（光学工程专业论文）车辆荷载与桥梁结构耦合作用特性的有限元仿真分析.pdf

i i l lr ll rjf f l l l i l l li ii iiif ! y i7 4 4 9 4 7 t h ef i n i t ee l e m e n ts i m u l a t i o na n a l y s i so nt h ec o u p l i n g v i b r a t i o no fv e h i c l el o a da n db r i d g es t r u c t u r e ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：y - uz e f e i s u p e r v i s o r ：p r o f z h a n gw e i f e n g c h a n g a nu n i v e r s i t y , x i a n ，c h i n a 论文独创性声明 本人声明：本人所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果。除论文中已经注明引用的内容外，对论文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本论 文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开发表的成 果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：啊；军馨 bf 龟年1 月f 。日 论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归 属学校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请 专利等权利。本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的 学术论文或成果时，署名单位仍然为长安大学。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：p 句舜k 导师签名： 瑚3 绛 沙l6 年6 月，o 日 如。年乡只b 摘要 当车辆以一定速度通过桥梁时，使桥梁产生振动、冲击等动力效应，而桥梁的振动 又反过来影响车辆的振动，这种相互作用、相互影响的问题，就是车辆与桥梁结构的耦 合振动问题。车辆动力作用引起桥梁上部结构的振动可能使结构构件产生疲劳，降低其 强度和稳定性；反之，桥梁结构的振动又可视为车辆结构的外部激励，直接影响车辆的 运行安全和乘坐舒适性。 本文以结构动力有限元分析方法为理论基础，以轮迹接触为界，将车一桥耦合系统 分为车辆和桥梁两个子系统。总结了引起车辆振动的各种因素，并对车一桥耦合系统中， 桥梁结构振动主要的激励源一车辆荷载进行了分类，给出了不同类型车辆动荷载的适用 条件。此外，建立了不同的车辆振动模型，以车身振动模型为基础，分析了不同桥面平 整度条件下，车辆以不同速度行驶所产生的动荷载。 以太头沟2 号桥梁第三跨为研究对象，应用大型有限元计算软件a n s y s 的二次开发 语言a p d l ，建立了其有限元实体模型。并利用计算所得的车辆荷载，运用瞬态动力分 析方法，仿真模拟了不同条件下的车辆荷载通过桥梁结构，研究了车一桥耦合系统的动 力响应特性，得出了一些有益的结论，为车一桥耦合系统振动分析提供一定的科学依据。 关键词：车辆动荷载；车一桥耦合振动；有限元；动力响应 a b s t r a c t d y n a m i ce f f e c t sw i l lh a p p e no nt h eb r i d g e ，w h e nv e h i c l e sp a s st h r o u g ht h e b r i d g e 、) i ，i t l lac e r t a i ns p e e d ，s u c ha sv i b r a t i o na n di m p a c t ，e t c t h ev i b r a t i o no fb r i d g e a l s oh a sar e v e r s ee f f e c to nv e h i c l e sm o v i n g t h i si n t e r a c t i o np r o b l e mb e t w e e n v e h i c l e sa n db r i d g ei sc a l l e dv e h i c l e b r i d g ec o u p l e dv i b r a t i o n t h eu p p e rs t r u c t u r e v i b r a t i o no fb r i d g ec a u s e db yt h ev e h i c l e sd r i v i n