（控制理论与控制工程专业论文）小波变换在细胞图像边缘检测中的应用研究.pdf

小波变换在细胞图像边缘检测中的应用研究控制理论与控制工程专业研究生钟锐指导教师黄华细胞图像中的边缘信息是极为有用的，它是迸一步迸行细胞图像分割的基础，直接影响到细胞图像识别与分析的正确性。传统的边缘检测算子大都是基于边缘的灰度不连续性和用梯度局部最大值或二阶导数过零点来检测边缘，容易受噪声干扰。尺度空间滤波能在大尺度下抑制噪声可靠的识别边缘，在小尺度下精确定位，最后由粗及精地进行边缘聚焦而得到边缘的真实位置。但是传统的基于g u a s s 尺度空问的c a n n y 算子计算量大，定位不够精确。基于小波变换的多尺度边缘检测方法弥补了上述不足。小波变换是8 0 年代后期发展起来的一种变换域信号处理方法，具有时域和频域上良好的局部检测能力和多分辨率分析的特点，从而被誉为“数学显徽镜”，这是我们将小波变换应用于细胞图像边缘检测的理论依据。本文中我们用二次样条小波作为小波基函数，对细胞图像进行二维二进小波变挨，计算小波交换结果的局部模极大值点，得到各个尺度下的细胞图像的边缘，计算细胞图像边缘检测的最优尺度，最后得到综合了各个尺度特征的较好的细稳图像的边缘。文中，我们不仅从实际工作中阐明t - - 次样条小波边缘检测算予的优越性，还从数学表达上推导7 - - 次样条小波是基于c a n n y 最优准则的摄优边缘检测算子。关键词：多尺度边缘检测小波变换二次样条小波c a n n y 最优边缘检测准则细胞图像t h ea p p l i c a t i o nr e s e a r c ho fc e l li m a g ee d g ed e t e c t i o nu s i n gw a v e l e tc o n t r o lt h e o r ya n dc o n t r o le n g i n e e r i n gg r a d u a t e ：z h o n g r u ia d v i s o r ：h u a n g h u at h ee d g ei n f o r m a t i o no fc e l li m a g ei sv e r yu s e f u l ，w h i c hi st h eb a s i so fc e l li m a g es e g m e n t ，i tc a l la f f e c tt h ec o r r e c t n e s so fc e l li m a g er e c o g n i t i o na n da n a l y s i sd i r e c t l y m o s t l y , t r a d i t i o n a la r i t h m e t i co fi m a g ee d g ed e t e c t i o nd i s t i l le d g eu s i n gg r a d i e mm a x i m u mo rz e r o - c r o s s i n gw h i c hb a s eo ng r a yd i s c o n t i n u o u s n e s so ne d g e t h e ya l ea f f e c t e de a s i l yb yn o i s e s c a l es p a c ef i l t e rc a nr e s t r a i nn o i s ea n dr e c o g n i z ee d g er e l i a b l yi nb i gs c a l e ，a n dc a nc o n f n - mp o s i t i o n sa c c u r a t e l yi ns m a l ls c a l e ，a tl a s tg e tt h et r u ep o s i t i o n so f e d g eb yf o c u sp r o c e s s i n gf r o mb i gs c a l et os m a l ls c a l e b u tt r a d i t i o n a lc a n n ya r i t h m e t i cb a s e do ng u a s ss c a l es p a c eh a v es h o r t c o m i n g ss u c h 嬲b i gc o m p u t i n ga n dc o n f i r m i n gp o s i t i o n si n a c c u r a t e l y i m a g ee d g ed e t e c t i o nb a s e do nm u l t i r e s o l u t i o nw a v e l e tt r a n s f o r i l lm a k e su pt h e s es h o r t a g e sb e f o r e w a v e l e tt h e o r yh a sg o o dl o c a li n s p e c ta b i l i t yi nt i m er e g i o na n df r e q u e n c yr e g i o