（控制理论与控制工程专业论文）复杂网络的牵制同步研究.pdf

中文摘要 摘要 目前，复杂网络正以极大的魅力吸引着来自控制科学、信息学、物理学、管理 学、社会学以及经济学等不同领域的专家学者为之开展深入研究。对复杂网络的定 性特征与定量规律的深入探索、科学理解以及可能的应用，已成为当今学术界的前 沿课题。本文在前人研究工作的基础上，借助非线性系统理论、控制理论、代数图 论以及矩阵论等理论和方法，对复杂网络的同步进行了比较系统的研究。本文的主 要工作如下： 研究了定常延迟网络的同步问题。牵制控制复杂网络到同步状态存在三个基本 的也是具有挑战性的问题：( 1 ) 牵制控制策略对同步性能的影响；( 2 ) 牵制控制器的 设计对同步性能的影响；( 3 ) 耦合强度对同步性能的影响。本文针对定常延迟的复 杂网络研究了这三个问题，指出了延迟对网络同步性能的影响。对于无延迟网络只 要节点之间的耦合足够强，网络一定能够达到同步；而对于延迟网络耦合太强反而 会破坏网络的同步性能。也就是说耦合强度的取值存在最优区间，这为反同步的研 究提供了重要的理论依据。 研究了时变延迟网络的同步问题。针对连续时间和离散时间网络，通过控制网 络中的一小部分节点将整个网络牵制到同步状态。所运用的方法是在同步状态附近 对非线性系统进行了线性化处理，同时将网络的个相互关联的动力学系统解耦 为个相互独立的系统。定义了误差函数，将复杂网络的同步问题转化为系统的 稳定性问题，继而用l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函将受控网络的稳定性问题转化为验 证线性矩阵不等式的问题，得到了网络达到同步状态的充分条件。 关键词：复杂网络；牵制控制；同步 英文摘要 a b s t r a c t t h el a s td e c a d e sh a v ee y e w i t n e s s e dt h eb i r t ho fan e wm o v e m e n to fm s e a r c h i n t e r e s ti nt h es t u d yo fc o m p l e xn e t w o r k s r e s e a r c ho nt h e mi sp e r v a d i n ga l m o s ta l l d i s c i p l i n e so fs c i e n c e st o d a y ，i n c o n t r o ls c i e n c e ，i n f o r m a t i o nt e c h n o l o g y ，p h y s i c s ， s o c i o l o g y ，e c o n o n i c s ，e t c i nt h i sp a p e r ，c o m b i n i n gt h en o n l i n e rs y s t e mt h e o r y ，c o n t r o l t h e o r y ，a l g e b r a i cg r a p ht h e o r ya n dm a t r i xa n a l y s i s ，t h es y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e x d y n a m i c a ln e t w o r k si si n v e s t i g a t e ds y s t e m a t i c a l l y t h em a i nw o r kc a nb es u m m a r i z e d a sf o l l o w s ： t h e r ee x i s ts o m ef u n d a m e n t a la n dy e tc h a l l e n g i n gp r o b l e m si np i n n i n gs y n c h r o n i - z a t i o no fc o m p l e xn e t w o r k s ：( 1 ) w h a tt y p e so fp i n n i n gs c h e m e sm a yh ec h o s e nf o ra g i v e nc o m p l e x t or e a l i z es y n c h r o n i z a t i o n ? ( 2 ) w h a tk i n d so fc o n t r o l l e r sm a yb ec h o s e n t oe n s u r et h en e t w o r ks y n c h r o n i z a t i o n ? ( 3 ) h o wl a r g es h o u l dt h ec o u p i n gs t r e n g t hb e u s e di nag i v e nc o m p l e xn e