（信号与信息处理专业论文）自由空间量子密钥分配协议研究.pdf

南京邮电大学硕士研究生学位论文 摘要 i 摘摘 要要 量子密码学是基于量子力学中的海森堡测不准原理和量子不可克隆原理发展起来的一种新型保密通信技术，在理论上已被证明是绝对安全、不可破译的。由于其绝对安全性，在军事、外交、通信、电子商务等领域具有广泛的应用前景。 近年来的研究表明：光束除了具有自旋角动量（spin angular momentum, sam） ，还具有由螺旋型相位结构产生的轨道角动量（orbital angular momentum, oam） ，且与极化量子态（自旋角动量）不同，oam态可同时包含任意多种状态。 本文在bb84量子密钥分配协议（quantum key distribution, qkd）基础上，将oam应用到qkd过程中，获得一个多维空间qkd方案，并对其进行数值仿真。仿真结果表明，基于oam的qkd协议极大地提高了密钥生成效率，并且不需要调整参考系，适合自由空间通信；随后，本文将互无偏基概念与oam纠缠概念相结合，获得两种适合自由空间通信的qkd协议，分别是基于纠缠特性的随机相位qkd协议和基于oam态纠缠的qkd协议，给出其具体实验实现过程，通过数值仿真和实验验证了协议的可行性；由于oam是空间波函数，当oam作为量子信息载体，在自由空间传输时不可避免受到大气湍流的影响，因此，论文最后研究了大气湍流随机信道的统计特性，获得大气湍流的数学模型，以labview为数值计算工具，分析大气湍流对oam状态的影响，获得所提出协议的量子误码率性能。论文对自由空间地面点对点大气光链路中qkd实验，以及卫星-地面量子通信的研究具有一定的参考作用。 关键词：量子密码； 量子密钥分配；轨道角动量；纠缠；相位调制；大气湍流 南京邮电大学硕士研究生学位论文 abstract ii abstract quantum cryptography is a new type of secure communication technologies that based on heisenberg uncertainty principle and no-cloning principle of quantum mechanics. it has been proved to be absolutely safe in theory. because of its absolute security, quantum cryptography has a wide range of applications in military, diplomatic, communications, e-commerce and other fields. it is shown that the light has both spin angular momentum (sam) and orbital angular momentum (oam), different from the sam, the oam state can contain any number of states. based on bb84 quantum key distribution (qkd) protocol, we first apply oam to qkd scheme and obtain a new multi-dimensional qkd protocol. the simulation results show that the protocol greatly improves the efficiency of key generation, and the states used in the transmission are invariant under rotations about the propagation direction, independent of the alignment between the reference frames of the sender and receiver. hence the protocol appeals for free space communication. secondly, we obtain two free-space qkd protocols by combining the concept of mutual unbiased basis and the entanglement. they are named random phase modulation qkd protocol and entanglement-based on oam state qkd protocol. we describe their implementation process in detail in the article, and the two protocols feasibilities are verified by the simulation and experimental. at last, since oam states are the spatial wave function, they are inevitably impacted by atmospheric turbulence, so we present the simulation of