（固体力学专业论文）精细时程积分的水平集方法及在注塑充填过程中的应用.pdf

人连理+ i ：大学硕+ 学位论文 摘要 塑料以其诸多优良性能在国民经济各个领域得到了日益广泛的应用，而注塑成型工 艺作为最有效的塑料加工方法之一，其工艺流程为：将熔融高聚物烙体以一定速度注射 到模具型腔中，直至充满整个腔体，待熔体充分固化后丌启模具取出塑料制品，随后再 循环进入下一个制品生产。传统注塑成型工艺依赖于工程师们有限的经验、相对简单的 计算公式，在注塑成型实际生产中，高聚物熔体流动性干差万别，制品和模具结构千变 万化，导致经常出现反复试模修模、生产周期长、成本高，甚至难以保证产品质量。 为了提高产品质量和生产效率，迫切需要发展针对这一复杂工艺过程的高效数值分 析工具束取代传统的费时费力的试模和修模过程、预测实际注塑过程中可能出现的缺 陷、优化模具结构设计、调整工艺参数和有针对性地制定解决方案，从而达到减少材料 浪费，降低生产成本，提高产品质量和市场竞争力的目的。在过去的数十年中，注塑成 型过程的数值模拟引起了越来越广泛的关注。尽管如此，仍然还有很多问题有待进一步 的研究，如运动界面的准确捕捉以及稳定、高效、精确地求解熔体运动控制方程等。 已有的准确捕捉运动界面的工作是基于a l e 方法的运动界面追踪和网格生成重生 成模型，但是当高聚物熔体流动发生剧烈拓扑变化时，a l e 方法的实现将具有一定的困 难。本文采用属于欧拉型方法的水平集方法，从不同的视角看待运动界面，即通过连续 的标量水平集函数的零值集合束描述和捕捉运动界面的发展。在求解纯对流型的水平集 函数控制方程时采用了六节点三角形有限单元对方程进行空间离散，并使用具有“计算 机上的精确解”的精细时程积分算法进行时域求解。当求解高聚物熔体的速度和压力时， 运用迭代稳定分步算法求解高聚物熔体流体的n a v i e r - s t o k e s 方程，满足l b b 条件的 u p 不同阶插值单元以及引入了使对流项在隐式意义上满足牛顿流体不可压缩动量方 程的迭代过程，使得到的算法能够大幅度地增大时自j 步长，且同时保持较高的精度。数 值算例在均匀和非均匀流场中检验了算法对直界面、圆弧界面和圆形界面运动发展求解 的准确性和稳定性。通过得到的等温牛顿流注塑成型充填过程数值模拟耦合算法实现了 简单直体腔充填过程的数值模拟。 关键词：水平集方法；精细时程积分；分步算法；迭代过程；有限元法；注塑成型 精细时科积分的水平集方法及在注塑充填过榉中的虑h j l e v e ls e tm e t h o ds o l v e db yp r e c i s et i m ei n t e g r a t i o na n di t sa p p l i c a t i o n i nf i l l i n gp r o c e s so f m o l d i n g a b s t f a c t p l a s t i ci sb e i n ga p p l i e dm o r ea n dm o r ew i d e l yi ne v e r yf i e l do fo u rn a t i o n a le c o n o m i c s w i t l li t sm a n ye x c e l l e n tp r o p e r t i e s i n j e c t i o nm o l d i n g a so n eo ft h em o s te f f e c t i v ep l a s t i c p r o c e s s i n gm e t h o d s ，h a st h ef o l l o w i n gt e c h n i c a ls t e p s ：t oi n j e c tt h em e l tp o l y m e ri n t ot h e c a v i t yo f t h em o l dv v i t hs p e c i f i cv e l o c i t y ，t of i l lt h ew h o l e c a v i t y ，t ow a i tf o rt h em e l tp o l y m e r t os o l i d i f y ，t oo p e nt h em o l da n df e t c ht h ep l a s t i cp r o d u c ta n dt h e nt or e p e a ta n dm a k et h e n e x t p r o d u c t c o n v e n t i o n a lt e c h n i q u eo ft h ei n j e c t i o nm o l d i n gd e p e n d so nt h el i m i t e d e x p e r i e n c e so fe n g i n e e r s ，t h er e l a t i v es i m p l ec a l c u l a t i o nf o r m u l aa sw e l la st h eg r