（光学工程专业论文）基于短程透镜的波导模式分析.pdf

山东大学硕士学位论文 摘要 无论作为光学成像器件还是作为光信息处理的傅立叶变换元件，光波导透镜 都是光子技术中的重要元件。在声光频谱分析器、光纤陀螺芯片和光盘存取系统 等光路中，都需要光波导透镜对导波光进行聚焦、准直。对于光纤通信系统使用 的波分复用器件，也有采用波导透镜一光栅结构实现波分复用的方案。短程透镜 具有无色差、无模式转换和不受衬底折射率影响的优点，在多种波导透镜中尤其 受到重视。 本文着重围绕光波导短程透镜的设计、制备作了研究，并对其特性进行了实 验测试，用时域有限差分法( f d t d ) 对导波模式分布进行了探索研究。 光波导透镜可以分为三部分进行设计。第一部分为平面波导：第二部分为曲 面光波导即透镜部分：第三部分为平面波导和透镜部分的过渡区，即卷边。 平面波导和条形波导是切波导分析的基础。本文分别用解析法和数值法对 其模式进行了较深入的研究。对于给定的波导参数通过程序计算得出了波导传播 的模式数及每个模式对应的传播参数。通过时域有限差分法计算了不同输入波形 下波导中的场分布，从而证明了波导中的场分布只与波导结构有关，而与输入光 波的波形无关。 在s c o t t i 等人提出的求解非球面光波导短程透镜一般解析方法的基础上，研 究了卷边函数对透镜旋转母线曲率的影响，给出了具有连续二阶导数的过渡区母 线函数形式，有效地消除了透镜卷边两端的曲率奇点，从而在理论上能够减小由 于波导弯曲造成的导光损耗。具体设计和研制了理想光波导短程透镜，通过实验 测试，短程透镜在通光孔径( 8 m m ) 内消除了球差，对4 7 8 r a m 宽的平面波束，其 焦点束斑为3 3 o n 。 对弯曲波导模式分析，要给出解析解几乎是不可能的。随着高性能计算技术 的发展，数值计算越来越受到人们的重视。时域有限差分法( f d t d ) 直接求解微 分方程或偏微分方程，具有简单、直观的特点，因而得到了广泛的应用。本文研 究计算了弯曲平板波导的时域有限差分计算，给出了柱坐标系下偏微分方程和吸 收边界条件的有限差分式，为下一步编程计算打好了坚实的基础。 关键词：波导，短程透镜，时域有限差分( f d t d ) 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t o p t i c a lw a v e g u i d eg e o d e s i c l e n sa r e i m p o r t a n tc o m p o n e n t s f o r p h o t o n i c t e c h n o l o g i e sw h e r e v e rt h e ya r eu s e d 私o p t i c a li m a g i n gc o m p o n e n t so ra s f o u r i e r t r a n s f o r mc o m p o n e n t si no p t i c a li n f o r m a t i o np r o c e s s i n g t h e ya r eu s e dt of o c a l i z e a n dc o l l i m a t et h el i g h tw a v ei nt h ei n t e g r a t e do p t i c ss p e c t r u ma n a l y s e r ( i o s a ) ，f i b e r p e g t o pc h i pa n dt h es t o r a g es y s t e mo fc d t h e ya r ea p p l i e di nt h e w d mf o rf i b e r c o m m u n i c a t i o ns y s t e m st o o w ep a ym u c ha t t e n t i o nt oo p t i c a lw a v e g u i dg e o d e s i cl e n s f o ri t sf e a t u r eo ff r e eo f c h r o m a t i ca b e r r a t i o n ，m o d ec o n v e r s i o na n dr e f r a c t i v ei n d e xo f u n d e r l a y t h em e t h o d so fd e s i g n i n ga n df a b r i c a t i n g o p t i c a lw a v e g u i dg e o d e s i c l e n sa r e s t u d i e di nt h i sp a p e r t h ef e a t u r e so f t h e ma r em e a s u r e dt o o t h em o d