（应用数学专业论文）关于一类趋化性问题及其数学模型.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 生物个体与群体对外界刺激所作出的应答是多种多样的其中，趋化性是一个 当前比较热门的研究问题虽然趋化性模型的建立要追溯到二十世纪五十年代，但 目前研究得较多的模型是在二十世纪七十年代由k e l l e r 和s e g e l 建立的下述模型； 毗= d l a u v - ( x ( v ) u v v ) 7 _ 硼= d 2 u + ，( u ，聊) ( 0 1 ) ( 0 2 ) 其中，仙t ) ，v ( x ，t ) 分别表示有机体的密度及其分泌物的浓度 我们的研究是基于前人的一些结果，首先对其中地一个结论从数学的角度给予 一个验证接下来，我们又对k - s 模型的一个特殊形式进行了一些初步的讨论最 后，我们把个典型的实验结果和已有的在数学角度的结论放在一起进行分析与比 较，特别是在生物学上给出一个较为合理的解释与说明，并对照已有的趋化性模型 提出我们如下的趋化性模型： 蛳= d l a u v ( x ( 让，w ，w ) v v ) + ，( 钍，? j 2 ) ，。q ，t 0 ，( 0 3 ) ， l v t = 如a v + g ( u ，口，w ) ，。q ，t 0 ，( o ，4 ) 2 w t = d a a w 一危( u ) ，x q ，t 0 ( 0 5 ) 其中，让( z ，t ) ，v ( x ，t ) ，w ( x ，t ) 三个未知函数分别用来描述有机体，刺激物，和有机 体的食物 本文的安排如下：在第一章，首先介绍了趋化性问题的k s 模型的推导，并给 出相关的数学基础知识在第二章，对目前人们研究得比较多的k s 模型给出他们 的重要的研究结果，并对这些结果在数学上进行分析与总结通过这些工作，我们 获得了对趋化性这一类问题的一个较为完满的认识，在第三章，我们利用数值模拟 的方法对他人的结论进行了验证，并对k s 模型的一个特殊形式进行了一些初步的 讨论在第四章，我们以一个典型的趋化性实验为例，从数学和生物学的角度进行 分析，并对照已有的趋化性模型提出我们自己的趋化性模型，并对某些新的模型给 出一些典型的数值，说明了即使在一维空间，系统破裂或整体存在依赖于系统的初 始状态由此表明，至少在数值模拟的情形下，趋化行为的多样性可以导致生物系 统的复杂性 关键词z趋化性数学模型数值模拟 a b s t r a c t t h er e a c t i o n so fb i o l o g i c a li n d i v i d u a l sa n dc o l l e c t i v et oe n v i r o n m e n t a ls t i m u l i a r ev a r i o u s ，i nw h i c hc h e m o t a x i si sh o tt o p i c a l t h o u g ht h et w o m o d e l so nc h e m o - t a x i sw e r eg o t t e na t1 9 5 0 s ，o n eo ft h e mw a si n t e n s i v e l ys t u d i e df o u n d e db yk e l l e r a n ds e g e la t1 9 7 0 s ，a n di tw a s u t t ? 9 t d l u v - ( x ( v ) v v ) d 2 ”+ ，( 口) w h e r e 乜( z ，t ) ，”( 正，t ) i s t h ed e n s i t yo fp o p u l a t i o na n dt h ec o n c e n t r a t i o no fs t i m u l u s ， r e s p e c t l y o u rb a c i si d e a sc o m ef r o mo t h e rr e s e a r c h e r s r e s u l t s ，a n do n eo f t h e mi st e s t e d o nn u m e r i c a ls i m u l a t i o n t h e n ，t h er e s u l t so fo n ec l a s s i c a le x p i r i m e n ti sa n a l y s e d a n dc o m p a r e dw i t he x i s t i n gm a t h m e t i c a lc o n c l u s