（固体力学专业论文）MEMS扭转微镜的力学特性分析.pdf

哈尔滨1 = 程大学硕士学位论文 摘要 微机电系统( 脏煅) 白2 0 世纪8 0 年代中期发展至今一直受到世界各发 达国家的广泛重视，被认为是一项面向2 l 世纪可以广泛应用的新兴技术 m e m s ( m i c r oe l e c t r o m e c h a n i c a ls y s t e m ) ，即微机电系统，是指采用微机械 加工技术可以批量制作的集微型传感器、微型机构、微型执行器以及信号处 理和控制电路、接口、通讯等于一体的微型器件或微型系统。目前，m e m s 技 术几乎可以应用于所有的行业领域，其主要对象包括微驱动器、微执行器和微 传感器，并逐步向微光学、微机器人、微气动、微液压等方向发展。扭转微 镜是近年来随着m e m s 技术的发展而逐渐得到广泛应用的一种微型光学器件， 在现代光学通讯、光计算、投影显示、高清晰度电视等方面有着十分广泛的 应用。 本文比较了两种扭转微镜的模型仅考虑扭转变形的模型和扭转弯 曲耦合变形的模型，通过与文献中试验数据的比较可知耦合模型更为合理 在静电力的计算中充分考虑了边缘效应的影响，对微镜的静电力进行了修正， 并采用修正后的静电力来计算微镜的驱动力( 力矩) 由于考虑了边缘效应， 微镜动力学方程中的激励项变得非常复杂，无法求出其解析表达式，因此本 文采用数值积分来计算动力学方程中的激励项。通过比较证明本文所提出的 数值计算方法具有较高的精度，完全可以用于实际计算。本文利用耦合模型 考察了边缘效应对微镜的静态特性和吸和特性的影响，并采用迭代修正齐次 扩容精细积分法求解动力学方程，分析了在阶跃载荷下边缘效应对微镜动态 特性的影响，并讨论了影响微镜边缘效应的主要因素最后，本文简单地分 析了阻尼对微镜动态特性的影响，并对正弦激励下的微镜进行了数值模拟。 关键词：扭转微镜；边缘效应；迭代修正齐次扩容精细积分；力学特性；微 机电系统。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t m i c r oe l e c t r o m e c h a n i c a ls y s t e mi si m p o r t a n tt oe v e r yd e v e l o p e dc o u n t r y s i n c em i d d l eo f1 9 8 0 s , m e m si sr e g a r d e da san 删t e c h n o l o g yt h a tf a nb e a p p l i e di ng e n e r a la p p l i c a t i o n m e m s ( m i c r oe l e c t r o m e c h a n i c a ls y s t e m ) i sa m i c r od e v i c eo ram i c r os y s t e mw h i c hc a nm a s s - p r o d u c eb ym i c r o - m a c h i n i n ga n d i ts e tm i c r os e n s o r , m i c r om a c h i n e ，m i c r oa c t u a t o r , s i g n a lp r o c e s sa n dc o n t r o l c i r c u i t , i n t e r f a c e , c o m m u n i c a t o ri ni n t e g r a t i o n m e m st e c h n o l o g yc a na l m o s tb e a p p l i e di n 枷i n d u s t r i e s , w h o s em a i no b j e c t i v e si n c l u d em i c r od r i v e r , m i c r o a c t u a t o r , m i c r os e n s o r m e m sa r et r e n d e dt 0b ea p p l i e di nm i c r oo p t i c a l ，m i c r o r o b o t , m i c r op n e u m a t i c , m i c r oh y d r a u l i c t o r s i o nm i c r om i r r o ri sak i n do fm i c r o o p t i cd e v i c ew h i c hi st r e n d e dt ob eu s e d 妯g e n e r a la p p l i c a t i o n sa l o n gw i t ht h e d e v e l o p m e n to fm e m s t o r s i o nm i c r om i r r o ri sm a i n l ya p p l i e di nm o d e r no p t i c c o m m u n i c a t i o n , o p t i cc o m p u t i n g , p