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东北大学博士学位论文 摘要 循环系统的稳定性与切换镇定 摘要 循环系统是一类具有广泛代表性的系统。循环结构决定了这类系统的许多特 殊性能。同时，循环系统需要特殊的分析和设计方法。研究循环系统，不仅能够 揭示循环结构对系统动态行为的影响，进而有效地利用循环结构有重要意义，而 且对于组合系统、大系统的分析和设计也将产生一定的效果。因此，循环系统的 研究受到了高度重视。 本文研究以“超循环”系统为原型扩展而来的循环系统。以l y a p u n o v 稳定性 理论为主要工具重点研究循环系统的稳定性和基于切换机制的镇定问题。论文主 要内容概括如下： 首先介绍由生命科学和生物学中“超循环”系统的内部结构扩展为循环系统 的过程，以及循环系统的研究进展，论述了切换系统的发展史以及研究状况。因 为循环系统与循环矩阵有着的特殊关系，所以文中总结归纳了循环矩阵的结构性 质以及与全文研究有关的基础知识。这里特别强调：“循环矩阵存在与循环元素无 关的可逆阵。使其相似于对角阵”和“循环矩阵存在与循环元素无关的李雅谱诺 夫方程的解”。然后，给出各类循环系统的状态方程描述。 线性循环系统作为循环系统中的最简单的模型，本文讨论了它们的稳定性与 鲁棒稳定域，这种系统包括：线性时变循环系统；线性时不变循环系统：线性不 确定循环系统。利用循环矩阵的结构特性，找到一个状态变换，并且这个变换与 循环元素无关，可将线性循环系统按状态解耦。从而得到这些线性循环系统渐近 稳定的充要条件和线性不确定循环系统鲁棒稳定域的确定方法。 在提出切换线性循环系统模型，包括：切换线性时变循环系统和切换线性时 不变循环系统后，本文继续研究这两类切换系统在任意切换律下渐近稳定的条件 和在某个切换律下切换镇定的条件。利用循环矩阵存在与循环元素无关的李雅普 诺夫方程的解，导出这两种切换线性循环系统在任意切换律下渐近稳定的充要条 件是每个子系统都是渐近稳定，这显然与一般的切换系统有本质的区别。当这个 东北大学博士学位论文 摘要 条件不满足时，切换线性循环系统可切换镇定的条件是一个代数不等式存在非负 解，这显然比一般的凸组合理论简单的多。 非线性循环系统是循环系统的最一般模型形式，它的线性部分或线性化的结 果正是第三章所研究的线性时不变循环系统，从而得到了非线性循环系统局部渐 近稳定的充要条件。在循环系统( 线性的或非线性的) 中，“循环”不仅仅反映在 系统本身的结构上，同时在它的解中也呈现出“循环”的特征。“循环解”是循环 系统所独有的解的形式，本章将给出的“循环解”概念，并结合几何图形，解释 从一个解向量形成循环解的过程。特殊时，如果某个循环解中只含有一个解向量， 本章给出这个解向量的求法。 二次循环系统和切换二次循环系统作为本文的重要模型是因为许多文献所描 述的“超循环”系统正式二次系统。在二次循环系统的线性部分是渐近稳定的条 件下，给出二次循环系统一个吸引域的求法。并且，通过例子说明：在用“球形” 区域表示的吸引域中，文中所求得的吸引域是最大的。再利用这个结果进一步求 得：切换二次循环系统在任意切换律下的一个吸引域、在某个切换律下的一个镇 定吸引域以及这个切换律的设计方法。 循环组合系统具有广泛的实际背景，本文将它扩展为切换循环组合系统。利 用循环组合矩阵的结构性质：“存在一个与循环元无关的组合矩阵，使循环组合矩 阵相似于分块对角阵”，为切换循环组合系统提供一个状态变换，使该切换系统中 的子系统同时状态按块解耦，从而达到简化降阶的目的，使稳定性分析大为简化。 拟对称组合系统和切换拟对称组合系统是本文在对称组合系统的基础上所两 种新的系统模型。利用拟对称组合矩阵的性质找到一个状态变换，将拟对称组合 系统变换成状态按块单向解耦的组合系统。同时，这种变换也可应用于切换拟对 称组合系统，得到状态按块单向解耦的切换组合系统。根据此结果给出了切换拟 对称组合系统渐近稳定的条件。 文章的最后对全文做了系统的总结，并提出下一步的研究方向。 关键词：循环系统，切换系统，组合系统，循环矩阵，超循环，循环解，切换律， 切换镇定，凸组合，稳定性，吸引域，鲁棒稳定域，不确定系统， 组合矩阵。 东北大学博士学位论文 a b s t r a c t s t a b i l i t ya n ds w i t c h i n g b a s e ds t a b i l i z a t i o n f o rc i r c u l a n ts y s t e m s a b s t r a c t c i r c u l a n ts y s t e m sa r eac l a s so fs y s t e m sp o s s e s s i n gg r e a ts i g n i f i c a n c ei np r a c t i c e n l ec i r c u j a n ts t r u c t u r eo ft h i sc l a s so fs y s t e m sd e t e r m i n e si t sm a n yc h a r a c t e r i s t i c s c i r c u l a n ts y s t e m sn e e dt ob eg