t w o r kt oa c h i e v es y n c h r o n i z a t i o n ? t h e r ei sl a r g ed i f f e r e n t f r o mt h ec o m p l e xn e t w o r kw i t h o md e l a yb e c a u s eo ft h ee x i s t i n go fd e l a y t h ec o m p l e x n e t w o r kw i t h o u td e l a ym u s tb es y n c h r o n i z a t i o ni fa n do n l yi ft h ec o u p l i n gs t r e n g t hi s l a r g ee n o u g h b u tf o rt h ec o m p l e xn e t w o r k 诵md e l a ye x i s t i n gi nt h en o d ec o u p l i n g ， t h e r ee x i s t so p t i m u mi n t e r v a li nt h eo v e r a l lc o u p l i n gg r e n g t he n s u r i n gt h es t a b i l i t y ， w h i c h p r o v i d e s t h e i m p o r t a n t t h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o rt h e s t u d y o fa n t i s y n c h r o n i z a t i o n t h es y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sw i t ht i m e v a r y i n gd e l a yi n b o t hc o n t i n u o u sa n dd i s c r e t et i m ed o m a i n sa l ec o n t r o l l e db ya p p l y i n gl o c a lf e e d b a c k i n j e c t i o n st oas m a l lf r a c t i o no fn o d e si nt h ew h o l en e t w o r k t h es y s t e m so ft h en e t w o r k a r el i n e a r i z e d mo nt h ee q u i l i b r i u mp o i n t ，t h ep r o b l e mo ft h et h en xm d i m e n s i o n a l s y s t e mi sc o n v e r t e di n t ot h ep r o b l e mo ft h eni n d e p e n d e n tm - d i m e n s i o n a ll i n e a rs y s t e m s b ys o m et r a n s f o r m a t i o n ，t h es y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mo ft h ec o m p l e xn e t w o r ki s t r a n s f e r r e de q u a l l yi n t ot h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yp r o b l e m t h e n ，c o n s i d e r i n gt h ed e l a y e x i s t i n gi nt h en o d ec o u p l i n g ，t h ep r o b l e mo fs y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mi sc o n v e r t e dt o v a l i d a t i n gt h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) k e yw o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ；p i n n i n gc o n t r o l ； s y n c h r o n i z a t i o n 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本论文是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成博硕士学位论文 ：复苤圆终的奎亟回生班塞：。