（岩土工程专业论文）准饱和土地基上基础的竖向振动分析.pdf

准饱和土地基上基础的竖由捧动分析 褐子松2 0 0 6 年3 月 准饱和土地基上基础的竖向振动分析 摘要 本文基于混合物理论，针对准饱和土地基的特点，考虑了流体的 可压缩性，土体和流体的惯性及水土之间的耦合作用，运用h a n k e l 变换技术求解准饱和土体的动力控制方程，然后按混合边值条件建立 起对偶积分方程，并将其化为易于数值计算的第二类f r e d h o l m 积分 方程，分别研究了准饱和土半空间地基、上覆单相弹性层的准饱和土 地基上刚性、弹性基础的竖向振动特性。 本文对若干算例进行了数值计算，给出了不同饱和度以及其他相 关参数改变下地基的动力柔度系数、基础的无量纲位移幅值随无量纲 频率的变化规律。数值分析结果表明：饱和度对弹性地基上刚性、弹 性基础的竖向振动都有较大的影响，饱和度的微小变化都会引起竖向 振动的较大变化。其他参数的变化对其影响较饱和度为弱。 关键词：混合物理论，准饱和土， 饱和度，上覆弹性层， 刚性基础，弹性基础，动力响应 竺苎妻圭些查圭塾苎苎鉴塑坚塑坌堑 塑! 兰! ! 塑! 塑 v e r t i c a lv i b r a t i o no fa f o o t i n go n n e a r l ys a t u r a t e dg r o u n d a b s t r a c t b a s e do nt h et h e o r yo f m i x t u r e ，c o n s i d e r i n gt h ei n e r t i af o r c eo f t h es o l i da n dt h e l i q u i d , a n dt h ec o u p l i n g f u n c t i o nb e t w e e nt h es o l i da n dt h e l i q u i d ，a n dt h e c o m p r e s s i b i l i t yo ft h el i q u i di na l l u s i o nt ot h ec h a r a c t e ro ft h en e a r l ys a t u r a t e ds o i l s t h ed y n a m i cg o v e r n i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r es o l v e db yh a n k e lt r a n s f o r m t h e n ， c o n s i d e r i n gt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n ，t h ed u a li n t e g r a le q u a t i o n so fv e r t i c a lv i b r a t i o n a r ee s t a b l i s h e dw h i c ha r er e d u c e dt of r e d h o l mi n t e g r a le q u a t i o no ft h es e c o n dk i n d t h ev e r t i c a lv i b r a t i o no far i g i d e l a s t i c f o o t i n go nn e a r l ys a t u r a t e dg r o u n d ，n e a r l y s a t u r a t e ds t r a t u mw i t ha ne l a s t i cs u p e r s t r a t u mi sd i s c u s s e di nt h i sp a p e r t h ed y n a m i cc o m p l i a n c ec o e f f i c i e n t sf o rt h en e a r l ys a t u r a t e ds o i l sa n dt h e a m p l i t u d eo ft h ev i b r a t i o no ft h ef o o t i n gv e r s u st h ed i m e n s i o n l e s sf r e q u e n c ya 0a r e p r e s e n t e di nt h i sp a p e r n u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h a t ，t h ei n f l u e n c eo ft h ev e r t i c a l v i b r a t i o ni n d u c e db yt h es a t u r a t i o ni sh i 曲，e v e nas l i g h td e c r e a s eo fc o m p l e t e s a t u r a t i o nm a yl e a dt