ed i s t r i b u t i o no f w a v e g u i d i se x p l o r e d t h r o u g hf d t d o p t i c a lw a v e g u i d eg e o d e s i cl e n s i s c o m p o s e do ft h r e ep a r t s t h e f i r s t p a r t i s p l a n n e rw a v e g u i d e t h es e c o n dp a r ti sc u r v a t u r ew a v e g u i d e t h e t 1 1 i r dp a r ti st h e j o i n t o f t h ef o r m e rt w o p a r t s ，i et h er o u n d e d - e d g e t h ep l a n n e rw a v e g u i d ea n dt h e s l i pw a v e g u i d ea r e t h eb a s eo fa l l w a v e g u i d e a n a l y z i n g t h em o d e s o f t h e ma r es t u d i e db ya b s o l u t em e t h o da n dn u m e r i c a lm e t h o d t h em o d e sa n d p r o p a g a t i n gp a r a m e t e r sf o rs p e c i a lw a v e g i d ep a r a m e t e r sa r ed e r i v e d t h r o u g hp r o g r a mc a l c u l a t i n g t h em o d e sf o ra l lk i n d so fi n p u tw a v e a r ec a l c u l a t e di n t h ef d t d t h er e s u l t sd e m o n s t r a t e dt h a tt h em o d ed i s t r i b u t i o no f w a v e g u i d e i so n l y r e l a t e dt ot h es t r u c t u r eo f w a v e g u i d eb u tn o t h i n gt ot h ei n p u tw a v e b a s e do nt h eg e n e r a la n a l y t i c a lm e t h o do fd e s i g n i n ga s p h e f i c a lo p t i c a lv c a v e g u i d e g e o d e s i cl e n s ，t h ee f f e c to fr o u n d e d - e d g e o nt h ec u r v a t u r eb e h a v i o r o fl e n sd e p r e s s i o n p r o f i l eh a s b e e ns t u d i e d t h ef u n c t i o no f g e n e r a t i n gl i n e w i t l lc o n t i n u o u ss e c o n d d e r i v a t i v ei nt r a n s i t i o n a lz o n ei sp r e s e n t e d i tc a l le l i m i n a t et h ec u r v a t u r es i n g u l a r i t y e f f e c t i v e l ya n dd i m i n i s h t h er a d i a t i o nl o s so f g u i d e dl i g h td u e t ow a v e g u i d e b e n d i n g t h i s k i n do f g e o d e s i c l e n sa r e d e s i g n e d a n df a b r i c a t e d t h e e x p e r i m e n t a l m e a s u r e m e n t ss h o wt h a tg e o d e s i cl e n se l i m i n a t e dt h es p h e r i c a la b e r r a t i o ni nt h er a n g e i i 山东大学硕士学位论文 o f8 m me f f e c t i v e a p e r