（控制理论与控制工程专业论文）多自主移动机器人的编队控制及稳定性分析.pdf

浙江大学硕：e 学位论文 摘要 摘要 多自主机器人系统是目前控制和机器人研究领域的研究热点之一。多自主机 器人系统通过模拟生物之问的某些群体行为从而完成特定的任务。在多自主机器 人系统中，每个机器人按照预定规则检测周围环境，与其邻近机器人通讯，并根 据自身获得的信息决定下一步的行动。虽然每个机器人只使用了其能获得的局部 信息，但是整个系统却能实现一些全局性的任务。多机器人协作可以提高系统的 效率，完成单个机器人无法完成的任务，在军事监测、抢险救援、空间及海洋开 发、智能交通系统及其他自动化协作中有广泛的应用前景。多自主机器人的编队 控制研究是多机器人协调控制的重要研究问题，非完整性约束下的多移动机器人 编队控制更是具有非常重要的理论和实际意义。 论文的第一部分研究非完整性约束下的多移动机器人的分布式队形控制问 题。本文提出了一个新的循环追踪的控制策略来实现多移动机器人的分布式队形 控制。在这个策略中，每个移动机器人的前进速度和转弯速度分别正比于其追踪 的目标机器人在其前进方向和侧向上的投影。运用这种策略，最终所有的机器人 将会以恒定的速度等间隔地在一个圆周上运动。该控制策略可以确保机器人轨迹 的最终有界性，且系统只有两个稳定平衡多边形。该控制器避免了其他循环追踪 控制策略中可能出现的问题，如机器人的轨迹可能发散到无穷远，稳定多边形的 个数会随着机器人数量而增加。文中采用伪线性化的方法证明了此控制策略可以 保证系统的最终有界性。同时运用根轨迹分析方法，通过分析一个复数多项式得 到了平衡点的稳定性和收敛性。 论文的第二部分研究非完整性约束下的多移动机器人的分布式集结问题。我 们提出了一个分布式连续时不变的状态反馈控制器。在这个控制器下，每个移动 机器人的前进速度和转弯速度分别正比于其相邻的机器人在其前进方向和侧向 上的投影之和。利用图论的工具，我们证明了该控制器可以使机器人最终收敛到 一点。与其他常见的不连续或( 和) 时变的控制策略相比，我们的控制器简单易 于实现。本文还证明了对一大类典型的具有非线性特性的执行器，该控制策略仍 然有效。接着同样采用伪线性化的方法，本文研究证明了动态图下系统轨迹的最 终有界性。 论文的第三部分讨论非完整性约束的多移动机器人的主从式编队控制问题。 文章讨论了两种控制策略。首先，我们提出了一种基于投影的控制策略并分别分 浙江大学硕上学位论文 摘要 析了当主机器人做直线运动和匀速直线运动时从机器人的运动。为了补偿因主车 速度变化引起的队形几何变化，我们考虑一个积分控制器并证明了该控制器在特 定的假设下可以实现预定的队形。 关键词：自主机器人，分布控制，协调控制，循环追踪，集结，主从式编队 浙江犬学硕士学位论文 摘要 a b s tr a c t m u l t i p l ea u t o n o m o u sr o b o ts y s t e m s ( m a r s ) h a v ea t t r a c t e dm a n yr e s e a r c h e r s f r o mt h ec o n t r o la n dr o b o tc o m m u n i t yi nr e c e n ty e a r s m a n yi d e a si nm a r s a r ei n s p i r e db yc o l l e c t i v ea n i m a lb e h a v i o r so b s e r v e di nn a t u r e i nam a r s ，l i k e a ni n d i v i d u a la n i m a l ，e a c hr o b o ti sp r o g r a m m e dt os e n s ei t sl o c a le n v i r o n m e n t ， c o m m u n i c a t ew i t hi t sn e i g h b o r i n gr o b o t s ，a n dd e c i d ei t sn e x tm o v e m e n tb a s e d o ni t sa v a i l a b l ei n f o r m a t i o n ，y e tt h ew h o l eg r o u pt o g e t h e rc a np e r f o r md e s i r e d g l o b a lt a s k s t h ec o o r d i n a t i o no fm u l t i - r o b o t sc a ni m p r o v et h ep e r f o r m a n c ea n d c o m p l e t et a s k sw h i c ha r et o od i f f i c u l tf o ras i n