度 吒f 作用面上的正应力 c 粘聚力 ( 4 ) d r u c k e r - p r a g e r 屈服条件( 广义m i s e s 条件) “” d p 为了改进c o u l o m b 屈服条件在角点处描述塑性流动的困难，于 1 9 5 2 年提出光滑屈服曲面模型，为一圆锥。在n 平面中为圆，其屈服表达 式为： ，一甜1 + ，z k 一0( 2 - 1 1 ) 其中，a 和露与妒和c 有关 ( 5 )双剪屈服准则1 1 9 3 2 年s c h m i d tr 提出最大偏应力屈服准则，与后来我国学者俞茂宏 提出的双剪屈服准则相吻合。最大偏应力屈服准则表示为 m 积q 吼蚓，k 1 ) = k 3 ( 2 1 2 ) 其中，k 可以由简单拉伸实验确定 k 3 一言吒 ( 2 1 3 ) 式( 2 - 1 2 ) 可以等效地表示为： f 3 。2 q 一( c r 2 + q ) 一2 吒 臣3 s 3 = 2 a 3 - ( a , + 坞c r 2 ) 卜= _ 地2 a , q 1 1 0 哈尔滨下程大学硕+ 学位论文 双剪应力屈服条件叙述为：当两个较大的主剪应力绝对值之和达到某 一极限值时，材料开始屈服。假设q 吼芑码，几个主剪应力绝对值的表 达式为： 协学 h ；等导 因此，双剪屈服准则可以表示为： ”q 一半一以 h + 阱半一岛。q k l 一警( 2 - 1 5 ) w h e n h ：f k i ( 2 - 1 6 ) w h e n l t ：ls b l 2 3 2 弹塑性材料的硬化规律 有些材料开始屈服后就产生塑性流动，变形无限制的发展，以致破坏。 这是一种理想弹塑性状态，不存在硬化，在加载状态时，理想弹塑性材料 屈服面的形状、大小和位置都是固定的。硬化材料在加载过程中随着应力 状态和加载路径的变化，后继屈服面( 也称为加载曲面) 的形状、大小和 中心的位置都可能变化。用来规定材料进入塑性变形后的后继屈服面在应 力空间中变化的规律称为硬化规律“”。 当内变量改变时，屈服面也将随之发生变化，不同的内变量对应着不 同的后继屈服面。严格地讲，后继屈服面应通过具体试验测量得到，但目 前的试验资料还不足以完整地确定后继屈服面的变化规律，这就需要对后 继屈服面的运动和变化规律作一些假设。通常的做法是，先根据试验数据 决定初始屈服面，后继屈服面则按照材料的某种力学性质假定的简单规律 由初始屈服面变化得到，这种变化带有认为假定的因素。多年来，人们对 许多材料进行了试验研究， 哈尔滨下程大学硕十学位论文 图2 2 硬化规律示意图 弹塑性材料在初始屈服后的响应不相同，这时就得选用不同的硬化规律， 一般采用三种硬化规律，即等向硬化( 又称为等向强化) 、随动硬化( 又称 为随动强化) 和混合硬化( 又称为混合强化) 规律，如图2 2 所示。 ( 1 ) 等向硬化规律1 等向硬化规律假定屈服面的位置中心不变，形状不变，其大小随硬化 参数而变化。对硬化材料而言，屈服面不断扩大，即屈服面在应力空间中 均匀膨胀；对软化材料，屈服面不断缩小。等向硬化规律相当于做了塑性 变形各项同性的假定，因此不能反映材料的b a u s c h i n g 效应的影响，如图 2 2 所示。其一般表达形式为： f ( g i j ，亭) - 0 = f ( a ，j ) 一七( 宇) = 0 ( 2 1 7 ) 式中：f ( o ；j ) = 0 仞始屈服函数； 女( 亭) 反映塑性变形历史的硬化函数。用于确定屈服面的大 小。 等向硬化规律一般是静载荷作用下的弹塑性模型。 1 2 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 ( 2 ) 随动硬化规律“” 随动硬化规律认为在塑性变形过程中，屈服面的大小和形状都不改 变，仅发生位置的变化，即只是屈服面在应力空问中作刚体平移，当某个 方向的屈服应力升高时，其相反方向的屈服应力应该降低。