（一般力学与力学基础专业论文）轴向变速运动黏弹性弦线非线性参数振动近似解析分析.pdf

上海大学上海市心用数学和力学研究所硕士学位论文 摘要 很多工程系统装置例如动力传送带、磁带、纸带、纺织纤维、带锯、空中缆 车索道等，均可模型化为轴向运动连续体。研究轴向运动连续体的横向振动问题 对于优化设计这些工程装置是十分重要的。弦线模型是一个忽略了抗弯刚度的一 维连续体系统，许多微小的工程元器件例如皮带，链条，磁带等都可以模型化为 弦线系统。除了以上这些工程需要之外，弦线横向振动和控制的研究也有理论意 义，因为轴向运动弦线是最简单的分布式陀螺连续体。分析和控制轴向运动弦线 所发展出来的各种方法，也可以应用于其它更为复杂的分布式陀螺连续体系统。 首先，建立一般的轴向运动弦线耦合运动的数学模型，引入含物质导数的两 种本构关系即k e l v i n 黏弹性本构关系和三参数黏弹性本构关系。忽略轴向分量 和高阶项，由耦合模型得到m o t e 模型。应用准静态假设，用弦线上的平均张力 取代其精确的扰动张力，由m o t e 模型得到k i r c h h o f f 模型。 其次，应用直接多尺度法分析轴向运动黏弹性弦线参数振动主共振和组合共 振。本构关系都为三参数黏弹性本构关系。根据可解性条件，得到了稳态响应非 平凡解的振幅和存在条件；应用l y a p u n o v 线性稳定性理论，得到了稳态响应平 凡解和非平凡解的稳定性条件；并数值的给出轴向运动弦线参数共振前两阶主共 振和组合共振稳态响应的振幅以及存在边界对解谐参数的关系。 再次，应用渐近分析方法分析轴向变速黏弹性弦线参数振动主共振，分别引 入两种本构关系即k e l v i n 模型和三参数模型，推导出渐近法的可解性条件，并 得到了稳态响应非平凡解的振幅和存在条件；应用l y a p u n o v 线性稳定性理论， 得到了稳态响应平凡解和非平凡解的稳定性条件；并数值的给出轴向运动弦线参 数共振前两阶主共振稳态响应的振幅以及存在边界对解谐参数的关系。最后将渐 近分析法与多尺度法进行了比较。 最后，对本文所做的工作和得到的结果进行了总结，并且展望进一步需要研 究的工作。 关键词：轴向变速运动弦线，非线性，参数振动，黏弹性，多尺度法，渐近法， 稳态响应 v 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕上学位论文 a bs t r a c t a x i a l l ym o v i n gs t r i n g sc a r lr e p r e s e n tm a n ye n g i n e e r i n gd e v i c e ss u c h 勰p o w e r t r a n s m i s s i o nb e l t s ，m a g n e t i ct a p e s ，p a p e rs h e e t s ，t e x t i l ef i b e r s ，b a n ds a w s ，a n da e r i a l c a b l et r a m w a y s t h e r e f o r e ，u n d e r s t a n d i n gt r a n s v e r s ev i b r a t i o n so fa x i a l l ym o v i n g s t r i n g si si m p o r t a n tf o rt h ed e s i g no ft h ed e v i c e s as t r i n gi sao n e - d i m e n s i o n a l c o n t i n u u mt h a to f f e r s1 1 0r e s i s t a n c et ob e n d i n g m a n ys l e n d e re n g i n e e r i n ge l e m e n t s s u c h 私b e l t s ，c a b l e s ，s t r i p s ，c h a i n s ，t a p e s ，r o p e s ，a n dt h r e a dl i n e sc a nb em o d e l e d 雒 s t r i n g sb e c a u s et h e i rb e n d i n gs t i f f n e s si sr e l a t i v e l ys m a l l t h ei n v e s t i g a t i o n s o i l t r a n s v e r s ev i b r a t i o n sa n dc o n t r o lo fa x i a l l ym o v i n gs t r i n g sa l s oh a v et h e o r e t i c a l s i g n i f i c a n c e ， b e c a u s ea l la x i a l l ym o v i n gs t r i n gi sas i m p l e s tr e p r e s e n t a t i v eo f d i s t r i b u t e dg y r o s c o