除论文中已经注明引用 的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表或未公开发表 的成果。本声明的法律责任由本人承担。 卜厶。 学位论文作者签名：】巨型堇 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连海事大学有关保留、使用研究生学位 论文的规定，即：大连海事大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学位论文全 文数据库( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文数据库 ( 中国科学技术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发行和提供信 息服务。保密的论文在解密后遵守此规定。 本学位论文属于：保密口在年解密后适用本授权书。 不保密( 请在以上方框内打t ”) 燃：产囱昱一名。水 日期：为矽年钿勿日 复杂网络的牵制同步研究 第1 章绪论 2 0 世纪伟大的思想家、物理学家史蒂芬霍金预言：“二十一世纪将是复杂 性的世纪。近年来伴随着网络理论、计算机技术、互联网和通讯技术的飞速发展， 复杂网络的研究已经渗透到控制科学、信息学、物理学、生命科学、社会学以及经 济学等不同的领域i l 】，已经成为当今学术界的一个前沿课题，并将随着新世纪的步 伐而迅速发展。 首先网络的发展得益于图论和拓扑学等应用数学的发展。对于复杂网络的研究 要追溯到1 7 3 6 年欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的论著中【2 1 。最初关于网络的研究都 停留在规则图上，直到2 0 世纪5 0 年代，e r d 6 s 和r 6 n y i 突破了传统图论建立了著 名的随机网络模型【3 】。这个模型一直被沿用了近半个世纪。1 9 9 8 年，w a t t s 及其导 师s t r o g a t z 突破了e r 理论的框架提出t 4 , 世界网络模型1 4 1 。该模型既刻画了现实 世界中网络的高聚集性，又具有小的特征路径长度，能够更好的反应现实中的真实 网络。这是研究复杂网络以来的一次突破性进展，一经提出就引起了科学界的轰动。 1 9 9 9 年，b a r a b 6 s i 教授及其博士生a l b e r t 提出了无标度网络模型【5 】。该模型通过增 加新的节点而实现网络连续增长，同时这些新的节点总是倾向于连结已经大量连结 的节点，这揭示了增长和择优机制在复杂系统自组织演化过程中的普遍性。 以这两项开创性的工作为标志，复杂网络的研究进入了一个新时代，由此诞生 了- 1 7 崭新的科学：网络科学【6 j 。网络研究的二大发现，以及后来真实网络的研究 表明，真实世界的网络既不是规则的，也不是随机的，而是兼具小世界和无标度特 性。这在学术界激起了千重浪，从物理学到生物学，从社会科学到技术网络，从工 程技术到经济管理等众多领域，受到了人们空前广泛的关注和重视。 1 1 复杂网络的同步研究现状 1 1 1 同步问题的描述 同步现象广泛地存在于自然界和社会生活中。如：悬挂在同一横梁上的两个钟 摆一段时间后会趋于同步；池塘里青蛙的叫声能够趋于一致；观众的掌声能够由杂 第1 章绪论 乱无章变得有节奏【7 】。网络节点间的同步化行为是复杂动态网络的一个非常重要 的性质，而关于复杂网络同步的研究是在研究混沌同步的基础上发展起来的。1 9 9 0 年，美国海军实验室的科学家p e c o r a 和c a r r o l l 提出了混沌同步的概念【引。并特别 指出只有当响应系统的条件l y a p u n o v 指数都是负值时，才能实现响应系统与驱动 系统之间的同步。由于混沌同步在生命科学、保密通信和信息工程等领域存在着巨 大的应用潜力，国内外掀起了研究混沌同步的热潮。在对混沌系统的研究中发现了 许多同步现象，例如：广义同步，完全同步，相位同步，滞后同步等。 1 1 2 复杂网络的同步判据 1 9 9 8 年，p e c o r a 和c a r r o l l 9 考虑了 l a p a l c a e 矩阵可以对角化的情形，研究了线 性耦合网络的同步稳定性问题。给出了主稳定函数判据，并要求网络中的所有节点 具有相同的动力学特性。后来，m o t t e r 等人 1 0 1 在他们工作的基础上扩展了网络的 同步判据，给出了网络的l a p a l c a e 矩阵不能对角化时的同步判据。w u 等人 11 1 研究 了非对称耦合复杂动态网络的同步，用j o r d a n 规范型矩阵代替对角化矩阵的方法给 出了耦合结构矩阵不可对角化时的同步判据。w a n g 等人 1 2 1 基于线性时滞系统的稳 定性原理，获得了带有耦合时延的加权复杂网络同步状态的稳定性判据。