atmospheric aberration, and analyze the impact of the atmospheric turbulence on the proposed qkd protocols. the article can be a reference for the study of quantum communications in free space and in interstellar communication. keywords: quantum key distribution; bb84 protocol; phase modulation; orbital angular momentum; entanglement; atmospheric turbulence 南京邮电大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京邮电大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 南京邮电大学学位论文使用授权声明 南京邮电大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送 交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论 文。本文电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布（包括刊登）论文的全部或部分内容。 论文的公布（包括刊登）授权南京邮电大学研究生院（筹）办理。 研究生签名：_ 日期：_ 研究生签名：_ 导师签名：_ 日期：_ 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章 绪论 1 第一章第一章 绪绪 论论 1.1 课题研究背景及意义课题研究背景及意义 信息安全涉及国家的安危，是国家安全的根本保障。保密通信技术是确保信息安全的基本手段，在军事、外交等领域以及政府机关、银行等重要部门都有广泛的应用，因而受到各国政府的高度重视。传统的公钥密码体制1（如rsa2公开密钥体制），是依赖大质因数分解困难，破译时间长来保证其安全性，并非不可破译。随着计算机技术的飞速发展，计算机的破译能力越来越强，公钥密码体制面临着越来越大的安全隐患。1994年，shor提出一种量子并行算法3，该算法利用量子计算机可以轻而易举地破解大质因数分解困难这类数学难题，shor的发现从理论上动摇了rsa密码体制的安全性基础，对现有的密码体制提出了严峻的挑战，信息安全已成为各国政府面临的头等大事之一。为了实现绝对安全的保密通信，各国政府竞相发展各种保密通信技术。近些年发展起来的量子密码术4,5在理论上己被证明是不可破译的，是绝对安全的6,7。正因如此，各国家在最近几年竞相发展量子保密通信技术。 1.2 研究现状研究现状 量子密钥分配（quantum key distribution, qkd）技术是量子通信中最热门的研究课题，它起源于量子力学中的海森堡测不准原理和未知量子态的不可克隆定理8。 目前有3种比较有名的量子密钥分配方案：一是1984年charles h.bennnett与gilles brassard提出的基于单光子量子信道传输和海森堡测不准原理的bb84协议9；二是1992年charles h.bennnett提出的基于两个非正交偏振态的b92协议10；三是1991年ekert提出的基于纠缠态和贝尔不等式的epr协议11。 自从bennet和brassard第一次提出qkd协议，量子密码技术发展日趋完善，光纤量子保密通信技术已经从广泛的实验研究发展到正式推出了商用化量子密码机，为了减少传输途中干扰的影响，qkd方案一般选择相位编码。相位调制的量子密钥分配是用光脉冲的相位差进行编码，利用非等臂m-z干涉仪来测量相位差进行解码。为进一步走向实用化，人们已经探讨量子密钥分配的网络化。若能建立多用户，甚至任意点对任意点之间的密钥分配系统，则量子密码通信的应用会更广泛，现在已经提出树形，星形和环形网络下的qkd南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章 绪论 2 方案12。1997年，townsend采用树形网络模型，利用光子相位干涉的方法实现了1点到3点的密钥分配13。 随着空间光通信技术的发展，在卫星-地面、卫星-卫星之间进行保密通信的需求日益扩大。此外，通过卫星实现地面上两点之间的量子密钥分配，可能是解决光纤qkd系统通信距离短的有效办法之一。因此，寻找一种方法将量子密钥通过大气传送到卫星，并通过卫星进行传送，要找到这种方法人们还必须致力于自由空间传输的研究14。1996年，美国johns hopkins大学的jacobs等人采用bb84协议，用he-ne激光器和电光调制器产生光脉冲，成功地实现了在白天室外条件下传输单光子自由空间光程为75米，误码率为2%，比特率为1千赫兹 15。美国los alamos国家实验室的hughes等人首先提出了自由空间室内光路205米的量子密钥分配实验16。随后，他们采用b92协议，进行了夜晚条件下室外光路950米和白天室外光路500米的量子密钥分配实验，误码率为1.5%和1.6%17,18。2006年9月，德国的 ludwig-maximilian大学、max-planck量子光学学院、奥地利的vienna大学、欧洲空间局、意大利的padova大学和英国的bristol大学合作进行了夜晚室外144千米的自由空间量子密钥分配实验19。 