p i cs y s t e m s d u et op a r t i c u l a rc h a r a c t e r i s t i c so ft h eg y r o s c o p i c t e r m ，t h ea p p r o a c h e sd e v e l o p e di na n a l y s i sa n dc o n t r o lo ft r a n s v e r s ev i b r a t i o n so fa n a x i a l l ym o v i n gs t r i n gc a nb ea p p l i e dt oo t h e rm o r ec o m p l i c a t e dd i s t r i b u t e dg y r o s c o p i c s y s t e m s f i r s t ，t h eg o v e r n i n ge q u a t i o no fi n - p l a n a rm o t i o no ft h es t r i n gi se s t a b l i s h e db y i n t r o d u c i n gac o o r d i n a t et r a n s f o r mi nt h ee u l e r i a ne q u a t i o no fas t r i n gw i t hm o v i n g b o u n d a r i e s t h es t r i n gu n d e ri n v e s t i g a t i o ni sc o n s t i t u t e db yt h ek e l v i nm o d e la n dt h e s t a n d a r dl i n e a rs o l i dm o d e li nw h i c ht h em a t e r i a l ，n o tp a r t i a l ，t i m ed e r i v a t i v ew a su s e d t h eg o v e r n i n ge q u a t i o nl e a d st ot h em o t em o d e lf o rt r a n s v e r s ev i b r a t i o nb yo m i t t i n g t h el o n g i t u d i n a lc o m p o n e n ta n dh i g h e ro r d e rt e r m s t h ek i r c h h o f fm o d e li sd e r i v e d f r o mt h em o t em o d e lb yr e p l a c i n gt h et e n s i o nw i t ht h ea v e r a g e dt e n s i o no v e rt h e s t r i n g s e c o n d ，t h et w om o d e l sa ler e s p e c t i v e l ya n a l y z e dv i at h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e s f o rb o t hp r i n c i p a lp a r a m e t r i cr e s o n a n c ea n dc o m b i n a t i o np a r a m e t r i cr e s o n a n c e t h e s t r i n gu n d e ri n v e s t i g a t i o ni sc o n s t i t u t e db yt h es t a n d a r dl i n e a rs o l i dm o d e li nw h i c h t h em a t e r i a l ，n o tp a r t i a l ，t i m ed e r i v a t i v ew a su s e d t h ea m p l i t u d ea n dt h ee x i s t e n c e v i 上海大学上海市应用数学和力学研究所 硕上学位论文 c o n d i t i o n ss t e a d y - s t a t ep e r i o d i c a lr e s p o n s e sa r ep r e s e n t e db yt h es o l v a b i l i t yc o n d i t i o n t h el y a 烈m o vl i n e a r i z e ds t a b i l i t yt h e o r yc a nb ea p p l i e dt h es t a b i l i t yo ft h e s t e a d y - s t a t ep e r i o d i cr e s p o n s e sa n d t h ee q u i l i b r i u m t h ea m p l i t u d e sa n dt h