i o n s ，m o r e o v e r ，t h ea b o v et h i n g s a r ea d h e r e dt oe x p l a i n a t i o n so nm a t h m e t i c sa n db i o l o g y , a n dw es t u d ye l e m e n t a r i l y as p e c i a lf o r mo fk - sm o d e lo nm a t h m e t i c s f i n a l l y , o u rm o d e lo fc h e m o t a x i si s p r o d u c e da sf o l l o w s ： u t q 仇 仡叫 d l u v ( x ( u ， 1 3 ，w ) v v ) + ，( 让，删) ， z q ，t 0 d 2 a v + e ( u ， ，w ) ， 。q ，t 0 d s a w 一 ( u ) ，z q ，t 0 w h e r eu ( x ，t ) ，口( z ，t ) ，w ( x ，t ) i st h ed e n s i t yo fp o p u l a t i o n ，t h ec o n c e n t r a t i o no fs t i m u l u s ，a n do r g a n i s m sf o o d ，r e s p e c t l y o u rt h e s i si sa r r a n g e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ek sm o d e la n dt h eb a s i cm a t h m e t i c a lk n o w l e d g e r e l a t e dt oc h e m o t a x i s i nc h a p t e r2 ，s o m ec o n c l u s i o n so nk sm o d e la r eg i v e nf o l l o w e db yo u ra n a l y s e s a n do b s e r v a t i o n a n df r o mw h i c hw eo b t a i nt h em a t h m e t i c a lp r o f i l e i i 华中科技大学硕士学位论文 i = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = ；一 i nc h a p t e r3 ，w eg i v et h ep a t t e r n sa b o u tc h e m o t a x i ss y s t e m o nb o u n d e dr a n g e o n1 - d i m e n t i o n a n dw ec o m p a r et h e mw i t hf o r e r u n n e r s c o n c l u s i o n s i na d d i t i o n ， as p e c i a lf o r mo fk sm o d e li ss t u d i e de l e m e n t a r i l yo nm a t h m e t i c s f i n a l l y , o u r m o d e lo fc h e m o t a x i si sp r o d u c e da sf c l l o w s ： i nc h a p t e r4 ，w ei n t r u d u c eac l a s s i c a lb i o l o g i c a le x p e r i m e n ta b o u tc h e m o t a x i s ， a n dc o m p a r i n gw i t hs o m er e s e a r c h e r s m a t h m e t i c a lr e s u l t sw eg i v ear e a s o n a b l e e x p l a i n a t i o n s a tl a s t ，w ep r o d u c e o u rm a t h m e t i c a lm o d e lo fc h e m o t a x i st h a tc a nb e d i s c u s s e d i no r d e rt od i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nt