gf o r c em a yl e a dt h es t r u c t u r a l c o m p o n e n tf a t i g u eo rr e d u c t i o no ft h es t r e n g t ha n ds t a b i l i t y o nt h ec o n t r a r y , t h e v i b r a t i o no ft h eb r i d g es t r u c t u r ea se x t e r n a li n c e n t i v e so ft h ev e h i c l e ss t r u c t u r e ， i m p a c to no p e r a t i o n a ls a f e t ya n dc o m f o r to f v e h i c l e sd i r e c t l y t h i st e x tb a s e do nd y n a m i cf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sm e t h o do ft h es t r u c t u r ea n d t h eb o u n d a r ym a r ko fw h e e lc o n t a c t , d i v i d e dt h ec o u p l i n gs y s t e mo fv e h i c l e - b r i d g e i n t ot w os u b s y s t e m so fv e h i c l e sa n db r i d g e s s u m m a r i z ev a r i o u sf a c t o r so ft h e v e h i c l ev i b r a t i o na n dc l a s s i f yt h ev e h i c l el o a dt h a ti st h em a i nv i b r a t i o ne x c i t a t i o no f b r i d g e ，g i v e t h ed i f f e r e n tt y p e so fv e h i c l ed y n a m i cl o a da p p l i e dc o n d i t i o n s i n a d d i t i o n , m o d e l i n gd i f f e r e n tv e h i c l ev i b r a t i o n , b a s e do nv e h i c l eb o d yv i b r a t i o nm o d e l ， a n a l y z e sd y n a m i cl o a d s 、) i ，i n ld i f f e r e n ts p e e du n d e rd i f f e r e n tv e h i c l eb r i d g ef l a t n e s s c o n d i t i o n s t ot h et h i r db r i d g es p a no ft a i t o ud i t c ha sar e s e a r c ho b j e c t , e s t a b l i s h e di t sf i n i t e e l e m e n te n t i t ym o d e lb yt h es e c o n dd e v e l o p m e n to fl a n g u a g ea p d lo fl a r g e s c a l e f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i ss o f t w a r e ，a n s y s u s i n gt r a n s i e n td y n a m i ca n a l y s i ss i m u l a t e d t h ev e h i c l el o a du n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n st h r o u g ht h eb r i d g es t r u c t u r eb yt h eu s eo f t h ec a l c u l a t e dv e h i c l el o a d b yr e s e a r c h i n gd y n a m i cr e s p o n s ec h a r a c t e r i s t i c so f c o u p l i n gs y s t e mo fv e h i c l e - b r i d g e ，i tg e t ss o m eu s e f u lc o n c l u s i o n sf o rt h ec o u p l i n g v i b r a t i o na n a l y s i ss y s t e mo fv e h i c l e - b r i d g et op r o v i d eas c i e n t i f i cb a s i s k e y w o r d s ：v e h i c l ed y n a m i cl o a d ；v e h i c l e - b r i d g ei n t e r a c t i o n ；f i n i t ee l e m e n t ； d y n a m i cr e s p o n s e 目录 第一章绪论。