（应用数学专业论文）两类离散variableterritory型和hollingⅢ型捕食与被捕食系统的分岔分析.pdf

原创性声明 i i i ii iii i ii ii iii ii iiil y 171810 9 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名：扭日期：埠年且月留日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：盔故导师签名暾日期：埤年卫月孥日 硕i ：学位论文摘要 摘要 本学位论文对一类离散v a r i a b l e t e r r i t o r y 型和一类离散h o l l i n g i i i 型捕食与 被捕食系统的稳定性及分俞进行了分析和讨论全文共分为三章。 第一章，简单的介绍了非线性动力系统的发展，并介绍了分俞的相关理论， 中心流形定理，l y a p u n o v 指数等。 第二章，讨论了一类离散v a r i a b l e t e r r i t o r y 型系统的分岔与混沌，首先研究 了非零不动点的稳定性，并发现当参数经过一临界值时f l i p 分俞和 n e i m a r k s a c k e r 分俞将会出现。接着我们讨论了这两类分岔的方向及稳定性。最 后给出的数值模拟不仅证实了我们的理论分析，而且得到了一些复杂的动力学行 为，例如说5 ，9 ，1 3 ，1 7 ，2 1 ，2 5 ，3 0 ，4 6 ，5 4 ，7 1 ，8 3 周期轨道，倍周期2 ， 4 ，8 ，1 6 周期，拟周期轨道和混沌集。 第三章，讨论了一类离散h o l l i n g i i i 型系统的动力学行为，首先研究了系统的 正不动点的稳定性，并讨论了系统在正不动点发生n e i m a r k s a c k e r 分岔的条件， 分岔出的不变的闭曲线的稳定性。最后，用数值模拟不仅证实了理论分析，而且 得到了一些复杂的动力学行为，例如6 ，7 ，1 5 ，1 6 ，2 2 ，2 3 ，3 2 ，3 5 ，3 7 周期 轨道，拟周期轨道以及混沌集。 关键词：离散动力系统，捕食与被捕食系统， v a r i a b l e t e r r i t o r y ，h o l l i n g i i i ， 稳定性，f l i p 分岔，n e i m a r k s a c k e r 分岔，混沌，l y a p u n o v 指数，倍周期 i 硕l ：学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i s p a p e r w ei n v e s t i g a t e t h e s t a b i l i t y a n db i f u r c a t i o no fa d i s c r e t e - t i m e v a r i a b l e - t e r r i t o r yp r e d a t o r p r e ys y s t e m a n dad i s c r e t e h o l l i n g - i i id y n a m i c a ls y s t e m t h ew h o l ep a p e r c o n s i s t so ft h r e e c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h ed e v e l o p m e n to fn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e ma n d b i f u r c a t i o nt h e o r ya r eg i v e n a tt h es a m et i m e ，c e n t e rm a n i f o l dt h e o r e m a n dl y a p u n o ve x p o n e n ta r ea l s oi n t r o d u c e d i n c h a p t e r2 ，t h es t a b i l i t y a n db i f u r c a t i o no fad i s c r e t e - t i m e v a r i a b l e - t e r r i t o r yp r e d a t o r - p r e ys y s t e ma r ei n v e s t i g a t e d f i r s to fa l l ，t h e s t a b i l i t yo ft h