ee x i s t e n c e c o n d i t i o n so fs t e a d y - s t a t er e s p o n s ea n di t ss t a b i l i t yc a nb en u m e r i c a l l yd e t e r m i n e d t h i r d ，t h et w om o d e l sa r er e s p e c t i v e l ya n a l y z e dv i at h ea s y m p t o t i cp e r t u r b a t i o n m e t h o df o rp r i n c i p a lp a r a m e t r i cr e s o n a n c e t h es t r i n g u n d e ri n v e s t i g a t i o ni s c o n s t i t u t e db yt h ek e l v i nm o d e la n dt h es t a n d a r dl i n e a rs o l i dm o d e li nw h i c ht h e m a t e r i a l ，n o tp a r t i a l ，t i m ed e r i v a t i v ew a su s e d t h ea m p l i t u d ea n dt h ee x i s t e n c e c o n d i t i o n ss t e a d y - s t a t ep e r i o d i c a lr e s p o n s e sa r ep r e s e n t e db yt h es o l v a b i l i t yc o n d i t i o n t h el y a p u n o vl i n e a r i z e ds t a b i l i t yt h e o r yc a nb ea p p l i e d t h es t a b i l i t yo ft h e s t e a d y - s t a t ep e r i o d i cr e s p o n s e sa n dt h ee q u i l i b r i u m t h ea m p l i t u d e sa n dt h ee x i s t e n c e c o n d i t i o n so fs t e a d y - s t a t er e s p o n s ea n di t ss t a b i l i t yc a l lb en u m e r i c a l l yd e t e r m i n e d a l s o ，t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e sa n dt h ea s y m p t o t i cp e r t u r b a t i o nm e t h o da r e c o m p a r e di nt h ee n d f i n a l l y , t h er e s u l t so ft h et h e s i sa r es u m m a r i z e da n dt h ef u r t h e rw o r ki ss u g g e s t e d k e y w o r d s ：a x i a l l ya c c e l e r a t i n gs t r i n g s ；n o n l i n e a r i t y ；p a r a m e t r i c v i b r a t i o n ； v i s c o e l a s t i c i t y ；t h em e t h o do fm u l t i p l es c a l e s ；t h ea s y m p t o t i cp e r t u r b a t i o nm e t h o d ； s t e a d y - s t a t er e s p o n s e v i i 上海人学上海市应用数学和力学研究所硕上学位论史 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：匿：坚日期：鲨墨：圣：砂 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可 以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：丝导师签名：蝉日期： i i 阳艿弓y 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕七学位论文 第一章绪论 1 1 课题来源及研究背景 1 1 1 课题来源 本文得到国家杰出青年科学基金( 1 0 7 2 5 2 0 9 ) 、国家自然科学基金( 1 0 4 7 2 0 6 0 、 1 0 6 7 2 0 9 2 ) 、上海市自然科学基金( 0 4 z r l 4 0 5 8 ) 、上海市教委科研项目( 0 7 z z 0 7 ) 、 上海市重点学科建设项目( y 0 1 0 3 ) 资助。 