（固体力学专业论文）有限元病态问题研究.pdf

西南交通大学硕士学位论文 摘要 、， 、( 有限元病态问题表现为在数学模型建立、程序编制、单元网格划分等都证 确的前提下，计算不出结果或者计算结果很差，譬如极不均匀弹性体、极端各向 异性体、几乎不可压缩或不可压缩弹性体、板的“自锁现象”等。该病念问题 直是有限元研究中的一大难点，国内夕 许多学者进行了大量的研究，但并未获得 完善的解决方法。 以广义混合变分原理( 即带参数的变分原理) 为基础的广义混合有限元法， 简称为g m f e m ，对解决有限元病态问题具有重要的意义。矿 本文根据荣廷玉给出的几乎不可压缩或不可压缩弹性钵问题广义混合变分原 理g m v p ，建立了二维几乎不可压缩或不可压缩弹性体问题广义混合有限元 g m f e m 列式，算例分析表明此有限元法不仅能很好地解决几乎不可压缩或不可 压缩弹性体阀题，且适合于任何可能的泊松比情况( 如v 为0 3 ) 。 本文还根据荣廷玉给出的r e i s s n e r 板广义混合有限元g m f e m 的一般形式建 立了r e i s s n e r 板的广义混合有限元g m f e m 模型的具体形式。研究表明：此新模 式，不但使自锁问题得以自动消除，也同样适于中厚板的分析；数值解精度非常 高、稳定；用较少的单元数就可获得很高的数值解精度，大大地降低了计算工作 量，具有很大的实用性。此有限元模式使得厚、薄板的数值分析问题获得一个完 满的解决方案。本文还从理论上分析了r e i s s n e r 板g m f e m 能够克服r e i s s n e r 板 常规位移有限元中的剪切自锁现象的原因。 【关键词】有限元病态问题广义混合变分原理广义混合有限元 护矽带喇型宿或不可压缩弹性体r e i s s n e r 板剪切自锁现象 卜 | 两南交通人学硕士学位论文 a b s t r a c t g i v a nt h ec o n d i t i o n s ，s u c ha sc o r r e c tm a t h e m a t i c a lm o d e l s ，p r o g r a md e s i g n s ，a n d e l e m e n tm e s h i n g , n or e s u l to rp o o rr e s u l ti sp r e s e n t e di ni i i c o n d i t i o n e df i n i t ee l e m e n t p r o b l e m s ( f o re x a m p l e ，e x t r e m e n o n - u n i f 0 1 t ne l a s t i c b o d y ，a n i s o t r o p y ，n e a r l y i n c o m p r e s s i b l eo ri n c o m p m s s i b l ee l a s t i cb o d y ，s h e a rl o c k i n gi np l a t e ，e t c ) t h e i i i - c o n d i t i o n e dp r o b l e m sa r ea l w a y st h eo n eo fm o s td i f f i c u l t yp r o b l e m so f f i n i t ee l e m e n t r e s e a r c h e s ，a n da r ew i d e l yr e s e a r c h e db ym a n yh o m ea n da b r o a dr e s e a r c h e s y e tn o p e r f e c tm e t h o d i so b t a i n e d g e n e r a l i z e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ( g m f e m ) ，b a s e do ng e n e r a l i z e dm i x e d v a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s ( g m v p s ) ，a l s oc a l l e dp a r a m e t e r i z e dp r i n c i p l e s ，o r i g i n a t e db y r o n gt i n g y ui n1 9 8 1 a r ev e r yi m p o r t a n t t od e a lw i t ht h ei 1 1 一c o n d i t i o n e dp r o b l e m s 1 nt h i sd i s s e r t a t i o n t w ot y p e so fi 1 1 一c o n d i t i o n e dp r o b l e m sa r er e s e a r c h e d t h e ya r e n e a r l yi n c