自由空间地面点对点大气光路量子密钥分配实验的成功， 为进行卫星-地面量子密钥分配实验提供了强有力的证据。然而，由于光子在空间中传输时会受到大气湍流的影响，采用相位编码的qkd系统将会受到很大的干扰，并且效率不高。 为了提高通信的有效性，于是人们以普通激光束的研究为着眼点，逐渐转向一种新型激光束，这种激光光束含有角向相关的相位分布，称其为具有轨道角动量（orbital angular momentum, oam）的光束20，此类光束的相位分布呈现螺旋形，光束中心区域的光振幅为零。研究已经表明21，具有oam的光束在大气信道中传输时，其光束质量，如焦面光强分布、传输距离等受大气湍流的影响程度小于普通厄密-高斯（hermite-gaussian, hg）光束。在光学编码方面，与光的偏振态编码相比，利用轨道角动量编码技术，能够极大地提高空间光通信系统的有效性，并且能进一步提高系统抗干扰能力，将光轨道角动量应用于通信系统，对通信系统的改善具有革命性意义。 最近，人们对空间量子光通信进行了广泛的探索与研究，光子在空间中传输时将受到大气湍流的影响，研究大气湍流对单光子和纠缠光子传输特性的影响对实现保密光通信具有重大意义。 虽然迄今为止人们对湍流的基本物理机制尚不十分清楚，但是已形成了几个公认的基本概念，包括随机性、涡粘性、级串和标度率。基richardson级串模型22，kolmogorov认为在大re数下，这些不同尺度的湍涡共存，在级串过程中小尺度湍流最终达到统计平衡状态，形成局地各向同性湍流23。在kolmogorov的统计理论中，通常使用结构函数描述湍流南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章 绪论 3 的统计特征。1941年kolmogorov提出了3条假设24，并使用横向、纵向结构函数来作为局地各向同性湍流的基本统计量，后来又采用量纲分析方法继而得到湍流理论的2/3定律；其后oboukhov通过引入温度脉动耗散率， 把kolmogorov关于湍流速度场的分析推广到湍流温度场25；由于地球大气只包含有限量的空气，因此kolmogorov谱是不可能变为任意大的，为了克服模型的这一缺点，常采用一种叫von karman谱的形式，也称为修正kolmogorov谱26；虽然修正kolmogorov谱是理论上被普遍采用的折射率功率谱，但是没有包含显著影响光传输的高波数区突变因素，不能真实反映谱的实际特性，hill提出了一个精确的数值模型hill谱27；又由于hill谱的形式比较复杂，为了理论研究的方便，andrews对hill谱模型进行了修正，提出了修正hill谱28。论文中就采用修正hill谱对大气湍流进行仿真，并研究其对自由空间光通信误码率的影响。 1.3 论论文主要内容文主要内容 论文首先对现有的qkd协议进行研究，将oam与qkd相结合，在bb84协议基础上，提出多维空间qkd方案； 然后， 基于量子的纠缠特性， 提出两种自由空间qkd协议； 最后，文章又给出一种大气场景中湍流的模拟方法，并仿真分析其对自由空间qkd性能的影响。 本论文结构安排及主要内容如下： 第二章：简单介绍量子力学的物理基础，这是量子密码学的理论基础，接着又介绍量子密码学的发展现状以及现阶段研究比较热门的qkd协议。 第三章：介绍多维空间qkd协议的实现过程，对具有轨道角动量的光束的特殊性质进行理论分析， 利用其光子oam的多维空间特性 （甚至到无限维） 实现信息的高效编码调制，获得多维qkd协议，以提高qkd量子密钥生成效率。文中提出的多维qkd协议，是利用两组相互无偏基（mutually unbiased bases, mub）和光子oam态编码实现qkd方案，这也是bb84协议在d维hilbert空间中的应用过程。本章以四维hilbert空间中的qkd为例，详细描述该协议的实现过程，给出其数值仿真结果，并对其安全性进行分析，最后理论证明，该qkd方案不需要通信双方实时监测和调整参考系，适合应用在星地链路光通信系统中。 第四章：在量子纠缠特性的基础上，结合bb84协议的思想，对现有的随机相位编码qkd进行改进，提出基于纠缠特性的随机相位编码qkd协议，并给出原始密钥率和量子比特误码率的仿真结果；同时也将oam与纠缠相结合，给出基于oam纠缠特性qkd的实现过程，也对其可行性进行软件仿真。接着本章又对这两个协议进行实验验证，给出实验结果并作简单分析，在理论和实验上分别验证这两种方案的可行性。 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第一章 绪论 4 第五章： 首先介绍大气湍流效应的基本概念， 然后根据激光在大气信道中的传输特点，把激光在大气中传输看作是光在湍流介质中的衍射，进而根据大气随机信道的统计特性建立激光在大气中传输的理论模型，并推导出数值模拟模型。根据所建立的数学模型，应用计算机软件进行模拟，给出光强的动态变化过程，在此基础上，又就其对前面提出的两种自由空间qkd方案性能的影响作仿真，给出湍流强度和传输距离对密钥分配过程的影响，并分析比较仿真结果。 第六章：全文总结。 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 量子密码和量子密钥分配协议 5 第二章第二章 量子密码量子密码和量子密钥分配协议和量子密钥分配协议 量子密码术的绝对安全性，源于量子物理的基本原理及其特有的量子特性。