（固体力学专业论文）聚苯复合外墙板受力性能研究.pdf

山东大掌礓士掌位论文 摘要 本文对钢结构住宅体系所用的外墙板一聚苯复合墙板的受力性能进行了详 细的理论研究和a n s y s 有限元分析。 首先，根据聚苯复合外墙板的支撑特点和受力形式，建立了四点支撑矩形板 的计算模型，注意考虑了孔边距的影响，将周边悬挑的部分简化为等效的剪力和 弯矩，并据此确定了边界条件，运用弹性力学中的小挠度弯曲薄板理论建立了一 个新的挠度函数，根据边界条件对挠度函数进行了求解。 其次，采用大型的有限元分析软件a n s y s 建立了聚苯复合墙板的有限元模 型。针对没有开设窗洞和开有窗洞的墙板模型，分析了聚苯复合墙板整体的受力 性能。并根据得到的数据结果归纳了混凝土板内钢筋和中间层斜插丝在均布荷载 作用下的应力的变化规律和分布规律，以及整个聚苯复合墙板在均布荷载作用下 挠度的变化规律。本文还对混凝土板内的钢筋和中间层斜插丝的应力分布情况进 行了参数分析，较为详细的阐述了钢筋和斜插丝在墙板的受力过程中所起到的作 用。针对影响聚苯复合板的承载力的主要因素，文中对墙板的跨度、厚度、混凝 土板内钢丝网的配置、斜钢丝的配置、聚苯板的厚度、钢丝的强度等参数利用 a n s y s 做了分析比较，并给出了结论。 最后，依据本文第二章推导的四点支撑的矩形板挠度计算公式，提出了等效 厚度和斜插丝刚度影响系数的概念，通过一系列的推导将聚苯复合墙板简化为厚 度为f 的单一材料，得到了聚苯复合板的挠度计算公式。 关键词：聚苯复合板；挠度函数；有限元分析；参数分析；等效厚度 v 山东大掌硕士掌位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e rp r e s e n t sd e t a i l e dt h e o r ys t u d ya n da n s y sf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i so nt h e l o a d i n gc a p a b i l i t yo fp o l y s t y r e n ec o m p o s i t ew a l l sw h i c ha r eu s e da se x t e r n a lw a l l si n s t e e lh o u s e f i r s t l y , a c c o r d i n gt ot h es u p p o r tc h a r a c t e r i s t i c sa n db e h a v i o rf o r m so fp o l y s t y r e n e c o m p o s i t ee x t e r n a lw a l l s ，ac o m p u t a t i o n a lm o d e lf o r4 - p o i n t - s u p p o r t e dr e c t a n g l e w a l l b o a r di sf o u n d e d n em o d e lg i v e se m p h a s i st ot h ei n f e c t i o no fg e o m e t r i cs i z ec w h i c hi sam e a s u r e m e n tf r o mt h ec e n t e ro fah o l et ot h en e a r e s ts i d ei nt h e 4 - p o i n t - s u p p o r t e d - b o a r d t h i sp a p e rc h a n g e d t h eo u t s i d ep a r to fs u p p o r t e dp o i n tt h e e q u i v a l e n tm o m e n ta n ds h e a r i n gf o r c e ，a n dc o n f o r m e dt h eb o 蚰d a r yc o n d i t i o n s a c c o r d i n g t ot h ee q u i v a l e n t an e wd e f l e c t i o nf u n c t i o nh a sb e e nf o u n d e dt h r o u g ht h e t h e o r yo ft h i np l a t ew i t hl i t t l ed e f l e c t i o n s b a s e do nb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，t h ef o r m u l a o fd e f l e c t i o nf u n c t i o nh a sb e e ng a i n e d s e c o n d l y , t h ef i n i t em o d eo