os u b s t a n t i a lc h a n g e t h er u l e so f v i b r a t i o n s ，w h i c hi si n d u c e db y o t h e rv a r i 8 b l e sa r en o ta so b v i o u sa ss a t u r a t i o nd o k e y w o r d s ：t h et h e o r yo f m i x t u r e ，n e a r l ys a t u r a t e ds o i l ，s a t u r a t i o n ， e l a s t i cs u p e r s t r a t u m ，r i g i df o o t i n g ， e l a s t i cf o o t i n g ， d y n a m i cr e s p o n s e 1 1 准饱和土地基e 基础的竖向振动分析扬手松2 0 0 6 年3 月 主要符号说明 土体空隙率 土体饱和度 土骨架的位移矢量 水的位移矢量 空隙流体压力 空隙流体的体交模量 水的质量密度 土颗粒的质量密度 土的渗透系数 流体的径向位移 流体的竖向位移 土骨架的径向位移 土骨架的竖向位移 流体相对于土骨架的径向位移 流体相对于土骨架的骚向位移 土骨架的正应力 土骨架的剪应力 谐振力 谐振圆频率 动力柔度系数 基础的刚度 i l l n s w “ 只 髟 风 n 足 蚱 虬 坼 比 q k 吒 p e 足 准悼和土地基上基础的竖向振动分析杨子松2 0 0 6 年3 月 基础的阻尼 刚性薄板基础的振幅 弹性板刚度 弹性板泊松比 弹性层的l a m e 常数 弹性层剪切模量 弹性层的质量密度 弹性层厚度 准饱和土泊松比 准饱和土的l a m e 常数 准饱和土剪切模量 准饱和土质量密度 无量纲化符号 h a n k e l 变换符号 i v c 4 d 吩丑 q 见 吼 如 瓯 舟 一 准饱和土地基上基础的竖向振动分析杨子松2 0 0 6 年3 月 1 1 问题的提出 第一章绪论 地基上基础的振动问题在实际应用中是非常重要的课题，且对这一问题的研 究对动力学的发展也有着重要的推动作用。其研究成果可用于基础的动力设计、 分析地基的动力变形及应力、上部结构的抗震设计等。均质弹性半空间上网性圆 板竖向振动的精确解由a w o j o b i 1 ，2 l 首先给出，随着工程建设的需要，对此类问题 的研究不断深入。 在地基一基础相互作用的课题上，起初研究主要在静力作用下进行。随着动 力作用的广泛应用，入们越来越关心地基一基础的动力响应问题。在这一过程中， 土体从只被视为单一固体介质发展到被视为饱和多孔介质、非饱和多孔介质等。 但由于需要考虑的因素太多，关于非饱和土地基一基础动力响应问鼷的研究成果 还很少。 一般认为，土是一种由多种物质组成的复杂介质，这包括固体( 土颗粒形成 的土骨架) 、液体( 土骨架空隙中的液体) 、气体( 土骨架空隙串单一气体或者混合 气体1 ，更有甚者。部分学者主张将水气结合部份单独作为- n0 3 j 。组分的多相性 决定了土这种材料性质的复杂。开始人们对土性质的理解是建立在经验或者半经 验的基础之上的，这包括土力学中经典的莫尔一库仑准则、朗肯土体极限平衡理 论、太沙基士力学体系等。随着生产建设水平的提高，这种建立在经验或半经验 基础上的主力学理论已不能完全满足工程建设的需要。因此，最近几十年来，人 们以理性力学的混合物理论为基础，试图把土力学建立在坚实的数学和物理理论 之上。本文正是基于这一认识，在前入工作的基础上，理论上求解准饱稻半空 间地基( 含上覆单相弹性层) 与其上薄板( 刚性或弹性板) 基础在轴对称竖向简谐集 中力荷载作用下的动力响应问题并作相应的数值分析。为此，先简单回顾一下混 合物理论以及经典地基一基础动力响应闻题。 准饱和土地基上基础的竖向振动分析格子松2 0 0 6 年3 月 1 2 混合物理论 混合物( m i x 蚀治) 是由几种不围性质( 物理性质或化学性质) 的组分混合形成 的复杂介质。这些组分在混合物中可以任意分布。组成之间不仅可能存在相对运 动，而且可能存在相互作用，甚至可能存在物质转化( 如相交和化学反应) 。混合 物理论就是研究混合物各组分运动规律、相互作用规律和相互转化规律以及混合 物整体运动变化与外界对混合物作用之间关系的理论体系4 1 。 混合物理论以热力学理论为基础，是对单一物质连续统力学的据震，也称为 相互作用连续介质理论。1 9 6 0 年t r u e s d e l l 建立了混合物的数学理论【5 1 a 该理论有 以下三个基本公设： 1 混合物的性质完全由组分的性质决定( a l lp r o p e r t i e so ft h em i x t u r em u s t b em a t h e m a t i c a lc o n s e q u e n c e so f p r o p e r t i e so f t h ec o n s t i t u e n t s ) 。 