（应用数学专业论文）关于两类非线性反应扩散系统解的性质研究.pdf

摘要 本论文主要研究了带有齐次d i r i c h l e t 边界条件的两类非线性反应扩散系统解的性 质，得到了系统解的局部存在性，解的整体存在和在有限时刻爆破的条件 在绪论中介绍了本论文所研究问题的实际背景，回顾了非线性抛物方程( 组) 的发 展历史和发展现状在第二章中不加证明的介绍了有关抛物方程( 组) 的基础知识、基 本原理和基本方法第三章我们利用正则化方法讨论了本论文所要考虑的两个退化的抛 物系统，并得到解的局部存在性第四章考虑一类具有指数型反应项的反应扩散系统齐 次d i r i c h l e t 初边值问题： “f = a u 蚋+ u n l e c t v e ( x ，r ) q ( 0 ，) ； v t = a v 他+ v 也p 肛，( x ，f ) , o x ( o ，丁) ； w t = a w 均+ w 均e y v ( x ，f ) q ( o ，r ) ； u ( x ，f ) = o ，v ( x ，t ) = o ，w ( x ，f ) = 0 ，( x ，t ) q x ( 0 ，丁) ； u ( x ，0 ) = u 0 ( z ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，w ( x ，0 ) = w o ( x ) ，x q 解的整体存在与爆破，利用上、下解方法证明了：当 或 他或钧 均时， 对小初值系统的解整体存在，对大初值系统的解在有限时刻爆破；当m a n a ，m 2 n 2 且 m 3 n 3 时，对小初值且q 至少在一个方向上充分窄，系统的解整体存在，如果q 很 大，则系统的解在有限时刻爆破第五章讨论一类具有对数型反应项的反应扩散系统齐 次d i r i c h l e t 初边值问题： u t = a u 啦+ v 吩i n g ( 南+ w ) ，( x ，f ) f 2 x ( o ，r ) ； v t = a v 忱+ 1 i ，匕i n 芦( 向+ 甜) ，( x ，f ) d x ( o ，丁) ； w s = a w ”+ 挺也i n 7 ( 矗+ v ) ，( z ，t ) q ( 0 ，丁) ； u ( x ，t ) = v ( x ，t ) = w ( x ，t ) = o ，( x ，f ) o q x ( o ，r ) ； u ( x ，o ) = u o ( x ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，w ( x ，o ) = w o ( x ) ，x q 解的整体存在与爆破，利用上、下解方法证明了：设 1 ，则当啊，z 2 吩 r n l 时，对小初值系统的解整体存在， 对大初值且q 很大系统的解在有限时刻爆破 关键词：非线性反应扩散系统；局部存在：整体存在；有限时刻爆破；上、下解 t h ep r o p e r t i e so fs o l u t i o nf o rt w oc l a s s e so fn o n l i n e a r r e a c t i o n d i f l u s i o ns y s t e m s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s , w em a i n l yc o n s i d e rt h ep r o p e r t i e so fs o l u t i o nf o rt w oc l a s s e so fn o n l i n e a r r e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e m s ，s u b j e c tt on u l ld i r i c h l e tb o u l l 衄c o n d i t i o n w ep r o v et h el o c a l e x i s t e n c eo f t h es o l u t i o nt os y s t e m s ，a n do b t a i nt h ec o n d i t i o no f t h e g l o b a le x i s t e n