en o n - z e r of i x e dp o i n t i ss t u d i e d i ti sf o u n dt h a tt h e r e e x i s t f l i p b i f u r c a t i o na n dn e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o n sw h e nt h e p a r a m e t e rp a s s e sac r i t i c a lv a l u e t h e nt h ed i r e c t i o na n ds t a b i l i t yo ft h e b i f u r c a t i o na r ed e r i v e d f i n a l l y , c o m p u t e rs i m u l a t i o n sa r ep r e s e n t e dn o t o n l yt oi l l u s t r a t e o u rr e s u l t s w i t ht h e o r e t i c a la n a l y s i s ，b u ta l s ot o e x h i b i tt h ec o m p l e xd y n a m i c a lb e h a v i o r s ，s u c ha sp e r i o d - 5 ，9 ，1 3 ，1 7 ，2 1 ， 2 5 ，3 0 ，4 6 ，5 4 ，7 1 ，8 3o r b i t s ，c a s c a d eo fp e r i o d d o u b l i n gb i f u r c a t i o ni n p e r i o d - 2 ，4 ，8o r b i t sq u a s i p e r i o d i co r b i t sa n d t h ec h a o t i cs e t s i n c h a p t e r 。3 ，t h ed y n a m i c a lb e h a v i o r o fad i s c r e t e h o l l i n g - i i i d y n a m i c a ls y s t e mi sc o n s i d e r e d t h es t a b i l i t yo ft h em o d e l i ss t u d i e d a t f i r s t t h ec o n d i t i o n so fn e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o na n dt h es t a b i l i t yo f t h ec l o s e dc u r v ea r ea l s od i s c u s s e d f i n a l l y , c o m p u t e rs i m u l a t i o n sa r e p r e s e n t e dn o to n l yt oi l l u s t r a t eo u rr e s u l t s w i t ht h e o r e t i c a la n a l y s i s ，b u t a l s ot oe x h i b i tt h e c o m p l e xd y n a m i c a l b e h a v i o r s ， s u c ha s p e r i o d - 6 ，7 ，1 5 ，1 6 ，2 2 ，2 3 ，3 2 ，3 5 ，3 7o r b i t s ，q u a s i p e r i o d i c o r b i t sa n dt h e c h a o t i cs e t s k e yw o r d s ：d i s c r e t e d y n a m i c a l v a r i a b l e - t e r r i t o r y , h o l l i n g - i i i ，s t a b i l i t y ， b i f u r c a t i o n ，c h a o s ，l y a p u n o ve x p o n e n t ， i i s y s t e m ，p r e d a t o r p r e ys y s t e m ， f l i pb i f u r c a t i o n ，n e i m a r k - s a c k e r p e r i o d - d o u b l e 硕，i ：学位论文a b s t r a c t 目录 摘! i j i a b s t r a c t 。