n ，a n dt h ec h a r a c t e rm u l t i r e s o l u t i o i l t h e s ea l et h e o r yb a s i st h a tw a v e l e tt r a n s f o r mi sa p p l i e dt oc e l li m a g ee d g ed e t e c t i o n ht h i sp a p e r , w ed e f i n eq u a d r a t i cs p l i n ea sw a v e l e t ，d ot h et w od i m e n t i o n a ld y a d i cw a v e l e tt r a n s f o r mo nc e l li m a g e ，a n dg e tl o c a lm o c l n l u sm a x i m af r o mw a v e l e tt r a n s f o r m sr e s u l t s q t l o d u h i sa n da n g l e s ，s ow ec a l lf i n dt h ec e l li m a g e s 酣g ei m a g ei ne a c hs c a l e s ，a tl a s t ，w ec o m p u t eo p t i m u ms c a l eo f c e l li m a g ee d g ed e t e c t i o n ，a n dr e c e i v eag o o de d g ei m a g ew h i c hs y n t h e s i z et h ec h a r a c t e r si ne a c hs c a l e i nt h i sp a p e r , w en o to n l yi l l u s t r a t et h es u p e r i o r i t yo fq u a d r a t i cs p l i n ew a v e l e te d g ed e t e e t i o n sa r i t h m e t i cf r o me x p e r i m e n t a lw o r k ，b u ta l s op r o v eq u a d r a t i cs p l i n ew a v e l e ti so p t i m u me d g ed e t e c t i o n sa r i t h m e t i cb a s e do nc a n n yo p t i m u mc r i t e r i o n so f e d g ed e t e c t i o n k e y w o r d ：m u l t i r e s o l u t i o ne d g ed e t e c t i o n , w a v e l e tt r a n s f o r m ，q u a d r a t i cs p l i n ew a v e l e t ，c a n n yo p t i m u mc r i t e r i o n so f e d g ed e t e c t i o n ，c e l li m a g e四川大学硕士学位论文1 前言1 1 图像分割及边缘检测图像中包含了人类所需要的感知世界，进而认识世界、改造世界的大部分信息量。图像处理就是对图像信息进行加工处理，以满足人的视觉心理和实际应用的要求1 2 j 。图像分割是数字图像处理中的关键技术之一。图像分割是将图像中有意义的特征部分提取出来，其有意义的特征有图像中物体的边缘、区域等，这是迸一步进行图像识别、分析和理解的基础【3 l 。图像分割中存在的困难在于图像数据的模糊和噪声的干扰。到目前为止还没有一种或几种完善的分割方法可以按照人们的意愿准确地分割任何一种图像。分割结果的好与坏，或者正确与否，也还没有一个统一的评价判断准则，分割的好坏必须从分割的效果和实际的应用场景来判断。在人类研究图像的历史中，积累了很多经典的图像分割方法，主要分为两大类：边界方法和区域方法。包括四种技术：并行边界分割技术、串行边界分割技术、并行区域分割技术和串行区域分割技术。图像分割的一个重要途径是通过边缘检测，即检测灰度级或者结构具有突变的地方，表明一个区域的终结，也是另一个区域开始的地方。这种不连续性称为边缘。不同的图像灰度不同，边界处一般具有明显的边缘，因此，利用边缘特征可以分割图像。边缘检测和分割是图像分析的经典研究课题之。1 2 生物细胞图象分割技术的研究前景在生物细胞结构和形态变化的研究中，最重要、避困难的是生物细胞图像中细胞形态的识别和分割，急切需要对缎跑内各细胞器结构变化、大分子分布变化进行量化分析与处理。另外生物细胞之间信号传输机制、能量交换、信息四川大学硕士学位论文处理原理的探讨和病理学各种疾病发展的诊断研究中，同样需要这种量化分析。其主要手段之就是生物细胞图像的分割，这是生物研究逐步由定性描述走向定量研究的主要手段。一般图像分割就是从复杂图像场景中分离出感兴趣目标物的方法，是生物切片图像中细胞信息提取、分析与定量研究的关键，也是进行细胞三维形态结构重建研究的关键。