o m p r e s s i b l eo ri n c o m p r e s s i b l ee l a s t i cb o d yp r o b l e m a n dr e i s s n e rp l a t es h e a r l o c k i n gp r o b l e m w ee s t a b l i s h e dt w o d i m e n s i o nn e a r l yi n c o m p r e s s i b l eo ri n c o m p r e s s i b l ee l a s t i c b o d yg m f e m b a s e do nn e a r l yi n c o m p r e s s i b l eo ri n c o m p r e s s i b l ee l a s t i cb o d yg m v p o r i g i n a t e db yt i n g y ur o n g i n1 9 9 7 t h ef a c ti sp r e s e n t e db yc o m p u t i n ga n a l y s e st h a t n e a r l yi n c o m p r e s s i b l eo ri n c o m p r e s s i b l ee l a s t i cb o d yp r o b l e mi sw e l ls o l v e da n do t h e r e l a s t i cb o d yp r o b l e m so fa v a i l a b l ep o i s s o nr a t i o n s ( s u c ha s0 3 ) c a nb es o l v e d w e p r e s e n tt h ec o n c r e t er e i s s n e rp l a t eg m f e m b a s e do nt h eg e n e r a lr e i s s n e r p l a t eg m f e m ，w h i c h a l ee s t a b l i s h e da c c o r d i n gt or o n g so r i g i n a t e dr e i s s n e rp l a t e g m v p b yr o n gt i n g y ui n 1 9 9 7 w ec a nd r a wt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n si nt e r m so f r e s e a r c h e s ： i ：r e i s s n e rp l a t es h e a rl o c k i n gp h e n o m e n o ni sr e m o v e da u t o m a t i c a l l ya n dt h i c k 一 p l a t ea l s oc a n b e a n a l y z e dc o r r e c t l y i i ：t h ep r e c i s i o no fs o l u t i o ni si m p r o v e dg r e a t l ya n dt h es o l u t i o ni ss t a b l e i i i ：t h es a t i s f a c t o r yp r e c i s i o no fs o l u t i o nc a l lb ep r e s e n t e di nt e r m so fc o a r s e e l e m e n tm e s h e s o f c o u r s e ，t h ec o s t so f c o m p u t i n ga r ed e c r e a s e dg r e a t l y t h e r e f o r r e i s s n e r p l a t e g m f e mc o m p l e t e l ys o l v e dt h en u m e r i c a la n a l y s i s p r o b l e m so f b o t ht h i c ka n dt h i np l a t e i ti ss i g n i f i c a n ti ne n g i n e e r i n g t h er e a s o nw h y r e i s s n e rp l a t eg m f e mc a nc o n q u e rs h e a r l o c k i n gp h e n o m e n o ni sa l s oa n a l y z e d 【k e y w o r d s l f i n i t ee l e m e n t s ，1 1 1 - c o n d i t i o n e dp r o b l e m s ，g e n e r a jm i x e dv a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s ，g e n e r a l i z e dm i x e d f i n i t ee l e m e n t s 。