h ee x i s t e n c eo rn o n - e x i s t e n c eo f t h eg l o b a ls o l u t i o na n dt h ei n i t i a ld a t a ，w ed i c s u s san e w s p e c i a lm o d e l o fc h e m o t a x i s a n dg i v es o m en u m e r i c a lr e s u l t s w ef i n dt h a t ，e v e nf o rt h eb o u n d e dd o m a i ni n1 - d i m e n t i o n a ls p a c e ，t h es o l u t i o nw i l le i t h e rb l o wu pi nf i n i t et i m e ，o re x i s tg l o b a l l y d e p e n d i n g o nt h ec h o i c eo ft h ei n i t i a ld a t a ，a sw e l la st h ec o f f e i e n t sa p p e a r e di nt h e m o d e l k e y w o r d s ：c h e m o t a x i sm a t h m e t i c a lm o d e ln u m e r i c a ls i m u l a t i o n i i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的 研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：东遗知 日期：2 梆饵年f 月a 4 - 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密口。 ( 请在以上方框内打“”) 指导教师签名：恕苒 日期：伽。叶年3 - 月f 日 华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 生物学背景 在生命科学迅速发展的今天，真正弄清生物个体与群体对外界刺激所作出的应 答对我们来说的确是个挑战所有的生物都能识别它们所生活环境中的( 对它们而 言有意义的) 信号并采取相应的行为，比如飞蛾的趋光习性、细菌对有害物质的逃 避、原生动物摄取食物的策略以及为数众多的动物寻找异性伴侣的巧妙行为其中 不少这类应答行为已经可以通过实验来进行定量分析正是因为如此，我们才能对 这类生物现象有了更好的了解这类试验大致可以分为两类：( i ) 个体行为的测量 和( i i ) 群体行为的测量当然一个群体的行为是由其每个成员的个体行为共同决定 的，然而个体行为是如何影响群体行为却远未明了的确，这类问题是当今生物数 学主要的研究方向之一 近几十年来，已有不少人把注意力转移到对有机体的趋化性这一现象的研究之 中简单地说，趋化性是指由化学刺激物导致的有机体的运动在有些情形下，有机 体能分泌一类化学物质，而这类物质能对生物体产生一种吸引或排斥作用在生物 体密度较大的区域，这类物质的浓度也较大，而这类刺激物浓度较大的区域对有机 体又有较强的吸引或排斥作用这就触发了一个自我正向加速或反向加速的过程， 直至有机体在某些位点聚集或由某些较为集中的位点而散开去 1 2 研究状况 在如何建立趋化性模型的问题上，不同的方法导出不同的模型首先，我们来 介绍关于趋化性最早研究的数学模型，同时，它也是目前被广泛研究的数学模型一 抛物型的方程组该模型最早是由p a t l a k 在1 9 5 3 在 1 l 提出来的，但由于他的文 章难以读懂，现在的被讨论数学模型则是由k e l l e r 与s e g e l 于1 9 7 0 年 2 提出来的 抛物型的强耦合方程组首先，假设在缺乏外界信号的情况下，有机体的群体密度 1 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = ；= ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = ； 函数u ( x ，t ) 可以用扩散方程来描述： u t = d l a u ( 1 1 ) 其中d 1 o 表示有机体的扩散系数现在我们来定义( 净) 流量： f = - d l v u 如果有一外部信号 ( z ，t ) ，就仅仅假设它会导致群体的一个趋化性运动速度一注 意，显然我们也假设外部信号v ( x ，t ) 