（应用数学专业论文）几种复杂动态网络达到同步或涌现混沌的条件.pdf

摘要 自然界中存在的大量复杂系统都可以通过形形色色的网络加以描述。近年来， 关于复杂网络的研究主要从它的拓扑结构和其上的动力系统行为商个方面着手。 本文首先介绍了复杂网络的基本特征，包括网络的平均路径长度、簇系数、度分 布等基本特征。然后重点讨论了复杂网络的动力学行为，主要涉及同步与混沌两 种较为普遍的动力学行为。 在已有的结果基础上，本文进一步讨论了这两种动力学行为，对于网络中的 同步问题，我们在文章的第三章第一部分做了如下推广：前人在讨论网络同步时 假设结点之间的耦合作用是线性的，但是在现实中结点之间的耦合作用往往是非 线性的，所以我们考虑了这种非线性耦合作用下的同步问题，并且给出了同步稳 定性条件在第三章的第二部分傲了如下推广：已有结果考虑带有时滞的振子网 络的同步问题时要求每个振子接受到的信息数是一样的，且振子之间的耦合强度 也相等为了更好地模拟现实我们把这两个条件都取消了，而且给出了达到同步 的充要条件。虽然同步现象是很重要的自然现象，但是混沌现象也是非线性科学 研究的重要方面，所以在本文的第四章，我们给出了复杂动态网络上涌现混沌的 充分条件。对于以上得到的理论结果我们都通过数值模拟验证了结论的正确性。 最后概述了文章的主要结论与未来工作展望。 关键词：复杂网络；同步；混沌；动力学行为；李雅普诺夫指数 a b s t r a c t a l a r g en u m b e ro fc o m p l e xs y s t e m si nn a t u r a lw o r l dc a nb ed e s c r i b e db yd i f f e r e n tt y p e so fc o m p l e xn e t w o r k s i nr e c e n ty e a r s ，t w oe s s e n t i a la s p e c t s n e t w o r k s t o p o l o g ya n di t sd y n a m i c a lb e h a v i o rh a v eb e e nd i s c u s s e db ym a n yr e s e a r c h e r s i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，f i r s t l y , s o m eb a s i cc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e so fc o m p l e xn e t w o r k s a r ei n t r o d u c e d ，w h i c hi n c l u d en e t w o r k s a v e r a g ep a t hl e n g t h ，c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ， d e g r e ed i s t r i b u t i o n s ，e t c t h e nt h ed y n a m i c mb e h a v i o ro fc o m p l e xn e t w o r k sa r e d i s c u s s e d t w oi m p o r t a n td y n a m i c a lb e h a v i o r _ y n c h r o n i z e ds t a t e sa n dc h a o t i c s t a t e sa r ei n v o l v e d s o m ec o n c l u s i o n sw h i c hh a v eb e e ne s t a b l i s h e dh e r e t o f o r ea r eg e n e r a l i z e di no u r w o r k i nt h ef i r s tp a r to fc h a p t e r3w eg e n e r a l i z e8 0 l t i er e s u i t sa sf o l l o w s ：t h e a u t h o r sw h od i s c u s s e dt h es y n c h r o n i z e ds t a t eo fc o m p l e xn e t w o r k sa l w a y ss u p p o s e d t h a tc o u p l i n gf u n c t i o nb e t w e e nn o d e si sh n e a r h o w e v e r ，i nr e a lc o m p l e xs y s t e m s ， t h ec o u p l i n gf u n c t i o nb e t w e e nt h en o d e