n e a r l yi n c o m p r e s s i b l e o r i n c o m p r e s s i b l e e l a s t i c b o d y ，r e i s s n e rp l a t e s h e a r l o c k i n g p h e n o m e n o n 2 西南交通大学硕士学位论文 u ，v c ( 置) u ， e 口 ，e 口州 ( 。) & i e v g s p ，s 。 p f t “o 一。 口 f 艿 兀 符号说明 x 方向及y 方向的位移 矩阵置的条件数 位移矢 弹性理论的应变张量 工程理论的应变张量 弹性张量 柔性张量 表示对，的偏导数 k r o n e c k e r 符号 弹性模量 泊松比 剪切弹性模量 绘定力的边界条件及给定位移的边界条件 s r 上给定面力 给定体力 瓯上给定位移 边界s 上的单位外法矢 体积应变 体积应力 变分算子 弹性理论变分原理之泛函 西南交通大学硕士学位论文 n i d ， d 。 嵋 四 w ，y x ，矿v d m 。，m y ，m 斟，q x qy 村，q 啦 4 口刍 毛 丑。 k ，置8 工程理论( 如扳) 变分原理之泛函 分裂因子 带参数的弹性矩阵 带参数的拉氏乘子 板的弯曲刚度 板的厚度 板的跨度 弹性区域 插值函数，即形函数 几乎不可压缩或不可压缩弹性问题中结点f 的位移矢量 几乎不可压缩或不可压缩弹性问题中单元结点位移矢量 几乎不可压缩或不可压缩弹性问题中单元混合矢量 几乎不可压绾或不可压缩弹性问题中应变矩阵 r e i s s n e r 板中面任一点的挠度及该点矢量场y ( 墨y ) 分量 r e i s s n e r 板广义位移矢 r e i s s n e r 板广义应变分量矢 r e i s s n e r 扳内力 r e i s s n e r 扳内力分量矢 r e i s s n e r 板结点f 的位移矢量 r e i s s n e r 板单元结点位移矢量 r e i s s n e r 板单元混合矢量 r e i s s n e r 扳弯曲应变矩阵 r e i s s n e r 板弯曲剪切应变矩阵 单元刚度矩阵及总体刚度矩阵 j卢卫d厅三y 西南交通大学硕士学位论文 k 。，置。，置。= 置： p p z g 1 c g i v l f e m 单元刚度矩阵的分块矩阵 几乎不可压缩或不可压缩弹性问题中整体坐标系外力混合矢 r e i s s n e r 板整体坐标系外力混合矢 整体坐标系中位移、应( 内) 力混合矢 r e i s s n e r 板的横向荷载 r e i s s n e r 板单元中的折减系数 i u 西南交通大学硕士学位论文 第一章概述 1 1有限元发展的简单回顾 有限元法( t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ) 起源于结构分析矩阵法，是随着计算机技术发展 而发展起来的一种求解边值问题或初值问题的数值计算方法。有限元法的基本思想是将连续 的求解区域离散为一组有限个、且按一定的方式相互联结在一起的单元的组合体。由丁单元 能按不同的联结方式进行组合，且单元本身义可以有不同的形状，冈此可以对儿何形状复杂 的求解域进行离散建立单元模型。有限元法利蹦在每一个单元内假设的近似晒数来分片地表 示全求解域上待求的未知函数单元内的近似幽数通常由朱知场函数或及其导数在单元的并 个结点的数值和其插值函数来表达。这样一米，在一个问题的有限元分析中，未知场幽数缄 及其导数在单元的务个结点上的数值就成为新的未知馘( 也即白由度) 从而使一个连续的无 限白由度问题变成离散的有限白由度问题。一经求山这些朱知j 精，就可以通过插值函数计算 出备个单元场幽数构近似值，从而得到整个求解域上的近似解。随着单元数日的增加，也即 单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似棵度将不断 改进。若单元是满足收敛要求的，在理论上近似解将最终收敛丁i 精确解。有限元法广泛麻川 丁i ：样问题的强皮、动力、稳定分析年i f 可靠性估计等方面，是一种麻州r 泛，十分有效的数 值计算方法。 从应h j 数学的角度米看有限元法基本思想的提山，可以追溯到c o u r a n t 【1 1 在1 9 4 3 年 的i ：作，他第一次尝试麻川定义在三角形区域上的分片连续函数年l i 最小势能原理相结合，米 求解s t v e n a n t 扭转问题。一些廊川数学家、物理学家年l f i ：槲师曾都涉及到有限元的概念。 只是1 9 6 0 年以斤，随着电子计算机的广泛虑川和i 发展，有限元法的发展速度才显并加快。 t u r n e r 、c l o u g h i 2 1 等人在1 9 5 6 年分析e 机结构时将矩阵位移法推j “麻i 丁弹性力学平面 问题，第一次给i u 了_ j 三角形单元求得平面麻力问题的止确解答。