可以用反应扩散方程来描述于是这个流量就 是： f = - d x v u + 牡 为了更具体些，还要假设趋化性运动速度”与梯度v ”方向一致以及关于该梯度的 敏感系数x 只依赖于外部信号口，那么： = x ( v ) v v 把这个被修饰了的流量带入( 1 1 ) 就得到抛物垄的趋化性方程： 砘= d l a u v ( x ( 。) u v u ) ( 1 2 ) 若再加上描述外部信号v ( x ，t ) 的方程； r 吨= d 2 x v + ，( u ，v ) ，( 1 3 ) 那么，上述的两个抛物型方程( 1 2 ) ，( 1 3 ) 就可用来描述该系统了 在趋化性这个问题上，外部信号就是指由有机体分泌的某种化学物质其中 u ( z ，t ) ，v ( x ，t ) 分别表示有机体的密度及其分泌物的浓度d t ，d 2 分别表示有机体的 扩散系数及其分泌物的扩散系数) ( ( u ) 表示有机体对其分泌物的浓度梯度的敏感 系数，一般地它与分泌物的浓度有关，但在目前的文献中通常只把它作为常数来考 虑若) ( ) 0 则表示趋化性运动速度”与梯度v 口的方向一致，即有机体向其 分泌物的浓度高的区域运动，我们把它叫做正向化性；而x ( ) 0 则表示趋化性 运动速度一与梯度v 的方向相反，叫做负向化性或许由于在负向化性的系统中 2 华中科技大学硕士学位论文 = 一= = ；= = = ；= = ；= = = = = = # = = # = = = = = = = = = _ 不会出现解的破裂( b l o w u p ) ，截至目前尚未有人去研究这种情形0 rs l 表 示时间常数，意指有机体的空间分布与其分泌物的空间分布的时间尺度关系，它与 有机体的类型有关若r = 0 ，则对应的假设是分泌物的分布处于拟稳定状态此 时，方程组因t n a g a i 最早开始研究的，故又称为模型，( u ，v ) 表示分泌物的 产生与分解，从已有的实验数据来看，它常常是一个非线性函数但是，由于它的 非线性程度较低，所以现在普遍研究的是如下的线性化的形式； 毗= d l a u x v ( u v v ) ，( 1 a ) f 砘= d 2 a v + 7 u 一6 u ( 1 5 ) 这里的x 也被视为常数 此外，值得一提的是，通过已有的实验结果来看，流量f 的具体形式与系统所 在的空间维敬有关比如，当n = 3 时，有些细菌的趋化性运动速度y 更准确的形 式是 = v ( 1 0 9 c 虬v ( 志) ，v ( 禹) s t r o o c k 在【3 就采用统计学方法导出一个迁移方程： 乳0 ，t ， ) + 口v p ( z ，t ， ) = 一u p ( x ，t ， ) + 雎，z 扣，口7 ) p 0 ，t ， ) d v ( 1 6 ) 其中p ( z ，t ，口) 表示有机体中那部分在时间t20 时，在空间位置。r “处，具有 速度 的密度这里还假设每个有机体在不受外界因素的影响下沿着任意的空间方 向运动是等可能的，而且它们的运动速度是有限的于是又可规定运动速度的取值 范围vcr ”是一个以原点为中心的球( 即若 v ，则一 v ) 卢表示有机 体转向频率，即单位时同内有机体运动方向发生变化的次数，因此f = 丢就是指单 个有机体沿着某个运动方向平均运动时间 丁( ”，a ) 是一个几率核，是指有机体在 以速度v 运动之后转向以口运动的几率显然要有下式来保证有机体在数量上守 恒： ，? ( 口，口7 ) d v = 1 。 遗憾的是，就目前导出几种模型的方法来看，每种模型都有它的不足之处反 应扩散模型的弊端是，首先，该模型假设群体运动过程可以看成是扩散过程然而， 3 华中科技大学硕士学位论文 = = 一= = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = = = = = 一 对于细菌来说，它们是沿着直线运动，然后突然停下来，接着选择一个新的方向并 沿着这个新的方向继续运动所以，它们的运动并不是布朗运动，而是一个速度跳 跃过程其次，( 1 1 ) 式的扩散顼隐含着刺激信息的传播速度是。