si sn o n l i n e a r ，s ow ed i s c u s s e dt h es y n e h r o - n i z e ds t a t eo fc o m p l e xn e t w o r k su n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ec o u p l i n gf u n c t i o ni s n o n l i n e a ra n dg i v et h es t a b l ec o n d i t i o nt ot h es y n c h r o n i z e ds t a t e i nt h es e c o n d p a r to fc h a p t e r3w eg e n e r a l i z es o m er e s u l t sa sf o l l o w s ：w h e nd i s c u s s i n gt h es y n - c h r o n i z a t i o ni no s c i l l a t o rn e t w o r k sw i t hd e l a y e dc o u p l i n g ，o t h e ra u t h o r sr e s t r i c t e d t h a tt h en u m b e r so fr e c e i v e ds i g n a lo fo s c i l l a t o r t ob et h es a m ea n dt h ec o u p l i n g s t r e n g t hb e t w e e no s c i l l a t o r st ob ee q u a l i no r d e rt ob e t t e rd e s c r i b et h er e a lo s c i l l a - t o rn e t w o r k sw ei e n 2 0 v et h ea b o v er e s t r i c t i o n s ，a n dg i v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o no fs y n c h r o n i z a t i o n t h o u g hs y n c h r o n i z e ds t a t e sa l ei m p o r t a n tn a t u r a l p h e n o m e n a ，t h ec h a o t i cs t a t e sa r ea l s oi m p o r t a n ta s p e c to fn o n l i n e a rs c i e n c e s o w eg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee m e r g e n c eo fc h a o si nc o m p l e xd y n a m i c a l n e t w o r k si nc h a p t e r4 w ed e m o n s t r a t eo u ra b o v er e s u l t sb yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n f i n a l l y , w es u m m a r i z et h em a i nr e s u l t so ft h ed i s s e r t a t i o n ，a n dl i s ts o m ep r o b l e m f o rf u r t h e rr e s e a r c h k e y w o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ；s y n c h r o n i z a t i o n ；c h a o s ；d y n a m i c a lb e h a v i o r ；l y a p u n o v e x p o n e n t ， 1 1 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果。参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 签名 本论文使用授权说明 日期 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名让谤磅一名 日期 璩厂 飧 )扩 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 第一章引言 近年来，关于复杂网络的研究正处于蓬勃发展的阶段，其研究者有来自图论、 统计物理学、计算机网络、生态学、社会学、数学等各个领域复杂网络能够吸 引如此多的领域的学者来研究它主要是由于它广泛地存在于我们的生活中，各个 领域的研究工作者都能用复杂网络模型来研究他们的问题原型在我们身边很多 系统都可以看为一个复杂网络，不同领域的复杂网络有( 1 ) 信息网络：w w w ， i n t e r n e t ，计算机共享，e m a i l 网等。