c ea n dt h e f i n i t et i m eb l o w - u po f s o l u t i o nt os y s t e m s w eg i v et h eb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e mt h a tw ec o n s i d e ra n dt h e1 1 i s t o r ) rt ot h es t u d yo f n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o ni nt h ei n t r o d u c t i o n i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h eb a s i c k n o w l e d g eo i lt h e mt h a tw i l lb eu s e dh e r ew i t h o u tp r o v i n g i nc h a p t e r3 ，w ed e a lw i t ht h e l o c a le x i s t e n c eo f s o l u t i o n t ot h es y s t e m s i nc h a p t e r4 w es t u d yt h ep r o p e r t i e so f s o l u t i o nf o r ac l a s so fn o n l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e mw i t he x p o n e n tt y p es o r t c z ，s u b j e c tt on u l l d i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ： u t = a u 啊+ “一e 洲，( x ，f ) q ( o ，n ； v t = v 吨+ v n z e o u ，( x ，f ) q x ( o ，r ) ； w t = a w ”+ w e r r ( z ，t ) f ) x ( 0 ，丁) ； u ( x ，t ) = o ，v ( x ，f ) = o ，w ( x ，f ) = o ，( x ，t ) o 勉x ( o ，r ) ； u ( x ，0 ) = , 1 0 ( _ c ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，w ( x ，0 ) = w 0 ( x ) ，x q u s i n gu p p e r - l o w e rs o l u t i o nm e t h o d , w eo b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a l e x i s t e n c ea n d t h e f i n i t e l i m e b l o w - u p f o r m ec a s e 啊 啊o r 他 n 2o r o ； ( 1 3 ) i u ( x ，o ) = u 0 ( x ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，x r “ 得到如下结论： ( a ) 当0 1 上t ( y + 1 ) ( p q - 1 ) l 并得到如下结果： ( a ) 当p 可 m n 时，问题( 1 4 ) 的解对于大初值在有限时刻爆破 对- y - i 临界情形，文献 5 】中作了详细讨论，并有如下结论： 3 1 绪论 ( c ) p q = m n 时，对于p m ( n 一1 ) ( m 一1 ) ，令口= ( n m ) 1 h 4 一”， = r a i n 1 ，( q n ) 一1 + 4 ) ，五= m i n b a q , q m ，如果厶 0 ( 占可以充 分小) 使得对所有的x 西有9 ( x ) 九印b o ) ，v o ”( x ) 印b ( x ) ，那么问题( 1 4 ) 的解在有限时刻爆破； ( d ) 当p q = m n 时，对于p 0 ，p s q l q 2 q 3 ，则问题( 1 5 ) 的解整体存在且有界； ( b ) 如果( 柏一p o ( r 啦一仍) ( 他一见) g 1 9 2 q 3 ，且区域q 是厚的( 即q 包含一个充 分大的球) ，则问题( 1 5 ) 的解在有限时刻爆破 7 - 1 2 的作者考虑了方程 = a u + p 。