无穷大”，而这 是不可能的最后，系统中的相关参数，如扩散系数d 1 ，d 2 以及敏感常数x ，并不 与个体的运动模式相关 从数学角度来看，用来描述群体运动的迁移模型也有它的不足之处因为迁移 模型是从单个有机体分布函数推导出来的，所以，如果每个个体的运动是独立的， 贝4 该模型是合适的但如果个体之间在运动方面相互有关，如它们在趋化性运动上 形成某种“联盟”，那么对这个基于统计过程的模型的修正就很有必要了 另外，如果还要把有机体的出生与死亡考虑进去，就得到反应一迁移模型从 已有的实验结果来看，反应项依赖于单个有机体运动速度在f 4 】给出了下述的反 应一迁移方程； 巩( z ，t ，q ) + u v p ( x ，u ) = 一f 巾( z ，t ， ) j r - pf ，t ( ，) p ( z ，t ，口7 ) 幽- t - f ( v ，p ，m o ) 其中m o = l p ( x ，t ，v ) d v 表示在时间t 芝0 时，在空间位置z j p 处的有机体总 密度在各向同性的情形下，非线性项，就只依赖于一关于这种模型研究情况 可以参考h a d e l e r 的 5 虽然上述的两种有机体运动模型是从不同的物理角度下导出的，但是我们惊喜 的发现在运用了多尺度分析的方法后，迁移方程可以导出反应扩散方程4 1 当然， 它还要匹配一个描述关于有机体分泌物的反应扩散方程 基于近些年来研究迁移模型的人不多，此处我们只给出关于反应扩散模型的研 究结果 在介绍有关的研究情况之前，我们首先来定义两个基本概念 定义1 【6 】对于满足一定初边值条件的方程组( 1 4 ) 一( 1 5 ) 的解( u ，v ) 只在有 限的时间内有限，设蜀。为( u ，v ) 的最大存在时闯，那么点x o 磊是u 的破裂 ( b l o w u p ) 点，是指存在 k ) 芒1c ( o ，。) 以及 x k ) 忍。c 丽满足 u ( 。，如) _ o 。，。叶z o 、t k _ 1 1 m b ， 七一o 。 4 华中科技大学硕士学位论文 那么，我们把这种现象称为解的破裂 定义2 若在定义1 中，解的破裂点z o 西还是唯一的，则称解的塌陷( c o l l a p s e ) 在研究( 1 4 ) 一( 1 5 ) 的过程中，有人发现解的破裂与空间的维数有关在一维 空间中，解的破裂是不会发生的，而三维及其以上的维数的空间中，解的破裂却是 一定会发生的至于二维情形，解的破裂与否就与有机体的总的数量m = ，nu o d 2 7 有密切的关系所以以下的讨论都是在二维空间中进行的 研究趋亿性最自然的初边值条件是有界区域上的无流边界情形，即q 为一有 界区域( 当然，它是单连通的) ，且 娑：罢：0 ， 。a n ，t o u 。| lu n 其中，n 表示边界a q 上的单位外法向我们注意到关于边界a n 的光滑性也应有 一定的要求，比如，a q 是逐点c 2 的，甚至是c o 。的以下又分两种情况： ( i ) 当q 是圆域 z a 2 lh r ) 时； ( i i ) 当n 是一般的有界区域时 上个世纪的九十年代，有人也研究了无界区域，即全空间上的趋化性问题与 有界区域上的结果相比较，这一方面的结果要少一些 1 3 预备知识 本文采用以下记号和约定： 1 7 】设，( z ) 是q c 彤。上的l e b e s g u e 可测函数，记 脚卜f 叭删，如) 3 。 ，p 。o 表示区域q 上的p 次幂可积函数空间，它是一个线性空间若再定义其元素的范 数为 懈) 炉( 二j 一如) ；， 则此时， p ( q ) 就是一个赋范线性空间 ”| j p 表示其范数，特别的，i i ，i f 表示 ”怯 5 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = j _ # = = ；= = ；= = ；= = = = = = = = 口一 若p = 。则记 工。( n ) ：= m ) | e s s n s u p i f ( 。) j 。) ， 其元素的范数定义为 i i ，( 圳l 。= e s s s u pl ，b ) i 而工筝( q ) ：= ，l o o ( n ) if ( x ) 兰0 口e ) 取( q ) 则表示q 上的局部可积函数空间，定义如下： l ( q ) ：= ，if l 9 ( q ) ，v n 7c c q ， 1s p 。 2 8 】如和如是两个o r l i c z 空间，它们的定义如下： l 口：= ，l 1il f f l l m 。，妒：= h l 1ff g | | 口 0 ，( 2 2 ) 娑：兰：0 ， 。锄，f 0 ，( 2 3 ) 丽2 丽2 ， 。饥o ，。 叫 ( - ，0 ) = 锄，口( - ，0 ) = 。o ， 茹q ( 2 4 ) 此论文的作者利用数值计算的方法来研究上述问题这篇论文的主要结果是： 当矗蛳如充分小的情况下，上述初边值问题的解是全局存在的而当如扎od z 充分大的情况下，上述初边值问题的解只能是局音存在的。 到了八十年代，这方面的文献就开始显得多了起来c h i l d r e s s 的论文 1 2 】在 趋化性的研究发展的历史中具有相当重要的地位他研究了以下问题： 砘= a u v ( u v v ) 仇2 曲一 + 乜， 塑：塑：。 