( 2 ) 技术网络：电力网，电话线路网等。( 3 ) 交通运输网：航线网，铁路网，公路网，自然河流网等。( 4 ) 社会网：演员合作网， 友谊网，论文引用网，姻亲关系网，科研合作网等。( 5 ) 生物网：食物链网，神经 网络，新陈代谢网，蛋白质网，基因网络等 每一个特定的复杂网络有其自身的特征，但是这些不同的复杂网络又存在很 多共性。而统计物理和图论都是研究这些共性的有力工具。在文章f 1 1 中作者分别 从图论和统计物理方面给出了复杂网络的定义网络g = ( ke ) 作为图论的概念 是指一个点集v ( c ) 和一个边集e ( c ) 组成的一个图，且e ( c ) 中的每一条边e 。 有v ( c ) 的一对点( u ，v ) 与之对应，记顶点数为n = i v l ，边数为l = l e i 。从统 计物理的角度来看，网络是一个包含了大量个体以及个体之间相互作用的系统， 是把某种现象或某类关系抽象为个体( 顶点) 以及个体之间相互作用而形成的用 来描述这种现象或关系的图。不管用图论还是用统计物理学来定义网络，它们都 强调了一个网络应该包含顶点和边两个要素。 人们对复杂阿络的理论研究始于2 0 世纪6 0 年代由著名的数学家e r d 6 s 和 r e n y i 提出的e r 随机图模型3 在此之前人们对网络模型的研究主要局限于规 则网络，如完全耦合图、最邻近网络等。在e r 随机图提出以后的近4 0 年里，该 模型一直是研究复杂网络的基本模型但是随着计算机计算水平的提高，人们通 过对许多现实网络的研究发现，这些现实网络既不是完全规则的也不是完全随机 的经过科学工作者的不懈努力，人们对复杂网络的认识不再仅仅局限于完全规则 或完全随机的。1 9 9 8 年由w a t t s 和s t r o n g a t z 提出了小世界( s m a l l w o r l d ) 网络 模型1 4 】，1 9 9 9 年由b a r a b a s i 和a l b e r t 提出了无标度( s c a l e - f r e e ) 网络模型 5 】。 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 2 小世界网络是一类特殊的复杂网络，它具有大的簇系数和小的平均路径长度。无 标度网络是节点与节点之间的连结分布遵循幂律分布的网络。这两种网络模型可 以更好地描述现实网络系统也正是由于对这两类网络模型的研究进一步促进了 对复杂网络研究的新高潮。 在人们研究复杂网络之初，他们主要研究复杂网络的拓扑结构，或者仅仅是 研究具有简单拓扑结构的网络上的动力学行为。近几年，随着研究的深入，人们 对具有复杂拓扑结构的网络上的动力学行为的研究也取得了很多重要的成果，例 如对复杂网络上的同步、混沌、疾病传播的研究( 8 ，9 ，1 1 ，3 4 ，1 8 ，3 0 等) 在已有的结果基础上，本文进一步讨论了复杂网络上的两种动力学行为：混 沌与同步给出了达到同步或涌现混沌应满足的条件以及对这些条件进行验证的 一些数值模拟。文章分为五章：第一章给出本文的引言，第二章介绍了复杂动态 网络的一些基本性质以及文章后面要用到的预备知识。第三章讨论了两种不同类 型的复杂动态网络上的同步并给出了达到同步相应的条件，第四章研究了复杂动 态网络上会涌现出混沌现象的条件，最后一章总结了文章的主要结果和作者对未 来工作的展望。 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 3 第二章复杂网络的基本特征属性与预备知识 2 1 复杂网络的基本特征 在文2 1 中将复杂网络的基本特征，把绝大多数实际的复杂网络系统概括为5 个方面。( 1 ) 网络的大规模性和行为的统计性：网络结点数可以有成百上千万，甚 至更多，大规模性的网络行为具有统计特征( 2 ) 节点动力学行为的复杂性：各 个节点本身可以是各种非线性动力系统( 可以有离散的映射和连续微分方程描述) ，具有分岔和混沌等非线性动力学行为。( 3 ) 网络连接的稀疏性：一个有n 个节 点的具有全局耦合结构的网络的连接数目为o ( n 2 ) ，而实际大型网络的连接数 目通常为o ( n ) ( 4 ) 连接结构的复杂性：网络连接结构既非完全规则也非完全 随机，但却具有其内在的自组织规律。( 5 ) 网络的时空演化的复杂性：复杂网络具 有空间和时间的演化复杂性，展示出丰富的复杂行为，特别是网络节点之间的不 同类型的同步化运动( 包括出现周期、非周期( 混沌) 和阵发行为等运动) 。大多数 的实际网络系统同时具有3 个主要特征：小世界、无标度和高聚合性。