i v e ns p e c i a la n a l y s i sa n dd e s i g n n l es t u d yo fc i r c u l a n t s y s t e m sn o to n l ys h o w st h ei m p a c to ft h ec i r c u l a n ts t r u c t u r eo ns y s t e m sd y n a m i c b e h a v i o ra n dt h u st h ec i r c u l a n ts t r u c t u r et a i lb ee f f e c t i v e l yu s e dt od e r i v eu s e f u l p r o p e r t i e so fs y s t e m s ，b u ta l s op r o d u c e sc e r t a i ne f f e c t sf o ra n a l y s i sa n dd e s i g no f c o m p o s i t es y s t e m sa n dl a r g e - s c a l es y s t e m s t h e r e f o r e ，t h es t u d yo fc i r c u l a n ts y s t e m s h a sd r a w np a r t i c u l a ra t t e n t i o n t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e st h ec i r c u l a n ts y s t e m sw h i c ha r ee x t e n d e df r o mt h em o d e l s o ft h eh y p e r c y c l e s s t a b i l i t ya n ds w i t c h i n g b a s e ds t a b i l i z a t i o na r ep a r t i c u l a r l ys t u d i e d u s i n gl y a p u n o v s t a b i l i t yt h e o r y 1 1 1 em a i nc o n t e n to ft h ep a p e ri ss u m m a r i z e da s f o l l o w s t h em o d e l i n go fc i m u l a n ts y s t e m sf r o mt h eh y p e r c y c l e si nb i o l o g yi se x p l a i n e di n t h ef i r s tc h a p t e r t h er e s e a r c hd e v e l o p m e n t so fc i r c u l a n ts y s t e m sa n ds w i t c h e ds y s t e m s a r er e v i e w e d i nt h es e c o n dc h a p t e r , t h es t r u c t u r a lp r o p e r t i e so fc i r c u l a n tm a t r i x e sa r ed i s c u s s e d a n ds o m ef o u n d a t i o n a lk n o w l e d g ei sr e v i e w e d ，w h i c ha r er e q u i r e df o rr e s e a r c hi nt h e d i s s e r t a t i o n s p e c i a le m p h a s i si sp u to nt h ep r o p e r t yt h a tac i r c u l a n tm a t r i xi ss i m i l a rt o ad i a g o n a lm a r xb ya l li n v e r t i b l em a t r i x ，w h i c hi si n d e p e n d e n to fc i r c u l a n te l e m e n t s ， a n dt h a tt h el y a p u n o v e q u a t i o na s s o c i a t e dc i r c u l a n tm a t r i xh a sas o l u t i o n ，w h i c hi sa l s o i n d e p e n d e n to fc i r c u l a n te l e m e n t s t h e n ，c i r c u l a n ts y s t e m s a r ed e s c r i b e db ys t a t e e q u a t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e r , b ym