，工q ，( o ，d ( 1 6 ) 的d i r i c h l e t 问题解的爆破性质在 1 3 中作者研究了下面系统的解在有限时刻爆破问 题： f u t = “+ ，钯删，m = a v + p e 如，( 工，f ) 炜x ( o ，r ) ； “( x ，t ) = o ，v ( x ，t ) = 0 ，( x ，) a 睇( o ，丁) ； ( 1 7 ) l “( 工，0 ) = u 0 ( x ) ，v ( x ，0 ) = v 0 ( x ) ，z 毋 4 i 绪论 得到： 假设o ) ，v o ( x ) ec 2 ( q ) ，且为非负、径向对称的递减函数，并且在边界上为零， a u o + 厄吼0 ，+ 肛0 ，则对问题( 1 7 ) 的解( “，1 ，) 必存在常数c 和c 使得 一l n b 2 ( t f ) 】+ l n c b u ( o ，t ) - l n b 2 ( t f ) + i n c ，0 t t - l n a z ( t f ) 】+ l n c a v ( 0 ，f ) - l n a l z ( t f ) 】+ l l l c ，0 t t 或者 c b a ( t t ) e h ( o 。c ，c a z ( t t ) e 4 ”( o j c ，0 t m n ，( i ) 对任意的q ，若初值充分小，则问题( 1 9 ) 的解整体存在； ( i i ) 对任意的q ，问题( 1 9 ) 存在有限时刻爆破的解 1 6 中作者将问题( 1 9 ) 推广到3 个方程的情形： u t = a u 码+ v j d i e ” u = a v 啦+ w 见， w ，2 a w 乃+ “n e ”， u ( x ，f ) = v ( x ，f ) = w ( x ，f ) = 0 ， u ( x ，0 ) = u 0 ( x ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，w ( x ，0 ) = w o ( x ) ， f ) q ( o ，巩 ( z ，f ) q ( o ，d ； ( x ，f ) f i x ( 0 ，d ； ( 1 1 0 ) ( z ，r ) 靓x ( 0 ，d ； 石q 1 绪论 其中q c r ”具有光滑边界的有界区域，m 2 1 ，p j o ( f = 1 ，2 ，3 ) ；u o ( x ) ，v o ( x ) ，w o ( x ) 是 q 上的连续函数；口，y r 得到的结论如下： ( a ) 如果a 仍乃 0 ， 1 ( f = 1 ，2 ，3 ) ，则当初值“0 ( x ) ，v o ( x ) ，w o ( x ) 适当大时， 问题( 1 1 0 ) 的解必在有限时刻爆破文 4 0 则研究了如下问题 u t = a u 用+ v ，i n 。( + “) ，( x ，t ) q ( o ，丁) ， v f = 矿+ “碍i n 芦( 向+ v ) ， ( x ，t ) f l x ( o ，r ) ，( i i i 、 u ( x ，f ) = o ，v ( x ，t ) = 0 ，( x ，t ) o 弛x ( o ，d ， u ( x ，0 ) = u 0 ( x ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，x q 解的整体存在和爆破性质 关于反应扩散方程( 组) 解的性质研究，除了整体存在性和有限时刻爆破，还有 关于爆破点集、爆破速率和解在边界渐进估计的研究，此类文献还很多，在此不一一 列举，可参见 1 7 3 6 通过对上面这些工作的介绍，我们可以看出，关于非线性抛物方程( 组) 解的整 体存在与有限时刻爆破早已成为微分方程领域的研究热点之一一些知名的数学家例 如v a g l a k f i o n o v , h ai “i n e ，a f r i e d m a n , p s o u p l e t ，王明新，郑斯宁，胡钡等在这 方面做了许多工作 1 4 本文内容介绍 和 本文主要考虑下面两类退化的非线性抛物型方程组的齐次d i d c h l e t 初边值问题： u 。