而用来描 述这些特征的主要概念有：平均路径长度，簇系数、度分布等。下面我们分别给予 定义： 平均路径长度( a v e r a g ep a t hl e n g t h ) 在一个网络中，两个结点i 和j 之间的距离d 。，定义为连接它们的所有线路中 最短线路中边的个数而网络的平均路径长度l 定义为： l ( 2 1 1 ) 其中n 表示网络中结点的个数。 在( 2 11 ) 中如果i 网络分为两个部分，则存在如等于无穷大的情况，所以l 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 4 也无穷大，与实际不符合，为了避免这种情况可以重新定义它的调和平均 l _ 1 ：害蒜 ( 2 1 2 ) “一石i 再可 1 这时可以避免平均路径长度无穷大的情况 簇系数( c l u s t e r i n gc o e f f i c i e n t ) 在一个朋友网络中，可能存在这样一种情况：你朋友的朋友也是你的直接朋 友，或者换句话说，你的两个直接朋友他们之间也是直接朋友这种属性被称为 网络的聚合性。它的定义可以分为全局定义和局部定义， 全局定义如下6 1 ： c = 3 网络中三角形的个数网络中结点的三重连接的个数 其中“三重连接”的意思是指一个结点有两个结点和它连接，而分子要乘3 是 因为一个三角形有三个“三重连接” 而对于局部定义是：如果一个结点i 的度为衄，在这个结点之间最多可以 有c 售个连线，如果这些结点之间实际存在连线的个数为m i 个，则结点i 的簇系 数g = 罟 。这样整个网络的簇系数为每个结点簇系数的平均： 。k 1 p nr c = 鱼! 鲁兰f 2 1 3 ) 州 表示网络中结点的个数。这两个定义从不同的侧面反映网络的聚合程度。 度分布( d c g r e ed i s t r i b u t i o n s ) 一个结点i 的度也就是与它连接的边的总个数，如果越大则表示这个结点 在整个网络中作用越重要。阿络中的结点度的分布情况可以用分布函数p ( k 1 表 征，p ( k ) 的意思是在网络中随机选取一个结点它的度为的概率。早先研究的 随机网络模型和后来的小世界网络模型的度分布都服从泊松分布，而后来提出的 无标度网络模型服从幂律分布。 根据这些特征可以把网络模型分为四种：完全规则、完全随机、小世界以及无 标度网络模型。对于规则网络模型它的平均路径长度、簇系数以及度分布都可以明 确表示，关于规则网络的研究，已经建立了比较完善的理论框架。对于完全随机网 络，如果它含有个结点，则簇系数c = n 一1 n ，l i n i n ， 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 5 其中 = p ( n 一1 ) 表示每个结点的平均度，p 是任意选取两个结点之间存在 连线的概率通过计算可以知道对于规则网络它的平均路径长度l 比较大，而随 机网络它的簇系数c 非常小可是人们在研究现实网络系统时发现，现实的网络 系统的_ l 比较小e 应该比较大，这说明前面两种网络模型都不能很好的解释现实 网络系统。事实证明，后来提出的小世界和无标度网络模型可以更好的解释现实 网络系统下面分别简单的介绍这两种阿络模型： 小世界网络( s m a l l w o r l dn e t w o r k s ) 1 9 9 8 年，w a t t s 和s t r o g a t z 提出了单参数的小世界网络模型，这个网络模型 介于规则网络和随机图之间，并在它们之间架起了桥梁。原始的w s 模型描述如 下( 7 1 ： 1 ) 初始化：考虑一个具有n 节点的邻近节点耦合的环状网络，其中每个节点 z 连结到它的k 个邻近的节点i 土1 ，i 士2 ，i 土i k ，这里k 是一个偶整数。( 假 定k l n ( n ) 1 。这样保证整个网络是相互连结的，但又是稀疏的；) 2 ) 随机化：以概率p 随机的改写网络的每一条边。即以概率p 将一条现成的边重 新连结到另一个顶点上。同时避免将自己连结到自己或者与已有的边相重合的情 形这个过程引入了哆丝条边，它们连接到新的节点上。这些重新连结的边通常 称为捷径当调节参数p 从o ( 有序) 到1 ( 随机) 时，我们可以密切监视整个变换过 程。 小世界网络的主要特点：度分布为指数分布且峰值取平均值；每个节点有大 致相同数目的连结数小世界网络介于规则网络和随机网络之间，它实现了从规 则到完全随机之间的连续演变最近，n c w m a n 和w a t t s 改进了原始的w s 模 型在n w 模型里，代替改写节点之间的连结，随机的增加一些新的边，即所谓 的捷径，且不移走已经存在的边显然，若p = 0 则n w 模型变成原始的邻近节 点耦台的环状网络；若p = 1 ，则n w 模型变成全局耦合的网络。然而，对于充 分小的概率p 和足够大的n ，n w 模型等价于w s 模型。随着节点数的增加， w s 和n w 模型展示了从“大世界”( 平均路径长度线性增长) 到“小世界”( 平均 路径长度对数增长) 的变换。