1 1 2 研究背景 很多工程系统装置例如动力传送带、磁带、纸带、纺织纤维、带锯、空中缆 车索道、高楼升降机缆绳、单索架空索道等，均可模型化为轴向运动连续体。这 些装置在工程中有着广泛的应用，但由于振动和噪声，尤其是在这些装置运动过 程中产生的横向振动大大限制了它们的应用效果。例如，在磁带装置中，横向振 动导致磁带的信号调制并加速磁带磨损老化；又例如，汽车发动机的平带驱动系 统中带的振动将产生噪声并影响发动机运转的平稳和可靠。因此，研究轴向运动 连续体的横向振动问题对于优化设计这些相关的工程装置是十分重要的。更为重 要的是，通过研究可以引入有效的控制机制来减小振动和噪声以提高设备的利用 效率。 弦线模型是一个忽略了抗弯刚度的一维连续体系统。由于弦线自身重力与弦 内张力相比充分的小，弦线模型的平衡位型是一条直线。许多微小的工程元器件 例如皮带，链条，磁带，绳索，电缆，细线等，由于它们的自身重力和抗弯刚度 充分小可以忽略，因而可以模型化为弦线系统。另外，如果这些工程元件的抗弯 刚度相对较大而不可忽略时，可以将它们模型化为梁系统。如果这些工程元件有 曲线状的平衡位型，可以将它们模型化为电缆系统，即松弛弦线系统。而对于那 些有一定宽度的工程元件来说，可以将其模型化为二维连续体系统，如膜系统， 板系统或者是壳系统。 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 除了以上这些工程需要之外，轴向运动弦线横向振动和控制的研究也有理论 意义，因为轴向运动弦线是最简单的分布式陀螺连续体。轴向运动的弦线，梁， 缆，膜，板和壳等都可以归为轴向运动系统的一类，更为一般的，它们都属于包 含了平动和转动的陀螺系统。事实上，轴向运动连续体被称为陀螺体，是因为系 统动力学方程中存在由于科氏加速度而产生的空间和时间混合偏导数项。由于陀 螺项的斜对称等特性，用来分析和控制轴向运动弦线所发展出来的各种方法，也 可以应用于其它更为复杂的分布式陀螺连续体系统。 1 2 研究进展 1 2 1 轴向运动弦线非线性模型 虽然轴向运动连续体的研究历史可以追溯到1 8 7 8 年a i k e n 1 】的实验观测和分 析，但直到上世纪后半叶，相关研究才受到广泛关注并成为相对活跃的研究领域。 很多学者在这个问题上作了很多出色的工作，一系列综述反映了不同时期的研究 进展，如m o t e 2 1 ，u l s o y 等【3 1 ，w i c k e r t 和m o t e 4 1 ，a b r a t e 5 1 ，c h e n 【6 】等。 早期主要研究线性轴向运动弦线系统，线性模型基于两个基本假设：弦线的 横向位移与弦线跨度距离相比非常小；弦线的初始张力充分大，且不因弦线的伸 长而变化。w i c k e r t 和m o t e t t ，w i c k e r t 8 1 首先用模态分析法研究了轴向运动弦线 和梁的横向振动，得到了任意激励和任意初始条件下的运动弦线的精确解，他们 不仅完全解决了运动弦线的线性振动问题，而且用近似解析法研究了运动弦线的 非线性振动问题。 然而，轴向运动弦线线性理论仅仅适用于小幅振动的运动，并且，运动弦线 必须由弹性材料构成，这在实际工程中都是不现实的，因此，我们必须考虑几何 非线性和物理非线性。除此以外，一些非线性的外力例如库仑摩擦等作用在系统 中，线性理论也是不适用的。实际上在很多情况下，由于线性理论的适用性相对 较小，用线性理论分析问题往往是错误的，因此，非线性分析的引入就十分必要 了。通常，非线性分析难点在于需要求解一组非线性的偏微分动力学方程。 描述轴向运动弦线有两种方式。一种为混合e u l e r i a n l a g r a n g i a n 描述，一种 为e u l e r i a n 描述。m o t e t 9 】首先研究了轴向运动弦线的非线性振动问题，运用 上海大学上海市戍用数学和力学研究所硕士学位论文 h a m i l t o n 原理建立了动力学方程，方程中考虑了轴向运动弦线的几何非线性。他 假设纵向位移的空间导数很小可以忽略，从而得到了一个横向振动的非线性偏微 分方程，此模型被称为m o t e 模型，在轴向运动弦线的研究中得到了广泛的应用。 t h u r m a n 和m o t e t l o 】进而用h a m i l t o n 原理研究了轴向运动梁系统，假设纵向位移 的空间导数不可忽略，从而得到了一组轴向运动梁纵向和横向振动耦合的动力学 方程组，其中梁的变形仅仅在垂直平面内。如果忽略梁的抗弯刚度，就可以退化 得到轴向运动弦线的纵向和横向振动的一组耦合方程。另一种轴向运动弦线非线 性模型被称为k i r c h h o f f 模型【1 1 1 ，此模型主要基于以下假设：横向和纵向的位移 都是小而有限的，因此可以用l a g r a n g e 应变来描述几何非线性；弦线的伸长满 足准静态假设。在这些假设下，纵向位移和横向位移在低阶横向振动没有相互作 用，因此可以忽略纵向惯性。a m e s 等【1 2 】建立了另一种类型的控制方程。他们应 用牛顿第二定律直接导出了一组轴向运动弦线非线性双曲型偏微分方程。 