一个好的分割方法应该是：能进行细胞或其内部细胞器的容积计量分析；能进行形态分析( 如能标记或确定形态随时间变化：能计算形态变化量) ；而且还具有分割算法直观，可视化程度高，利于判断和确定细胞组织结构变化等特点。生物细胞图像自动分割问题的解决对疾病诊断、细胞信息定量分析、细胞内信息的传递、细胞变异研究、细胞显微、超显微结构的三维重构实现具有不可低估的影响，只是当前还不能完全实现全自动图像分割，所以，在生物医学图像处理中，细胞图像的分割算法研究仍然是国内外研究的热点课题f 1 1 。1 3 生物细胞图象分割技术的研究现状及发展生物细胞图像分割技术一般利用生物细胞图像特有的统计特性、图像中细胞及细胞器的轮廓、边缘和纹理等视觉特性进行分割。传统的分割方法有基于灰度特征的阈值分割法、基于边界提取的分割技术、基于边缘检测和边缘连接的分割技术、基于区域的分割方法等【j 6 ，”。基于灰度特征的阈值分割法主要根据细胞图像灰度分布直方图，通过设置阈值把像素点按灰度级分为内部点集和外部点集，实现细胞图像分割。常见的有全局单阈值法、双闽值法、自适应阈值法。这种方法比较简单，计算量小，算法上容易实现，对目标和背景对比度反差较大图像这种分割很有效，而且总能用封闭、连通的边界定义不交叠的区域。但阈值的确定主要依赖于灰度直方图，很少考虑图像中像素的空间位置关系，因此当背景复杂，特别是在同一背景上重叠出现若干个研究目标是，容易丧失部分边界信息，造成分割的不完整。基于边界提取的分割技术的基本思想是边界一般由细胞图像中像素灰度的反差或不连续产生，于是利用边界的梯度变化性质直接提取边界。常见的有边2四川大学硕士学位论文界跟踪法、k r i c h 算法。该算法对噪声比较敏感，而且易受伪轮廓或边界空白的干扰，不能保证得到闭合连通的边界。在图像中细胞边界表现为灰度的不连续性，分割图像灰度的突变点就是边缘像素点。基于此，基于边缘检测和边缘连接的分割算法通过邻域像素之间的运算求取边缘点，将得到的边缘点连接起来就得到一条闭合的连通边界。常见的算法有梯度算子边缘检测算法和拟合算子。梯度算子中常见的有r o b e r t s 算子、s o b e l 算子、l a p l a c e 差分算子、p r e w i t t 算子、m a r t 算法( g u a s s - l a p l a c e算子) 等。r o b e r t s 算子适用于边缘陡峭的噪声较少的图像分割；具有各向同性特点的l a p l a c e 差分算子与s o b e l 算子、p r e w i t t 算子一样对噪声干扰较多且灰度逐渐变化的图像分割效果比较好；由于m a r r 算予具有较好的平滑作用，对有较多噪声的图像的边缘检测效果优于以上几种算子，但平滑的同对降低了图像的对比度。这些算子对于灰度变化复杂、细节丰富的图像，以上算子算法很难检测出边缘，特别是有噪声干扰的时候。拟合算子对有较大噪声和高纹理细胞图像处理效果比较好，但由于需要记录教多的边缘结构信息，计算量大，算法复杂，而且对边缘类型要求较高。基于区域的分割方法是近年来人工智能领域特别是计算机视觉研究中十分关注的图像分割算法，常见的有区域增长分割方法和区域分裂、聚合分割算法，该算法对有复杂物体定义的复杂场景分割或者对自然景物的分割等类似先验知识不足的图像分割，效果比较理想。其抗噪性能比较好，但计算花销大，当预定误差值选取不当时容易误判，且易受分析目标内部组织之间的重叠干扰影响。该方法适合于那些边缘光滑、无重叠的细胞图像的分割。近些年来，由于数学各分支在理论和应用上的逐步深入，人们将小波分析、分形理论、数学形态学、模糊数学、遗传学算法等应用在图像分割领域，生成了不少新的分割算法。基于数学形态学的分割算法能够精确定位边缘，抑制噪声效果比较好，但是可能出现孤立点，得不到闭合连通的边界；基于模糊数学的分割算法对大场景的图像分割效果好；基于遗传算法的分割方法主要用于在阈值分割方法、区域生长法中改进性熊；还存在许多结合细胞生化属性的分割方法等。四川大学硕士学位论文1 4 本文所做的工作小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m ) 是8 0 年代后期发展起来的应用数学分支。适当选取基本小波，使得小波函数在时域上为有限支撑，其傅立叶变换在频域上也比较集中，使得小波在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，利于检测信号的瞬态和奇异点；具有多分辨率的特点，可以由粗到细地逐步观察信号观察。因此被誉为分析信号的数学显微镜。我们将小波变换应用在生物细胞图像的边缘检测中。在各个尺度下，对细胞图像进行小波变换。根据相角和模值找到细胞边缘对应的局部模极大值点陬1 0 ，l ”。由于噪声的存在，选择合适阈值去掉那些由噪声引起的局部模极大值点。在大尺度下小波对细胞边缘的检测淹没在噪声的平滑中，我们可以得到粗略的边缘位置，而小尺度下小波对噪声的平滑性下降，检测得到的边缘细节比较多，选择一定的规则由粗及精进行边缘匹配就可以输出我们需要的细胞边缘。4四川大学硕士论文2 小波变换的基本原理1 9 8 1 年法国物理学家m o r l e t 在分析地震数据时首先提出t d , 波变换的概念。1 9 8 6 年m e y e r 和他的学生提出了多尺度分析的思想。