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囚禁离子声子场压缩特性的研究 中文摘要 离子阱系统是物理学中的一个典型和重要的系统，一直以来都 备受关注，而且获得了重要的实际应用，在检验物理学基本定律、 测量基本物理常数，原子的精密谱测量和高精密频标的设计等方面 都得到了重要的应用，而且具有美好的发展前景。近年来，该系统 在量子计算和量子信息处理方面得到了迅猛的发展。由于离子阱系 统的特点，被认为是最有希望实现量子计算机的物理系统之一，这 是我选取离子阱作为研究对象的重要原因。囚禁离子中的两个内态 可构成一个量子比特，用以承载量子信息。量子比特操作可通过与 激光相互作用来完成，因此有必要详细研究囚禁离子的动力学特征。 本文主要探讨囚禁离子的内态相干性如何影响声子场的压缩特性， 主要内容如下。 第一章为了论文内容完备性的需要，我们从量子力学中态的叠 加原理出发，介绍光的相干性概念及其在杨氏双缝实验和单粒子干 涉实验的体现。同时介绍压缩及压缩态的概念，为研究离子内态的 相干性和振动声子场的压缩特性提供理论基础。 第二章简单介绍离子阱的结构，离子囚禁的基本原理及冷却方 法，主要包括多普勒冷却和边带冷却。 第三章在非l a m b d i c k e 近似下，讨论两个二能级囚禁离子与经 典激光场的相互作用。发现当驱动经典激光场的频率与质心模红边 带发生共振时，其动力学规律可用非线性j a y n e s - c u m m i n g s 模型来描 述。内态的相干性可导致振动声子场的压缩，即当离子的初始内态 处于无相干性混合态、振动声子场初始处于真空态时，演化后声子 场无压缩性；而当离子的初始内态处于有相干性的迭加纯态、振动 声子场初始处于真空态时，演化后声子场将表现出压缩性。而且在 一定条件下，我们获得了声子场的压缩真空态。 高校教师在职硕士学位论文 关键词：囚禁离子，压缩，相干，声子场 u 囚禁离子声子场压缩特性的研究 ab s t r a c t i o nt r a pi sat y p i c a la n di m p o r t a n ts y s t e mi np h y s i c s ，w h i c hh a sa t t r a c t e dm o r e a t t e n t i o n sf o ral o n gt i m ea n dg a i n e dm a n y i m p o r t a n ti m p l i c a t i o n si n c l u d i n gt h et e s t o fp h y s i c sl a w , m e a s u r e m e mo fb a s i cp h y s i c sc o n s t a n t ，m e a s u r e m e n to fp r e c i s e s p e c t r o s c o p ya n dd e s i g no fh i g h - p r e c i s ef r e q u e n c ys t a n d a r d t h es y s t e mh a sm a d ea r a p i dp r o g r e s si nq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g ，w h i c hi sr e g a r d e da so n eo ft h e p r o m i n e n ts e l e c t i v ed e l e g a t e si nc o n s t r u c t i n gq u a n t u mc o m p u t e r i nt h i ss y s t e m q u a n t u mb i ti sr e p r e s e n t e db yt w oi n t e r n a ls t a t e so fat r a p p e di o nc a nb ec o n t r o l l e d b yt h ei n t e r a c t i o nw i t hl a s e f $ i ti si m p o r t a n tt os t u d yi nd e t a i lt h ed y n a m i c a l p r o p e r t i e so ft r a p p e di o n sd r i v e nb yl a s e r i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yd i s c u s st h e s q u e e z e dp r o p e r t yo ft h ep h o n o ni n f l u e n c e db yi n t e r n a lc o h e r e n c eo ft r a p p e d i o n i nt h ef i r s tc h a p t e r , f o rt h er e q u