i i 第一章绪论1 1 1 非线性动力学发展综述1 1 2 分岔理论1 1 3 最简单的分岔条件2 1 4 中心流形理论2 1 5l y a p u n o v 指数的定义3 1 6 本文研究的主要内容3 第二章一类离散v a r i a b l e t e r r i t o r y 型捕食与被捕食系统的稳定性与分俞5 2 1j i i 言5 2 2 不动点的存在性与稳定性6 2 3f l i p 分岔和n e i m a r k s a c k e r 分岔1 0 2 4 数值模拟1 5 2 5 结论2 2 第三章一类离散h o l l i n g - i i i 型捕食与被捕食系统的n e i m a r k s a c k e r 分岔2 3 3 1 弓i 一言2 3 3 2 不动点的存在性与稳定性2 4 3 3n e i m a r k s a c k e r 分岔2 5 3 4 数值模拟2 8 3 5 结论3 4 参考文献。3 5 致谢3 9 攻读学位期间主要的研究成果4 0 i i i 硕士学位论文第一章动力系统分岔与混沌理论 第一章绪论 1 1 非线性动力学发展综述 动力系统是指随时间的改变而不断变化的系统。其主要的研究目标是随着时 间的变化，系统的状态是如何改变和演化的。研究的主要内容包括系统的结构稳 定性、轨道稳定性、分贫、混沌理论等 卜1 1 ，1 4 ，2 0 ，2 3 ，2 6 ，3 4 ，4 2 4 5 ，4 8 ，4 9 ，5 6 。 由于非线性系统极少存在类似线性系统的解析解，所以很难直接研究解的性 质，只能间接研究。但在大批科学家的不懈努力下，非线性动力学随着数学、物 理学等学科的进步经历了一个多世纪的发展并取得了丰硕的成果，如：法国数学 家p o i n c a r 6 4 6 ，4 7 对某些特殊的微分方程的可解性与解对其初始条件极为敏 感问题的研究，俄罗斯数学家l y a p u n o v 3 6 关于运动稳定性的研究以及美国科 学家b i r k h o f f 2 0 的著作等。尤其是近三、四十年非线性科学又由于计算机的 广泛引用而更兴旺起来，计算机不仅是数值计算的工具，也为非线性现象和理论 分析提供了新思想，分岔和混沌理论与经典非线性振动理论相的结合，发展成为 现代非线性动力学理论。他们的杰出贡献使非线性动力学从2 0 世纪7 0 年代起 成为一门重要的前沿学科。 1 2 分岔理论 对于含参数的系统，当参数变动并经过某些临界值盹，系统的拓扑等价性发 生突然变化，这种变化称为分岔。分岔是一种常见的重要非线性现象，并与其他 非线性现象( 如混沌、突变、分形等) 密切相关。分岔问题的主要研究内容大致 分为如下几个方面： ( 1 ) 分翁集的确定，即确定系统产生分岔的必要条件和充分条件，这是分岔问题 研究的基本内容 6 。 ( 2 ) 分岔定性性态的研究，即研究分岔出现时系统拓扑结构随参数变化的情况。 这是分岔研究的重要内容 1 0 。 ( 3 ) 分岔解的计算，即对系统平衡点和极限环的计算由于非线性系统分岔的直 硕+ 学位论文 第一章动力系统分岔与混沌理论 接求解往往较为困难，甚至不可能，这就需要寻求实用而有效的求解方法，见文 献 1 ，2 。 ( 4 ) 研究各种不同分分的相互作用，以及分岔与动力系统中其它现象的联系，尤 其是在导向混沌的时候，见文献 3 ，5 6 。 1 3 最简单的分岔条件 考虑含有一个参数的离散时间动力系统 x 卜f ( x ，口) ，x r ”，口r ，( 1 1 ) 其中映射是关于x 和口光滑的。假设x = x o 是系统( 1 3 ) 当口= 时的双曲不动 点，当参数口变化时我们考虑此不动点和它的特征值。显然，一般来说，只有三 种情况下其双曲性会被破坏。当参数口取某些值时，一种是一个简单的正的特征 值趋向于单位圆并且有m = l ：一种是一个简单的负的特征值趋向于单位圆并且 有“= - 1 ；一种是一对简单的复特征值趋向于单位圆并且有朋2 = p “岛，0 o o 万 定义1 1 3 4 1 当1 1 = l 时，这种分俞称为f o l d 分翁( 或切分岔) 。 定义1 2 p 4 j当6 = 一l 时，这种分岔称为m p 分岔( 或倍周期分岔) 。 定义1 3 【3 4 】 当朋2 = p + 触，0 e o l 时，系统( 2 2 ) 有不动点互( k 一等，。) ； ( i i ) 当r 1 且吒口 吒+ l 时，系统( 2 2 ) 有唯一正不动点乞( i ，毫) 满 足如下方程组 现在我们研究系统( 2 2 ) 不动点的稳定性。