= a u 一+ v i n 。( + w ) ，( x ，) q ( o ，r ) ； v l = a v 他+ 舻i n 卢( + “) ，( 工，t ) f l x ( 0 ，丁) ； = a w ”b + “i n 7 ( 矗+ v ) ，( 工，f ) q ( o ，丁) ； ( 1 - 1 2 ) u ( x ，t ) = v ( x ，f ) = 以x ，f ) = o ，( x ，t ) a o x ( o ，r ) ； u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，w ( x ，o ) = w o ( x ) ，x q 6 1 绪论 u t = a u 码+ 甜 e a w , ( x ，t ) q ( o ，丁) ； v t = a v m + v r e f l u ，( x ，f ) q ( o ，r ) ； 嵋= a w 唧+ w 码p ，( 石，t ) q ( 0 ，r ) ； ( 1 1 3 ) u ( x ，t ) = o ，v ( x ，t ) = 0 ，w ( x ，t ) = 0 ，( x ，t ) a q ( 0 ，丁) ； u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，v ( x ，0 ) = v o ( x ) ，w ( x ，o ) = w o ( x ) ，x q 其中qcr ”具有光滑边界的有界区域，m i 1 ，刀，o ( i = 1 ，2 ，3 ) ；u 0 0 ) ，v o ( x ) ，w o ( x ) 是 q 上的非负连续函数；口，p ， 0 ，h 1 我们主要研究和讨论问题( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) 解的整体存在与爆破性质，并得到方 程组有整体解和解在有限时刻爆破的充分条件下面介绍一下本文的内容安排 在第二章中我们就所研究问题的相关知识以及理论基础( 最大值原理以及比较法 则、上、下解方法等) 不加证明的给予介绍，从而保证了本文在某种意义下的自封性和 完整性 在第三章中我们研究了系统解的存在性问题，利用正则化方法，得出方程组解的局 部存在性 在第四、五章中分别研究了两个非线性反应扩散系统解的性质，得到系统的解整体 存在和在有限时刻爆破的充分条件 7 2 反应扩散系统的预各知识 2 反应扩散系统的预备知识 本章首先介绍了反应扩散系统的基础知识及本论文研究所采用的理论工具：最大 值原理和比较原理，接着介绍了反应扩散系统的爆破理论 2 1 反应扩散系统简介 在数字上遗常把以p 半线住抛物型万程组 呈竽= d ( x ，u ) a u + f ( x ，甜，v “) ，( x ，t ) q x r + ( 2 1 ) o t 称为反应扩散系统，其中q c r ”，甩，m 1 ，x = ( 而，x 2 ，) ，u = ( u l , u 2 ，u m ) ， 缸= ( a u i , a u 2 , , a u m ) ，v 群= ( v 岣，v 啊一，v ) ，v 铲( 警，薏，薏) ， ( i = l ，2 ，所) ，d ( x ，“) = ( 办( x ，“) ) ，( f ，_ = l 州2 ，历) 根椐不同的问颢可以研究初佰问颢，即q = r 一满足初始条件 u ( x ，0 ) = u 0 ( x ) ， x r ”( 2 2 ) 也可以研究各种边值问题，即qcr 4 有界，a q 是q 的边界，方程组( 2 1 ) 满足边界 条件 ( 1 ) d i r i c h l c t 条件 u ( x ，r ) = g ( x ，f ) ，( x ，t ) a n r + ； ( 2 3 ) ( 2 ) n e u m a n n 条件 罢兰= g ( x ，f ) ，( x ，f ) 1 9 q r + ； ( 2 4 ) o r l ( 3 ) r o b i n 条件 o ：- u + k u ( x , f ) = g ( x ，f ) ，( x ，f ) 匿2 + ( 2 5 ) ( 2 1 ) 与时间无关的解满足 一d ( x ，u ) a u = f ( x ，u ，v u ) ，x q ( 2 6 ) 我们把定常问题( 2 6 ) 与( 2 _ 3 ) ，( 2 6 ) 与( 2 4 ) 或者( 2 6 ) 与( 2 5 ) ( 其6 f g ( x ，t ) 2 反应扩散系统的预备知识 换成g ( x ) = , f i m g ( x ，f ) ) 的解称为( 2 1 ) 与( 2 3 ) ( 或与( 2 4 ) ，( 2 5 ) ) ，( 2 2 ) 问题 的平衡解或定态解( 2 1 ) 空间均匀的解满足常微分方程组 膀du=7(沈(7(咖f(x,u,vuat ) ) ； ( 2 )l z j i “( o ) = u o 还可以研究( 2 1 ) 的行波解u ( x ，t ) = u ( x c t ) ( 设月= 1 ) 由于( 2 6 ) ，( 2 7 ) 是( 2 1 ) 的特殊形式，我们也把( 2 1 ) ，( 2 6 ) ，( 2 7 ) 的耦合组称为反应扩散方程组 ( 2 1 ) 中的d 和也可依赖于t ，d ( x ，u ) a u ，也可以替换为非线性抛物算子，边 界条件也可以是非线性的，也可以是一个泛函，等等 反应扩散方程研究中的基本问题有： ( i ) ( 2 1 ) 的行波解的存在唯一性及稳定性 ( i i ) ( 2 1 ) 的平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时，平衡解的分叉 结构以及平衡解的稳定性问题 ( i f i ) ( 2 1 ) 的初值问题、初边值问题的整体解( 包括周期解和周期解) 的存在唯一 性及稳定性 ( i v ) 当( 2 1 ) 没有整体解时，解在有限时刻的“爆破”( b l o w - u p ) i m 3 题，以及解 的其他性质，例如“熄灭区”( d e a d r e g i o n ) 和奇性传播( s i n g u l a r i t y p r o p a g a t i o n ) p 题 ( v ) 计算方法问胚：解决( i ) 一( i v ) 中各种问题的计算有一些困难，需要一些 新的行之有效的计算方法 2 2 基本概念 本节我们介绍一些与本文研究相关的基本概念首先引入具有如下形式的初边值问 题： 罢+ 三“：m ，f ，“) ， 百十l 舻八工 “j b u = g ( x ，f ) ， u ( x ，o ) = 烈x ) ， ( x ，f ) g ( x ，t ) s t ； x q ( 2 8 ) 其中如= 一毫口 ，( 五f ) ，+ 喜6 f ，f ) 竹 f 弦，b u = a ，f ) 爱+ 6 ，f m ，系数j ，5 ii - i 1 0 2 反应扩散系统的预备知识 a ( x ，f ) ，b ( x ，t ) 0 ，且口( x ，f ) + 6 ( x ，t ) 0 于g ，这里g = f 2 ( 0 ，t ) ，品= o f 2 x ( o ，t ) 定义2 1 一致抛物如果存在常数口 0 ，使得对任意的( x ，f ) g 和所有的实向 量f = ( 厶，色，幺) r ”都有 月 a u ( x ，f ) 幺旬o l f l 2 ， f = l 则称算子昙+ 三在q 上是一致抛物的 定义2 2 退化抛物方程如果( x ，f ) 是非负定的，即对任意的( x ，f ) g 和所有 的实向量f = ( 卣，乞，厶) r ”有 a u ( x ，f ) 六乞o ， r ，j = j 则称( 2 8 ) 中的方程是退化抛物的 定义2 3 爆破若存在常数r ( o 0 ) 时，有 ( ，m ，啦a x 。“( x ，) = ( 列m j e a x 耳”( z ，) ( ( ，r a ) i 。n 曲“( ，) = ( 列m ) i 。n 品“( x ，f ) ) ( i i ) 当c 0 ，u t + l u o ( 0 ) 时，有 ( ，m ，f ) a 。x 西“( 工，) 0 ) 且存在( ，t o ) 绋使得 “( 而，岛) 2 ( 髹备“o ，) ( 列m ) i 。