2 要描述混合物某一组分的运动，只要适当考虑其它组分对该组分的作用， 就可以把这个组分从混合物中分离出来( s oa st od e s c r i b et h em o t i o no fa c o n s t i t u e n t ，w em a yi ni m a g i n a t i o ni s o l a t ei tf r o mt h er e s to ft h em i x t u r e ，p r o v i d e d w ea l l o wp r o p e r l yf o rt h ea c t i o n so f t h eo t h e rc o n s t i t u e n t so ni t ) 。 3 混合物的运动和单一物质的运动满足相同方程( t h em o t i o no f t h em i x t u r e i sg o v e r n e db yt h es a n l ee q u a t i o n sa si sas i n g l eb o d y ) 。 1 2 1 混合物理论研究现状 2 0 世纪6 0 7 0 年代，对混合物理论的研究进入高潮，一大批科学家为混合 物理论的完善和发展做出了贡献阵w 。t r u s e d e l i t 5 1 首先建立了混食物理论的公理化 公式，他在物理基本公理的基础上，给出了混合物运动的描述方法和混合运动的 凡个守僵定律。对于混合裼中菜一单一的组分，其他组分对箕的作用悬透过弓| 迸 对应量的供给量来解决的。k e l l y n 在1 1 m s e d e l 的基础上，以积分的形式来描述其 守恒方程，再通过局部化得出局部形式的守恒方程和间断面上的跃交条件。在他 们之后，a d l d n s 发展了流体与弹性固体混合物的力学理论。 到8 0 年代。经典混合物理论的基本框架已经形成【6 1 ，同时，针对特定领域 的混合物理论先后产生，如微结褐材料理论( t h e o r yo fm a t e r i a l s w i t h 2 准饱和土地基上基础的竖向振动分析杨子松2 0 0 6 年3 月 m i c r o s t n l c t i l r e ) 、不混溶结构混合物理论( t h e o r yo fi m m i s c i b l ea n ds t r u c t u r e d m i x t u r e ) 和复合材料理论( m i x t u r et h e o r yo fc o m p o s i t em a t e r i a l ) 等。b e d f o r d 和 d n a m h e u e r 对混合物理论的应用成果进行了较详细的综述翻。在士力学中，b i o t 的饱和多孔介质即是经典混合物理论的特例。到9 0 年代末，混合物理论又有了 新的进展。这其中最重要的就是组织体积分数( v o l u m ef r a c t i o n ) 1 0 ，“1 的引进，以及 由此形成的体积分数混合物理论( v o l u m ef r a c t i o nm i x t u r et h e o r y ) u l 。近年来，混 合物物理论的发展非常迅速，其处理问题的复杂程度越来越高，但是混合物理论 的这种处理能力并没有被工程界所广泛接受。 1 2 2多孔介质混合物理论 b i o t 的饱和多孔介质理论的出发点并不是混合物理论，但k a t s u b e , n 1 2 1 3 j 证实，在忽略空隙流体速度梯度的前提下，修正后的多孔介质混合物理论可以退 化为b l o t 的饱和土多孔介质理论。这从某种意义上也证实了多孔介质混合物理 论在士力学中的应用的可靠性。e r i n g e n 是第一个用混合物理论讨论非饱和士特 性的科学家，但他的研究并未涉及土介质自身的特性队1 5 】。b o w e n 1 6 ，1 7 1 研究了温 度不变的情况下的多孔介质混合物理论，但局限于弹性理论。同样是基于弹性理 论，e r i n g e n 婚l 还研究了弹性固体和糙性液体组成的混合物的混舍物理论。 p r e v o s t 1 9 】用理性力学把b l o t 理论推广到非线性和粘弹性的情况，这主要是为了 沉积物的瞬态响应问题。其中，对流体组分采用了线性粘弹性模型，对固体组分 采用了非线性粘弹性模型。d eb o e r 2 0 1 对液体和气体饱和弹塑性多孔介质进行了 研究，另外，有些学者采用了体积平均法来摇叙多孔介质的本构关系，这种方法 的物理概念清晰，但其只使用于不橱混溶混合物。在假设土体为不相混溶时，这 种方法尤其独特的优势。 在国内，陈正汉口m 3 l 以混合物理论为基础，提出了岩土力学的公理化理论 体系，但涉及了太多的公理。张引科【4 】把非饱和土看作由土固体骨架、土孔隙内 液体和土孔隙内气体形成的混合物，结合非饱和土三种组分的本构关系，应用经 典混合物理论推导出非饱和土的非线性本构方程、场方程和能量守恒方程，形成 了解决非饱和土热力学过程的较完备的方程组，然而此理论过于复杂，包含了热 力学等概念，运用起来有较大困难。