系统( 2 2 ) 在任何点( 而，而) 处 的j a c o b i a n 矩阵为 因此， ，( 五，而) = ，( e ) = j ( 易) = ，一2 r x , 一丝兰： k ( 而+ ) 2 器辱( 五+ ) 2 口五 x i + p 粤2 y x 2 吃 x i + p黾 “ 2 一，一竺茎( ! 二尘 k ( r 一1 ) + ， 。i r k ( r - 1 ) 万一) ，一堕k 一磊 f i + 口1 2 器辱( # + ) 2 i 2 6 口x l i + p 而+ 箍一箪嘲 口一z y 恐 ， x 卜i 1 1 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) = ，卜， 一 斋惜 。生七一侈 一 阳1 _ 1 一1陋叫而 r厂- 硕f ：学位论文 第二章一类离散v a r i a b l e - t e r r i t o r y 型捕食与被捕食系统的稳定性与分葫 引理2 2 3 7 1 ：对于f ( 五) = 五2 + p a + q ，假定f ( 1 ) 0 ，丑，乃是f ( a ) = 0 的两根， 则有 ( i ) i 五l 1 ，i 五i 0rq l ，l 五l l 当且仅当f ( - i ) 0 且q l ； ( i v ) a = - 1 ，i 五l 1 当且仅当f ( - 1 ) = 0 且p o ，2 ； ( v ) ，乃是复数，且h 1 i 如i = 1 当且仅当b 2 - 4 c 0r c = 1 假设 ，如是j a c o b i a n 矩阵，( 五，x 2 ) 的特征方程的两个根，i i 1 时， 点( x l ，x 2 ) 叫 源( s o u r c e ) ，源( s o u r c e ) 是局部不稳定的当i i 1 ，i 五i )23 1 删e ，( k 引理若， ，则。i = 2 一， 且 ( i ) 当 或 时，互是源； ( i i ) 当 时巨是汇； ( i i i ) 当 或 例肌歇高等蒜 ，- 3 ，k f 而f i r ( f 而i r 2 + 1 ) l ， 3 丛当垒二坠 k 3 丝虹二! ! k 丛刍垒1 2 7 ( ，一1 ) ( 口一r ：2 + 1 ) ( 厂一1 ) ( i 口一一1 ) l ， 3 ，。 七 f 而f l r ( r 而1 r 2 - 1 ) 7 值，一雅 l 砂特p 一哪 的一卜 、lc一1巾篇 ， ， 、 、b厂_q 1一， _，、 硕l ：学位论文 第二章一类离散v a r i a b l e t e r r i t o r y 型捕食0 被捕食系统的稳定性0 分俞 或 时，巨是鞍点： ( i v ) 当 或 l l 且口 眨+ l ，对于系统( 2 2 ) 的正不动点e 2 ( i ，) 有： ( i )当 且 时，易( x ：，z ) 是汇； 且 时，岛( i ，z ) 是源； ”小叠k + 藉卜 。 b , ( 1 - 警+ 黯卜 。 b , ( 1 - 睾+ 蒜h t 包，( 2 + 离卜 一u + 口( ，) “2 + 6 ( 厂) 甜3 + 0 ( 甜4 ) ， ( 2 1 8 ) 其中 口( ，) = 去( p ，b ( 9 ，g ) ) 6 ( ，+ ) = i 1 ( p ，c ( g ，g ，g ) ) 一丢( ( p ，b ( q , q ) ) f - 丢( p ，b ( g ，( 彳一，) _ b ( g ，g ) ) ) 经过变换，可以使( 2 1 8 ) 化成下列正规形成 孝卜专一孝+ c ( ，) 孝3 + d ( 善4 ) ， ( 2 1 9 ) 其中c ( ，) = a 2 ( ，) + 6 ( ，) 因而系统( 2 1 9 ) 中的系数c ( ，) 的符号决定了f 1 i p 分岔的分岔方向，并且 c ( ，+ ) 可以表示成下列公式 c ( ，+ ) = i 1 ( p ，c ( g ，g ，g ) ) 一吉( p ，b ( g ，( 彳一，) 一1 b ( g ，g ) ) ) ( 2 2 0 ) 根据以上的讨论以及分翁定理【3 4 】，我们可以得到如下结果： 定理2 1 ：假设引理2 4 中的条件( i v l ) 成立，若c ( r + ) 0 ，则当，= ，时，系统 ( 2 2 ) 在不动点最( i ，葛) 处发生f l i p 分岔若c ( r ) o ( o ) 时，从不动点( i ，x ；) 分岔出唯一的稳定的( 不稳定) 2 一周期轨。 在第四节中我们将给出一组参数值使c ( 厂) 0 ，则随着，的变化系统( 2 2 ) 将发生f l i p 分岔( 如图2 1 ) 。 接下来，我们以，作为分俞参数来研究系统( 2 2 ) 在不动点e 2 ( i ，五) 处的 n e i m a r k s a c k e r 分岔。 