e a td i v e r s i t y o ft h em e l tp o l y m e r sf l o wp r o p e r t ya n dt h eh u g ev a r i e t yo ft h ep r o d u c t sa n dm o l d s s t r u c t u r e ， w h i c hi n d u c er e p e a t e dt r i a l sa n dm o d i f i c a t i o n so ft h em o l d s ，l o n gm a n u f a c t u r ep e r i o d ，h i g h m a n u f a c t u r ec o s ta n de v e nn og u a r a n t e eo f t h ep r o d u c t s q u a l i t y t oi m p r o v et h ep r o d u c t s 。q u a l i t ya n dt h em a n u f a c t u r ee f f i c i e n c y ，i ti sc r u c i a lt od e v e l o p e f f i c i e n tn u m e r i c a la n a l y s i st o o l sf o rt h i sc o m p l i c a t e dt e c h n i q u ep r o c e s st o r e p l a c et h e c o n v e n t i o n a lt i m e - c o n s u m i n ga n dl a b o r c o n s u m i n gt r a i l sa n dm o d i f i c a t i o n so ft h em o l d s ，t o p r e d i c tp o t e n t i a lf l a w si nt h ep r a c t i c a li n j e c t i o n ，t oo p t i m i z es t r u c t u r a ld e s i g no ft h em o l d ，t o a d j u s tt e c h n i c a lp a r a m e t e r sa n dt od e s i g ns p e c i f i cs o l u t i o n si no r d e rt or e d u c er a wm a t e r i a l w a s t ea n dt h em a n u f a c t u r ec o s ta n dt o i m p r o v et h ep r o d u c t s q u a l i t y a n dm a r k e t c o m p e t i t i v e n e s s i nt h ep a s td e c a d e s ，a l t h o u g ht h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft h e 岫e c t i o n m o l d i n gp r o c e s sh a sa t t r a c t e dm o r ea n dm o r e 、析d ea r e n t i o n t h e r ea r es t i l lm a n yo p e n p r o b l e m st ob es o l v e d ，s u c ha st oc a r l t u r et h em o v i n gi n t e r f a c ea c c u r a t e l ya n dt os o l v et h e k i n e t i cg o v e r n i n ge q u a t i o n so ft h em e l tp o l y m e rf l u i di nas t a b l e ，e f f i c i e n ta n da c c u r a t e m a n n e ra n ds oo n t h ee x i s t i n gw o r ko ft h ec a p t u r i n gm o v i n gi n t e r f a c ea c c u r a t e l yi sb a s e do nt h ei n t e r f a c e t r a c k i n gm e t h o da n dt h em e s hg e n e r a t i o n r e m e s h i n gm o d e l si naf a s h i o no ft h ea r b i t r a r y l a g r a n g i a ne u l e r i a nm e t h o d h o w e v e r , w h e ns e v e r et o p o l o g