这些判据 可以估计实现同步稳定的时滞范围，也同样适合于不同拓扑结构和规模的复杂网 络。l i 等人 13 1 研究了带有时延的时变耦合复杂网络，并通过l y a p u n o v k r a s o v s k i i 和子空间映射的方法获得了同步稳定性的判据。 1 2 3 网络拓扑结构对同步性能的影响 研究发现网络的拓扑结构对网络同步化性能有着重要的影响。与具有规则的最 近邻耦合拓扑结构的网络相比，具有小世界拓扑结构的网络的同步化能力大大的 增强1 1 4 1 。这种同步化能力的提高，最初人们认为是由于增加了少量的长程边而导 致的网络节点之间的平均距离降低而获得的。 l u 和c h e n 1 5 研究了有向网络中非线性耦合的连续系统的全局同步。指出如果 网络中包含一个有向生成树，对于充分大的耦合强度网络可以达到同步。这就意味 着如果有一个动力系统直接或者间接地影响其它所有的动力系统，对于足够大的耦 复杂网络的牵制同步研究 合强度同步是可能的。在此基础上，c h e n 等人【1 6 】研究了一类线性耦合的复杂网络， 给出了网络达到同步时所需的耦合强度。n i s h i k a w a 等人 1 7 1 发现度分布均匀的无权 网络比度分布不均匀的无权网络更容易趋于同步状态，即使前者的特征路径长度比 后者的大。h o r i g 等人 1 8 1 发现网络的最大中介数比越小，网络越容易实现同步。然 而加权网络更能准确的描述现实网络的特性，于是学者们将注意力转移到加权网 络，例如，c h a v e z 等人 1 9 】的研究表明，加权无标度网络中的加权过程提高了同步 化能力。w a n g 等人 1 2 】研究了加权时滞网络的同步问题，基于线性时滞系统的稳定 性原理给出了适合于不同网络拓扑结构的同步判据。 研究发现网络的耦合组态也对同步化性能有着重要的影响。c h e n 等人【2 0 基于 矩阵测量的方法研究了定常、时变和切换组态的复杂网络的混沌同步，指出如果耦 合组态和内部耦合矩阵满足特定的条件复杂网络将不能实现混沌同步。h e 等人【2 l 】 研究了非线性耦合网络的同步，设计了反馈强度可以自动调整的线性控制器。通过 反馈强度的自动调整使不同拓扑结构的网络达到完全同步。x i o n g 等人 2 2 1 提出了 混杂耦合网络的同步问题。引用奇异混杂耦合系统来描述复杂网络，基于l y a p u n o v 稳定性原理获得了该网络同步的充分条件。“等人 1 3 1 分析了时变延迟复杂网络的 同步问题，得到了该网络局部同步的充分条件。该条件容易实现且适用于离散系统。 1 1 4 网络特征量对同步性能的影响 聚类系数是用来表征网络中的一个节点的邻居同样也相互为邻居的趋势。它 是一个影响网络同步化能力的重要参数。m c g r a w 等人 2 3 】研究了群聚系数对无权 网络的相位同步的影响。他们发现群聚系数可以提高连通度高的节点的同步化能 力，即使它抑制了无标度网络的全局同步能力。w u 2 4 等人研究了网络在不同群 聚系数下的同步化能力。发现网络的群聚系数越大网络的同步化能力越差。 n i s h i k a w a 等人 1 7 】在研究不同度分布的网络的同步能力时惊奇的发现：网络 的度分布异质性越高网络越难以达到同步。这个结论说明保证实际网络同步的耦合 强度的取值范围很小，这同研究异质性对网络能控性的影响所得的结论惊人的相 似。然而，m o t t e r 等人【2 5 】的研究表明：一个加权网络的异质性变高而该网络的同 步化能力却没发生改变。值得注意的是该加权网络在网络生成过程中并没有改变边 第1 章绪论 的权值。但是，我们通常所遇到的网络边的权值会在网络的生长过程中发生改变， 例如在交通流网络中，随着新边的加入网络中原有边的权重会作相应的调整。 人们发现即使具有相同的幂律指数网络仍然可能具有不一样的内部结构。 s o t t e n t i n o 等人 2 6 1 的研究发现异配结构的网络更易同步。在此基础上，h a o 等人 2 7 】 研究了同步性能、网络异质性和连接密度之间的关系。研究表明：( 1 ) 在i 型网络中， 当连接密度小于0 0 2 5 时网络的同步性能与异质性相互独立；当连接密度大于0 0 2 5 时网络的同步性能与连接密度成正比，而异质性由度分布曲线的斜率决定。( 2 ) 在 i i 型网络中，当连接密度小于0 0 2 5 时同步性能随着连接密度的增大而急剧增强， 而与异质性的关系不太明显；当连接密度大于0 0 2 5 时同步性能没有明显的增强。 1 2 复杂网络同步的牵制控制研究现状 当网络通过相互之间的耦合不能达到同步或者无法了解节点之间具体的耦合 关系时，就需要引入控制手段来解决。理论上，我们可以采取对网络中每一个节点 都施加控制的方法使网络达到同步，但这种方法资源花费太大不切实际。上世纪 9 0 年代，牵制控制作为一种有效的控制手段，开始被用于规则网络的时空混沌控 制中 2 8 】。牵制控制最原始的基本思想是直接控制网络中的一部分节点，来达到有 效抑制整个网络的时空混沌行为的目的。