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基于小波变换的图像压缩编码研究 摘要 小波变换f 1 2 0 世纪8 0 年代以来得到了广泛的应用，尤其在数据压缩和去噪等 领域取得了良好的效果。然而，由于基函数形状的方向性较差和采用亚采样技术， 小波变换在图像压缩领域有着难以克服的弊病。为克服小波图像压缩的缺点，近 年来学者们提出了多种基于小波变换技术基础之上的变换方法，称为超小波。由 m a l l a t 等提出的b a n d e l e t 变换的基函数可以实现几何正则图像的最佳稀疏表示，在 图像压缩中有较大的优势和潜力。 小波变换和b a n d e l e t 变换分别可以对图像的光滑区域和纹理部分达到理论上 的最优逼近，在此基础之上本文提出了一种基于w a v e l e t 和b a n d e l e t 的混合图像编 码方法。借助于全变分图像分割方法，对图像进行分解分别得到图像的光滑区域 分量和边缘纹理分量，对图像的光滑区域和边缘纹理分量分别采用w a v e l e t 变换和 b a n d e l e t 变换进行图像编码以达到对整个图像的最优化逼近。实验结果表明重建 图像的纹理和边缘区域得到了很好的保留，尤其对几何流特征明显的图像，本文 方法重建图像的视觉质量优于j p e g 2 0 0 0 标准。 由于人类视觉的选择性，人们在观察和理解图像时能够不自觉的对其中的某 些区域产生兴趣，这些区域被称为“视觉感兴趣区域 。为了进一步提高图像的 压缩比，而同时又保证图像的重要部分能够高质量的得到重建，学者们针对人眼 的视觉特性提出了基于感兴趣区域的编码方法。 人类视觉系统的特性决定了人们对于哪怕较为微小的轮廓失真都会非常敏 感。因此，通过对图像的轮廓信息给予重视、分配足够的码字，那么在较低码率 情况下，将会得到更佳的主观视觉质量。基于以上考虑，本文提出了一种基于轮 廓的感兴趣区域图像压缩方法。实验表明，本方法能够在码率许可范围内最大程 度的保全背景部分的轮廓，从而使整个图像中的主题部分的大致轮廓能够较为清 楚的得以重建。 关键词：图像压缩w a v e l e t 变换超小波b a n d e l e t 变换感兴趣区域编码 r e s e a r c hi n t oi m a g ec o m p r e s s i o n a n dc o d i n gb a s e do n 验v e l e tt ra n s f o r m 肋y e l e tt r a n s f o r mh a sb e e n 融l yu s e ds i n c et h e8 0 s2 0 t hc e n t u r y , e s p e c i a l l yi n t h ed a t ac o m p r e s s i o na n dd e n o i s ea r e a s h o w e v e r , w a v e l e tt r a n s f o r i l lh a sm a n y i n s u r m o u n t a b l ed i s a d v a n t a g e si ni m a g ec o m p r e s s i o na r e ad u et ot h ep o o rd i r e c t i o n a l c h a r a c t e r i s t i co fb a s i cf u n c t i o na n dt h eu s i n go fs u b s a m p l i n gt e c h n i q u e i no r d e rt o o v e r c o m et h es h o r t c o m i n g so fw a v e l e ti m a g ec o m p r e s s i o n ，s c h o l a r sh a v ep r o p o s e da v a r i e t yo ft e c h n i q u e sb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r me n t i t l e d b e y o n dw a v e l e t i nr e c e n t y e a r s a m o n gt h e m ，b a n d e l e tt r a n s f o r mp r o p o s e db ym a l l a th a sg r e a t e ra d v a n t a g e sa n d p o t e n t i a li ni m a g ec o m p r e s s i o na r e ab e c a u s et h eb a s i cf u n c t i o nc a np e r f o r mt h eb e s t s p a r s er e p r e s e n t a t i o nf o rg e o m e t r i c a l l yr e g