t u r ea n do b t a i n e dt h ed i f f r a c t i v es p o to f 3 3ms i z ef o r i n p u tb e a m o f4 7 8 m mw i d t h i t sa l m o s ti m p o s s i b l et o g i v ea b s o l u t er e s u l tf o rt h ec u r v e dw a v e g u i d e s om o r e a n dm o r ea t t e n t i o n sa r ef o c u s e do nt h en u m e r i c a lm e t h o d sw i t ht h ed e v e l o p m e n to f h i 曲p e r f o r mc a l c u l a t i n gt e c h n o l o g i e s t h ef d t dm e t h o d i s w i d e l ya p p l i e d i n c a l c u l a t i n gd i f f e r e n t i a lo rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nf o rt h ef e a t u r eo fs i m p l e n e s s a n di n t u i t i o n t h ef d t df o r m u l af o rc u r v e dl a n n e rw a v e g u d ei sd e s c r i b e di nt h i s p a p e r t h i sl a y e d t h ef o u n d a t i o n sf o rp r o g r a mc a l c u l a t i n gi nt h ef e a t u r e k e yw o r d s ：w a v e g u i d e ，g e o d e s i cl e n s ，f d t d 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：垂广文日期：竺_ 三y 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：生! 二导师签名： 、r ， 竺日期：丝l ，扩日期：芝! = ：! ：f 4 山东大学硕士学位论文 第一章概述 1 1 引言 自1 9 6 9 年提出集成光学的概念3 0 多年来，人们对各种基于平面光波导的 分立元件进行了研究，如光波导y 分支、光波导调制器、光波导透镜、光波导 开关等【”。在此基础上研究了许多集成光路( i o c ) 或平面光波回路( p l c ) ，可广泛 应用于军事、光纤通信等领域。 光波导透镜是集成光路中一类重要的元件，在频谱分析器等集成光路中有 重要作用。集成光学频谱分析器是第一个由多种光波导元件构成的混合光电集成 器件 2 】其工作原理示于图1 - 1 。从一激光源发出的光束耦合进入一平面波导。 其中首先通过一波导透镜使准直。准直的光束通过布拉格声光调制器发生衍射。 用来作频谱分析的射频信号加在声换能器的叉指电极上，所产生的表面声波因信 号的频率不同而具有不同的空间周期。因此，调制器输出端光束的衍射角是射频 信号频率的函数。第二个透镜是用来将光束聚焦到一个光电探测器列，如果射频 信号中存在一个以上的频率分量时，光束将分成相应的分量汇聚在探测器列中不 同的单元上，每一探测器单元代表一特定的频道。 图1 - 1 集成光学频谱分析器 另外，在用于惯性导航的集成光学光纤陀螺仪芯片( f o g ) p 。钉、用于光盘高 速存取的集成光路中【】，也要用到对导波光束进行聚焦或准直的短程透镜。近 年来也有人提出，利用类似频谱分析器的结构实现光纤通信的波分复用1 0 1 。 第1 页 山东大学硕士学位论文 1 2 电磁场的基本性质 1 2 1 麦克斯韦方程 麦克斯韦总结了前人关于电磁学方面的成就，建立了一组方程式，人们称 它为麦克斯韦方程组。麦克斯韦纯粹用电磁学方法推算出电磁波的传播速度等于 光速，并由此断言，光波是电磁波的一种。麦克斯韦方程组圆满地阐明了光波在 传播过程中所出现的各种现象，显示了强大的生命力。特别是随着激光的问世， 可以将电磁学的光辉成就直接应用到光学领域，使得近代光学得到迅猛的发展， 例如傅立叶光学，光学信息处理，导波光学，光通信理论和光计算等等。这些都 是建立在光的电磁学说的基础上的。麦克斯韦方程组可写成如下形式 v x 罾= 娑( 1 从1 ) v 万：，+ 一0 d 。 a v d = d v b = 0 ( 1 2 - l - 2 ) ( 1 2 1 - 3 ) ( 1 2 1 - 4 ) 其中，五为电位移矢量。7 z 为电场强度，否为磁感应强度，万为磁场强度， j 为电流密度，p 为电荷体密度。