1 0 年c l o u g h 3 l 进一步处 理了平面弹性问题，弗第一次提山了“有限单元法”的名称。f r a e u sd e v e u b e k e 1 在1 9 6 4 年将变分暇理州作有限元基础建立了有限元平衡模型，接着卞学璜【”( 1 9 6 4 ) 建立】有限元杂 交廊力模型h e r r m a n n 【7 i 住1 9 6 5 年h | h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理建立起有限元混合模璀。 西南交通大学硕十学位论文 根据所选基本未知量汞i 理论基础的不同，文【8 】认为有限元模型可以分为以f j d 种种类 型：( 1 ) 以何穆为基本变鬣，以虚位移原理城最小势能原理为基础的协调模型；( 2 ) 以应力 为基本变埘以虚麻力原理缄最小余能原理为基础的平衡模型；( 3 ) 以r 义变分原理为基础， 墩部分廊力和部分能移为变培的混合l q 模型；( 4 ) 以修止的余能原理为基础，在单元内假殴 麻力，在单元的边界上假漫位移的麻力杂交模型其后由有与之对应的协穆杂交模刑：( 5 ) 近 、 年米义发展了以广义变分原理为基础的杂交一抛合璎，如多变量拟协调元1 9 , 1 0 1 。 所有这些有限元模挝，由丁能能及余能成分在泛函中所i i 的比例是确定的，一但问题及 单元划分确定，其有限元总体刚度矩阵确定了总体刚度矩阵的条什数也陋之确定计算精 度当然也是确定的。有时难以适麻弹性体的笄种高条什数的有限元瘸态问题。如材料极不均 匀弹性体，极端各向异性体，不可压缩或儿乎不可压缩弹性体，网格划分时的畸变单元，板的 “白锁现象”等。有限元病态问题表现为在有限元程序编制、数据输入笛均无误的情况卜， 计算结聚误筹很人，葵至面目全诈；若州迭代法，则很难收敛，甚至不收敛。 以往的学者曾采取f 述手段来尝试克服有限元病态问题： ( 1 ) ：结构离散化时，若包含某些畸变单元( 如对平面问题的三角形单元或四边形单 元来说，就是单元的高宽比 艮人) 或采川不均匀网格，都将使绡构刚度矩阵的病态增加，1 f r e d i 川作了划方面的理论分析。如文f 1 2 - 1 6 j i t 白适麻网格加密年多重网格方法对此类问题作 了较详细的研究。 ( 2 ) ：如果一个结构的某些单元或子结构比另外部分的刚度人山很多时也可能导致刚 度矩阵产生病态对丁这一类结构往往采川混合方法i ( 力法平位移法的组合) 进行分析。 ( 3 ) ：细分网格、结构本身根人都可能导致结构总的白由度数很人，冈为舍入误蒂的 积累，误著常常跟方税的数日相_ 芙，如果方程的阶数缀人( 也就是结构总的i 1 由度数很人) ， 对丁给定的计算机字托( 烈精度域单精度) ，就有可能发生病态。 这些解决病态问题的方法对某些问题的确很有效果，但也存在需进一步完善雨i 研究的问 题。如结构离散化时包含某些畸变单元或网格划分不均匀采刚臼通戍网格加密年i l 多重网 格方法解决此类问题。必然导致结构总的口由度数很人，冈舍入误筹的积累而出现新的瘸态 问题。 ( 4 ) ：1 9 8 0 年荣廷玉在文 1 8 1 9 提出的r 义混合有限元法是处理有限元痫态问题的 一种有效方法。冈其中包含可任意调协的参数称为分裂冈子，针对病态问题本身的特性。 _ 婀南交通人学硕士学位论文 选择恰当的分裂网子值调。诲有限元模型的刚度，克服常规有限元计算出现的病态问题，具 有簿适性。党发j 删 1 9 9 8 ) 删“义混合有限元法对某些有限元病态闯题采进行了研究。 本文主要通过f 面两种病态问题，州r 1 义混合有限元法( g m f e m ) 对有限元病态问题 进行进一步深入的研究：儿乎不可压缩或不可压缩弹性体问题羽ir e i s s n e r 扳剪切白锁问题。 f 面介削这一研究的必要性。 1 2进一步研究有限元两种病态问题的必要性 几乎不可压缩或不可压缩弹性体问题它是指泊松比v 接近y - 0 5 域等丁o 5 ， 1 最小势能泛函1 1 。中禽_ 一= _ 的项趋丁无穷人，使有限元解产生病态。1 9 6 5 年l ，r h e r r m a n i ”j l 一2 v 提山了儿乎不可压缩戏不可压缩弹性体问题的变分原理后来t o n g 2 2 】( 1 9 6 9 ) 建立了基丁 麻力杂交法的儿乎不可乐缩或不可压缩弹性体问题的变分原理。s a m u e l 2 3 1 ( 1 9 6 9 ) 将其摊j 1 成个特殊形式的r e l s s n e r 变分原理，他 f j 根据这些变分原理建立的计算模型能够解决儿乎 不可压缩或不可乐缩弹性体问题但都以较为特殊的一维问题进行数值实验，对结构较为复 杂的问题( 包括任何可能的y 值) 有待进一步研究。党发j 1 2 0 ( 1 9 9 8 ) 运_ i l j 荣廷玉1 2 4 1 ( 1 9 9 7 ) 提山的儿乎不可压缩戏不可压缩弹性体问题广义混合变分原理g m v p 建立了一维问题的儿 乎不可压缩域不可乐缩弹性体问题广义1 抛台有限元州式较好地解决了儿乎不可压缩或不可 压缩弹性体阀题，且适台。