1 1 1 前言1 1 2 国内外研究概况2 1 3 本文研究的内容。3 第二章结构动力有限元分析方法5 2 1 有限元方法概述5 2 2 有限元方法分析过程。5 2 3 结构动力分析方法6 2 3 1 结构动力方程6 2 3 2 结构的固有特性1 0 2 3 3 结构动力响应1 3 2 4 小结1 4 第三章a n s y s 在桥梁结构振动分析中的应用1 5 3 1 有限元软件a n s y s 简介1 5 3 2 钢筋混凝土结构单元1 5 3 2 1a n s y s 中的s o l i d 6 5 单元1 s 3 2 2 有限元模型1 6 3 3 钢筋混凝土结构材料的本构关系1 7 3 3 1 混凝土材料的本构关系1 7 3 3 2 钢筋材料属性2 0 3 4 瞬态动力学理论及其在a n s y s 中的实现2 0 3 4 1 瞬态动力学理论2 0 3 4 2 瞬态动力学理论在a n s y s 中的实现。2 3 3 5 小结2 4 第四章桥面不平整度引起的车辆荷载分析。2 5 4 1 车辆荷载作用于桥梁结构的加载模式2 5 4 2 桥面不平整度2 8 4 3 车辆振动模型3 2 4 4 桥面不平整引起的车辆动载荷：3 5 4 4 1 车辆基本参数3 5 4 4 2 车辆动荷载分析计算3 6 4 5 小结3 8 第五章车辆荷载与桥梁结构耦合特性仿真分析。3 9 5 1k 4 1 + 8 6 0 太头沟2 号桥梁简介及有限元模型3 9 5 1 1k 4 1 + 8 6 0 太头沟2 号桥梁简介3 9 5 1 2k 4 1 + 8 6 0 太头沟2 号桥梁有限元模型。4 0 5 2 桥梁自振特性及静力加载分析4 0 5 3 车辆荷载与桥梁结构耦合特性仿真分析4 2 5 3 1 仿真分析中车辆荷载的加载过程4 2 5 3 2 理想桥面情况下的耦合特性4 3 5 3 3 考虑桥面不平整度情况下的耦合特性。4 4 5 4 小结s 0 总结与展望5 1 参考文献5 3 致 谢5 7 长安大学硕士学位论文 1 1 前言 第一章绪论 车辆通过桥梁时将引起桥梁结构振动，而桥梁的振动又反过来影响车辆的振动、这 种相互作用、相互影响的问题就是车辆与桥梁之间的振动耦合的问题。 自1 8 2 5 年人类第一条铁路建成以后，便对列车与桥梁的相互作用进行了漫长历史 的探索研究过程。r w i l l i s 于1 8 4 9 年提交了第一份关于桥梁振动的研究报告，对c h e s t e r 铁路桥梁倒塌的原因进行了探讨。在接下来的一个半世纪里，研究主要集中在移动荷载 作用下的解析方法。2 0 世纪6 0 年代以来电子计算机的广泛应用以及有限元方法的出现， 复杂的车辆桥梁的分析模型的建立成为可能，从而对桥梁振动的研究达到了全新的水 平。 桥梁在行驶车辆的作用下，车辆与桥梁结构的相互作用将引起车一桥系统的振动， 该问题属于典型的快速时变结构力学的范畴。车一桥系统的振动，使得桥梁结构的内力 和变形大于车辆静力荷载作用下的情形。为了确保在车辆运行工况下桥梁结构的安全， 设计桥梁时，车辆荷载动力效应的影响必须予以考虑。所以，研究车桥整体系统的动 力行为是车桥耦合领域的主要任务。 对于车桥系统的相互作用的问题，由于车辆以及桥梁结构都是具有刚度、质量和阻 尼的振动系统，并且车辆在运行时，施加于桥梁上的车辆载荷的位置是随时间变化的， 从而使得车桥系统的振动问题非常复杂。影响车一桥耦合系统动力行为的因素主要包括 以下几个方面【1 】： 1 桥梁的自振频率特征，由桥梁结构的刚度和质量确定； 2 车辆的自振频率特征，由车辆的刚度和质量确定； 3 车辆系统以及桥梁结构的阻尼： 4 车辆在桥上行驶的速度； 5 桥面的不平整度； 6 车辆上桥时的初始运动状态。 1 0 0 多年的研究表明，车一桥耦合问题是极其复杂的，至今这一问题尚未得到全面 解决。 第一章绪论 1 2 国内外研究概况 桥梁车辆振动问题的研究始于铁路桥梁。人类自1 8 2 5 年建成了第一条铁路以来，直 至英国铁路桥梁发生了由于在列车通过时产生的强烈振动而被破坏，车辆运行时的桥梁 荷载动力效应问题就被提出了，便开始了对车辆与桥梁相互作用研究探索的历史过程。 1 8 4 9 年，r w i l l i s 2 1 导出了在移动荷载作用下忽略桥梁质量的桥梁振动微分方程。 