本文将从较简单的混合物理论入手，不考虑 准饱和土地基上基础占竖向舡静分析 扬干松2 0 0 6 年，月 m i c s t n l c t u ) 、不混溶结构混合物理论( t h e o r yo fi m m i s c i b l ea n ds t r u c t u r e d r o j x t u r e ) 和复合材料理论( m i x t u r et h e o r yo fc o m p o s i t em a t e r i a l ) 等。b e d f o r d 和 d r u m h e l l c r 对混合物理论的应用成果进行了较详细的综述蜘。在土力学中，b i o t 的饱和多孔介质即是经典混台物理论的特例。到9 0 年代未，混合物理论又有了 新的进展。这其中最重要的就是组织体积分数( v o l a m ef r a c t i o n ) 1 q “1 的引进，以及 由此形成的体积分数混合物理论( v o l u m ef r a c t i o nm i x t a r et h e o r y ) “1 。近年来，混 合物物理论的发展非常迅速，其处理问题的复杂程度越来越商，但是混台物理论 的这种处理能力并没有被工程界所广泛接受。 1 2 2多孔介质混合物理论 b i o t 的饱和多孔介质理论的出发点并不是混合物理论，但k a t s u b e ，n ”，1 3 证实。在忽略空隙流体速度梯度的前提下修正后的多孔介质混台物理论可以退 化为b i o t 的饱和土多孔介质理论。这从某种意义上也证实了多孔介质混台物理 论在土力学中的应用的可靠性。e r i n g o n 是第一个用混合物理论讨论非饱和土特 性的科学家，但他的研究并未涉及土介质自身的特性1 4 ，”i 。b o w e n i 6 ，1 1 研究了温 度不变的情况下的多孔介质混合物理论，但局限于弹性理论。同样是基于弹性理 论，e r i n g e n 1 日还研究了弹性固体和粘性液体组成的混合物的混台物理论。 p r e v o s t c l 用理性力学把b l o t 理论推广到非线性和粘弹性的情况，这主要是为了 沉积物的瞬态响应问题。其中，对流体组分采用了线性粘弹性模型，对固体组分 采用了非线性粘弹性模型。d cb o e r 对液体和气体饱和弹塑性多孔介质进行了 研究，另外，有些学者采用了体积平均法来描叔多孔介质的本构关系，这种方法 的物理概念清晰但其只使用于不相混溶混合物。在假设土体为不相混溶时，这 种方法尤其独特的优势。 在国内，陈正汉口1 4 3 】以混台物理论为基础，提出了岩土力学的公理化理论 体系，但涉及了太多的公理。张引科”1 把非饱和土看作由土固体骨架、土孔隙内 液体和土孔隙内气体形成的混合物，结合非饱和土三种组分的本构关系，应用经 典混合物理论推导出非饱和土的非线性本构方程、场方程和能量守恒方程，形成 了解决非饱和土热力学过程的较完备的方程组，然而此理论过于复杂，包含了热 力学等概念，运用起来有较大困难。本文将从较简单的混合物理论入手，不考虑 力学等概念，运用起来有较大困难。本文将从较简单的混合物理论入手，不考虑 准饱和土地基上基础的竖由振动分析 杨子松2 0 0 6 牟3 月 温度的影响，建立非饱和土与准饱和土中的动力方程组并进行相应的数值分析。 1 3 地基一基础动力响应问题 地基一基础的动力响应问题在工程实践中有着重要的意义，其研究成果对地 基基础的设计、施工、加固等有着重要的指导作用。采用力学模型的不同是这类 研究之间的重要区别。而地基的本构关系是力学模型中重要的一环。 早期的研究中，土体只被视为单一固体介质，这并不能完全模拟土体这一特 殊材料的性质。将土体视为饱和多孔介质、非饱和多孔介质将更符合实际情况。 但由于需要考虑的因素太多，关于非饱和土的地基一基础的动力响应问题的研究 成果还很少。 1 3 1多孔介质的动力响应 土这一多孔介质的动力响应问题的研究目前主要集中在饱和土发面。这其中 的很多相关研究是基于b l o t e 2 4 - 2 9 的饱和多孔介质理论 3 0 - 3 2 ，而非理性力学中的 混合物理论。b i o t 理论的实质是将连续介质力学应用于饱和多孔介质，并同时考 虑了其中流体和固体的本构关系。其成功之处在于预言了流体饱和多孔介质中三 种体波的存在【3 3 j 。p a u l 3 4 , 3 5 采用h e l m h o l t z 分解，首先在b i o t 理论的基础上研究 了饱和多孑l 介质无限半空间在脉冲荷载、表面荷载、点荷载作用下的解，即l a m b 问题的解，但是其没有考虑流体的粘滞力。在这之后，p h i l i p p a c o p o u l o s p 6 】引入6 个势函数来分析上覆弹性层的多孔饱和半空间的波的传播特性，获得了三种体波 的弥散曲线。其后他成功地解析求解了上覆单相弹性层的多孔饱和半空间上刚性 园板的竖向振动【3 7 3 8 1 。杨峻、吴世明p 9 】采用积分变换法很好地解决了层状饱和 土体表面受谐振时地动力响应问题。 在非饱和土方面，徐长节【4 0 1 、张引科【4 荆用了混合物理论建立了层状非饱和 土地动力响应问题。a l l e ne t a l 4 1 1 建立了准饱和砂土中空隙率、饱和度与压缩波速 的关系。