r o j e c t i o nd i s p l a y , h i g hd e f i n i t i o nt e l e v i s i o n t w om o d e l s , t o r s i o nm o d e la n dt o r s i o n b e n dc o u p l em o d e l ，w e r ec o m p a r e d i nt h i s p a p e r b yc o m p a r e dt h er e s u l t sw i t ht h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t s i nt h e d o c u m e n t , i ts h o w e dt h a t t h ec o u p l i n gm o d e lw a sm o r er a t i o n a l b a s e d c o m p l e t e l yc o n s i d e r i n ge d g ee f f e c t s ，t h ee l e c t r o s t a t i cf o r c ec o m p u t a t i o nf o r m u l a s w e r ec o r r e c t e d , a n dt h ed r i v ef o r c e s ( t m s i o n s ) w e r ec a l c u l a t e db yt h ec o r r e c t e d e l e c t r o s t a t i cf o r c e c o n s i d e r e dt h ee d g ee f f e c t s ，t h ed r i v ei t e m sw c l ec o m p l i c a t e d a n dt h e i ra n a l y s i s e x p r e s s i o n s c o u l d n tb ed e r i v e d t h e r e f o r e , n u m e r i c a l i n t e g r a t i o np r o c e d u r ew a se m p l o y e di nt h i sp a p e rt oc a l c u l a t et h ed r i v ei t e m si n t h e d y n a m i c se q u a t i o n s i t sp r o v e d t h a tt h en u m e r i c a lc a l c u l 砒i o nm e t h o d p r e s e n t e di nt h i sp a p e rw a s a c c u r a t ea n dc o u l db e u s e di na c t u a la r i t h m e t i c i nt h i s p a p e rt h ec o u p l i n gm o d e lw a sa d o p t e dt oa n a l y z et h ea f f e c t i o no ft h ec d g ce f f e c t s o nt h es t a t i cc h a r a c t e r i s t i c sa n dp u l li ne f f e c t so ft h et o r s i o nm i c r om i r r o r s , a n dt h e d y n a m i ce q u a t i o n s w e g es o l v e d b yt h e i t e r a t i v er e f i n e m e n th o m o g e n e o u s 哈尔滨工程大学硕士学位论文 c a p a c i t yh i g hp r e c i s i o ni n t e g r a t i o nm e t h o d i nt h es t e pd r i v e ，t h ea f f e c to ft h e e d g ee f f e c t sa b o u tt h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h et o r s i o nm i c r om i r r o rw a s s t u d i e da n dt h em a i nf a c t o r sa f f e c t e dt h ec d g pe f f e c t sw c r cd i s c u s s e di nt h i sp a p e r 1 l 峙a f f e c to fd a m po nt h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so ft h et o r s o nm i c r om i l t o ga n d t h ed y n a m i cr e s p o n s eo ft h et o r s i o