u l a ri m a g e 肠y e l e tt r a n s f o r ma n db a n d e l e tt r a n s f o i t nc a na c h i e v eo p t i m a la p p r o x i m a t i o nf o r s m o o t ha n dt e x t u r er e g i o n sr e s p e c t i v e l y , o nt h i sb a s e sw ep r o p o s e dah y b r i di m a g e c o d i n gm e t h o db a s e do nw a v e l e ta n db a n d e l e tt r a n s f o r m f i r s to fa 1 1 t h ei m a g ei s d e c o m p o s e di n t os m o o t ha n dt e x t u r ec o m p o n e n t sw i t ht o t a lv a r i a t i o nm e t h o d ，t h e n e n c o d et h et w oc o m p o n e n t sw i t hw a v e l e tt r a n s f o r i l la n db a n d e l e tt r a n s f o r m r e s p e c t i v e l ys ot h a tt h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o nf o rt h ew h o l ei m a g ei so b t a i n e d e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a tt h et e x t u r ea n de d g e sa r eg r e a t l yp r e s e r v e di nt h e r e c o n s t r u c t e di m a g e ，e s p e c i a l l yf o rt h o s ei m a g e s 丽t l io b v i o u sg e o m e t r i c a lf l o w n 圮 v i s u a lq u a l i t yo ft h er e c o n s t r u c t e di m a g eb a s e do no u rm e t h o do u t p e r f o r m st h a tu s i n g j p e g 2 0 0 0 w h e np e o p l ea r eo b s e r v i n ga n dc o m p r e h e n d i n gi m a g e s ，t h e ya r ei n t e r e s t e di n c e r t a i nr e g i o n sn a t u r a l l y n a ti sb e c a u s eo ft h es e l e c t i v i t yo fh u m a nv i s u a ls e n s a t i o n t h er e g i o n si nw h i c hp e o p l ea r ei n t e r e s t e da r en a m e d ”r e g i o no fi n t e r e s t ”i no r d e rt o i n c r e a s et h ec o m p r e s s i o nr a t i oa n de n s u r et h a tt h er e g i o n so fi n t e r e s ta r er e c o n s t r u c t e d w i t hh i g hq u a l i t ya tt h es a m et i m e ，s c h o l a r sp r o p o s e dr e g i o no fi n t e r e s ti m a g ec o d i n g a i m i n ga th u m a n v i s i o nc h a r a c t e r i s t i c p e o p l et e n dt ob ev e r ys e n s i t i v et o w a r dt h ed i s t o r t i o ni nc o n t o u r , e v e ni ft h e d i s t o r t i o ni st i n y , w h i c hi sd e c i d e db yt h ec h a r a c t e r i s t i co fh u m a nv i s u a ls y s t e m t h e r e b y , ab e t t e rv i s u a lq u a