1 8 9 6 年g g s t o k e s 【3 】求得了w i l l i s 方程的幂级数解。1 9 2 2 年，t m a o s h e n k o 研究了一个匀 速移动的简谐力通过简支梁的情况【6 】。1 9 3 4 1 9 5 4 年c e i n g l i s 3 8 1 和j m b i g g s 3 9 1 先后独 立研究了更为接近实际的车辆模型，即匀速移动的簧上质量对简支梁桥的作用。 与铁路桥梁的冲击作用相比，公路桥梁在移动车辆荷载下的激励机理更为复杂，不 能直接引入铁路桥梁的研究成果，但在测试方法和理论分析的研究上，二者是相通的。 1 8 9 2 年法国工程师m d e s a n d r e s 在巴黎附近的p o m t o i s e 桥上第一次采用振动记录仪进行 了公路桥梁荷载的动力试验。美国于1 9 2 2 1 9 2 3 年间，对多座公路桥梁进行了实测，根 据实测结果将冲击系数表示为随跨长变化的单调递减函数，并作为美国公路桥梁设计的 冲击系数，纳入了规程。从此开始了公路桥梁荷载动力效应的系统研究。 各国学者主要采用了两类不同的方法研究车辆引起的桥梁振动问题：一类以试验为 主，另一类以理论分析为主。由于车辆荷载作用下的桥梁振动是一个复杂的课题，要想 通过理论分析得到符合实际的结果，必须考虑很多因素：包括车身和悬架的质量，阻尼 和弹簧的作用，行车速度，梁跨和墩台的质量、刚度和阻尼，路面不平度，使得整个体 系的力学模型非常复杂。因而，在2 0 世纪6 0 年代之前的理论研究中，主要是采用各种 不同的方法来建立简单有效的桥梁和车轮系统模型进行近似分析。 从2 0 世纪7 0 年代开始，车桥动力耦合作用分析进入了系统动力学研究阶段，特 别是新兴的有限元技术的应用，对问题的研究起到了十分重要的作用。近几十年来，随 着电子计算机的广泛应用、计算技术的迅速发展以及高速公路建设的迫切据要，在理论 研究中已尽可能考虑各种因素，各国学者先后提出了日趋完善的车一桥耦合系统动力分 析模型，并以不同的方法导出了考虑各种因素相互关系的动力方程式，然后按照实际的 车辆和桥梁参数，在计算机上根据不同的情况和要求进行分析计算，得出了许多有益的 研究成果。这其中具有代表性的： 1 9 8 7 年，毛清华针对跨度为2 8 0 m 的山东胜利大桥，将斜拉桥简化为弹性支持连续 2 长安大学硕士学位论文 梁理想化模型，研究了多轴车辆模型匀速过桥时受路面不平度影响下的桥梁动力效应f 8 】； 1 9 9 2 年t l w a n g 和d z h u a n g 用平面杆件系统模拟了一座主跨为1 2 8 m 公路斜拉桥， 考虑车辆悬挂系统的非线性和斜拉桥恒载的几何非线性影响，采用振型叠加法研究了车 辆桥梁系统的振动反应以及冲击系数1 9 ；1 9 9 4 年谭国辉，巴梅特g h ，汤比勒南d p 等 将车辆和桥梁看成是整体作用的系统，忽略了两者的阻尼的影响，采用格栅比拟法研究 了车桥之间的相互作用i lo 】；1 9 9 5 1 9 9 7 年，y a n gy b 采用动态凝聚法求解车桥系统的动 力响应问题，由于将所有与车体有关的自由度在单元进行了凝聚，使得计算效率大为提 高【1 1 1 3 1m u l c a h y ，h u r o n ，c h e u n g 以及g u p t a 先后采用有限元法或者有限条法并结合模 态分析技术研究了公路桥梁在双轴车辆通过时的动力响应；1 9 9 8 年z h e n g ，c h e u n g ， a u 和c h e n g t l 4 j 对多跨连续梁桥的车振问题应用修正的振动梁函数法进行了理论上的分 析；在1 9 9 9 年c h e n g ，a u ，c h e u n g 和z h e n g t l 5 1 研究了多跨连续梁桥车桥振动中的车桥 分离问题，即考虑车轮与桥面脱开的问题；孙微微【1 6 】采用三角形三节点单元，以二维 变截面梁结构模型为主，进行了在动荷载作用下渐变式桥梁结构的有限元动力分析研 究；林梅、肖盛燮17 】【1 8 】在2 0 0 0 年以结构动力学为基础，分析了在不同车型、车速车辆 荷载作用下连续梁桥结构的动态特性；严志刚、崔玉萍等【1 9 】【2 0 1 根据随动硬化理论和钢筋 混凝土组合材料恢复力模型，对钢筋混凝土拱桥采用非线性有限元法进行车辆移动荷载 作用下车桥系统的动力响应分析。 随着交通运输业的迅猛发展，公路桥梁上的行驶密度和荷载日益增大，桥梁结构形 式日趋多样化和轻型化，因而车辆荷载作用下公路桥梁的车一桥耦合振动研究就成了目 前工程界普遍关注的问题。 1 3 本文研究的内容 在移动车辆荷载作用下的车桥耦合系统振动问题研究已有1 0 0 多年的历史，许多 学者为此花费了大量的时间和心血，提出和建立了许多分析理论与分析方法，其研究工 作取得了不少重要的成果。在车一桥耦合系统仿真分析中，大多采用梁单元，而桥梁却 是复杂三维空间结构，其结构上的每一个点对于车辆荷载作用时的反应都不相同；另一 方面，用于仿真的车辆荷载很少考虑桥面不平整度对车辆动态荷载的影响，并且车辆荷 载加载过程也没有按照实际车辆通过桥梁的情形进行加载。