小世界网络在现实生活中有明确的背景。我们考虑人 际关系所组成的社会网络，每个人与生活在他周围的人相互认识是很自然的事， 这就像一个正则图，而的确存在一些机会使有人与住得很远的人相互认识，这正 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 6 是w s 模型所描述的， 无标度网络( s c a l e - f r e en e t w o r k s ) 大量的实证研究表明大量现实网络的节点度服从幂律分布为了刻划这种性 质，b a r a b s s i 和a l b e r t 提出网络模型应包含两个主要因素：增长性和偏爱性， 而他们的阿络模型( b a 网络) 正是模拟这两个关键机制设计的。无标度网络的 形成机制如下： 一、增长性：假设起初有m o 个结点，以后每一步引进一个结点和m 个连线， 连接到已经存在的结点中，其中m o m 。 二、偏爱性；一条连线连接到一个已经存在的结点i 的概率t 与它的度；有 关，即： 耻轰 根据这一假设可得p ( k ) = 譬一k ，因此结点度服从幂律分布也正是这种 性质使得具有幂律分布的网络对随机攻击具有鲁棒性，而对于有意攻击具有脆弱 性。 无标度网络的主要特点：度分布为幂指数的形式；极少数节点有大量的连结， 而大多数节点只有很少的连结这些具有大量连结的节点称为“集散节点”。它们 所拥有的连结可能高达数百，数千甚至数百万。在无标度网络中，有些集散节点 甚至具有数不清的连结，而且不存在代表性的节点同时，无标度网络具有某些 重要特性，如它们都可以承受意外的故障，但面对协同式的攻击却很脆弱，对这 些特性的理解，可能导致许多领域出现新的应用，如计算机专家可能据此设计出 更有效的策略，保护因特网免受计算机病毒的侵害 2 2 预备知识 同步( s y n c h r o n i z a t i o n )同步是非线性动力学中的一个重要研究方面，主要 是由于同步现象在自然界中和实验室中广泛存在。目前已经提出了多种同步，有 完全同步、广义同步、相同步、混沌同步等在本文中我们主要考虑的是复杂网络 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 7 上的完全同步问题，它的数学定义如下 1 6 】： 令趣q ；t o ，。2 ，z ) ，( i = 1 ，2 ，) 是下列动态网络 ，( t ) = f ( x i ( t ) ) + 肌( z l ( t ) ，z 2 ( t ) ，- ，z ( t ) ) i = 1 ，2 ，n ( 2 2 1 ) 的一个解这里，：d 一毋，玑：d d d r ”( i = 1 ，2 ，) 是连续可微的，d 彤，若存在一个非空的开子集d o ( t o ) d ，且z ；0 d o ) 0 = 1 ，2 ，) ，使得x i ( t ；t o ，。2 ，- ，。) d o ( t o ) 。且对于所有的t t o ，i = 1 ，2 ，一，有 占罂0 孔( t ；t 。，胡，。，。) 一x j ( t ；t o ，z ? ，z 备) 1 1 2 2o ，1 i j 此时称( 2 2 1 ) 达到同步。 混沌( c h a o s ) 从牛顿力学创立时起，人们坚信：“对一个确定性动力系统施 加确定性的输入，则该系统的输出一定时确定的”，这就是拉普拉斯的确定性思 想。然而混沌现象的发现，否定了这一结论。 混沌的起源可以追溯到1 8 9 2 年，庞加莱在研究三体问题时就发现系统在某类 鞍点型不动点附近具有不寻常的运动，无法求出精确解。到了1 9 6 3 年美国科学家 洛伦兹在对天气做气象预报研究时发现了蝴蝶效应，这一发现成为混沌研究的里 程碑。后来李天岩和约克正式提出“混沌”( c h a o s ) 一词 对于混沌的定义至今仍然没有统一的表达，其中比较有影响力的定义有“一 y o r k 和d e v a n e y 给出的定义f 2 0 】。 l i y o r k e 的混沌定义：【a , b 上的连续自映射f 称为混沌的，若其满足： ( 1 ) f 的周期点的周期无上界 ( 2 ) 存在不可数子集sc a ，6 】，s 中无周期点，且满足： a 对任意的x ，y s ，有 1 骢群i f ”( z ) 一f n ( y ) i = 0 b 对任意的。，y s ，。y ，有 l i ms u pi ，“( z ) 一，”( ) 1 0 n + 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 8 c 对任意的x s 和f 的任意周期点y ，有 l i ms u pi f - ( 搿) 一，“( ) l o 在l i - y o r k e 的混沌定义中，前两个极限表明子集中的点x ，y 相互分离又相互 靠拢，第三个极限表明子集不会趋近于任何周期点，( 即子集s 中不存在渐近周 期点，这个条件不是本质的，参见 2 1 ”l i y o r k e 的混沌定义刻画了混沌运动的 以下三个重要特征： 1 存在可数的无穷多个稳定的周期轨道。 