特征方程( 2 7 ) 的特征值是 乱：-p(r)孕+4p2(r)-4q(r)， 旺2 ， 其中 硕f ：学位论文 第- 二章一类离散v a r i a b l e t e r r i t o r y 型捕食j 被捕食系统的稳定性j 分俞 以沪4 拈小摹+ 藉+ 岛) 2 - 4 岛悖k + 藉卜 如果p 2 ( ，) 一4 q ( r ) 0 ，即 ( 1 等+ 黯+ 岛 2 - 4 小豆k + 黯卜 o ，旺2 2 ， 此时特征值五：为一对共轭复根。 令 如和禹一半 ， 眩2 3 ， 贝0 q ( 7 + 1 = 1 当，= 芦时，系统( 2 1 0 ) 在不动点( 0 ，o ) 处的线性部分的特征值为模为1 的 其中 由( 2 2 3 ) ，有 砸= 孕主厮丽， 2 4 ) 酊) _ 一警+ 器+ 6 l ， 酊岛( t 一警+ 藉卜 彤h 髁酊) o ，_ 1 ，即譬一器一例 1 ， 则有五( f ) l ，k 1 ，2 ，3 ，4 ) 令g c 2 为a ( 7 ) 对应于特征值a ( - ) 的特征向量： 彳( f ) g = 五( f ) g ，a ( 7 + ) 虿= 允( f ) 万 另令p c 2 为转置矩阵a7 ( - ) 对应于特征值见( f + ) 的特征向量： 彳7 ( f + ) p = 旯( _ ) p ，彳7 ( _ ) 矽= 允( - ) 歹 通过直接计算，可以得到 g ( j r - b , ，口1 ) 7 ，p ( 万一岛，b o ) r 1 4 硕f ：学位论文 第二章一类离散v a r i a b l e - t e r r i t o r y 型捕食j 被捕食系统的稳定件j 分信 为了使p 关于g 规范化，令 p = 厂( 万一岛，b o ) 7 ， 其中 7 2 万i 万鬲c b o 7 ( 五一6 i ) 2 + l 则有( p ，g ) = 1 其中c 2 中的内积( ，) 定义为：( p ，q ) = 历g l + p 2 q ： 对于v x r 2 在r = - 附近可以唯一的表示成 x = z q + z q ， 其中z c 2 显然z = ( p ，x ) 因此系统( 2 1 0 ) 在，= - 附近可以化成如下形式： z h x ( r ) z + g ( z ，芽，) ， 其中a ( r ) = ( 1 + 伊( ，) ) p 坝7 ( 缈( ，) 为一个矽( 广) = 0 光滑函数，且伊( 广) = 0 ) ，g 是一个 关于z ，亨和，的复值函数，并且g 关于( z ，三) 的泰勒展开包含平方项和高次项： 甙乙瓦力2 。萎：寺弦哼， 其中g t ，c ，k ，j = o ，1 ， 根据( 2 1 2 ) 和如下公式 g ：。( f + ) = ( p ，b ( q ，g ) ) ，g l i ( f + ) = ( p ，b ( q ，虿) ) ， g o ：( f ) = ( p ，b ( 虿，虿) ) ，9 2 。( f ) = ( p ，c ( q ，曰，虿) ) ， 可以通过 酊 争h 学9 1 1 ) - 扣1 2 _ 拟2 ， 来计算口( - ) ，其中e 旧，= z ( _ ) 根据上面的讨论以及n e i m a r k s a c k e r 分岔定理【3 4 】，我们可以得到如下结果： 定理3 3 设( # ，) 是系统( 3 2 ) 的正不动点，如果如果口( _ ) o ) ，则系统( 2 2 ) 在，= - 处的n e i m a r k - s a c k e r 分俞是超临界( 次临界) 的，并且从( i ，t ) 分岔出 唯一的稳定( 不稳定) 的不变的闭曲线。 2 4 数值模拟 在这一部分，我们将对系统( 2 2 ) 进行数值模拟，并给出系统( 2 2 ) 的分 岔图，相图和最大l y a p u n o v 指数，以此来证实以上的理论分析的正确性。 考虑下面两种情形： ( 1 ) 4 2 r 4 6 ，固定k = 若，口= 石2 3 ，= 西1 ，y = i 1 ，i = 詈，吃= 嘉； 1 5 硕 ：学位论文 第二章一类离散v a r i a b l e t e r r i t o r y 型捕食j 被捕食系统的稳定性与分俞 ( 2 ) 2 ， o , 9 2 0 = 1 2 9 2 3 + i 1 2 3 3 6 ，g l l = - 0 0 7 6 3 “o 8 3 9 1 ， 9 0 2 = o 7 4 0 6 - i 3 4 7 5 7 ，9 2 i = 一2 3 0 1 4 + i 3 4 9 5 3 ， a = 一3 3 9 6 6 2 5 6 4 5 1 6 1 2 9 0 3 2 2 6 时，产生 了一个把( 1 ，1 ) 包含在内的不变环，并且这个不变环的半径随着，的增长而不断变 大当，大到一定程度时，比如说当，= 2 7 3 时，不变坏消失出现了5 周期轨。