i c a lc h a n g e so ft h em e l tp o l y m e r f l u i df l o wt a k ep l a c e ，t h ei m p l e m e n t a t i o no ft h ea l em e t h o dw i l le n c o u n t e rs o m ed i f f i c u l t i e s l e v e ls e tm e t h o di se m p l o y e di nt h ee u l e r i a nn l a n n e ri nt h i sp a p e r ，w h i c hs h i f t st h ev i e w p o i n t o ft h em o v i n gi n t e r f a c et a c t i c a l l ya n dn s e sac o n t i n u o u ss c a l a rl e v e ls e tf u n c t i o nt od e s c r i b e a n dc a p t u r et h ee v o l u t i o no ft h em o v i n gi n t e r f a c e s i x - n o d e dt r i a n g l ef i n i t ee l e m e n ti s e m p l o y e di n t h es p a t i a ld i s c r e t i z a t i o na n dt h ep r e c i s et i m ei n t e g r a t i o nm e t h o dw i t ht h e 人近理i ：人学硕十学位论文 a c c u r a t es o l u t i o no nc o m p u t e ri s e m p l o y e di nt h et e m p o r a lr e s o l u t i o nw h e ns o l v i n gt h e p u r e l yc o n v e c t i v eg o v e r n i n ge q u a t i o no ft h el e v e ls e tf u n c t i o n w h e ns o l v i n gt h ev e l o c i t ya n d p r e s s u r e o ft h em e l t p o l y m e rf l u i d a i li t e r a t i v es t a b i l i z e d f r a c t i o n a l s t e p a i g o r i t h r n i s e m p l o y e dt os o l v et h ec o r r e s p o n d i n gn a v i e r s t o k e se q u a t i o n s t oe m p l o yt h eu - pe l e m e n t w i t hd i f f e r e n to r d e ri n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n ss a t i s f y i n gt h el b br e s t r i c t i o n 船w e l la si n t r o d u c e t h ei t e r a t i v ep r o c e d u r eo ft h ec o n v e c t i v et e r mi m p l i c i t l yt o s a t i s f yt h ei n c o m p r e s s i b i l i t y c o n d i t i o no ft h en e w t o n i a nf l u i d ，t h ea l g o r i t h mc a na u g m e n tt h et i m es t e pt oag r e a te x t e n t a n dg u a r a n t e eah i g hp r e c i s i o n i nt h en u m e r i c a le x a m p l e s ，t h ea c c u r a c ya n ds t a b i l i t yo ft h e l e v e ls e tf u n c t i o nu p d a t ea l g o r i t h mi sv e r i f i e db yt h es t r a i g h t ，c u r v ea n dc i r c l e m o v i n g i n t e f f a c e su n c l e rt h eu n i f o r ma n dn o n u n i f o r r nf l o wf i e l d s ，ac o u p l e dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n a l g o r i t h mf o ra ni s o t h e r m a ln e w t o n i a nf l o wo ft h ei n j e c t i o nm o l d i n gi si m p l e m e n t e di na s i m p l es t r a i g h tc a v i t ym o l df i l l i n gs i m u l a t i o n k e yw o r d s ：l e v e ls e tm e t h o d ：p r e c i s et i m ei n t e g r a t i o n ；f r a c t i o n a ls t e pa l g o r i t h m i t e r a t i o np r o c e d u r e ：f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ：i n j e c t i o nm o l d i n g 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：雌日期：2 掣 大连理工火学硕士研究生学- 7 = 论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名 导师签名 芝鲤2 年么月刍磊 人逝理f ：人学硕十学位论文 1 绪论 1 1 课题的工程背景及理论意义 塑料具有密度小、质量轻、比强度大、耐腐蚀、绝缘性好、机械性能和加工性能优 良和价格低等诸多优点，应用领域己从一般民用、农用向几乎所有工业领域，如汽车、 家电、建筑、包装、通讯、计算机等产业快速拓展。塑料注塑成型在塑料加工行业中占 有十分重要的地位，是最有效的塑料加工方法之一。 所谓注塑成型，是指将树脂等高聚物在加热熔融的同时，与其他添加剂均匀地混合 在一起，再将其注射进入模具中，经冷却、固化后得到具有所要求形状的制品的操作过 程，其原理与会属的铸造相似。但传统的塑料注塑成型主要是采用尝试法，经常是依据 设计工程f ) n f 有限的经验和相对比较简单的计算公式来制定成型工艺和设计模具。同 时，在注塑成型实际生产中，高聚物熔体流动性的千差力别，制品和模具结构的千变万 化，工艺条件各不相同，仅依赖有限的经验和简单的计算公式难以对各种影响因素作综 合的考虑和j 下确的处理。传统工艺方法和现今塑料工业闩新月异发展之自j 的差距，导致 了注塑成型生产中经常会出现反复试模和修模、较长的生产周期、高成本、难以保证产 品质量等各种问题。 随着现代计算机硬件和相关软件的飞速发展及人们对计算流体力学、聚合物流变学 等学科研究的不断深入，很多实际工程项目采用了计算机辅助设计和分析软件在计算机 上对注塑成型过程的物理和数学模型进行了有效的建模和求解，并实现对模具设计和制 品生产过程数值模拟及其可视化，预测实际注塑过程可能出现的缺陷、优化模具结构设 计、调整工艺参数和有针对性地制定解决方案，从而达到减少材料浪费，降低生产成本， 提高产品质量和市场竞争力的目的。目| j i ，国际上较为成熟的注塑成型模拟c a e 软件 主要有m o l d f l o w ，m o l d e x 3 d ，t m c o n c e p t 和i - d e a s 等，我国自主研发的c a e 系统 则有郑州大学国家橡塑膜具工程研究中心的z - m o l d 华中科技大学模具技术国家重点 实验室的h s c 以及北京航天航空大学华正软件工程研究所开发的c a x a 等为代表。 12 注塑成型基本过程及其原理 1 2 1 基本过程 常规注塑成型加工系统是指热塑性树脂材料通用的注塑成型系统，包括被加工的高 聚物原料和成型好的模具，以及用来成型加工的注塑机、塑模机等。注塑成型是一个相 精细时程积分的水平集方法及在注塑充填过程中的应用 当复杂的物理化学过程，包括合模、注射、保压、冷却塑化等阶段。注塑机一般具有四 个作用不同的基本单元： 合模机构在注塑周期中完成开模和合模动作，并提供必要的合模力，保 持高聚物熔体在注塑时模具的闭合状态； 塑化装置绝大多数是螺杆挤出机式的塑化装置，该装置将高聚物原料加 热到注塑所要求的熔融状态，加热所需的热量由螺杆电机提供的挤出螺杆在料筒中作旋 转运动的机械能转化或者采用专门的温控系统提供。螺杆旋转运动的同时还将高聚物原 料推向螺杆顶端； 注塑装置通过压力将高聚物熔体注入模具，所需压力的大小主要取决于 制品的壁厚。厚制品所需的压力相对较低，薄制品所需的压力较高。 全部控制系统 控制系统掌握着注塑机的操作过程，包括控制组件、逻辑控制、 电力供应和温度控制。下图就是一种用于实际生产的注塑机 图1 1 注塑机 f i g 1 ii n j e c t i o nm o l d i n gm a c h i n e 注塑成型的基本过程包括：成型物料的准备( 预处理) 、注塑机上成型和成型所得制 品的热处理和调试处理( 后处理) 三个大的阶段。