l i t yc a nb ea c h i e v e db ym e a n so fd i s t r i b u t i n gm o r eb i t st o i m a g ec o n t o u r a tl o wb i tr a t e b a s e do nt h e s ec o n s i d e r a t i o n s ，ar e g i o no fi n t e r e s ti m a g e c o m p r e s s i o nm e t h o db a s e do nc o n t o u rw a sp r o p o s e di n t h i sp a p e r e x p e r i m e n t a l r e s u l t si n d i c a t e ，t h ec o n t o u ro ft h er e c o n s t r u c t e di m a g ei nt h eb a c k g r o u n di sp r e s e r v e d a sm u c ha sp o s s i b l ew i t h i nt h el i m i t a t i o no fb i tr a t es ot h a tt h es u b j e c to ft h ew h o l e i m a g ei sd e a r e r k e yw o r d s ：i m a g ec o m p r e s s i o nw a v e l e tt r a n s f o r mb e y o n dw a v e l e tb a n d e l e t t r a n s f o r mr e g i o n o f - i n t e r e s tc o d i n g 青岛科技大学研究生学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申请的 论文或成果。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中做了明 确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：日期：年月日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解青岛科技大学有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人离校后发表或 使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署名单位仍然为青岛科 技大学。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 本学位论文属于： 保密口，在 年解密后适用于本声明。 不保密口。 ( 请在以上方框内打“”) 本人签名： 导师签名： 日期： 日期： 年月日 年月日 青岛科技大学研究生学位论文 1 1 概述 第一章、绪论 视觉活动是人类最重要的基本活动之一，视觉信息是人类获取外部知识、了 解世界的主要途径和重要形式。据统计，人类所获取的外界知识中约有8 0 以上 的信息来自于视觉，很多情况下图像所承载的信息比任何其他形式的信息都更真 切、更丰富也更易于获取。正所谓“百闻不如一见”说得就是这个道理。 随着计算机和通信技术的快速发展，仅仅能够处理文字和声音信息已经远远 不能满足人们的需求。计算机存储能力和通信传输速度的飞速提高使得在信息系 统中处理和传输数字图像成为可能。数字图像信息处理迅速发展成为一门涉及数 学、物理学、控制理论、信息处理、生物心理学、心理学和计算机科学等多个领 域的交叉学科。 一般来说，图像可以看作是一个二维的样本值序列， 珂f ，儿0 i m ，0 j ( 1 1 ) 在垂直和水平方向分别具有有限的宽度m 和n ；样本值币，1 表示图像在第i 行、 第j 列位置上像素点的强度( 亮度) 。样本值通常是b 位的有符号或无符号整数。而 具有c 维的图像( 如彩色图像、高光谱图像) 则可由多个图像分量来组成： 【f ，_ 】，0 s f m ，0 sj ，c - 1 , 2 ，c ( 1 2 ) 与文字信息不同，未经压缩的数字图像的数据量是非常巨大的，我们需要大 的存储容量和宽的传输信道来处理它们。一幅分辨率为1 0 2 4 x 1 0 2 4 的2 4 位色的真 彩色图像，其数据量为3 m b 。在n r r s c 制广播电视中，亮度信号的带宽为4 2 m h z ， 两个色差信号( i 和q ) 的带宽分别为1 5 m h z 和0 5 m h z 。如果分别用2 倍的采样率 对他们进行采样，并对各个样本值用8 b i t 进行量化，则每秒钟的总信息量就是 ( 4 2 + 1 5 + 0 5 ) x 2 x 8 = 9 9 2 m b i t 。而近年来的高清电视中信息量已经达到1 2 g b i t s 。 