i r e m e n to fc o m p l e t e n e s so ft h ec o n t e n t ，w e i n t r o d u c et h ec o h e r e n c eo fl i g h tf i e l da n di t s i m p l i c a t i o n si ny o u n g sd o u b l e s l i t e x p e r i m e n ta n ds i n g l e p a r t i c l ei n t e r f e r e n c ee x p e r i m e n tb a s e do nt h ep r i n c i p l eo f s t a t es u p e r p o s i t i o no fq u a n t u mm e c h a n i c s w ea l s oi n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no f s q u e e z i n ga n ds q u e e z e ds t a t e ，w h i c hp r o v i d e st h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o rt h er e s e a r c h o fc o h e r e n c eo fi n t e r n a ls t a t e sa n d s q u e e z i n go fv i b r a t i l ep h o n o nf i e l d i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ei n t r o d u c eb r i e f l yt h es t r u c t u r eo fi o nt r a p ，t h eb a s i c p r i n c i p l eo ft r a p p i n gi o n , t h em e t h o do fl a s e rc o o l i n g ，i n c l u d i n gd o p p l e rc o o l i n ga n d s i d eb a n dc o o l i n g i nt h et h i r dc h a p t e r , w ed i s c u s st h ei n t e r a c t i o no ft w ot w o 1 e v e lt r a p p e di o n s w i t hc l a s s i c a ll a s e rf i e l dw i t h o u tl a m b d i c k e a p p r o x i m a t i o n w ef i n dt h a tt h e d y n a m i c so ft h ei n t e m a ls t a t e so ft w ot r a p p e di o n sc o u p l e dt ot h e i rp h o n o nf i e l dc a l l b ed e s c r i b e db yan o n l i n e a rj a y n e s - c u m m i n g sm o d e lw h e nt h e f r e q u e n c yo f c l a s s i c a ld r i v i n gf i l e di sr e s o n a n tt ot h er e d s i d eb a n do fc e n t e r - o f - m a s sm o d e t h e c o h e r e n c eo fi n t e r n a ls t a t e sc a l li n d u c es q u e e z i n go fv i b r a t i l ep h o n o nf i e l d w h e n t h ei n t e r n a ls t a t eo ft r a p p e di o n si si n i t i a l l yi nan o n c o h e r e n tm i x e ds t a t ea n dt h e ! i i 高校教师在职硕士学位论文 p h o n o nf i e l di nav a c u u ms t a t e ，t h ee v o l v e ds t a t eo f t h ep h o n o nf i e l dd o e sn o ta p p e a r s q u e e z i n g ；h o w e v e r , w h e nt h ei n t e r n a ls t a t ei si n i t i a l l yi nac o h e r e n ts u p e r p o s i t i o n o fp u r