g l er o b o tt op e r f o r ma l o n e d u et o t h i sa d v a n t a g e ，t h e r ee x i s tn u m e r o u sp o t e n t i a le n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n si nm i l i t a r y s u r v e i l l a n c e ，r e s c u em i s s i o n s ，s p a c ea n d o c e a ne x p l o r a t i o n s ，i n t e l l i g e n tt r a n s p o r t a - t i o ns y s t e m s ，a n do t h e ra u t o m a t e dc o l l a b o r a t i v eo p e r a t i o n s a m o n ga l lt h ec o - o r d i n a t e da n dc o o p e r a t i v ec o n t r o lp r o b l e m s ，f o r m a t i o nc o n t r o lo fm u l t i p l em o b i l e r o b o t s ，e s p e c i a l l yn o n h o l o n o m i cm o b i l er o b o t si sak e yp r o b l e mw h i c hi so fb o t h t h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a ls i g n i f i c a n c e i nt h ef i r s tp a r to ft h i st h e s i s ，w ee x p l o r et h ed i s t r i b u t e df o r m a t i o nc o n t r o lo f n o n h o l o n o m i cm o b i l er o b o t s an e wc y c l i cp u r s u i tc o n t r o ll a wi sp r o p o s e d ，w h e r e e a c hr o b o t sl i n e a rs p e e da n da n g u l a rs p e e da r ep r o p o r t i o n a lt ot h ep r o j e c t i o n o fi t sp r e y sp o s i t i o no ni t sf o r w a r dd i r e c t i o na n dl a t e r a ld i r e c t i o n r e s p e c t i v e l y t h r o u g ht h e s ei n t e r a c t i o nac o o p e r a t i v eb e h a v i o re m e r g e sa n dt h er o b o t se v e n - t u a l l ym o v ea tac o n s t a n ts p e e do nac i r c l ew i t hc o n s t a n ti n t e r - r o b o ts p a c i n g s t h ec o n t r o ls c h e m ee n s u r e su l t i m a t eb o u n d e d n e s sa n dl e a d st oo n l yt w os t a b l e e q u i l i b r i u mp o l y g o n sf o r m a t i o n s t h i sc o n t r a s t sw i t ho t h e rc y c l i cp u r s u i tc o n t r o l s c h e m e s ，w h e r et h er o b o t sm a yd i v e r g et oi n f i n i t ya n dt h e r ea l r em o r es t a b l ee q u i - l i b r i u mp o l y g o n sa st h et o t a ln u m b e ro fr o b o t si n c r e a s e s f o rt h i sc o n t r o ls c h e m e ， u l t i m a t eb o u n d e d n e s si sp r o v e du