o no n 。 乱( ，0 ) = u o ， ( ，0 ) = v 0 z q ，t 0 q t 0 o a q t 0 q ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 其中，ncr 2 他也是利用数值计算的方法来研究上述问题的在这篇文章的最 后，他给出了一个猜想； 8 华中科技大学硕士学位论文 = ：= = = = = = = = _ ；= = ；_ ；= ；= = = = = = = ；= = = = = # 令c + = 如钍od x 为上述问题的解发生破裂的最小值，而g = 如u od x 为上述 问题的鳃全局存在的最大值，那么，c + = c 。= 8 7 r 然而，关于此文的原始文献很难查到，后来的研究者在引用他们的结果时，也 没有明确指出q 的形状，所以，我们不知遭q 究竟是有界的还是无界的，若是有 界的，那么是不是圆形区域呢? 这是因为从后来的进一步的研究结果来看，上述的 猜想只对圆形区域是对的 在这篇论文发表不久，c h i l d r e s s 和p e r c u s 在( 1 3 1 又系统地阐述了在二维空间 里趋化性问题的解的破裂和塌陷 2 2 q 为有界区域的情形 在k - s 模蛩的研究历史过程中，有一篇论文具有极为重要的地位，它就是h g a j e w s k i 和k z a c h a r i a s 的 1 4 他们两人都是魏尔斯特拉斯( w e i e r s t r a s s ) 应用分 析与统计研究所的数学家该文最早是以独立出版物于1 9 9 6 年4 月2 日出版的， 而以论文的形式发表则已到了1 9 9 8 年 在该文中，他f 曙研究的问题如下： i i t = “一x v ( u v v ) u t 8 钍 加 u ( ，0 ) z q ，t 0 z n ，t 0 ， z 砌t 0 z q 其中，qcr ，n 2 为一具有逐点g 2 边界a q 的有界区域 他们首先对u ( z ，t ) ，v ( z ，t ) 进行空间平均： 豇( t ) ：= 高五让( 。，t ) 出，可( t ) ：= 高正”( 。，t ) 出 再对u ) ，u ( 。，亡) 作了如下的线性变换： u 小= 帮，v ( 嘶刊巾，p 删 f 2 9 1 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 9 t 乩 | i + 卢 ， o f ” i j 越( 8 一( 蔷毗 = | | | l 华中科技大学硕士学位论文 于是，上述初边值问题就转化为下列形式，但仍用钆( 。，t ) ，v ( x ，t ) 来表示变换后 的函数u ( z ，t ) ，v ( x ，t ) 砜 t a u 饥 ( ，0 ) a u v ( u v v ) ， 口u b y + 7 ( t 上一1 ) 宴：o ， d n u o ， f ，0 ) = v o ， z q t 0 z n ，t 0 z a q ，t 0 z q 其中，7 ：= x 6 - 0 首先，此文给出了问题( 2 1 3 ) 一( 2 1 6 ) 的弱解的定义 定义1 对( 钍，口) 分别是以下空间的元素 嚣l ( o ，? ；三筝) n l 2 ( o ，2 1 ；日1 ) ，钍t l 2 ( o ，? ；( h 1 ) + ) 钉l o o ( o ，2 ；l ) n c ( o ，t ；h 1 ) u t l 2 ( 0 ，丁；工2 ) 若对任意的h l 2 ( 0 ，正h 1 ) ，下面的两个等式成立： z r ( 啦，h d t + z r f 。( v u - u v ”) 、t h d x d f = o ， 上( h ) d t + f o 厶q v u v h + ( 印一，y 心一1 ) ) d x d t = o 那么，就把( t ，u ) 称为( 2 1 3 ) 一( 2 1 6 ) 的弱解 随后此文就给出并证明了弱解的局部存在唯一性定理，具体如下 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 定理2 1 若u 0 工，u o w “，p 2 以及存在某个t 0 ，那么问 题存在唯一的弱解( 缸，w ) 此外，对于0 t t ，有t _ u ( t ) l 竿以及函数： t 一1 1 w , ( t ) 1 1 2 在 0 ，t 】上是绝对连续的 关于讨论弱解的全局存在性和弱解的渐进性，他们构造了两个l y a p u n o v 泛函 脚：= 五融崦川+ 洳v 卯州，+ 耖) 卜 华中科技大学硕士学位论文 希 脚川= 上卜g 一1 + 刍( 巾卯+ 胪) 却“) ”卜 后来，其他一些研究人员在讨论k s 模型时也构造出了类似的l y a p u n o v 泛 函关于这一点我们后面还要提及 这里，上述两位作者给出了在满足某些条件下，l y a p u n o v 泛函b ( u ，v ) 具有 指数式的衰减性，并且解( 让，口) 在某种意义下衰减到平凡情形，即： 定理2 2 若 那么，存在某个正的常数a 使得 趔 0 使得 肛l i 1 1 2 | | 九i l 知。 