高聚物原料在注塑机料筒内经过加热、 塑化达到流动的状态后由模具的浇注系统进入模具型腔成型，即合模、充模、保压、冷 却塑化和开模取出制品。如下面示意图所示 图i 2 合模 f i g 1 2c l o s i n gm o i d 一2 一 人连理i ：人学硕十学何论文 图1 3 充模 f i g 1 3 i n j e c t i n gm o l d 幽1 4 保压 f i g1 4 k e e p i n gp r e s s u r e 图1 5 冷却塑化 f i g i 5 co o l i n gp l a s t i f y i n g 图i 6 开模取件 f i g i 6 o p e nm o l da n df e t c hp r o d u c t s 1 2 2 基本原理 从宏观的角度讲，高聚物原料要经过三个阶段的转化，即高聚物原料未进入料筒酊 的颗粒状念，属于颗粒流动状念；高聚物原料在料筒中的加热塑化流动而达到的熔融状 态，熔融高聚物的流动基本保持恒定，属于稳定流动；高聚物原料通过注塑模浇注系统 的充模流动及冷却定型状态，充模流动时，熔融高聚物的流动不能保持恒定，属于非稳 定流动，也是塑料制品最终成型的关键。在每个阶段中： 高聚物具有自身的物理属性( 如密度、粘性) 和本构关系： 一定量的高聚物聚集在一起形成一个宏观结构； 高聚物宏观结构周围的模具构成最终制品的几何形状： 精细时拌积分的水平集方法及在注塑充填过稃中的帮_ l j 高聚物聚合体要承受广义作用力( 如压力、摩擦力、相变力、热分解化学力等) 。 从高聚物原料自身的角度讲，高聚物在料筒中被加热熔融和压缩脱去了央带的空 气；熔融的高聚物受高压注射进入模具中，并由压缩状态急剧变为膨胀状态向模具中流 动，在流动中熔融高聚物将随着流动方向取向；进入模具经冷却固化后，将伴随着结晶 化过程产生收缩。 注塑成型工艺的优势：生产效率高。如，大屏幕电视机外壳仅用1 分钟，小型制 品甚至可以一模百腔；所需劳动力相对较低，辅以传送带，具有较高的自动化程度； 制品无需修整或仅需少量修整；可以制造形状复杂的制品，模具的结构和加工模具 的刀具起到了关键作用：设计灵活( 光洁度、颜色、嵌件、材料) 可以生产多重材料于 一身的制品：废料损耗率低并具有可重复利用性：可以得到具有很小公差的高质量 精密产品：可以充分利用聚合物特有的属性，如流动性、低密度、透明、耐腐蚀等： 但仍具有一些缺点和劣势：设备和工具的高成本要求高产量；缺乏专门的技术和良 好的保养可能会造成较高的启动费用和运作费用：产品质量有时难以短期稳定：设 计技术和交叉学科的知识较多，难于掌握；制品的结构和属性有时不适直高效成型： 模具设计、制造和试模的时间有时很长，尽管相关的c a d c a m 技术使生产周期逐渐变 短；由于设计的因素很多，有时难于准确估算一次成型加工的费用，易造成经济损失。 1 3 注塑成型充填过程数值模拟 对这些注塑成型各个阶段进行有效的数值模拟可以为成型过程的参数控制和模具 设计提供有力的参考。其中充填过程的数值模拟备受重视，一方面由于充填过程模拟的 结果将为保压和冷却阶段数值模拟提供必需的“初始”条件，即对不可压缩流体的 n a v i e r - s t o k e s 方程( 以后简称n s 方程) 的准确求解；另一方面，充填流动过程代表一个 含有运动界面变质量体系的流动问题，对这些过程实现有效的数值模拟吸引了众多学者 的兴趣。 1 3 1 运动界面问题数值模拟研究现状 欧拉( e u l e r i a n ) 框架和拉格朗日( l a g r a n g i a n ) 框架下的数值法已被分别广范地应用于 流、固力学问题的数值分析。拉格朗r 方法着眼于物质点及定义在物质点上的物理量， 能够精确地跟踪运动界面，但在复杂问题中，拉格朗r 描述遇到的网格扭曲、缠绕等问 题，必须频繁地进行网格重划分，影响了计算的效率和精度。欧拉方法着眼于空间点及 定义在空间点上的物理量，它保证了网格的质量，但常规的欧拉方法不能精确地追踪运 动界面。结合两者的优点，h i l t 1 】等人在有限差分法中提出了a l e ( a x b i t r a r yl a g r a n g i a n 人连理r = 人学硕十学何论文 e u l e r i a n ) 方法，h u g h e s 2 1 等人在有限元中发展了a l e 方法。a l e 有限元法的关键和基本 思想是允许根据所处理问题不同区域的特点，自由地定义区别于材料和空间构型的参考 构型，以及相应的独立于物质点和空间点的计算网格( 参考) 点，以描写物质的运动。韩 先洪口j 等成功地采用a l e 方法用于模拟注塑成型充填过程的运动界面追踪。尽管a l e 有限元在金属成型和液体大晃动等问题中的应用己取得过成功，但是当处理熔融填充物 流体发生剧烈的拓扑变化( 如，在复杂模具型腔中的流动界面发生的分裂和重新合并等 现象) 的流动时a l e 方法的实现将非常的困难。