s i n gt h ep s e u d o - l i n e a r i z a t i o nt e c h n i q u e p o s s i - b l ee q u i l i b r i u mp o l y g o n sa r ea n a l y z e da n ds t a b i l i t ya n d c o n v e r g e n c ep r o p e r t i e sa r e e s t a b l i s h e dt h r o u g hr o o tl o c u sa n a l y s i so fa c o m p l e xc h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l i nt h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i s ，ad i s t r i b u t e df e e d b a c kc o n t r o ls t r a t e g yt h a t d r i v e sas y s t e mo fm u l t i p l en o n h o l o n o m i cr o b o t st oar e n d e z v o u sp o i n ti nt e r m 1 v 浙江大学硕士学位论文 摘要 o fp o s i t i o ni si n t r o d u c e d i nt h i sc o n t r o ls c h e m e ，e a c hr o b o t sl i n e a rs p e e da n d a n g u l a rs p e e da r ep r o p o r t i o n a lt ot h es u mo ft h ep r o j e c t i o no fi t sn e i g h b o rr o b o t s p o s i t i o n so ni t sf o r w a r dd i r e c t i o na n dl a t e r a ld i r e c t i o n ，r e s p e c t i v e l y f o rt h i s c o n t r o ls c h e m e ，c o n v e r g e n c ei sp r o v e dw i t ht h ea i do ft o o l sf r o mg r a p ht h e o r y c o m p a r i n gw i t ho t h e rd i s c o n t i n u o u so r ( a n d ) t i m e v a r y i n gc o n t r o ls c h e m e s ，o u r s i se a s i e rt ob er e a l i z e df r o mt h ee n g i n e e r i n gp e r s p e c t i v e m o r e o v e r ，w ep r o v et h a t o u rc o n t r o ls c h e m ea l s ow o r k se v e nt h o u g ha c t u a t i o n sm i g h te x i s tf o rt h ec o n t r o l i n p u t s a tt h ee n do ft h i sp a r t ，u l t i m a t eb o u n d e d n e s so ft h es y s t e mu n d e rd y n a m i c s e n s i n gg r a p hi sp r o v e db yp s e u d o - l i n e a r i z a t i o nt e c h n i q u e t h et h i r dp a r to ft h i st h e s i si n v e s t i g a t e st h el e a d e r f o l l o w i n gf o r m a t i o nc o n t r o l o fm u l t i p l en o n h o l o n o m i cr o b o t s ap r o j e c t i o n - b a s e dc o n t r o ll a wi sp r o p o s e da n d t h eb e h a v i o ro ft h ef o l l o w i n gr o b o ti sa n a l y z e d i na d d i t i o n ，w eu s ea ni n t e g r a l c o n t r