（控制理论与控制工程专业论文）立方体系统的模糊控制算法研究.pdf

南京理工大学硕士学位论文立方体系统的模糊控制算法研究 摘要 立方体系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合的系统，必须采用十分有效 的控制策略才能使之稳定。本课题研究的意义在于以立方体系统作为对象进行控制 方法和控制技术的研究 本文围绕立方体系统，首先建立了立方体系统的数学模型，分析了系统的能控 能观性。将l q r 控制方法应用在立方体系统上，证明l q r 方法对立方体系统是有 效的。因为有一个状态变量不可测，因此设计了降维观测器。接下来讨论了立方体 系统的模糊控制方法研究。结合l q r 理论对系统的状态变量进行降维处理，减少模 糊控制器的输入变量维数，较成功地解决了立方体系统“规则爆炸”问题。在模糊 控制器中引入积分环节，设计出一种基于s u g e n o 模糊推理型的智能积分模糊控制 器。利用s i m u l i n k 建立立方体系统模型，实现了立方体模糊控制系统的仿真，并给 出响应曲线。利用q u a n s e r 公司的实时控制软件w m c o n ，以m a t l a b 为控制工具， 实现立方体实物系统的模糊控制，给出了稳定时和受干扰时的响应曲线。最后，根 据l q r 方法和模糊控制方法的实物控制曲线，对这两种控制方法进行了比较。仿真 和实物控制的成功证明了本文设计的模糊控制器有较好的稳定性、鲁棒性和适应性。 关键诃：立方体，l q r 方法，模糊控制，智能积分，计算机控制 硕士论文 a b s t r a c t c u b es y s 把m i s m u l t i v a r i a b l e ，n o n l i n e a r , s t r o n g - c o u p l i n g a n d n a t u r a l l y i n s t a b l e o n l yb yv e r ye f f e c t i v ec o n t r o lm e t h o d sc 趾b a l a n c et h ec u b e m yp a p e ri st o s t u d yt h ec o n t r o lm e t h o da r d c o n t r o lt e c h n o l o g yo f t h ec u b es y s t e m t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h ec u b ei sp r e s e n t e d t h e n , i t sc o n t r o l l a b i l i t ya n d o b s e r v a h i t i t ya l ea n a l y s e d l q rt h e o r yi su s e dt oc o n t r o l t h ec u b e t h er e s u l t so ft h e s i m u l a t i o na n dr e a l - t i m ec o n t r o ls h o wt h ev a l i d a t i o no ft h ep r o p o s e dm e t h o d b e c a u s e o n o f t h es t a t ev a r i a b l e s 眦tb em e a s u r e d 撒r e d u c e d o r d e ro b s e r v e ri sd e s i g n e d t h e n , f u z z yc o n t r o la l g o r i t h m o f t h ec u b es y s t e mi sd i s c u s s e d t h ed i m e n s i o no f i n p u tv a r i e t i e s o ff u z z yc o n t r o l l e ri sd e p r e s s e db yl q rt h e o r y , a n di tc a l lr e d u c et h er u l e so ff u z z y c o n t r o l l e rs h a r p l y r u l ee x p l o s i o np r o b l e mi ss o l v e d b yi n t r o d u c i n gi n t e g r a lc o n t r o l , a n i n t e l l i g e n ti n t e g r a lf u z z yc o n t r o l l e rb a s e do ns u g e n of u z z yi n f e r e n c ei sd e s i g n e d t h e s i m u l a t i o nm o d e lo ft h ec u b es y s t e mh a sb e e ns e tu pu s i n