nm i c r om i r r o ri nh a r m o n i cd r i v ew a ss i m u l a t e d s i m p l ya tl a s t k e y w o r d s ：t o r s i o nm i c r om i r r o r ；, e d g ee f f e c t s ；i t e r a t i v er e f i n e m e n th o m o g e n e o u s c a p a c i t yh i s hp r e c i s i o ni n t e g r a t i o nm e t h o dd y n a m i c ；m e c h a n i c s c h a r a c t e r i s t i c s ；m i c r oe l e c t r o m e c h a n i c a ls y s t e m 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的 指导下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、 数据和文献的引用已在文中指出，并与参考文献相对 应。除文中已注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担。 作者( 签字) ：煞叠 日期：。一年孑月1 1 日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 选题的目的和意义 1 1 1l i e n s 概述”咧 m e m s ( m i c r oe l e c t r o m e c h a n i c a ls y s t e m ) ，即微机电系统，是指采用微机 械加工技术可以批量制作的集微型传感器、微型机构、微型执行器以及信号 处理、控制电路、接口、通讯等于一体的微型器件或微型系统。它把信息系 统的微型化、多功能化、智能化和可靠性水平提高到新的高度，自2 0 世纪 舳年代中期发展至今一直受到世界各发达国家的广泛重视，是目前科技界的 热门研究领域之一。m e m s 技术的目标是通过系统的微型化、集成化来探索 具有新原理、新功能的元件和系统。m e m s 技术是一种典型的多学科交叉的 前沿性研究领域，几乎涉及到自然及工程科学的所有领域，它的广泛应用将 对信息、航空、自动控制、力学、热学、光学、近代物理和工程学等诸领域 的发展将产生深远的影响。可以预见，m e m s 将像微电子一样，对科学技术 和人类生活产生革命性的影响并可望形成类似于微电子的新兴产业 微机电系统的起源与微电子技术的发展密切相关。在1 9 世纪，照相制版 技术诞生了光制造技术半导体晶体管的发明和半导体集成电路的研究使人 类能够在微米尺度上大规模制作电子元件、器件与电路，同时使硅成了最主 要的微电子材料，为微机电制造技术的发展奠定了基础。2 0 世纪6 0 年代美 国相继开发出了结晶异方向腐蚀、阳极键合等基本微加工技术，制造出了许 多微小尺寸的机械零部，逐渐形成了微机电的机电系统。2 0 世纪年代， 表面微加工技术的发展使集成电路的兼容性大大提高。通过硅工艺、大规模 集成技术及微机械加工技术，使人们能够把信息传感、数据处理、执行机械 以及其它一些微器件按照集成电路的制造原则，以高密度、低成本的方式集 成在一起，产生了微机电的概念。1 9 8 8 年美国加州大学伯克利分校发明了转 子直径为6 0 1 0 0 m l 的硅静电马达，引起了很大的轰动同期，美国的1 5 名科学家向美国政府提出了“小机器、大机遇、关于新兴领域一微动力学 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( 微系统) ”的建议书，并召开了研讨会。自此m e m s 一词就渐渐成为一个 世界性的学术用语，m e m s 技术的研究开发也日益成为国际上的一个热点 在欧美微机电系统通常称为m e m s ，在日本通常称为m i c r o m a c h i n c 或 m i c r o s y c t e m 。微机电的相关定义如下： 美国北卡罗来纳微电子中心( m c n c ) 对m e m s 的定义是：微机电系统 是由电子和机械组成的集成化器件或系统，采用与集成电路兼容的大批量处 理工艺制造，尺寸在微米到毫米之间，尤其是将计算、传感与执行融合为一 体，从而改变了感知和控制自然界的方式 日本微机械中心对m i c r om a c h i n e 的定义是：微机械是由只有几毫米大 小的功能元件组成的，它能够执行复杂、细微的任务。 国际电工委员会对m i c r os y s t e m 的定义是：微系统是微米量级内的设计 制造技术，它集成了多种元件，并适应以低成本大批量生产 由此可见，微机电系统是由关键尺寸在亚微米和亚毫米范围内的电子和 机械元件组成的器件或系统，它将传感、处理与执行融为一体，以提供一种 或多种功能微机电系统并不能完全用总尺寸来定义，而应用特征尺寸来表 征特征尺寸是决定器件性质和加工工艺的关键尺寸，特征尺寸在亚毫米以 上的机械电子系统基本上属于传统机电一体化装置，传统的机械加工技术已 经能够满足要求，而特征尺寸在亚微米以下的机械电子系统，由于纳米效应、 量子效应的作用，其理论基础与加工技术己完全改变，应属于纳机电系统。 