es t a t e sa n dt h ep h o n o nf i e l di nav a c u u ms t a t e ，t h ee v o l v e ds t a t eo ft h e p h o n o nf i e l ds h o w ss q u e e z i n g u n d e rp r o p e ri n i t i a lc o n d i t i o n s ，t h es q u e e z i n gi s p e r s i s t e n ta n dp e r i o d i ci nt i m e ，i np a r t i c u l a r , s q u e e z e dv a c u u ms t a t ec a l lb eo b t a i n e d k e y w o r d s ：t r a p p e di o n ，s q u e e z i n g ，c o h e r e n c e ，p h o n o nf i e l d i v 囚禁离子声子场压缩特性的研究 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容 外，本论文不合任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 _竹 学位论文作者签名：段砖牟例年 ，f 月f j 一日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大 学。同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密日。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：羡屯罩日期：硼年月 f j - 日 导师签名：磊l 杉日期：如刁年1 1 月心日 囚禁离子声子场压缩特性的研究 第一章绪论 离子阱系统是物理学中的一个典型和重要的系统，一直以来都 备受关注，而且获得了重要的实际应用，在检验物理学基本定律、 测量基本物理常数，原子的精密谱测量 1 和高精密频标的设计等方 面都得到了重要的应用，而且具有美好的发展前景。近年来，该系 统在量子计算f 2 - 4 和量子信息处理方面得到了迅猛的发展。各种囚 禁离子量子计算机模型相继被提出，除c i r a c 和z o l l e r 首次提出的 超冷离子量子计算方案以外，具有代表性的有m o l m e r 与 s e r e n s e n 5 7 热离子量子计算模型。2 0 0 0 年，c i r a c 和z o l l e r 8 又提出微型阱点阵囚禁离子量子计算机模型。2 0 0 2 年，k i e l p i n s k i 、 m o n r o e 和w i n e l a n d 9 又提出了另一种大规模离子阱量子计算机的 构筑模型。2 0 0 6 年，m o n r o e 1 0 3 提出了用横向声子模式的囚禁离子 量子计算方案。 实验方面，美国的n i s t 和l o sa l a m o s 国家实验室，欧洲的 i n n s b r u c k ，o x f o r d 大学等著名实验室正大力开展激光冷却离子的 量子计算机。n i s t 的m o n r o e 1 1 3 等人首次用单个囚禁离子实现了量 子逻辑门操作，接着他们利用m e l m e r 与s o r e n s e n 的热离子量子计 算方案成功地实现了两个及四个离子的纠缠态 1 2 ，并利用这些纠 缠态观察到b e l l 不等式的违背，欧洲i n n s b r u c k 的b l a t t 小组在线 型阱中囚禁了1 5 个冷c a + 离子。2 0 0 3 年初，b l a t t 小组又在离子阱 实验中成功演示了两个囚禁离子c o n t r o l l e d n o t 量子逻辑门c 1 3 ， 并在离子阱中实现了d e u t s c h j o z s a 算法 1 4 。n i s t 及o x f o r d 大 学等小组成功实现了两个囚禁离子的几何位相逻辑门，极大地提高 了量子逻辑门的实验精度。m o e h r i n g 1 5 通过单个囚禁离子和光子 高校教师在职硕士学位论文 制备的几率纠缠态中观测到b e l1 不等式的违背。 现在，人们提出了各种方案以产生数态、相干态、压缩态，薛 定谔猫态以及其他一些量子态，实验上已经制备出这些态。人们还 能对囚禁离子振动运动的量子态进行测量，实现振动运动量子态的 重构，这些理论和技术上的成果可以用于囚禁离子振动量子态消相 干的研究，以及用于量子计算和量子信息处理等 1 6 1 9 。 量子光学是研究光与物质相互作用的基本理论，其首先是基于 量子力学的基本原理。本章先介绍态的叠加原理，然后探讨光的相 干性、压缩以及压缩态的基本性质。 1 2 1 态的叠加原理 1 2 光的相干性 在量子力学中，一个孤立的量子系统可以用h i l b e r t 空间的态 矢量来表示，相差一个复数因子的两个矢量描写同一状态，h i l b e r t 空间是一个复线性空间。