2 存在不可数的无穷多个稳定的非周期轨道 3 至少存在一个不稳定的非周期轨道。 d e v a n e y 的混沌定义：d e v a n e y 的混沌定义是从拓扑的角度出发进行定义 的：度量空间v 上的映射f ：v y 称为是混沌的，若其满足： 1 对初值的敏感依赖性：j d 0 ，对垤 0 和v x v ，在x 的e 邻域i 内 存在y 和自然数n ，使得d ( f ”( z ) ，广( ) ) d 2 拓扑传递性：对v 上的任意开集x ，y ，存在k 0 ，f k 陋) n y 中 3 f 的周期点集在v 中稠密。( 因这三条不独立，即2 与3 可蕴涵1 ，故将 第3 条去掉称为修改的d e v a n e y 的混沌定义) d e v a n e y 的混沌定义从另一个角度刻画了混沌运动的几个重要特征： a ) 对初值的敏感依赖性意味着无论x 和y 有多么接近，在f 的多次作用下两 者之问的距离都会扩大到一定地步。 b ) 拓扑传递性意味着任一点邻域在f 的多次作用下将遍历度量空间v ，这就 说明f 不可能分解为两个在f 下互不影响的子系统 c ) 周期点集在v 中稠密意味着混沌系统存在着规则的成分，决非毫无规则。 混沌运动具有如下基本特征：有界性、遍历性、内随机性、标度性、普适性、 统计特征。 通向混沌的道路有：倍周期分岔、阵发道路、准周期道路、k a m 环面破裂 等。 通常研究混沌的方法可以分为定性的定量的，其中定性的有：直接观测法、 分频采样法、庞加莱截面法、重构相空间法等；而定量的有：李雅普诺夫指数分析 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 9 法、自功率谱密度分析法等 李雅普诺夫指数( l y a p u n o ve x p o n e n t ) ：在一个耗散系统的混沌运动中，它 存在两个相反的过程，一方面耗散作用使相空间收缩，另一方面轨道又要相互分 离。为了定量的刻画系统相邻的两点相互分离的快慢，人们引入了李雅普诺夫指 数，它用于反映动力系统对初始值的敏感程度 2 0 对于一个维离散动力系统 ( 【1 1 ，1 6 】) ： z + 1 ) = f 扛( ) ) ( 2 2 2 ) 其中z ( 女) = ( z - ( ) ，z 2 ( ) ，- ，x n ( k ) r ”是一个n 维向量 形式。则系统的李雅普诺夫指数为： 地= p l 。i m 。口1 l 。g i id f p ( ) - 啦i i f ( 。( ) ) 也是向量 ( 2 2 3 ) 在式中d f p ( x o ) 是从一个初值为x o 处的映射f 经过p 次迭代的雅可比矩阵 地( i = 1 ，2 ，) 是映射的正切空间的正交向量集 对于一个维连续动力系统： ( 22 4 ) 其中z ( t ) = ( ：r i ( t ) ，z 2 ( t ) ，z ( t ) f 是一个维向量。则建续系统的李雅普 诺夫指数为： 胁2 l i r a 。l _ t l 0 9 1 1 d ( z o ) 啦! 1 ( 2 - 25 ) 其中( z o ) 为系统( 2 2 4 ) 所对应的流。对于维动力系统，总共有个李雅普 诺夫指数，将它们按大小排序，设p 1 p 。m ，则这个数称为李雅普 诺夫特征指数的谱。李雅普诺夫指数在系统的某个不变测度下，为几乎与初值z o 无关的常数 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 0 第三章复杂网络上的同步 在第二章中我们给出了完全同步的数学定义，对于同步现象我们可以通俗的 理解：就是指动态系统中步调一致的现象。最早观察到同步现象是在1 6 6 5 年，荷 兰物理学家惠更斯卧病在床的几天里一直观察挂在墙上的两只不同的摆钟，发现 它们经过一段时间的摆动，最后可以步调一致的摆动，这就是我们现在所说的同 步现象 同步是一种非常普遍而重要的非线性现象。我们注意到，许多实际的复杂网络 在弱耦合情况下仍然展示很强的同步倾向性。网络拓扑和单个节点的动力学性质 决定整个网络的动力行为网络同步。若这种同步是有益的，如调和振子的生成、 保密通讯、语言涌现及其发展( 谈话的同步) 、组织管理的协调及高效运行( 代理同 步) 等，则我们需要这种同步若同步是有害的，如传输控制协议窗口的增加、英 特网或通讯网络中的信息拥塞、英特网中两个过程的同步、周期路由信息的同步 等，则我们不需要这种同步。由于复杂网络上的每个结点可以具有动力学行为， 而同步现象是一种重要的动力学行为，所以复杂网络上的同步成为科学研究者的 研究热点，并且在这个方面已经取得了可喜的成绩( 吼阢【3 4 ， 3 0 ， 1 9 】等) 。 本章分为两个部分，主要介绍作者在这方面做的一些工作以及参与做的工作。 3 1 耦合函数对动态网络上的同步稳定性的影响 3 _ 1 1 主要结论f 25 1 假定一个动态网络包含个相同的结点，每个结点是一个n 维的动力系统。 