m e m s 的关键技术主要包括微系统加工技术、微系统封装技术、微系统 检测技术。微系统加工技术是在微电子制造工艺基础上吸收融合其他加工工 艺技术逐渐发展起来的，它是实现各种微机构结构的手段，因此在m e m s 研 究开发中占有极为重要的地位目前正在应用的主要的微加工技术主要是体 硅制造、表面微加工和l i g a 工艺体硅制造是一个成熟的工艺过程，它的 特点是工艺简单生产成本低，适合于简单的几何形状，例如微压力传感器基 片及执行元件但这种方法的材料损失大，而且由于微观结构的整体高度受 所用硅晶片的厚度限制，该工艺仅适用于低深宽比的几何形状，即表面尺寸 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 要远大于深度尺寸表面微加工技术的优点在于它不受硅晶片厚度的限制， 薄膜材料的选择范围大，适合于复杂的形状。其缺点是它需要在基底上构造 材料层，需要复杂的掩模设计及生产，必须腐蚀牺牲层，而且整个工艺耗时 多，成本大。l i g a 工艺是所有工艺中花费最多的，它的x 射线光刻需要用 到一种特殊的同步加速器辐射设备，而且需要研制微注入压模模型技术及进 行大批量生产的设备它的主要优点是：微结构的深宽比实际上不受限制， 具有柔性的微结构和几何形状它是三种技术中唯一可以生产金属微结构的 工艺，在制备注入压模的情况下，它是最适合批量生产的 m e m s 系统的封装是一项学术界广泛关注和研究的大课题，它关系到微 型机械工作的保险性和可靠性微机电系统封装的主要作用有：微机械结构 支撑、保护、隔离、提高品质因数、提供与其他系统的电器联结结构，为芯 片提供散热和电磁屏蔽条件、提高芯片的机械强度和抗外界冲击的能力。目 前在微机电系统封装中比较常用的封装形式有无引线陶瓷芯片载体封装、金 属封装和金属陶瓷封装等在微电子封装中备受青睐的刀装芯片封装、球栅 阵列封装和多芯片模块封装也逐渐成为微机电封装中的主流它们可以分为 三个级别：晶片级封装、单芯片封装、多芯片模块和微系统封装。晶片级封 装方法主要注重器件的功能和对器件的保护作用，单芯片和多芯片封装方法 又可细分为着重考虑器件的通用方法和着重考虑特殊应用要求的专用方法 微机电系统的尺度一般在毫米以下量级，多数为微米量级，这种尺度下 材料的许多物理现象和力学行为与宏观有很大的差异。因此，微机电检测技 术是研究微机电系统的一个重要的、必不可少的内容，它不仅可以检验微机 电系统的系统质量水平，而且也为基础理论研究提供了验证的手段从某种 意义来说，微机电系统检测技术的水平直接反映了微机电系统的研究水平 在微机电系统中，检测技术主要包括：材料特性检测技术、构件几何量的检 测技术和系统性能的测定。材料特性检测主要包括弹性模量的测定、材料应 力的检测和材料热物性参数的检测。微系统构件几何参数的检测包括构件的 三维、轮廓、表面粗糙度、膜厚等，测量方法可分为接触式和非接触式两种。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 微系统的性能检测包括结构动态参量的识别、微执行器运动的检测，其测量 原理与一般机电系统没有本质的区别，不同之处在于对于一些微机电系统， 由于输出量极小，因此对测试仪器的灵敏度、分辨率等要求更高在微机电 系统中，激励和检测对系统性能的影响要远大于对精密机械技术的影响，由 于采用微机电系统技术能够制造各种微系统，其性能要求截然不同，因此对 于测试仪器和测试方法要求也不同，只能根据具体的要求选择合适的测试仪 器和方法。 1 1 2 选题的目的和意义 m e m s 的特点可概括为：小尺寸、多样化、微电子化，精度高、响应快 是它的优势。目前，m e m s 技术几乎可以应用于所有的行业领域，产品主要 包括微驱动器、微执行器和微传感器，并逐步向微光学、微机器人、微气动、 微液压等方向发展，目前开发的重点是微传感器和微执行器。根据目前的研 究情况，除了进行信号处理的集成电路部件以外，m e m s 主要有以下几大类： 1 、微传感器：主要包括机械类、磁学类、热学类、化学类、生物学类等。其 主要功能是检测应变、加速度、速度、角速度( 陀螺) 、压力、流量、气体成 分、湿度、p h 值和离子浓度等数值，可应用于汽车、航天和石油勘探等行业 2 、微执行器：主要包括微马达、微齿轮、微泵、微阀门、微开关、微喷射器、 微扬声器、微谐振器等，其功能是利用不同原理与执行机构来产生力并实现 位移。 3 、微型构件：作为小型或微型机器和设备的构成部分，主要包括微膜、微梁、 微探针、微齿轮、微弹簧、微腔、微沟道、微锥体、微轴、微连杆等。 4 、微机械光学器件：利用m e m s 技术制作的光学元件及器件，目前制备出 的微光学器件主要有微镜阵列、微光扫描器、微光阀、微斩光器、微干涉仪、 微光开关、微可变焦透镜、微外腔激光器、光编码器等 5 、真空微电子器件：它是微电子技术、m e m s 技术和真空电子学发展的产 物，是一种基于真空电子输运器件的新技术，采用已有的微细加工工艺在芯 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 片上制造集成化的微型真空电子管或真空集成电路。