gm a f l a b s i m u l i n k f u z z y c o n t r o lo f h a r d w a r ec u b es y s t e ma l s oh a sb e e nr e a l i z e db yt h ec o m b i n a t i o no f m a t l a ba n d w m c o nw h i c hi sar e a l t i m es o f t w a r ed e v e l o p e db yq u a n s e rc o m p a n y m o r e o v e r , t h e p a p e rp m s e n t st h er e s p o n s ec u r v e so f e a c hs t a t ev a r i a b l ea n dt h ec u r v eo f c o n t r o lq u a n t i t y w h e nt h ep e n d u h n ni ss t a b l eo rb e i n gd i s t u r b e d a tl a s t , t h et w oc o n t r o lm e t h o d s w h i c h a r el q r t h e o r ya n df u z z yc o n t r o l ，a l ec o m p a r e da c c o r d i n gt ot h er e s p o 船ec l l r v c s t h e s u c c e s so fs i m u l a t i o na n dh a r d w a r ec o n t r o lp r o v e dt h a tt h ec u b es y s t e mw i t hf u z z y c o n t r o li ss t a b l e ，r o b u s ta n da d a p t i v ei naw a y k e yw o r d s ：c u b e ，l q rt h e o r y , f u z z yc o n t r o l ，i n t e l l i g e n ti n t e g r a l ，c o m p u t e rc o n t r o l 南京理工大学硕士学位论文立方体系统的模糊控制算法研究 1 绪论 本章首先介绍了以立方体系统为对象进行控制算法研究的意义，其次较详细地 介绍了立方体系统的硬件和软件系统，最后，说明本论文的工作。 1 1 研究的意义 目前使用得较普遍的用于检验某种控制理论或方法的典型工具是倒立摆系统。 倒立摆系统的最初研究开始于2 0 世纪5 0 年 代，从此以后，世界各国都将倒立摆系统作 为验证某种控制理论和方法的典型方案。现 在，已经从最初的对一级倒立摆的控制逐步 地发展到了五级的控制。2 0 0 2 年8 月，李 洪兴教授用变论域自适应模糊控制方法在 国际上首次实现了四级倒立摆的仿真及实 物控制，填补了世界的空白【1 4 1 。2 0 0 5 年4 月罗成等发表了基于l q r 和模糊插值的 五级倒立摆控制，成功地实现了五级倒立 摆的控制，仿真结果表明此控制器对倒立摆 图1 1 立方体系统实物图 系统是有效的【”l 。目前以倒立摆为对象的理论研究已有大量成果出来，相关的科研 成果已经应用到航天科技和机器人等多种领域。 立方体系统和倒立摆系统类似，是一个多变量、非线性、强耦合的系统，作为 一种进行控制理论的研究的典型装置，必须采用十分有效的控制策略才能使之稳定。 它与倒立摆系统的不同之处：它有一个状态变量不能直接测量得到，必须借助于状 态观测器。另外，立方体的转动惯量比例立摆大一些，控制起来难度也较大。立方 体系统可作为典型系统用来进行非线性控制、最优控制、智能控制等控制方法的研 究，用它来作非线性状态观测器的研究也是十分适合的。因此，立方体系统作为一 种较新的用于检验某种控制理论或方法的典型工具，对它的研究具有重要的理论和 实践意义。目前，以立方体系统作为控制对象进行研究还不多见，还需要做很多的 工作。 硕士论文 1 2 立方体系统概述 1 ) 硬件系统 立方体系统由立方体形状的金属外 壳和一个装有动力的摆构成，如图1 2 所示。图中的数字，方括号外的数据单位 为英寸，方括号内的数据单位为毫米 ( i 如籼本系统的执行机构是一个装有动 力的摆。这个摆由一个电机、减速器和一 个金属块构成。电机经减速器后驱动外部 齿轮。此系统的控斜思路为，通过电机驱 动摆，使立方体在它的一条棱上保持平 衡。按照人的控制经验，当立方体向一便 倾斜时，应施加相反方向的力以保持平 衡，这个力就由执行机构摆来施加， 大。 图1 2 立方体的内部结构r 后视图、 而且，倾斜的角度越大，所施加的力也越 内部传感器为压电陶瓷陀螺仪和编码器。立方体与竖直向上方向的夹角为a ， 陀螺仪是甩来测量d 的角速度二。编码器用来澳4 量立方体和摆之间的夹角e 。二和 。是立方体系统中可测量的两个量。陀螺仪测到的a 是模拟量，经数据采集卡a d 转换后送入计算机；编码器的输出值是一个数字量，直接由数据采集卡送入计算机 中。