k o i v u r o v a 和s a l o n e n 1 3 1 回顾并阐明了轴向运动弦线非线性描述问题，得出m o t e 9 1 以及t h u r r n a n 和m o t e 1 0 1 的描述属于混合e u l e r i a n l a g r a n g i a n 描述，a m e s 掣1 2 】 的描述属于e u l e r i a l l 描述。 1 2 2 轴向运动弦线参数振动 引起振动的原因有很多种，在研究轴向运动弦线横向振动中，一个重要的问 题是由于参数变化而引起的横向大幅振动。参数振动是除自由振动，受迫振动， 自激振动以外的又一种振动形式，参数振动由外界的激励产生，但激励不是以外 力的形式施加于系统，而是通过系统内参数的周期性改变间接地实现。对于轴向 运动弦线而言，引起参数振动主要有两个因素：轴向张力的变化( a r i a r t n a m 和 a s o k a n t l l a i l 【1 4 1 ，m o c h e n s t t l l t l 等【15 1 ，m o t e 16 1 ，n a g u l e s w a r a n 和w i l l i a m s 1 7 1 ，l i u 和h u a n g t l 引，r h o d e s 1 9 】等) 和轴向运动速度的变化( m o t e t 2 0 1 ，p a k d e m i r l i 和 b a t a n 2 1 1 ，p a k d e m i r l i 等 2 2 1 ，p a k d e m i r l i 和u l s o y t 2 3 1 ，o z 等 2 4 】，o z k a y a 和 p a k d e n i r l i 2 5 1 ，s u w e k e n 和h o r s s e n 2 6 1 ，w i c k e r t 2 7 j ) 。早期的文献认为，由于轴向 的激励，弦线轴向张力发生变化，可以描述为在平均张力的基础上有一个简谐扰 动。后来的研究表明，轴向张力的变化并不是简单的有一个简谐的涨落项，而弦 线运动速度在机械带动的周期往复运动中主要由外部机械联动装置来决定，所以 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕上学位论文 可以假设运动速度的表达式为在平均速度的基础上有一个简谐扰动，并且，轴向 张力的变化可以用轴向速度的变化来刻画，轴向的变速运动是更一般的引起轴向 运动弦线参数振动的原因。众所周知，即使激励频率远离系统的线性固有频率的 情况下，很小的参数激励就可以引发很大的响应，因此，轴向运动弦线的参数振 动的稳态响应是我们主要关心的课题。近年来，越来越多的研究更加关注非线性 参数振动，运用各种解析的或数值的方法，人们得到了很多复杂的轴线运动弦线 振动的分叉和混沌的动力学行为。 m o t e 1 6 】首先研究了轴向运动弦线的参数振动。用等效的差分格式替换空间 导数，从而将控制方程离散为耦合的m a t h i e u 方程组，对于不同的运动速度，运 用数值积分方法得到了稳定和不稳定边界。n a g u l e s w a r a n 和w i l l i a m s r 7 】研究了轴 向运动弦线参数振动的稳定性。用g a l e r k i n 法截断控制方程并只保留i j i 四阶项， 他们发现当张力波动频率在横向振动系统固有频率二倍时参数振动不稳定性最 大，同时他们也实验验证了主要的不稳定区域。m o t e 2 0 1 研究了一端受到简谐驱 动的轴向变速运动弦线的稳定性。他用速度的平均值代替速度的变化，并运用 l a p l a c e 变换分析所得到的常系数方程的稳定性。研究表明，减速运动会产生不 稳定现象而加速运动会增加稳定性或阻尼效应。 1 2 3 黏弹性本构关系 随着技术的发展，在工程实际中，越来越多的实际应用的皮带由带有金属或 陶瓷材料等加固的新型材料或者复合材料构成，这些材料中绝大多数为黏弹性材 料，因为黏弹性材料为机械和结构提供了所需要的阻尼，从而得到了广泛的应用。 这些材料大部分的具有固有的黏弹性动力学行为，例如材料受到应力或应变时会 发生粘性流动，这种流动是伴随着材料内部机制的损耗等的能量消耗，从而导致 皮带温度上升而剧烈滑动。另外，黏弹性材料还会产生蠕变等其他动力学行为。 因此，为了准确地描述和研究这种黏弹性材料所具有的蠕动和阻尼的性质，更真 实的反映现实世界中的物体及其动力学行为，我们将研究轴向运动弦线横向振动 时，将弦线的材料考虑为黏弹性材料。 现在所研究的黏弹性材料分为微分型材料和积分型材料。微分型材料可以分 别用k e l v i n 本构关系或者三参数本构关系来描述；积分型材料是通过定义一个 上海大学上海市应用数学和力学研究所 硕上学位论文 指数函数形式或者幂级数形式的应力松弛函数来描述。值得注意的是，在应用微 分型本构关系时，很多学者仅仅考虑了对时间的导数，而没有考虑到物质导数的 影响。他们忽视了由于弦线的轴向运动而存在的“稳定耗散 。为了检验这个耗 散对于系统的影响，我们需要在建立本构关系时，将物质导数考虑其中从而得到 一个更加广义的并符合物理实际的黏弹性本构关系。 z h a n g 和z u 2 8 】首先研究了轴向运动黏弹性弦线非线性自由振动。