2 0 0 2 年w a n g 和e h e n 2 9 最先将牵制控制 策略引入到无标度动态网络的控制中，利用无标度网络结构的非均匀性，有针对性 地对网络中的少数关键节点施加状态反馈控制，有效地将规模庞大的无标度混沌动 态网络镇定到平衡点，获得了很高的控制效率。 “等人 3 0 1 研究了随机网络和无标度网络的牵制控n 1 = 7 题，发现通过引入少量 的局部负反馈控制器能够将该线性耦合网络牵制到同步状态。之后，z h o u 等人【3 1 】 研究了复杂网络的自适应全局同步，给出了牵制控制一个复杂动态网络到同步所需 的牵制节点数和耦合强度。其优点是适合于非对称耦合矩阵而且随机选择牵制节 点，但他们没有考虑到延迟的影响。在此基础上，c h e n 等人 1 6 i 正n f j 了单一控制器 能够将一个耦合复杂网络牵制到同步，并给出了能够确保网络中振荡器达到同步的 充分条件。w a n g 等人 3 2 1 考虑了延迟的影响，针对一类加权网络设计了自适应牵 复杂网络的牵制同步研究 制控制律，有效地将网络控制到同步状态。z h o u 等人 3 3 】针对线性和非线性耦合结 构的网络设计了相应的自适应牵制控制律，得到了确保受控网络局部和全局稳定的 同步准则。w u 等人 3 4 】基于牵制控制的方法研究了复杂网络的聚类同步，引入单 一控制器将聚类同步问题转化为牵制控制问题并给出了网络模型，同时也得到了实 现聚类同步的充分条件。l u 等人【3 5 】研究了耦合强度和节点动力学参数具有自适应 性的复杂动态网络的同步与牵制控制问题。 s u n 等人【3 6 】研究了时延耦合复杂动态网络的自适应全局同步，他们基于 l a s a u e 不变性原理得到了自适应全局同步的准则。同时文献的分析结果表明：增 加了自适应牵制控制器后，复杂动态网络能够渐进同步到一个给定的轨迹。在文献 3 7 中，他们又进一步研究了基于牵制控制器的时延耦合复杂网络的全局同步。牵 制部分节点将复杂网络控制到全局同步状态，但所用的控制器数要明显少于前者。 最近，y u 等人 3 8 】总结了牵制控制复杂网络到同步状态所存在的三个基本的也是 具有挑战性的问题。对于一个给定的复杂网络：( 1 ) 选择什么样的牵制控制策略能 够实现其同步；( 2 ) 如何设计牵制控制器才能够实现其同步；( 3 ) 多大的耦合强度能 够实现其同步。基于这三个问题的探讨他们得出令人惊讶的结论：( 1 ) 通过耦合强 度的自适应调整，基于线性反馈控制策略的任意一类典型复杂网络都能够实现同 步。( 2 ) 当耦合强度比较小的时候，应首先牵制度小的节点以达到同步，而传统的 观点则认为首先要牵制度最大的节点。( 3 ) 在高维空间的条件下给出的控制器的牵 制条件，可以降低至低维空间的牵制条件而不需要重新设计牵制控制器。 1 3 相关研究问题 1 3 1 一致性问题 一致性问题是与同步问题密切相关的一类问题。在复杂网络中，同步性和一致 性描述了系统节点的状态是否趋于一致的两个不同侧面。同步性主要侧重于系统过 程的研究【1 4 】，而一致性侧重于系统状态的分析【3 9 】，同步性和一致性的研究可以 相互补充、相互促进。关于一致性的研究最早始于管理科学【4 0 】，并且一直是分布 式计算的核心问题 4 l 】。v i c s e k 等人 4 2 提出了一种简单的模型来模拟群体自组织 第1 章绪论 现象的涌现。在他们的模型中，个体以一个固定的速率移动，移动的方向为它邻域 内个体( 包括自身) 移动方向的平均值加上一个随机噪声。j a d b a b a i e 等人【4 3 】对 v i c s e k 模型的稳定性给出了严格的数学证明并提出了领导者跟随者模型。他们考 虑了切换的拓扑结构，通过利用非负矩阵的一些性质得到了系统稳定的充分条件。 他们的结论表明系统在连通的拓扑结构下可以达成一致。随后，m o r e a u 给出了一 致性问题的充要条件条件包含生成树 4 4 】。并在稳定性分析中引入了集合值 l y a p u n o v 理论，观察到更多的通讯并不一定能加快系统的收敛速度，有的时候甚 至会破坏它。 o l f a t i s a b e r 4 5 研究y 4 , 世界网络中的一致性问题，发现对规则网络中的边进 行随机化重连产生小世界网络的过程中，重连概率微小的增加会大大加快系统收敛 一致的速度。h a t a n o 等人 4 6 】研究了随机网络中的一致性问题，该文献给出了一种 时变的随机网络模型，其任意节点之间以一定概率进行连边，随着概率的增大一致 性收敛速度会变快；如果固定概率不变，随着网络规模的增大一致性收敛速度也会 变快。w u 4 7 1 将他们的结论推广到了有向随机网络，并得到了经典随机网络模型 上的稳定性的充分条件。此后，j a d b a b a i e 等人 4 8 】又推导出了随机网络上一致性问 题的充要条件。 