后来m a l l a t 提出了多分辨分析的概念，并建立了著名的m a l l a t 快速小波算法，从而使小波从理论走向了宽广的应用研究。2 1 傅立叶变换和小波变换f o u r i e r 分析是数学分析中最古老的学科之一。早在1 8 2 2 年的时候，法国数学家f o u r i e r 就提出了f o u r i e r 理论。人们在考虑f o u r i e r 分析的时候通常指的是傅立叶变换和傅立叶级数。傅立叶变换是众多学科领域中不可缺少的分析工具，特别是在量子物理、信号处理、图像处理等方面。但是傅立叶交换是一种全局变换，它使得人们能分别从信号的时域和频域观察信号，而不能将二者有机的结合起来，因而无法表述信号的时频局部特性，只适用于平稳信号的分析。为此19 4 6 年d e n n i sg a b o r 提出了短时傅立叶变换( s h o r t - t i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ) 。短时傅立叶变换引入一个时间局部化的窗口函数，将信号划分成许多小的时间间隔，再对每个时间间隔进行傅立时变换，来确定该时间间隔存在的频率。窗口越小，分辨率就越高。由于窗口函数是固定的，其时宽和频宽也一定，使得短时傅立叶变换只有单一的分辨率，如要改变分辨率就必须修改窗口函数。对非平稳信号来说，短时傅立叶变换就不能兼顾到信号变化剧烈需要较高的时问分辨率和信号变化缓慢时要求的较高频率分辨率。小波变换 s a 4 1 的基本含义是：把某一函数y ( z ) ( 满足广v ( x ) d x = 0 ) 作为由基本小波 i p 母小波( m o t h e rw a v e l e t ) 】，移位b 后，再在不同尺度口下与待分析信号厂( x ) 作内积：四川大学硕士论文w t f ( b , a ) = ”m ) p ( 等) a x 厂r ( 腰) ( 2 1 1 )其中基小波及其f 0 嘶e r 变换驴都是分别用f ，国，口给出中心和半径的窗函数。信号( z ) 被限制在“时间窗”的范围内，即协4 - a t - a a y ，西+ a t + 口y j其中窗的中心在b + 口，窗的宽度为2 北，。因此l 绺口) 包含有时间窗内的信息。这在信号分析中称为“时间局部化”。如果我们设：刁( 妨= v ) ( 0 2 + + ) 。那么野是个中心在0 ，而宽度由，给出的窗函数，由p a r s e v a l 恒等式 f ，g ，= 去 ( 厂，g e r ( 腰) ，夕，雪分二玎别是它们的f o u r i e r 变换) 公式( 2 1 1 ) 的积分小波变换成为一! 一眄p 驴警夕( 如一生1 7 1 茹甜( 2 - 1 - 2 )因此，除了倍数口i 口l2 2 r r 和用时间窗的位移量决定的一个线性相位位移p ”。之外，同样的量聊- p ，日) 还给出了具有个“频率窗”e 譬一b 譬+ 扣的信号坤) 的频谱夕 ) 的局部信息，这个窗的中心在国a 而宽用2 a t a 给出，这称为“频率局部化”。使公式( 2 1 1 ) 与( 2 1 2 ) 对等，则有一个“时间一频率窗” 6 + 西一以一+ 口f + 如矿】等一昙劬譬+ 三】c 2 s ，因为必须始终考虑正频率，基小波矿应该选取使矿的中心是一个正数。实际上，这个正数与正尺度参数口一道以这样的方式选择：c o + a 是所研究的“频带”呼一昙t ，等+ 吉厶p 1 的中心频率。于是，中心频率与频带宽度之比为6四川大学硕士学位论文国垡：叠l2 2 a ，d这个比值和中心频率豹位置无关。称为“常数q ”分折。由时间频率窗公式( 2 ，1 3 )可以得到，对于大的中心频率国+ a ，窗的宽度变窄；对于小的中心频率国a ，窗的宽度变宽( 如图2 。1 所示) ，面窗的面积是圆定不变的。彳口l白+ q f 岛+ 吃广图2 1 时间一频率窗由此可见，小波分析方法是一种窗口大小( 即窗口的面积) 固定但形状可以变化，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。这种特性符合低频信号变化缓慢、高频信号变化迅速的特点，使得小波变换对信号具有自适应性。因此小波变换优于傅立叶变换的地方在于它在时域和频域同时具有良好的局部化性质。与短时傅立叶变换相比，小波变换则有更好的时频窗口特性。7四川大学硕士学位论文2 小波变换的多分辨率分析任何小波把h i l b e r t 空间上2 ( 衄) 都能分解成闭子空间哆( ，z z ) ( 令z z表示整数的集合：z z = ( - ，一1 ，0 ，1 ， ) 的某种直接和。在这种意义上，每个子空间氍是函数集合虬，i ( x ) = 2 y ( 2 x t ) ( k 忍) 的线性张成在r ( 豫) 中的闭包，即= c o s l 2 ( 埘显然，三2 ( 豫) 能够分解为空间眵的直接和：l 2 ( 腰) = 一o 虻lo o o a 昭在这个基础上，对于每个f l 2 ( 腰) 都有一个唯一的分解厂( 工) = + g l ( x ) + g o ( 力+ g i ( x ) + 其中g ，对于每个_ ，z z 成立。