因此，在一定 程度上反映了材料的b a u s c h i n g 效应，如图2 2 所示。其一般表示形式为 f ( o 0 ，乒) 一0 一，( 一嘞( 亭”一k 一0( 2 - 1 8 ) 式中：f ( 0 0 ) 一k - 0 初始屈服函数； t 常数7 嘞皓) 后继屈服面中心的坐标，它反映了材料硬化程度，是硬 化程度的参数，依赖于塑性变形，其增量形式可以表示为屈服点在应力空 间中的位移。确定q ，的增量变化规律通常有两种方法，即p r a g e r 方法和 z i e g l e r 方法。 随动硬化规律适用于周期荷载或反复荷载条件下的动力塑性模型以 及静力模型。 ( 3 ) 混合硬化规律 混合硬化规律是由h o d g e 于1 9 5 7 年将随动硬化规律和等向硬化规律 结合起来导出来的。该规律认为，后继屈服面可以由初始屈服面经过一个 刚体平移和一个均匀膨胀而得到，即认为后继屈服面的大小、形状和位置 一起随塑性变形的发展而变化，如图2 2 所示。其一般表示形式为： ，( ，亭) 一0 一i ( o o 一嘞售) ) 一女( 亭) 一0 ( 2 - 1 9 ) 这种硬化规律较前两种更为细致，可以同时反映材料的b a u s c h i n g 效 应以及后继屈服面的均匀膨胀，但显然更为复杂。该硬化规律主要用于全 面模拟循环荷载和动荷载作用下材料的响应。 应用各种硬化规律，关键是选好适当的硬化参数，硬化参数应能表征 材料的硬化程度，充分反映材料硬化的历史。一般地选用塑性总应变、 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 塑性剪切应变、塑性功或等效塑性总应变等作为硬化参数。 2 3 3 塑陛流动法则的理论讨论 一d r u c k e r 公设 1 d r u c k e r 在1 9 5 1 年提出了关于稳定材料在弹塑性加卸载的应力循 环过程中塑性功非负的d r u c k e r 公设。 考虑一个应力循环：初始应力q o ，在加载面内，然后加载到盯正 好在加载面内，在继续加载到+ d o ；j 这阶段产生塑性变形，设塑性应变 为d g f 最后将应力退回到刃，形成一个应力循环，如果在应力循环过程中， 附加应力( 一o ) 所做的功不小于零，则材料是稳定的。 图2 3 应力循环示意图 在应力循环中，外载荷所做的功为： - o o d e f 卸 该式对稳定材料和非稳定材料都适用。 为考虑材料的稳定性，讨论附加应力所做的功： ( 2 2 0 ) 矗。( 一o r # 。矽勺2 o ( 2 。z 1 ) 由于弹性变形是可逆的，在整个应力循环中 岛( 一o v 勺。t 0 ( z - 2 2 ) 1 4 因此得： l ( 一o q 。勺2 0 ( 2 2 3 ) 考虑到在应力循环中，仅在0 0 一嘞+ d e 7 # 段产生塑性变形，故式 ( 2 - 2 3 ) 变为： i 1 ( 吩+ d 一。矽勺，之0 ( 2 - 2 4 ) 当嘞一o 时，忽略高次项d d e 口，则有： 当一以时，则有： 谗i o j 、矗e jt 0 d o f d e f 2 0 式( 2 2 5 ) 和式( 2 - 2 6 ) 是两个重要的不等式。 2 d m c k e r 公设的几何解释 令应力空间与塑性应变的坐标平 行，并且d f 的坐标原点取在屈服面上l 的嘞处，仃? 用矢量o 表示，用矢 - 量o a 表示，则式( 2 - 2 5 ) 可表示为： e ，dg p 八、 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 一 _ a a o d e 9 芑o( 2 _ 2 7 ) 幽2 4d r u e k e r 公设的几何解释幽 即 ( 卅e = a a o - d e p 一川孑卜z 。 ( 2 _ z s ， 、 i 一 o ， ，一 j ， a l。一 d 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 式( 2 2 7 ) 和式( 2 2 8 ) 表明：当0 角是锐角和直角时，由于随着0 增大， 戤趋近于加载面的切线，故知只有d e p 垂直于加载面的切线时，才能满 足式( 2 2 5 ) 和式( 2 - 2 6 ) 。因此，得出结论：d e p 与加载面的外法线重合，说 明稳定材料的加载面是外凸的。 3 d r u c k e r 公设的作用 因为d 手与加载面驴。0 垂直，故将d ，表示成为： “矿醐罟 ( 2 - 2 9 ) 式中：d 标量因子。 式( 2 2 9 ) 便是塑性理论的基础，此式也是正交流动法则的表达式。 若用矢量表示，因d e p 与加载面的外法线元重合，故有： d o 再0 ( 2 3 0 ) 此式在讨论加载卸载条件的时候是很有用。 由上述分析可知：对于稳定材料，只要屈服面处处是外凸的，那么 d r u c k e r 公设一定适用于该材料。在实际应用中d r u c k e r 公设对于稳定材料 是适用的，对于非稳定材料就要考虑依留辛公设或非关联的流动法则。 二依留辛公设 依留辛提出了一个更一般的塑性公设，陈述为：在弹塑性材料的一个 应变循环内，外部作用做功是非负的。如果功是正的，表示有塑性变形， 如果做功是零，只有弹性变形发生。对于弹性性质不随加载而改变的情况， 外部作用在应变循环内做功和在应力循环内做功( d r u c k e r 公设) 的差别， 仅是一个正的附加项，如图2 5 所示。 1 6 哈尔滨_ e 程大学硕十学位论文 图2 5 应力循环和应变循环示意图 吾d 叩( 2 - 3 1 ) 因此由依留辛公设，得： ( 白+ d e 口一勺o m 乏o ( 2 3 2 ) 式中：5 # 。表示原有的应变状态( 与。相对应) 。 如果初始应交点在应交加载面妒* 0 ，勺一白。一0 ，在式中略去高阶 小项，可得： 婶 一：o jt 0( 2 3 3 ) 类似d r u c k e r 公设，可由式( 2 3 3 ) 推出应变空间加载面妒；o 的外凸 性以及d 7 关于妒z 0 的正交法则： 吖刮a 薏 ( 2 - 3 4 ) 如果应变点在屈服面上，即一白。= o ，则可由式( 2 3 2 ) 得- ： d 一u j2 0f 2 - 3 5 ) 哈尔滨t 稃大学硕十学位论文 2 3 4 力畦口载准贝u 一应力空间 在塑性变形中，当应力状态随着屈服面，的发展，为确保应力转态不 离开屈服面，p r a g e r ( 1 9 4 9 ) 给出弹塑性增量理论的一致性条件，即 d r - 姜盖m o ( 2 3 6 ) 式中：h 反映塑性变形历史硬化参数。 加载或中性交载时，与应力状态相应的点在屈服面上，卸载时应力点 推回到当前屈服面的内侧。中性变载和卸载时表现出不同的本构规律，所 以给出加卸载准则对建立弹塑性增量本构理论具有重要意义。 在应力空间中对于硬化材料，有如下加卸载准则： 对于强化材料其加载面是不断变化的，为区分加载面和屈服面，加载 ，- o ，羔d 一o d ，o ，善嵋c o d 。 加载 中性变载 卸载 ( 2 3 7 ) 加载时，塑性应变变化，日也随着变化，因此有d h 一0 ；而中性变载和卸 载这两种情况，不产生新的塑性应变，日也就不变化，因此有d h t 0 。 