随后，他们给出了弱解全局存在的充分条件( 后来其他一些作者研究发现此条 件还是问题的必要条件) 他们的结论如下： 定理2 3 若 裂0 l ， ( 2 17 ) 4 口 、 1 。j 那么 f v 口( 圳4 - 似t ) g o 。，vt 0 而且，对于任意的1s p o 。，存在两个常数c l = g ) ，c 2 = g ) ，使得 f f 甜( f ) f psq e c 。 o o ，v t 0 华中科技大学硕士学位论文 以及非递减的有界函数：t 斗g ( t ) 使得 i i v ( t ) l l 。- i - ip , 4 t ) l l 。c ( t ) 我们注意到7 ：= x 扼o ，结合( 3 5 ) ，立即可得 正u 。出 等 为了更容易看出区域的形状对解的全局存在的影响，令o = 6 = x = 1 ，则 o u 。出 4 e 上式使得我们很容易看出区域的最小内角0 对解的全局存在的影响叉若e = 7 r ， 即此时的区域的边界是c 2 的，那么，当系统中的有机物的总量如u o d z 4 0 r 时， 问题的解是全局存在的，此文的最大成就就在这里 此文的作者还注意到并证明了下式 k = 裂妯：= 掣 而定理b 已经表明：当k l 1 时，解( 钍，u ) 渐进趋于平凡情形= 1 ，矿= 0 ) ， 那么最自然的问题是：当k ： 0 ， x a q ，t 0 o q ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 其中，q ：= 如! 吲 o ，v ( x ，t ) 0 ， 还有它们关于空间变量岳是径向对称的，即 u ( x ，t ) = u ( ，t ) ，v ( x ，t ) = , ( i z l ，t ) 他们先定义了一个带权的积分函数a 厶( t ) 令 m ：( t ) ：= o 孔( z ，t ) l z j 。d x ，o 茎t z 。 这里a 是一个正的常数他们有以下结果； 1 3 华中科技大学硕士学位论文 定理2 5 ( i ) 若n = 1 ，2 或当n 3 时x 音与，并且m 2 ( o ) 充分的小，那么。 o o 勰t 0 z q ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 其中，qcr 2 为一具有光滑边界a n 的单连通有界区域而且钍o ，u o 在孬上是光 滑的、非负的和非平凡的 在罗列他们的结果之前，先来给出一些相关的记号 ( i )b ( x o ，r ) ：= x r 2 i z o o j 0 ( i i )a ( 锄，f l ，r 2 ) ：= b ( x o ，r 2 ) b 知o ，r 1 ) ( i i i ) m ( s ) 表示s 上的r a d o 测度，s 是一个紧h a u s d o r f f 空间 ( i v )w 一l i r a 表示m ( s ) 中的弱星极限 ( v )6 ( ) 表示d i r a c6 函数，疋。( ) = d ( 一) ，印r 2 ( v i ) g 表示全体破裂点的集合，而b f 表示所有孤立破裂点z 的集合，面。 的定义如下：若存在一个r 2 0 ，使得对任意的r l ( 0 ，t 2 ) ，下式成立 s u p i l u ( t ) l l p ( ac ，2 ) n n j 。o 0 9 t m 1 5 华中科技大学硕士学位论又 ： ：一 下面我们给出他们的结果： 定理2 6 令 坂= l 8 4 7 宵r , ，z z 。o a f l q ； 若x o 召，那么以下结论成立： ( i ) 如u o 如巩； ( i i ) 存在0 。， 则舀= 8 ， 定理2 8 如果系统是径向对称的，并且了 m 。 0 z a q ，t 0 z q 7 1 ，卢= o y ，0 l ，弘，) ( o ( 1 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 以上的参数的取值是为了说明化学物质的扩散速度远远大于有机体的扩散速度再 作如下的线性变换： u ( 州) 一+ 掣， 令7 0o 。