假设) 和 f ，：) 是复空间的两个矢量，则 l ) = q i f ，。) + 口：l y ：) ， ( 1 1 ) 也是复空间的一个矢量。对于1 1 维线性空间，若存在n 个线性独立 的矢量 m ) ，则任何态矢量i ) 可表示为它们的线性组合 2 0 i ) = q y ，) ， ( 1 2 ) l - i 其中q = ( 讥l 沙) 。 对叠加态i 缈) = q 1 缈。) + 口：l ：) ，状态的叠加不是概率的叠加，而 是态矢量的叠加。相干叠加后，时刻粒子出现在位置尹处的概率为 囚禁离子声子场压缩特性的研究 沙( 尹，f ) j 2 - - v ( f ，) 沙( 芦，f ) = i q l 2 眵。扩，f ) 1 2 + i 口：1 2 陟：( 尹，f ) 1 2 + 口。口：。扩，t ) g j ；( f ，f ) + 口? 口：少：旷，f ) 少：扩，f ) 。 ( 1 3 ) 若为经典叠加，则叠加后的概率没有交叉项，这是经典叠加与 量子相干叠加原理最本质的区别，量子态的相干叠加是量子力学的 基本原理 2 1 1 。 p 1 2 2 光场的相干性描述 2 2 3 在介绍光场相干性的量子理论之前，先分析光场的探测过程。 目前的光探测器主要基于光电效应的原理。通常作为探测器的是单 个原子，该原子通常处于基态，一旦它吸收一个光子而跃迁到激发 态以后，就将极快地弛豫到基态，可以忽略原子的受激辐射过程的 影响。作为探测器的原子，可以认为总是处于基态，对于入射光场 而言，它只发生吸收光子的过程，而不发射与入射光子相同频率和 传播方向一致的光子。 其中 假设待探测光场在r 时刻位置为尹处的电场强度可表示为 盂( 尹，) = 豆+ ( 尹，r ) + 雷( ( 尹，f ) ， ( 1 4 ) 趴和h k ( 参卜p v 叫， 二6 n ， 舌一( 尹，r ) = 【豆+ ( 尹，) 】+ ( 1 5 ) ( 1 6 ) 舌( + ( 尹，) 为电场的正频部分，只包含光场的消灭算符，对应着光子 的吸收过程。 高校教师在职硕士学位论文 设探测原子从光场每次只能吸收一个光子，光场从初态l f ) 变到 终态l ) ，则原子在位置尹、时刻f 吸收一个光子后的跃迁几率正比 于乃， 乃= m ( 尹，f ) 卅 ( 1 7 ) 由于光场的终态无法测量，须对所有的终态进行求和，利用完备性 关系 l 似厂i = l ， ( 1 8 ) j 可得平均光强为 ，( 尸，) = 巴= ( 惟卜( 尹，f ) i 似眇( 尹，f ) i f ) 1 = ( 怛一( 尹，f ) 雷+ ( 尹，f ) 盼 ( 1 9 ) 以上结果是光场处在纯态i f ) 的情形。由此可推广到统计混合态的情 况，只需对处在几率为只的初始态求平均，可得 地，f ) = p ( 壮卜( 尹，t ) e 卜( 纠| f ) ， 也可以写为 ，( 尹，f ) = 乃( p 雹一( 尹，t ) e + ( 尹，f ) ) ， 其中 p = 尸眺i 如果光场的初始态为真空态，即 户：1 0 ) ( o l ， 则光强可表示为： i ( p ，f ) = ( o 旷1 ( 尹，f ) 层“( 尹，f ) i o ) = 0 4 ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) ( 1 12 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 囚禁离子声子场压缩特性的研究 上式表明，对真空而言，算符的正规排列使得光强为零。对探测器 而言，这是吸收光子情况下的必然结果。从更广义的角度来说，对 两个不同的时空点工= ( 尹，) 、f = ( f ，t ) 而言，它们的关联程度可以用关 联函数g 来表示， g o ( x ，一) = t r 应卜( j ) 丘( + ( x ) ( 1 15 ) 一阶相关函数足以解释经典的干涉实验。 为了解释强度关联实验，如h a n b u r y - b r o w n - t w i s s 实验，还需 要引入高阶关联g ( 一) g ”( 石l x n ，毛+ l x 2 。) = 乃 应一( 而) e 一( z 。) e + ( x 。1 ) e + ( z 2 。) ) ， ( 1 1 6 ) 该关联函数对应着刀个原子的光子探测器。 1 2 3 杨氏双缝实验的数学描述 首先从经典角度看，杨氏双缝实验中的光场可用两个球面波来 描述，如图1 - 1 所示， l 0 d d 2 望- 孑歹i t ! x ? f b 图1 1 杨氏双缝实验示意图 屏幕上任一点的场强满足叠加原理 2 3 雹+ ( 尹，r ) = 雷：+ ( 尹，f ) + 屡+ ( 尹，f ) ， ( 1 17 ) 高校教师在职硕士学位论文 其中雷：+ ( 尹，f ) 代表第一个缝的电场， 屏幕上的光强 足+ ( 尹，f ) 代表第二个缝的电场a 彤，= 睁刊2 ，l 厂i 厂2 i ( 1 1 8 ) 干涉项为 = 三三p 业( 1 一，2 + 阢， ( 1 1 9 ) ，l r 2 1 ：= 扫i 再万兰d + d 2 ( 2 d ) t - x d d ， ( 1 2 0 ) 其中“一 对应光源1 ，“+ 对应光源2 。 