n g u ( x ，f ) ) ， 则在g 中u ；c ( i i ) 当c 0 ，u t + l u 0 ( 0 ) 且存在( 确，t o ) g 使得 “( 嘞，t o ) = ( 叫m ) a 嘞x 甜( 工，。) o ( ( 列m ) i e o r n “( 工，f ) o ) ， 则在g 中u ；c 有了强极值原理作为基础，我们就可以给出解决实际问题时经常用到的比较原理 ( 1 ) 单个方程的比较原理 1 2 2 反应扩散系统的预各知识 考虑如下初边值问题 = 害也叫咖) ， b u = g ( x ，f ) ， ( x ，t ) a t ： o ，f ) s r ： ( 2 9 ) u ( x ，0 ) = 烈x ) ，x q 其e p l u = 一吻( 工，f ) ，+ 6 l ( x ，咖+ c ( x ，t ) u ，呀= a j i ( i ，j = l ，2 ，甩) ，l 是 j ，j = l i = 1 一致椭圆算子，厂关于越是c 1 的，关于x ，t 是h 6 l d e r 连续的 定理2 3 假设“，v c 2 , 1 ( q t ) n c ( o r ) ，若满足 p u - f ( x ，t ，“) p v f ( x ，t ，v ) ，( x ，f ) q ； b u b v ， ( x ，t ) 品； u ( x ，0 ) v ( x ，0 ) ，x 五 则有u ( x ，f ) v ( x ，f ) 又若u ( x ，0 ) v ( x ，0 ) ，则u ( x ，t ) v ( x ，t ) ( 2 ) 方程组的比较原理 考虑如下初边值问题 百o n i + 地= z ( x ，f ，u 1 ，屹) ，( x ，f ) 绋； e “，= g ( x ，f ) ，( x ，t ) s r ； ( 2 1 0 ) “，( x ，o ) = 谚( x ) ， 其中厶“= 一宝螋( x ，咖h + 笔巧。( x ，f ) + c ( x ，f ) ，n i u = 口 堕o n + b j u i l 一致 i , x = l1 = 1 椭圆算子，z y i y - u 是c 1 的，y i y x ，t h 6 l d e r 连续的，f = 1 ，2 定理2 4 假设，关于叶( f ，) 是拟单调增的，且满足 警+ 厶坼一z ( x ，f ，“。，“：) 百o v i + 厶v z ( z ，f ，v l ，v 2 ) ，( x ，f ) 9 ； e 坼ev f( x ，t ) s r ： 坼( x ，o ) v l ( x ，0 ) ， 2 反应扩散系统的预备知识 则有坼( x ，f ) v j ( 工，f ) 又若坼( 工，o ) v f ( x ，o ) ，i l u ，( x ，) v ( x ，f ) 若z 关于叶( f ，) 是 拟单调减的，i , j = 1 ，2 ，只需将第1 个条件换成 鲁+ 厶“一石( z ，f ，v 2 ) 百o v i 十厶v 1 一石( x ，f ，v l ，屹) ， 和鲁+ 厶屹嘣蝴蚓鲁+ 厶v 2 一f z ( x , t , u l , v 2 ) 其他条件不变，即可得到同样结论 2 3 2 研究问题的基本方法 对于非线性抛物型方程( 组) 的研究，一般主要采用以下几种方法： a 上、下解方法它是讨论解在有限时刻爆破的有力工具若能找到方程( 组) 的 一个在有限时刻爆破的下解，再利用比较原理即可证明方程( 组) 的解( 若存在) 一 定在有限时刻爆破这种方法的技术性比较强； b 凸性方法借助于凸函数的性质讨论爆破问题，它对解的光滑性要求比较高； c 能量方法定义一个能量函数，满足一定的初值条件，使得解在有限时刻爆破， 需要用很强的估计有时可以结合第特征函数共同处理爆破问题 在本文中，我们采用上、下解方法研究系统解的性质上、下解方法实际上是一种 单调方法，事实证明，上、下解方法在研究一些具体的反应扩散方程整体解及平衡解 的存在性，以及平衡解的稳定性时，是一种既有效又简单的方法上、下解方法的关键 之处在于构造上、下解，也是难点之处常见的方法有：求常数上、下解；利用线性问 题的解构造上、下解；利用第一特征函数构造上、下解；利用相应的常微分方程构造 上、下解；利用变分法求下解等等 下面我们引入上、下解的基本概念和定理 ( 1 ) 单个方程情况 定义2 6 假设u ( x ，f ) ，u ( x ，t ) c 2 , 1 ( 岛) n c ( q r ) ，若满足 p u ( x ，f ) 一f ( x ，t ，“) 0 尸丝( x ，f ) 一f ( x ，t ，些) ，( x ，t ) 6 岛； b u - g ( x ，f ) 0 b u _ 一g ( x ，f ) ， ( x ，f ) s t ； u ( x ，0 ) 一矽( x ) 0 u ( x ，0 ) 一烈工) ，x q 则称五( x ，f ) ，u ( x ，t ) 分别为问题( 2 9 ) 的上、下解 根据最大值原理和比较定理，我们容易得到如下定理： 定理2 5 设五( x ，f ) ，u ( x ，t ) 分别为问题( 2 9 ) 的上、下解，且，关于“是c 1 的， 1 4 2 反应扩散系统的预备知识 关于x ，t 是h i s l d e r 连续的，则问题( 2 9 ) 存在唯一的解u ( x ，t ) ，且满足 u ( x ，t ) u ( x ，f ) 三兰( x ，f ) ( 2 ) 方程组情形 定义2 7 假设磊( x ，f ) = ( 五i ( x ，f ) ，五2 ( 工，f ) ) ，u ( x ，t ) = 也1 ( x ，r ) ，丝2 ( x ，f ) ) ，若z 关于 u j ( i j ) 是拟单调增的，且满足 警+ 啦嘲撕u - ，一u z ) o 鲁+ 地一f i ( x , t , _ u l , _ u 2 ) ，( 列) g ； 马“，一g ( x ，f ) 0 马些一g ，( 工，t ) ( x ，f ) s t 。 u j ( x ，0 ) 一谚( x ) 0 u ，( x ，0 ) 一破( x ) ， x q 则称“( z ，f ) ，些( x ，t ) 分别为问题( 2 1 0 ) 的上、下解若z 关于“，( f j ) 是拟单调减的， f ，j = 1 ，2 ，只需将第1 个条件换成 百o u l + 西吲硝，一u o 鲁+ 地叫蹦，孙一u ：) ， 和 警+ 啦咧枷川u ) o 鲁+ 州觚u ， 其他条件不变 根据最大值原理和比较定理，我们容易得到如下定理： 定理2 6 设 石，正) 在耳可是拟单调增的，z y i y - u j ( i ，= 1 ，2 ，i j ) 是c 1 ， 又设五( x ，f ) = ( _ 1 ( x ，f ) ，u z ( x ，f ) ) ，些( x ，t ) = 也l ( x ，f ) ，u 2 ( x ，f ) ) 分别为问题( 2 1 0 ) 的非负 上、下解则问题( 2 1 0 ) 存在唯一正解“( x ，t ) = ( u l ( x ，f ) ，u 2 ( x ，f ) ) ，满足 “一( x ，t ) u t ( x ，f ) 型( x ，f ) ， 其中i = 1 ，2 关于上、下解的有序性的理论及证明，见 3 7 1 q b 第一章和第二章内容，或【4 1 】中第 三章第四节以及第五章第二节的有关内容 当局部解存在时，解的最大存在时间是有限的还是无限的( 即解是在有限时刻 2 反应扩散系统的预备知识 b l o w - u p 还是整体存在) ，在最大存在时间r 0 附近，解的状态( 爆破速率、爆破p r o f i l e 等) 是我们感兴趣的问题处理这类问题的一种常用方法就是上、下解方法，该方法是利 用比较原理，通过构造问题的整体上解和非整体下解，来证明方程组解的整体存在和 不存在性以及临界指标等问题比较原理是本文的理论工具，将贯穿于本文各章节 1 6 3 系统解的局部存在性 3 系统解的局部存在性 在本章，我们利用正则化方法讨论了本论文所要考虑的两个退化的抛物系统，得 到解的局部存在性 3 1 问题简介 从本章开始，我们考虑下面两类退化的非线性抛物型方程组的齐次d i r i c h l e t 初边 值问题： 和 u 。= a u _ + v 1i n 4 ( 矗+ w ) ，( 算，t ) q x ( o ，r ) ； m = v 啦+ w 也i n ，( 厅+ 甜) ，( x ，f ) q ( 0 ，r ) ； ，悱= a w 唧+ “唧i n ，( 而+ v ) ，( 工，t ) q x ( o ，r ) ； ( 3 1 ) u ( x ，f ) = v ( x ，f ) = w ( x ，f ) = o ，( x ，f ) 1 9 q ( 0 ，丁) ； u ( x ，0 ) = u 0 ( x ) ，v ( x ，0 ) = v