r 任何可能的v 值( 如v 为0 3 ) ，同样此g m f e m 列式缺少更 为复杂问题的数值实验。冈此，需要进一步深入的研究。 r e i s s n e r 板剪切自锁问题r e i s s n e r 板弯曲i h 7 题的有限元法一直是i ：样领域中 的重要研究课题。但是圳r e i s s n e r 扳理论建立的常规伉移有限元进行薄板分析时往往会产 生横向剪切亡1 锁( s h e a ri o c k i n g ) t 匣象。一般来讲，位移棋刑的r e i s s n e r 板的总体刚度姬阵k 彳如t - 形式： k = k b + 旺k 这里，口节7 , 1 蛹数形式对麻丁剪切能蟮项 ( 1 1 ) k b 雨lk 。分 ；i j 对麻f - 弯曲刚度矩触：祠l 剪切胁 西南交通大学硕士学位论文 度矩阵。口是一个土：j 扳跨厚比的平方( 眚) 成正比的系数，当扳厚微小时口扑常人，总体 刚度矩阵k 就产生白锁。 针对这一现象，1 9 7 1 年z i e n k i e w i c z 苍f 2 0 1 首先提山了j _ j 减缩积分的方法处理扳乖壳中自 锁问题。减缩积分就是在加入边界条什扁使k 保持为奇异，从而降低或消除k 。在结构刚 度矩阵k 中的件州，产生零剪切能模式。 减缩积分常使单元刚度矩阵多余减秩，形成所谓零剪切能模式，为了抑制零能变形模式。 b e l y t s c h k o ，l e e ，o d e n ，c o o k 等人 2 6 - 3 2 】从不同侧面提山了一种补救措施，即在原米的单元刚度 矩阵基础上附加一个稳定矩阵，这样既能消除零能模式，义能保留原单元刚度矩阵的收敛性， 不发生臼锁。附加的这个稳定矩阵的构造方法各不相同。 减缩积分法以及以此为基础的其它修_ l i 三方法，在理论上都改变了原有的题目，且其适_ l j 范同如何有待丁进一步深入的研究。 继减缩积分之后，h u g h e s 和t e z d u y a 0 3 3 3 4 1 ( 1 9 8 1 )以及m a c n e a l l 3 5 l ( 1 9 8 2 ) 提出了 圳“假设应变法”克服臼锁现象。所谓假设应变法，并不是根据多变耸有限元泛函独立地假 殴麻变，而是在单元内部修止由 ：7 ：移场导出的应变分布。假设麻变法首先被虑h j 到扳中，并 收到较好的计算效果。 焦兆平、是长栉等 3 6 , 3 7 1 ( 1 9 9 4 ) 证明了平行四边形r e i s s n e r m i n d l i n 板元的剪切能降 阶积分法与附加内部剪麻变法等价：李j 出飙管人m 1 ( 1 9 9 6 ) 提出的将结点横向剪廊变做为独 立白由度，井假设剪切麻变在单元内线性变化，推导山的1 5 个白由度的三角形板单元都具有 很高的精度。 由t e s s l e r 年| l d o n g ”i ( 1 9 7 8 ) 提山的一致场理论( c o n s i s t e n tf i e l dt h e o r y ) 也是一种消除 白锁现象的方法。它要求再种场变鼙的插值晒数次数在单元一级麻一致。如在c o 类梁单元 中转角若h j 一次插值则挠度就应当h j 二次插值。它首先被麻 j 到t i m o s h i n k o 梁单元上， 1 9 8 3 年t e s s l e r 和h u g h e s l 4 0 1 y 、将该法麻 剑扳单元中对解决白锁问题收到了较好的h + 算敛 果。 这些方法对解决臼锁问题收剑了较盘，效果但都没有明确指山同一种方法能否刚时适台 1 i 中厚板分析，有特丁进一步研究。 近年来许多人义试 j 多变蛄有限元列式消除臼锁现象。这包括洮台有限元， 杂交脚 4 西南交通大学硕士学位论文 力有限元，杂交洮合有限元硐i 拟协调有限元。如p i a n1 4 1 | ( 1 9 8 4 ) 笱朋j “义变分叛理导山的 s e m i l o o f 单元。s a l e e b i “1 ( 1 9 8 8 ) 等的混合列式3 结点扳壳元。这些方法对鳞决白锁朗题有较 好的作川，“但它们也有一些缺陷，冈而术被“泛使_ l j ”( j r h u g h e s l 4 3 1 ( t 9 7 7 ) ) 。 党发j t 2 0 l ( 1 9 9 8 ) 以一般弹性体的带参数的r 义混台变分原理g m v p 的泛嗵l ”i 为基础， 简化山适台r e i s s n e r 扳弯曲问题的带参数的变分原理g m v p 的泛函雨以该泛晒为基础建 立了r e i s s n e r 板弯曲问题的j 义混合有f 嚏元法，能够很盎_ f ：地适应中厚扳平i l 薄扳弯曲分析。而 且在分析薄板问题时不会出现剪切臼锁现象。对r e i s s n e r 板势能泛函中的弯曲位能平剪切何 能同时进行分裂，导致单元所选朱知数较多，这样形成的刚度矩阵较人：且数理统计中的 同规分柝法选择分裂冈- 子，对同一问题可能得到满足条件的多个分裂闪子。 鉴丁上述解决臼锁问题方法的不完善有必要对此问题做进一步的研究，以期获得一个 完善的解决方法。 1 3 本文的目的和主要工作简介 有限元病态问题一直魁有嫩元研究中的一人难点，本文研究h lj1 义混合有限元模式盘克 服有限元痫态问题，其中以儿乎不可压缩或不可压缩弹性体问题霸ir e i s s n e r 板剪切臼锁问题 为例进行较深入的研究。 