o ll a wt oc o m p e n s a t et h ed e f o r m a t i o nc a u s e db yt h ea c c e l e r a t i o na n dd e c e l - e r a t i o no ft h el e a d i n gr o b o ta n dp r o v et h a tt h i sc o n t r o ls c h e m ec a na c h i e v et h e p r e d e s i g n e df o r m a t i o nu n d e rc e r t a i na s s u m p t i o n s k e y w o r d s ： a u t o n o m o u sr o b o t s ，d i s t r i b u t e dc o n t r o l ，c o o p e r a t i v e c o n t r o l ，c y c l i cp u r s u i t ，r e n d e z v o u s ，l e a d e r - f o l l o w i n gf o r m a t i o n v 图目录 2 1 有向图1 1 2 2 各种不同连接的有向图。1 2 2 3 无向图和双向有向图1 3 2 4 邻接矩阵1 4 3 1 独轮车模型2 0 3 2 独轮车模型的移动机器人2 1 3 3 相对坐标2 1 3 4 发散2 4 3 5 基于投影的控制器2 4 3 6 两个移动机器人2 5 3 7 两移动机器人聚集到一点2 6 3 8 循环追踪的几何限制2 9 3 9 广义正多边形3 2 3 1 0 d ( z ) 的根轨迹3 6 3 1 1 仿真结果一3 8 3 1 2 仿真结果二3 8 3 1 3 仿真结果三3 9 3 1 4 双层移动机器人的循环追踪4 0 3 1 5 平衡点一4 l 3 1 6 平衡点二4 1 4 1 同时检测到对方4 4 4 2 关联矩阵和拉普拉斯矩阵4 6 浙江大学硕：l ：学位论文 图目录 4 35 个移动机器人的集结4 7 5 1 基于投影的控制器5 4 5 2 匀速圆周运动的两个机器人5 5 5 3 口2 + v 2 叫2 一u 6 0 5 7 5 4 v 2 + v 2 u 2 一u 6 0 ，满足 i i z ( t o ) l i n 净i i x ( t ) l i p ，v t t o( 2 2 ) 则系统的解是一致有界的。 如果式( 2 2 ) 对于任意大的。都成立，则系统的解是全局一致有界的。 如果存在与t o 无关的正常数b 和c ，t o 0 ，对于每个o ( 0 ，c ) ，存在 t = t ( o ，b ) 0 与t o 无关，满足 z ( 芒o ) l i 口= i | z ( t ) | l 6 ，v t t o + t( 2 3 ) 则系统的解是一致最终有界的，且最终边界为b 。 如果式( 2 3 ) 对于任意大的。都成立，则系统的解是全局一致最终有界的。 注2 1 ：对于自治系统，可以不再使用“一致一词，因为系统的解仅与t t o 有 关。 下面引入l a s a l l e 不变原理，l a s a l l e 不变原理是经典李亚普诺夫方法的一种 推广。后面的证明将多次用到该定理。 定理2 2 ( 4 1 ，定理4 4 】) ：如果qcd 是系统( 2 1 ) 的一个正不变集。假设v ：d _ r 为连续可微函数，且在q 内满足矿( z ) 0 。假设e 为q 中满足矿( z ) = 0 的 所有点的集合，m 是e 中的最大不变集。则当t o o 时，从q 内出发的每个解 都趋于m 。 该定理的证明请参见 4 1 ，第四章第二节】。 2 4线性循环追踪 虽然本文研究的是非线性的循环追踪问题，但是回顾线性循环追踪问题有助 于更好的理解后面的结果。考虑平面上佗个有序的移动机器人，时间t 0 时它 们在平面上的位置可以表示为旎( 亡) = 【瓤( t ) 玑( 亡) 】t r 2 ，i = 1 ，2 ，n ，其中机 器人i 追踪机器人t + 1m o d u l o 佗。 17 浙江大学硕士学位论文 预备知识 假设所有机器人的初始位置是任意的，每个机器人的动态可以用一个积分器 描述 其中控制器 乏= i t i = 尼( 乞+ 1 一乞) ( 2 4 ) ( 2 5 ) k 为一正常数。这个控制器的意思是，每个机器人的速度都正比于它到其追踪目 标的距离，速度的方向正好指向它追踪的目标。因为乞在两个坐标上的动态是解 耦的，所以n 个体的线性系统( 2 4 ) 一( 2 5 ) 可以被解耦成如下的两个相同的线性系 统 宕= a z ( 2 6 ) 其中z = x l ，x 2 ，z n 】t r n 且矩阵a = c i r c ( 一向，k ，0 ，o 】) 是一个循环矩 阵。 