fp o l y s t y r e n ec o m p o s i t ew a l l sh a sb e e nf o u n d e db y a n s y sf i n i t ee l e m e n ts o f t 1 1 l eb e h a v i o rc h a r a c t e ro fp o l y s t y r e n ec o m p o s i t ew a l l s h a sb e e na n a l y z e db yo n l yc o n s i d e r i n gt h el i n e rp a r to fc o n c r e t em a t e r i a lf o rt h e e x t e m a lw a l lm o d ew i t hh o l e so rn o t b a s e do nt h ed a t er e s u l t so b t a i n e d , t h es t r e s s c h a n g i n gd i s c i p l i n a r i a no fr e i n f o r c i n gs t e e lb a ra n di n c l i n e dw i r yi nt h em i d d l eo f c o n c r e t ew a l lu n d e re v e nl o a dh a v eb e e ns u m m e du p ，i na d d i t i o nt ot h es t r e s s c h a n g i n gd i s c i p l i n a r i a no fp o l y s t y r e n ec o m p o s i t ew a l l su n d e re v e nl o a d s o m e a n a l y s i so nt h es t r e s sd i s t r i b u t i o no fr e i n f o r c i n gs t e e lb a ra n di n c l i n e dw i r yh a sb e e n d o n ei nt h i sp a p e ra n dt h ee f f e c to fr e i n f o r c i n gs t e e lb a ra n di n c l i n e dw i r yb e a r i n gt h e w e i g h to fe v e nl o a dh a sb e e ne x p a t i a t e di nd e t a i l a i m e da tt h em a i uf a c t o ra f f e c t i n g t h ep o l y s t y r e n ec o m p o s i t ew a l l sc a r r y i n gc a p a c i t y , t h es p a na n dt h i c k n e s so fw a l l ， c o l l o c a t i o no fs t e e lw i r en e ta n di n c l i n e dw i r e , t h et h i c k n e s so fp o l y s t y r e n ec o m p o s i t e w a l l sa n di n t e n s i o no fs t e e lw i r eh a v ea l lb e e nc o n t r a s t e dt ot h er e s u l t sc o m p u t e db y d q s x sa n ds o m ec o n c l u s i o n sh a sb e e no b t a i n e d a tl a s t ，b a s e d0 1 1t h e c o m p u t e f o r m u l ao f r e c t a n g l e b o a r dd e f l e c t i o n d - p o i n t s u p p o s e d - b o a r d i nc h a p t e rt w o , t h ec o n c e p to fe q u i v a l e n tt h i c k n e s sa n d 山东大掌硕士掌位论文 a f f e c t i n gf a c t o r so fi n c l i n e dw i r ei n t e n s i t yh a sb e e np u tf o r w a r d , a n dt h ec o m p u t e f o r m u l ao fr e c t a n g l eb o a r dd e f l e c t i o nh a sb e e no b t a i n e db yas e r i e so fd