控制电压通过软件限幅，再通过数据采集卡d a 输出作用于电机。 本课题中用至u 的控制对象立方体是由加拿大q u a l t s c r 公司生产的。q u a n s e r 公司是一个生产自动控制理论教学设备的教具公司。立方体系统的详细参数在表1 1 中一一列出。 2 南京理工大学硕士学位论文立方体系统的模期控制算法研究 表1 1 立方体系统的参数 符号 含义 取值( 单位) e 立方体与摆之间的夹角 t a d a 立方体与竖直向上方向的夹角 t a d k m 转矩常数 o 0 4 2 4v ( r a d s e c ) r 皿 电机阻尼系数2 k 齿轮传动速比1 3 4 n a h 立方体的转动中心到摆的转动中心的距离 0 2 5 4 0 m i 。 摆的转动轴心到其质心的距离 o 1 1 4 3 m 1 。 立方体的转动轴心到其质心的距离o 1 6 5 1 m m n 摆的质量 1 5 0 0 0 k g m c 立方体外壳的质量 1 1k g j 。 立方体外壳的转动惯量 0 0 1 1 4 l c g m 2 j 。 摆的转动惯量 0 0 0 5 4 蚝m 2 2 ) 软件系统 我们采用m a t l a b 作为控制算法的开发环境。目前，m a t l a b 已经成为国际最为流 行的科学与工程计算的软件之一，它以其模块化的计算方法、可视化与智能化的人 机交互功能、丰富的矩阵运算、图形绘制和数据处理函数，以及模块化图形组态的 动态系统仿真工具s i m u l i n k ，成为控制系统设计和仿真领域最受欢迎的软件系统。 m 砒l a b 具有其他高级语言难以比拟的一些优点，如编写简单、编程效率高、易学易 懂等，因此m a t l a b 语言被通俗地称为演算纸式的科学算法语言。这些优点使得m a t l a b 成为在许多科学领域中成为计算机辅助设计和分析、算法研究和应用开发的首选平 台。 实时控制软件采用与m a f l a b s i m u l i n k 完全兼容的w m c o n 软件，由q u a t n s e r 公 司开发。m a t l a b s i m u l i n k 把理论和工程有机地结合在一起。我们将数据采集卡的各 个端口做成相应的s i m u l i n k 模块，通过s i m u l i n k 直接对硬件端口进行读、写操作， 还可以在s i m u l i n k 或w m c o n 窗口进行实时在线调节控制器参数，十分方便。 1 3 本论文的工作 本论文的主要工作是研究了立方体系统的模糊控制问题，用m a t l a b 对系统进行 了仿真，然后用计算机实现了立方体的实物控制。具体内容如下： 1 ) 介绍立方体系统，论述了立方体系统的数学建模方法，推导出微分方程以及线 硕士论文 性化以后的方程，并且分析了立方体系统的能控能观性和相对能控性。 2 ) 讨论了立方体系统的l q r 控制方法，即线性二次调节器最优设计方法，计算出 一个反馈矩阵，通过实验结果表明该控制器对立方体系统是有效的。另外，还 给出了降维观澳十器的设计步骤和计算结果。 3 ) 为了更好地实现对立方体的控制，讨论了立方体系统的模糊控制方法运用综 合误差和综合误差变化率进行降维处理，减少了模糊规则的数量。引入积分环 节，设计出一种基于s u g e n o 模糊推理型智能积分模糊控制器。研究了量化因子 对控铝0 作甩的影晦。 4 ) 用m a t l a b s m u l i n k 对立方体模糊控帝口系统进行仿真，给出响应曲线，仿真结果 表明控制器的有效性。 5 ) 用计算机实现立方体系统的模糊控制，给出其稳定时和受干扰时的响应曲线。 另外，根据两种控常4 方法的实物控制蛆线对这两种控制方法进行了比较。 6 对论文进行总结并进行下一步的展望。 4 南京理工大学硕士学位论文立方体系统的模糊控制算法研究 2 立方体系统的建模与分析 2 1立方体系统的特性分析 1 ) 稳定性。如图1 1 所示的立方体系统的状态是一个不稳定的平衡点，即立方体 以一条梭平衡在水平面上若不加控制，任何微小的扰动都会使立方体偏离平 衡点，不能自动回到平衡状态。 非线性。立方体系统是一个高度非线性系统，可在平衡点附近近似线性化得到 线性化的模型。 3 ) 耦合性。立方体与摆之间是强耦合的，亦即立方体和摆之间的夹角0 ，和立方 体相对于竖直向上方向的夹角f t 之间是强耦合的。这是本系统可以用单电机驱 动的原因，也是使得控制器难以设计和控制器参数调试复杂的原因。 4 ) 该系统能由陀螺仪测到0 【的角速率，但是不能对陀螺仪信号积分，因为它是一 个有偏测量量，由它积分得到的a 会产生一个不能补偿的漂移。其它的状态变 量均可以由0 和其积分和微分得到。因此该系统不能直接进行状态反馈，需要 先设计状态观测器。 2 2立方体系统的数学模型 系统的模型由拉格朗日方程得 到。在忽略了空气阻力、各种摩擦 后，将立方体外壳和体内的摆均视 为刚体；并且假设皮带轮与传送带 之间无滑动，传送带无伸长现象。 根据系统的动能和势能得到非线性 动力学方程，然后在平衡点附近线 性化得到线性模型。 立方体系统的示意图如图2 1 所示。