对各向同性介质有物质方程 d ( r ) = s ( r ) e ( r ) 五( 小：卢( r ) 万( r ) ( 1 2 1 - 5 ) ( 1 - 2 卜6 ) 式中r 代表介质中各点的坐标，因此f ( r ) 和4 r ) 分别代表了各向同性非均匀 介质的介电常数和磁导率。 1 2 2 波动方程 麦克斯韦方程组将随时间、空闯交化的电磁场参量密切地联系起来，为了求 解电磁场，自然要通过消元法求出电矢量和磁矢量单独随时间、空间变化的方程 式。在这里我们只讨论各向同性介质，物质方程由式( 1 2 1 5 ) 和( 1 2 1 - 6 ) 给出。另 第2 页 山东大学硕士学位论文 外，在光学所涉及的场空间内，往往是不含空间电荷和电流的。因此，可以假定 p = 0 和，= 0 。 将物质方程( 1 2 1 6 ) 代入( 1 2 1 - 1 ) 得 v 西：一旦堡：一“塑 o t研 两边取旋度并利用式( 1 2 i 一2 ) 和式( 1 2 1 - 5 ) 得到 甲( v x 罾) 一昙( v f i ) aa 面 一卢瓦( 百) ：节尝( 1 2 2 - 1 ) 一8 矿 引用恒等式vx ( vx 罾) = v ( v 云) 一v 2 云得 v ( v 西_ v 2 罾邓譬( 1 2 2 - 2 ) 由式( 1 2 1 3 ) 和物质方程( 1 2 1 - 5 ) g 得 v 0 罾) = 0 应用恒等式v ( 6 e ) = 押e + e t v 占，上式左方展开可得 v 一e ：一一e 一v c 将它代入( 1 2 2 - 2 ) 得到 v 2 2 + v ( 2 - 叩尝( 1 2 2 - 3 0 t ) s 一 用完全类似的方法可以得到有关磁矢量的方程 v 2 耳+ 孚x ( v f i ) = 肛- 扩5 7 h ( 1 2 2 - 4 0 t ) 占 在均匀介质中，v 占= 0 ，于是有 v 2 西唯譬= 。( 1 2 2 - 5 ) 第3 页 山东大学硕士学位论文 v 2 耳一u e 譬= 。( 1 2 2 - 6 ) 这是波动方程的标准形式。它的解具有波动性，亦即电磁场是以波的形式在 空间传播的，这些波称为电磁波。电磁波的传播速度为 1 ”。了= ( 1 2 2 7 ) f v 。 在真空中的传播速度为 l ”i ( 1 2 2 8 ) 、。占o 、 光波从真空中射到介质时的绝对折射率定义为 c 挖2 一v ( 1 2 2 9 ) 将式( 1 2 2 - 7 ) 和式( 1 2 2 8 ) 代入上式得到 h = 半竺= 厩 - t 0 6 0 上式把电磁学参量和光学参量联系起来。 1 2 3 标量平面波 对于各向同性均匀介质，不存在j 和p 情况下，e h 式( 1 2 2 5 ) 可知，标量场 的波动方程应为 v 2 专警_ 0 ( 1 2 3 1 ) 式中妒：缈( ， f ) 为标量波函数。 标量平面波与波传播方向相垂直的平面上，波函数为常数的波，我们称之为标 量平面波。设r 为空间任一点的坐标矢径，s 为波传播方向的单位矢量，按平面 波的定义，其波函数的数学表达式应为 妒= y ( ，- s ，d( 1 2 3 2 ) 因为当r s = 常数时，则波函数也为常数。而r s = 常数，却是垂直于波传播方 向的平面。当，s 的值发生变化时，波函数缈的值也随之变化，因此波函数的值 第4 页 山东大学硕士学位论文 图1 - 2 平面波的传播 只沿波传播方向s 发生变化，若我们取新坐标，沿这个方向的坐标r s 为善，即 r s = 亭，则式( 1 2 3 2 ) 所示的波函数变成为 = y ( 毒，t ) ( 1 2 3 3 ) 它只是一维坐标孝的函数，故有v 2 q j = 等等，这样波动方程( 1 2 3 1 ) 成为： d 亡一 一吉警= 。( 1 2 3 - 4 ， 为了求得该方程的解，我们引入两个新交量善= 善一v rr = f + v f ，经多元函数 求导计算，式( 1 2 3 - 4 ) 变为 嵩= 。或毒白= 。( 1 2 3 - 5 ) 于是= p 仞) 砌+ ( f ) = g ) + 矿：( 1 7 ) 或 妒= y l ( 掌一v t ) + 妒2 ( f + v t ) = y l ( ，s - v t ) + 妒2 ( ，s + v r )( 1 2 3 6 ) 和y ：是两个任意函数但从其余量可以看出：妒。是代表一个沿善正方向以速 度v 传播的波，谓之正向行波。而代表一个沿负f 方向以速度v 传播的波。 时谐平面波时谐波的表示式可写为：f o ) = 口c o s ( f + 艿) ( 1 2 3 7 ) 其复数形式为：钟”- p 7 “或a e 7 “ ( 1 2 3 8 ) 山东大学硕士学位论文 “为时谐波振幅，艿为初楣，国为角频率，名为复振幅。 对于时间上作简谐变化的平面波有 y ( r ，f ) = a c o s o 一二) + 万】 ( 1 2 3 9 ) v 它既表示了时间上作简谐变化，又表示了空间上沿s 传播的平面波性质。 