j e b a r d e ta n dh s a y e d 分别利用v a r d o u l a k i sa n db e s k o s t 三相介质理论 研究了一维情况下准饱和土体中压缩波的弥散特性，并在此基础上建立了自己的 准饱和土体中波的传播模型。在国内王明洋m 2 1 结合爆炸波在准饱和土中传播的宏 准饱和土地基上基础的竖向振动分析 橱子松2 0 0 6 年3 月 观试验，运用混合物理论建立起研究一维平面爆炸波作用下准饱和土的动力分析 模型。y a n gja n ds a t ot 4 3 椰1 研究了低频条件下各类准饱和土体中弹性波波速和 衰减问题。李伟华f 4 6 l 把均匀流体概念引入b i o t 两相多孔介质动力理论中，用b i o t 的两相多孔介质模型模拟不完全饱和土层，给出s v 波、p 波从不完全饱和土层 入射到弹性层时，在土层交界面上反射、透射系数的表达式。结果表明与完全 饱和相比，饱和度的变化对交界面上反射、透射系数产生很大影响。李保忠【4 刀基 于b i o t 两相孔隙介质理论，研究了饱和度对横观各向同性双相准饱和介质中弹 性波传播的影响。王明洋 4 2 1 等基于有效应力分析法，在有效应力弹塑性模型的基 础上考虑了少量气体的影响，将该模型编制成模块并与通用岩土分析软件f l a c 接口，进而采用多组分介质模型模拟分析了准饱和砂土在爆炸平面压缩荷载作用 下的波传播特性，以及气体含量改变对波传播的影响。通过数值模拟得出：在爆 炸荷载作用下，准饱和砂土中气体含量的微小变化对波的传播特性将会产生巨大 影晌。 研究多孔介质地动力方法地另外一种有效可行地方法是有限元法( f e m ) 、边 界元法( b e m ) 。但有限元数值方法存在人工边界的处理难点。，边界元法则存在 不适用于层状介质的问题。关于多孔介质的数值处理方法还需要进一步的研究。 1 3 2地基上薄板基础的动力响应问题 机器基础的动力响应问题一直是力学、机械、土木工程界的重要的研究课题。 学者们根据经典弹性动力学对此问题有过深入的研究，动力基础半空间理论就是 在这些理论的研究之上建立的。在这一理论中，土体一般被视为单相弹性介质。 但对于饱和士体，将其视为两相介质更切合实际。h a l p e m 、c h r i s t i a n o l 4 8 ，4 9 1 研究 了饱和多孔介质弹性半空间在表面作用稳态简谐牵引力作用下的解以及矩形刚 性基础的动力响应。p h i l i p p a c o p o u l o u s t 3 1 1 研究过下层为饱和多孔余质，上层为弹 性固体时刚体垂直振动问题。金波5 0 1 、陈龙珠【5 1 】等还分析了不同情况下饱和多 孔介质半空间上刚体的竖向振动问题。至于非饱和土，建立模型的困难，其振动 问题少有报道。周洪锋【5 2 l 亦对其应用作了有益的探讨。 准饱和土地基上基础的竖由振动分析 扬干松2 0 0 6 年3 月 1 。4 本文研究内容 作者在前人的工作5 3 ，5 4 】的基础上，将以理性力学的混合物理论为基础建立的 非饱和土本构模型用于描述准饱和土，其中完整地考虑了流体的压缩性、土体、 流体的惯性力及它们之间的耦合作用。将经典的地基一基础动力晌应问题在准饱 和土本构模型的基础上进行改造。利用h a n k e l 变换求解准饱和动力控制方程， 避免复杂的势函数的引入，建立了薄板在简谐集中力作用下的对偶积分方程。其 中薄板考虑其刚度分为弹性、剐性薄板，半空间上考虑有、无上覆单相弹性层的 情况并都作了相应的数值分析。本文的主要内容如下： 1 ，本文根据经典混合物理论，改造了b i m 动力控制方程，建立了准饱和土 动力控制方程，其中完整地考虑了流体的压缩性、土体、流体的惯性力及它们之 间的耦合作用。 2 考虑薄板的刚性对基础振动响应的影响。分别研究了地基上刚性、弹性 基础的动力响应。 3 考虑水位的影响，在准饱和半空间上将水位以上土体视为单相弹性体， 分别研究了准饱和土半空间地基和上覆单相弹性层的准饱和土地基与其上薄板 的相互作用。 4 本文运用h a n k e l 变换技术求解准饱和体的动力控制方程，然后根据具 体问题，按混合边值条件建立起对偶积分方程，并将其化为易于数值计算的第二 类f r e d h o l m 积分方程。采用上述方法对四种力学模型做了相应的数值分析。 5 本文利用软件m 拙e m a t i c a 软件编写了数值计算部分的程序，解决了求解 f r e d h o l m 方程过程中碰到的被积函数存在尖锐峰值、急速振荡与无穷振荡的问 题。 准饱和土地基上基础的鳖向振动分析柄子松2 0 0 6 年3 月 第二章准饱和土本构模型的建立 混合物理论是应用连续统力学研究复杂介质变形和运动规律的理论体系，能 方便的处理土体这一复杂的混合介质。本章先介绍经典混合物理论，在其基础上 建立非饱和土的混合物理论，因为非饱和土混合物理论的控制方程不便于数学处 理，最后将非饱和土混合物理论控制方程根据合理的假设建立准饱和土的控制方 程。 2 1 流体一固体混合物理论 按照经典混合物理论，流体一固体混合物理论的控制方程将依据质量守恒定 律、动量守恒定律建立，这其中将引用各组分的运动方程以及本构关系方程，热 力学第二定律将作为限制条件进行检验。 