结合目前国内外车桥耦合 3 第一章绪论 振动研究和应用现状，本文研究工作主要包括以下几个方面： 1 首先对车桥耦合振动理论进行了回顾，指出目前所使用的方法存在的不足；对 结构动力有限元分析方法的动力学分析相关基础理论进行了阐述，并以此理论为基础， 以轮迹接触为界，将车桥耦合系统分为车辆和桥梁两个子系统进行分析。 2 对车桥耦合系统的主要激励一车辆荷载进行了分类，给出了不同类型车辆动荷 载的适用条件；建立了不同的车辆振动模型，并以车轮振动模型为基础，建立数学模型， 研究了行驶车辆受桥面的不平整度影响所产生的附加动力荷载，分析了桥面不平整度与 车辆动荷载之间的关系。 3 介绍分析了a n s y s 中专门面向混凝土材料的s o l i d 6 5 单元以及钢筋混凝土材 料的本构关系，以k 4 1 + 8 6 0 太头沟2 号桥梁第三跨为研究对象，应用有限元分析软件 a n s y s 的二次开发语言a p d l 编写程序，建立了钢筋混凝土箱梁实体有限元模型。 4 利用建立的实体有限元桥梁模型，分析了太头沟2 号大桥第三跨的固有特性及静 荷载特性；应用a n s y s 中瞬态动力学模块，仿真分析了不同条件下的车辆荷载作用下 太头沟2 号大桥第三跨有限元实体模型的耦合作用特性。 4 长安大学硕士学位论文 第二章结构动力有限元分析方法 2 1 有限元方法概述 有限元方法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 是力学、数学物理学、计算方法、计算机计算 等多种学科综合发展和结合的产物。 有限元方法的实质 4 9 1 是将复杂的连续体划分为有限多个简单的单元体，化无限自由 度问题为有限自由度问题。其基本思想是先化整为零、再积零为整，即人为地分割一个 连续体成有限个单元；就是将一个结构看成由若干个通过结点相连的单元组成的整体。 先进行单元分析，然后再把单元进行组合代表原有结构进行整体分析。从数学角度来看， 有限元方法是将一个偏微分方程化成一个代数方程组，然后利用计算机进行求解的方 法。 有限元方法基本思想的提出，通常认为始于2 0 世纪4 0 年代。1 9 4 1 年，i 放o 9 】 提出所谓网格法，它将平面弹性体看成一批杆件和梁。1 9 4 3 年，c o u r a n t 5 2 的论文中使 用三角形区域的多项式函数求解扭转问题，假设挠度函数在一个划分的三角形单元集合 体的每个单元上为简单的线性函数，第一次用有限元方法处理连续体问题。1 9 5 5 年，德 国斯图加特大学的j h a r g y r i s 4 9 墩授发表了一组能量原理和矩阵分析论文，奠定了有限 元方法的理论基础。1 9 5 6 年，t u 【n l e r 、c l o u g h 、m a r t i n 和t o p l 5 0 1 ，首先将平面结构人为 地划分成很多三角形单元，单元内以顶点位移线性插值，用近似方法找出合理的单元弹 性特性，再用结构力学中的直接刚度法组成整个结构的位移方程组以求解。1 9 6 0 年， c l o u g h t 5 1 1 第一次提出并使用“有限单元法”的名称，与弹性力学中取无限小微体的研究 方法相区别。 有限元方法应用的巨大成功，使得有限元法由结构分析开始，很快广泛应用于热传 导、电磁场、流体、渗流等连续问题。随着有限元方法的不断发展和完善，目前已成为 一门成熟学科，成为解决实际问题的有力的工具。 2 2 有限元方法分析过程 有限元分析计算分为三个步骤 4 9 1 ： 1 结构的离散化 结构离散化、单元分析和整体分析。 5 第二章结构动力有限元分析方法 有限元方法的基础思想是化整为零，分散分析，再积零为整。因此，对一个结构进 行有限元分析的第一步是将其进行离散化，也就是根据求解问题的精度要求、效能要求 等诸多因素，将整个结构划分为有限个单元，单元与单元之间、单元与边界之间通过结 点连接。 在进行离散时，必须注意以下三点：单元类型的选择，包括单元的形状、结点数、 结点自由度数等几个方面；单元划分应有一定的规律性，以便于计算自动生成网格， 并且有利于以后对网格进行加密处理；同一个单元应由同一种材料生成。 2 进行单元分析 单元分析就是将离散化后的每个单元看作一个研究对象，研究结点位移与结点力之 间的关系，包括如下两方面的内容： 1 ) 单元位移模式的确定 对于位移型有限元方法，单元的位移模式就是将单元中任意一点的位移用单元的结 点位移来计算，而单元位移可以表示成结点位移的函数。位移函数的假设是否合理，直 接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠度。 2 ) 单元特性分析 建立了单元的位移函数之后，根据应力、应变、位移之间的关系，利用虚位移原理 或最小势能原理，可以建立杆端位移和单元杆端力之间的关系，从而得到单元刚度矩阵。 