线性循环追踪的结果指出： 定理2 3 ( 2 5 ，定理4 】) ：考虑平面上n 个动态为( 2 4 ) 一( 2 5 ) 的移动机器人， z l ( 亡) ，沈( 亡) ，锄( t ) 的中心点是静2 - 的2 _ 每个个体都指数收敛到该点。 关于该定理的证明，可以参考文献 1 9 】或 2 5 】。 注2 2 ：事实上，该定理对于z 是任意的有限维都是成立的。 1 8 第三章分布式队形控制 这一章研究非完整性约束下多移动机器人的分布式队形控制，我们将采用 一个特殊的策略循环追踪一来实现多移动机器人的分布式队形控制。在循 环追踪中，假设有礼个从1 到n 标号的移动机器人，其中第i 号机器人追踪第 i + 1m o d u l on 号机器人。 3 1 引言 根据第二章中关于线性循环追踪的结论，我们知道质点模型的循环追踪可以 使得所有移动机器人实现在一点集结。这章研究的是，如果移动机器人不是质点 模型，而是更具有物理背景的非完整性约束下的轮式机器人，会出现什么样的情 况。 受到m a r s h a l l 等人工作 4 2 的启发，这一章考虑新的有关非完整性约束的多 移动机器人的循环追踪的控制器设计和分析。研究的目的在于提出一种可以确保 系统拥有某些良好全局特性的控制器。观察到在m a r s h a l l 等人的工作【4 2 】中，移 动机器人在设计的控制器下可能运动到无穷远，在这一章中我们提出一种新的基 于投影的循环追踪控制器。在我们的控制器中，机器人i 的前进速度正比于它所 追踪的机器人i + 1 的位置在机器人t 的前进方向上的投影，机器人i 的转弯速 度正比于机器人i + 1 在机器人i 的侧向上的投影。利用这种控制器，我们证明了 所有机器人的轨迹是最终有界的。这样的结果在实际应用中具有重要的意义而 且与m a r s h a l l 等人 4 2 】使用一个类劳斯一赫尔维兹判据不同，我们使用复数特征 多项式的根轨迹分析方法严格地证明了系统平衡多边形的稳定性。我们获得的结 果表明，系统只有两种稳定的平衡多边形。移动机器人最终将在一个固定的圆周 上等间距地做逆时针或顺时针的圆周运动。跟p o v o n e 和f r a z z o l i 【2 0 】通过输入 输出线性化的方法实现移动机器人的圆周运动相比，本章中使用的策略需要的信 19 浙江大学硕士学位论文分布式队形控制 息更少，每个机器人只需要知道它追踪的机器人的相对位置就足够了。 3 2非完整性约束的系统方程 考虑由竹个移动机器人组成的一个团队，每个移动机器人的动态方程为一个 独轮车，见图3 1 。在此前提下，标号为i 的移动机器人的运动方程如下 y 规 犰 仇 图3 1 ：独轮车模型 c o s 0 i 0 s i no i 0 0l h = g ( o i ) u i 卜j ( 3 1 ) 其中k ，鲥t r 2 是移动机器人质心在平面上的位置；0 t 酞为机器人的朝向； = h ，咄】t r 2 是机器人的控制输入，其中v i 是前进速度，蚍是转弯速度。注 意到移动机器人( 3 1 ) 不能做侧向的运动，也就是说它受到如下的非完整性约束 也s i n 侠犰c o s 仇= 0 我们定义q i = k ，玑，仇】t 并称其为机器人i 的状态或姿态。为了画图的方便， 下面我们并不采用图3 1 中的表示方法，而采用在平面上的表示方法，见图3 2 。 为了分析的方便，我们考虑相对坐标。用p i 表示移动机器人i 和机器人i + 1 的距离，用o t i 表示机器人i 的朝向和机器人i 和i + 1 之间连线的夹角。用屈表 2 0 浙江大学硕上学位论文 分布式队形控制 图3 2 ：独轮车模型的移动机器人 图3 3 ：相对坐标 示两个机器人i 和i + 1 的朝向角度差减去7 r ，如图3 3 所示。这些变量可经由 以下的坐标变换获得。设承= 陆，奶，反】r = r ( 巩+ 。) ( 吼一q i + x ) ，其中r ( p ) 是旋转 矩阵 r ( 0 ) = c o sp s i n p o 2 1 s i np0 c o s 90 01 浙江大学硕士学位论文 分布式队形控制 对磊求微分可以得到 交= g c 玩，一e 习u 件+ 我们做如下的坐标变换 俄= 姚+ 1 犰 - - w i + l x i q = a t a n 2 ( 矛i ，奶) + 丌一o i 屈= o i 一7 r 其中p l r + 一0 ，啦，屈r 。求( 3 3 b ) 的微分可得 将( 3 2 ) 代入上式可得 1 俄= 一 胁 x i x i 十y i y i 胪丽 0 ( 叠ic o s o i + f l is i n 反) - 磊啪) ( 3 2 ) ( 3 3 a ) ( 3 3 b ) ( 3 3 c ) 注意到娩纯= c o s ( o ! + 侥) ，识胁= s i n ( a i + 屈) ，和反= 展+ t r 。