从 图2 6 ，我们可以看到5 ，9 ，1 3 ，1 7 ，2 1 ，2 5 ，3 0 ，4 6 ，5 4 ，7 1 ，8 3 周期轨， 拟周期轨以及吸引的混沌集。 ( a )( b ) ( c )( d ) 图2 4 ( a ) 系统任p ，而) 甲面上的分岔图，其中k = 瓦5 3 ，口= 而3 1 ，= 等， y = 朵，= 詈，吃= 两3 3 ，初始值足( 0 8 5 , 0 7 6 ) ( b ) 酗的局部放人图，其中，【2 6 8 ，3 8 】 ( c ) 系统在( ，) 平面i - 的分岔图，其中初始值是( 0 8 5 ，0 7 6 ) ( d ) 足图( c ) 的局部放人图，其中 r 【2 6 8 ，3 8 】 1 9 硕_ f 学位论文 第二章一类离散v a r i a b l e t e r r i t o r y 型捕食j 被捕食系统的稳定性j r , ) - 岔 。3 。2 i l 。 p ；们 兰。8 旬4 旬6 0 。 。 一一1 ：飞 ， j _ 一 l ：j 吖f # ， ( a )( b ) 图2 5 ( a ) 与图2 1 ( a ) 相对心的最大l y a p u n o v 指数图，其中初始值是( 0 8 5 ，0 7 6 ) ；( b ) 与图2 1 ( a ) 相 对应的最人李雅普诺犬指数局部放大图，中，【2 6 8 ，3 8 】 ，= 2 4 5 r = 2 6 r = 3 2 4 2 ，= 2 5 6 4 5 2 ，= 2 7 3 ，= 2 5 7 ，= 3 1 3 ，= 3 2 7 7 2r = 3 3 2 0 o o m 0 0 0 旬 tx|lj_86j日j a l j 硕上学位论文第二章一类离散v a r i a b l e t e r r i t o r y 型捕食与被捕食系统的稳定性与分岔 r = 3 3 3 l ，= 3 3 4 7 r = 3 4 r = 3 3 4 0 7 r = 3 3 5 4 5 ，= 3 5 ，= 3 6 3 2 1 r = 3 3 4 3 2 r = 3 3 5 6 7 ，= 3 5 7 ，= 3 6 6 硕l ：学位论文 第二章一类离散v a r i a b l e - t e r r i t o r y 型捕食j 被捕食系统的稳定性j 分岔 r = 3 6 8，= 3 7 5r = 3 8 2 图2 6 以上各图是与图2 4 ( a ) 对应的厂取不同值时的相图 2 5 结论 在本章，我们研究了一类离散的v a r i a b l e - t e r r i t o r y 型捕食与被捕食系统的分 贫与混沌的动力学行为。并且证明了系统( 2 2 ) 在其唯一的j 下不动点处发生了 f l i p 分岔与n e i m a r k s a c k e r 分龠，系统( 2 2 ) 还有其它的复杂动力学行为，比 如说5 ，9 ，1 3 ，1 7 ，2 1 ，2 5 ，3 0 ，4 6 ，5 4 ，7 1 ，8 3 周期轨，不变环，倍周期轨 如2 ，4 ，8 ，1 6 一周期轨，拟周期轨以及吸引的混沌集。 硕：l ：学位论文 第三章一类离散h o l l i n g o l l l 型捕食j 被捕食系统的复杂动力学行为 第三章一类离散h o l l i n g i i i 型捕食与被捕食系统的 3 1 引言 n e i m a r k s a c k e r 分岔 在研究捕食与被捕食系统时，h o l l i n g 用几类不同的函数来模拟对不同物种 捕食者的现象【2 8 】。关于不同h o l l i n g 型捕食与被捕食系统的研究，见 1 8 ，2 2 ， 2 5 ，2 7 ，2 9 ，3 0 , 3 2 ，3 3 ，3 9 ，5 0 ，5 1 ，5 3 ，5 5 ，5 8 ，5 9 。 考虑h o l l i n g i i i 型捕食与被捕食系统 5 5 】 模型中五与镌分别代表捕食与被捕食种群的密度，口，y ，k ，d 都是 正常数。对于系统( 3 1 ) 的研究，已有很多结果，如文 2 2 ，3 3 研究了系统( 3 1 ) 当 y = 0 时的正平衡点的稳定性和极限环的存在性。当y 0 时，文 5 5 】研究了系统 ( 3 1 ) 的定性分析。 利用e u l e r 方法把系统( 3 1 ) 离散化，可以得到如下离散h o l l i n g i i i 型捕食 与被捕食系统： 专 五十万 m ( ，一量) 一i x _ f + x 兰万 叫屯卜禹h ( 3 2