相对比语音传输速率标准的6 4 k b i t s ，如果图像只进行了数字化而未经信息压缩， 那么它的信息量将是实际语音信号的1 0 0 0 倍以上。 基于小波变换的图像压缩编码研究 因此，在实际应用中图像压缩技术被广泛采用，以去除图像中的冗余信息， 减少图像的数据量。这些冗余信息主要有以下几个方面： 1 空间性冗余：在图像中，相邻的两个像素具有较近的灰度值。 2 结构性冗余：由于先验知识，人们知道图像中的一部分信息就可推知另一 部分信息。 3 心理视觉冗余：由于人的视觉特性，当图像中的某些信息被去掉后，对整 个人的视觉影响不大。 4 关注度冗余：用户通常只对原始图像的一部分信息感兴趣。 5 匹配性冗余：当系统各部分分辨率不一致时，保持某一部分的高分辨率是 没有意义的。 6 量化性冗余：改变量化判决灰度和重建灰度，用更少的量化等级数可达到 相同的视觉效果。 7 频间冗余：一幅图像中不同频谱之间的像素之间存在着很强的相关性。 8 编码冗余：如果图像的灰度在编码时所用的符号数多于表示每个灰度级实 际所需的最少符号数，这种编码方式得到的图像就具有编码冗余。 事实上，由于一般原始图像中通常存在着多种冗余度，通过压缩来降低图像 的数据量是可行的。在保证一定的图像质量和满足任务要求条件下，减少图像数 据量的处理过程即为图像压缩。 给定一幅数字图像，它的原始表示一般是空间像素阵列，这是它的空间域表 示。在空间域中，图像的相邻像素之间存在很强的相关性，冗余信息分布在较大 范围的空间像素集中，直接处理相对较为困难。目前存在着很多种图像压缩方法， 但就其本质而言，大都包含着三个环节：广义变换、量化和编码，如图1 1 所示。 原翻一变换f - 1 量化r 叫熵编码r 存储或传输 = 二二= = 二二= = 二二=i ，。+ + r 1r “_ - _ l 重建圈+ 一反变换k 一反量化k 一熵孵码l j - - - - - - - - - - 一- - - - - - - - - - - - - 一- - - - - - - - - - - - - - 一 图1 - 1 图像压缩流程框图 f i g 1 - 1i m a g ec o m p r e s s i o nf l o wc h a r t 其中，广义变换是指将原图像样本转换成能使量化和编码运算相对简单的形 式。变换应满足两个基本条件g 通过变换可以使得变换样本和量化系数趋于理想 状态下的统计独立；通过变换可以将不相关信息和相关信息分离，以便于将不相 关的样本进行深度量化来提高压缩比。 量化是指在允许的客观误差或者主观察觉损伤范围内，为了在计算机和其他 存储媒介中存储不能用有限位数字表示的原始图像，通过生成一组有限个离散符 2 青岛科技人学研究生学位论文 号来逼近的表示被压缩的图像。量化器输出的有限状态集，可以分配二进制码字 来表示，有限状态的个数称为量化级数。量化是一个不可逆的幅值离散化过程， 因此量化过程不同于变换和编码是三个环节中唯一会引入失真的过程。通过合理 的设计量化器，使得失真尽可能小是量化器设计的一般准则。在信息理论中，率 失真函数( r a t ed i s t o r t i o nf u n c t i o n ) 提供了有关量化器设计和码字表示的一个界， 即在限定失真不超过d 的情况下可以达到的最低码率r ( d ) 。 如果要求在编码过程中不丢失信息量，即要求保存信息熵，这种信息保持编 码叫信息熵编码，简称熵编码。编码器可以使用定长编码或变长编码。编码过程 和变换过程一样都是可逆的和无损耗的。 对重建后图像的图像质量的评价准则通常有客观准则和主观准则两种方式。 客观准则是对压缩重建后的图像与原图像的误差进行定量计算，一般是对整个图 像或图像中的某一指定区域进行某种平均计算以得到均方误差。在图像压缩过程 中，可以将图像( 这罩仅考虑灰度图) 视为一个二维矩阵，记为 x n 1 ，n 2 】，0sn 1 1 ，0sn 2 n 2 ( 1 3 ) 其中1 ，2 分别表示图像的宽和高，研，l l ，n ：】的值即为瓴，n ：) 位置像素点的亮度。 若每一个像素需要曰1m a x l o g ：( 硝，n ：】) ) 比特表示，压缩后得到的码流长度为 c ，则定义压缩比，为 n 1 n ，b r = ：= 一 c ( 1 4 ) 压缩比是评价图像压缩效果的一个重要指标，常用每像素比特值( b p p ) 来代表压 缩效果。 定义压缩后的比特率打为 h 2 丙薏比特像素( b p s ) ( 1 5 ) 设解压后得到的图像为 i t n l ，n 2 】，0s 1 ，0sn 2 o )( 2 1 2 ) 称为厂( f ) 的小波变换，其中，y ( t - _ _ b b ) 是( t - b ) 的复共轭。同样的，式( 2 1 2 ) q b 的小波变换可用内积的形式表示为： 睨，( 口，功一 ( 2 1 3 ) 在式( 2 1 2 ) 和式( 2 1 3 ) 中，和伸缩、平移因子口和6 都为连续变量，因此被称为连续 小波变换( c w t c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ) 。其反演公式为： 儿) = 巧1e e ，( 以6 耽，一( ，) 睾仍 ( 2 “) 式中巳：f 监笔心缈口。