e a n so ft h es t r u c t u r a lp r o p e r t i e so fc i r c u l a n tm a t r i x e s ，a s t a t et r a n s f o r m a t i o ni sf o u n d ，w h i c hm a k e ss t a t e so fl i n e a rc i r c u l a n ts y s t e m sd e c o u p l e d t h u s ，s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so fa s y m p t o t i cs t a b i l i t y o ft h el i n e a rc i r c u l a n t s y s t e m s ，i n c l u d i n gt i m ev a r y i n ga n dt i m ei n v a r i a n tc a s e s ，a r eo b t a i n e d t h er o b u s t s t a b l er e g i o nf o rt h el i n e a ru n c e r t a i nc i r c u l a n ts y s t e m si sg i v e n 墨韭垄茎堡主兰竺垒叁垒里! ! 坠! t h em a i nc o n t e n t si nt h ef o u r t hc h a p t e ra r et h es t a b i l i t yo ft h es w i t c h e dc i r c u l a n t s y s t e m s ，i n c l u d i n gt i m ev a r y i n ga n dt i m ei n v a r i a n tc a s e s a c c o r d i n gt ot h ep r o p e r t i e so f c i r e u l a n tm a t r i x e sm e n t i o n e d - a b o v e ，i ti sp r o v e dt h a tt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r y c o n d i t i o no fa s y m p t o t i cs t a b i l i t yf o rt h es w i t c h e dl i n e a rc i r c u l a n ts y s t e mu n d e ra r b i t r a r y s w i t c h i n gl a w si st h a te a c hs u b s y s t e mi nt h es w i t c h e dl i n e a r c i r c u l a n ts y s t e mi s a s y m p t o t i c a l l ys t a b l e o b v i o u s l y , t h i sc o n c l u s i o ni sd i f f e r e n tf r o mt h a t f o ro r d i n a r y s w i t c h e ds y s t e m s w h e ut 1 1 i sc o n d i t i o ni sn o ts a t i s f i e d aw e a k e rc o n d i t i o no f s w i t c h i n g - b a s e ds t a b i l i z a t i o nf o rt h es w i t c h e dl i n e a rc i r c u l a n ts y s t e mu n d e rt h ec e r t a i n s w i t c h i n gl a wi st h a tt h ea l g e b r a i ci n e q u a l i t yp o s s e s s e st h en o n - n e g a t i v es o l u t i o n s t h i s r e s u l ti sm u c hs i m p l e rt h a nt h a to f t h ec o n v e xc o m b i n a t i o nt h e o r y i nt h ef i f t hc h a p t e r , n o n l i n e a rc i r c u l a n ts y s t e m sa r ec o n s i d e r e d b e c a u s et h e l i n e a r i z e ds y s t e mo ff ln o n l i n e a rc i r c u l a n ts y s t e mi st h el i n e a rt i m ei n v a r i a n tc i r c u l a n t s y s t e m ，t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fl o c a ls t a b i l i t y f o rt h en o n l i n e a r c i r c u l a n ts y s t e mi so b t a i n e de a s i l y t h ec i r c u l a n ts o l u t i o ni sas p e c i a lf o r mo fs o l u t i o n f o rt h ec i r c u l a n ts y s t e m t h i sc h a p t e ra l s op r e s e n t st h ec o n c e p ta n di t sg e o m e t r i c m e a n i n go f a c i r c u l a n ts o l u t i o na n dt h ea l g o r i t h mo f as p e c i a lc i r c u l a n ts o l u t i o n q u a d r a t i cd r c u l a n ts y s t e m sa r es t u d i e di nt h es i x t hc h a p t e r u n d e rt h ec o n d i t i o n t h a tt h el i n e a rp a r to faq u a d r a t i cc i r c u l a n ts y s t e mi sa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ，t h ep a p e r g i v e sa na t t r a c t i o nr e g i o no ft h eq u a d r a t i cc i r c u l a n ts y s t e m a ne x a m p l ei sg i v e nt o i l l u s t r a t et h a tt h eg i v e na t t r a c t i o nr e g i o ni st h em a x i m a lo n ei na l la t t r a c t i o nr e g i o n so f t h ef o r m “s p h e r i c i t y s e q u e n t i a l l y , t h i n sc h a p t e rg i v e sa na t t r a c t i o nr e g i o no fa s w i t c h e dq u a d r a t i cc i r c u l a n ts y s t e mu n d e ra r b i t r a r ys w i t c h i n gl a w s ，as t a b i l i z i n g a t t r a c t i o nr e g i o no ft h es w i t c h e dq u a d r a t i cc i r c u l a n ts y s t e mu n d e rac e r t a i ns w i t c h i n g l a w i nt h es e v e n t hc h a p t e r , t h es w i t c h e dc i r c u l a n tc o m p o s i t es y s t e m sa r ep r e s e n t e d a s y s t e mo ft h i sc l a s si sc o n s t r u c t e db yac i r c u l a n tc o m p o s i t es y s t e ma n das w i t c h e d s y s t e m b yt h es t r u c t u r a lp r o p e r t yo ft h ec i r c u l a n tc o m p o s i t em a t r i x e st h a tac i r c u l a n t c o m p o s i t em a t r i xi ss i m i l a rt ob l o c k - d i a g o n a lm a t r i xb yt h ei n v e r f i b l em a t r i x ，w h i c hi s i n d e p e n d e n to fc i r c u l a n te l e m e n t s ，a l ls u b s y s t e m si nt h es w i t c h e dc i r c u l a n tc o m p o s i t e s y s t e ma r eb l o c k - d e c o u p l e ds i m u l t a n e o u s l y o b v i o u s l y , i ti sm o r ec o n v e n i e n tt os t