兰等e 一2 州，d + 阢 ( 1 2 1 ) r 。 由于该干涉项的出现，使得屏幕上出现明暗相间的干涉条纹。 如果杨氏双缝实验中的光场采用平面波来处理，则 ，( ，) = i 占。p f i - 7 + s 。p 毛7 1 2 ， ( 1 2 2 ) 干涉交叉项 k = 式p 卅砂+ 化 ( 1 2 3 ) 如果按照图1 - 1 ，则 云= k ( 三c o s e + 量s i n p ) ， 丘f = k ( d c o s o , + x s i n 0 , ) 囚禁离子声子场压缩特性的研究 可知 兰k ( d 千x d d ) ( 1 2 5 ) ( ，) = 式岛e 。2 删d + c c ( 1 2 6 ) 与球面波的处理结果是相同的。 若用量子理论，同样可以解释光在屏幕上出现干涉条纹。考虑 入射光场中的一个光子，则该光子通过双缝后的态可表示为： i 缈) = ( i l 岛) + 压， ( 1 2 9 ) 其中h ) 与卜) 分别与光子通过缝1 和缝2 相对应。根据一阶相关 函数( 1 1 5 ) 可得 g 1 ( 尹，f ；o ) = ( 缈i e ( 尹，) e + ( 尹，f ) i y ) = 吉i ( 。i e ( + ( 尹，r ) f 七) + ( o i e ( + ( 尹，f ) l l 。：) 1 2 = 式s 。垆+ p 如1 2 ( 1 3 0 ) 上式中豆( + ( 尹，f ) 及豆( 一( 尹，f ) 由( 1 5 ) 及( 1 6 ) 式给出，该式给出与 经典处理( 1 2 2 ) 相同的结果。 1 2 4m a c h - z e h n d e r 单光子干涉实验的相干性分析 2 4 如图卜2 所示，设图中有一单光子从左侧光路入射到半反半透 的镀银镜面即5 0 5 0 分束器上，入射光子将会分成水平光束h 和垂 直光束v ，同时沿着两条路径，经各自路径上的平面镜反射，到达 第二个5 0 5 0 分束器，在两条出射路径上有两个光电探测器a 和b 。 高校教师在职硕士学位论文 h 图1 - 2 单粒子干涉实验 实验发现，在a 和b 中，总是只有一个能够探测到光子，另一 个则永远不会有光子到达，这一事实与人们的常识是相违背的。通 常认为光子沿两条路径机会均等，经分束器出射的光子应该机会均 等地射到探测器上。之所以只能在一个探测器上观察到，这是两条 路径的光量子相干叠加的结果。我们还可以试图在其中某一光路上 放一块半波片，若原来光子只能到达a 探测器，则放入半波片后， 那么光子就只能到达b 探测器，不会同时在两个探测器上探测到光 子，如图卜3 所示。 a 扣d b i一 ii h 图卜3 位相影响干涉的示意图 h a 唱扣d b - _ i f d a q乒个 囚禁离子声子场压缩特性的研究 随着波片的引入，改变了两条光路的光程，从而影响到达探测 器的位相，光子的状态完全用态函数表示，包含光子的位相和振幅， 由于量子态之间的相干叠加，几率幅的叠加，而非几率的叠加，导 致总是只能有一个探测器探测到光子，另一个则永远没有光子到 达，除非改变位相，这完全是量子态的相干叠加结果。 1 3 光场的压缩 在光通讯和弱信号探测等方面，若采用相干态光场的某一分量 携带信号，则信噪比的提高受到很大的限制，若采用压缩态光场则 能达到要求。光场压缩效应的发现及其实验观测的实现是近年来量 子光学领域的重大进展之一，由于压缩态光场具有低于标准量子极 限的噪声，在光通讯，弱信号检测和非破坏性测量等领域具有重要 的应用前景 2 5 。 1 3 1 光场压缩的概念 2 3 。 假设两个厄米算符a 、b 满足对易关系 【么，b 】= i c ， 根据海森堡不确定关系有 鲋衄吾i i 如果可观测量a 满足 ( 鲋) 2 圭l i ， 则称该系统处在压缩态。 若满足 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 高校教师在职硕士学位论文 a a a b = 喜i i ， ( 1 3 4 ) ， ii 则称为理想压缩态。 在压缩态中，一个变量的量子涨落减小，是以该量的共轭变量 的量子涨落增加为代价的，不确定关系仍然要得到保证。 作为例子，考虑频率为y 的单模量子化的电磁场 雷( f ) = 鹾( 口p 州+ a + e 。) ，( 1 3 5 ) 其中a 、a + 满足对易关系 找1 j j 引j 珏j 巳木派怕舁付x 。，x 2 置- 三( 口+ 口+ ) ， 肖：= 西1 ( a - a t + ) ， 其中x 。、x ：是无量纲的位置和动量算符 工：孕4 r 磊l m v ( 口+ 口+ ) ， p ：掣( a - a + ) ， z j 由对易关系( 1 3 6 ) 式可知x 。