3 整体分析 在每个单元的刚度矩阵确定之后，可以将各单元集合成整体结构进行分析，建立起 表示整个结构结点平衡的方程组，即整体刚度方程。然后引入结构的边界条件，对方程 组进行求解，得出结点位移，并进而求出各单元的内力和变形。 2 3 结构动力分析方法 2 3 1 结构动力方程 1 有限元方程 任何振动系统都具有一定的质量和刚度。刚度是扰动因变形而传播的前提，而质量 则意味着保持运动继续的惯性。动荷载引起变形，而刚度则通过产生复原力而起反作用。 此外，一般振动系统均为非保守系统，即振动过程中要伴随能量的损耗，这种损耗表现 6 长安大学硕士学位论文 为系统的阻尼特性5 3 1 。 考虑振动系统中由质量、阻尼和刚度所引起的力以及外荷载，将振动系统离散后， 就得到有限元动力平衡方程组【铷 m i + c 舀+ k a = p ( 2 1 ) 式( 2 1 ) 中，m ，c ，k 分别为整体质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵；i ，西，口， p 分别为整体节点加速度，速度，位移和动荷载向量。 在动力分析中，由于惯性力和阻尼力的存在，所以得到的求解方程是常微分方程组。 将阻尼力和惯性力作为体积力施加在结构物上，将动力问题转化为静力问题，按照 静力问题的有限元分析推导有关方程，而问题的关键在于将惯性力和阻尼力转化成单元 等效节点荷载。 ( 1 ) 位移、速度、加速度 首先对空间进行离散，将结构离散以后，单元位移函数为 u ( x ，y ，z ，f ) = u a x ，y ，z ) ( ，) f 置l k x ，y ，z ，f ) = n a x ，y ，z ) v , f f ) 或u = n a 8 ( 2 2 ) ，毒1 w ( x ，y ，z ，) = e m ，弘z ) w ( f ) 其中单元节点位移向量为矿= 二 ，巩= i 萎 。= ，2 ，朋，形函数矩阵为 n = 【 in 2 i 埘i 】，i 为三阶单位矩阵。 单元内部各点的速度和加速度可以分别用单元节点的速度和加速度表示为 血= n 矿 霞= n 蕴。 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 ) 惯性力等效节点荷载 若材料的质量密度为p ，根据d a l e m b e r t 原理，单元内单位体积上作用的惯性力为 = 一p i i = - p n i i 。 ( 2 5 ) 其中的下标表示惯性。利用体力等效节点荷载公式 7 第二章结构动力有限元分析方法 彤= l n7 掰q ( 2 6 ) 式中饼为单元体积域。求得惯性力的等效节点荷载 晔= l n r f ：d q = 一l p n r n d f 2 i i 8 ( 2 7 ) 其中，m 。为单元质量矩阵，即 m 。=n r m q ( 2 8 ) ( 3 ) 阻尼力的等效节点荷载 假设阻尼力正比于运动速度，比例常数为a ，则单元内单位体积上作用的阻尼力可 表示为 f c = - - - a p u = - - a p n a 8 ( 2 9 ) 其中的下标c 表示阻尼。阻尼力的等效节点荷载为 彤= l n 7 f c d q = 一l 印n 7 m q 矿或= - c 2 矿 ( 2 1 0 ) 其中，c 为单元阻尼矩阵，即 c 。= a 互a , p n r n d f f 2 = a m 。 ( 2 1 1 ) 2 系数矩阵 采用有限单元法进行结构动力计算，必须建立结构系统的整体质量矩阵m 、阻尼矩 阵c 和刚度矩阵k 。它们均由相应的单元矩阵按照通用的方法直接集合而成。 ( 1 ) 质量矩阵 整体质量矩阵m 的元素称为质量影响系数，其物理意义是自由度_ ，的单位加速 度在自由度f 方向引起的力。对结构进行离散化处理时，常用分配单元质量方法有两种， 即一致质量法和集中质量法。 一致质量法按式( 2 8 ) 计算单元质量矩阵。此时，使用了与推导单元刚度矩阵相同 的位移函数，故称其为一致质量矩阵又因为单元的动能和势能是相互协调的，故也称 为协调质量矩阵。采用一致质量法求出的整体质量矩阵是与整体刚度矩阵相仿的带状对 称方阵。对于平面问题常应变三角形单元，一致质量矩阵为 8 长安大学硕士学位论文 m 8 = l j d n 7 n d f 2 = p f j i r l l 巩2 lw l “2 l w m 心2 p t a = 一 3 ( 2 1 2 ) 式( 2 1 2 ) 中：t 为厚度，a 是三角形面积。 集中质量法简单地将单元的质量集中分配于单元的节点，形成集中质量矩阵。每个 节点所分配到的质量视该节点所管辖的范围而定。通常假定质量集中在点上，一般不考 虑转动惯量，故与转动自由度相关的质量系数为零。此外，任一节点的加速度仅在这一 点上产生惯性力，对其他点没有作用，即质量矩阵中的非对角线元素为零。因此，集中 质量矩阵是对角矩阵，其对角线上与转动自由度对应的元素为零。 