u d y t h es t a b i l i t yo f t h es w i t c h e dc i r c u l a n tc o m p o s i t es y s t e m s i nt h ee i g h t h c h a p t e r , q u a s i s y m m e t r i cc o m p o s i t es y s t e m sa n dt h e s w i t c h e d v 东北大学博士学位论文 a b s t r a c t q u a s i s y m m e t r i cc o m p o s i t es y s t e m s a l es t u d i e d t h e s et w ot y p e so f s y s t e m sa r e e x p a n d e df r o mt h es y m m e t r i cc o m p o s i t es y s t e m sa n dt h es w i t c h e ds y m m e t r i c c o m p o s i t es y s t e m s a c c o r d i n gt op r o p e r t i e so f t h eq u a s i s y m m e t r i cc o m p o s i t em a t r i x ，a s t a t et r a n s f o r m a t i o ni sf o u n d e d ，w h i c hm a k et h eq u a s i - s y m m e t r i cc o m p o s i t es y s t e m b l o c k - d e c o u p l e di nt h es i n g l e - d i r e c t i o n 。b e s i d e s ，t h i ss t a t et r a n s f o r m a t i o n i sa l s o a p p l i c a b l et ot h es w i t c h e dq u a s i s y m m e t r i cc o m p o s i t es y s t e m s t h u s ，t h es t a b i 吣o f t h e s et w oc o m p o s i t es y s t e m sa l ep r o v e n t h en i n t hc h a p t e rs u m m a r i z e st h ed i s s e r t a t i o na n dg i v e sf u r t h e rr e s e a r c hd i r e c t i o n s a b o u tc i r c u l a n ts y s t e m s k e yw o r d s ：c i r c u l a n ts y s t e m ，s w i t c h e ds y s t e m ，c o m p o s i t es y s t e m ，c i r c u l a n tm a t r i x ， h y p e r e y c l e ，c i r c u l a n ts o l u t i o n ，s w i t c h i n gl a w , s w i t c h i n gs t a b i z a b i l i t y , c o n v e xc o m b i n a t i o n ，s t a b i l i t y , a t t r a c t i o nr e g i o n ，r o b u s ts t a b l e r e g i o n ， u n c e r t a i ns y s t e m ，c o m p o s i t em a t r i x v i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取 得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或 撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 季霪卑 日 期：帅j 、- 7 哆 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用 学位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 学位论文作者签名： 日期： 另外，如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为 同意。 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学博士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 循环系统的概述 毫无疑问，生命在其形态和功能两个方面都是自然界中创造出来的最复杂最 有组织的物体。