目前主要包括场发射显 示器、场发射照明器件、真空微电予毫米波器件、真空微电子传感器等。由 于电子输运在真空中进行，因此具有极快的开关速度、非常好的抗辐照能力 和极佳的温度特性 6 、电力电子器件：主要是利用m e m s 技术制作并用于特殊场合的电力电子 器件，包括垂直导电型m o s ( v m o s ) m 件、v 型槽垂直导电型m o s ( v v m o s ) 器件等各类高压大电流器件。 目前已批量生产的m e m s 产品有压力传感器、加速度传感器、微型陀螺、 喷墨打印头和读写头等，产品质量达到很高水平。2 0 0 2 年全球m e m s 的销 售量约为6 8 亿只( 台) ，销售额达到3 4 3 亿美元m e m s 主要产品按市场规模 依次为读写头、喷墨打印头、心脏起搏器、试管诊断器、助听器、压力传感 器、加速度传感器与陀螺等。而m e m s 新兴产品( 如药物供应系统、光开关、 片上实验室、光磁头、投影阀、片上线圈以及微机电器等) 的市场销售额将分 别达到1 亿至1 0 亿美元，m e m s 的发展已显示出巨大的生命力 扭转微镜是近年来随着m e m s 技术的发展而逐渐得到广泛应用的一种 微型光学器件，在现代光学通讯、光计算、投影显示、高清晰度电视等方面 有着十分广泛的应用它通常是用机械性能良好的硅作结构材料，可以获得 较高的工作频率和相对大的扫描角度，可以实现对光束空间位置的任意扫描 微镜要求能够高速旋转到严格控制的范围，角变量是控制微镜工作精度的一 个重要因素。本文根据微镜的结构特点，在建立微镜力学模型时考虑了边缘 效应，研究了扭转微镜的动态特性和静态特性，主要讨论边缘效应对于微镜 力学特性的影响。同时，为了求解微镜的动力学方程，本文还提出了一种原 理简单的迭代修正齐次扩容法，该算法原理简单、实施容易，对于激励没有 任何要求，非常适合于求解非线性动力学方程本文的结论有助于微镜的优 化和设计，具有一定的理论和实际意义。而且，边缘效应普遍存在于电容驱 动的器件中，因此，本文的结论对于其他静电力驱动的m e m s 器件也具有一 定的参考价值 5 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 2 课题的发展状况 1 2 1m e m s 的国内外研究概况州 枷巳m s 与一般的机械系统相比，不仅体积缩小，而且在力学原理、运动 原理、材料特性、加工、测量和控制等方面都将发生变化m e m s 技术自八 十年代末开始受到世界各国的广泛重视，从微机电发展的总体水平看，许多 关键技术已经突破，正处于从实验室研究走向实用化、产业化的阶段各国 的m e m s 技术的发展也各有特点，主要有三种：一是以美国为代表的以集成 电路加工技术为基础的硅基微加工技术；二是以日本为代表发展的精密加工 技术；三是以德国为代表发展起来的u g a 技术 1 9 8 7 年，美国u c b e r k e l e y 大学发明了基于表面牺牲层技术的微马达后， 引起国际学术界的轰动，人们看到了电路与执行部件集成制作的可能性，是 m e m s 技术的开端。美国国家科学基金会( n s f ) 、先进研究计划、国防部等 投资1 a 亿美元进行微机电系统研究。美国的大学、国家实验室和公司已有 大量的微机电系统研究小组，到目前为止美国科学家不仅已经制作出各种整 体尺寸只有几百个微米数量级的微机械部件，如膜片、连接轴、曲柄、齿轮、 弹簧等，还将它们应用到各类传感器的制作中，如压力传感器，气体流量传 感器，温度传感器和加速度传感器等。在对微电机的研制过程中，科学家们 不断对微机电的设计原理、工艺与材料做出改进，不仅提高了原有静电微机 的性能，而且还开发了其它类型的微电机，技术指标有了很大的提高。由于 认识到微机械潜在的极大经济利益，日本政府对于m e m s 的研究给予了高度 重视，他们于1 9 9 1 年通过了通产省土业技术院提出的旨在发展微机器人的毫 微米技术十年计划，并于1 9 9 2 年投资2 5 0 亿元开始执行这项庞大的政府计划 同时由于日本的企业在日本科技和经济方面具有强大实力，他们在微机电技 术的发展中也扮演着重要的角色二十世纪年代末n e c 公司制作出了转 子直径为5 0 埘孵的静电微电机，日本东芝公司制成了直径为0 8 毫米，重量 只有4 毫克的电磁电动机，该电动机装有直径为o 2 5 毫米，厚度为0 0 3 毫米 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的线圈。目前日本共有以企业为中心的印多个微机电研究组，每年举行一次 微机电系统研讨会，微机械中心和微机械学会每年举行一次微机械展览会 欧共体为了加强各国之间的组织和合作，成立了n 】巳) 【u s ( 多功能微系统研 究合作机构) 组织德国的弗朗霍夫研究所和柏林大学等单位较早就开始了 姬m s 的研究。1 9 年的第一届微电子、光子、机械系统和元件的学术会议 就是在德国召开的德国的卡尔斯鲁研究中心在1 9 8 7 年提出了l i g a 工艺， 用x 射线曝光和精密电镀相结合来制造不同高深宽比的微机械部件和微电 机u g a 工艺可用来制作高宽比大于2 0 0 的三维立体结构，并可实现大批 生产，处于国际领先水平。 