本文第二章首先简单介削荣廷玉 1 “( 1 9 8 1 ) 提山的r 义混合变分原理g m v p ( 肝米， 有人也称其为参变量变分原理) 的理论和1 ：科背景，建立其泛函的瓜想，其泛函的特点以及 发展近况。接着介纠以“义混合变分原理g m v p 为基础建立的“义混合有限元法的产生、 发展及其刚皮矩阵的特点。由丁g m f e m 中含有可供任意选择的分裂闪子，它能够调协有限 元模研的软硬槲度，冈而使这种有限元模型具有更好的适麻性。但是，如何恰当地选择分裂 冈子的值以使数值解最住，将是这种有限元模式能否得到推广虑的关键。闲此第一：章 还介纠荣廷玉1 9 8 3 年在文【4 4 】中给山的选择分裂闪子的一般准则以及荣廷 王等1 9 9 7 年狂文 【4 5 】中给山的一个刚度矩阵的条仆数表示的具体准则。其后介纠荣廷玉1 9 8 4 年枉文 4 6 i - t - 1 通过试算法选择分裂风予确定麻力强度冈子的算例，此算例验证了选扦分裂闲子准删的彳 效 性。本文j j 荣廷 三1 9 8 1 年住文 4 7 1 q ，给的平面朴仆系统的r 义混台订限元g m f e m 对i f 两南交通人学硕十学位论文 面桁架问题避行了计算，计算结果进一步验证了选择分裂囡子准则的有效性，说明按此准如l 选择分裂冈子的值，可以起到降低刚度矩阵的条什数、提高有限元解的精度和i 克服有限元病 态问题这一事实。 第三章首先简单介窖；f 几乎不可压缩或不可压缩弹性问题的实质及其发展近况接着给出 荣廷玉l “l ( 1 9 9 7 ) 提出的儿乎不可压缩戏不可压缩弹性体问题r 义混合变分原理g m v p 。然 后千6 据此变分原理，采圳平面四绪点希f 八结点等参元，建立其育代表性的一：维儿乎不可压缩 戏不可压缩弹性体问题j “义混合有限元g m f e m 列式算例结果表明此有限元法不仅能徽 盎，地解决儿乎不可压缩域不可压缩弹性体问题，且适合r 任何可能的p 值( 如p 为0 3 ) 精度良好。 第四章首先对r e i s s n e r 扳理论进行了简要介绑，接着介绑r e i s s n e r 板产生“白锁现象” 的机理。给山了荣廷玉f b i 等( 1 9 9 ) 建立的专h j 丁r e i s s n e r 板的r 义混台变分原理g m v p 以及以这个变分原理为基础建立的r e i s s n e r 扳的r 义混含有限元g m f e m 的一般形式。本文 根据文【4 8 】中r e i s s n e r 扳的r 义混合有限元g m f e m 的一般形式，采h ； 四结点等参元建立了 r e i s s n e r 板的r 义混台有限元g m f e m 模耻的具体形式，由丁此g m f e m 模型在单元内仪对 引起剪切白锁的剪切何能进行分裂，这样形成的单元刚度矩阵的阶数相对鞍小研究表明： 通过此有限元模型，不但使白锁问题得以自动消除，同样也适于中厚撅的分忻。故它是一个 厚、薄扳都适州的统一的有限元模式；数值解精度非常高、稳定；j 【l 较少的单元数就可获得 彼离的数值解精度，人人地降低了计算i 椎堵，只有很人的实刚性。冈此，此有戳元模式使 得厚，薄板的数值分析阀题获得了一个完满的解决方案。该章最后从理论上分析根据r e i s s n e r 板的j 。义混合变分原理g m v p 建立的j - 义、抛台有限元模型能够很立，地适麻中j 宁扳平薄板弯 曲分析，并且能够克服薄板弯曲问题中的剪切白锁现象的原内。 6 西南交通大学硕士学位论文 第二章广义混合变分原理g m i v p 、广义混合有限元法 g m f e m 的产生和发展以及分裂因子选择准则 本章首先简单介纠1 9 8 0 年荣廷玉在文 1 8 中提山的广义混合变分原理g m v p ( 斤米， 有人也称其为参变龋变分原理) 的理论和t 程背景，建立其泛幽的思想其泛函的特点以及 发展近况。接着介绷了以j “义混合变分原理g m v p 为基础建立的“义混合有限元法g m f e m 的产生、发展及其刚度矩阵的特点。j “义抛含有限元g m f e m 与常规有限元的最人区别是有 限元总体刚度矩阵中含有可任意变化的参数，称为分裂冈子。分裂网子的变化对准确的理论 解没有任何影响，但对有限元病态问题则有巨人的影响力，因此使川g m f e m 计算时获得 较好刍! i 果( 特别是克服有限元病态问题) 的关键是如何确定分裂因子的最优值。本章还介多h 荣 廷玉1 9 8 3 年在文【4 4 】中给山的选择分裂冈子的一般准则以及荣廷玉等1 9 9 7 年在文【4 5 件给 山的一个川刚度矩阵的条什数表示的具体准则。其厉介绑荣廷玉1 9 8 4 年在文1 4 6 1 通过试算法 选择分裂冈子确定应力强度冈子的算例，此算例验证了选择分裂冈子准则的有效性。本章h j 平面杆f i ：系统的j 。义混合有限元g m f e m 对平面桁架问题进行了计算，计算结果进一步验证 了选择分裂风子准则的有效性，说明按此准则选择分裂冈子的值，可以起到降低刚度矩阵的 条什数、提高有限元解的精度平消除有限元病态这一事实。 