，则原问题转化成下面的问题 t t = u x v ( u v v ) 0 = t ，+ ( 钍一1 ) ， 妻：宴：o ， 瓦2 丽”， ( ，0 ) = 让o ，”( ，0 ) = u o t ) 叶坐牲 口t 正0 o q t 0 z n t 0 o 0 q t 0 o q ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) f 2 3 3 1 ( 2 3 4 ) 他们的结果如下： 定理2 9 若如u od x 警，q 三b r ：= 。l 川 0 和x 0 ，上述初边值问题存在径向解( r ，t ) ，它 在r = 0 ，t ：t 处发生破裂更具体的有 时，r ) _ 等m ) + ，( r ) i t 一+ t 1 7 华中科技大学硕士学位论文 在p 沮d o n 测度意义下这里的，( r ) 形式如下： ，( r ) ：要e 叫圳( 2 ，i ) 丽矗一5 ( 1 + 。( 1 ) ) ，r - + o ( i i ) 在t = t 处，札( r l t ) 的轮廓在r = 0 的附近由下式给出 时用= 等时) + ，( r ) ( i i i )若令 刚= ( t - t ) s u n p u ( z ，t ) 兰( t 一洲o ，t ) ， 则有 m i m s ( t ) = 0 0 更准确地 s ( t ) 一c 1 ( t t ) l l o g ( t t ) 1 1 一了耳辆t 叶t 其中，q 是某个正的常数 定理2 1 0 设让( 。，t ) 满足上一定理的陈述，那么 钍( 州) = 砰i 面( 斋) ( + d ( 1 ) ) + 。e - 以t j ，o g 。( _ _ t - t ) 1 5 1 ，兄( mi ，t _ + t i 在pf h c ( t t ) ) 上一致成立其中， 1 f r 冽啪：= ：三m 粼t ) 而 r ( t ) = c ( r 一曲 e 一孚m s t t ) 障 ) ( 1 0 9 ( t 一讣i m o s ( r - t ) l - i 2 f 1 + 。( 1 ) ) ，- ， 上述定理中的西是按下述方式定义的系统对应的稳定状态如下： o 2 札一x v ( u v v ) ， z q ，t 0 ， f 2 3 5 ) 里2 ”+ “， z q ，t 0 ( 2 8 6 ) 一l ：一。 ! 二 1 8 华中科技大学硕士学位论文 我们很容易得到上述方程组在q = b r 上有以下形式的解 谁) = 高，如) = 它们都是径向对称的，为任意常数 垫鲤匝2 + k ) ( 随后不久，h e r r e r o 和v e l a q u e z 1 8 还研究过下列问题 t 工t = t 一x v ( u v v ) ， r 地= a v + ( 址一1 ) ， 妻：妻：o ， 凯锄 。 t ( - ，0 ) = u o ，u ( ，0 ) = 7 0 ， x q 、t 0 z q t 0 z a q t 0 z n ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 其中，n ：= 扛i 吲 r ，z r 2 ) 他们运用匹配的渐进展开技巧给出的结果与上 一篇论文极为相似的结果 s e n b a 和s u z u k i 1 9 】还研究了下述问题 饥 0 砒 a 礼 拙( ，0 ) = a u x v ( u v v ) ， = a v 一7 掣+ 乜u ， 跏 n 。丽2 ”， = “0 ， o q 0 t t z q 0 t ( t z a q 0 t t 士n ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) 这里n r 2 是一个带光滑边界a n 的有界区域，咖= u 0 ( z ) 是一个在孬上不恒 等于0 的非负的光滑函数 他们获得以下一些结果： 定理2 1 1 若正 o o ，那么 2 l n q ) + # ( 召n o a ) 百i i u o l l l 1 9 华中科技大学硕士学位论文 ：= = = ；= = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = ； 定理2 1 1 若了m 。 。，那么存在一个映射m ：尽_ 4 7 r ，o o ) ，刊b n n 8 丌，以及一个非负函数，= ，( o ) ，g ( 瓦嚣) n l l ( q ) 使得在m ( 百) 上，有 小。溉。钍( - , t ) 2 m x o ( d z ) + 似) d z 其中，8 ，m ) 的定义与【3 7 】中的相同 至此，我们对于有界区域上的趋化性问题( 2 5 一( 2 8 ) 有了一个相当完满