角的正方向在图中用箭头表 图2 1 立方体系统示意图( 角度和维) 示了出来。角度是从前面，即图1 1 中的黑色外壳看过去的。 系统的拉格朗日方程为： l ( q ，= t ( q ，q ) - v ( q ，m( 2 1 ) 其中，l 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，t 为系统的动能，v 为系统的 势能。拉格朗日方程由广义坐标q 。和l 表示为： 立方体系统的建模与分析 硕士论文 旦昙一_ 0 l ：f ( i t 两。a q ( 2 2 ) 其中，i _ t ，2 ，3 ，n ，f i 为系统沿广义坐标方向上的外力。在本系统中， 设系统的两个广义坐标分男吐是o l ，e 6 首先计算系统的动能：t = t c + t p 立方体外壳的动能：t c = i j c d 2 + l m 。l 。2 & 2 摆的动能： t p = j 1j ，( a + 旬2 + j 1m ， ! 翌d 竺竺兰皇兰旦二三亏；坚三! ：型 + 互i ，l d ( 1 ps i n c t s i n o - l ，c d t o s a c o s 0 ) + h c o s c t j 1 2 立方体系统的动能为： t c = 圭啦2 + 丢m 2 n 扛 + 旬2 + 扛躲裂：嚣兰三：譬= ： 系统的势能：( 以立方体所在的水平面为零势能位置) v = v c + v p ，其中v ：为立方体外壳的势能，v p 为摆的势能。 v c2 m c g i cc o s o 【，v p2 m p g ( 1 p s i n a s i n o 一1 p c o s t z c o s o + h c o s c c ) v 2 m c g l cc o s0 【+ m p g ( 1 ps i n a s i n 0 1 p c o s o 【c o s o + h c o s a ) 从而拉格朗日算子为： l = 三，c & 2 + 三m 。t 。2 矗2 + 三，c 也+ 6 ，2 + 丢m ，院嚣裂：篙嚣篙( z c o s 0 - “l p ( ) s h l 。c 伍t s h 1 0 - h 眠& c o 证s c ) 2 1 一m 。g l c c o s 伐一m p g ( z ps i n a s i n 0 一l 口c o s ( z c o s o + h c o s a ) 南京理工大学硕士学位论文 立方体系统的模糊控制算法研究 有以下等式成立： r ( 叁一瓦0 l = n = w 应 l一d【-0五l)一鲁=f2d = k m k l ( u k 血k6 )，r皿t g 、7a e 4 、 4 7 4 a = 对( 2 3 ) 中两式分别对a ，百求解代数方程，得到下式： ( 2 3 ) r m j p m 。g l cs i n a r 皿m p l ；a b + m p l p c o s e h k m k g u - r m m 2 p 1 2 p n g c 0 5 s m o c o s o r m j p m p i p h 0 2s i n 0 + r 。j p m p g h s i n a 一2 r 。j p m p l p h f ) d s i n o - m p l ；k 。k _ u + m p l p 2 氏m 2 凡9 2 e 一m p 2 l p 3 h r m 6 2s i n o + r m m p l ；m c g l 。s h a r m p 2 1 3 p n o 2s i n e + r 皿b m p 2 i p 2 9 s m 口一2 r 皿m p 2 i p 2 9 n s m a 一2 r m m ；l ；h 6 也s i n e + j p k 皿2k 。2 0 + m p 2 1 p 2 h 2 r 血应2 c o s o s i n 0 一m p 2 1 p 2 h r 皿c o s 2 0 s l n a - m p l p h k 血2 八2 0 c o s 0 一j p m p l p h r m d 2s i n 0 一r 皿j p o r , b 矗一j p k m k u ，【r 。( j ，m ，h 2 一m ，2 - ，2 n 2 。s 2o + j ，m 。1 , 2 + m ，l ；j 。+ m ，2 - ，2 h 2 + m ，1 , 2 m 。l ：+ j ，j 。) 】 0 = ( 2 4 ) 一m p 2 l p 2 h r m g c o s 2o s i n a + 2 m p l p h i ( m k g u c o s 0 + m p k m 2k _ 2 h 2 6 一m p 2 1 p 2 胍mc o s o c o s a s i n 0 + r m j p m c l cs m 。u 一“p 2 1 3 p h r m 应2s i n e + 2 m p 2 1 p 2 r m h 2 d 2c o s o s i n 0 一r m j p 伍b 6 【+ r 皿j p m p g h s i n a i p m p h r m m c l ：2s i n 0 + l p m p h r 皿a b d c o s o - r 址j p m p l p h 0 2 s i n e - r 。