无疑应该是时谐平面波的表达式。其复数形式写为 缈( r ，f ) = 彳- e 加“ 式中i = 詈1s = 女s 称为波矢量，其方向是波传播方向，其模称为波数，它等于 单位长度上可容纳的波长数的2 石倍。 t ：旦 v 1 2 4 标量球面波 标量波函数在一个球面上的值相同的波，谓之标量球面波。因而其数学表达 式可写为 y = 妙p ，f ) f 1 2 4 1 、 对于某一固定时刻，的值只决定于，值而且与，方向无关。球面波既是场的 解，那么它也应该满足波动方程式( 1 2 3 1 1 。 在球坐标系统中，有 v ：p 2 7 1 瓦a 擎+ 南刍c s 枷等+ 乏而謦， 式中p 、目、妒为球面坐标系统中球面坐标值。 按前面我们定义的球面波，则有詈= 鼍= o 这样波动方程式( 1 2 3 1 ) 可写成 吉昙c ，2 警，一古警= 。 第6 页 山东大学硕士学位论文 或等c 专掣= 。 ( 1 2 4 2 ) 比较式( 1 2 4 2 ) 和式( 1 2 - 3 - 4 ) 可看出，它们在数学形式上完全相同，只要用r j 善 和r v y 。这样式( 1 2 4 2 ) 的解可写成 r = i p v f ) + y 2 p + v f ) 或妒( ，r ) ；丝生旦+ 业竺! ， ( 1 2 4 3 ) ( 1 2 4 4 ) _ ；f ，代表有源点向外发散、具有传播速度为v 的球面波，而：为向一点会聚的 球面波。 1 2 5 程函数和程函方f 里( e i k o n a l 方程1 我们可以认为在距光源很多波长的场空间中，场解的普遍表示式可写为 e = e 。( r ) p 叫一1 = 。p ) g 叫”i ( 1 2 5 - 1 ) 式中烈，) 称为光程函数或简称程函数，它是在光源与考察点之间经过的光程，它 为矢径的函数，。( r ) 、圩。( r ) 也为矢径的函数，它们般为复矢量。 程函方程( e i k o n a l 方程) 若式( i 2 5 1 ) 所示的场解在时间上作简谐( e “) 变化， 此时麦氏方程组式( 1 2 1 1 ) - 式( 1 2 1 - 4 ) 可写为 v 日一，砌= 0 ( 1 2 5 2 ) v x e + j c o p t t = 0 ( 1 2 5 3 ) v d = 0 ( 1 2 5 4 ) v b = 0 ( 1 2 5 5 ) 引用恒等式v ( 倒) = v 妒a + 伊( v a ) 和v f ( o ) = f 。( 妒) v 妒 由式( 1 2 , 5 1 ) 可计算得 v x 何= ( v h o j k o v _ 5 v x h o ) e 一如 ( 1 2 5 6 ) 第7 页 一 坐查奎堂婴主堂垡笙塞 引用恒等式v ( 础) = v 妒彳+ 妒( v 4 ) 和式( 1 2 5 1 ) 可计算得 v b = v ( ) = ( v h 。一以。胛妒。+ 胛一。) p 叫” ( 1 2 - 5 7 ) 用同样方法，由式( 1 2 5 1 ) 可计算得 v x e = ( v x h 。+ 业。v 妒x e o ) p 叫” 和v _ d = v ( 茁) = ( r e e 。一七。押妒- e 。+ 6 v e 。) p 呐9 将这些计算结果代入式( 1 2 5 2 1 2 5 5 冲得 丢v 伊碱+ 西。= 面1 v 旭 吉v 妒毛一胆。= 击v 目 三e 。v 妒；_ 1 ( v c j 民+ v 占佤) 吉风v 妒= 面1 ( v 风+ 去耻风) 对于几何光学，由于厶j0 ，丘，= 一c + o 九 ( 1 2 5 8 ) ( 1 _ 2 5 9 ) ( 1 2 5 - 1 0 ) ( 1 2 5 1 1 ) ( 1 2 5 1 2 ) ( 1 2 5 1 3 ) 式( 1 2 。5 - 1 0 ) 一( 1 2 5 - 1 3 ) 右 边各项可以认为是等于零。只要右边各项与号l - 乘积不是无穷大则有 由式( 1 2 5 - 1 5 ) 解出峨，代入( 1 2 5 1 6 ) 整理得 万1 【( - v 妒) v 妒一毛( v 扪+ 蛾= 。 ( 1 2 5 1 4 ) ( 1 2 5 1 5 ) ( 1 2 5 1 6 ) ( 1 2 5 - 1 7 ) 由式( 1 2 5 1 6 ) 可知上式括弧中第一项应为零。而场强昂在场空间一般不为零， 第8 页 = “ 战 卜 风 铲 卸 却 即 即 v v ， r kc k 。 品 山东大学硕士学位论文 故上式变为 一者( v 咖2 = 0(125-18)c“ j 。 即( v 妒) 2 = e r - i r = 门2 f l r 2 5 。1 9 ) 这就是程函方程，或写成笛卡儿坐标 ( 掣) 2 + ( 掣) 2 + 学2 彳胪) ( 1 2 5 - 2 。) 觎卯、一， 这就是各向同性介质中的程函方程，它代表本地平面波传播时相位变化的偏微分 方程。表明在各点的本地平面波的最大相位变化与该点的折射率成正比。