对于确定的口和6 ，由式( 2 1 3 ) 的表达可知，睨，( 口，功 是信号厂( f ) 在基函数6 ( f ) 上的投影。由于虬。( f ) 在t = 6 附近的有限持续性和 基丁小波变换的图像压缩编码研究 虬曲( f ) 的振荡性，w j ，( 口，b ) 反映了两重特性：一方面，它反映了t = 6 附近厂( f ) 的 性质；另一方面它也具有抽取f ( t ) 在t = b 附近的某一频率成分( 正比于1 口) 的能 力。1 a 与角频率缈等价，改变a 则改变小波变换的分析区间。或者等价的说， 从时域观点看，改变a 就改变了小波变换的时域分辨率。这是因为，小波函数( f ) 一般是一段持续时间较短的震荡波形。因而，对应于尺度因子a 的变化，信号f ( t ) 的小波变换就可以反映出其从概貌到细节的全部信息。同样的，通过平移因子b 的 变化可以使得小波函数在时间轴上移动，从而将小波基函数移到相应的感兴趣的 位置。 ( 3 ) 离散小波变换 连续小波存在着信息冗余，而实际应用中我们只希望计算离散的位移和尺度 下的小波变换值，并通过离散位移和尺度下的小波变换值重构原信号。 为了得到离散化的小波变换，可以通过将尺度因子口和位移因子b 离散化来实 现。基于对信号的完整性考虑，对a 和b 的取样间隔的选择必须满足能使时频窗 覆盖整个的时频相平面。当前较为常用的方法是： j 口| 口i 7 ，j - 0 , + 1 , 2 ，口。 o ( 2 1 5 ) ib l k a ；，k = o ，- , - l - , 2 ， 即对a 按指数取样，对b 均匀取样。则相对应的离散化小波函数描述为： 少，j ( f ) = a o 伦9 ( a j o t - k ) ，j ，k e z ( 2 1 6 ) 相应的，以式( 2 1 6 ) 中的小波函数为基函数的离散小波变换为： ( _ ，七) 2j r 厂o ) y ， ( f ) 班 ( 2 1 7 ) 2 1 2 多分辨率分析和m ail a t 算法 小波变换的主要算法由法国的科学家s t e p h a n em a l l a t 在1 9 8 8 年提出，他在构造 正交小波基时提出了多分辨率的概念，从空间上形象地说明了小波的多分辨率特 性，提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做m a u a t 算法】。该算法被广泛 应用于快速离散小波的分解和重构，将小波方法、多分辨率方法和信号处理领域 的子带滤波完美地统一起来，从而小波分析方法才真正的应用于图像压缩等研究 领域中。 计算机视觉理论采用把原始信号分解成具有不同分辨率的几个信号，然后在 青岛科技大学研究生学位论文 合适的分辨率上或同时在各个分辨率上处理信号，即在不同分辨率下处理物体不 同信息的方法，这一理论即是多分辨分析思想的基础。 人们在观察图像时所看到的图像是对原始图像在某种分辨率上的近似，当人 眼在较远距离观察图像时，空间分辨率会相对较低，因而这时所看到的“图像 是对原始图像的较为模糊的逼近；反之，空间分辨率则相对较高，此时人们看到 的“图像 则是一个较为精细的近似。事实上，多分辨分析是对人类的视觉系统 的一种模拟。 m a l l a t 对信号的逼近和细节的抽取进行了深入的研究，发现在同一分辨下对信 号的逼近可以通过r ( 尺2 ) 中一组稠密空间序列的投影来实现，而且得到的信号细 节刚好是按小波基的展开，从而不仅为构造小波基提供了最有效的方法，而且推 导出了快速的离散小波算法m a l l a t 算法【2 孓2 5 1 。 ( 1 ) 多分辨率分析 通过一个简单的例子可以很容易的理解多分辨分析的概念。设有子空间k ， 它是由母函缈o ) 数及其整数平移系生成的，这里 纰，= 篙 晓 对于任一x ( f ) ，有烈f ) = ( p ( t - k ) ，直观地说k 是由单位宽度的脉冲串构 成的函数子空间( 或称为单位宽台阶函数子空间) 。设k 是由函数系 2 - 2 妒( 矿t 一七) ，七z ) 生成的，例如，k 是由宽度为2 的脉冲串构成的函数子空间， k ，是宽度为1 2 的脉冲串构成的函数子空间，不难理解这些子空间之间的嵌套关 系kckcv oc v _ 1c 。 一个多分辨分析由一个嵌套的闭子空间序列组成，它们满足 kc kc c e 。c 且下列条件： a 上完整性uk - l ：僻) ； b 下完整性n kf f i o , 基- f - d , 波变换的图像压缩编码研究 c 尺度不变性x ( f ) 圪营x ( 2 ”t ) v o ； d 位移不变。 生x ( t ) e v o 营x ( t - n ) e v o ，甩z ； e 存在一个基缈k ，使得 妒( f 一万) ，n z 是k 的r i e s z 基； 因此，空间序列形 中任一空间巧的基可由其中另一空间的基经过简单的伸 缩变换而得到，若 认f 一万) ，n z ) 是k 的标准正交基，则对于任意j z 函数基 哆r ) = 2 孑缈( 2 叫，一玎) ? i e z ) 构成_ 的标准正交基。