m p 2 i p 3 n e 。2s i n 0 - r 。m p e 哪2s i n 0 - 2 r 。m ；l ；h 盹s i n e + 2 l p 2 p 2 h 2 r 0 d c o s o s i n 0 - 2 m p l p h k m 2 八1 2 e c o s 0 2 r m j p m p l p h 0 a s i n o + l p 2 p 2 h 2 r m 6 2 c o s o s i n e + j p k m 2 k 9 2 e 2 + k m 2 a 9 2 j 。6 一j p m p i l l p r m 2s i n 0 + m p l p 2 k m 2 八1 2 e + l p m p g r m m c l ：s i n a c o s o + k ：k 2 1 m c e o o + l p m p g r 皿j cc o s c s i n 0 一m p l ；k m k u j p k m k g u + r m m p l ；m c g l cs i n a + l p m p g r 皿j cs i n a c o s 0 一l p m p f i r m m c 掣cs i n a c o s 0 一r m m p l ；a b d - 1 p m ：h 3 r m 应2s i n e 一l p m p h r 。j 。d 2s i n e k 。k l v m 。1 ：一k 。k # u j 。 ，【r 。( j ，i n ，h 2 一m ，2 l ，2 h 2c o s 20 + j ，m 。1 。2 + m ，1 2 j 。+ m ，2 - ，2 h 2 + m ，l ：m 。1 2 + j ，j 。) 】 ( 2 5 ) 7 里互竺墨竺堕塞堡兰坌堡 堡主笙苎 表示成下以下形式： 拉= f l ( 0 【，0 ，& ，6 ，u ) 百= f 2 ( a ，0 ，a ，包u ) 0 【。= 0 ；平衡位置时各变量的初值为零： b ，0 ，d ，6 ，u ) = c o ，0 , 0 ，0 ，0 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 将式( 2 4 ) 和式( 2 5 ) 在平衡位置进行泰勒级数展开，线性化并将表1 1q a , - r t y 体系统的 参数值代入，得到 8 a ( 3 ，1 ) = 鲁i 脚，唧脚，曲删= 4 尉s 6 a ( 3 ，2 ) = 鲁i 。，。曲矗砘信。，。卸= 4 6 ，4 。， a ( 3 3 ) = 鲁11 a - - o , o - - o , o = o , o = o , u = o = o a 刚) = 吾l 。；o o - - - 。u = o - 1 9 t 脚 b ( 3 舻鲁k o , o u ：o = 3 3 7 5 2 s a ( 4 1 ) = 鲁l 删，。：。删细脚= 一3 6 3 8 9 2 a ( 4 ，z ) = 等l 删，晰：。衄脚= 一虬，4 0 3 南京理工大学硕士学位论文 立方体系统的模期控制算法研究 a ( 4 ，3 ) = 鲁l 喊喊删细删= 。 a ( 4 ，4 ) = 鲁l 。：。；仉锄，拓。：。= ，s a s s 2 b ( 4 ，1 ) 一o 缸f 2l ，。，。挑。1 3 8 4 9 1 7 f 拿= ， 由j o = e ，要使立方体系统稳定，必 l & = 4 1 5 4 3 5 5 i x 一4 6 9 4 0 9 0 1 9 1 6 4 7 1 4 0 + 3 3 7 5 2 8 u 10 = 3 6 3 8 9 2 0 【一1 0 1 9 4 0 3 0 7 8 6 3 5 1 2 0 + 1 3 8 4 9 1 7 u 须对积分变量进行反馈，因此要再引入一个新的状态变量，0 的积分i o ，得到如下 状态方程： a e e o o 0 4 1 5 4 3 5 5 3 6 3 8 9 2 o o o 4 6 9 4 0 9 1 0 1 9 4 0 3 1 骓 + 。0 1 3 3 7 5 2 8 | l l 1 3 8 4 9 1 7l o j 在2 1 节中讲到，由于状态变量中的a 无法直接量测，必须设计状态观测器。 为了方便观测器的设计，需调整状态矩阵，使c t 成为第五个状态变量。调整后的状 态方程如下： 0 & 0 0 成 o 一4 6 9 4 0 9 1 0 1 9 4 0 3 l o 至此，得出系统的线性模型： 0 0 0 4 1 5 4 3 5 5h 一3 6 3 8 9 2h o 4p 0 0 1 7 ，文2 a x + b u ly - - - - c x + d u + ( 2 8 ) 9 m 4 i o 1 石o。一。 一 一 、川叫j o税舰o o 强m h 眩 。