最近汪小帆和陈关荣讨论了以下动态网络模型2 9 1 ： n 矗( t ) = ，( 研( t ) ) + c a i j f ( x j ( t ) 一墨( 观 i = 1 ，2 ，n( 3 1 1 ) j = l ，j 却 其中( t ) = ( x 1 1 ，。m ，z ，。) r “是结点i 的状态变量，常数c 0 表示耦合强度， f 舻“是一个0 1 内部矩阵，为了简单起见，我们假定f = d i a g ( r l ，r 2 ，r 。) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 是一个对角矩阵，若r l = 1 则表示两个结点通过它们的第i 个分量连接。，：彤+ 毋是连续可微的，令a = ( ) v 。，“代表复杂网络的拓扑结构，如果结点 i 和结点j 之间有一条连接，则a i j = ，= l ( i j ) ；否则a l j = a j i = o ( i j ) ， 且令 n n a l l = 一= 一a j i ，i = 1 ，2 ，n( 3 1 2 ) j 2 1 ，j 却j 2 l d 7 i 由上面两式可以得到； n i ；( t ) = ，( 丑( ) ) + c a q r x j ( t ) ，i = 1 ，2 ，n ( 3 1 ，3 ) 从式( 3 13 ) 可以看出：作者是假设结点之间的耦合作用是线性的，然而许多现实 网络系统结点之间的耦合作用是间接的、非线性的，所以我们把线性耦合推广到 一般的非线性耦合，即： _ 或( f ) = ，( 。，( t ) ) + c ( 巧( 蚍 i = 1 ，2 ，n( 3 ，1 4 ) j = l 式中函数g ：毋+ 郧也是连续可微的，我们称之为耦合函数，在得到本节的定 理之前先给出两个引理： 引理3 1 ( 3 4 ) ：对于上面定义的矩阵a = ( ) - 。，假定它是不可约的， 则： 1 ) 0 是矩阵a 的特征值，它所对应的一个特征向量为( 1 ，1 ，1 ) 7 ； 2 ) 矩阵a 的其它特征值都是严格小于零。 引理3 2 ( 3 5 d ：同样对于上面定义的矩阵a ，存在一个酉矩阵西= ( 咖，妒2 ，) 使得 a 7 妒= a 女，自= 1 ，2 ，- ， 其中凡，i = l ，2 ，一，是矩阵a 的特征值 对于动态网络模型( 3 1 4 ) ，若 熙i 孔( t ) 一4 0 1 = 0 ，i = 1 h 2 一，n ( 3 1 5 ) 则称( 3 1 4 ) 达到同步状态。其中5 ( r “是结点的解，即： ( t ) = ，( s ( t ) )( 3 1 6 ) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 2 s ( t ) 可能是一个平衡点，一个周期轨道，也可以是一个奇怪吸引子。在本节中我们 指定它是奇怪吸引子 下面给出本节的定理： 定理3 1 ：对于动态网络模型( 3 1 _ 4 ) ，令 0 = a l a 2 a 是矩阵a 的特征值，若以下一1 个n 维线性系统 ( 3 1 7 ) 由= d f ( s ) + c a k p d g ( s ) w ，= 2 ，3 ， ，n ( 3 18 ) 关于其零解是指数稳定的，则f 司步状态( 3 1 5 ) 是指数稳定的。 证明：为了验证同步状态( 3 15 ) 的稳定性，设e ；( t ) = 甄( t ) 一s ( t ) i = 1 ，2 ， ， 将( 3 ，1 6 ) 代入( 3 1 4 ) ，有： 岛( t ) = ( x 。 ) ) 一，( s ( ) ) + c a _ j r 9 ( z j ( t ) ) 一g ( s ( f ) ) 】，i = 1 ，2 ，n ( 3 l9 ) 由于函数，和g 都是连续可微的，所以上式的稳定性条件可以转化为考虑以下线 性系统的零点稳定性条件： a ( t ) = d ，( s ( t ) ) e ；( t ) + c a l j p d g ( s ( t ) ) e 3 ( t ) ，i = 1 ，2 ，n ( 3 1 1 0 ) j = l 令8 ( ) = ( e l ( ) ，c 2 ( t ) ，e ( t ) ) 7 r “，有向量形式 e ( t ) = d f ( s ( t ) ) e ( t ) + c f d g ( s ( t ) ) e ( t ) a 7 ， i = 1 ，2 ，n ( 31 1 1 ) 其中d f ( s ( t ) ) 和d g ( s ( q ) 分别是f ( x ( t ) ) 和g ( x ( t ) ) 在s ( t ) 的雅可比矩阵根据引 理3 , 2 ，存在一个酉矩阵中= ( l ，曲2 ，如) 使得 a t e k = k 机= 1 ，2 ， 令v ( t ) = e ( t ) 中，则有： o ( t ) = e ( f ) 由= d ，( s ( t ) ) e ( t ) 西+ c r d 9 ( s ( t ) ) a e ( t ) 西 ( 3 1 1 2 ) 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 其中a = d i a g ( a l ，a 2 ，h ) ，所以有 1 3 噍( t ) = d f ( s ( t ) ) + c k r d 9 ( s ( t ) ) ( t ) ，= 1 ，2 ，n( 311 3 ) 因此我们把同步状态( 3 1 5 ) 的稳定性问题转化为研究( 3 11 3 ) 的零点稳定性。