关于质量矩阵的对角化，最常用的方法是对一致质量矩阵的行求和，即 梯= j 西= l , p n7 n d q = l p m ( ，g j ) d q = l p n , d a ( 2 1 3 ) 其中，梯是集中质量矩阵的对角元素；柳 是一致质量矩阵的元素。对于平面问题 常应变三角形单元，集中质量矩阵为 m 。：p t a 3 lo ol o0 oo 0o 0o oo o 0 l0 ol o 0 o 0 o 0 o0 0o 0o 10 o1 ( 2 1 4 ) ( 2 ) 阻尼矩阵 系统在运动中所耗散的能量用阻尼项表示。若假设阻尼力正比于运动速度，则单元 阻尼矩阵按式( 2 1 1 ) 计算。此时的单元阻尼矩阵正比于单元质量矩阵。如果假定阻尼 应力正比于应变速度( 通常由于材料内摩擦引起的结构阻尼可以简化为这种情况) ，则 可表示为 9 方 墩 、ki m m m m m m w 5 5 o 2 o 2 o mo幡。幡。帖 5 5 - 2 0 2 0 m 0泌。蚴。晒o 5 5 o 苈o m o 苈苈oo苈o o m o 筋。苈 o筋。笛o 第二章结构动力有限元分析方法 o 。= 卢d 宅 ( 2 1 5 ) 初应力的等效节点荷载公式 p 盏= 一lb r 。d q ( 2 1 6 ) 式中o o 为初应力向量，b 为应变矩阵，为初应力引起的单元等效节点荷载向量。 单元刚度矩阵为 k 。= l b r d b d f 2 ( 2 1 7 ) 其中，弹性矩阵d 为 。2 雨而e 习 1 一，v，000 ，1 一v，0oo ， l 一， o 0 0 ooo 1 - 2 v00 2 oooo 1 - 2 v0 2 0oo00 1 - 2 v 2 ( 2 1 s ) 根据式( 2 1 5 ) ( 2 1 8 ) 可以得到单元阻尼矩阵 c 。= 卢l b r d b d q = f l k 。 ( 2 1 9 ) 可见，单元阻尼矩阵正比于单元刚度矩阵。 求出单元阻尼矩阵后，采用直接集成方法可得到整体阻尼矩阵。阻尼系数一般依赖 于频率，要精确地确定阻尼矩阵十分困难。通常将实际结构的阻尼矩阵简化为质量矩 阵和刚度矩阵的线性组合，即采用r a y l e i g h 阻尼 c = a m + p k ( 2 2 0 ) 其中，a ，为不依赖于频率的常数，可以通过试验来确定。 2 3 2 结构的固有特性 计算结构的固有频率和固有振型称为特征值问题。它是结构动力分析的基本内容， 而且也是采用振型叠加法计算结构动力响应的前提。 1 广义特征值问题 1 0 长安大学硕士学位论文 在式( 2 1 ) 中令p = 0 ，可得自由振动方程。在实际工程中，阻尼对结构自振频率 和振型的影响不大，因此可忽略阻尼力，从而得到无阻尼自由振动的运动方程 m i i + k a = 0 ( 2 2 1 ) 式( 2 2 1 ) 为常系数线性齐次常微分方程组，其解的形式为 a = c o s t o t ( 2 2 2 ) 将其代入式( 2 2 1 ) ，可得齐次方程 ( k - c 0 2 m ) 西= o ( 2 2 3 ) 在自由振动时，因结构中各节点的振幅不全为零，故其系数行列式必为零，即 l k - t 0 2 m i = o ( 2 “) 将求解式( 2 2 3 ) 的问题称为广义特征值问题。结构的刚度矩阵i 和质量矩阵m 都 是，l 阶方阵，其中刀是节点自由度个数。可见，式( 2 2 4 ) 是关于国2 的n 次代数方程， 称为式( 2 2 1 ) 的特征方程，其解砰o = l ，2 ，n ) 称y o 特征值。对应于每个特征值砰， 由式( 2 2 3 ) 可确定一组相应的振幅值m 。o = 1 ，2 ，刀) ，称为特征向量，一般称为结构 振型。 2 特征值和特征向量 在结构有限元分析中，刚度矩阵和质量矩阵都是实对称矩阵。消除刚体位移后的刚 度矩阵是正定的；采用一致质量矩阵时，质量矩阵是正定的。数学上可以证明，当质量 矩阵为对称正定、刚度矩阵为对称正定或半正定时，所有特征值为非负的实数，特征向 量也是实向量。因此，对于广义特征值问题，可将其n 个实的特征值顺次排列为 o 砰西t o l l ( 2 2 5 ) 其中，q 称为结构的第f 阶固有频率，对应的特征向量m ，称为第i 阶固有振型。满 足方程 k 西，= 砰m m ，o = 1 ，2 ，疗) ( 2 2 6 ) 如果m ，是广义特征值问题的特征向量，乘以非零常数后仍为特征向量。通常使特征 向量满足 第二章结构动力有限元分析方法 e p r m e p ，= 1 ( 待1 ，2 ，刀) 这样规定的特征向量或振型称为正则振型。 将特征解( 砰，m ，) 和( q ，m j ) 分别代入式( 2 2 3 ) ，可得 k m ，= 砰m m ， k o ，= 巧m 呜 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 将式( 2 2 8 ) 两端前乘以m t ，式( 2 2 9 ) 两端前乘以j ，而k 和m 是对称，可得 ( 砰一砰) m ；m m ，= o 由式( 2 3 0 ) 可见，当砰时，必有 西；m m ，= o ( 2 3 0 ) ( 2 3 0 上式表明特性向量关于矩阵m 是正交的。