e d u c i n gf o r s i n g l em a t e r i a lw i t ht h i c k n e s so f s i m p l i f i e db yp o l y s t y r e n ec o m p o s i t e w a l l s k e y w o r d s ：p o l y s t y r e n ec o m p o s i t ep a n e l ；d e f l e c t i o nf u n c t i o n ；f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ； p a r a m e t e r sa n a l y s i s ；e q u i v a l e n tt h i c k n e s s i 山东大学硕士学位论文 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：盘k 整 e t 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：越导师签名：遍盟日 期：! ：! ! ：宫 l 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题背景 研究资料表明，钢结构建筑正日益受到人们的青睐，使用比例也越来越高。 其中，美国、日本和欧洲等发达国家的钢结构建筑比例已经达到4 5 5 5 ， 有的甚至己达到7 0 左右。但在中国这样的发展中国家，钢结构建筑所占的比 例仍然很低，仅占3 左右，即使是使用钢结构建筑最多的北京、上海和广州等 大城市，钢结构建筑的比例也仅为5 7 。由此可知，钢结构建筑在中国的 发展空间非常大，市场前景十分广阔 蝴。 钢结构住宅就是以工厂化生产的钢梁、钢柱作为承重骨架，同时配以新型轻 质、保温、隔热和高强的墙体材料作为围护体系建造而成的住宅。与传统的砖混 和钢筋混凝土结构体系相比，钢结构住宅具有重量轻、抗震性能好、现场湿作业 量小、无噪声与污染、材料可循环利用、得房率高3 7 、建筑节能5 0 以 上、便于工厂化生产和标准化制作、可现场装配的优势，是节能、环保的绿色生 态住宅0 - s l 。 欧美等国家的钢结构住宅主要以低层为主，如别墅、连排住宅等，其承重骨 架主要为冷轧轻钢骨架，加工、安装非常简捷实用。日本钢结构住宅的承重骨架 主要为柱为方钢管，梁为u 型钢的支承骨架系统( 简称口+ u 骨架系统) ；或柱 为方钢管，梁为h 型钢的支承骨架系统( 简称口+ h 骨架系统) 1 6 1 。而口+ h 型 支撑骨架系统的节点处理非常繁琐，节点连接副强度一直是日本钢结构住宅体系 的心病，因为方钢管是封闭截面，无法采用高强度螺母。所以就采用在内部加衬 板，或是外部加衬板，乃至特意焊上一个辅助节点的办法来解决口+ h 型支撑骨 架系统的节点连接副强度问题，但是它永远缺一半，即螺栓是高强度的，而螺母 ( 拉铆处) 不是高强度的，因而不能称之为高强度连接。 由于土地资源紧张和可持续发展的要求，建设部颁布了建设节能省地型住宅 体系的政策，因此国内绝大部分的钢结构住宅均为多高层，无法直接应用国外成 功的钢结构住宅建设经验和相应的技术，需要发展适合国情的钢结构住宅体系。 自2 0 0 0 年建设部开展钢结构住宅建筑体系及关键技术研究以来，在钢结构体系 方面取得了不菲的成果，如多层主要采用由h 钢组成的纯钢框架体系，高层基 本采用钢框架一混凝土核心筒组合结构体系，目前利用以上结构体系建成的钢结 山东大学硕士学位论文 构住宅多达3 0 0 多万平方米。但是钢结构住宅在围护体系( 内外墙板) 的研究、 设计、应用方面相对滞后，目前应用于钢结构住宅的墙板仍然存在许多问题，需 要加大力度研究解决【7 。9 l 。 1 2 钢结构住宅墙板的国内外现状与发展 国外低层钢结构住宅的墙体都是由轻钢( 或木质) 骨架和轻质墙体面板加保 温隔热、隔声和防水材料构成，即三明治式墙板，为两面轻质墙板加上钢骨架和 墙芯。轻质墙体面板主要有石膏板、中低密度水泥纤维板、定向刨花板、防水夹 板、p v c 板和金属板等，均有相对成熟的建造和维护经验。 欧美的冷轧轻钢骨架住宅的外墙体系较为简单，外墙板和外墙装饰板是各自 独立的，外墙板一般是采用经过防水防腐处理的定向刨花板，既有强度，又有韧 性。外墙板能对整个钢骨架系统有张紧作用，还能防撞击和钉挂外墙装饰板。外 墙面加贴单向透气透水的建筑纸后，就可将外墙装饰板直接钉到外墙板上。外墙 装饰板有多种( 外观和材料) 形式可供选择。如美国c s & m 公司的w 板：美国c o v i n t e c 公司的t i 板( 泰柏板) ：奥地利e v g 公司的3 d 板：韩国s r c 公司的s r c 板( 舒乐舒板) 等 1 0 l 。欧美墙板形式如图1 1 图1 1 欧美墙板 山东大学硕士学位论文 日式钢结构住宅的墙体钢骨架体系和欧美的不一样，自成一套体系。