因 为a l = 0 对应于同步状态，所以当以下n 一1 个n 维线性系统是： o = d f ( s ) + c a k f d g ( s ) w ， k = 2 ，3 ， 指数稳定的，则e ( t 1 关于零点稳定，即定理得证 在文【16 中给出如下结论： 引理3 3 对于动态网络模型( 3 13 ) ，令 0 = a l a 2 a ( 3 1 1 4 ) 口 是矩阵a 的特征值，如果以下n 一1 个 维线性系统关于它的零解是指数稳定的 o = d f ( s ) + c a k r w ，k = 2 ，3 ，n ( 3 1 1 5 ) 则同步状态( 3 1 5 ) 是指数稳定的。 从以上的结论和我们的定理可以看出它们表面上很类似，但是在现实中却有不 同的用途。以下假定r = 如，每个结点的李雅普诺夫指数为h 。= h 1 ，h 2 ，k 。 由于设s ( t ) 是奇怪吸引子，则至少h 。= h i 0 。由定理3 1 知，当矩阵f d f ( s ) + c 扎r d g ( s ( t ) ) 】的所以特征值的实部小于零时同步状态( 31 5 ) 稳定，利用引理3 3 同样有以下结论：若 c 筲 ( 3 l 1 6 ) 则同步状态( 3 1 5 ) 稳定那么当c ；背时同步状态( 315 ) 可能不稳定，这 时我们可以通过调节耦合函数g 使同步状态( 3 1 5 ) 稳定，即使得矩阵 d f ( s ) + c a k r d g ( s ( t ) ) 的所以特征值的实部小于零。注意，我们这里所说的同步状态的稳 定性是指局部稳定性。 3 12 举例说明 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 4 考虑含有个结点的完全耦合网络，它的耦合矩阵为 a = 1 l 1 1 1 1 + l 1 ：三。x 。- - ，一z z 。：- - ” g l ( x m , y , 。z ，) h 吲m “训) - ( a 一- 1 ) x 叫+ 刮 i9 3 ( ，玑z ) =( 2 h m ) p 掣一( 6 一1 ) 2 c 。，c s c t ，+ c a 汀。c 。川= - 1 0 0 ，1 ( 5 3 ) 1 一( o 一1 ) z 十n 幽 ( 5 3 ) c x 一。z ( 311 8 ) ( 5 3 ) x y 一( b 一1 ) 2 4 z z z y v z o z m 卯 蚰 ，_t_，【1_l 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 5 f i g 3 2 1 一a 对于n = 3 的完全耦台网络当c = 0 2 且g 取( 311 8 ) 时同步 这时同步状态( 31 5 ) 稳定模拟结果见f i g 3 21 ： 通过以上讨论可知，如果可以调节耦合函数g ，则我们多了一种达到同步的 方法，即使在线性耦合下不能达到同步我们也可以通过选取合适的耦合函数g 达 到同步状态。反之，我们有时也可以通过改变耦合函数来消除同步状态 3 2 具有不同耦合强度的时滞振子网络上的同步 在这一节中我们研究振子网络上的同步问题27 1 。对于振子网络的同步问题 已有许多研究成果 2 8 ，2 2 ，2 3 。我们的工作是把文 2 8 中的模型做进一步的推 广。在文f 2 8 1 中，作者考虑的模型如下： 矿n 或0 ) = u + 等n “，( 如o r ) 一巩( t ) )( 3 2 1 ) “j = l 其中，8 ；( t ) 是第i 个振子的相，u 为其自然频率，k 是耦合强度，k 为振子接收 到的信息数，为耦合函数，r 为时滞，即考虑到信息在传达过程中是有时滞的， 是总的结点个数，连接矩阵a = ( a i j ) n 。n 定义如下：若结点i 接收到结点j 的 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 6 f i g3 , 2 1 b 对于n = 3 的完全耦合网络当c = 0 2 且g 取( 311 8 ) 时同步 f i g 3 2 1 一c 对于n = 3 的完全耦台网络当c = 0 2 且g 取( 3 1 1 8 ) 时同步 2 0 0 6 上海大学硕士学位论文 1 7 信息，则o q = 1 ，否则a i j = 0 所以在无向网络中a i j = a j i ，而在有向网络中未 必有o d a j ；。该文章给出了此模型同步状