式( 2 2 7 ) 和( 2 3 1 ) 合起来可表示为 m ；m 也= 岛= 三；二； 由式( 2 2 6 ) 、式( 2 3 2 ) ，可得 如果定义特征矩阵 则特征解的性质可表示成 其中 m j k ，= 岛砰= 髻；二； m = 【m lm 2 西。】 i- m m = ii 巾、 西r k ：q 2j 1 2 ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 长安大学硕士学位论文 2 3 3 结构动力响应 q 2 ： ( 2 3 6 ) 振型迭加法的基本思想是先将方程组非耦合化，然后再积分求解非耦合方程组。一 般情况下，式( 2 1 ) 是耦合的。m 和k 是振型正交的，在采用系统比例阻尼假设下， c 也是振型正交的。所以借助振型向量所构成的位移变换矩阵，便可实现方程组的非耦 合化。 在求出结构无阻尼自由振动的频率和振型以后，可用振型的线性组合来表示结构的 节点位移 a = m l 而( f ) + m 2 吃( f ) + + m 。o ) = 【m 1m 2m 。】x = 慨 ( 2 3 7 ) 其中，薯o ) 是时间的函数，可得 矗= 嘶，五= 慨 ( 2 3 8 ) 代人式( 2 1 ) ，并各项前乘以m r ，得 m t m 西盖+ m t c m 主+ m t k m x = 西t p ( 2 3 9 ) 由式( 2 3 5 ) ，并设阻尼矩阵为质量矩阵与刚度矩阵的线性组合，即 c = a m + i l k( 2 4 0 ) 于是 其中 西r c m ： 2 a h 2 l o o o 2 哆如 o 2 q 凡= 口+ 届哆 如果已知结果的两个频率q ，哆以及相应的阻尼比九，则阻尼常数为 a = 黼q 哆，卢= ( 黼 1 3 ( 2 4 0 ( 2 4 2 ) 九 o 0 ； 2 第二章结构动力有限元分析方法 戈i + 2 c o l 戈l4 ( 0 2 x i = j 尸= 1 ( f ) 舅2 + 2 0 3 2 允2 膏2 + ；x 25 ；尸2 吃( ，) ( 2 4 3 ) 主。+ 2 。九岛+ 群x n = ：p = 厶( f ) 结构动力响应分析中，一般高阶振型的贡献都很小，通常只需要计算最低的到3 到 6 个振型即可。 2 4 小结 结构物有时会受到动荷载作用而发生不允许的变形甚至破坏，因此动荷载效应在结 构设计时，必须用动力分析方法分析考虑。本章简要介绍了有限元方法的基本思想和分 析过程；分析了如何应用有限元法进行实体结构动力分析，内容包括：动力有限元方程 及系数矩阵；结构的固有特性计算；结构的动力响应。 1 4 长安大学硕士学位论文 第三章a n s y s 在桥梁结构振动分析中的应用 3 1 有限元软件a n s y s 简介 有限元分析软件随着电子计算机的发展而飞速发展。目前，应用广泛的通用有限元 分析程序中，美国a n s y s 公司研制开发的大型通用有限元分析程序a n s y s 是一个大型 有限元分析系统，它适用于微机平台，并且功能强大，适用领域很广泛。a n s y s 软件 是融结构、电磁、热、流体、声学于一体的大型通用有限元分析软件，可广泛用于机械 制造、能源、汽车交通、铁道、石油化工、航空航天、机国防军工、电子、土木工程、 造船、地矿、核工业、水利、生物医学、轻工、日用家电等一般工业及科学研究院【4 引。 在世界范围内，a n s y s 软件已经成为土木建筑行业中c a e 仿真分析软件的主流。在钢 结构和钢筋混凝土房屋建筑、体育场馆、桥梁、隧道以及地下建筑物等工程中得到了广 泛的应用，对这些结构在各种外荷载条件下的受力、变形、稳定性及各种动力特性做出 全面分析，从力学计算、组合分析等方面提出了全面的解决方案，为工程师提供了功能 强大且方便易用的分析手段。 软件主要包括三个部分：前处理模块、分析计算模块和后处理模块。前处理模块提 供了建模及划分网格的工具，可以很方便地建立有限元模型；分析计算模块即是对已建 立的模型在一定的荷载和边界条件下进行有限元计算。包括结构分析( 可进行线性、非 线性分析和高度线性分析) 、流体动力学分析等多种分析方法，可模拟多种物力介质的 相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力；后处理模块是处理计算结果，可以彩色等 值线显示、矢量显示等图形方式显示结果，也可将以图表、曲线形式显示或输出结果。 3 2 钢筋混凝土结构单元 3 2 1 a n s y s 中的s o l i d 6 5 单元删 a n s y s 的单元库有专门面向混凝土材料的8 节点六面体单元s o l i d 6 5 单元，见图 3 1 。s o l i d 6 5 单元是专门为混凝土、岩石等抗压能力远大于抗拉能力的非均匀材料开 发的单元。它可以模拟混凝土中的加强钢筋( 或玻璃纤维，型钢等) ，以及材料的拉裂和 压溃现象。 1 5 第三章a n s y s 在桥