其外墙 体系也与欧美钢结构住宅走不同的技术路径，即外墙板和外墙装饰板合二为一， 既有强度要求，又有美学要求，对安装方法也提出更高的要求，因而其制造成本 和应用成本都很高。内墙和欧美钢结构住宅一样，均采用防火石膏板，隔音、隔 热材料也与欧美的一样，采用玻璃丝绵，但做工要精细得多。如图1 2 图1 2 日本墙板 我国现有的新型墙体材料五花a f - j ，但真正适合钢结构住宅的少之又少，特 别是外墙板。新颁布的住宅建筑规范对外墙板的要求更为严格，不但能抵抗风、 霜、雨、雪和太阳的辐射，还应有良好的热惰性能，节能要求达到5 0 以上。 钢结构住宅是产业化程度较高的住宅，突出的特点是装配化程度高，以满足快速 施工的要求。目前，国内钢结构住宅市场上常用的墙体材料为普通加气混凝土砌 块、预制a l c 板和伊通板【1 1 l 。混凝土砌块的优点是价格低，但耐候性能差，在 用作外墙时，出现墙面普遍开裂的现象，而且不符合钢结构住宅装配化的要求； a l e 板和伊通板虽有配套的标准图集，但是生产工艺较为复杂，造价较高，且 板缝处理材料( 密封胶) 的耐久性仍没有得到很好的解决，故一直制约着钢结构 住宅的发展。国内钢结构住宅中所用的加气混凝土砌块外墙体如图1 3 山东大学硕士学位论文 图1 3 混凝土砌块 山东市场应用较多的墙体材料是聚苯复合墙板，即两侧钢筋混凝土( 或陶粒 混凝土) 板、中间加有5 0 1 0 0 毫米厚的聚苯板组成的一种新型墙板。该复合墙板经 试验室检测和实际应用发现，防火、保温节能标准均达到规范要求，但该板材自 重大、预制与施工麻烦，存在设计概念不清、漏雨漏水、隔音防噪效果差、墙面 易开裂等大量问题亟待解决。这种板材如取得较好的使用效果，必须解决好应用 技术，包括板的合理选材、简化设计方法、预制工艺、板的安装连接、板缝处理、 板遇门窗洞口和悬挂重物的加固、以及标准图集的制定等。 1 3 聚苯复合墙板的介绍 复合建筑制品或结构是当前国内外大力发展的节能建筑围护结构，也是降低 建筑能耗的有效方法之一。其中复合板材体系是发展最迅速的一种新型建筑材 料，这种材料由钢丝、水泥砂浆或混凝土和夹芯材料复合而成，具有重量轻，强 高和保温效果好的特点。聚苯复合墙板是由莱钢建设集团和山东大学土木工程系 合作研究、开发、生产，并协作推广应用的一种轻质复合板材。 聚苯复合板的基本构造：混凝土夹芯板由上、下混凝土层和中间保温层构成。 由上下层为3 5 r a m 厚的细石混凝土。中间7 0 m 厚的保温层在工厂预制，采用自熄型 山东大学硕士学位论文 聚苯乙烯泡沫作板芯，两侧配以钢丝网片，中间沿着墙板的高度方向配有斜插钢 丝并且相邻两排斜插丝的倾斜方向相反，与上下钢丝网片焊接成三维空间钢丝骨 架。上下混凝土层由斜插丝连接成整体，并由其传递内力。中间开有洞口的墙板 在其洞口应力集中的位置都设有适量的加强钢筋。板的基本构造见图1 4 钢丝网片 混凝土板层 斜插丝 保温层 图1 4 板的基本构造 聚苯复合板是一种新型建筑材料，它不仅具有重量轻、强度高、方便施工的 特点，而且还有保温、隔声、防火等性能，适用于工业与民用建筑的非承重内外 墙、可是现在存在的问题是对这种复合板材只是进行了一些基本的力学实验，i 在 具体的理论分析，设计方法的确定以及与主框架的连接方式等方面还有待规范和 完善。 1 4 本文的主要研究内容 本课题以钢结构住宅体系为工程背景，针对现行聚苯复合墙板存在的问题， 进行系统的理论与应用技术研究。主要研究内容如下： ( 1 ) 建立聚苯复合墙板的理论计算模型，提出简化设计方法。分析聚苯复合墙板 在水平荷载作用下，其变形能力及破坏特征，通过分析找出聚苯复合墙板的受力 机理。分析主要包括两方面：首先推导四点支撑的单一材料矩形板在水平荷载作 用下板的最大挠度位移，其次按弹性理论用有限元数值分析的方法分析聚苯复合 墙板在不同阶段墙板内的应力情况。 ( 2 ) 采用a n s y s 对聚苯复合墙板的计算模型进行有限元数值分析，模拟水平荷载 ( 施加均布荷载) 作用下所建立模型的开裂荷载、极限荷载，以及在相应荷载作 用下的变形；分析各影响因素( 板的跨度与高度、风荷载、墙板厚度、钢丝网的 配置、斜钢丝的配置、聚苯板的厚度、混凝土与钢筋的强度) 对墙板承载力的影 山东大学硕士学位论文 响，以及墙板的承载力与各因素的变化规律 ( 3 ) 提出聚苯复合墙板挠度的简化计算方法。 山东大学硕士学位论文 第二章四点支撑矩形板基本力学理论及计算公式的推导 2 1 钢结构体系外墙板设计荷载简介 在对聚苯复合墙板进行力学分析时，首先要讨论墙板系统承受怎样的荷载， 这些荷载怎样组合，只有在这样的组合荷载作用下求解出最大应力或挠度值才 能给我们进行四点支撑式墙板的设计提供有效可靠的理论依据。 一般情况下建筑外墙体承受的荷载主要有：风荷载、地震作用以及自重。 2 1 1 风荷载 对于建筑外墙体风荷载起主要作用，其数值可达2 0 - - 5 o k n l m ，使墙体产 生很大的应力。聚苯复合墙体本身必须具有足够的承载力，避免在风压下破碎。 对于主要承重结构，风荷载标准值的表达形式可有两种形式，其一为平均风压加 上由脉动风引起导致结构风振的等效风压；另一种为平均风压乘以风振系数。