如此高度复杂的生命体是如何由简单的因子演化而成的? 它的高 度有序性又是由何种机制控制的? 这是长期以来人们一直未解的难题。另外，与 生命有关的还有一个科学谜团是生物的密码和手性的统一性，地球上的生物有数 百万种之多，其结构形态、生理机制和生态习性各异，存在多样性，而其细胞却 只有一种基本一致的翻译机构、统一的密码和一种大分子手性，表现出高度的统 一性。达尔文( d a e r w c n ) 提出的“生存竞争”和“优胜劣汰”等概念，描述了新 物种的产生和进化。现代遗传学家认为，无数次的复制和突变导致了物种的多样 性。但是，这两种理论都无法解释生物进化的统一性。 德国生物学家艾根( e i g c n ) 为了揭示生命起源之迷，做了大量的实验，并以 物理学和生物学理论为基础，提出了生命起源的自组织理论1 1 3 1 ，认为“超循环” 就是生命起源的具体机制。因为，只有“超循环”，靠一种特殊的“一旦永存” 的选择机制，才实现了生命的统一性，并保持不变。同时，艾根把生命的起源与 信息联系起来，他认为，循环反应系统的等级层次决定了生物信息的限度。在达 尔文原理支配下的进化，由于受误差量大小的限制，能够积累起来的最大信息量 不足1 0 0 个核萤酸，这种核苷酸链是无酶r n a 复制序列。借助特定复制酶的单股 r n a 的复制，已是简单的“超循环”。虽然仍有误差限制，这种复制循环能把信息 复杂性扩大到10 4 个核苷酸。通过聚合酶并包含核酸外切酶“校正”机制的双股 d n a 复制，是更高层次的“超循环”过程，它把信息量扩大到1 0 7 个核苷酸。由 此看来，“超循环”通过使系统的功能整合为扩大生物信息量提供了优势。而这种 优势推动生物向更高的复杂性方向进化。 “超循环”把循环与发展相联系，认为大自然在循环中发展，在发展中循环【”。 这种研究丰富了辨证唯物主义的发展观。加深了人们对循环概念的理解。循环并 东北大学博士学位论文 第一章绪论 非总是周而复始地原地转圈，也不是同一过程的简单复制，如果使循环处于远离 平衡的开放状态下进行，就使循环获得自主性和方向性。众所周知，一个系统的 所有成员之间建立联系的最直接方式，是通过反应耦合构造一条链。在开链系统 中，末位成员总是得到耦合带来的全部好处。如果把开链系统首尾相连形成闭合 系统，那么，此闭合系统的每一个成员都能获得整体带来的全部好处。正如恩格 斯所指出的那样“整个自然界被证明是在永恒的流动和循环中运动着”。 艾根的自组织理论也非常注重非线性作用，认为“线性”反应系统不可能把 自组织系统所集结的必要性质都结合起来。因为。对于一个线性系统，如果信息 之间具有竞争性，选择的结果只有一个物种获胜。而只有非线性系统，才能提供 开始自组织所需的全部性质，并使系统继续向高水平进化，甚至能够逃脱它起源 时的特定前提条件。 “超循环”理论包含多种模型形式，其中之一是本文讨论的“超循环”系统， 这种系统的内部结构是以“循环”的形式连接，如果用状态方程的形式来描述， 那么这个方程具有如下的规则。首先，说明系统中的状态变量是各种“种类”( 或 动物，或生物，或菌类) 的数量，并且所有的“种类”构成一个循环圈，或理解 为一个生物链。“种类”之间以“循环”的方式相互依存又相互抑制，把这种相互 影响大小数量化称为影响量，那么“超循环”系统具备的第一条规则是：“种 类”之间的影响量是循环相等的；此外，就范围而言，“种类”之间的影响是局部 的，具体说就是：对于任意一个“种类”葺，对它产生影响除本身i 以外只有循 环圈内当前这个“种类”的前一个“种类”x 一，或后一个“种类”x 。，或前后各 一个“种类”x 和靠。这就是“超循环”系统所具有第二条规则。 下图1 1 表示的是一个带有四个“种类”的“超循环”系统 5 1 的示意图。在系 统中，每一个“种类”的变化率除接收自身的信息外，还接收循环圈内的前一个 “种类”信息。文献 7 】给出图1 1 所描述的状态方程： 4 毫= t 一j + ( 1 一政) ( p + 一) ) ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) ( 1 1 ) k = l 其中，t 为当前的“种类”，x 一为x 的上一“种类”，d 、p 、k 是常数。 东北大学博士学位论文 第一章绪论 。一o 6 60 0 图1 1 一个含有四个“种类”的“超循环”系统示意图，在这个系统中， 每个“种类”的增长率仅与它自身和循环圈内的前一个“种类”有关。 f i g 1 1s c h e m a t i c d i a g r a m o f a h y p e r c y c l e w h i c h c o n s i s t so f f o u rs p e c i e s i n t h e h y p e r c y c l e ， d e r i v a t i v eo f e a c hs p e c i e si so n l yr e l a t i o n w i t hi t s e l f a n dt h ep r e c e d i n gs p e c i e si nt h ec y c l e 类似于图1 1 ，图1 2 表示的也是一个带有四个“种类”的“超循环”系统吼 但在这个系统中，每一个“种类”的变化率又增加了接收后一个“种类”的信息 ( 虚线) 。 