对于每个，z z ，考虑l 2 ( 侬) 的闭子空间一_ o 一2o 一-j z z这些子空间v ，明显具有下述性质：( 1 ) ck lcr ockc ( 2 ) c l o s f ( u ) = l 2 似)( 2 2 1 )( 2 2 2 )( 2 2 3 )( 2 2 4 )( 3 ) n 巧= ( o j e z z( 4 ) “= 巧o ，_ ，z z( 5 ) ，( 功巧f ( 2 x ) “，_ ，e z z1( 6 ) 推论：j r e ，o + 寺巧，j e z z因此，与满足n = o ) ，的子空间大不相同。像在( 1 ) 中描述的那样，子空间的序列是嵌套的，并具有性质：像在( 2 ) 中描述的，l 2 ( 豫) 中的每8四川大学硕士学位论文个函数f ( x ) 能够用它在y ，中的投影只，非常接近的去逼近f ( x ) 。另一方面，像在( 3 ) 中所保证的，通过减小，投影p ，能够具有任意小的能量。( 1 ) 一( 3 ) 没有描述的这些空间最重要的蕴涵性质是当，寸m 时，只厂的更大变化被除去。事实上，这些变化是逐层剥离的，即按变化“速率”( 也可称为“频带”) 减小顺序剥离，并且存放在像( 4 ) 的补空间，。这些性质能够用性质( 5 ) 非常有效的做到。如果参考子空间用单个函数矿( l z ( i r ) 在意义2 c l o s t 2 ( 埘( 2 2 5 )上生成，其中九1 ( = 2 。”( 2 7 x 一i ) ( 2 2 6 )那么，所有的子空间巧也可以用同一个妒生成( 与( 2 2 。1 ) 生成一样) ，即：_ 2 c l o s l 2 ( 删，k e z z( 2 2 7 )因此由巧到+ 。黟的剥离能够有效定成。那么，一个函数( x ) 上2 ( 皿) 被认为生成一个多分辨率分析( m r a ) 3 - 1 4 1 ，如果它生成在( 2 2 7 ) 意义上满足( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 5 ) 和( 6 ) 的闭子空间的个嵌套序列，使 妒蛐) 形成的一组r i e s z 基。这里， 丸j ) 是的一个r i e s z 基，必须存在两个常数a 和b ，且0 a b ，使刎f b 惶参叫1 2 帆刊bl l j 一o - l对于所有双无限平方可和序列也 ，即( c ” 嵋= ic 肚1 2 ! 受蟛2 ( x 1 ) x 2 ) r 露2 ) ，也就是u 矿o = r 职2 )冉对( 4 ) 二尺度特性：设八_ ，工：) 嘭”，则以等，争e p 留( 5 ) 位移不变性：设，( _ ，x 2 ) 巧”，则八而一栉l ，x 2 一打2 ) 砰2 ( 啊，1 2 格2 ) 。其中月，h ：是x ，膏：方向上离散化位移的序号。再假设二维空间一2 ( ，工：) 是可分离的，也就是说它可以分解成两个一维空间吖2 ( 工) 和吖2 0 ：) 的张量乘积：吩2 ( 一，x 2 ) = y j 2 ( _ ) o 2 ( x 2 )( 2 3 6 )1 1四川大学硕士论文上式表明了空间的可分离性，那么如果低通的尺度函数妒( x ，工：) 是瑶2 ) ( _ ，x ：)空间内的整数位移正交归一基，则矿( ，x ：) 必可分解成：( x l ，z 2 ) = 庐( x 1 ) ( 工2 )且p ( x 。) 妒( x ，一一) 出= j p ( x ：) ( 屯一”：) 出：= 瓯：r l ，n 2 z = 2同理，如果小波函数矿( _ ，x ：) 是补空间啄2 ( 五，x ：) 空问内的整数位移正交归一基，则y ( 工，x ：) 必可分解成：y ( x l ，x 2 ) = 矿( x i ) 吵( z 2 )且p ( x 。) y ( x 。一啊) 出。= 瓯，j 妒 ：) 矿( x ：一n ：) 出：= 瓯：n l ，n 2 z z 2如果把2 ( 而，z ：) 的补空间记作叫2 瓴，x ：) ，0 ( ) 8 = l ，2 】的补空间记作吖”( 一) ，则有：嘴( 毛，而) = 巧2 ( 而，x 2 ) o 叫2 ，盖：)( 2 3 7 a )y 妈( x ，) = 巧”( x 。) o 阡r ”( x )( 2 3 7 b )由式( 2 3 6 ) 和( 2 3 7 ) 可以得到嘴( x l ，x 2 ) = 噬? ( 一) 。嘴( x ：) = 盼1 ( ) 。吖1 ( 一) 】。盼1 ( x ：) 。吖1 ( x ：) 】展开后：嘴 ”为卜咚苗泛篙嚣。装夥甍篡嚣鳅】c z 3 s ，o 盼”( _ ) o 町”g ：) j o 孵”( ) 固吖”( x ：) j。由式( 2 3 6 ) ：嘭2 ( _ ) p 嘭2 ( x 2 ) = 巧2 0 l ，x ：) ，它的正交归一基是办川( 一) 以m 0 2 ) = 2 1 ( 2 - 。x 。一一) 妒( 2 1 x 2 一n 2 ) 。由于。( 一) 和庐。2 ( z ：) 都是低通的尺度函数，因此矿j 2 ( 毛，屯) 是平滑逼近的低通空间。对比( 2 3 8 ) 和( 2 3 7 ) 就可以知道：吖2 ( 而，j ：) = ”“) o 彤”沁) j o 孵”( _ ) o 形1 ( x ：) j o 孵”) 固形”( 屯) j由上式可知，补空间矽j 2 1 ( 五，如) 由三部分组成：第一部分是y ( 毛) o o ：) 。它的正交归一基是：1 2四川大学硕士论文，川( z 1 ) 矿，一2 ( x 2 ) = 2 一。