由 于在结构的风振计算中，一般往往是第一振型起主要作用，因而我国与大多数国 家一样，采用后一种表达形式，即采用风振系数允它综合考虑了结构在风荷载 作用下的动力响应，其中包括风速随时间、空间的变异性和结构的阻尼特性等因 素【1 2 j 。根据建筑结构荷载规范g b 5 0 0 0 9 - 2 0 0 1 ，垂直于建筑物表面的风荷载 标准值，应按下述公式计算： 当计算主要承重结构时 职2 膨以以x w o 式中 哌一风荷载标准值； 皮一高度z 处的风振系数； 以一风荷载体型系数； 以风压高度变化系数； 形基本风压； 当计算维护结构时 w k2 p fx ”zx | l | xw o 式中展一高度z 处的风振系数 山东大学硕士学位论文 1 基本风压 基本风压睨是根据全国各气象台站历年来的最大风速记录，按基本风压的 标准要求，将年最大风速，统一换算为离地l o m 高，自记l o m i n 年平均最大风速。 根据该风速数据，经统计分析确定为重现期为5 0 年的最大风速，作为当地的最大 风速。再按贝努利公式确定风剧1 2 1 。 基本风压取值： 1 形= 去2 二 其中：p 一标准空气密度，p = 1 2 5 k g m 3 目前规范基本风压的重现期由以往的3 0 年统一改为5 0 年，修订后与原规范相 比，总体上提高l o 。对于维护结构，其重要性比主体结构要低些，可仍取3 0 年。 2 风压高度变化系数 在大气边界层内，风速随离地面高度而增大。当气压场随高度不变时，风速 随高度增大的规律，主要取决于地面粗糙度和温度垂直梯度。通常认为在离地面 高度为3 0 0 5 0 0 m 时，风速不再受地面粗糙度的影响，也即达到所谓“梯度风速”， 该高度称为梯度风高度。地面粗糙度等级低的地区，其梯度风高度比等级高的地 区为低。目前我国将地面粗糙度分为四类【1 2 】： a 类近海面，海岛，海岸，湖岸及沙漠地区： b 类指田野，乡村，丛林，丘陵以及房屋比较稀疏的乡镇和城市郊区： c 类指有密集建筑群的城市市区： d 类指有密集建筑群且房屋较高的城市市区： 风压高度变化系数取值： 在建筑结构荷载规范中都以表格的形式给出，可根据离地面或海平面的 高度及地面粗糙度的类别查表得到。 3 风荷载体型系数 风荷载体型系数是指风作用在建筑物表面上所引起的实际压力与来流风的 速度压的比值，它描述的是建筑物表面在稳定风压作用下的静态压力分布规律， 主要与建筑物的体型和尺度有关，也与周围环境和地面粗糙度有关。由于涉及的 是关于固体与流体相互作用的流体动力学问题，对于不规则形状的固体，问题尤 山东大学硕士学位论文 为复杂，一般均由风洞试验确定。 风荷载体型系数取值：对于房屋和构筑物的体型系数建筑结构荷载规范 中根据建筑物的形状也以图表的格式给出，可以在规范中方便的查出。 4 风振系数 结构基本周期t 0 2 5 s ，以及高度超过3 0 m 且高宽比大于1 5 的高柔度房屋， 由风引起的结构振动比较明显，而且随着结构自振周期的增长，风振也随着增强， 因此在设计时应考虑风振的影响。对于t 0 2 5 s 的结构和高度小于3 0 m 或高宽比 小于1 5 的房屋，这类结构的风振一般不大，此时往往按构造要求进行设计【1 2 1 。 口1 + 童兰丝 。 以 其中 心一风压高度变化系数： 亭一脉动增大系数： ；一结构阻尼比 宇l x 3 0 w 厮, z 。 一考虑地面粗糙度后的基本风压； 五一结构的基本自振周期； 钇一振型系数； z 一高度； 卜一总高度； v 一脉动影响系数； 红。r g 三( 言) ”】 唑出 血弦 山东大学硕士学位论文 ，一脉动系数： ，- 。s s s l q 口一m 1 6 ( 孟) 。4 2 1 2 地震作用 垂直于墙板平面的分布水平地震作用标准值可按下式计算： q e x - p e a 。q f a 式中：g 。垂直于墙板平面的分布水平地震作用标准值( k n m ) 尾一动力放大系数，可取5 0 口一水平地震影响系数最大值，可查表得到 a 一墙板平面面积( m 1 ) 平行于墙板平面的集中水平地震作用标准值可按下式计算： p - p e a 。：g t 腿平行于墙板平面的集中水平地震作用标准值( 1 ( n ) 2 1 3 自重 结构的自重在一般情况下是不需要的，但又是无法避免的荷载。自重指的 是材料自身产生的荷载，属于永久荷载。其标准值应根据结构的设计尺寸和材料 单位体积自重计算确定，一般相当于恒载实际概率分布的平均值。 2 1 4 荷载组合 墙板构件承载力极限状态设计时，其作用效应的组合应按下式计算： s - y o s o , + 4 j w s 哦+ 审e y e s 式中j 一作用效应组合的设计值； s 。一永久荷载效应标准值； 一风荷载效应标准值； s 。一地震作用效应标准值； 七一永久荷载分项系数； 山东大学硕士学位论文 。一风荷载分项系数； 一地震作用分项系数； 丸一风荷载组合值系数； 九一地震作用组合值系数； 当然，在有经验的情况下，能判断出起控制作用的组合时，可以不计算不起 控制作用的组合，或者在组合中略去不起控制作用的因素，如只考虑风力作用等。 