2 1广义混合变分原理g m v p 的提出 变分原理是建立有限元的理论基础同时有限元的发展又促成了变分原理的研究，r 义 溉合变分原理g m v p 就是在这种背景卜产生的。 f r a e i j s d ev e u b e k e ( 1 9 6 4 ) 证明了常刚的有限元协调模型( 有限元位移法) 是以墩小位能 原理兀。为理论基础的这种模型较真实模型偏埂，给山的伉移数值解( 指影响系数，即单何 力作川r 的忙l r ) 是真解的f 界；而有限元平衡模) 弘( 有限元力法) 是以最小余能原理n 为理 论基础的，这种模型较真实模型偏软，给出的位移数值解( 指影响系数，卸单何力作川f 的似 移) 是真解的上戳。当有限元单元网格无限细分，且单元最人尺寸趋向丁零时，这两种模犁的 荫南交通大学硕士学位论文 数值解在理论上( 不计台入误差和其它非模型本身冈素的影响) 廊从上、f 两侧趋。r 真解。 f 面首先以一个算例来说明上述性质。 算倒2 1 如幽2 - l 是一止方形截面直杆，杆长l = i 0 m ，截面边长为b 卸1 m ，剪切弹性模 姑为g = 0 8 x 1 0 8 n m 2 。轩端受有弯矩m = 2 5 1 0 3 n m 。本问题杆端扭率的真解1 5 l l 为 口： 丝 ：2 2 1 6 3 。 m 圈2 l 在杆的横截面上划分山1 6 ，2 4 ，3 6 ，4 8 ，6 4 ，8 0 ，1 0 0 个数的= 角形元，分别_ l 编写的直杆丰h 转问题的位移法和力法有限元獠序计算，得杆端的扭率如表2 i 。 以单元数为横坐标，咀手 i 率( 伉移) 为纵坐标，h j 幂幽数拟合后，得扭率与单元数的芙系细 | 璺i2 - 2 所示，幽中中间的矗线是真解，f 侧曲线是基丁i 最小势能原理的有限元解，而上侧曲线 是基丁：最小余能原理的有限元解。这里展现了一个重要的事实：在有限元体系中，应变能成 分是一个使模型偏硬的因素，面余能成分则具有相反的性质，使模型僖软。要馊有限元解更 趋近于真解。在理论上要求更适合于阔愿本身的变分原理。 表2 i杆端扭率的有限，c 位移法和山法蠡i f 8 西南交通大学硕士学位论文 d3 o o 2 8 a 2 e o 2 4 0 2 2 0 2 o o 1 a o 1 8 0 i 鳘| 2 - 2 有限正卜衡模型和位移模型解求意幽 n o l ：样领域中的需要也促成了j “义混合变分原理g m v p 产生。如翦所述，当川一个止确 的有限元群序做计算时，也许会碰到这样的麻烦，输入数据无误，但计算结果误著很人，甚至 面目全非；若h j 迭代法则很雉收敛或者不收敛，即山现了有限元病态问题。常j ! 到的有限元 病态问题如材料极不均匀弹性体，极端箨向异性体，不可压缩或儿乎不可压缩弹性体，网格划 分时的畸变单元，r e i s s n e r 扳的“白锁现象”，各种组合结构、堤坝、高桥墩、商烟筒、电 视塔、开孔板、宁航器肇的蜂窝结构、复合材料等等。一般地认为总体刚废矩阵的条仆数 过高会导致有限元病态问题，总体刚度矩阵的条件数的影响因素是总体刚度矩阵潇元素的相 对大小及布局这义为有限元模帮的特征所决定。而变分原理是建立有限元楼型的重要理论 基础，闲此建立一套改善总体刚度矩阵的条什数的变分原理是克服有限元病态问题的一条重 要途释。r 面的例子能很好地说明这事实。 如幽2 3 是简单平面桁架结构，杆元4 - 6 、6 - 8 、5 - 6 、6 - 7 的刚度ea = i 0 1 0 ”，其它轩 元刚度ea = i 0 ，两种单元的刚度相筹根人，这时结构刚度矩阵的条r i ：数为6 - 3 j 0 ”，是病 态的。如果州常规何穆有限元法击计算。在1 b m 4 8 6 微机上无法计算山结构的位移平| l 内力， 发生了明显的病态。这说明工程领域中也需要有性能更好的能克服病态问题的变分原理以及 相应的有限元产生。 9 两南交通犬学硕士学位论文 1 0 幽2 - 3平面桁架受载乖 单元划分示意幽 止是为了满足理论和f ：群领域中的这种需要，1 9 8 0 年荣廷玉沁1 提出了一种建立j 义混合 变分原理的新思想： ( 1 )其泛函中麻同时包含j 3 麻变表达的麻变能成分和h j 戍力表达的余能成分； ( i d 其中麻变能成分利余能成分在泛函中所的比率可以任意凋饥 ( i i i )其泛函中至少含有一个参变量幽数，川它米调协廊变能成分平余能成分在泛幽中所 的比率，称其为分裂冈子分裂因子的取值范同虑是任意的。 止是根据这一思想，1 9 8 0 年荣廷玉| i 首先创立了线弹性理论的带参数变分原理，当时称 作分裂模量变分原理，同年他在文【5 0 】中x 建立了扳、壳和杆系力学中的带参数变分原理，当 时称作分裂刚度变分原理。斤米把这种带参数的变分原理统称为r 义混合变分原理 ( g e n e r a l i z e d m i x e dv a r i a t i o n a l p r i n c i p l e s ) ，简称为g m v p 。1 9 8 3 年荣廷t i 5 1 - 5 3 1 义把这种 变分原理推r _ 到人付移非线性理论中，且证明了i ：t 前已经建立的许多变分原理都可以化为广 义溉合变分原理的特例。