量子力学的测不准原理和未知单量子态不可克隆定理，为量子密钥分配的绝对安全提供了坚实的物理基础。本章的主要内容就是从量子态的基本特性出发，介绍量子密码学中用到的一些量子力学基本概念及qkd的基本原理，并对现有的几种主要的qkd协议作简要介绍。 2.1 量子力学基础量子力学基础 量子信息学是指以量子力学基本原理为基础，通过量子系统的各种相干特性（如量子并行、量子纠缠和量子不可克隆等） ，进行计算、编码和信息传输的全新信息形态。量子信息充分利用了量子力学的基本原理，发挥量子相干性的优点，探讨各种计算，编码和信息的传输。量子信息学最重要的应用，就是量子密码学。本节重点介绍量子密码学的量子力学基础，包括以下几个方面的内容： 2.1.1 量子比特及其描述 在经典信息理论中，信息量的基本单位是比特（bit） ，一个比特是给出经典二进制系统一个取值的信息量29。在量子信息理论中，量子信息的基本单位是量子比特（qubit） 。一个量子比特是一个双态量子系统，这里双态是指两个线性独立的态，这两个独立态常记为|0和|1。以这两个独立态为基矢，张成一个二维复矢量空间，所以也可以说一个量子比特就是一个二维hilbert空间。 比特与量子比特的区别在于，量子比特的状态可以落在|0和|1之外，量子比特可以是状态的线性组合，常称为叠加态： 10 (2.1.1) 其中，和是可连续取值的复数。在测量量子比特时，我们得到0的概率为|2，得到1的概率为|2，因此满足|2+|2=1，|0和|1常称为正交基态。 2.1.2 量子力学的基本原理 量子力学是研究微观粒子系统运动变化规律的理论。它是一门相当成熟的学科，它的南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 量子密码和量子密钥分配协议 6 全部内容可以从少数几个基本原理出发，用逻辑推理的方法推演处理。 （1）量子态叠加原理 量子信息中使用的量子态与经典信息中使用的经典物理态有一些不同的地方。可以说，经典物理态是量子态的一个子集，是量子态的一类特例。对经典物理态的测量，其结果通常是确定的，而对量子态的测量并不一定是完全确定的，即可能是某些测量结果的概率分布。这是因为量子态可以是测量算符的一些本征态的叠加。 量子力学中的态叠加原理在量子信息中有着广泛的应用，也给量子信息赋予了与经典信息截然不同的丰富内容。当然，这也体现了量子力学中的态叠加原理与经典物理中的叠加原理的不同：两个相同的态的叠加在经典物理中代表一个新的态，但在量子物理中仅表示同一个态；经典物理中的叠加是几率的叠加，而量子物理中的叠加是几率幅的叠加，是同一个量子体系的各个可能状态的线性叠加，叠加的态是同一个量子体系的一个新态，具有新的特性。 （2）海森堡测不准原理 在经典力学中，一个质点的运动状态可用坐标、动量及其所描绘的轨道等物理量来描述。但是，量子世界中却是另一种情况。1927年，德国物理学家海森堡（heisenberg）首先提出了量子力学中的不确定性。 海森堡测不准原理是指在同一个量子体系中的两个不对易的量算符无法同时取确定值。例如： 1）同一个量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。位置的不确定性x和动量的不确定性p是不可避免的：xp/2，其中是约化普朗克常数； 2）不能同时确定一个粒子的能量和时间； 3）不能同时确定一个粒子的角动量和角度； 即同一个量子体系中的两个不对易的量算符无法同时取确定值。 （3）不可克隆定理30 不可克隆定理是量子物理的一个重要结论，即不可能构造一个能够完全复制任意量子比特，而不对原始量子比特产生干扰的系统。它是量子信息学的基础，是量子密码学的基石。证明如下： 为了证明不可克隆原理， 我们首先假定， 存在一个系统能够完全拷贝任意的量子比特。 |和 |是两个任意的量子状态， 我们要把这两个状态拷贝到另一个与他们完全无关的状态|k上。我们用一个幺正算符u来描述这个过程。这个拷贝算符必须具备以下性质：南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 量子密码和量子密钥分配协议 7 )(ku，)(ku， 则 内 积)()(kuku为)()(kuku，kkkuku)()(， 这样便得到了：kk = kk，因为1kk，所以得出2=，这个等式仅有的两个解是=0和 =1。这意味着，要么=（当=1） ，要么与正交（当 =0） 。只能够克隆相同或正交的状态，这并不是最初假设的任意状态的完全克隆。 量子力学的不可克隆定理使得窃听者通过截获-重发方法来获取密钥的行为不可行； 而海森堡测不准原理又告诉我们：不能对一个未知量子系统进行测量而不干扰它5，就是说，如果对未知量子系统进行测量，就必然会干扰这个系统，进而就必然会被发现，这个原理保证窃听者一旦窃听就必然被发现。因此，采用单量子态进行密钥分配是绝对安全的6。 2.1.3 量子纠缠 纠缠的量子系统在量子计算与量子通信中有着非常重要的应用，也因此引发了许多不同于经典信息的现象与特征。多比特纠缠比较复杂，这里只介绍二比特的纠缠。二比特量子体系有两个光子，每个光子都可以处于两个不同的状态。这样体系可以有四种不同的状态|0,0、|0,1、|1,0和|1,1，这四种状态和经典二比特体系没有区别，一个光子处于一种状态，另一个光子处于另外一种状态，两个光子没有关联。与经典不同的是二比特量子体系可以处于一种特殊的状态纠缠态上，如：)0 , 11 , 0(2112。