这些都由设计人员根据实际情况自行掌握。 2 2 四点支撑矩形墙板基本力学理论概述 对四点支撑矩形墙板进行力学分析的目的是分析、计算墙板在荷载和不同边 界条件的约束下，相应的强度、刚度和稳定性，以便据此进行结构的选型和设计， 以达到结构安全、经济的要求。 2 2 1 基本定义及假设 由两个平行平面和垂直于它们的柱面所围成的弹性体，当其纵向尺寸远小于 平面尺寸时，称为板。设板的厚度为t ，板面内的最小尺寸为b 当t b 5 时称为 薄板。平分厚度的平面称为中面，中面的垂直位移w 称为挠度。当荷载在平板内 作用时，就是平面应力问题。当荷载垂直于板面作用时，就是薄板弯曲问题。垂 直板面的荷载通常称为横向荷载( 水平荷载) 。在横向荷载作用下薄板将发生弯 曲变形，并产生抵抗这一变形的弯曲应力。变形后，中面变为曲面，称为弹性曲 面。如果弹性曲面不可展，就会在曲面内产生张力，称为薄膜应力。一般情形下， 板内的应力为薄膜应力和弯曲应力之和。如荷载较大，由中面产生的薄膜应力不 能忽视，这种同时考虑薄膜应力和弯曲应力的薄板称为柔性板。只考虑弯曲应力 的薄板称为刚性薄板【1 3 】。前者考虑了中面的伸缩和剪切变形，后者忽略了这一 变形，通常称为薄板的小挠度理论或线性理论。薄板的小挠度理论，是以下面的 两条计算假定为前提的，它们可以叙述为： 1 变形前垂直于中面的直法线，在变形后仍为直线，且垂直于变形后的中面( 弹 性曲面) ，其法线长度不变。 2 垂直于中面的法向应力，对于变形和应力状态的影响都很小，可以忽略不计。 上述假定称为克希霍夫( g r i r c h h o f f ) 假定，其中，第l 条是变形的几何假定。 山东大学硕士学位论文 事实上，在薄板里，变形的六个分量并非同一量级，其中平面内的分量巳， 是主要的，而巳，k ，k ，是次要的。假定l 略去了次要分量，取： 乞- 0 k 一0 ( 2 - i ) y 。一0 假定2 是关于静力的假定，即取： 吒- 0 ( 2 2 ) 这一假定使应力状态和应变状态得以简化，且又能保证实用上的精度。这两 条假定与材料力学中建立梁的弯曲理论时所引用的假定类似。虽然在薄板中引入 了两条附加的计算假定，但是分析问题的基本方法仍必须从静力平衡、变形儿何 和物理关系三方面进行分析，薄板的基本方程是以挠度w 为未知数来建立的。 2 2 2 几何方程 图2 1 表示了中面的位移。中面上的微元矩形a b c d 。变形后为微元曲面 b c d 由假定可知，板内任一点位移可以表示为： w w ( x ，y 1 “- 一z a w f 工，y ) a x ( 2 3 ) v 一一z a w ( x ，y ) a y 板内转角可以表示为： 以- a w ( 工，y ) a y ( 2 4 ) 吃- 一却( 工，y ) a x 山东大学硕士学位论文 i 图2 1 薄板变形图 由式( 2 - 3 ) 和式( 2 - 4 ) 可得到应变分量： a 2 wa 2 w ，z 面x ，i a 2 w 5 ，一。矿 z 。一磐 ( 2 5 ) 乃一万 。一3 - 一勉丽a 2 w一一丽 2 w 2 2 3 物理方程 根据假定2 ，由于忽略了吒对变形的影响，使得应力应变关系表示如下： q - 告( 懈，)o x 。i v l + m ，1 q - 告( e y + z e x ) 6 ) q 。而i 。2 一o e 如。币丽岛 式中： e 一板的弹性模量 “一板的泊松比 将式( 2 5 ) 代入式( 2 6 ) 可得应力分量- q w 的关系： 山东大学硕士学位论文 q 一南( 害+ p 等) q1 晕( 軎+ 一害) c z 引 印一而【万 矿jq 可【矿 丽j 旺一 e za 2 w 。币丽丽 式中： z 一板沿厚度方向的高度。 e 一板的弹性模量 一板的泊松比 & ， 倒z - z 傲兀伶止比刀图z j 镪兀俸刿他刀 通过对微元体单位宽度上的应力分量积分可得到用w 表示的内力： 以l - d ( 警+ 芬) 即_ o i f o _ + w 害) s ， i - d ( 1 一p ) 罴 ， 山东大学硕士学位论文 图2 4 微兀体内力图 一般情形下，空间微元体的平衡条件有六个，其中在板平面的平衡条件有三 个，即： e - 0 一o ( 2 9 ) v m 。0 o 。 实际上是平面应力状态的问题，由于薄板只受横向荷载，所以它们是自动满 足的。其余三个平衡条件为： e - 0 了m ，。0 ( 2 1 0 ) o 。 m ，一oo 7 南( 2 1 0 ) 容易得到： 2 2 5 控制微分方程 一o q + 堡+ 口。o ( 2 1 l a ) 批d ， ( 2 1 l b ) ( 2 - 1 l c ) 一 - q g 一 一 监妙丝妙 卜 + 盟毽 监缸 山东大学硕士学位论文 将式( 2 8 ) 代入式( 2 1 1 a ，b ) 后得： q - 警+ 等- 一d ( 軎+ 啬) ( 2 - 1 2 ) g 一警+ 等一d ( 多+ 啬) 将( 2 - 1 2 ) 代入( 2 1 l a ) ，得薄板的弯曲微分方程： 一0 w + 2 0 生+ 鲜。煎越 ( 2 1 3 ) 8 x 4 缸2 却2 。