对于各 向同性均匀介质，一( ，) = 常数，则i v 尹i - 一也是常数，p ( ，) 与r 成正比，光走直线。 1 3 光线方程与费马原理 1 3 1 光线方程( 射线方程) 程函方程是射线光学的基础，但不能直 接解决我们关心的光线在介质中走什么途 径的问题。要解决这个问题，必须在程函方 程的基础上推导出光线的微分方程，即光线 方程。图1 - 3 射线 几何光线传播方向上的单位矢量s 可写成s = 斋备 将式f 1 ，2 5 1 9 ) 代入得 或n s = v 妒 s ：v _ y _ e ，? ( 1 3 ，1 1 ) 如图所示，若几何光线由m 传播到m ：点，其矢径的变化为d r ，而轨迹的增量 为拈。则 生：s d s 将其代入式( 1 3 1 - 1 ) 中得 n 立：v 口 d s ( 1 3 1 - 2 ) ( 1 3 1 - 3 ) 对上式再取一次关于s 的微商，有 丢伽去) = 丢( v 奶 ( 1 3 1 4 ) 第9 页 山东大学硕士学位论文 引用矢量导数恒等式 面d a = ( s v ) 爿 故有 丢( v 加( 出v ) v p 由式( 1 3 1 - 2 ) 和( 1 3 1 3 ) 关系，上式写成 丢( v 加e v 妒v ) v 妒 ( 1 3 a - 5 ) 再引用矢量恒等式v ( ) = 2 ( a v ) a + 2 ( vx 爿) 】和vx v 妒= 0 经简单运算，式( 1 3 1 5 ) 可写成 丢( v 矿) = 去v ( v 妒) 2 将式( 1 2 5 1 9 ) 代入上式，则式( 1 3 1 4 ) 变为 面d ( 一= v n ( 1 3 1 6 ) 这是由电磁场方程组，在矗_ 0 条件下所求得的几何光线轨迹的微分方程。 当己知介质折射率的空间分布即n ( r ) ，和光线入射的初始条件，利用式( 1 3 1 6 ) 就可以求出某些光线的轨迹。 1 3 2 费马原理 费马原理可表述如下：空间中两点f n q 的实际光线路径是所历光程平稳的路径。即 当光线以任何方式对该路径有无限小的偏离时，相应光程的一阶改变量为零。利 用变分概念，费马原理可表述为： 万【刀= 8 h d q = 0 ( 1 - 3 2 1 ) 其中【f 】为光程。 1 4 电磁场问题的求解 1 4 1 电磁场问题求解方法 求解电磁场问题的方法，归纳起来可以分为三大类，第一类是解析法；第二 类是数值法；第三类是半解析数值法。 解析法存在严重的缺点，主要是它解决很少量的问题。正因为有严格解的问 题不多，所以近似解析法显得十分重要。常见的有微扰法、变分法、多极子展开 近似等。近似法中的解析部分比严格解析法中的解析部分要少些，但计算工作量 第1 0 页 山东大学硕士学位论文 卸较大，且随着期望的精确度的提高而增大。用高性能的计算机就可以直接以数 值的、程序的形式代替解析形式来描述电磁场问题。在纯数值法中，通常以差分 代替微分，用有限求和代替积分，这样，就将问题化为求解差分方程或代数方程。 原则上，数值法可以求解具有任何复杂几何形状、复杂材料的电磁场工程问题， 但在工程应用中受计算机存储容量、执行时间以及解的数值误差等方面的限制。 常用的数值法有有限元法( f e m ) 、时域有限差分法( f d t d ) 和传输线矩阵法。 1 4 2 当前计算电磁学中的几种方法 随着高性能计算技术的发展，在电磁场科学与技术中，以电磁场理论为基础， 以高性能计算技术为手段，运用计算数学提供的各种方法，诞生了一门解决复杂 电磁场理论和工程问题的应用科学一计算电磁学( c o m p u t a t i o n a le l e c t r o m a g n e t i c s ) 并已经成为一门跨行业具有强劲发展势头的学科。近年来时域数值技术成为研究 热点，在理论上取得长足进步，应用范围也迅速扩大，地位日益提升【1 1 - 1 3 。 ( 1 ) 有限元法有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的一种数值计算方 法。主要优点是具有对材料、边界、激励的广泛适应性；其各环节易于标准化： 程序通用性强且有较高精度。其存在的问题是，所解问题的复杂性和经费、时间 以及计算机能力有限之间的矛盾：分割的元素数较多，导致所需要的初始数据复 杂、繁多，使用不便；对于无限区域中的求解问题，由于其边界条件难以妥善处 理，即使求得结果，其误差也较大。 ( 2 ) 有限差分法有限差分法是以差分原理为基础的一种方法，它把电磁场 连续域内的问题变为离散系统的问题，即用各离散点上的数值解来逼近连续场域 的真实解，因而它是一种近似的计算方法，但根据目前计算机的容量和速度，对 许多问题可以得到足够高的计算精度。电磁场的有限差分解法，一般是在频域进 行。近年来，由于非正弦电磁场理论与技术的迅猛发展，时域有限差分法越来越 受到重视。1 9 6 6 年，k s y e e 提出了时域有限差分法的基本原理。之后的二十年， 它的研究进展缓慢。