2 1 1运动方程 考虑由种连续介质铲( 仃= 1 ，2 ，3 ，组成的混合物，其中每种介质都由 它在三维物理空间中所占有的区域显现出来每种介质都可以选定一种固定的参 考位形和一种运动。 x = 吒( x o ，r ) ( 2 - 1 ) 如果假设单个质点在同一时间内只能占据唯一的空间位爱，则( 2 - 1 ) 存在唯一 的逆，其可以表示为： 瓦= 咒( 端f ) ( 2 - 2 ) 在时间f 时刻，质点五的速度和加速度可表示为： v o = x o2 昙屹( 印) ( 2 - 3 ) = 私等( 艺，。 ( 2 - 4 ) 当然对于t 时刻，空间位置x 处的速度、加速度可表示为： k = 叱 f ) ( 2 5 ) 4 。= a u ( x 。，f ) ( 2 - 6 ) 准博和土地基上基础的竖由报动分析 扬干松2 0 0 6 年3 月 式( 2 1 ) 的梯度 55 】可表示为： 只。鲫d k ( z ，f ) ( 2 7 ) 显然，r 的逆变换是： c 1g r a d x a ( x o ，f ) ( 2 8 ) 同理，r 时刻空间点x 处速度的梯度为： l a = g m d 叱( x , f ) ( 2 9 ) 设岛表示是第a 组分的密度，则定义某位置处混合物的密度定义为各组分密 度之和 p ( x ，t ) = p o c x ，) ( 2 - 1 0 ) 如果用儿表示第a 组分的质量，则可定义a 组分的体积分数( v o l u m ef r a c t i o n ) 丸= p o ( x ，t ) x o ( x ，f ) ( 2 - 1 1 ) 如兰丸：1 则称此混合物为饱和混合物，如果妻屯 1 则称此混合物为非饱和 混合物。 定义x 处混合物的速度、或者称为平均速度是组分速度的质量加权平均值： v ( 为r ) = x ( 而r ) = 吉善见k ( 2 。1 2 ) 第a 组分在f 时刻x 空间位置在处得扩散速度则可以定义为： “。= u a ( x ，r ) = v 。( x ，f ) 一v ( x ，f )( 2 - 1 3 ) 可以容易地得证 岛= l ( 2 - 1 4 ) 如果是0 f ) 的可微函数，则它对第a 组分的物质导数定义为： 。和啪r 】l 同理，对混合物整体也可以定义物质导数l = o 甜r z ( x o ，f ) ，铂( 2 - 1 6 ) 根据求导链式法则来分析( 2 - 1 5 ) 、( 2 - 1 6 ) 得 准饱和土地基上基础的竖由振动分析杨予松2 0 0 6 年3 月 r ：= 詈f ) + g r a d r ( 川) 蜘f ) r 。：墨( x ，f ) + g r a d r ( 赫f ) 】主f ) o t 从而进一步得到两者之差为f 。一f ：= g r a d r ( x ，t ) u o ( 2 17 ) ( 2 1 8 ) ( 2 - 1 9 ) 2 1 2 质量平衡方程 混合物的质量平衡定律由两部分组成，第一部分是对每一组分的质量平衡的表 述，第二部分是对整个混合物的质量平衡的表述。在表述它们之前，可定义一个与 每一组分有关的的薰一质量供给，巳( 赫f ) 表示由在t 时刻占有x 位置的其他组分 供给每单位体积第a 组分的质量变率。换句话讲，c 。是从各组分之间的化学反应得 到的。则固定的区域空间r 内的质量平衡方程可表示成： 昙岛d v = 一屯岛出+ 只d v ( 2 2 0 ) 这其中d s 是区域r 边界o r 上正向向外的面元矢量。整个区域r 中混合物的 质量守恒方程可以表示为： 昙pd v = - - 4 a r pv ds(2-21) 对( 2 2 0 ) 式取各部分的和，与( 2 2 1 ) 式比较，容易得出： i c a d v = o ( 2 2 2 ) 也就是质量守恒方程所表述的是整个r 区域总质量不变。对式( ( 2 2 0 ) 、( 2 2 1 ) 、 ( 2 - 2 2 ) 作散度计算得： ( 吆) + d i v ( p o x p = 岛 ( 2 - 2 3 ) ( ) + d i v ( 川= 巳 巳= o 利用恒等式 d i v ( p 。x o ) = p o a i v ( x o ) + x o g r a d p 。 f 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) r 2 2 6 ) 苎竺堂圭坚圭苎苎竺兰塑墨苎坌堑塑! 竺! 唑! 墨 q d e t 只i ) 1 ；i d 眦i d i v 纯) ( 2 ”) 将( 2 - 2 4 ) 进行进一步的变形 a + p d i w = 巳 ( 2 - 2 8 ) ( 见i d e t 疋i ) = i 如t 艺l c 4 ( 2 - 2 9 ) 对( 2 - 2 9 ) 式对时间积分，并假设没有化学反应即c a = d ，得： p oi d e t f 。| - p 靠 ( 2 - 3 0 ) 其中p 积是积分下限幻时口组分的质量体密度。