淼o o 研弼 一 一 立方体系统的建横与分析 硕士论文 其中，状态变量x = b & 6pa l r o 一4 6 9 4 0 9 a = l 一1 0 1 9 4 0 3 l o ol 0 1 9 1 6 4 7 1 4 o 一7 8 6 3 5 1 2 0o 1o b = 【0 3 3 7 s 2 7 81 3 8 4 9 1 7 00 o 】r c = 1 ooo0 oloo o ool0 0 o o olo d = o0 oo f oo 04 1 5 4 3 5 5 o 一3 6 3 8 9 2 oo 0o ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 2 3 立方体系统的分析 2 3 1 相关定理 得到系统的数学模型之后，需对系统的特性进行分析。我们只关心平衡点附近 的性质，因此用线性模型来分析。下面是分析中涉及到的几个定理。 定理1 ( 系统的能控性判据) n 阶线性定常系统x = a x + b u ，状态完全能控的 充分必要条件是，当且仅当系统的能控性矩阵： p _ 【ba ba 2 b a 叫b 】 满秩，即r a n k ( s 同。特别地，当输入控制量州为标量时，能控性矩阵s 为方阵： r a n k ( s 同等价于s 的行列式值d e t ( s ) 0 。 定理2 ( 系统的能观性判据) n 阶线性定常连续系统 ；三：+ b u 状态完全能观，当且仅当系统的能观性矩阵： q _ 【c c ac a 2 c a n - i 】1 满秩，即r a n k ( v ) = n 。特别地，当输出量y ( t ) 为标量时，能观性矩阵v 为方阵；r a l l k ( v ) = n 等价于v 的行列式值d e t w ) 0 。 为了衡量系统控制器设计的难度，或者说衡量系统本身能控性的相对程度( 称 为相对能控性) ，可通过计算能控性矩阵的奇异值来判断。 1 0 南京理工大学硕士学位论文立方体系统的模糊栉制算法研究 定理3 ( 系统的相对能控度判据) 线性定常连续系统文= a x + b u ，矩阵a 的最 小奇异值与最大奇异值的比值为系统的相对能控度，记作6 2 3 2 立方体系统的分析 1 ) 立方体系统的特征方程为d e t ( m a ) = 0 ，计算得到系统的特征根为： 【o - 7 8 6 2 1 0 37 1 0 4 5 - 7 0 9 5 5- o 1 5 0 0 系统有一个极点在s 平面的右半平面上，所以该系统是不稳定的。 2 ) 由立方体系统的状态方程，根据定理1 和定理2 得 能控性矩阵的秩，r a n k b a ba 2 ba 3 ba 4 b 】- 5 能观性矩阵的秩，r a n k c c ac a 2 c a c a 4 】7 = 5 所以立方体系统是能控且能观的。 3 ) 由立方体系统的状态方程，对矩阵a 进行奇异值分解得到a 的奇异值矩阵 s ： s = 8 1 7 2 3 0 2 0 0 o o o 5 3 4 6 0 9 o o o o0o 0oo l0o o0 9 1 7 50 ooo a 矩阵的奇异值为s 对角线上的值，所以立方体系统的相对能控度 6 = 0 9 1 7 5 8 1 7 2 3 0 2 = 0 0 0 1 1 。6 越小时系统越难控制。二级倒立摆的6 约为 0 0 0 8 2 3 7 】。由此可见立方体系统比二级倒立摆更难控制，要实现它的稳定控制还是 有一定难度的。 立方体系统的l q r 控制 硕士论文 3 立方体系统的l q r 控制 线性二次型调节器( l i 翟q 1 l a d 堋j cr e g u l a t o r - - l q r ) 控青4 理论中占 有非常重要的位置，受到控制界的普遍重视。线性二次型( l q ) 性能指标易于分析和处 理，而且它的解具有统一的表达式，且可导致一个简单的状态反馈控制律，便于计算 和工程实现。本章通过运用线性二次型最优设计方法控锘i f 立方体系统，实验结果证明 l q r 方法对立方体系统是有效的，且具有较好的鲁棒性与动态特性。 3 1l q r 最优谤节器的设计方法介绍 l q r 最优调节器的设计方法如下： 设线性定常系统状态方程文( t ) = a x ( t ) + b u ( t ) ，x ( t ) f x o( 3 1 ) 性能指标：j = 妻i 【x t ( t q 】【( t ) + u 7 ( t ) g u ( t ) d t 其中，x ( t ) r 8 ，u ( t ) r “，且无约束；a 、b 、q 、r 是维数适当的常数矩阵。 并且，q 和r 分射为非负定和正定对称矩阵。q 和r 是用来平衡状态变量和输出变量的 权重。 如果该系统受到外界干扰而偏离零状态，应施加怎样的控制u ，才能使得系统 回到零状态附近并同时满足性能指标j 达到最小，那么这时的u 就称之为最优控制。 若矩阵对 a ，b ) 完全可控，矩阵对 a ，d ) 完全可观，其中d d l = q ，d 为任意 矩阵，则存在唯一的最优控制 u ( t ) = 一r 。1 b x ( t ) = - k x ( t )( 3 2 ) 最优性能指标为 j = 吾f ( x t ( t ) 唧) + u t ( t ) r u ( t ) ) d t 其中，乒为对称正定常阵，是下列黎卡提矩阵代数方程的唯一解： 乒a + a tp p b r 1 b tp + q ；0 得到的反馈矩阵为 k = 一r - 1 8 7 p 3 2 立方体系统的l q r 最优控制的研究 一般来说，q 和r 都取为对角阵。