2 0 世纪8 0 年代后期以来，它备受专家学者青睐。被称为重 要的电磁场数值计算方法之一。随着吸收边界条件的不断改善，尤其是完全匹配 层的提出与应用，以及各种非标准网格划分技术、计算量压缩技术、抗误差积累 技术的深入研究，该方法目趋完善，其应用面也趋于全方位。 时域有限差分法( f d t d ) 不同于以往的任何一种方法，它以差分原理为基础， 第1 l 页 山东大学硕士学位论文 直接从概括电磁场普遍规律的麦克颠韦旋度方程出发，将其转换为差分方程组， 在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数据取样。因此它是电磁场问题的最 原始、最本质、最完备的数值模拟，具有广泛的适应性。时域有限差分法得以广 泛应用的一个重要原因是其简单直观、容易掌握。它从麦克斯韦方程出发，不需 任何导出方程，避免了使用更多的数学工具，使得它成为所有计算方法中最简单 的一种。其次，它基于概括电磁场普遍规律的麦克斯韦方程，实质上是在计算机 所能提供的离散数值时空中仿真再现电磁场现象的物理过程，非常直观。f d t d 法的独到特点是对各种复杂的边界条件能近似自动满足，同时，又能够使用多种 形式的网格( 包括曲线坐标系、非正交坐标系等) ，为分析模拟非均匀介质以及复 杂系统中的场和波分布提供了极大的方便。f d t d 法的基本支撑技术有网格划 分，数值稳定性问题，吸收边界条件，波源的设置，误差分析和共形技术。本文 主要考虑了网格划分，数值稳定性，吸收边界条件和波源设置。 ( 3 ) 传输线矩阵法( t l m ) t l m 法是和f d t d 法几乎同时发展起来的时域方 法。与f d t d 法相比，这种方法的运用较为复杂，而且占用计算机内存较大， 计算效率相对较低。此外，该方法对非均匀网格的处理能力和吸收边界的作用效 果尚待提高。截至目前，从t l m 法的发展过程看，除其具有较好的数值色散特 性外，其它的主要优点均为f d t d 所具有。 第1 2 页 山东大学硕士学位论文 第二章介质薄膜波导及带状波导 对大多数光波导都可以采用两种方法来分析，一种是几何光学法，或称射线 光学法，另一种是波动光学法，或称电磁场理论方法。几何光学方法的优点是简 单直观，在分析较复杂的问题时可以给出现象概念，对简单问题的分析也与波动 理论一致。对于较复杂的问题，几何光学法则不能给出满意的结果而略显粗糙， 必须用波动光学方法才能得到全面、正确的解析或数值结果。 2 1 用几何光学法分析平板波导 用几何光学法分析光波导，就是把光线看作极端情况下的特殊平面波，它的 波长五一0 ，几何宽度呻0 ，即无限细；它的方向是坡印廷矢量s 的方向；它 的几何波前是由电场强度e 和磁场强度h 构成的，因此总是与光线正交。 在平板波导中，薄膜、衬底和包层均为各向同性介质，光的传播轨迹为直线。 光线在薄膜层中行进，遇到两种介质的交界面时便发生反射，于是光平面波就在 薄膜层里来回反射，呈“锯齿形”向前传播，如图2 1 所示。它由三层组成，中 间层为波导薄膜，其折射率为h ，厚度d 在1 1 0 u r n 左右。下层为衬底，折射 率为起：。上层为包层折射率为他。它们的关系是 刀：，? ：。薄膜波导的 横向( y 方向) 宽度一般在l o - - 2 0 r n m ，与波长( 1 a n ) 相比可视为无限宽，即光波在 y 方向不受限制。而其厚度与波长量级相同，所以在x 方向光波是受限制的。因 此在讨论薄膜波导时只需分析x 方向的变化。 n 3 蛋 c d 图2 1 薄膜波导中束缚光线的传播路径 由图( 2 1 ) 可以看出，若未经反射的入射波( 射线b c ) 和经上、下界面两次反 射的反射波( b c 段射线) 之间的相位差为2 7 r 的整数倍时，满足相长干涉条件，也 第1 3 页 0 l x 山东大学硕士学位论文 就是谐振条件。由图中几何关系可得 而= 如口一面d b c = b c s i n = d ( f g 鼠- c t g o , ) s i n o 。 丽：上 c o s 0 1 假设平面波在上下界面反射时引起的相位移分别为一2 九和一2 氟：，那么入射波与反 射波的相位差为 钯( b c b c ) - 2 d , ：一2 商，= 2 v n ，y = o ，1 ，2 ，a 带入前面所述关系，则有 2 k n ，d c o s o t 一2 杰：一2 破，= 2 v x ( 2 1 1 ) 由波动光学可知在薄膜波导中存在两种基本模式( 波形卜只存在，和，、爿： 分量的t e 偏振膜，以及只存在。和，、e = 分量的t m 偏振膜。由菲涅耳反射 公式可导出在下截面上t e 和t m 膜的反射率r 2 篙糍拽i e x p j 2 符】( 2 1 _ 2 ) 耻篙糍爿帅则2 符】( 2 1 - 3 ) 在导波情况下入射角只应满足全反射条件，即只，0 = a r c s i n ( n ，n 。) ，由折射定律， c o s 0 ，应写成 c o s 蝉顾= 晒叫阿 此时根号内为正数。