函数9 ( t ) 称为尺度函数 ( s c a l i n gf u n c t i o n ) ，具有低通滤波的作用，且满足 缈( ，) = 办( 刀) 伍 ( f ) = 压办( 刀) 缈( 2 卜疗) ( 2 1 9 ) 其中 矗( 刀) = ( 妒( f ) ，纯切( ，) ) = 压e 缈( r 砌( 2 f 一疗) a t ( 2 2 0 ) 式( 2 1 9 ) 被称为双尺度方程。 在_ 的正交补空间中，函数集 力，) = 2 孑矽( 2 ，一n z 构成的标准 正交集，函数矽( f ) 称为小波函数，具有高通滤波的作用，并满足 矽( ，) ：压艺( 一1 ) ”乃( 1 一厅) 缈( 2 t 一刀) ：压艺g ( 行) 伊( 2 ，一厅) ( 2 2 1 ) 其中g ( n ) 一( 一1 ) 4 h o n ) ，在信号分析中g ( n ) h ( n ) 称为正交镜像滤波器。 ( 2 ) m a l l a t 算法 一维信号的m a l l a t 算法 设有尺度函数妒( 力及对应的小波函数少( 砷，满足尺度方程如下： f 伊( 力一h ( n ) ( p ( 2 x - n ) 1 。矿( 力；皇g ( n ) 。矿( 2 x 一万) ( 2 2 2 其中，高通滤波器g 和低通滤波器日的冲激响应分别为g ( 力和厅( 厅) ，对应多分 青岛科技人学研究生学位论文 辨分材r ( m r a ) 为： 巧 ，e z ，杉= 巧+ 。o _ ，记a ；，d ，分别为信号函数厂( 功从r ( 尺) 到子空间匕和 的投影算子，a d f 和d ，分别为厂( 力在分辨率2 下的平滑信号和细节信号， 即： a s s ：( s ( x ) ，仍，。( x ) ) ，q 厂= ( 厂( x ) ，i s j ，。( x ) ) ，其中仍，。( x ) = 2 么缈( 2 s x - k ) ， 少，( x ) ：2 ( 2 s x - k ) ，则有下式成立： a ；厂。摹 ( n - 2 k ) a 皇t 厂+ 摹g q 一2 七) q 4 厂 雒。厂一 ( 小一2 k ) a d f ( 2 2 3 ) d ，一g ( m 一2 k ) d 厂 上式说明信号，( 力在尺度2 7 下的平滑信号a ? 厂可分解为在分辨率2 一下的 平滑信号a d ，和细节信号d 一，且二者是由分辨率2 7 下的平滑信号锑d 厂分别通 过h 和g 进行2 取1 采样得到的。如图2 1 所示，这就是对信号，( 砷即从高分辨率 到低分辨率的逐步分解过程，图中h 表示低通滤波器，l 表示高通滤波器。通过( 2 2 3 ) 进行- 厂u 0 ) 次迭代就可以将原始信号鬈厂分解为基准信号钙厂和一系列不同 分辨率下的细节信号d f ( - js s 一1 ) 。 ，i 鼻：厂 d j 一】f 图2 1 一维m a l l a t 算法 f i g 2 - 11 - dm a u a ta l g o r i t h m 二维信号的m a l l a t 算法 对应于一维m a l l a t 法，分别记a ，q ，d ；，叫3 为信号f ( x ，) ，) 到子空间 ( 1 ) ，( 屹 ) ，( v k ，( o ) 的投影算子，a ；厂为在尺度2 7 下f ( x ，y ) 的 基丁小波变换的图像乐缩编码研究 平滑信号，d ；f ( e - l , 2 ，3 ) 为在尺度2 tf ( x ，y ) 相应的细节信号，二者可描述为： 形= ( f i x , y ) ，纺，毛( x ) 纺，如( y ) ) ，巧厂= ( ( 墨少) 蜕 ，如( x ，j ，) ) ( p = 1 ，2 ，3 ) ，则有下式 成立： a 鼻。，一 ( ，l l - 2 k 1 ) h ( m ：- 2 k ：群厂 d 一1 ，- j l ( 一2 k o g ( m 2 2 k 2 ) a d f 。二。厂：芝g ( 朋：一地似铂一2 k a ) a f ( 2 2 4 ) d 二。厂一g ( 鸭一毡) g 帆一2 k e ) k i f 引入无穷矩阵皿= ( 川) ，日。一氓地) ，g ，- ( 吒 ) ，g c = 限吮) ，其中 h k 朋= ：。，q 一g h 。，式中对矩阵的行、列操作分别记为下标“，、“c ”，则 式( 2 2 0 ) 可记为： c j = hr h c c j n d ：1 - 日，g c c ( 2 2 5 ) d ；= g , h 。c f + 1 、7 d ；= g r g c c 与式( 2 2 4 ) 相对应，可由群d 一。f 和d 4 厂重构a ；厂，即： c j “；日：日：c + 日：d ；+ g ：h ：d ；+ g ：d ；( j = - j ，- j + 1 ，- x ) ( 2 2 6 ) 其中，日和g 分别是日和g 的对偶算子( 在z 2 中) ，或者分别理解为日和g 的 共轭转置矩阵。 式( 2 2 4 ) 和( 2 2 6 ) 表明了信号f ( x ，y ) 在分辨率2 下的平滑信号a y 可分解为 在分辨率2 - 1 下的平滑信号a d 厂和细节信号d ；，d ；，d ；，并且他们可分别由分 辨率2 下的平滑信号a