却4 d 。 式( 2 1 3 ) 称为矩形薄板的弹性曲面微分方程式表达了挠度函数应该满足的 关系，实质上是平衡方程。由方程和边界条件求出w 后，可根据( 2 7 ) 求出内力 分量，根据( 2 - 5 ) 求出应变分量，根据( 2 - 6 ) 求出应力分量。 2 2 6 墙板的边界条件 为了方便，现将矩形种薄板的边界条件分述如下： 图2 5 矩形板边界条件示意图 1 ，简支边界条件 图2 5 的a b 边，薄板的挠度w 等于零，弯矩m 。也等于零，于是边界条件可以写为： ( w ) ，- om 0 ( 2 1 4 a ) ，) ，- om 0 ( 2 1 4 b ) 将( 2 - 8 ) 代入，所以式( 2 - 1 4 ) 可以写为： 山东大学硕士学位论文 ( 叻，- 01 0 ( 2 1 5 ) 一。( 争+ 軎) 一。 2 固接边界条件 图2 5 的a b 边，薄板的挠度等于零，弹性曲面在x 方向的斜率娑( 也就是绕) ，轴 武 的转角) 也等于零。所以边界条件可以写为： ( 仇o1 0 ( 2 1 6 ) ( a ，缸l 。- o 3 点支撑 图2 5 中的c 点，不允许有垂直于板面方向的移动，边界条件可写为： ( w l 。41 0 ( 2 1 7 ) 4 自由边界条件 图2 5 中的b c ( d c ) 边为自由边界，不受任何约束。边界上可以有外力，也可以 无外力作用。在y - 别进，弯矩m ，扭矩m ，与合成剪力巧等于外力作用，边界 条件可表达为： 似，) y 4 一m ， f ) y 1im f ( 2 1 8 ) 以) ，m 一巧 其中：m ，m ，巧为边界外力a 根据微分方程的理论，一般情形下在每个边界上只需要提供两个边界条件 才是恰当的而在( 2 一1 8 ) 中多了一个条件，要同时满足是不可能的。为保证微分 方程( 2 1 3 ) 解的存在并且唯一必须把边界条件给的恰到好处。这一问题由齐尔西 霍夫给以解决。 山东大学硕士学位论文 白与 m 自 m 乒等西( m 。 _ | i f 。一r h 盘+ ! 坚e 矗 ( b ) 圈2 6 扭矩的等效横同男力 关于扭矩的等效横向剪力( 以下简称等效横力) 可由图2 6 说明。假设在a b 边上作用着连续分布的扭矩，现用d x 将a b 分为若干个微段，在每一微段d x 上都 作用着一扭矩，如某个微分元上为m 。d x ，则相邻微元上的扭矩就为 ( m ，+ ! 警出) 出，可以把他们的每一个都化为静力上相等的一对横力作用于该。 靠 单元的两端，方向相反，大小分别为m ，和m ，+ 型鍪出，于是在微元交界处有 。 嘶 一横力的合力，大小为! 墼出，亦即在出上连续分布着横力竺坚，它与原来 i 批批 连续分布的扭矩 k 等效于是，自由边b c 上的边界条件可以写为： 似，) ，d 0 ( 2 1 9 ) 峨+ 挚，一 利用式( 2 - 7 ) 和式( 2 - 1 1 ) ，上式可以改写为： 一。伊爿。 z 。， 加( 窘坤训嘉) ，。 在建立自由边的边界条件时，将扭矩化为横力，根据圣维南原理只是影响边 界局部的应力分布，所以该转化是允许的。 2 3 四点简支矩形板弯曲问题的解析解 现在的问题是根据四点简支矩形板的边界条件求解基本方程( 2 1 3 ) 。目前有 山东大学硕士学位论文 许多求解方法，如能量法、差分法、有限元法、级数解法等。有限元法是解决这 类问题最为有效的方法，它的优点是通用性强，可以求解各种任意形状，任意荷 载和支承条件的结构。但它也存在严重的缺点，一是构造满足相邻单元位移协调 的条件很困难，二是由于抛弃解析法的成果太多，过分强调结构的离散化，因而 在求解时，输入工作量和计算工作量都很大，程序也比较复杂。 本文将尝试用解析法求解四点简支式矩形板的弯曲问题。由于四点简支式矩 形板的边界条件比较复杂，提出满足所有边界条件的位移模式难度很大。在尝试 了多种函数形式后，文中给出了一种的位移模式。该位移模式完全满足四点支承 矩形板的边界条件，较好地解决了四点支承矩形板在均布荷载下的弯曲问题。 2 3 1 国内外研究现状 数十年来点支板问题始终受到国内外学者的关注1 1 4 - ：“1 。目前点支板文献中最 常用的方法为瑞利一里兹法和拉格朗日乘子法i 悼1 8 1 。l e e 和b a l e s t e r o s l1 1 4 1 采用二 维多项式作为挠度函数来求解均布荷载作用下的角点支承矩形板弯曲问题。由于 无法使边界上每点都满足力的边界条件，弯矩为零的条件是以沿边界的积分为零 来近似处理的。其后这种v i j a k k h a n a 1 5 i 用来求解均布荷载作用下的点支等边三 。， 角形板的弯曲问题。在研究均布荷载作用下的各向异性角点支承菱形板时， n e s h a n m u g a m l 1 6 1 等人也采用二维多项式作为位移函数，但是放弃了力的边界 条件。为减小扭矩和剪力的误差，c m w a n g l l l l 7 1 等人借助中厚板的做法，考虑 了剪切变形对均布荷载作用下角点支承矩形板挠曲的影响。