考虑到根号前的“+ ”号不满足无穷远处的边界条件，所以 只取“”号，代x ( 2 1 - 2 ) y r d ( 2 1 3 ) 式则可得 孵= a r c t g 孕 第1 4 页 山东大学硕士学位论文 。州增等等= a 心c 争 眨，q 秽= a r c l g ( n , n ：) 2 4 s i n 蕊：o 矿, - ( n ：i n , ) 2 = 口r c t g ( - - - ) 1 争 ( 2 1 - 5 一 月 、 。 同理可得上界面的全反射相移为 甜：们喀鱼塑掣 c o s h c 馆船= 舢增 断) ：毗型型地：肇二型丛 c o s h = 州非2 搴 ( 2 1 - 7 ) ”，| 、。7 式中夕= t 。：= k 0 s i n 0 。为传播常数，h = 七。= 女。 ，c o s 9 i 为薄膜中的横向相位常 数，| p = k ：，= 卢2 一一；瑶为衬底中的衰减系数，口= 肚。= 撕f 丽为包层中 的衰减系数。 ( 2 1 1 ) 式可改写为 2 h d 一2 珐：一2 。，= 2 ( 2 1 8 ) 上式称为平板波导导波特征方程，或称色散方程。可以看出，由特征方程确定口 后即可得到这些参数，反过来，这些参数也确定了导膜在薄膜、衬底及包层中的 传输特性。 特征方程中庐一破，都是反正切函数，其中均含有未知量s i n 曰，和c o s 0 ，所 以特征方程没有解析解一般都采用数值法和图解法求解。 当日。 d e j | 2e le x p j ( t a t p z ) c o s ( h x 一声) ，0 x 6 的条件下，模是条形波导的主模。 对：。模，横向场_ i p 2 y 方向的电场和x 方向的磁场占支配地位。根据上面 的描述，可以将x 方向的磁场h 。，写成 h l x = e - i 出 h ic o s ( k ，z + 丸) c o s ( 1 y + 以) i = 1 h 2c o s ( k ，x + 以) e 啦“2 i = 2 h 3c o s ( t z + 丸弦码圳2 1f = 3 ( 2 3 1 ) h 4 c o s ( k y y + 丸) e 一“7 2 i = 4 h 5c o s ( k y y + # y ) e 7 2 i = 5 a 丰1 b 分别为带条在工方向和y 方向的尺度；h ，、h ：、h 3 、h 。、h ，为各区域 中磁场的振幅因子，它们之间的关系由x = + a 2 和y = + 6 2 面上的边界条件确 定；卢是z 方向的相位常数；k ，、k y 是区中场沿x 方向和y 方向的相位常数；口：、 钙、口。、吼是带条四周i i 、i 、v 区中场量在与界面垂直的方向上的衰减 第2 0 页 一一一 些查奎兰堡主堂垡迨塞 常数，这些特征参数之间满足如下关系 k ；+ k ：+ p 2 = 瑶n ? 一口；+ 女：+ 2 = 瑶”； 球；+ 女：+ 2 = 七：聍； 一口：+ i ：+ 2 = 七；九： 一口；+ 七：+ 2 = 懿2 月； 庐，、庐。是两个特定的初相位因子- 他们调整带条内场量腹值的位置，以满足带 条四周的边界条件。在很多实际应用中，带条左右两侧为同一种介质，因而 i 1 4 = h 5 ，口4 = 口5 。再进一步，如果玎2 = 一= 4 = ”5 ，口2 = 吒= 口4 = 口5 = 口 就成为通常的矩形波导。 在h ，为零的条件下，其它各场分量可以从卖克斯韦方城分量式中解出，即 2 0 也一一 e 。= 坚c o e o 望l q t 3 以 一错风s o n ：；) 点。2 瓦j 历可c g h , xe o n ? 砂 ( 2 3 - 3 ) 式中的脚标f = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 分别表示i 、i i 、i l l 、i v 、v 等五个区域中的场量，是 真空中的介电常数。 在x = + a 2 、y = + - b 2 的边界面上，电场和磁场应该满足边界条件。在 y = + 6 2 面上用以和e ：连续的条件可得 t 狮，兰圳= 毒詈t a n ( k ，b 圳= 吾詈 g ，q 在x = 口2 面上用h ；、h ，连续的条件可得 第2 l 页 盟：喜-南 一 e 州 山东大学硕士学位论文 t 矾限詈川墨k x州t 詈圳2 芒( 2 3 - 5 ) ( 2 3 4 ) 、( 2 3 5 ) 式中的四个方程即为e 二模式的特征方程，它们又可以写成 p 一“杂+ t a n 。努哪 七口= t a n i 塑+ t a i l 一1 生+ p 万 1 k ，k 。 1 声，= 圭锄。舞圭m 。袭+ 等 c z 玉6 ， 妒，= 圭t a n 1 詈一圭乜n 。1 詈+ 等 式中p 、q = 0 , 1 、2 、，而，、h 只取0 和1 两个值。当p 取偶数时h 取零，p 取奇 数时h 取1 ：q 取偶数时，取零，q 取奇数时f 取1 。 将( 2 3 - 6 ) 或