1 3 2 群集和蜂拥控制问题 群集是一个由大量自治智能体组成的集合，而群集问题的研究源于生物界无需 集中控制就会产生群集的现象，这与复杂网络的同步现象密切相关。研究群集问题 具有重要的意义，它与复杂网络同步的综合研究有助于将同步化理论应用于实际工 程领域。例如，舰船的编队控制、多机器人的协调控制以及无线传感器的网络融合 等方面。关于群集问题的建模与仿真方面的研究成果比较多。其中c z i r o k 等人 4 9 】 提出了群集问题的一维模型，模拟了智能体通过局部交互使整体呈现出涌现行为。 g n m b a u m 等人【5 0 】使用统计方法分析动物中的群体行为。然而关于群体行为严格 的数学分析的成果才刚开始出现，主要侧重于对网络拓扑结构和收敛性的分析。 蜂拥是有共同目标的一群智能体通过相互作用所涌现出的整体行为【5 1 】。蜂拥 复杂网络的牵制同步研究 控制问题的目的是使得个体的速度趋于一致；个体之间的距离保持一个固定值；个 体在运动过程中不发生碰撞。这也与复杂网络的同步现象密切相关，二者的综合研 究将有助于将同步化理论应用于实际工程领域。例如，特定环境下移动传感器网络 的分布问题、负载的自动并行以及执行各项军事任务等。r e y n o l d s 5 2 首次提出了 在计算机中模拟蜂拥行为的蜂拥控制算法，并提出了三条基本法则：分离性、聚合 性和速度匹配性。t a n n e r 等人 5 3 1 在r e y n o l d s 研究的基础上设计了一个分布式控制 器，使得系统在切换的拓扑结构下仍然可以实现速度一致，并且个体的相互距离稳 定在一个常数值。o l f a t i s a b e r 5 1 讨论了带障碍物的蜂拥控制问题，在控制器的设 计上参考了势能函数的思想。s u 等人 5 4 】在o l f a t i s a b e r 工作的基础上将虚拟领导 者的思想引入到蜂拥控制问题。 1 4 本文的主要工作和内容安排 复杂网络广泛的存在于自然界和人类社会中，而在人们普遍关注的复杂网络的 热点研究领域中，同步问题是其重要的研究内容之一。本文结合控制学科的特点选 择了这个领域中的控制问题进行研究，主要完成了以下两方面的工作： ( 1 ) 定长延迟网络的同步研究 首先以简单的定长延迟网络作为研究对象，通过对网络中的部分节点施加状态 反馈控制，很好的将整个网络牵制到同步状态。基于l y a p u n o v k r a s o v s k i i 稳定性 理论，得到了与延迟无关的充分条件；通过进一步的研究，给出了耦合强度指标以 及控制策略和牵制节点的选择方法。最后以全局耦合网络、星型耦合网络和无标度 网络作为仿真实例，验证了所得到的理论。但是这部分得到的结论与延迟无关，具 有一定的保守性；而且给出的延迟是定常的，与实际网络存在差别。 ( 2 ) 时变延迟网络的同步研究 这部分针对时变延迟网络，充分考虑了延迟量f o ) 的信息，将复杂网络的非线 性动力学节点在同步状态附近进行了线性化处理，从而简化了网络节点的动力学特 性；然后将复杂网络的个相互关联的动力学系统解耦为个独立的动力学系统， 第1 章绪论 使得网络复杂的动力学特性变得容易处理。在此基础上，我们对每个独立的系统进 行分析，得到与延迟相关的的充分条件。 本文的主要内容安排如下：第1 章是绪论，论述了复杂网络同步及其相关问题 的研究进展和研究现状。描述了现实生活中的各种同步现象，重点介绍了网络同步 的牵制控制思想，阐述了与同步问题密切相关的些前沿领域。第2 章介绍了本文 涉及到的基础知识，包括网络的统计特征量和复杂网络的经典模型。第3 章研究了 定常延迟网络的同步问题，得到了与延迟无关的全局同步的充分条件，并给出了耦 合强度指标以及控制策略和牵制节点的选择方法。第4 章以时变延迟网络为研究对 象，应用线性化和解耦的方法简化了问题的处理，得到了与延迟相关的局部同步的 充分条件。第5 章对本文进行了总结，并给出了后续工作。 复杂网络的牵制同步研究 第2 章复杂网络的理论基础 定量描述和定性分析用于刻画复杂网络拓扑结构和动力学特性的特征量是研 究复杂网络的关键，它直接影响到复杂网络的建模、分析与控制等的研究。通过对 文献引用网、新陈代谢网、电力网、电话呼叫网等现实网络进行统计分析，人们提 出了许多标志复杂网络拓扑结构特征的统计参量和度量方法。为了能够更好的理解 这些统计参量的实际意义需要根据这些统计特性建立合适的网络模型。为了后续章 节能够更好的论述我们所做的工作，现简要介绍这些网络的基本概念和基本模型。 2 1 网络及其统计特征量 2 1 1 网络 网络在数学上用图来表示，复杂网络可以用图论的语言和符号加以精确的描 述。一个具体的网络可以由点集v = 1 , 2 ，n 和边集e v xv 组成的图 g = ( v ，e ，a ) 来描述。其中矩阵a = ( a 。) r 肌是描述节点与边之间关系的邻接矩 阵( a d j a c e n tm a t r i x ) ，边集中的每一条边都有点集中的一对点与之对应。点集中的 每一个元素都表示系统中的基本单元，边集中的每一对元素都表示单元之间的相互 作用或关系。