这是首次建立的人位移1 i 线性理论中的带参数的变分原理。 ， 1 9 8 9 年。c a f e l l p p a ! “1 提出参数化多场变域边分原理，其泛函( 该文( 2 0 ) 式) 与1 9 8 0 年荣廷玉在文【1 8 】中首先提山的线弹性理论的带参数变分原理完全相同，但迟了八年。 1 9 9 6 年荣廷玉等i s 5 i 介圣f 了带参数的变分原理与传统变分原理的关系及其_ l j 它建立：的有 i ，挂元列式的特点。1 9 9 7 年荣廷玉【5 6 1 等还给山了带参数的变分原理建立的方法，弗证明了可以 州带参数的拉氏乘子法。解除麻力戍变芙系的约求，从任f n i 一个已知的变分原理并i ! 导| i i h - w 变分原理。同年荣廷玉h i 4 1 1 1 x 将带参数的变分原理随接引到儿乎不可压缩绒不i ，压缩弹性问 题手r e i s s n e r 扳的剪切臼锁问题。1 9 9 8 年荣廷玉i ”i 等阐述了有限变形理论之g m v p 的建越 o 西南交通大学硕士学位论文 方法( 带参数拉氏乘子法) ，并用此法建立了大位移非线性理论的全面的g m v p 。 2 2广义i 鼠合变分原理g m v p 的特征 便丁厉面的叙述- 首先把小1 ：i ) = 移线弹性力学的基本方群组川笛 尔坐标一，= 1 , 2 ，3 表示如f ： 平衡方抖 儿何方挫 物性方槲 或者 位移边界条州 。+ f j _ 0 在m e i j 一圭( “，+ “，j ) = o 在 ，内 一c l l j k l e “= 0 在呐 e 口一b ，j k a “= 0 在m ( 2 i ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) “，一石，= 0枉s 。上 ( 2 5 ) 席力边界条引： n j p ，= 0在s ，上 ( 2 6 ) 其中，v 是弹性体的域其界面为s = s 。+ s ， 在s 。上给定能移”，在s p 上给定 面力p f f ，是给定的体力；”，是s 的单位外法欠；( ) j 表示对x 的偏导数；“，、e f ，利 盯。分别为何移欠蠢、虑变张蛄平麻力张簟：a 肚，和b 州分别代表弹性张龋和柔性张姑，烂常 数，l i 有r 面的恒等性与对称性 函，k 6 m f = 点，艿 ( 2 7 ) 口，= at l , t = 口，= n n ， ( 2 8 ) 西南交遥大学硕士学位论文 b j s k l26 ，ij 2 b t j l t 2 b k l j( 2 9 ) 其中，屯是鼬硼e c l 鼢符号 根据变分原理的泛函中所含的独立场变量的多寡和混合性质，荣廷玉洋l ( 1 9 9 7 ) 将变 分原理划分为四大类型。即：i 单一变量型；i i 二变量混合型：i i i 三变量混合型；i v 广 义混合型，示于裹2 。2 。广义混合变分原理泛函中含有一个或多个可以任意变化的参变量函， 称为分裂因子，而l - i i i 类型的变分原理的泛函中则不含有这种可任意变化的参变量荫教，因 此以下称i - i i i 类型的这种不舍任意参数的变分原理为传统型变分原理。广义混合变分原理 不是一般意义的混合，丽是专指满足2 1 节所述建立新型变分原理三条要求的可变比例的混 合，以区别于传统上所说的“广义变分原理”，分裂因子为各种不同值时，广义混合变分琢 理g i v w p 的变分给出一组与弹性力学方程等价的欧拉方程。 广义混合变分原理0 m v p 涵盏了传统型变分原理，n 3 印和n 柳把弹性力学备主要变分服 理，包括n 删呻删和 i h r t 6 1 闽，统一在一个框架中，使它们成为广义混合变分原理o m v p 的特例，但又通过分裂因子户有机地联系在一起以1 1 3 印和r 1 2 印为僻进行说明在n 3 朋 中如果在y 内和s 上令，= l ，它就给出胡海昌一w a s h i z u 泛ih ；在v 内着令芦= 0 ，且 在s 上令卢= i ，它就绘出h e l l r 呼r - l k i s s r 泛函n 。在n2 即中，如果在y 内和s 上令一。1 ， 且在上= 而，噩i j 兀2 一变为1 3 p i 卿，这是最小势能原理；而在矿内若令声：o ，且在s 上 令卢。l ，则它就变为玎。l e o - 这是最小余能原理 广义混合变分原理是与传统型变分原理完全不同的一类变分原理。一方面因为其泛函中 宙有一个或多个分裂因子，虽然其欧拉方程与传统型变分原理的欧拉方程等价，如n 3 印与 传统变分原理n 。的欧拉方程等价，这是必须的，否则就不是弹性力学问愿了但广义混合 变分原理g m v p 的泛函本身与传统者不论在理论方面，还是在实用方面都不等价，这正如两 个普通函数有相同的驻点但函数本身并不等价一样。关于这一点文1 5 9 1 有详细的论述。事实 上，n 3 陌是函数空闻0 i ，。“，盯f ) 中以分裂因子芦为参数钧一张曲面( 或一条曲线) ，而n ， 等传统型变分原理只是该曲面( 线) 上的一个点( 分裂因子= 1 时) 。而且广义混合变分原理 g m v p 的欧拉方程的解也是函数空间中以分裂因子声为参数的一条曲线即驻值点的轨迹曲 2 西南交通大学硕