和x ：满足 k x z 】- 圭 根据这些算符，方程( 1 3 5 ) 可改写为 雹【l 、：2 e 考【x l c o s v t + x 、s i n v t ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) ( 1 4 0 ) ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) 囚禁离子声子场压缩特性的研究 显然厄米算符x ，和置是位相差为刀2 的振幅，据( 1 4 1 ) 式可知两 个振幅的不确定性关系为 硝。必主丢 若 ( 从i ) 2 丢( 川，2 ) ， 则获得辐射场的压缩态。 1 3 2 光场的压缩态 ( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) 量子光学中存在一类压缩态。相干态是光场振幅算符五和x ：的 最小不确定鸯，正交分量五微：的涨落均取得最小f l 直l 4 。为了进 一步了解压缩和压缩态，需要引入压缩算符 2 3 跗) = e x p 【矿一丢洳+ ) 2 】， 式中善= r e 印为任意复数。 容易证明压缩算符满足 s + ( 善) = s - i ( 善) = s ( 一f ) ， 而且有以下变换性质 s + ( f ) ( 心( 亭) = a e o s h r a + e 坩s i n h ，。 ( 1 4 5 ) ( 1 4 6 ) ( 1 4 7 ) s + ( 孝) 口+ s ( 善) = a + c o s h r a e 一口s i n h r ( 1 4 8 ) 定义旋转8 1 2 的复振幅 i + f 五= ( 五+ ：) e 一班，( 1 4 9 ) 高校教师在职硕士学位论文 容易导出 s + ( 孝) ( k + ，k ) s ( 善) = r , e 一7 + i y 2 e 7 ( 1 5 0 ) 压缩相干态i 口，f ) 可以首先平移算符d ( 口) 作用在真空态上，然 后再将压缩算符作用在其上，则压缩态的定义为 其中口= a l e 佃 平移算符 口，f ) = s ( 孝) d ( 口) l o ) ， ( 1 5 1 ) d ( o t ) = e x p ( a a + 一口口) ，( 1 5 2 ) 平移算符是幺正算符，即 d + ( 口) = d ( 一口) = 【d ( 口) 】一( 1 5 3 ) 当它作用在振幅算符a ，口+ 上时， d 一( 口) 扣( 口) = a + 口，( 1 5 4 ) d 。1 ( 口) 口+ d ( c t ) = a + + 口( 1 5 5 ) 作为后续讨论的需要，下面我们计算压缩相干态中a 和a + 等算 符的平均值和旋转振幅e 、e 的涨落。 消灭算符口在压缩相干态中的平均值 ( 口) = ( 口，孝f 口l 口，善) 。 = ol d + ( 口) s + ( 孝) ( 6 ( f ) d ( 口) jo ) = ( a ( a c o s h r 一九憎s i n h , ) l 口) 囚禁离子声子场压缩特性的研究 = a c o s h r 一口e 一s i n h ， 产生算符a + 在压缩相干态中的平均值 ( 口2 ) = ( ( 口+ ) 2 ) = ( 0 1 0 + ( 口) s + ( f ) 口2 s ( 4 ) d ( c 0 0 ) = ( a s + ( f ) 舔( f ) s + ( f ) 舔( 孝) i 口) i 。 ( 1 5 6 ) = 口2 c o s h 2 ，+ ( 口) 2 e 2 阳s i n h 2 ，一2 i 口1 2 p 坩s i n h r c o s h ，一e i o c o s h ，s i n h ， 粒子数算符a + a 在压缩相干态中的平均值 ( 1 5 7 ) ( 口+ 口) = 盯( c o s h 2r + s i n h 2r ) 一( 口) 2 e l os i n h r e o s h r - g 1 2 e - i os i n h ，c 。s h 广+ s i n h z ， ( 1 5 8 ) 由此可以算出旋转振幅k 和e 的涨落。将( 1 3 7 ) 式与( 1 3 8 ) 式 中的x 。和x ：替换，并代入( 1 4 9 ) 式，我们得到 所以旋转振幅x 的涨落 ( y ；) 2 k + f 匕= 伽一跗 = ( k 2 ) - i t , 2 = 言( ( 口p - l 口，2 + 口+ p 坩坨) 2 ) 一l ( ( a e - , e 2 + a + e e 2 ) ) 2 ( 1 5 9 ) = l ( a 2 ew + ( 口+ ) 2 e r a + a t + + a * a ) 一 ( ( 口e 一坩，2 + 口+ p ，口，2 ) ) 2 ：l e - 2 ， 4 1 3 ( 1 6 0 ) 曼堡婺! 尘垄坠竺主兰垡堡圣 同理旋转振幅e 的涨落 ( a y e ) 2 = 它们满足的不确定关系为 x 匕= i 1 ( 1 6 1 ) ( 1 6 2 ) 根据( 1 4 3 ) 式，可见压缩相干态是一个理想压缩态。如图 1 - 3 所示，在复平面内，相干态的误差圆被压缩成同样面积的误差 椭圆。椭圆的主轴为x 和k ，是x 。和x ：分别旋转8 2 后得到的。压 缩程度取决于厂= 蚓，称为压缩参数。 