o s o 毒t毒? 0 晦。 图1 2 与图1 1 相似。但每个“种类”的增长率在原有的基础上又 增加了循环圈内后一个“种类”的的信息。 f i g 1 2 a sf i g 1 1 d e r i v a t i v eo f e a c hs p e c i e si sn o to n l yr e l a t i o nw i t hi t s e l f a n d 出e p r e c e d i n g s p e c i e s m t h e c y c l e b u t a l s o w i t h t h es u b s e q u e n ts p e c i e sl a t h ec y c l e 文献 5 】给出图1 2 所描述的状态方程： 4 毫= 一 一d 一盯+ + ( 1 一) ( p + k - ) ) ( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) ( 1 2 ) k = l 其中，x j 为当前的“种类”，x ，为x ，的上一“种类”，一+ 为t 的下一“种类”，d 、 盯、p 、阿是常数。 图1 3 把“种类”的个数推广到疗个旧。 东北大学博士学位论文 第一章绪论 图1 3 一个含有n 个“种类”的“超循环”系统示意图 f i g 1 3 s c h e m a t i cd i a g r a mo f ah y p e r c y c l ew h i c hc o n s i s t so f ns p e c i e s 如果用一般的形式描述( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的状态方程，它们分别是： 戈= f ( x ，x ) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ( 1 3 ) 和 i c , = f ( x ，+ 一一) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ( 1 4 ) 显然，( 1 4 ) 是( 1 3 ) 的扩展。因此。“超循环”系统也在不断地扩展，并在 这个过程中逐渐完善。如果将这种思路继续扩展下去，每一个“种类”的变化率 所接收到的是来自循环圈内所有“种类”的信息，同时，再将“种类”的个数推 广到n 个，那么，最一般的“超循环”系统就是： = 厂，x ：，- 主：= f ( x ：，t ， t = f ( x ，x ， 这里规定第九个“种类”岛的下一个“种类”是孔。这样，“种类”x l 、工2 、 勘构成循环圈。本文称由( 1 5 ) 式所描述的系统为循环系统。 再看( 1 2 ) 式的原型5 】：毫= 一( o 一盯+ + ( 1 一) ( p + c x t ) ，文献【5 】指出， k - i 参数条件筘= 印产生一个从催化( c a t a l y s i s ) 到抑制( s u p p r e s s i o n ) 的切换点。 当甜 卯，系统归于催化：反之，系统归于抑制。现代遗传学家的复制和突变理 论，将使这些参数1 c 、6 、a 和p 也发生突变。这样，系统( 1 2 ) 成为一个切换系 统【”，即称切换“超循环”系统。同样的，如果将“种类”之间的影响扩展到循 环圈内所有“种类”上，就构成切换循环系统。它的一般描述是： 4o ) c ji( 、j )、， i 一 一 - ， ， ， 东北大学博士学位论文 第一章绪论 南= 五( ，x 2 ，矗) j 岛。f 一( x 2 ，屯，五) ，盯匿皇 1 ，2 ，砧。 ( 1 6 ) l，”o l 1 ，o ，“jo u l ： 【x n = 工( 矗，一，) 如今，对“超循环”理论的研究非常广泛，文献 7 讨论了“超循环”系统的 空间梯度，文献【5 研究了带有反关联项的“超循环”系统的吸引子和空间模式， 还有的文献探讨了“超循环”系统的极限环和“混沌”现象等等。另外，文献 1 0 7 中的“病毒增殖”数学模型是“超循环”理论在病毒r n a 增殖系统中的应用和发 展，文献 1 0 8 】的“自然资源一产品一再生资源”模式将“超循环”理论带入经济 学研究空间。 1 2 切换系统的概述 1 9 6 6 年，w i n s t s e n h a u s e nh _ s 在i e e ea c 发表的文章 9 标志着混杂动态系统 理论研究的开始。但在此后的三十年中进展不大，多数的结果 1 0 - 1 q 是有关建模问 题。进入9 0 年代后，有关混杂系统的理论分析才开始被系统的研究。i e e ea c t ”】 ( 1 9 9 8 年) 、a u t o m a t i c a l l 8 】( 1 9 9 9 年) 和s y s t e m c o n t r o ll e t t e r s 19 】( 1 9 9 9 年) 分 别出版了混杂动态系统的专刊。这说明混杂动态系统已得到控制理论界的普遍重 视。混杂系统有广泛的实际背景，例如，计算机磁盘驱动器【2 0 i ，发射机和步进电 动丰几【1 4 】，受约束机器人系统 2 1 】，智能高速公路控制系鲥2 2 1 和样本数据处理系统 2 3 也5 1 等等。 