自从提出运动界面追踪这一研究课题， 就不断地有新的数值方法提出，除了前面讲述的a l e 方法外，还有很多的数值方法包 括早期的坐标转换法、网格适时更新法、p i c ( p a r t i c l ei nc e l l ) 方法【4 】、f l i c ( f l u i di nc e l l ) 方法【5 】、m a c 方法【6 1 以及现在流行的v o f 方法【7 1 和l e v e ls e t 方法吲等。p i c 方法是把一 个连续流场看成是有限个流体质点体系，它们是分布于欧拉网格内且具有拉格朗同特征 的离散点，对它们的计算追踪和调整以现实对流场的数值模拟和显示；f l i c 方法则可 看作对p i c 方法的简化和改进，无需引入质点的概念，先计算压力梯度的贡献，然后考 虑流体在网格自j 的输运效果：m a c 方法是对p i c 方法改进，它把p i c 方法中带有质量、 动量和能量的质点改变为只具有坐标位置的标记点，m a c 方法比p i c 方法所需的内存 大大减少，最后运动界面的形状可以通过标记点的位置来确定。流体体积方法( v o f ， v o l u m eo ff l u i dm e t h o d ) 是h i r t 和n i c h o l s 于1 9 8 1 年首先提出的，其基本思想是在整个 流场中定义一个函数c ，其值等于流体体积与网格体积的比值，且满足对流方程，称为 流体体积函数。空单元中c 值为0 ，满单元中c 值为l ，c 值介于o 到l 之自j 的单元为 界面单元。在任意时刻求解函数满足的输运方程，即可获得全场的流体体积函数分布， 进而构造出运动界面；但是，由于流体体积法是根掘物质在网格中所占的体积比来确定 物质的界面的，因此对物质界面准确定位相当困难。在求解物理场时，h i r t 和n i c h o l s 采用了迎风方法和流体补偿效应的d o n o r - a c c e p t o r 的概念，在此基础上又提出了界面重 构的概念后来的f l a i r ( f l u xl i n e s e g m e n tm o d e lf o ra d v e e t i o na n di n t e r f a c e r e c o n s t n l c t i o n ) 技术【9 ，旧】以及y o u n g 的精细构造都是这种格子类运动界面重构思想的重 要发展。 本文考虑到上述各种方法的情况，采用了o s h e r 和s e t h i a n 于1 9 8 8 年提出的水平集 方法( l e v e ls e tm e t h o d ) ，其主要思想是将运动界面定义为在欧拉网格上一种标量函数的 零等值面( 线) ，即水平集函数( x ，) = 0 。运动界面在运动流体中始终保持为定义在界面 上的函数值为零的点的集合而不发生变化。这类函数一般定义为任意点到界面的最短距 离，可以证明满足对流方程。求解对流方程，即可获得新时刻的运动界面的位胃。出于 该方法是在整个计算区域内求解水平集函数对流方程。因而被称为全局水平集方法 精细时稃积分的水平集方法及在注塑充填过程中的席心 ( g l o b a ll e v e ls e tm e t h o d ) 。为了节省求解水平集方程所耗时间，p e n g 和o s h e r i “l 在全局 水平集方法的基础上提出了一种快速局部水平集方法( f a s tl o c a ll e v e ls e tm e t h o d ) ，由 于只在界面附近进行方程求解，大大节省了计算时间，提高了水平集方法的实用性。不 过作为一种纯欧拉( p u r ee u l e r ) 方法，以上两种水平集方法无法提供网格内部质点距离 运动界面相对的距离等准确的特征信息。f e d k i w 等【1 2 - 1 3 】提出了一种改进的水平集方法 即粒子水平集方法( p a r t i c l e sl e v e ls e tm e t h o d ) 来追踪运动界面，它综合了水平集方法和 拉格朗只方法的优点，其主要特色是在运动界面附近先随机布置一些无质量的标记点， 允许它们可以伴随流体运动，在计算过程中，用这些粒子来消除水平集方法在描述网格 内部界面时造成的误差，这样就有效地克服了纯欧拉法的不足。由于我们目前研究的注 塑成型充填过程的数值模拟关注的是高聚物熔融流体与型腔内空气之间的运动界面的 准确求解，本文没有考虑界面以外的水平集函数符号距离函数属性的保持。 水平集函数控制方程的求解属于时间相关的h a m i l t o n - j a c o b i 方程的粘性解问题 ”4 1 ( 简称h j 方程1 ，该方程在最优控制理论、微分几何、计算流体力学、计算机图形图 像和网格生成等方面有非常重要的应用，并产生了用于模拟流体运动界面发展的水平集 方法。h j 方程解的性质复杂，一方面，h _ j 方程的弱解存在但不唯一：另一方面，即 使初值和h a m i l t o n 函数足够光滑。其解的导数也可能会在某一时刻出现自j 断( 类似于双 曲守恒律问题中的激波) 。通常确定h j 方程的某一弱解，需要额外增加一些条件。比较 常见的具有物理意义的解是h - j 方程的粘性解。