定义d 组分的体密度梯度为： 巳= g r a d p a ( 2 - 3 1 ) 在假设口组分的初始体密度为均匀分布时，上式可计算并简化为： 吒=一见(c7【瓯】)c1(2-32) 上式表明，n 组分的体密度梯度巳在初始密度均匀分布的情况下只与组分变 形有关。 2 1 3 动量守恒方程 动量守恒公理包含有各组分及混合物的线动量守恒方程。对于固定体积内的 第a 组分，其线动量平衡方程为： 蔷! 见知 - 胁。州订+ p h 点( 成吃q - 儿十c 口) d v ( 2 3 3 ) 式中死是偏应力张量，p 。是动量供给量，k 是外体力密度。如不考虑化学反应， 则c a 为0 ，上式积分化简有： 见工。= d i v t 。+ 见吃+ 儿 ( 2 - 3 4 ) 2 2 非饱和疆食榜理论 按照前节所叙思想，在非饱和土中可建立混合物理论的控制方程，有： 2 2 1基本方程 视非饱和土为三相介质，其中土颗粒( 固相) 、土中的水( 液相) 、土中的气体( 气 l o 准饱和土地基上基础的竖向振动分析 杨于松2 0 0 6 年3 月 相) 的质量分别为、m ，、m 。，体积分别为圪、巧、屹，k 、珥分别为介质中 孔隙体积和总体积。于是有： k 2 + ( 2 - 3 5 ) 2 k + k 2 + 咋+ k ( 2 3 6 ) 孔隙率为凡、饱和度为j ，其分别定义为： h = k k( 2 3 7 ) s ，。巧k ( 2 - 3 8 ) 土中各介质的物质密度为： 岛= m 。v 卅( m = s f g ) ( 2 - 3 9 ) 土中各介质的相对密度为： 瓦= m 。v , = s f g ) ( 2 - 4 0 ) 于是有： 厦= ( 1 - ”) 风 ( 2 - 4 1 ) 屏5 s ，n ( 2 - 4 2 ) 厦。(1一s，)门,og(2-43) 引进f 方向上单位面积上质量流q ，”及体积流q ，有 q j ”= d m 。a 臻a t ( 2 4 4 ) q ”= d 圪戤d t = 棚 ( 2 4 5 ) 由物质密度的定义可得： g 。”= 几q l “ ( 2 4 6 ) 介质各组分在f 方向上的速度可定义为： v ，“= d k ( d 厶) 。d t ( 2 4 7 ) 上式中d 厶是幽中对应于第m 种组分的那部分面积，结合质量流与各组分 1 1 准饱和土地基上基础的竖由振动分析 扬子松2 0 0 6 年3 月 的速度的定义可得：q k ( 1 - n ) f 。 q 1 7 = ”s ，h 7 q 8 = ( 1 - s r ) 九v g 引入相对位移的概念 磊7 = ns r ( v i f - 玎) q f 。= ( 1 - 5 ，) h ( 妒- v ，。) 令固体颗粒赫方向上的位移矿= “，则 v ! = d u id t ( 2 - 4 8 ) f 2 - 4 9 ) ( 2 - 5 0 ) ( 2 - 5 1 ) f 2 - 5 2 ) ( 2 - 5 3 ) 根据小应变理论，应变勺，角应变，体积应变分别定义为： 勺=ii(tli,j+“川)(2-54) = 去( q 厂j j ) ( 2 - s s ) 占= = ( 2 5 6 ) 根据混合物理论【6 1 ，总应力o g 与各总组分之间的应力之间有： o = o ；七o i 七o q 5 7 ) 上式中：”( 删分别为土体中三种组分的应力，其中为土颗粒之间的粒 间应力，记为。2 勺 流体与气体部分的应力分别为： 盯p k s ，p 7 磊 ( 2 - 5 8 ) 。= - ( 1 - q ) p 5 毛 ( 2 5 9 ) 2 2 2平衡方程 根据混合物理论，场方程应包括质量平衡方程、动量守恒方程。假设物质间 的组分保持不变，则有： 准饱和土地基上基础的竖向振动分析 橱干松2 0 0 6 年3 月 瞩o t + ( p v t ”) f = o 忽略体力及质量耦含项，动量平衡方程可写为 口。”，+ b i ”= a ( 厦妒) l o t ( b - - v ，r a 叶”) ， 其中6 l ( m s f g 且n 不等于掰) 为相间渗透力，并有 窆6 j ”= o 6 f “= 岛7 f 2 - 6 0 ) ( 2 - 6 1 ) ( 2 6 2 ) ( 2 6 3 ) 2 2 3连续方程 孔隙率 的连续方程可表叙为： a n = ( 1 一h ) ( s + 届卸7 )( 2 6 4 ) 上式中、崩为待定系数，此处忽略了气体的压力的影响。 v e r r u i j t 5 6 , 5 7 1 提出： 岛= 舢1 - 告) 屈砂鲁占】 ( 2 1 6 5 ) 此处，级表示土颗粒材料的压缩系数，尾表示由接触点上的集中力引起的 土颗粒的压缩系数，表示土骨架的不排水压缩系数。 由以上两式与平衡方程可得到： 口l 高1 - 口，p l = ( 1 口) 孱，口= 尾卢 ( 2 - 6 6 ) 对于饱和度，v e r r u i j t 同时提出： a s r = - j ，( f 十孱卸7 ) ( 2 6 7 ) 其中： 口2 2 - 口，岛。所- f l , ( 1 + a ) ( 2 - 6 8 ) 式中乃表示液体的压缩系数。 液体与气体的连续方程分别为： 卸，p f 母f 掣 呶= & 印s 。