g a l e r k i n l 1 8 1 采用双 曲函数与三角函数的组合形式作为位移函数，研究了四边支承在弹性梁( 梁固支 在角点) 上的矩形板在均布荷载作用下的弯曲问题，可通过假定梁的刚度为零得 到角点支承矩形板的解。近年来邓其营、陈学潮【1 9 】和朱万福、宋启根 m l 等人用 逐步消除边界剪力的方法来解决点支矩形板在任意荷载作用下的弯曲问题。该方 法首先将荷载分解为对称荷载和反对称荷载。然后在两对边简支的板上交替施加 反向剪力进行迭代，直至完全消除各边上的剪力，从而得到点支矩形板在对称荷 载或反对称荷载作用下的解。 2 3 2 位移模式的选择 四点支撑矩形薄板是通过螺栓与焊接在钢梁或钢柱上的连接件相连的，支撑 类型在力学模型上属于铰接，即在支撑点处有一定的平移和转动的自由度。这样 山东大学硕士学位论文 在垂直于墙板板面的均布荷载作用下，墙板中面不会因为弯曲产生中面拉应力。 所以，可采用小挠度理论计算墙板的内力和位移。考虑一个边长为a 、b 的矩形板 ( 如图2 7 ) 。0 、a 、b 和c 点为支撑点，o a 、a b 、b c 和c o 边为自由边。墙板承受 均布荷载q 的作用。根据以上条件确定位移模式的函数形式。满足基本微分方程 ( 2 1 3 ) ，同时还应满足边界条件。 o a y 图2 7 四角点支撑矩形板 i 四点支承墙板的边界条件 图2 7 所示为四点支承板。图中o 、a 、b 、c 为支承点。四点不可以移动，边界条 件可以写为： k 咖_ 0 ，o ，屹。，l o - 0 ，峨。 4 - o ，k 。，d o ( 2 2 1 ) 图中的o a 、a b 、b c 和c o 边为自由边界，边界上无外力作用。由( 2 2 0 ) 可知，0 a 边的边界条件可以表达为： 句眵芬卜( 2 - 2 2 ) 功( 軎邶刊啬卜。 对于a b 边有： _ v i ia _ + 軎) ，。一。( 2 - 2 3 ) 山东大字坝士字位论文 一d ( 雾郴训害) ，。 对于b c 边有： 切黟孰。一。( 2 - 2 4 ) 切( 窘作刊啬) _ 。 对于c o 边有： 加眵卢害卜 z s ， 切( 窘作刊嘉卜。 2 函数的选择 求解点支板的弯曲问题就是寻求一个挠度函数w ( x ，y ) ，使之能够同时满足 控制微分方( 2 - 1 3 ) 和边界条件( 2 2 2 ) ( 2 2 6 ) ，这往往是非常困难的。位移函数 的选取是解析法十分重要的问题，不同的试函数对计算结果影响不大，但对工作 量大小和计算结果收敛的快慢有较大的影响为满足上述1 2 个边界条件，笔者尝试 了多种函数形式，并最终选择了如下的函数形式作为位移模式： w - k s h a ( b y ) + b , 。s h a y + c 辨口( 6 一y ) c h a ( b y ) + d a y c h a y s i n a r s h a b 智 + ； 毛妫卢( 口一z ) + e 曲卢x + q 卢。一工) c h f l ( a z ) + 也励砌卢工】s 血f l y s h f l 口 xv x y j r v 善v x y + + i + a o - 言+ q 1 茅+ 7 + a w6 z + a 2 1 方+ 茅 矿 v r v x y 3 + 7 + 4 0 3 一b 3 3 - 荔扣n 万 + 善；a m s m 饿咖缈 q 七6 舯厶。氆群 口。等，胁一1 , 2 , 3 ，卢一等，lz 1 , 2 知 山东大学硕士学位论文 考虑风载是均布荷载，则q 成为常数q o ，则 a 鱼q f ! = 竺! 竺兰2 1 1 二竺! 坚兰2 “d a b 筇陋2 + 卢2 ) 2 2 3 3 四点简支矩形薄板的理论公式 一、实际模型： 卜q什1 一 图2 8 实际模型 矩形板实际的支撑受力情况如图2 8 所示。考虑求解方便将作用在板周边c 宽范围内的均布荷载等效为均布剪力鼋。- 弘和均布弯矩历。- q c 2 ，2 从而确定实 际计算模型如下图2 9 所示 确定边界条件： 图2 9 计算模型 仟_ l r 土午j l l 根据薄板小挠度理论，求解此矩形板，可以归结为寻求找一个函数满足下列 横向弯曲基本微分方程，即： 塑+ 兰生+ 宰q ( 2 2 7 ) 一a 4 x + 面哥+ 万d 一 “ 其中： w 位移函数 q - - - - 均布荷载 。一薄板的抗弯刚度 6 = 1 2 ( 1 - 兰p 2 ) 同时还要满足边界上的条件： 在边界y = o 上， 孵) y - oi - o 立o a y + ( 2 训等l 叫c ( y o - d 。堕a y 2 + 斟l o - 譬 在边界y = b 上， 孵) y - b - - d 塑0 3 y + ( 2 刊等l 叩 ( m y ，y - b - d 桫0 2 0 ) + p 剖m 一譬 在边界x = a 上， ( v l - - d 塑0 3 x + ( 2 刊鲁l 叫c c - - d 塑o x 2 + 守l 一譬 在边界x = 0 上， 以) ，- o - d 立0 3 x + ( 2 训嘉l 叫 c 一。一。f 塑o x 2 + 争l 。一