h j 方程的数值方法主要分为：传统的 有限差分方法，0 s h e r 和s h d ”l 借用守恒律方程的数值方法推导出h j 方程的 e n o ( e s s e n t i a l l yn o n o s c i l l a t o r y ) 格式，给出了为得到曲率依赖的运动界面问题( p s c ， p r o p a g a t i o no fs u r f a c e su n d e rc u r v a t u r e ) 的高阶精度结果而采用了在高阶空间域的有限差 分离散和传统时间域的求解方法，如高阶e n o 格式【l6 】和w e n o ( w e i g h e de s s e n t i a l l y n o n o s c 1 l a t o r y ) 格式7 】的有限差分空阳j 离散格式，再对得到的半离散方程用t v d ( t o t a l v a r i a t i o n d i m i n i s h i n g ) 隆格库塔( r u n g e k u t t a ) l j 寸间积分，另外还有有限体积法，松弛方法 等等。高阶的有限差分离散格式和时间步长的选取使得这种方法具有较高的计算成本和 实现的复杂性。本文采用了有限元法从水平集函数控制方程的对流方程属性着手，用六 节点三角形单元对方程进行有限元离散，以及钟万勰等【j s l 提出的时程精细积分方法对水 平集函数的初始值问题进行了有效求解，得到了几乎是“计算机上的精确解”，同时可 以使用大时i 剐步长；对于实际充填过程的本质边界条件，采用了“增维”法i l9 j 求解由对 离散后得到的矩阵形式的方程“去行去列”而得到的非齐次偏微分方程，数值算例表明 该方法可以得到准确稳定的计算结果。 人近理i ：人学硕十学何论文 1 3 2 不可压缩流体n s 方程数值算法 经过数十年的发展，已有了一系列有效求解不可压缩n s 方程的数值方法，如人工 压缩法，u z a w a 方法。分步算法等，其中c h o r i n ”】所提出的分步算法通过解耦速度u 和 压力p ，可以有效地减小u p 混合方程的求解规模和提高计算效率，因而在不可压缩 n s 方程求解中得到了广泛的应用。其基本过程是：首先在动量方程中略去未知压力项， 得到近似的速度值( 预测步) ，然后根据此近似速度值并利用连续方程( 即不可压缩约束方 程) 求得压力值( 投影步) ，再用此压力值对速度项进行修j 下( 校正步) 。分步算法又被称为 投影法( p r o j e c t i o nm e t h o d ) 或速度校诈方法( v e l o c i t yc o r r e c t i o nm e t h o d ) 2 u 。通过这个过程 在每个时间步上都引入了压力泊松方程，自然而有效地处理了不可压缩约束条件。 基本变量u p 形式的不可压缩流动控制方程属于典型的“可约化”混合方程，u 和 p 的插值函数形式必须满足l b b 条件【2 2 1 ，最简单直接的办法是让速度，压力的插值空 自j 满足这一相容条件，如在有限元法中对速度采用二阶差值，对压力采用一阶插值的 t 6 p 3 和q 2 p l 单元1 2 ”。否则会导致压力场空间振荡。另外，由于u p 同低阶插值的简 单单元不满足l b b 条件而无法正常使用，但众所周知，u p 同低阶插值的简单单元具 有很多优越性，如自由度少、计算速度快、便于网格自动生成等。前人已有的工作是通 过发展稳定性算法束避丌l b b 条件对单元插值函数的限制，如h u g h e s 等【2 4 i 提出的压力 稳定化p e t r o v - g a l e r k i n 法( p r e s s u r es t a b i l i z i n gp e t r o v - g a l e r k i n ，p s p g ) ，0 n i t e 弘列提出的有 限增量微积分( f i n i t ei n c r e m e n tc a l c u l u s ，f i c ) 稳定化机制以及分步算法等等。尽管各种稳 定方法的实现途径不同，但归根结底都是通过在“可约化”混合方程离散后得到的矩阵 方程的右下角加入非零项以达到稳定化的作用。 分步算法曾被认为可以绕丌l b b 条件，但是g u e r m o n d 等【26 i 研究表明，只有当时 问步长大于某个临界值时，分步算法爿能有效避丌l b b 条件，否则使用同低阶插值单 元依然会导致压力场空间振荡。另一方面，显式算法具有条件稳定性，即必须采用小时 问步长爿能使计算稳定。因此当采用u p 同低阶插值的简单单元时，两者冲突导致 计算过程难以进行。当然，若采用满足l b b 条件的u p 不同阶插值单元，分步算法的 最小时删步长要求无需满足，但是从提高计算效率的角度也应发展能使用大时白j 步长的 隐式类算法。出于显式算法具有设计简单、易于实现、单个时间步的计算工作量小等特 点，分步算法提出后，其显式格式【2 7 】彳快便被提出，但其缺点是它在时域离散化计算中 的条件稳定性。对于黏性系数较小( 在特征速度一定的情况下，黏性系数越小，雷诺数 越大) 的对流占优问题，对时削步长的限制更多地出于精度方面考虑，为使算法稳定而 必须满足的最大时f 刚步长限制往往并不会影响数值计算的有效进行。