p 8 对于渗透力鱼7 ，b i 5 ，由d a r c y 定律有 6 1 7 2 2 i p ：g 彭2 6 ，磊7 f 2 6 9 ) ( 2 - 7 0 ) ( 2 7 1 ) b i g 睾。等驴馏 、气分别为液体与气体相对于固体的渗透系数。气相与流相间渗透力岛矿 可忽略不计。有效应力增量a f ；与粒间应力增量a f 。之间有以下关系5 6 5 7 1 ： a r a 2 n 0 + y 印岛 ( 2 7 3 ) 有效应力只由固相的变形决定： a r # 2 占磊+ 2 勺 ( 2 7 4 ) 其中：五和a 为l a m e 常数，与其体积压缩系数之间的关系为： + 2 2 1 p( 2 - 7 5 ) 式中：，= 屈p ( 1 ，z ) 口 2 2 4控制方程 根据前三小节得准饱和土的动力控制方程为： - 磊。7 = q lu k j + q 2 蚺 ( 2 - 7 6 ) - q f 。f 82 口2 lu k , k + t f g ：+ o t 2 3 蛾 ( 2 _ 7 7 ) ( 五+ a ) u t ，“+ “。，* 2 。( 1 - r 墨) b 7 磊7 + z 。_ p r 杰7 + ( 厦+ 孝乃) 谚。6 8 磊2 ( 2 - 7 8 ) - s f t x p , i f + b f 趸? + p f 龟? + ，n t q 7 9 ) 准饱和土地基上基础的竖向振动分析 杨干松2 0 0 6 年3 月 ( 1 。s ，) 够，82 6 8 钟+ 岛峨 式中： 吼t = - - - - $ r 州+ 半畔：) 锡。部，l 蚺+ 半屈展)， = c 导+ 半等忆， 。n ( 半导岛鸲) 口2 3 = ( 1 s ，) h p 8 2 3 准饱和土混合物理论 ( 2 - 8 0 ) ( 2 8 1 ) f 2 - 8 2 ) ( 2 - 8 3 ) ( 2 8 4 ) ( 2 8 5 ) 对于含气量很少的准饱和土( 1 一s ， 1 ) ，非饱和士的动力控制方程可以进行大 幅度的简化，得到便于求解的准饱和土中的动力控制方程。 对于这种情况，可假设气体呈气泡状态，并被周围液体所包围，与液体共同 形成各向同性的流体，液体与气体之间不存在压力差、相对位移，并假设诣】： v t g = v f 7 ，卸8 ；印7 ，b 。乃，b s = b 7 ( 2 - 8 6 ) 根据上述假设，可得： = 勺一印屯 ( 2 - 8 7 ) 此式在物理上与各向同性流体的假设相符。考虑上述假设，由相对位移的概 念可得： 磊s = ( 1 j ，) 磊7 ( 2 8 8 ) ( z + ) 船+ “f 抽= ( 2 - s , - ( 2 - s , - 羔) 6 ，磊，+ 上p ，奁，+ ( 氨+ 上芦r ) 打 ( z + ) 。b + “似2 毒6 + 毒乃掣+ ( 氨+ 毒芦，) 打 一或= 酏。+ 【- 2 + ( 1 - 户s ) n 1 a p f 2 8 9 ) r 2 - 9 0 ) 准饱和土地基上基础的鳖由振动分析 扬子松2 0 0 6 年3 月 面2 = 门+ ( 1 一n ) a l ( 2 - 9 1 ) 瓦：= 撑店+ ( 1 一摊) 届( 2 9 2 ) 以上理论，主要基于这样的考虑，对于准饱和土，其饱和度可包含在液体的 压缩系数中加以考虑。对于饱和土体，其液体的压缩系数屏，只需要将饱和土 中的所用准饱和土中流体的压缩系数厉代替，其表达式可以用下式来表示： 缪2 鲫+ 紫) ( 2 - 9 3 ) 式中p 为参考压力，可视作静水压力，注意到上式中1 一j ，远小于1 ，而在地 表附近，由于p 较小，同时芦r 数量级较小，故丽掣项很大，这与v e r r u i j t t 5 8 1 p ， 的研究成果相一致，即使是相当小的气体含量也会导致流体的压缩系数的显著增 大。综上所述，可假定气体、液体所组成的流体的体积压缩模量为： 巧= 亚1 ( 2 - 9 4 ) 瓦只 上式中瓦为空隙水的体变模量、只为流体的绝对压力。则准饱和土的动力 性状可由下述动力控制方程来表达： ( 五+ ) 心“+ “，艟= 一( 1 一x ) b ，磊+ y 户，磊7 + ( 反+ y 巧) 珥 ( 2 _ 9 5 ) - 6 p | = b f ? + p f 砭? + f 诅? p 9 6 ) 一戮魂魄，+ 学】p ( 2 。9 7 ) 上三式中：互= h + ( 1 + n ) q 、暖：+ = h 髟+ ( 1 - n ) 届、口2 以，届2 ( 1 - a ) l ，= 屈，、卢= 1 ( 五+ 2 ) 、厦= ( 1 - n ) 岛，乃= ”一。上式中表叙控 制方程组中共含有7 个方程，7 个未知量，即3 个，3 个磊，1 个卸。 准饱和土地基上基础的竖向振动分析 橱于松2 0 0 6 年3 月 第三章准饱和地基上刚性薄板的动力响应 对于基础各种类型的振动，诸如圆板的竖向、水平、摇摆、扭转振动，已有 充分的文献描述。这些研究中，半空间都局限于单相弹性介质或饱和多孔介质。 对于土木工程中广泛存在的非饱和土体，由于其组成的多相性，问题则复杂得多， 相关研究远远落后予工程实践。 基于b i o t 的两相介质理论，可将土体视为饱和土体，空隙水和土骨架发生 相对运动。