我国m e m s 的研究始于九十年代初，在“八五“九五”期间得到国家 科技部、教育部、中国科学院、国家自然科学基金委和国防科工委的支持。 经过十年的发展，我国在多种微型传感器、微型执行器和若干微系统样机等 方面已有一定的基础和技术储备。目前我国从事微机电系统研究的单位已有 多个，主要集中在高校、中科院及信息产业部的研究所，初步形成了几个 m e m s 研究力量比较集中的地区。这些因地域而组成的研究集群己形成彼此 协作、互为补充的关系，为我国的m e m s 研究打下了良好的基础经过十年 发展，我国已在微型惯性器件和惯性测量组合、机械量微型传感器和致动器、 微流量器件和系统、生物传感器和生物芯片、微型机器人和微操作系统、硅 和非硅制造工艺等方面取得一定成果，现有的技术条件已初步形成加巳m s 设 计、加工、封装、测试的一条龙体系，为保证我国的巳m s 技术进一步发 展提供了较好的平台但是由于历史原因造成的条块分割、力量分散，再加 上投入严重不足，尽管已有不少成果，但在质量、性能价格比及商品化等方 面与国外差距还很大 1 2 2 扭转微镜的国内外研究概况 为了分析扭转微镜的力学特性，许多研究者建立了各种扭转微镜的力学 模型，对微镜的吸合( p u l li n ) 特性、在输入电压下的运动特性及稳定性等 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 力学性能进行了深入的研究p 埘。 目前，对静电驱动扭转微镜的研究大都集中在静态特性的研究上，主要 研究内容是微镜静电驱动时的吸合特性及与静平衡相关的内容，) 【m z h a n g 研究了扭转微镜的静态特性1 1 4 1 ，j mz h a n g 建立了弯曲扭转耦合的微镜模 型，并详细研究了微镜的静态特性与电极之间的关系【坍对扭转微镜动态特 性的研究文献很少，c n - o v e rcw e s t e l 等曾研究了静电驱动扭转微镜的单自由 度动态模型，对简化后模型的静态、瞬态( 阶跃和脉冲响应) 以及简谐激励响 应特性做了分析0 6 - 1 7 1 但是由于g r o v e r c w e s t e l 等的计算模型过于简化，在 分析中没有考虑因静电力而引起的非线性现象，因而分析很不充分，不能据 此进行微镜系统的精确设计和优化工作 在国内，赵建平、陈玲莉等也对微镜的动、静态特性进行了详细的研究。 陈玲莉通过数值计算研究系统在相空间中的非线性动态特性i 埘，赵建平等通 过详细分析扭转微镜结构，建立了扭转微镜的静力学模型和非线性动力学模 型，并利用数值模拟详细分析了其阶跃响应中的非线性现象以及动态特性和 静态特性的不刚1 ”，这些结果有助于扭转微镜的设计和应用，但它们的模 型都进行了一定的简化，主要有以下的不足： 1 、大多数的微镜模型都只考虑了微镜的扭转运动而未考虑弯曲变形。事 实上，微镜是由2 根细长挠性梁支撑，当镜面受静电力作用时，就会发生弯 曲变形。随着扭转运动的增加，静电力会逐渐增大，弯曲变形也会随之增加， 对微镜力学性能的影响相当显著。因此，在进行微镜的动、静态分析时，需 要同时考虑扭转和弯曲的影响 2 、没有考虑边缘效应。静电力是微电子机械系统中常用的一种驱动力 在现有的文献中，微镜静电力的计算一般都是基于无限大平行板电容器理论， 认为电场是均匀的，不考虑边缘效应。实际上，对有限尺度下的微镜用无限 大平板理论来计算静电力有时是不恰当的。 3 、数值计算的精度和效率不高。在微镜系统中，由于电场力的作用，微 梁结构发生变形，结构的变形又导致静电力的改变。因此，微镜系统存在着 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 静电和机械两个物理场的非线性耦合，系统的动态性能比较复杂。现有的数 值计算方法在微机电耦合问题的解耦和计算的精度和效率上都有一定的局限 性，所以，目前对于微机电的耦合问题多采用有限元法求解但是这些方法 效率低、过程复杂，因此，寻求一种有利于结构设计的、高效率、高精度的 数值计算方法是有必要的。 1 3 课题研究内容 1 3 1 扭转微镜的工作原理 扭转微镜是近年来随着m e m s 技术的发展而逐渐得到广泛应用的一种 微型光学器件，它通过控制电信号来调整入射光线的空问分布，在投影显示、 光学扫描和光通信等领域中都具有重要的应用价值。扭转微镜具有体积小、 机械强度高、畸变小、频率高、功耗低、制造简单、成本低等优点，适用于 高速扫描镜和光开关等，性能比普通电磁扫描镜和压电扫描镜都优越。微镜 的工作原理如图1 1 所示 彻0 k 一 图1 1 徽镜的工作原理图 微镜主要由硅镜、扭转梁、电极和衬底构成微镜通过扭转梁悬于电极 之上，在电极与微镜之间施加定的激励电压后，静电力使硅镜倾斜，入射 光线被反射到屏幕上，通过控制电压高速驱动微镜使就可在每点产生明暗， 投影出图像。 9 、 | 卜；：，：卜 、h 翼 p 哈尔滨工程大学硕士学位论文 i 3 2 课题研究内容 本文建立了扭转交形弯曲变形耦合的微镜模型，由于考虑了边缘效应， 微镜的载荷项不能像文献【2 1 】一样通过积分直接求出解析表达式，采用龙贝 格( r o m b e r g ) 数值积分法来求静电力所产生的扭矩。这样，在建立动力学模型 时就不必考虑被积函数的形式，放宽了对静电力表达式的限制。