庐( 2 一x l 一以1 ) 矿( 2 一x 2 一，1 2 ) 。第二部分是缈j ”( ) o 矿( z ：) 。它的正交归一基是：y m l ( x i ) 庐m 2 ( x 2 ) = 2 一y ( 2 吖毛一九i ) 妒( 2 吖x 2 一玎2 ) 。第三部分是肜尸( 一) o j ”( x ：) 。它的正交归一基是：矿m l 1 ) y m 2 ( x 2 ) = 2 吖y ( 2 叫工l 一啊) y ( 2 叫x 2 一竹2 ) 。这三部分的正交归一基中都至少包含了一个带通的y ( 毛) 和( x ：) ，因此它们都是带通的。也就是说这三个部分反映的都是高通细节。总之，如果矿j 2 ( x 。，x ：) ，船是r 职2 ) 的一个可分离的多分辨率剖分，其基本尺度函数是妒( z 。，x ：) = 妒( 一) ( x ：) 。又y ( x ，) 是与庐( 毛) 对应的一维小波函数，则由以下三个基本小波吵1 ( x i ，x 2 ) = 庐( x 1 ) y ( x 2 ) ，u ( 2 ) ( z l ，x 2 ) = y ( x 1 ) 妒( x 2 ) ，矿3 ( x i ，x 2 ) = y ( 石1 ) y ( x 2 )作位移和伸缩便组成了j 2 ( 而，也) 的正交归一基：【2 - j 妒1 ( 2 一x l 一糟l ，2 - i x 2 一玎2 ) ，2 一y 2 ( 2 - j x l 一一l ，2 一x 2 一玎2 ) ，2 一y 3 ( 2 一。z l 一力1 ，2 一x 2 一疗2 ) 】疗i ，r 1 2 z z 2以上分析结果说明，在可分离情况下，二维多分辨率可分两步进行。如图2 2 所示。先沿一方向分别用妒( 而) 和妒 ) 作分析，把f ( x 。，x ：) 分解成平滑逼近和细节这两部分，然后对这两部分再沿x ：方向分别用妒( x ：) 和矿( x ：) 作类似分析。这样得到四路输出为：经( _ ) 驴( x ：) 处理所得到f ( x 。，x ：) 的第一级平滑逼近4 l f ( x l ，x 2 ) ；其余三路为细节函数d f ”f ( x 1 ，x 2 ) ，d f ”f ( x l ，x 2 ) ，硝”f ( x l ，x 2 ) 。，0 l ，x 2 )a t ( 而，x 2 )d f ( x l ，x 2 )码，o l ，x j )蹦1 厂( x l ，x 2 )d f 2 ，( 而，x 2 )硝3 厂( 丑，而)图2 2 可分离情况下的二维多分辨率分析芸一一四川大学硕士学位论文假设( 工) ，y ( 工) 的对应频谱o ( o j ) ，“e ( c o ) 是理想的半带低通及高通滤波器，则a 。f ( x 。，x ：) 反映的是x 。，x ：两个方向上的低频成分，d f ”f ( x ，x ：) 反映的是水平方向的低频成分和垂直方向的高频成分，d f ”f ( x 。，x ：) 反映的是水平方向的高频成分和垂直方向的低频成分，而d f ”f ( x 。，屯) 则反映着x ，x ，两个方向的高频成分。图像之所以适于采用多分辨率分析是因为它的结构和纹理可以分别表现在不同分辨层次上：轮廓信息可以在低分辨率下提取边沿来提取。纹理信息则在较高分辨率下表现。所以小波变换是提取图像边缘的有效工具。1 4四川大学硕士学位论文3 基于二维小波变换的图像边缘检测3 1 小波变换应用于边缘检测的基本原理由信号的奇异点1 3 ，14 1 ( s i n g u l a r i t y ，如过零点、极值点等) 在多尺度上的综合表现来表示信号的突变或瞬态等特征是小波变换引人注目的一个应用领域。在这里我们将描述按卷积定义的小波变换。图3 1 按卷积定义的小波变换式( 2 1 1 ) 的卷积形式为：w t o f ( x ) = 三陟( 6 ) 矿( 型) 拍= ，( y 。( 功( 3 1 1 )口。d式中，y 。( x ) = 三矿( 三)( 3 1 2 )这就是把小波变换看成是信号，( 工) 通过冲激响应为虬( x ) 的系统后的输出。先描述两个基本概念：设口( x ) 【p o ) a x 0 ， = o ) 事o j 是某一起平滑作用的低通函数，( 1 ) 信号经过该平滑函数平滑后再求导，与直接用平滑函数的导数对信号作用是等效的。( 2 ) 其各阶导数( 比如皇呈，等孚) 必定是带通函数，斑执那么由傅立叶变换的微分定理可知他们的频率特性在= o 处必定有零点，因四川大学硕士学位论文此，矿( 1 ) ：牢，缈( ：) _ 粤，都可以用作小波变换的基本小波。a r cc z r 一由此，我们有以下结论：( 1 ) 如果y 1 ( x ) 是某一低通平滑函数o ( x ) 的阶导数，则可以用y 1 ( x ) 对f ( x ) 做小波变换。此时小波变换的零点正是信号f ( x ) 被o ( x ) 平滑后结果的极值点所在：而小波变换的极值点则是信号f ( x ) 被e ( x ) 平滑后结果的转折点，在极限情况( 阶跃) 下它就是阶跃点。( 2 ) 如果y 2 ( x ) 是平滑函数曰( x ) 的二阶导数，则可用缈2 ( 砷对f ( x ) 作小波变换。此时小波变换的零点是信号厂( 被口( 功平滑后结果的转折点，在极限情况( 阶跃) 下也就是阶跃点。这样的结论对基本小波的伸缩( 1 ) 。