、 、 、 4 易； 图卜3 压缩相干态的误差轮廓图 若将压缩算符直接作用在真空态上，则得所谓的压缩真空态， 其定义式为 o ) 。= s ( f ) l o ) ，si ， ( 1 6 6 ) 囚禁离子声子场压缩特性的研究 将压缩真空态的态函数用数态展开可得 。) ，妻l 型1 i 0 n 业! i 2 (167)4“怠c o s h r 刀12 ” 7 上式表明，压缩真空态是由仅包含偶数个光子的数态叠加而成。 囚禁离子声子场压缩特性的研究 第二章离子的囚禁与冷却 2 1 离子的囚禁 离子的囚禁技术起源于二十世纪三十年。1 9 5 8 年，p a u l 提出具 有旋转对称性双曲面型的四极离子阱 2 6 ，称为p a u l 阱。1 9 6 7 年 d e h m e l t 把离子阱技术应用到精密谱测量后 2 7 ，囚禁离子技术逐步 成为原子分子物理、量子力学、凝聚态物理、等离子物理、化学和 生命过程以及天体物理中研究离子及离子过程的重要手段。近年来， 激光冷却和离子囚禁技术的结合开辟了离子阱应用的新篇章，p a u l 阱已经应用到很多科学和技术领域 2 8 3 0 ，如制作高精度的离子频 标，量子计算逻辑门。由于在精密测量方面的突出成就，d e h m e l t 教授荣获1 9 8 9 年诺贝尔物理学奖。 线型离子阱由四根平行排列圆柱型的电极棒加上端帽极组成。 如果在相对的两根电极加上交变电压c o s 9 2 ，t + u ，相对的另外两根 电极接地，这样在阱的轴线附近产生一个周期含时的四极电势可表 示为 l ( v oc o s g b t + u , ) ( 1 + 丁x 2 _ y 2 ) ( 2 1 ) 其中r 是轴到电极表面的距离。该势使离子在x y 平面( 即径向方 向) 作微小的简谐振动。为防止离子从z 方向逃逸，需在柱型电极 两端再加上静电压u 。，该静电势在阱的轴线附近产生的势为： ，= 叫z 2 一i 1 ( x 2 + y 2 ) 】- 万m 弦7 1 工2 + 枷 ( 2 2 ) 高校教师在职硕士学位论文 uo0vu o 厂厂 、厂 图2 i 离子阱的示意图 t - i - u ， 其中k 为几何因子，m 和q 分别为离子质量和电荷，吐：( 2 叼u 。聊) 为离子沿着z 方向的质心振子频率。 公式( 2 1 ) 和( 2 2 ) 所代表的势，是图2 1 所示的离子阱构造下 所产生势的最低近似。这种最低级的简谐势近似成立的条件是离子 的线度和离子运动的幅度远小于电极间的距离。当离子的线度或离 子运动的幅度较大时，须考虑中和。中的高阶效应。由公式( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，结合牛顿运动定律，可得离子或离子质心系在x 、y 方向 上的运动的m a t h i e u 方程为 其中 窘+ 【口，均p 蟛m - 0 ， 窘+ 【a y + 2 q yc o s ( 2 缈_ 0 ， a ，= ( 4 q m f 2 2 r ) ( u ，r 2 一彤o z ；) ， 口j ，= - ( 4 q m f 2 2 r ) ( u ，r 2 + 彬。z ；) ， f = q ，2 ， ( 2 3 ) ( 2 4 ) 囚禁离子声子场压缩特性的研究 q，=一q。=2qvo(qzmrqv o 2 ) ，j2 一v2j ， m a t h i e u 方程是具有周期系数的微分方程，解的稳定性依赖于 参数q 和q i 的取值。稳定解的一般形式可写为 u t ( 善) = 彳，p 惭q 。e 山+ 巨p 啪f c ；。p 1 2 ”， 其中屈为实数，且屈与系数c 乞由参数口和g ，决定，彳和e 是由初始 条件决定的任意常数。将形式解( 2 5 ) 代入m a t h i e u m 方程可得递推 关系 c ；棚一叫。q 。+ c ；帕= 0 ， d ；。= 【( 2 刀+ 屈) 2 一a 1 q ， ( 2 6 ) 在一般离子阱实验中，典型的参数条件满足口， 目 缈：，离子在径向 方向因紧囚禁而被“冻结 ，只在阱的轴线方向上作简谐振动。在 离子阱中，离子的间距并不均匀，在线型阱的中心区域，离子的间 距较小，而靠近阱的两端，离子的间距要大一些。 在线型离子阱中，单个和多个离子在运动的描述上有很大差 别。对单个囚禁离子只有质心运动模；对于多个囚禁离子，由于它 们之间存在较强的相互作用，可将其运动分为质心运动模式和相对 运动模式来处理。质心运动模描述离子系统的整体运动，相对运动 模描述离子系统内部各离子之间的运动。对于由l 个囚禁离子系 统，有3 l 个质心运动模，其中3 ( l 一1 ) 个为呼吸模，我们感兴趣的 是l 个轴向运动模式，在实验中通常用激光去耦合这些轴向模而使 它们发生所需要的变化。对线型阱来说，轴向模的频率几乎与离子 数l 无关。 由上述经典力学处理方法，囚禁在p a u l 阱中离子的运动可以 看作是以囚禁场驱动频率q r 的小振幅、快速振动的微运动和以频 率为够的慢振动的宏运动所组成。宏运动是囚禁离子运动的主要特 征，微运动是囚禁场驱动下离子运动所固有的。