切换系统是混杂动态系统中一类有影响的重要类型。这种系统的特点是包含 若干个子系统或动态模型，同时包含一个切换信号，使之在子系统之间进行切换 2 6 1 。a n t s a k l i s 在i e e e a c 的混杂动态系统专刊研1 的导引中给出了混杂动态系统的 三种类型，其中之一即是切换系统。因此，从这个意义上说，混杂动态系统的发 展史即是切换系统的发展史。同样，切换系统有着广泛的实际背景和应用【2 8 。2 1 ， 同时，与一般混杂系统相比，又有简单结构、易于分析和设计。下图是切换系统 的简单示意图。 东北大学博士学位论文 第一章缗论 _ 叫三塑! | l f l韧按策略 一厂_ = 焉夏? _ l 二! 竺： l 科茹 i 吖i 丽卜 图1 4 切换系统示意图 f i g 1 4 s c h e m a t i cd i a g r a mo f as w i t c h e ds y s t e m 对于一般的切换系统，它的状态方程描述如下： 髓黜一咖z ，m 亿， 定义切换序列如下：对于任意给定的初始时间t o 及初始值x o ，粕= z ( t o ) ，称 s ：x o ：( i o ，t o ) ，( i l ，t 1 ) ，( i 2 ，f 2 ) ，( 如，t k ) ， ( 1 8 ) 为一个切换序列。其中，k ，“为单调增加的切换时间序列。( 如，“) 意味着 当归 0 ) ， 并设计切换律如下： ，当x n ，激活第一个子系统，( 1 1 3 ) l 当x 诺q ，激活第二个子系统， 其状态曲线如图1 5 。 图1 5 初值取( 5 ，4 ) r ，切换系统( 1 1 1 ) 在切换律( 1 1 3 ) 下的状态响应曲线。 f i g 1 5t a k i n g ( 5 ，- 4 ) 7a s i n i t i a ls t a t e ，t h es t a t er e s p o n s eo f s y s t e m ( 1 1 1 ) u n d r et h es w i t c h e dl a w ( 1 1 3 ) 例2 考虑线性切换系统 贾= a o x ，t l ( 1 ，2 ) ( 1 1 4 ) 东北大学博士学位论文 第一章绪论 这里 小二：1 1 ，妒e 一2 0 ，1 n 因为t ( a ) = 一1 + 2 而f ，一1 2 4 i - 6 i 、 ( 爿2 ) = ( 一1 + 21 瓜i ，一1 2 4 i - 6 i ，所以两个 子系统都是稳定的。但是，此系统并非在任意切换律下都是稳定的。事实上，可 以找到一个切换律使系统( 1 1 4 ) 在此切换律下是不稳定的。例如，规定区域 n = ( 而，而) 7j x 2 x 。 o ) ，定义切换律如下： 广当x q ，激活第一个子系统， l 当x 岳q ，激活第二个子系统， 其状态曲线如图1 6 。 图1 6 初值取( - s ，8 ) r 切搀系统( 1 _ 1 4 ) 在切换律( 1 1 6 ) 下的状态响应曲线。 f i g 1 6t a k i n g ( - 5 ，8 ) a si n i t i a ls t a t e 。t h es t a t er e s p o n s eo f s y s t e m ( 1 1 4 ) u n d r et h es w i t c h e dl a w ( 1 1 6 ) 以上的两个例子进一步说明，切换系统选择不同的切换信号，其稳定性可以 得到截然相反的结论。特别是某些由不稳定的子系统构成的切换系统在恰当切换 律作用下，使系统达到稳定，从而实现了通常系统不能实现的性能。 应该说，切换是切换系统的本质。切换系统的研究，在很大程度上，是围绕 着这个问题展开的。尤其是八十年末，现代计算技术和计算机科学的发展为切换 系统的研究提供了强大的技术支持，切换系统的研究进入了一个蓬勃发展的新阶 东北大学博士学位论文 第一章绪论 段。由于稳定性是控制系统中最基本的性质，因此早期的切换系统的研究大部分 是关于系统的稳定性问题d 3 。3 9 。1 9 9 9 年，d a n i e ll i b e r z o n 和as t e p h e nm o r s e 在 i e e e 上发表了第一篇有关切换系统稳定性及其设计的综述文章【2 6 1 ，比较全面地阐 述了切换系统稳定性研究的几个基本问题，它们是： 问题i ：寻找切换系统在任意切换律下均渐近稳定的条件。 问题i i ：切换系统在某类特定切换律下渐近稳定的验证。 问题：构造切换律，使切换系统在此切换律下渐近稳定。 对于问题i ，wp d a y a w a n s a 等人在文献 2 8 ，j l m a n c i l l a - a g u i l a r 等人在 文献 4 0 】给出了切换系统的逆李雅普诺夫定理，因此切换系统( 1 7 ) 在任意切换下均 渐近稳定的充分必要条件是它的子系统具有公共的李雅普诺夫函数。对于线性切 换系统( 1 8 ) ，文献【4 1 指出，如果它对于任意切换律均是渐近稳定的，则公共李雅 普诺夫函数可以取准二次型或分段二次型。针对仅含两个子系统的线性切换系统， 文献 4 2 】利用矩阵束条件研究了这种系统存在公共的二次型李雅普诺夫函数