对这个纠缠态进行测量时，我们发现：当第一个光子处于|0时，第二个光子必处于|1；当第一个光子处于|1时，第二个光子必处于|0。这种关联在经典信息学中是没有的。纠缠是量子力学独有的现象，是量子信息许多应用的基础，上述的纠缠态也是epr（einstein-podolsky-rosen, epr）态。二粒子系统中，最大的纠缠态也叫是epr态。纠缠产生后，即使两系统间不再有任何相互作用，两系统分开的很远，对其中一个系统的测量也将影响到另一个系统的状态，此即量子力学的非定域性。 2.1.4 贝尔不等式 1965年，bell从隐变量理论和定域实在论出发，导出了自然界两个分离的部分互相关联程度必须满足的一个不等式贝尔不等式31。bell指出，基于隐变量和定域实在论的南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 量子密码和量子密钥分配协议 8 任何理论都必须遵守这个不等式，而量子力学却预言这个不等式可以被违背。这样，量子理论和局域隐变量理论预言的差别就可以通过实验来验证了。其后进行的多次实验都表明了量子力学的正确。 贝尔不等式可以作多种推广，其中很有名的基于二粒子系统的推广形式是clauser，horne，shimony和holt于1969年提出的不等式，简称为chsh不等式32。该不等式可以表示如下： 2e(qt)-e(rt)(rs)(eqses (2.1.1) 在一次测量中， 参与实验的一方可以随机选择测量q或r， 而另一方可以随机选择测量s或t，测量有两个结果，+1和-1，e( )为测量结果的均值。经典情况下，s2，如果s2，则说明是量子情况。 量子力学要求：22s，由贝尔不等式决定，一旦量子态受干扰时，计算的s的绝对值必定小于22。利用该性质alice和bob可以检测非法窃听者eve的存在，同时，如果密钥分配过程有效，alice和bob则可获得安全的密钥。 2.2 量子密钥分配量子密钥分配协议协议 qkd协议是指通信双方（alice和bob）所建立的共同约定，alice和bob必须按照这种共同约定进行编码和解码，才能获得共同的密钥。qkd协议必须满足两个基本要求：一是可靠性，即alice和bob按照这种共同约定进行编码和解码，肯定能获得共同的密钥；二是绝对安全性，当alice和bob按照这种共同约定进行密钥分配时，要确保窃听者（eve）无法获得密钥。 2.2.1 主流量子密钥分配协议 这一小节仅对目前主要的qkd协议作简要介绍，若想了解它们的详细内容，可阅读文中的参考文献。 1984年由bennett和brassard提出第一个量子密码协议bb84协议10，利用四个非正交量子态来实现量子密钥分配，这个协议被多个实验所采用；1992年，bennett提出了另一种更加简化的量子密钥分发协议，即用两个非正交量子态就可以实现量子密钥分配，称为b92协议33；1991年，英国的ekert提出了一种新的基于量子力学贝尔不等式的qkd协议，称为epr协议12，该协议是利用处于纠缠态光子的偏振态进行编码；1998年，bruss等人提南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 量子密码和量子密钥分配协议 9 出一种扩展bb84协议，即以六个非正交偏振态来实现量子密钥分配，称为六态协议34。该协议包含三组共轭基，因此alice和bob选对基的概率只有1/3。但该协议极大地简化了量子密钥的安全性分析，并降低窃听者获取信息的几率，可以容忍更强大的攻击。 2.2.2 误码率门限 误码率是衡量一个通信系统性能优劣的重要指标。在qkd系统中， alice和bob公布部分密钥，计算其误码率，如果其误码率超过预先设定的上限，则说明通信过程可能不安全，这可能是因为有窃听者存在或者量子信道的噪音太大引起的。误码率的上限的设定在方案提出时并没有理论上的要求。但在近几年关于量子密码安全性证明的文章中不同的证明方法给出了不同的上限要求（参见表2-1） 。由于本文接下来要讨论的qkd过程是基于相位编码和bb84协议实现的，所以这里主要给出bb84协议的误码率门限值，同时也给出六态协议的误码率门限值作为比较。bb84协议的误码率门限值为17%，六态协议的误码率门限值为23%，六态协议的误码率容限要大于bb84协议的误码率容限，所以它可以容忍更强大的攻击，但由于技术上的复杂性，到目前还没有在实验上实现。 表 2-1 bb84 协议误码率上限 protocol author tolerable erp(%) bb84 d.mayers35 7 p.w.shor, j.preskill36 11 h.k.lo37 12.7 c.fuchs, i.cirac 15 daniel gottesman38 17 六态协议 h.inamori39 13 n.gisin40 16.7 daniel gottesman38 23 2.3 轨道角动量轨道角动量 2.3.1 基本概念 具有轨道角动量的光束及其应用是目前国内外研究的一个热点方向，其应用随着理论南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 量子密码和量子密钥分配协议 10 和实践的发展变得更为广泛， 具有巨大的应用前景， 也将给量子通信领域带来深远的影响。近年来的研究表明， 光束具有两种角动量， 一种是由于光束的偏振特性产生的自旋角动量，另一种是由于具有螺旋形相位结构而产生的轨道角动量22,23，1936年beth使圆偏振光通过一个用石英光纤悬挂的半波带板，首先观察到了由于光束的圆偏振特性引起的角动量，并通过精确测量光纤的扭矩发现此角动量与量子自旋有关。