系统的动 力学方程为一个连续自治的弱非线性陀螺系统，弦线材料为k e l v i n 黏弹性本构 关系。由可解性条件得到了第一阶渐近解，发现由于黏弹性模型所引入的阻尼对 振幅有着很重要的影响，但对于固有频率影响不大。因此，有着强黏弹性性质的 材料能够有效地减小弦线振动的振幅而对固有频率影响很小。z h a n g 和z u 2 9 】进 一步研究了一端受简谐激励的轴向运动黏弹性弦线的受迫振动。由可解性条件， 他们利用一组代数方程来求得近似的和精确的稳态响应的振幅和相角。他们发现 弦线运动速度对于稳态响应有着很大的影响，因为不仅线性固有频率而且激励频 率都由弦线运动速度所决定。他们也同样比较了准静态假设下和非准静态假设情 况下得到的结果。h o u 和z u 3 0 】应用多尺度方法分析了轴向运动弦线自由振动， 其控制方程为一组耦合的非线性偏微分方程。他们采用三参数黏弹性模型。忽略 纵向位移，用牛顿第二定律建立了横向振动的动力学方程。将三参数黏弹性模型 退化为k e l v i n 黏弹性模型和m a x w e l l 黏弹性模型并进行了比较。f u n g 掣”】应用 g a l e r k i n 方法研究了三参数黏弹性模型组成的变速运动弦线。数值结果表明振动 频率依赖于弦线运动速度和黏弹性参数，参数共振可能有不稳定现象。z u 和 h o u 3 2 】得到了轴向运动弦线非线性振动的通解，并比较了各种黏弹性模型的异 同。 以上研究的弦线材料都是微分型材料，近年来，很多学者采用了积分型本构 关系例如b o l t z m a n n 黏弹性本构关系等。c h e n 和z u 3 3 1 ，c h e n 掣3 4 1 ，研究了轴 向运动黏弹性弦线的解析解。他们分别研究了次谐波共振和组合共振，得到了非 平凡解稳态响应的振幅和存在条件的封闭形式的解。c h e l a ”】研究了轴向变速运 动弦线参数共振。其速度变化的频率为响应未扰动系统固有频率的二倍，应用多 尺度法，根据可解性条件，得到了参数共振稳态响应非平凡解的振幅和存在条件。 同样，应用l y a p u n o v 线性稳定性理论，得到了稳态响应平凡解和非平凡解的稳 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕上学位论文 定性条件。f u n g 等3 6 1 研究了轴向运动黏弹性弦线的瞬时运动。应用四阶g a l e r k i n 截断得到一组四个微分积分方程组，然后用有限差分积分法近似计算积分，将微 分积分方程组转化为常微分方程组进行数值求解。z h a n g 等【3 7 】研究了f u n g 等【3 6 】 同样的问题，他们应用b l o c k b y - b l o c k 方法，即广义的r u n g e - - k u t t a 法数值求解 非线性微分积分方程组。 以上文献所建立的黏弹性模型只考虑的时间的导数，而没有将物质导数的影 响考虑其中，m o c k e n s t u r m 和g u o t 3 8 1 将物质导数引入k e l v i n 黏弹性本构关系， 并同z u 等学者一系列的结果进行了比较，结果表明物质倒数的引入对于非平凡 解的振幅和存在区域有着很大的影响，这种差异随着轴向速度的增大而增大。同 样，物质导数也在其它的黏弹性弦线( h a 等【3 9 1 ) 和梁( m a r y n o w s k i 等【6 2 石习) 的 研究中引入。 1 2 4 解析和数值方法简介 求解非线性的参数振动控制方程相当困难，应用各种近似解析方法和数值方 法，得到了很多有意义的结果。早期的近似解析法的应用g a l e r k i n 离散方法，将 无穷维的方程截断成有限维偏微分方程，再用摄动法等进行求解，即间接摄动法。 另外，应用直接摄动法求解连续体非线性偏微分控制方程，例如谐波平衡法，渐 近法( k b m 法) ，多尺度法等等。n a y f e h 等【4 0 1 ，p a k d e m i d i 4 1 1 ，p a k d e m i d i 和 b o y a c i 4 2 1 ，p a k d e m i d i 等m 分析了离散摄动法和直接摄动法应用于非线性系统中 主共振，次谐波共振和超谐波共振的差别。数值方法上，常常应用g a l e r k i n 截断 方法，将动力学方程离散为一组常微分方程组，结合r u n g e k u t t a 法进行求解； 另外，直接数值法，如有限差分法和微分求积法等等比g a l e r k i n 方法有着更多的 优势。 b a p a t 和s r i n i v a s a n 删应用谐波平衡法来处理m o t e 模型的一阶g a l e r k i n 截断 方程。b a p a t 和s r i n i v a s a n 4 5 】同样应用直接线性化方法来处理运动弦线i 口- j 题。m o t e 和t h u r m a n 4 6 】应用离散摄动法分析了轴向运动弦线的线性和非线性模型，发现随 着轴向速度的增大非线性对第一阶模态的影响也增大。h u a n g 掣4 7 】应用离散摄动 法研究了三维轴向运动弦线的动态稳定性，用g a l e r k i n 方法离散控制方程为一组 常微分方程，应用特殊模态分析法解耦离散系统得到了两个独立的一阶联立方程 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 组，接着用多尺度法，分析解耦方程。