但是当黏性系数较 精细时拌积分的水平集方法及在注塑充填过科中的麻川 大时( 低雷诺数流动) ，显式算法的最大时间步长限制便成为数值计算的一个瓶颈，不但 严重降低了计算效率，同时也常与为使分步算法稳定必须满足的最小时问步长要求冲 突。半隐式分步算法【28 j 尽管在一定程度上增加了所允许的计算时白j 步长，但在中高黏性 的流动模拟中，半隐式分步算法的时域积分依然会受到时间步长约束的很大限制，即使 计算时间步长在由稳定性要求的耿值范围内，计算精度也将随时间步长的增大而显著降 低。本文对不可压缩流体动力方程的n s 方程有限元求解过程使用了迭代稳定分步算法 1 2 9 ) ，该算法是基于对在形式上具有u p 混合公式的饱和土动力学有限元分析所发展的 迭代稳定分步算法i 刈，该算法中引入了一个迭代过程以使对流项在隐式意义上满足不可 压缩牛顿流动量方程，数值算例结果表明陔算法也能够大幅度地增大时间步长且同时 保持较高的精度。 1 4 本文的主要内容 本文针对等温牛顿流体在注塑成型充填过程的数值模拟，采用了质量、动量守恒方 程以及描述熔体牛顿流体的本构方程在内的耦合偏微分方程组作为控制方程，并考虑符 合充填问题特点的初值和边值条件，在此基础上建立了数学模型并发展了相应的耦合算 法。本文的主要工作概述如下： 1 采用欧拉型的水平集方法对运动界面进行描述，用六节点三角形单元进行空间域离 散以及具有“计算机上的精确解”的精细时程积分准确求解时间域中水平集函数的 发展进而求得运动界面的位置和形状，分别在均匀和非均匀流场中对直界面、圆弧 界面和圆形界面三种运动界面的发展进行了有效求解； 2 采用迭代稳定分步算法求解具有高粘性特征的不可压缩流体的n s 方程： 3 耦合了精细时程积分求解水平集的更新算法与n s 方程的迭代稳定分步算法，并实 现了简单直体型腔的注塑成型充填过程的模拟 大连理l ：人学硕十学侍论文 2 水平集方法 近年来，计算机技术的迅猛发展使得运用数值方法模拟具有运动界面的流体运动越 来越成为一种解决工程实际问题的有效手段之一。在这一过程中，除了需要求解相关物 理方程外，还必须适时追踪运动界面的位置，而能否成功实现界面追踪以及所追踪界面 的“质量”如何将直接影响着物理方程求解结果的可靠性。以熔融高聚物的注塑成型数 值模拟为例，运动表面追踪方法的好坏将直接影响每一时白j 步聚合物熔体的速度和压力 等物理量的准确求解。因此，运动界面追踪问题已成为计算流体力学中一个重要的研究 课题。其研究重点在于寻求一种既能高分辨率地进行运动界面追踪，同时又具有良好稳 定性的数值方法。 水平集方法( l e v e ls e tm e t h o d ) i s 是由s j o s h c r 和j a s e t h i a n ( 1 9 8 8 ) 提出的一种 用于追踪运动界面的数值计算方法，在笛卡儿坐标系下固定网格中计算运动的曲线或界 面的发展，是欧拉型方法，而且可以非常自然地通过水平集函数求得关于界面的几何属 性变量另外，水平集方法还可以容易地捕捉拓扑发生变化的界面，如形状分裂、产生 空洞等等。该方法是一种新颖有效的捕捉界面发展的数值方法，多年来在物理、化学， 流体力学、燃烧学、图像处理、材料科学、微电子器件制作、计算机视觉、控制理论、 计算几何以及计算机辅助设计和制造等领域有诸多的应用。 2 1 理论基础 在二维情况，水平集方法通过称为水平集函数的光滑函数( 至少是l i p s c h i t z 连续 的) ( x ，t ) 在任意时刻的零水平值集合显式地定义平面内闭合区域q ( 可能是多连通的) 在速度场f 中的运动，如图2 1 所示，通过求解水平集函数所满足的发展型方程来计算 和捕捉随后界面的运动和演化，而且该方法容易应用到高维情况。 图2 1 界面随速度场运动 f i g 2 1 i n t e r f a c em o v i n gw i t hv e l o c i t yf i e l d 精细时程积分的水平集方法及在注塑充填过程中的应用 r ( f ) = x i ( x ，f ) = o ，x = ( 五而，) ( 2 1 1 ) 速度场可以依赖于位置、时间、界面的几何( 界面的法向量n = 一号刍和它的平均曲率 一v ，= 丝群彤懒一引一礁在 区域q 外为负值，而在界面f 上为零值( 或者取号相反) ，即在区域q 内外取不同的符号， 驴( x ，t ) o 矿( i ，f ) o 妒( x ，f ) = o 下面的图2 2 也说明了水平集方法的基本思想，左侧第一列的两个图表示了一个有界的 形状和用来定义它的水平集函数的高度曲面图，浅蓝色平面定义了x y 平面，其中有界 形状的边界定了水平集函数的零值集合，平面内形状本身就定义了水平集函数的正值和 零值点的集合。 图2 2 水平集方法原理示意图 f i g 2 。2 1 1 l u s t r a t i o no fl e v e ls e tm e t h o d 上面一行的图表示了形状一分为二的拓扑变化，如果通过数值参数化形状的边界并描述 其演变过程将非常的困难，需要构建一个算法来预测形状一分为二的时刻