近年来研究发现，当光束含有与角相相关的相位分布（扭转相位或螺旋相位）时，此类光束具有与角相分布有关的角动量，被称为轨道角动量。携带轨道角动量的光束被称为“光学涡旋” （optical vortices） ， “光学涡旋”是指一类具有螺旋相位波前或相位起点的特殊光场，其相位分布函数中常含有与旋转方位角成正比的项exp(il)， l通常是整数， 又被称作光学涡旋的拓扑荷 （topological charge, tc） 。1992年，allen和他的合作者指出，拥有方位角相位为exp(il)的光学近轴圆柱形光束在其传播方向上每个光子具有离散的轨道角动量值l 41。且与极化量子态不同，一个光子可以携带任意多的量子态。利用光轨道角动量作为信息载体，信息可以被编码在一个无限维状态空间，可以有效的提高数据传输速率，增强系统安全性。 2.3.2 轨道角动量的产生 产生oam的光束一般有以下几种方法：1）直接从激光谐振腔中产生。该方法因在实验中需要谐振腔具有严格的轴对称性，故较难获得稳定的激光输出。2）利用柱面镜构成的非轴对称光学系统将厄密-高斯光束变换为对称光束42。该方法简单方便，转换效率高。3）采用螺旋波带板或全息光学转换板将高斯光束变换为拉盖尔-高斯光束43。这种方法中光束在经过光学元件变换后损耗较大。为了便于描述有轨道角动量的光束，引入了拉盖尔-高斯（laguerre-gauss, lg）模41,44，它含有方位角相位exp(il)，具有轨道角动量l，单光束轨道角动量编码就是利用lg光束携带数据，不同数据编码为不同l值的lg光束。 所有lg模都具有固定的光轨道角动量，它的数学描述为 rrlplrlglpzzlpiilzzzikrzwrzwrlzwrzzczruarctan) 12(exp)exp()(2exp)(exp)(2)(21),(222222222 (2.3.1) zr是光束的rayleigh长度， (z)是光束半径，llp(x) 是缔合拉盖尔多项式，c是归一化常数，下标l和p表征模式的特征量子数。相位因子exp(il)的存在表明此模式的光束具有螺旋波前，是一种涡旋结构的光束。 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第二章 量子密码和量子密钥分配协议 11 2.3.3 轨道角动量研究现状 gibson等提出了一种典型的单光束轨道角动量编码试验系统，在自由空间光通信试验中可实现15m距离的通信44，证明了光子轨道角动量态可作为量子密码通信的信息载体，并且它在信息的传输中具有不可窃听性。目前有一些工作致力于此。苏志锟等人设计了一种基于两个正交的光子轨道角动量态的量子密码通信方案，有效地避免了非正交态系统因发送基和测量基不一致而丢弃一半信息的问题，提高了密钥生成效率41。在此基础上，他们还提出了一个基于oam路由的简单通信网络45， 通过四用户实验方案验证了网络的有效性。利用光子oam态可同时包含任意多种态的特性，mark等人给出具有相位和幅度调制形式的三维量子密钥分发协议46。federico m. spedalieri提出了bb84协议在由固定oam值张成的d维空间中的应用过程47。 2.4 量子密钥分配量子密钥分配系统的重要参数系统的重要参数 评估一个密钥分配系统优劣的两个关键指标是原始密钥率和量子比特误码率。 （1）原始密钥率rraw 系统的原始密钥率为在一次通信过程中alice和bob采用相同的测量基成功得到的量子比特数。rraw由下式决定： linkreprawtqfr (2.4.1) 其中，q是由协议类型所决定的效率因子，文中采用的是bb84协议，所以q为1/2；frep为光源的重复频率；为平均每脉冲的光子数；tlink、|1、|2、|3的相位仿真图，当oam为0，即l=0时，它的相位波前是不旋转的， 对应的相位是不变化的， 就是高斯光； 当l=1时， 就是oam为，此时的光在0-2范围内有一个螺旋形相位波前，图中（第二幅图|1相位）相位从亮到暗变化一次；当l=2时，相位从亮到暗变化两次，相当于在0-2范围内有两个螺旋形相位波前；以此类推，l=3时有三个。图3-1(b)是基b2中四种状态|0、|1、 |2、|3的相位仿真结果，由构造公式可以看出，它们分别是b1中几种状态叠加后依次旋转2/d=/2得到。 3.2.3 基的测量及仿真结果 密钥分配过程要求：如果接收端选用和发送端相同的测量基进行测量，那么就可以准确的得到发送端所发送的状态，而用其他的任何一个基测量都得不到信息。这一小节主要描述两种基各自的测量方法。 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章 多维量子密钥分配协议及其数值仿真 16 a、b1中四种状态的相位图 b、b2中四种状态的相位图 图 3-1 两组互无偏基的软件仿真结果 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章 多维量子密钥分配协议及其数值仿真 17 图 3-2 马赫-曾德尔干涉仪 （1）b1的测量方法 b1的测量用干涉法。图3-2所示是马赫-曾德尔（mach-zehnder, m-z）干涉仪，其中，bs1、 bs2是分束比为50：50的光分束器；m1、 m2是反射镜；dp1、dp2是达夫棱镜；output1、output2是两个输出。dp1、dp2分别位于干涉仪的两臂，当这两个棱镜的相对角度为/2时，它们的作用就等效于在干涉仪的其中一臂加入旋转角度为的光束旋转器，从而使含有相位项exp(il)的拉盖尔-高斯光束在干涉仪两臂产生l的相位差50。 