目前确定加权矩阵q 和r 的普遍方法是仿真试凑 法。该方法的基本原理是：首先进行分析初步选取q 和r ，通过计算机仿真判断其是 否符合设计要求。如果符合要求则停止仿真，当前的q 和r 值就是实际控制系统所需 1 2 南京理工大学硕士学位论文 立方体系统的模糊挣制算法研究 要的，然后利用计算机可非常方便地求出最优增益矩阵k ，并把k 代入到实际系统的 控制器参数中，这样就完成了控制器的设计。如果不符合要求，则须重新选取q 和r 值并重复进行，直至符合实际系统的性能指标要求为止。 图3 1 为系统的s i 删m n k 仿真模块结构图。因为是采用线性反馈控制，所以用线性 模型仿真。”s t a t e - s p a c e 函数模块是立方体系统的线性模型，模块参数中a 、b 、c 、 d 代表立方体系统的状态空间方程的参数，a 、b 、c ，d 的值分别由式( 2 5 ) 至( 2 8 ) 给 出。”s t a t ef e e d b a c k 函数模块是由l q r 方法计算出来的反馈矩阵k 。此仿真回路中没 有加入观测器，待q 和r 的值经过试凑选取好以后，即系统的反馈矩阵的计算完成以 后，再进行观测器的设计。 _ ! ：竺! ：l7 l 二二 r l s t a t i i s p a t ms t a t ef e e d b a 咄 图3 1 不带观测器的立方体系统仿真模块图 不失一般性，在利用l q r 方法进行立方体系统最优控制系统设计过程中，q 和r 也取为对角阵。当给系统施加一个阶跃输入后，得到系统的响应结果。从响应曲线可 明显看出是否满足系统所要达到的性能指标要求，通过这样反复不断的试凑，最终选 取能够满足系统动态性能要求的q = d i a g o 004 0 0 0 0 0 00 】，r = 2 5 0 0 ，相应的 k = 1 2 7 2 3 8 8 5 9 8 2 5 2 7 2 4 0 7 4 5 4 0 0 0 0 0 6 9 7 8 7 2 3l 。初始状态为 0 = 4 。0 t , = - - 4 时仿真响应曲线如图3 1 所示。将此反馈阵用在实物控制中，发现它能 够有效地稳定立方体系统。这时如果再增大q ，系统的响应还会有所改善，但是在保 证q 足够小并兼顾其它响应指标时，系统响应已经能够满足要求了。 图3 2 初始状态为o = 4 。，a = _ 4 。，6 = 应= i o = o 时的控制量u 仿真响应曲线 在试凑的过程中，我们得到q 和r 的取值与系统响应性能指标之间的关系。 立方体系统的l q r 控制 硕士论文 第1 种情况，从降低控制系统能量要求优先角度出发，让q 不变，r 减小。这时由 p d c c a f i 方程求得的系统反馈增益阵k 增大。通过仿真曲线会发现：调节时间与超调量 减小，但是伴随着r 的减小，系统对控制量u 的限制减小，控制量将变大。若黜立小， 虽然仿真曲线可以达到要求，但在实物控制中，过大的控制量必然导致不能稳定。如 果q 固定不变，r 增大，则调节时阿也增加。若r 过大，虽然控常i 量有所降低，但是调 节时间过长也不能有良好的控锖i 效果。 第2 种情况，对系统动态指标优先考虑。让r 不变，q 变大。这时由r i c c a t i 方程求 得的系统反馈增益阵k 也变大。通过系统的嗬应结果会发现：调整时间与超调量减小， 控带4 量也随之增大。q 越大，最优控制对系统性能影响也就越大。如果q 太大，系统 也不能够稳定工作。显然，当r 固定不变，q 减小时，所得结论恰好相反。同样，如 果q 过小，系统也不能稳定工作。 3 3 观测器的设计 前面讲到，系统必须设计一个状态观澳器才能进行状态反馈。对系统进行能控 性和能观性分析，易知系统完全可控，完全能观，因此可以设计状态观测器。此系 统有4 个可测量和1 个不可测量，因此可以设计一维观狈t 器。 首先将系统的状态变换成可直接量测和不能量测两部分，然后对不能量测部分 设计观测器，从而得至q 其估值。式( 2 4 ) 的输出矩阵c 和状态变量x 可以写成 c = i 。io 】 x - 圈 其中，i ，是p 阶单位阵，y 表示能量测的那4 个状态变量将这个关系代入式( 3 1 ) ， 则状态方程写成 盒心 端i b ：i u ( 3 3 ) 因此它可以分解成两个部分 穸盅a i i y + a 1 2 a + b l u ( 3 4 ) a = a + a 2 1 y + b 2 u ( 3 5 ) 显然，只需对式( 3 5 ) 所表示的部分设计观测器，就可以解决对整个系统的状态重构。 对式( 3 5 ) 这部分状态不能直接量测的子系统构造一维观测器，可以采取的形 式为： & = a 2 2 & + a 2 l y + b 2 u + k r a l 2 ( 口一& )( 3 6 ) 1 4 南京理t 大学硕士学位论文立方体系统的模糊控制算法研究 a 表示a 的估值，等式右端最后一项相当于估值误差的反馈。