因此，我们有 a = 一铣( c o s ( q i + 屈) c o s f l t + s i n ( a - t - 屈) s i n 表) 一v i + 1c o s ( q i + 屈) = 一v ic o s a i v i + lc o s ( q i + 屈) 屈对时间t 的导数为 屈= w i 一妣+ l 最后求睨对时间t 的导数，可以得到 a t2 精一玩 z ? 十对于 将( 3 2 ) 和( 3 4 ) 代入上式，可得 ( 仇( 五s i n 或一9 ic o s 反) + 让+ t 识一u 件- ( z - - 2 巩- 2 ) ) 一度 ( 3 4 ) ( v i ( s i n ( o q + 屈) c o s f l 一c o s ( 啦+ 屈) 8 i n 屈) + 忱+ 1s i n ( a + 屈) ) 一0 3 i ( u is i na i + 7 3 i + 1s i n ( q i + 屈) ) 一蛾 1霹1一a 1 一凤 一一 ； 、 瓯 浙江大学硕士学位论文 分布式队形控制 经过以上的数学变化，可获得移动机器人i 在相对坐标下的运动方程 a = 一忱c o s q i u i + lc o s ( q i 十屈) & l = l 成( v i s i na i + v i + ls i n ( a f + 屈) ) 一u i 侥= o j i o j i + l 以上方程组只在p i 0 时成立。 ( 3 5 a ) ( 3 5 b ) ( 3 5 c ) 注3 1 ：上述方程组的正确性也可经由观察图3 3 验证。移动机器人i 和i + 1 之 间距离的变化率等于v i 和+ 1 在两者连线上的投影之和。啦的变化率包括两个 部分：一是机器人i 主轴的旋转速度，也就是咄，另外就是机器人i 和i + 1 之间 连线的旋转速度，这个速度等于v i 和v i + 1 在两者连线垂直方向上的投影之和除 以胁。屈的动态则可直接看出。 m a r s h a l lf 4 2 1 给出了一个机器人循环追踪的控制策略 v i = = k p p i w i = q 瓯 其中和k 是常数增益。注意到该控制策略并不能保证系统的收敛性，参见图 3 41 。而对于一个现实中确实可行的系统而言，其解的收敛性关系到系统能否正 常运行。所以我们希望找到一个以确保系统具有较好的全局行为的控制器。 下面提出一个基于投影的控制器。在此控制器下，移动机器人i 的线速度和角 速度分别与机器人i + 1 在其两个坐标轴上的投影成正比，见图3 5 。即 忱2k l p ic o s = k 2 p is i n q t ( 3 6 a ) ( 3 6 b ) 其中k l 和尼2 是控制增益。不失一般性，为讨论方便，我们让k l = 1 和乜= 1 。 在此控制器下，系统( 3 5 ) 变为 a = 一p ic o s 2 锄一p + 1c o s 件1c o s ( 0 i + 屈) 瓯= 去( 见c 。8 叩i n 啦+ 脚c m j i n ( 毗+ 剐一鲥n 啦 屈2p is i no i 一肪+ 1s i nq 件1 1 图片取自文献【4 3 】 2 3 ( 3 7 a ) ( 3 7 b ) ( 3 7 c ) 浙江大学硕士学位论文 分布式队形控制 图3 4 ：发散 图3 5 ：基于投影的控制器 + 1 因为( 3 7 ) 仅取决于o 和p 的三角函数和不取决于角度本身，所以在以下的讨论 中，为方便起见，认为啦和屈的取值范围是【一7 r ，7 r ) 。 3 3 两个移动机器人情况下的全局稳定性分析 这一节中考虑一种特殊的情况也是最简单的情况，只有两个移动机器人，即 竹= 2 。当几= 2 时，有p z = 助，o t l = o t 2 + 倪，a 2 = a l + 历，如图3 6 。则系统 浙江大学硕士学位论文 分布式队形控制 ( 3 7 ) 简化为 双， ， ， ， 2 图3 6 ：两个移动机器人 p l = 一p lc o s 2 a 1 + c o s 2 q 2 ) a l = c o s o l ls i n o l l + c o s q 2 s i n q 2 一p ls i n a l 矽l = p l ( s i n q l + s i n c e 2 ) a 2 = c o s q ls i n a l 十c o s a 2s i n 乜2 一p ls i n q 2 侥= p l ( s i n a l + s i n 口2 ) 我们仅考虑( 3 8 a ) ，( 3 8 b ) 和( 3 8 c ) 构成的系统。 定理3 1 ：两个移动机器人( 3 1 ) 在控制器( 3 6 ) 下会聚集到一点。 证明：考虑如下的李亚普诺夫函数 则y 沿系统( 3 7 ) 的导数为 y = 参 少= p l p l = 一彳( c o s 2 q 1 + c o s 2 q 2 ) 0 当且仅当p 1 = 0 或c o s1 = 0 ，c o s 0 1 2 = 0 时矿= 0 。 ( 3 8 a ) ( 3 8 b ) ( 3 8 c ) 如果p l 0 且c o s 口1 = 0 ，c o s o l 2 = 0 ，则由( 3 8 b ) 和( 3 8 c ) 可知a 1 0 ，a 2 0 。由l a s a l l e 不变原理可知当亡一时p 1 0 ，参见图3 7 。 2 5 口 陇 l 1 ， d 浙江大学硕士学位论文 分布式队形控制 图3 7 ：两移动机器人聚集到一点 3 4n 个移动机器人情况下的有界性分析 这一节使用伪线性化技术证明在控制器( 3 6 ) 下所有移动机器人的轨迹最终有 界。 首先定义z i = x i ，犰 丁。用r i = c o so i ，s i no i r 表示9 3 一化的线速度矢量，用 8 i = 一s i n 以，c o s o d t 表示归一化的侧向矢量( 由n 逆时针旋转7 r 2 获得) 。接下 来定义位于移动机器人质心前方距离为f 的一点p i ：= 么+ l r i 。 对p t = z i + l r t 取微分得到 a = 磊+ 坑= v i r i + f 咄s i 定义了n 和8 i 后，控制器( 3 6 ) 可写成 选择l = 1 ，可得 v i = ( 兹+ 1 一磊) t r i 岫= ( 筋+ l 一忍) r 8 t a = ( 兹十1 一) t 吒n + ( 忍+ l 一磊) t s t & = ( n r t + 吼s t ) ( 乞+ l 一兹) = z i + 1 一磊 2 6 浙江火学硕士学位论文 分布式队形控制 为了表达的简洁，定义 可得 p ：= 瞬西p 羽 名：= 防孝拥 矽= - ( lo 屯) z( 3 9 ) 其中厶是2 2 的单位矩阵，己是佗礼的循环矩阵c i r c 1 1 0 o 】。矩阵l 是 对应环拓扑的有向图的拉普拉斯矩阵，并满足1 t l = 0 和l 1 n = 0 。 本章的第一个主要结论是 定理3 2 ：对于一群扎个移动机器人( 3 1 ) ，采用控制器( 3 6 ) ，则p lp 2 ，的 中心点是静止的。 证明：定义 c ：! 兰至望垒坐 它是p 1 ，p 2 ，在平面上的中心点。根据( 3 9 ) ，可以得到 6 ：一史互掣( 三。厶) z 佗 。 运用克罗内克积的混合乘积性质( aob ) ( cod ) = a cob d ，可以得到 e = 一丢( 1 ：l 。厶) z 注意到1 t l = 0 ，我们可以得到e = 0 。因此中心点c 是静止的。口 定理3 3 ：对于一群移动机器人( 3 1 ) ，采用控制器( 3 6 ) ，则它们的轨迹是最终有 界的。 我们先回顾线性代数中的一个引理，关于这个引理的证明可以参见 3 3 ，引 理5 1 】。 引理3 1 ：假设a 舻n 是一个实对称矩阵，它的特征值a i 满足 a n 入几一1 a 七一l = = 0 2 7 浙江大学硕士学位论文 分布式队形控制 用x o 表示零特征空间，) ( 1 表示x o 的正交补空间。则对于任意的z x 1 ，有 x t a x 入詹z t z 证明( 定理3 3 的证明) ：设q = p 一1 noc ，其中c 是定理3 2 的证明中定义过的 p l ，p 2 ，的中心点。设y = q t q 。求y 沿( 3 9 ) 的时间导数 矿= 口t ( 三p 厶) z = 一口t ( lo 屯) q 十口t ( 己 厶) ( g z ) 一t 半 q + q t ( lor 2 ) o ) 一1 n 圆e z ) = 一g ? 垒华q + q t ( l 。x 2 ) ( p z ) - q t ( l 。厶) ( 1 n 。c ) 利用克罗内克积的混合乘积性质和三1 n = 0 ，有q t ( l o l 2 ) ( 1 n o c ) = q t ( l 1 n o c ) ： 0 。则 t 【：f = _ q t 掣 q + q t ( 三 1 2 ) ( p z ) 其中堡学是实循环对称矩阵 r1 c l r c 【1 0 0 50 00 0 5 0 i 这个矩阵的特征值 4 0 】是 入 ：1 一o 5 妒2 0 1 ) 一o 5 妒2 ( i 1 ) ( n 一2 ) ：1 + ( - 1 ) ic o s 坠! ! ( ! 二1 2 1 其中妒= e j 丌，n 。它第二小的特征值是入2 = 1 + c o s 垃竽 0 。由定理3 2 可知 ( 1 ：oi u ) q = ( 1 ： 厶) 一1 noc ) = n c n c ：0 这说明q 在零特征空间s p a n 1 no 1o 】t ) us p a n 1 n o1 】t ) 。根据引理3 1 ， g t 半q a 2 i l q l l 2 注意到l i p z l l = ( ：il l r i l l 2 ) = 何，其中z ：1 ，n 是归一化的速度矢量。因 此， v 一入2 1 1 q l l 2 + x - 元l l q l l i l 圆厶i l 所以当i l q l l 何l i lo & i l l , k 2 时矿 0 。