假设发送端随机发送角动量为或2的光子， 输入态|in bs1 = |vac|1， 其中|vac、 |1分别表示是真空态和单光子态，经过光分束器bs1作用后 )11(211vacivacoutputbs (3.2.3) 式(3.2.3)表明光子从分束器透射端和反射端输出的概率都是50%，但从反射端输出时附加了/2的相位跃变，光子经过达夫棱镜dp1、dp2作用后，两臂产生了=或2的相位差，则分束器bs2的输入态 )11(212vacievacinputibs (3.2.4) 状态|vac|1和|1|vac经过分束器bs2后的状态分别为 )11(21 12vacivacbsvac (3.2.5) )11(21 12vacivacbsvac (3.2.6) 这两个状态分别向着不同的探测器传输。那么可以得到|inputbs2经过分束器bs2后变为 )1)1 (21)1 (212vaceivaceinputiibs (3.2.7) 若输入光子的角动量为，即l=1，=，此时分束器bs2的输出态为|outputbs2 = dp2 bs2 ouput2 ouput1 m1 m2 dp1 bs1 input 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章 多维量子密钥分配协议及其数值仿真 18 |vac|1，光子从output1端口输出；若输入光子的角动量为2，即l=2，=2，分束器bs2的输出态为|outputbs2 = i|1|vac，光子从output2端口输出。 如果把这样的干涉装置级联起来，把前一级的输出作为后一级的输入，并且每一级干涉仪的旋转角度取不同的值，这样就可以区分开任意不同l值的光子（图3-3所示为测量4个不同l值的装置图，若每个输出后面都接一单光子探测器，就可以得到每一时刻输出的确定的l值）15。 图3-4所示就是b1这组基的解调结果，其中a图是|1状态的测量结果，由图可以看出，单光子探测器3的测量结果是正确的，与输入态相位一致，而其他三个都无法辨别；b图是|2状态的测量结果，探测器2的测量结果是正确的。 图 3-3 b1的测量装置图 a、状态|1的检测结果 m-z 干涉仪 m-z 干涉仪 m-z 干涉仪 /2 0 1 2 1 3 0 2 1 3 = 4 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章 多维量子密钥分配协议及其数值仿真 19 b、状态|2的检测结果 图 3-4 状态|1、|2的检测结果 （2）b2的测量方法 b2的测量方法比b1复杂相位全息光栅和路径干涉仪联合法。测量装置如下图所示18。 图 3-5 b2的测量装置图 光子先通过一个级联的 m-z 干涉仪装置， 和测量 b1的装置一样。 经过干涉仪后， oam叠加态中各个态被分离开来，成为纯的 oam 态，然后这 m 个光子通过相位全息光栅后会出现 0, m-1，共 m 个衍射级别，0 级衍射光束可以直接通过单模光纤分离出来，而其他级衍射光束则被转换成高斯光，分别通过对应的单模光纤分离出来。经过这样变化分离出来的光束具有相同的空间谱分布，就可以应用光分束器再将它们合成一束光，在合成之前级联mz干涉仪 傅里叶变换 相位全息光栅 l=0 l=n l=0 l=0 探测器 探测器 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章 多维量子密钥分配协议及其数值仿真 20 还要分别对它们进行变换， 这就要利用穿插在干涉仪两臂的衰减器和相位调制器 （衰减器、相位调制器和光分束器共同作用等效于傅里叶变换）51。经过这些处理后我们就可以在对应的探测器上检测到相应的输出。 下面以状态|1为例，说明oam叠加态的解调过程。 )3210(211 1464442102iiidnnkdieeeled (3.2.8) 经过干涉仪后，叠加态被分解成四个oam纯态， )1).(1()1.(0304246444221)3210(21 1dnnthnnlniiiivacnvacevacvacvacevacvacvacevacvacvacevacvacvac (3.2.9) 经过相位全息光栅后，各个状态的光束都被转换成了高斯光， )1).(1()1.(030142464442021)0000(21 1dnnthnnniiiivacvacevacvacvacevacvacvacevacvacvacevacvacvac (3.2.10) 经过傅里叶变换光束又被重新合成为状态|1， 并从相对应的端口输出， 如果每个输出端口后都接一个单光子探测器，就会在相应的探测器上检测到光子。图3-6所示为状态|1的检测结果，其中探测器三的结果是正确的。 3.3 多维量子密钥分配协议的优点多维量子密钥分配协议的优点 3.3.1 不不需要调整参考系 oam态能用含有相位因子exp(il)的波函数表示，在柱坐标系中，设光波沿z轴传播，则函数表达式可表示为： )exp(2),(),(ilzrazrulglp (3.3.1) 沿z轴方向的oam算符在柱坐标系下可表示为： 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章 多维量子密钥分配协议及其数值仿真 21 ilz (3.3.2) 当bob的测量系统绕z轴旋转了角度后，oam态|ulplg 进入bob的控制区后的变化为： lglpillglpliueuez (3.3.3) 发生的变化仅仅是多了一个常数因子exp(il)，而|ulplg 和eil|ulplg 所描述的光子态是完全相同的，所以在应用oam编码的保密通信系统中，通信双方不需要实时监测、调整参考系18。 