但由式( 3 4 ) 可以看出 a 1 2 伍= ，- a l l y b l u，( 3 7 ) 这里y 和u 是可以直接量测得到的，因此通过它们可以间接得到a 。：a 。将式( 3 7 ) 代入 式( 3 6 ) ，经整理便可得到降维观测器的方程为： 一 & = ( a 趋一k r a l 2 ) & + a 2 l y + b 2 u 4 - k r ( 夕- a 1 1 y - b l u )( 3 8 ) 只要选择适当的k 。使( a 笠一k r a 。：) 是稳定的，就可以设计出一维观测器。本系 统中，采用l q r 方法求得k k 阵。若( a 笠- k r a l 2 ) 是稳定的，则( a 。一k 。a 1 2 ) 也是 稳定的只要求出k 。使得( a 笠- k r a 。：) 是稳定的，则( a 。- k 。a 。：) 也是稳定的。 ( a 恐一k r a l 2 ) = a 乏一a i t 2 a r t ，令a 乏- - - - a ，a 墨= b ，k ：= k 。，得到 ( a 笠一k r a l 2 ) 1 = a - b k 。 利用l q r p 宁法来求得反馈阵k ，再转置一下即可得到k 。q 阵和r 阵的取值如下： q = d i a g ( 0 0 0 0 0 1 ) r = d i a g ( 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 ) 用m a t l a b 来计算矩阵k 十分方便，将a ，b ，q ，r 的值输入以后，只需输入下列语句， 即可得到k 。： k o = l q r ( a ，b ，q ，r ) ； ， k o = k o ； 计算的结果为；k & = 1 0 4 【o o 1 0 7 4 0 9 4 0 6 0 】 有了k 。，下面就可以开始设计一维观测器了由式( 3 8 ) 可以看出，这个一维观 测器需要被控对象的输出y 的微分为了在构造实际的观测器中避免使用这个信号， 引入一个一维的变量w ，并使之满足 w = & 一k r y( 3 9 ) 若以这个向量w 作为观测器的状态变量，且利用( 3 9 ) 式，有 由= a k r 夕( 3 1 0 ) 则式( 3 8 ) 所表示的观测器方程变换为 膏= f w + o y 4 - h u ( 3 1 1 ) 其中 f = a 一k r a l 2 g = a 2 l k r a l l + 协趋一k r a l 2 ) k r h = b 2 一k r b l 下面推导这个一维观测器的参数化表示。 u = k l y + k 2 & 且& = w + k r y 【k i k ：】为3 2 节中求出的反馈矩阵k ： ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 1 5 立方体系统的l q r 控制硕士论文 k ：k 2 】= 【2 7 2 3 8 8 5 - 9 8 2 5 2 72 4 0 7 4 5 - 4 0 0 0 0 0 ；一6 9 7 8 7 2 3 】 将式( ，1 6 ) 代入式( 3 1 5 ) ，得 u = ( 1 【l + k 2 k r ) y + k s w ( 3 1 7 ) 将式( 3 1 7 ) 代入至岭1 1 ) ，得 由= 【f + h k 2 扣+ ( g + h k l + h k 2 k r ) y( 3 1 8 ) 在该一维观测器中，只利用对象的输出y 就实现了对不可量测的状态变量a 的重梅。 的估值由式( 3 1 6 ) 给出。 由式( 3 t 7 ) 可知，带观测器的反馈矩阵为 k f = 体l + k 2 k r ；k 2 】 ( 3 1 9 ) 对( 3 1 8 斌进行矩阵计算，得到降维观测器的状态矩阵a z ，b z ，g z ，d z ： a z _ o 8 8 3 4 1 b z2 - o 3 4 5 9 t 1 2 4 4- 0 0 3 7 7 0 0 5 0 7 1 c z = 1 1 一一一 一一 d z = 【000o 】 k f = 2 7 2 3 8 8 5 9 8 2 5 3 42 4 0 8 1 1 4 0 0 0 0 0 ；一6 9 7 8 7 2 3 3 4 立方体系统的仿真及实物控制 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) r 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 图3 3 为立方体系统线性控制方法的s i m u t h a k 仿真图。图中包括两个s i m u l i n k 函数模块，一个是立方体系统的线性模型，参数由式( 2 8 ) 给出。另一个是降维观测 器，将冈4 才得出的观测器的各矩阵的值，式( 3 2 0 卜式( 3 2 3 ) 填入各个模块的参数表 中，便可进行仿真。设系统的初始状态值为0 = 4 。，伍= - - 4 ，6 = 0 ，d = 0 ，l e = 0 。图3 4 一图3 8 为在这个初始状态下的系统各状态变量和控制量的仿真响应曲线图。从这 些曲线可以看出，系统在6 5 秒时回到平衡状态，动态性能较好。仿真结果表明， l q r