在许多情况下，人 们所关心的是离子的宏运动，此时可用赝势模型的方法来处理，即 忽略微运动效应，用形如( 2 9 ) 式所示的与时间无关的赝势代替原 来的时间相关的势。赝势模型具有形式简单、易于处理等优点，因 而被广泛应用于实验与理论的研究中。本论文所涉及的内容都是在 赝势模型的框架中处理的。 2 0 囚禁离子声子场压缩特性的研究 2 2 囚禁离子的冷却原理 当离子刚被囚禁于离子阱中时，离子具有的能量与势阱的深度 相当，不利于囚禁离子的实验，有必要对离子进行冷却。这主要有 以下几方面的原因： 1 当离子的动能较大时，其振动幅度较大，离子丢弃的机会 大，冷却可以提高离子在阱中的存储时间。 2 冷却能够极大限度地降低多普勒效应，提高光谱测量的精 度，在l a m b d i c k e 极限下，一阶多普勒效应能完全消除。 虽然一阶多普勒效应也能采用其他方法进行消除，但二阶 多普勒效应只能采用冷却的方法减小。 3 冷离子由于其振动的幅度小，受到的非简谐囚禁场的影响 较小，这对于提高量子计算和质谱实验的精度非常重要， 因为质谱实验是通过对离子振动频率的精确测量来计算 离子的质量的。 目前激光冷却是其中最为行之有效的方案。利用激光冷却囚禁 离子是由w i n e l a n d 和d e h m e l t 3 1 于1 9 7 5 年提出的，与此同时， h a n s c h 和s c h a w l o w 3 2 提出了自由原子激光冷却的思想。直到可 操作激光技术的出现，激光冷却技术才获得了重大突破，第一个囚 禁离子的激光冷却实验报道于1 9 7 8 年 3 3 3 4 。 囚禁离子的激光冷却通常分两步进行，当离子刚囚禁于阱中时， 离子具有较高的动能，此时采用多普勒冷却；经过多普勒冷却后， 离子的运动进入l a m b d i c k e 区域，进一步的动能降低可以采用边带 冷却来实现。文献 3 5 3 7 详细描述了囚禁离子的激光冷却的物理图 象，本文只简要介绍多普勒冷却和边带冷却的基本思想 2 9 。 高校教师在职硕士学位论文 所谓多普勒激光冷却，就是用激光束照射原子束，使原子束与 激光束中的光子相向而行，进行不断的碰撞。光子和原子的每一次 碰撞都可以看成是原子吸收和发射光子的循环。循环中原子会因吸 收了相向而行的光子而使得其动量减小。同时在相互作用过程中又 会引起原子的跃迁过程，产生光子辐射，但是所辐射的光子是随机 的，方向朝着四面八方，这并不增加原子的动量。因此，从总体效 果上看，原子与激光场的相互作用，就会使得迎着激光束方向上原 子的运动速度减小。如图2 - 2 所示，对于原子而言，迎面而来的激 光“看起来”频率有所增加，因此只要适当降低激光的频率，使之 正好适合运动的原子固有频率，才能满足原子的跃迁过程，形成吸 收和发射光子的过程。 光波 y 一，、 ，。 ，_ _ 、- - ，、，- ，、 - 原予司烈丁 m 、拿 图2 - 2 激光冷却原子示意图 离子经过多普勒冷却后，离子已经进入l a m b d i c k e 区域，接 下来可利用边带冷却方法进行。在强囚禁条件即离子激发能级的有 效线宽远小于其振动的频率，通过调节冷却激光的频率，使之与囚 禁离子的一阶红边带发生共振而实现囚禁离子的冷却。 考虑一个二能级的囚禁离子同激光的相互作用，离子已通过多 普勒冷却进入l a m b - d i c k e 区域，调节冷却激光的频率使之与离子 的一阶红边带发生共振，在精确到l a m b d i c k e 参数r 的一次项和 旋波近似下，在相互作用表象中的哈密顿量可表示为e 3 8 3 h h = ( 必2 ) 【盯+ p + d 7 0 + a + d l a + 口+ e 2 。h ) 】+ h 丘。 ( 2 1 0 ) 囚禁离子声子场压缩特性的研究 其中q 为原子由r a b i 频率，叽为通常的泡利上升算符，口( 口+ ) 为谐 振子的消灭( 产生) 算符，上式中的第一、二、三项别来自载波跃 迁l 一阶红边带跃迁和一阶蓝边带跃迁，我们主要研究一阶红边带 跃迁。 亩- - - - o ，r i 腮- 子频率 禹予跃迂翔翠、 激光频率 、 、， 图2 - 3 一阶红边带跃迁示意图 如图2 3 所示，离子吸收一个光子和一个声子，通过红边带激发从 基态跃迁到激发态，然后离子通过自发辐射回到基态。整个循环过 程的效果是消灭一个声子，离子被进一步冷却。当温度足够低时， 离子的振动运动被“冻结 只乘, j - f 最靠近基态的声子振动态，而无 声子的基态也就是量子计算的适宜的初态 3 9 。 第三章囚禁离子的相干导致的压缩 3 1 引言 离子的囚禁和冷却技术的出现为原子物理和量子光学注入了新 的研究内容。当离子被囚禁在电磁谐振势中时，其量子化的振动运 动起着玻色模的作用，这种量子化的声子场可通过激光与离子的内 态产生耦合 4 0 。由于离子振动运动与环境之间的耦合较弱，因而 声子场的耗散效应是很小的，这个特性可以用来实现某些腔q e d 系 统难以模拟的动力学过程。在这种观点的诱导下，人们提出了许多 理论方案用以产生囚禁离子的各种振动运动的非经典态，如数态 4 卜4 2 、压缩态 4 3 - 4 6 、奇偶相干态 4 7 4 8