例如，对于公路网络，节点就表示交叉路口，边就表示行车道路。 如果边集中的节点对都是没有顺序的，这样的网络称为无向网络，否则称为有 向网络。如果每条边的权值都相同，那么该网络就称为无权网络，否则称为加权网 络。在无向网络中，如果任意两个节点之间都有路径相连，则称该网络是连通的。 在有向网络中，如果任意一个节点都有一条有向路径与其他节点相连，则称该有向 网络是强联通的。 2 1 2 度与度分布 度是描述网络局部特征的基本参数。网络中节点f 的度k ，指的是与该节点连接 的边数，因此一个节点的度越大，说明该节点在网络中的地位也越大。度在不同的 网络中所代表的含义也不同，例如，在城市航空网络中，度表示城市之间的航线的 多少和重要程度，度越大的城市其重要性就越大，反之亦然；在社会网络中，度可 第2 章复杂网络的理论基础 表示个体的作用力和影响程度。而度分布作为对网络模型进行分类的重要依据，是 网络研究中很重要的特征量，它标志了网络的重要演化机制。度分布表示节点度的 概率分布函数p ( k ) ，指的是从网络中随机选取一个节点，该节点具有k 条边的概 率。度分布函数反映了网络的宏观统计特征。通过对大量真实网络的实证研究发现， 这些网络的度分布具有幂律形式，即遵从规律p ( k ) = c k ，其中y 一般介于2 - 3 。 于是将这种具有幂律型度分布的网络称之为“无标度”网络。在这样的一个大规模 网络中大部分的节点度相对较小，只有少部分的节点度较大，因此无标度网络是非 均匀网络。 2 1 3 聚类系数 聚类系数用来衡量一个复杂网络的集团化程度，它表征网络性质的另一个重要 特征参数。该概念有其深刻的社会根源。对社会网络而言，集团化形态是一个重要 特征，集团表示网络中的朋友圈或熟人圈的凝聚力的程度，集团中的成员往往相互 熟悉，聚类系数就是刻画这种群集现象的集团化属性。 假设网络有个节点组成，其中第i ( 1 f ) 个节点通过k ，条边与其它七，个节 点相连接。则这k ，个节点之间最多可能存在k ，( 七。- 1 ) 2 条边。这毛个节点之间实际 存在的边数巨与t ( j j 。- 1 ) 2 的比值定义为节点i 的聚类系数c ( i ) ，即 c ( d 2 东南。 ( 2 j ) 网络的聚类系数c 则是整个网络中所有节点的聚类系数的平均值。即， c 。专善印 ( 2 2 ) 显然0 c 1 ，当且仅当网络中没有任意三个节点相互连接时c = 0 ，比如平均度 为2 的环形网络；而c = 1 代表的是全局耦合网络，即网络中的任意两个节点都直 接相连。由此我们可以看出节点的聚类系数反映该节点的一级近邻之间的集团性 质，近邻之间联系越紧密，该节点的聚类系数越高。 复杂网络的牵制同步研究 2 1 4 特征路径长度 网络中，两个节点i 和，的距离定义为连接这两个节点的最短路径的边数，其 中所有节点对之间的最大距离称为网络的直径。网络的特征路径长度( 也称为平均 路径长度) 为所有节点对之间的平均距离，它衡量的是网络的传输性能与效率。平 均路径长度的计算公式为： 4 儿= z = 二i d f ， ( 2 3 ) n ( n 1 ) ，筋。 、7 式中d 。，为节点f 和的距离，为网络的规模。 复杂网络研究的一个有趣的发现是绝大多数大规模真实网络的特征路径长度 惊人的小，称之为“小世界效应”。这一提法来源于美国哈佛大学的心理学家 m i l g r a m 的著名的“小世界”实验：实验要求参与者把一封信传给他们熟悉的人之 一，使这封信最终传到指定的人，藉此来探明熟人网络中路径长度的分布。结果表 明平均传过人数仅为六。这一实验也正是流行的“六度分离”概念的起源。 前面介绍的这三个基本概念度分布、聚类系数和平均路径长度称为复杂网 络的三个最基本的拓扑结构特性。大量的实证研究表明，现实世界中的许多网络具 有三个共同特性：节点度服从幂律分布；群聚程度高；节点间平均路径距离小。 2 1 5 同配性与异配性 随着对复杂网络拓扑结构研究的不断深入，人们发现度分布的幂律指数并不能 完全表征网络的内部结构。即使网络具有相同的幂律指数，甚至具有相同的度序列， 其内部的连接结构仍然可能不一样。比如，在不改变节点度分布的情况下，可以使 度大的节点倾向于和其它度大的节点连接。我们把网络中的这个重要的结构特性称 之为节点之间的相关性。如果网络中的节点趋于和它近似的节点相连，就称该网络 是同配的；反之，就称该网络是异配的。网络同配性( 或异配性) 的程度可用同配 系数，来刻画。，- 0 表示整个网络呈现同配性结构，度大的节点倾向于和度大的 节点相连；，- 0 是延迟量。 火工，( ，) ) 是一个描述节点动力学特性的连续可微的向量函数，常数口 0 是网络的 耦合强度。常数对称矩阵r = ( ) r “册是各个节点状态变量之间的内部耦合矩阵， 这里假设每个节点的内部耦合矩阵是完全相同的。耦合矩阵b = ( 6 ：f ) r u u 代表网 络的拓扑结构，矩阵结构的不同表示网络拓扑结构的不同。若节点f 和( f ) 之间有连接，则= = 1 ；否则= = 0 ，耦合系数满足二。