对于理想弹塑性材料，其一致性条件为： 咖警d ；o ( 2 - 3 8 ) d o i i 则其加卸载准则为： 、，-、 ( 口：f f ) o 弹性状态、 烈咿0 ， 却嵩d 0 ：f f 卸 加载l ( 2 3 9 ) 咖苦崛 o卸载j 由此，可看出针对硬化材料和理想弹塑性材料要分别采用不同的加卸载准 则。 二应变空间 在应变空间中理想弹塑性材料和硬化材料有同样的一致性条件，即： 抒酱d s o + 嚣d + 篆扭_ 。 叫。， 对于应变空间硬化材料和理想弹塑性材料有统一的加载准则如下： 妒= o ，却。薏岭。 伽载 灿嘞薏d 勺i o 中性交载 ( 2 4 1 ) 妒o ，却。芒d 勺枷 卸载 j 为区分加载面和屈服面，加载面用砂表示，屈服面用f 表示。 2 4 本章小结 本章讨论了弹塑性力学中增量本构模型的基本理论，对三个基本组成 部分( 屈服面、硬化规律和塑性流动法则) 作了较为详细的论述，为下面 的工作进行提供了一个殚诊墓础。 1 9 哈尔滨_ t 稃大学硕十学位论文 第3 章塑性增量本构关系 3 1 引言 一般在力学中存在两类基本量( 力类量和位移类量) ，存在三类基本关 系平衡关系、协调关系和本构关系。一般说来，应用三类基本关系方 程即可求得力学问题的解，称为力学问题解的唯一性定理。 平衡条件和协调条件在各类力学问题中是相通的，而不同力学分支的 本构关系不同。例如，弹性力学和塑性力学的平衡条件和协调条件相同， 因此，塑性力学的特点在于本构关系“”。 塑性本构关系不仅是塑性力学的重要组成部分，也是塑性理论研究中 的重要课题。 3 。2 一般加载规律简单模型的推广 为了寻求材料的变形规律，人们做了大量的试验，由此认识了材料的 变形规律，如单轴压缩和拉伸试验，向人们展示了材料单轴受力情况下的 变形规律。文n 1 1 给出了简单加载下的一维全量理论的简单本构模型，如 图3 1 所示。在应力空间，按照这种模型，可以写出如下关系： 一三o s ) ( 3 1 ) a 。l e 侣- z ) 盯一o r 一盯= l ( 3 - 3 ) 一m o 。 ( 3 - 4 ) 。一一= m a r ( 3 - 5 ) 一m o - ( 3 6 ) 式中：刚度系数 m 柔度系数。l 和m 互为倒数 d 总应力 哈尔滨t 稃大学硕十学位论文 f 总应变 o r 弹性应力 盯9 塑性应变对应的应力，即塑性应力 f 弹性应变 f ，塑性应变 式( 3 1 ) 相当于假设弹性应变和总应力之间的满足h o o k e 定律，但应指 出：o r 。- l e 。- m o 。 将式( 3 1 ) _ 一式( 3 - 6 ) 推广到一维的应力增量空间，则有： d oz l ( d e - d e , )( 3 7 ) a 矿 o 0 图3 1 弹塑性一维加载的应力应变示意图 d o l d e d u p ：d a t d o 。l de p d e = m d o d 。；d 一d e 。m d o d e ；m d c y ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) 哈尔滨丁程大学硕士学位论文 式中：l 刚度系数 m 柔度系数 d 盯总应力增量 d 总应变增量 d 矿弹性应力增量 d ，塑性应力增量 d ，弹性应变增量 d ，塑性应变增量 强调指出：d o ，l d e 。如。_ m d a 人们通过剪切、扭转和复杂应力情况下的试验，对变形材料有了进一 步的认识。若将上述关系推广到一般荷载下的多维增量本构模型，则有： d 一。槲( d h d 8 言) ( 3 - 1 3 ) d 或一l o k t d e h ( 3 - 1 4 ) d 一b 。d 二( 3 1 5 ) d e # tm o t a d c t n ( 3 - 1 6 ) d g ；- m o n d o n ( 3 - 1 7 ) a s mm “d u pc 3 - 1 8 1