根据 4 1 ，s e c t i o n4 8 】中关于最终有界 的结果，可知口( 亡) 是最终有界的。所以机器人的轨迹是最终有界的。 口 注3 2 ：通过我们的证明可以看出，当移动机器人之间相隔的距离很远时，z 点可 以近似地用p 点代替。所以移动机器人的轨迹类似于第二章中线性循环追踪的轨 迹。 2 8 浙江大学硕士学位论文 分布式队形控制 3 5 佗个移动机器人情况下的平衡点分析 定义& = b o iq t 屈】r ，我们可以将子系统( 3 7 ) 写成 毫= ，( 已，毫+ 1 )( 3 1 0 ) 定义= 【舒，露，g 】t 。则整个系统可以写成 f 二厂( )( 3 1 1 ) 注意到：1 ( 乞+ 1 一厄) = 0 。在移动机器人1 的坐标系下，这个条件可以写 成以下两个约束，见图3 8 ： 3 图3 8 ：循环追踪的几何限制 9 1 ( ) = p ls i no q + p 2s i n ( 口2 + 7 r 一胁) + + 风s i n ( 口n + ( 佗一1 ) 7 r 一胁一屁一一风一1 ) = 0 9 2 ( ) = p lc 0 5 c e l + p 2c o s ( a 2 + 7 r 历) 十+ p nc o s ( a n + ( 佗一1 ) 7 r 一风一仍一一风一1 ) = 0 其中9 ( ) = 0 和仍( ) = 0 分别描述了在机器人i 的z 轴和y 轴上的约束。为表 示方便，让m = ( i 一1 ) 丌一高厥可得 n g l ( f ) = p ts i a ( a + ) = 0 ( 3 1 2 ) i = l 9 2 ( 毒) = p i c o s ( o r t + 7 i ) = 0 ( 3 1 3 ) 浙江大学硕士学位论文分布式队形控制 此外，从( 3 3 c ) 可得警l 屈三一n t l 。因为假设屈的取值范围为卜7 r ，丌) ，这个约 束可以重写为 斛( 荆- n t r + 2 ( 3 1 4 ) 其中d 是 1 ，2 ，n ) 中的一个整数。 本节的目标是找出系统( 3 1 1 ) 的平衡点并分析这些平衡点是否李氏稳定，渐 遗稳定，或是不稳定。系统( 3 1 1 ) 的平衡点是由3 n 个方程组成的方程组的解 一p ic o s 2q 一p i + 1c o so t 件1c o s ( q l + 屈) = 0 云1 ( 胁c 。s 叱s i n q t + 风+ ，c 。sq 件s i n ( q t + 屈) ) 一优s i n = 。 p is i n a t p i + ls i n c t i + l = 0 ( 3 1 5 a ) ( 3 1 5 b ) ( 3 1 5 c ) 其中i = 1 ，7 1 , 。直接求解这个方程组是非常困难的。注意到每个移动机器人在 队伍中的角色是一样的。例如，我们把机器人1 ，2 ，咒重新编号为2 ，3 ，n ，1 ， 系统的本质其实没有发生任何变化。因为循环追踪问题具有上述的旋转对称性， 所以系统可能有一组平衡点对于某些a ，矽和卢满足 0 1 120 1 22 = q t l ：= 丘 p 1 = 侥= = 尻：= p p x = p 2 = = p n ：= 卢 当( 3 1 6 ) 时，根据( 3 7 ) 可得 ( 3 1 6 a ) ( 3 1 6 b ) ( 3 1 6 c ) - f c o s 6 ( c o s + c o s ( a - 4 - p ) ) = 0( 3 1 7 a ) c o s a ( s i n a - 4 - s i n ( a + p ) ) 一f i s i n ( = 0( 3 1 7 b ) 如果对于所有的i 都满足p i = 声= 0 ，即所有的的机器人都在相同的位置，则根 据( 3 6 ) 此时所有的机器人都保持不动，这是系统的平凡状态。因此 r 孙i p l = = p n = 卢= o 是系统的一个平衡连续统。本节中暂时不讨论它的稳定性。我们的结论是 、l，、 dl嬲i 一1丌 二 风 塑n o = 3 a 丌一口打i c2 i i 1 虬bp p 没假4理定 浙江大学硕士学位论文 分布式队形控制 其中d 是满足1 d 其中d 是满足竹2 n 2 。 然后，我们假设p c o s a = 0 。通过与( 2 ) 同样的论证，可得芦= 0 。 因此，定理中给出的是系统( 3 1 1 ) 在卢0 时的平衡点。 口 定理3 4 中的每一个平衡点对应移动机器人在平面上的一个广义正多边形。 为此，我们引入广义正多边形的定义。 3 1 浙江大学硕士学位论文分布式队形控制 定义3 1 ( 2 6 ，定义2 】) ：n 和d n 2 ，多边形称为负向 的。例如n = 3 时可以得到 ) 和 ；) ，见图3 9 的例子。 2 3 3 2 图3 9 ：广义正多边形 注3 3 ：可以很容易的验证，对于