( z ) = 土m ( 与，( “。( z ) ：1 ( 2 ( 兰) 也口a口a是同样适用的。由以上分析，我们可以知道，信号突变点的位置有时是由小波变换的过零点反映的，有时是由其极值点反映。由于过零点易受噪声干扰，而且有时过零点反映的不是突变点，而是信号在缓慢变化区间的转折点，所以常常根据极值点进行检测而不是过零点。我们在检测信号边缘的时候适宜采用妒( 1 ( x ) 型的反对称小波。3 2 用二维二进小波变换检测图像物体的边缘由于边缘是图像信号变化率最大处( 也就是转折点) ，因此，由上一节我们选择平滑函数的一阶导数作为小波函数。设曰( x 。，x ：) l j p ( x i , x 2 ) a x 。d x ：o j 是二维平滑函数。将它沿x l ，x 2 两个方向上的一阶导数作为两个基本小波：妒m ( x i ，x 2 ) ：掣( 3 2 1 )1 6四川大学硕士学位论文那么：式中，y ( 2 ( x i ，x 2 ) ：0 0 _ _ ( x , , x d( 3 2 2 )似。y 乳x i ，x 2 ) ：去y m ( 量，生) ：_ a o o ( x , , x o口。a口c霄y 乳工：) ：了1y ( 2 ) 芦，生) ：丝擘型a 口a出，( 3 2 3 )( 3 2 4 )p 。( ，x 2 ) = 护( 1 ，兰)“a则对任意二维函数f ( x ，也) l 2 ( r2 ) ，其小波变换有两个分量：沿x l 方向：阡z ，( 口，x l ，工2 ) = ，( 工i ，x 2 ) , i ，, - 。( i ( x 1 ，x 2 )( 3 2 5 )沿x 2 方向：w t 孙f ( a ，x l ，x 2 ) = f ( x i ，x 2 ) 幸+ 矿? ( 工l ，z 2 )( 3 2 6 )式中+ 表示二维卷积，其具体含义是厂( 扎x ：) + 妒p ( x 。，x ：) = 吉肛( “：弦( 三专旦，兰旦) 幽。幽：，f = 1 或2上式又可简记为矢量形式( 3 2 7 )= ag r a d f ( x i ，屯) 吧o l ，x 2 ) 】( 3 2 8 )= ag r a d f 5 ( 而，x 2 ) 】式中f 5 ( 而，x 2 ) 是f ( x 。，z 2 ) 被o o ( x l ，x 2 ) 平滑后得到的图像。上式中胛( 1 和纾7 2 分别反映了该图像灰度沿( _ ，屯) 方向的梯度。 令a = 2 ( j ez z ) ，则矢量l 删w t o ) f m ( 2 j , x l , x 工2 ：) 圹 啊( 2 ，彬：) ，称为1 7捌捌浦矗“吧吧如屯旷旷旦钆旦口=“纠xxh 而他加耵盯四川大学硕士学位论文f ( x l ，x 2 ) 的二进( d y a d i c ) 小波变换1 8 ，1 9 ，2 0 2 1 ，2 2 2 3 1 。定义它的模值为：m o d w t f ( 2 ，蝴】_ f | 胛m f ( 2 j , x l ，x 2 ) 卜咿f ( 2 ， ，圳1 2 1 j ( 3 2 9 )它的幅角( 与x 。方向的夹角) 是：4 ，g 晒( 2 ，孙蝴】= 培一w t 忙) f ( 2 j , x l , x 2 ) l( 3 2 1 。)定义边沿为 如d 眄】取极值之处，其方向与彳r g 叻】垂直o 2 4 2 6 刀1 。可见一幅图像在不同尺度- ，下的小波变换结果可以采用两种不同方式来表现：( 1 ) 直角坐标分量：阡7 0 ) f ( 2 j , ，屯) 和胛f ( 2 。，一，x 2 ) 。他们反映了，5 ( ，x 2 ) 沿x 。，x ：两个方向的梯度。( 2 ) 极坐标分量：m o a w t f ( 2 j , 而，x 2 ) j 和a r g g t f ( 2 j , ，x 2 ) j 。模值是，5 ( x 。，x ：) 合成总梯度值，幅角是此总梯度的方向值，其值在0 2 万之间。本文中我们采用的是极坐标分量的表现方式。由上述分析可知，我们下一步的问题是，选取一满足需要的二维平滑函数眈( 毛，岛) ，用它在x ，x ：两个方向上的一阶导数构造得到两个基本小波，对图像f ( x ，x ：) 进行二进小波变换，进而得到各个尺度下的模值和幅角值。在尺度，下，求得局部模极大值，记录下这些点，最后将这些极大值点链接起来就可以得到图像在尺度，下的边缘。3 3 与m a i i a t 快速小波算法等效的多孔算法直接由( 3 2 8 ) 式对图像进行小波变换是很不方便的。对二维小波变换m a l l a t 提出了使用小波滤波器组进行快速小波变换的方法 3 2 , 3 3 , 3 4 , 3 5 。如图3 2 。在这里我们采用的是与m a l l a t 快速小波算法等价的多孔算法【1 3 j 。，= 0 ；矿( ， j ) 嘲f = s 2 ，( g j ，d ) ；四川大学硕士学位论文噼f = s ：，( d ，g f ) =s 2 = s 2 + ( h j ，h j ) ；j = j + i ；e n d其中，d 是d i r a c 滤波器，其脉冲在0 处为i ，其余为0 。g ，、h 分别表示在g 、的相邻系数间插入2 ，一1 个零得到的离散滤波器。g 、是分别根据所选的小波函数得到的高通、低通滤波器系数。这里s ，。可以看作是图像的原始信号。