w i c k e r t 4 8 】应用k b m 法研究轴向运动弦线 的纵向自激振动，他研究了摩擦阻尼弦线的响应，通过数值模拟，得到轴向运动 弦线运动速度低于一个特定值时将发生自激振动。m o o n 和w i c k e t t 4 9 】应用k b m 方法研究了两端受简谐激励的轴向运动弦线的受迫振动。对于弱非线性连续的非 自治的陀螺系统，在近似和精确共振区域得到了振动的振幅和相角的精确解，并 将解析结果同实验测量以及数值结果进行了比较。 多尺度法是近年来应用相当广泛的一种摄动方法。p a k d e m i r l i 和u l s o y l 2 3 】应 用多尺度法分析了轴向变速运动弦线的稳定性。他们用两种不同的方法研究了主 共振和组合共振的稳定性。首先，他们将控制方程用模态正交法离散，然后对得 到的方程应用多尺度法。其次，直接将多尺度法作用于控制方程。近似解析的得 到了边界的稳定和不稳定区域。离散多尺度法和直接多尺度法得到了相同的结 果，只是直接多尺度法更加简便。0 z 掣2 4 】用多尺度法研究了轴向运动弦线向梁 的过渡。假设速度变化的幅值和梁的抗弯刚度都很小，分析了梁的稳定边界得到 高阶频率会导致稳定边界的移位。z h a n g 和z u 唧】应用多尺度法研究了轴向运动 黏弹性弦线，他们得到了组合共振的非平凡解的振幅和存在条件的封闭形式的 解。z h a n g 和z u 【5 1 】得到了平凡解和非平凡解的稳定性条件，发现第一非平凡解 振幅随着粘性系数的增加而减小，而第二非平凡解振幅随着粘性系数的增加而增 大，第一非平凡解总是稳定的而第二非平凡解总是不稳定的，且黏弹性决定了非 平凡解的上界。( ) z k a y a 和p a k d e n i f l i t 2 5 】应用l i e 群方法得到了轴向变速运动弦线 的精确行波解，尽管这个解不适合解决边界问题，他们在简支边界条件下得到了 近似解。c h e r t 掣5 2 1 和c h e n 等【5 3 】用多尺度法研究了轴向运动黏弹性弦线，得到 了参数振动稳态响应非平凡解的振幅和存在区域，用l y a p u n o v 线形稳定性理论 得到了稳态响应平凡解和非平凡解的稳定性条件。 除上述的一些摄动方法外，渐近法也是一种有效的方法。它是通过系统的增 a n d , 参数的阶数以达到求解的精度。一般通过三个步骤完成：设定一个谐波组合 形式的解，引进慢尺度时间变量，通过谐平衡对不同的谐波组合直接进行求解。 m a c c a r i 州应用渐近方法研究了非线性弹性基础上的e u l e r - b e m o u l l i 梁的振动， 由渐近方法得到了振幅和相位的方程并得到了受迫振动和自由振动的曲线。同 时，渐近法的结果同数值方法和多尺度法的结果进行了比较以证明其有效性。 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 m a c c a r i 5 5 】应用渐近方法研究了参数激励的r a y l e i g b l i 6 n a r d 振子，得到了振幅和 相角的耦合方程组，并得到了周期稳态响应的稳定性以及参数激励响应和频率响 应曲线。 数值方法方面，一些学者运用g a l e r k i n 法将控制方程离散为一组常微分方程 组。p a k d e m i f l i 等【2 1 。2 2 】应用g a l e r k i n 法和f l o q u e t 理论研究了轴向变速运动弦线 横向振动的稳定性。c h e n 等【5 6 】为轴向运动黏弹性弦线发展了一种算法，这种近 似展开可将g a l e r k i n 截断得到了一组积分微分方程直接数值解，数值结果表明， 瞬态响应的振幅随着黏弹性小参数和黏弹性系数的增大而减小，而瞬态响应的周 期仅随着粘性系数的增大而减小，当参数激励频率变化是，横向振动可能变得不 稳定。除了横向振动外，g a l e r k i n 法也用在其它类型的运动弦线的分析。c h u n g 等【5 7 】应用g a l e r k i n 法研究了非线性轴向变速运动弦线轴向和纵向耦合问题。数 值结果表明横向振动的周期随着运动速度的增大而增大，由非线性理论得出的横 向振动响应与线性理论的结论有很大不同。 另外，一些直接的数值方法也得到了广泛的应用，并有着比g a l e r k i n 法更大 的优越性。z h a o 和c h e n 5 8 】用有限差分法处理了非线性轴向运动黏弹性弦线参数 振动，他们考虑了三参数模型和m a x w e l l - k e l v i n 流体模型为黏弹性模型，为了 更好的利用模型的特殊结构，他们假设应力为一个新的未知量来离散。用有限差 分来离散空间变量，推导出一组微分代数方程组，将其转化为一组常微分方程组 后用r u n g 涨u t t a 法进行求解。c h e r t 和z h a o 5 9 】用数值模拟求解了轴向变速运动 弦线横向振动。应用变分原理和h e r m i t e 试函数将控制方程离散为一组微分代数 方程，然后用r u n g e - k u t t a 法和牛顿迭代法进行求解。