图 3-6 状态|1的检测结果 3.3.2 提高密钥生成效率 bb84协议中每个光子只携带1比特信息，它的原始密钥率只有50%，而我们提出的这个协议，在d维hilbert空间中，每个光子携带的信息量可以达到log2d比特，大大提高了密钥生成效率。依然以四维hilbert空间中为例，每组基中有四种量子状态，这四种状态分别代表00、01、10、11，接收端检测出一个光子就获得了2比特的信息量，如果是八维hilbert空间，接收端检测出一个光子就可以获得3比特的信息量，所以此方案大大提高了原始密钥率。 南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章 多维量子密钥分配协议及其数值仿真 22 3.4 安全性分析安全性分析 3.4.1 窃听者的攻击策略 窃听者eve的攻击策略分析是qkd领域的一个重要分支。从eve攻击行为的进取性看，可以分为被动攻击和主动攻击两类。eve目前能采用的主动攻击策略有特洛伊木马攻击(trojanhorse attack)，他可以向alice和bob发送已知量子态的光脉冲，根据后向瑞利散射光探测alice和bob方的物理器件的响应，力图找出alice和bob产生密钥的具体实现方法。当然，对于这类攻击可以采取相应的技术措施予以防护。从这也可以看出，一个实际量子密钥分配系统的安全性不仅依赖于量子力学的原理，还依赖于具体物理实现的技术手段来保障。 eve采用的被动攻击策略有个体攻击（individual attack）和联合攻击（joint attack） 。截获-重发攻击就是个体攻击， 也称为非关联攻击 （incoherent attack） 。 如果eve通过某种手段，获得相关联的一些量子比特，然后进行某种测量，这一类攻击就称为关联攻击（coherent attack） 。通常对相关联的量子比特采取联合测量，则这类关联攻击就称为联合攻击。对于联合攻击，现在的研究还不能确知其比个体攻击更有效。在进行攻击策略研究时，对于联合攻击，通常假设eve的测量是在公开信道中基的调和、纠错及保密增强等阶段结束后才进行的；而对于个体攻击，则假设eve的测量是在公开信道，完成基的调和后进行的。 无论采用怎样的被动攻击策略， eve都必须截取alice发送给bob的光子。 从原则上来说，eve只要不违反物理原理，他可以采用己有的和未来的任何技术方案。当脉冲的平均光子数较多时，eve通常可以采用第一种方案光子数分离器攻击（也称pns攻击） ，是在量子通道中应用一个光束分离器，将alice发送给bob的含有光子的脉冲按固定比率分出，然后对其中的光子进行测量。这种攻击将隐身在量子信道的损耗中，因为在alice和bob看来，只是附加了一个信道损耗。 eve所能获得的信息取决于脉冲的平均光子数、 alice和bob的协议类型、eve测量方案的选择、信道噪声等。 当脉冲的平均光子数很少时，比如单光子，eve可能采用第二种方案截获-重发攻击，这时他将量子信道中alice发送给bob的光子全部截获，进行量子测量后再发送给bob。这种攻击将会引起误码率的显著升高，以致可能使得系统停止工作。 当脉冲的平均光子数介于以上两者之间时，eve可以选择第三种攻击方案光子计数和单光子摄取， 他先对量子信道中的每个脉冲进行光子计数， 如果该脉冲包含多个光子，则摄取其中的一个进行测量，其它的光子则不干扰地通过。当然在这种攻击策略中，他也南京邮电大学硕士研究生学位论文 第三章 多维量子密钥分配协议及其数值仿真 23 可以有选择地摄取其中的单光子脉冲中的光子进行测量，然后丢弃或者再发送出去。 为了防止eve攻击引起密钥泄漏，就必须根据eve采用的具体方案，找出相对应的解决措施。目前我们能够采取的措施有：(1) 研制理想的单光子源；(2) 对现在普遍采用的弱光脉冲，进行极大分贝数衰减，以牺牲效率来换取安全；(3) 采用先进的算法进行纠错和密钥增强， 最大程度减小eve最后可能获得的信息， 但这也是要以牺牲一部分比特为代价； (4) 尽可能采用完美的技术手段和装置，极大程度降低信道噪声和qber。 3.4.2 密钥安全性对系统量子比特误码率的要求 一个密钥分配系统总是不能排除eve的存在， 一些经典的文献提供了alice和bob获得密钥的安全性证明。gisin等直接指出一个密钥的安全性必须满足以下两个定理。 定理152。alice、bob和eve对一个量子系统进行测量，其结果将得到一个分别由经典随机变量、决定的联合概率分布p(, , )，alice和bob只通过纠错和密钥增强，从中能提取一个密钥的充分必要条件是 i(, ) i(, ) 或 i(, ) i(, ) (3.4.1) 其中，i(,)=h()-h(|)，式中的i(, )为互信息，h表示香农熵。 alice和bob能够提取的密钥率的下限s(, |)可以表示为 ),(),(),(),(max),(iiiis (3.4.2) 定理253。设e和b是n维hilbert空间的两个可观察量，和是对应的本征值，|和|则是对应的本征矢，则关于他们的互信息，满足下式 )(log2),(),(2ncii (3.4.3) 其中，c=max,|。 定理l指出bob必须比eve拥有更多的关于alice的信息， 即必须比eve更多地接收到alic