6 1 f = o ，如果节 点的度毛定义为与第i 个节点连接的边的数目，则 n n 6 ：f = b j i = t ， = i ，fj = l ，j f 如果当r 专e o 时有 ( 3 2 ) 而( f ) ，而( f ) ，h ( f ) 专s ( f ) ， ( 3 3 ) 就称网络( 3 1 ) 达到完全同步。由于分散耦合条件，同步状态s ( f ) 满足 j ( f ) = 厂( s ( f ) ) ，( 3 4 ) 这里，s ( ，) 可以是孤立节点的平衡点、周期轨道、甚至是混沌轨道。 当网络通过相互之间的耦合不能达到同步，或者无法了解节点之间具体的耦合 关系时，就需要引入控制手段来解决。理论上，我们可以采取对网络中每一个节点 都施加控制的方法使网络达到同步，但这种方法资源花费太大、不切实际。在本文 第3 章定常延迟网络的牵制同步研究 中，为了实现目标( 3 3 ) ，我们采取对网络中的部分节点o w ( o 0 ， n l i = 1 ，z 能够达到充分大的值，则m d 0 ，r ( x ) 一s 丁( x ) q 。1 ( x ) s ( x ) 0 ， ( b ) r ( x ) o ，q ( x ) - s ( x ) r 。1 ( x ) s7 ( x ) 0 。 ( 3 1 2 ) 3 2 复杂网络的同步稳定性分析 这一节是本章核心内容，本章的主要目的是在定常延迟的条件下更加直观的分 析上述三个问题：( 1 ) 牵制控制策略对同步性能的影响：( 2 ) 牵制控制器的设计对同 步性能的影响；( 3 ) 耦合强度对同步性能的影响。在分析这三个问题之前我们需要 得到该定常延迟网络达到全局同步的充分条件。 3 2 1 同步稳定性分析 定理3 1 如果满足下列条件： r l j 凡a b 慧f 乞r 嚣i o b l o 一| or j v 7 则受控网络( 3 5 ) 达到全局同步。 这里d = a i a g ( a l ，刃，9 ，q ) ，凡是维的单位矩阵，o 是标准k r o n e c h e rp r o d u c t n - i 证明考虑如下的l y a p u n o v k r a s o v s k i i 函数： y ( f ) = 善e l ( 州，) + 芝。j ! _ r e f ( 1 ) l - e ，l u ) d a ， ( 3 1 4 ) 易知，它是正定的。对其沿着式( 3 6 ) 的解轨迹求导可得 矿：n ( ，) 色( ，) + n ( ，一( ，) + n ( ，) _ ( ，) 一n ( ，一f ) 1 1 q o f ) 第3 章定常延迟网络的牵制同步研究 这里 = e ( f ) 【厂( _ ( f ) ) 一厂( s ( f ) ) + 口r e ( t - r ) - d ，f e 。( ，) 】 i = lj = l nn + 厂( x ，o ) ) 一厂( j ( f ) ) + 口6 f e ( t - r ) - d f e ，( f ) 】r 巳( f ) + e r ( o r e 。( t ) - e r ( t - r ) f e ，( r r ) i = 1i = 1 nn | o ) 卵q o ) + 口r 巳( ，一f ) 一z r q o ) j + 卵q o ) + 口r e o f ) 一4 r q ( ，) 】r q ( ，) i = 1i = 1 nn + e r ( t ) f e , ( t ) - e t ( t - r ) r e , ( t - r ) = e t o ) ( 甜0 r ) p o ) + p 丁o ) ( 研p r ) 7 e ( t ) + a e ，o ) ( b p r ) e o f ) 我们定义 从而得到 一p 7 o ) ( d o r ) p ( f ) + 卯7 o f ) ( 召 r ) 7 g o ) 一e r o ) ( d 0 r ) r p o ) + p r ( ，) ( ，p r ) p ( ，) 一e r ( ，一f ) ( ，圆r ) p o f ) ( 3 1 5 ) p ( r ) = ( p f ( f ) ，e r ( t ) ，p ：( f ) ) r ， 孝( ，) = p 7 ( ，) e r ( t f ) 】r ， ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 心t ( t ) r d 淼2 r 篡蔷b ( 3 1 8 ) 由条件( 3 1 3 ) 知矿 0 就意味着复杂网络中的每一个节点都需要从外部吸收能量来使网络达到 稳定，这也就是说复杂网络本身在不施加控制的情况下是不能够达到同步的；如果 0 0 就意味着网络中的节点已经达到稳定了，这也就是说复杂网络本身就能够达 到同步。本章没有限制0 值的正负，这点与文献【3 8 】不同，这一点体现了延迟网络 与普通网络的区别，在下文中还有详细的说明。 推论3 1 假设r 是正定矩阵