c h e n 掣删应用有限差分 法研究非线性轴向运动黏弹性弦线参数振动，他们将应变看成未知的辅助变量， 同时对控制方程和本构关系的空间变量离散，用标准程序数值求解。数值结果表 明非线性轴向运动弦线自有振动的振幅和频率随着轴向速度的增大而减小，虽然 只研究了线弹性弦线以及其次边界条件的情形，但改进的有限差分法可以适用于 更加复杂的本构关系和边界条件的情况。c h e n 和z h a o 6 1 】应用有限差分法研究了 轴向运动弦线的黏弹性模型。他们分别离散了控制方程和本构关系的空间和时间 变量，用各种数值的技巧来控制计算的稳定。 上海人学上海市应用数学和力学研究所硕j ：学位论文 1 3 本文的研究意义及主要工作 由以上的分析可以看出，轴向运动弦线的横向振动的研究工作已经有了一个 广泛的基础，也取得了很多优秀的成果，但同时也存在着许多尚未解决的问题。 首先，关于弦线非线性模型的建立，本文选择了广泛研究的m o t e 模型和准静态 假设条件下的k i r c h h o f f 模型，并对两种模型进行了一定的比较。其次，对黏弹 性材料的建模和分析目前还存在很多的问题，也存在着很多的争议，出现了各种 不同的描述，并且大多数还处于起步性的工作。本文就几种典型的黏弹性本构关 系加以讨论，并引入物质导数，同以前的工作进行了一些对比，得到了一些有意 义的结论。第三，在求解方程的方法上，本文不仅使用了传统的多尺度方法，还 首次将渐近方法引入到轴向运动连续体求解，并将这两种方法的进行了比较。同 样，渐近方法的应用可以推广到其它连续体系统中。因此，本文的研究对于轴向 运动弦线参数振动有一定的价值和意义。 本文的主要内容安排如下： 第一章绪论部分给出了本文的研究背景，研究现状以及本文的主要研究内容 和意义。第二章研究了轴向运动弦线数学模型，首先建立一般的轴向运动弦线耦 合运动的数学模型，引入含物质导数的两种本构关系即k e l v i n 黏弹性本构关系 和三参数黏弹性本构关系。忽略轴向分量和高阶项，由耦合模型得到m o t e 模型。 应用准静态假设，用弦线上的平均张力取代其精确的扰动张力，由m o t e 模型得 到k i r c h h o f f 模型。第三章应用多尺度法研究了弦线参数振动，分析了弦线参数 主共振和组合共振，通过可解性条件( c h e n 和z u 删) ，得出了方程第一阶和第 二阶稳态周期响应，并讨论了响应的稳定性。第四章应用渐近法研究了弦线参数 主共振，首次将渐近法引入轴向运动连续体的求解中，为了与前面的章节相区别， 本章用渐近法首先分析k i r c h h o f f 模型，然后将同样的分析步骤应用到m o t e 模型， 从结果来看，用渐近分析法得到的结果与多尺度方法一致，但过程更加简单，证 明了渐近法的有效性和优越性。最后，第五章对全文进行了总结和简单的展望。 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 第二章轴向运动弦线数学模型 2 1 前言 由于轴向运动弦线的线性模型的局限性，非线性模型建立的必要性很早就已 经受到人们的普遍关注。弦线的振动轴向和横向振动耦合作用的结果，但是当横 向运动为小振幅振动时，我们可以只考虑横向振动。m o t e 9 】首先研究了轴向运动 弦线的非线性振动问题，方程中考虑了轴向运动弦线的几何非线性。他假设纵向 位移的空间导数很小可以忽略，从而得到了一个横向振动的非线性偏微分方程， 此模型被称为m o t e 模型，在轴向运动弦线的研究中得到了广泛的应用。另一种 轴向运动弦线非线性模型被称为k i r e h h o f f 模型1 1 】，此模型主要基于以下假设： 横向和纵向的位移都是小而有限的，因此可以用l a g r a n g e 应变来描述几何非线 性；弦线的伸长满足准静态假设。在这些假设下，纵向位移和横向位移在低阶横 向振动没有相互作用，因此可以忽略纵向惯性。本章由一般的轴向运动弦线耦合 运动的数学模型，推导m o t e 模型和k i r c h h o f f 模型，与本构关系，几何关系及边 界条件一同构成了轴向运动弦线的控制方程。 2 2 轴向运动弦线的耦合运动数学模型 本节建立轴向运动弦线耦合运动的数学模型。设密度为p ，横截面积为a ， 初始张力为r 的弦线以一致的速度必力沿轴向移动，其中速度必d 是时间t 的给定 函数。假设弦线的变形仅在垂直平面内，弦线在两个距离为l 的固定的小孔中运 动，并满足固定的几何边界条件。弦线没有受到其他的外部载荷。弦线的运动可 以用弦线微段相对于以速度平动的空间参照系的轴向和横向位移甜o ，d 和诹，0 描述。其物理模型如图2 1 所示。 考察弦线在参考坐标系下的沿轴线方向以速度必f ) 的运动。弦线是约束在非 惯性参考系平面内运动的一维连续体。轴向运动弦线的e u l e r i a n 方程为： 户等。小涮卜p 窘2 串器镪j ，( 2 ， 上海大学上海市应用数学和力学研究所硕士学位论文 其中毗力为由于运动产生的扰动应力，并且u 啊= o u l a x ，以及v , 膏= c o x 。弦线的 张力e o + 4 0 f i 勺轴向和横向的分量分别为： 2 渊小 ( 2 - 2 ) 图2 1 轴向运动弦线 在非惯性参考