如d列杼2 聪l3 4b 样条小波图3 2 二维小波变换的m a i i a t 算法检测局部性能常用的小波有以下几种：第一种是取高斯函数为平滑函数，由y 1 ( 力型、妒2 ( 型来构造小波函数，其中妒( 2 ( 曲就是m a r r 小波；另外一种就是b 样条小波。其定义有多种形式，有的满足支撑基底有限的要求，但其整数位移不能构成正交归一基；有的满足了整数位移正交归一的要求，但支撑1 9”钟，4巧巧带四川大学硕士学位论文基底不是有限的。在本文里，我们选择基本上属于具有紧支撑的b a t t l e l e m a r i e族的三次样条函数作平滑函数1 3 6 , 3 7 , 3 8 , 3 9 _ o ，4 l 4 2 j 3 m 】。由前面3 1 节的讨论，边缘检测的小波函数是用( i ( x ) 型构造得到的。那么用于边缘检测的小波函数就是二次样条小波。因为三次样条小波的一阶导数就是二次样条小波。下面我们求小波滤波器。此时，我们可以知道二次样条小波尺度函数矿( x ) 的傅立叶变换为：( ) = e 一与因此( 2 ) 珂叶业jr 1 )l国l我们先介绍一些基本关系式如下：a 二尺度方程的频域形式为i 事( 2 国) = h o ( ) m ( 国)甲( 2 国) = h i ( ) m ( 国)由他们引申出的递推形式：m ( 国) = 兀h o ( 2 1 0 j )_ ( 国) = 日。( 争n 日。( 2 - lc o )b 空间二剖分的能量守恒性i ( 彩) j 2 - - - ( i ) ( 2 a 9 ) 1 2 + | 甲( 2 刎2其相应的滤波器表示为：频域：z 域：( 3 4 1 )( 3 4 2 )( 3 4 3 )( 3 4 4 )( 3 4 5 )i 凰( ) 1 2 十阻徊) 1 2 = 1( 3 4 6 )纸玩0 1 ) + 蜀( ：) 且( z 一1 ) = l( 3 4 7 )拦鼋f2s一将它代入( 3 4 1 ) 式四川大学硕士学位论文2s i n 竺c o s c o222 s i n 竺2根据三角函数恒等式c o s 3 x = 4 c o s 3x 一3 c o s x 可以得到：又有，c o s 3 竺；三ic o s3 0 , + 3 c o s 竺l24 l22i那么式( 3 4 8 ) 变为，其z 域形式为由式( 3 4 7 )h 1 0 ) 日1h o (c 。s x = 丢g p + p p )= ；g 扣仃伽+ s + s e - j 。)引加8 z14 - 3 + 詈z - l( 3 4 8 )( 3 4 9 )( 3 4 1 0 )国一23s0c一2一p=塞：等卅副0 厂孔一叩竺：生2争斜磅妒。邓生。生4奶一一=吨孑l 一8+一矾一zo 一矾一z：2 甜竺矾。，堕矾h唁旦舛o一风，一“o。11一y小。一舛、，得旷：四川大学硕士学位论文( 3 4 1 1 )由于式( 3 4 “) 右边是关于常数项偶对称的，因此可分解成所要求的h 。( z ) 日1 0 “) 形式。因此，令3风( z ) = h 。( 玎) z 1n = - 2则有，3h 。( z 。1 ) = h 。( 门) z “n = - 2将两者相乘，然后令式( 3 4 1 1 ) 两边各项系数相等就可以解得日。( z ) 的近似解：日1 ( z ) = 0 0 0 6 1 2 3 + 0 0 8 6 9 2 2 + 0 5 7 9 8 z 一0 5 7 9 8 - 0 0 8 6 9 z - 0 0 0 6 1 z 。2( 3 4 1 2 )那么由式( 3 4 1 0 ) 和( 3 4 1 2 ) 得n - 次样条小波滤波器如表3 2 所示。表3 1 二次样条小波滤波器四川大学硕士学位论文4 二次样条小波是最优检测算子的数学推导4 1 最优边缘检测的c a n n y 准则图像的边缘表现为灰度的突变，因此目前检测边缘的各种局部算子法都是基于这种灰度的不连续性，利用梯度局部最大值或者是二阶导数的过零点来检测边缘。由于图像中总存在噪声，长期以来，人们提出了许多方法来增强边缘，抑制噪声，来提高边缘定位精度。这些方法几乎都是对增强边缘和抑制噪声这样的一对矛盾进行折中处理。有的在抑制无关细节和噪声的同时而不得不损害边缘定位的精度，有的则是计算量太大。如何衡量边缘检测算子的有效性，c a n n y 提出了3 个最优边缘检测准则【1 2 5 1 ，并用数学方法系统地推导出确定图像边缘检测函数性能指标的三个数学表达式，信噪比s n r 、检测精度上和伪边界平均距离x 。c a n n y 提出的三个最优边缘检测准则为：( 1 ) 不漏检真实存在的边缘，也不把非边缘点作为边缘点检出，并使输出的信噪比最大；( 2 ) 检测到的边缘点与实际边缘点位置最近；( 3 ) 每一实际存在的边缘点与检测到的边缘点一一对应。设，( x ) 是边界为 - w + w 】的滤波器的冲激响应，定义边缘函数为g ( 对，边缘发生处为x = 0 ，信号中的噪声是加性高斯白噪声n ( x ) ，其方差是h ；，则边缘检测函数的三个性能指标信噪比s n r 、检测精度工和伪边界平均距离x 。分别如下：ig ( 一z ) 八x ) 出s n r 2 竺霄一( 4 - l 1 )f i 0 【。，2 ( x ) a x四川大学硕士学位论文三：f g ( - x ) f ( x ) d x l( 4 1 2