由于进行了 静电力的修正，并且考虑了弯曲变形的影响，本文所建立的模型更为合理 通过齐次扩容将非线性动力学方程转化为线性方程，并通过具有很高计算精 度和计算效率的迭代修正齐次扩容精细积分法求解动力学方程。根据建立的 微镜模型，本文分析了边缘效应对微镜静态特性和吸合特性的影响，考察了 微镜在阶跃激励下的动态特性及边缘效应、阻尼的影响。最后，利用所建立 的模型，分析了微镜在正弦激励下的动态特性。 1 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章迭代修正齐次扩容精细积分法 2 1 引言 微机电系统设计分析是典型的多场耦合问题，涉及力、电、磁、热、光、 流及固体的相互作用，上述耦合表现为域耦合和边界耦合两种形式。所谓域 耦合，就是在整个或部分分析域内多场共存，各场之间没有边界，如压电元 件的力电耦合。边界耦合是指在分析域内各场之间存在明显边界，不同场之 间通过边界来实现耦合，如静电致动器中的力电耦合等。 耦合领域模拟最大的挑战是如何快速有效又精确地解出不同领域的场微 分方程。本课题在齐次扩容精细积分的基础上，提出了一种求解非齐次微分 方程的新方法迭代修正齐次扩容精细积分法。数值计算表明，该算法具 有较高的计算精度和稳定性 2 2 齐次扩容精细积分法 2 2 1 精细积分法 钟万勰先生在上世纪9 0 年代提出的精细积分法是一种求解齐次常系数 线性微分方程组的高精度算法阎，当线性微分方程组的系数矩阵和积分步长 满足一定条件时，其计算结果可以达到计算机所能表示的满精度因为该算 法原理简单、计算精度和效率较高，得到了广泛的应用。精细积分有两个要 点：运用2 类算法；先计算增量，将增量累加后再计算全量。精细积分法解 决了时不变系统的时间积分问题，之后，各种近似方法被广泛地应用于求解 其他问题，例如时变系统或非线性系统的时间积分等1 2 3 - 2 5 1 在结构动力、优化控制等问题中，通过变换都可以将运动( 控制) 微分方 程写成状态向量的形式 聪) 彤( f ) + ，( f ( 2 一1 ) ) 一 ”叫 式中：y o ) 一阶状态向量； 哈尔滨工程大学硕士学位论文 日井x 一阶常数矩阵； ，o ) 万阶载荷向量( 或控制向量) 若载荷向量为0 向量，则( 2 1 ) 式就变为一阶线性常系数齐次微分 方程组，它的解为 v ( 0 - e x p m t 一气) 】( 2 - 2 ) 令f - t 一气，则传递矩阵为 t - e x p ( h r ) - e x p ( ：1 ) ( 2 3 ) 因此，精确地求解传递函数的值，就成为解( 2 1 ) 式的关键。 首先，利用加法定理，取m - 2 s ，将a 缩 b l l m 后，矩阵a i m 为一个小 量，这就保证了用t a y l o r 级数展开计算的可靠性，( 2 3 ) 式的泰勒展开式 为 e x p ( a ) - 【刚坩一陪a 掣+ + 哮卜州m 厂 舯：r ( 0 ) 丝4 - 哗+ + i 巡： 。 肼2 1i - ：| k ，单位矩阵。 由于a m 对于，是非常小的量。在计算机编程计算时，若将它们直接与 单位矩阵相加，就会成为尾数，在计算机的舍入计算中会被舍去，其精度将 丧失殆尽。因此对( 2 4 ) 式作如下形式的分解 e x p ( a ) 【c 刚辨) r - 【( ，4 - t 柳) ( “叫】2 ( 2 - 5 ) 因为 ( ，+ r m ) ( ，+ r o ) _ 1 4 - 2 t ( o + t p _ - i + t 秘+ 1 ( 2 6 ) o - 0 1 ，2 ，一j 一1 ) 所以可以通过递推公式求出( 2 4 ) 式的值。上述过程非常容易编程，只需 要一个循环语句就可以实现经过n 次循环后，可得 t - e x p ( ：1 ) - i + r ” ( 2 7 ) 由于t ( 0 只计算了矩阵a m 的值，即计算增量，而未计算全量，在n 哈尔滨工程大学硕士学位论文 次循环后，r 已不再是个小量，此时再将它与j 相加就不会被舍去，保证 了计算的精度 精细积分法虽然具有很高的精度和稳定性，但它仅适用于线性定常系统 在之后许多学者根据精细积分的思路，开发了求解非线性微分方程组的方法 如钟万勰院士构造了在一个积分步长s 内将激励项线性化的处理方法 u 伸d 【2 6 1 这些算法有一个特点，即算法的实现需要求解系统矩阵及相关矩 阵的逆矩阵，数学上隐含要求系统的矩阵及其相关矩阵非奇异这样，就产 生以下两个问题：1 、当系统矩阵及其相关矩阵奇异时，如何设计这类动力响 应问题的精细格式? 2 、算法的实现需要设计高精度的矩阵求逆算法，而矩阵 求逆的工作量是很大的。王跃先等借助齐次扩容技巧，通过增加维数避免了 矩阵的求逆，设计了求解非齐次线性定常系统的一类新的精细算法齐次 扩容精细算法哪d 【2 冽。该算法不涉及矩阵求逆运算，有效地解决了上述 两个问题，并且具有设计合理、易于实现的特点。向宇等在此基础上利用函 数的分段插值理论，在一个较小的积分步长内将非齐次项用多项式逼近，提 出了一种新型齐次扩容精细积分法( h h p d p ) 【删h ，该方法避免了h h p d 算法 中振荡积分的计算问题，而且在一个积分步长内只需用钟氏精细积分法求解 一个齐次微分方程组，提高了计算效率 2 2 2 齐次扩容精细积分法 如上文所述，精细积分只能解齐次微分方程组，当载荷向量不为零时， 就需要将非齐次微分方程组转化为齐次微分方程组向宇等通过引进齐次化 技巧、扩大系统的维数，将非齐次系统齐次化，提出一类新的数值求解非齐 次线性定常系统的精细积分算法。该算法设计思路自然、简便，并且没有涉 及求逆运算，因而具有计算量小、精度高等优点 由函数分段插值理论，在一个较小的积分步长t 内，将非齐次项用二项 式插值逼近，可将非齐次项写为 哈尔滨工程大学硕士学位论文 f q ) _ f o + f ，t + 乃2o j 1 j 引) ( 2 - - 8 ) i f - t ，一t l - l ( j - - l & ) 式中，厶，五，厶为 阶已知向量，其值取决于积分步长内抽样点的数值现取 积分步长的两个端点和中点作为抽样点，将( 2 8 ) 式带入( 2 1 ) 式，可 得 j y ( f ：o ) + + 痒+ 乃2 ( 2 - - 9 ) l y ( f j 一) - 熔( 2 9 ) 式中的微分方稃改写为弃汝扩容形式 d 出 h 氏 00 01 oo ，2 00 00 2o ( 2 1 0 ) 由( 2 - - 1 0 ) 式可以看出，扩容后的状态向量为 矿( f ) 妒o ) 1 ) 7 ( 2 1 1 ) 扩容后的系数矩阵为 曰- h | q 00 01 0o ，2 00 0 0 2o ( 2 1 2 ) 由式( 2 - - 9 ) 一式( 2 1 2 ) ，就可将非齐次微分方程组转化为齐次微分方程组， 在积分步长内相应的齐次扩容微分方程为 j 掣埘b ( 2 _ 1 3 ) 阮。) 一缈7 1t j - ! 勺。2 r 齐次微分方程组( 2 - - 1 3 ) 式可采用钟式精细积分法求解。综上所述，齐 次扩容精细积分法的解题步骤如下： 1 、自变量域内进行离散分段； 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 、在每个积分步长内选择抽样点，计算一阶向量，o ， ，2 ，形成矩阵口； 3 、用钟氏精细积分算法计算传递矩阵t - 懿p ( 所) ； 4 、计算积分步长段终节点的扩容状态向量，并将该节点的向量作为下一积分 步长的初节点向量。 5 、重复上述步骤直到完成整个自变量域的计算。 齐次扩容精细算法为含有激励的非齐次线性定常系统进行高效率、高精 度的计算提供了可能虽然齐次扩容精细算法首先需要采用齐次扩容处理， 增加了计算量但是，齐次扩容避免了矩阵的求逆，相对来说仍是十分合算 的。因此，数值分析带有任意激励的线性动力系统时，齐次扩容精细算法不 失为一种相当理想的处理方法。 2 3 迭代修正齐次扩容精细积分法 动力响应的求解是动力系统分析的重要内容之一动力学方程通常采用 r u n g e - - k u t t a 法、n e w m a r k 法等方法求解，这类方法是以差分法为基础的， 当时间步长较小时可以取得较高的精度，在动力系统的分析中得到了广泛的 应用1 3 2 - 3 5 。但这类算法对步长很敏感，当系统具有“刚性”时，步长选择不 当会产生很大的误差。齐次扩容精细积分法在一个积分步长t 内将载荷向量 线性化的处理方法，使精细积分法可用于求解非线性微分方程，克服了r u n g e k m 【a 等方法稳定性不足的缺点。本文将动力学方程的非线性部分用t a y l o r 级数展开至二阶，将齐次扩容精细积分法用于求解非线性动力方程，该方法 避免了系统矩阵的求逆计算，且在保证具有较高计算精度的前提下，能使积 分步长有效拓宽，提高了计算效率。同时提出一种通过迭代修正间接计算导 数的方法，放宽了对非线性动力方程的要求，使其具有更广泛的应用范围 2 3 1 非线性动力方程的齐次扩容精细积分法 不失一般性，非线性动力方程可表示成下列形式 哈尔j 冥工程大学坝士学位论文 历害+ = d x + k x f ( x , t ) ( 2 1 4 ) 历万面+ 。 j 2 一 式中：n - m ( x ，i ) 一x 弗阶的非线性惯性矩阵； c - c 岱，毛f ) 耳x 行阶的非线性阻尼矩阵； 七, - k 0 ，f ) 刀以阶的非线性刚度矩阵； ，o ，t ) 开1 阶非线性载荷向量 在哈密顿体系下或通过状态空间变换，方程( 2 - - 1 4 ) 可转化为如下一阶 非线性微分方程组的形式 i d v h v + f ( v , t ) ( 2 1 5 ) 式中：_ l 状态向量， ，。 ，p r l 7 ； 王和f ( v ，f ) 分别为线性齐次部分和非线性部分，非线性方程求解的关键 是非线性部分f p ，f ) 的处理，通常的处理方式是用t a y l o r 公式展开。然而， 对于高阶t a y l o r 级数项，需要计算f 扣，f ) 的高阶导数，当函数关系复杂时， 其导数尤其是高阶导数计算很困难。而且，日矩阵是状态向量和时间的函数， 一般情况下也存在时变性，而精细积分法只适用于求解齐次线性定常系统。 因此，不能直接利用精细积分求解非线性动力方程( 2 一1 5 ) 式 为了求解方程( 2 - - 1 5 ) ，将时域f 离散为f o ，f l ，f i ，若在f i 时刻l 为 已知，可在积分步长f 【& ，+ 。】内，将方程( 2 1 5 ) 中的非线性部分在 t - t k ， ，一v i i ) 处用t a y l o r 公式展开，可得 ，似