（测试计量技术及仪器专业论文）关节臂式三坐标测量系统数学模型及标定技术的研究.pdf

中文摘要 本论文的研究对象是一种新型的采用旋转关节连接的关节臂式柔性三坐标 测量机。此系统采用高精度角度传感器测量各个关节的旋转角度，再依据杆件长 度，通过坐标变换得出测头的中心坐标，具有结构简单、量程大、体积小、价格 低廉、安装方便、易于操作、可在线使用、便携等优点，具有广泛的应用前景。 由于目前国内还没有自主研发的同类产品，无法与国外生产厂家形成竞争，所以 目前国内市场上的关节臂式坐标测量机的价格都非常高。所以，加快关节臂式柔 性三坐标测量机的研究，对于填补国内此类产品的空白，节约仪器进口费用和发 展新型的柔性坐标测量机都有十分重要的意义。 本论文研究的课题是国家自然科学基金项目，项目编号是5 0 4 7 5 11 6 。本论 文的主要工作包括以下几个方面： 1 通过对现在市场上的关节臂式坐标测量机结构的研究，运用在机器人控 制领域广泛使用的d h 参数法建立系统理想数学模型和误差数学模型， 并根据系统的特点对系统中实际存在的影响测量结果的各种误差因素 进行了详细分析。 2 在d - h 参数法基础上，提出了复合球坐标系的定义，在复合球坐标系下 建立了更为简化和适合标定的新的系统数学模型，并且给出了具体的机 构参数的标定方法。 3 利用提出的标定方法对f a r op l a t i n u m1 2 m 关节臂式坐标测量机进行标 定实验，实验结果验证了标定方法的可行性和精确性，同时总结了标定 过程中所遇到的问题，为研究自己的关节臂式坐标测量机的标定技术积 累了实践经验。 4 运用改进的遗传算法求解关节臂式坐标测量机的测头数学模型，采用实 ， 数编码方式，同时运用了算术交叉算子、高斯变异算子、自适应变异概 率以及两次存优等策略，通过仿真证明该算法标定关节臂式坐标测量机 的测头的高效性和实用性。 关键词：关节臂三坐标测量机数学模型复合球坐标标定遗传算法 a b s t r a c t t h ea r t i c u l a t e da r n lf l e x i b l ec m ms t u d i e di nt h i st h e s i si so n ek i n do f k n u c k l e - t y p ec m m s i na r t i c u l a t e da r mf l e x i b l ec m m ，h i g h a c c u r a c ya n g l em e a s u r i n g s e n s o r sa r eu t i l i z e dt om e a s u r et h er o t a t i o na n g l e so fk n u c k l e s ，a n dt h ec e n t e r c o o r d i n a t e so fg a u g eh e a da rec a l c u l a t e d t h r o u g hc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n a r t i c u l a t e da r mf l e x i b l ec m mh a sm a n ya d v a n t a g e ss u c ha ss i m p l i c i t yi ns t r u c t u r e ， w i d em e a s u r i n gr a n g e ，s m a l lv o l u m ea n dl o wc o s t i ti sc o n v e n i e n tt os e t u po ns i t ei n p r o d u c t i o nl i n e , e a s yt oo p e r a t ea n dp o r t a b l e ，a n dh a v ev e r yw i d ep r o s p e c t i v e a p p l i c a t i o n t h e r ei sn oo w nr e s e a c ha r t i c u l a t e da r mc m mp r o d u c e di nc h i n a , s ot h e c u r r e n td o m e s t i cm a r k e tp r i c eo f t h ea r t i c u l a t e da r mc m m si sv e r yh i g h t h e r e f o r ei t i sv e r ys i g n i f i c a n tf o rf i l l i n gt h eg a p si nd o m e s t i c ，s a v i n gc o s t so f e q u i p m e n ti m p o r t c o s t sa n dd e v e l o p i n gt h en e wt y p e so ff l e x i b l ec m mt h a ta c c e l e r a t er e s e a r c ho ft h e a r t i c u l a t e da r mf l e x i b l ec m m n i sp r o j e c ti sf i n a n c i a l l ys u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no f c h i n a , t h en u m b e ri s5 0 4 7 5116 n ef o l l o w i n gw o r kh a sb e i n gd o n ei n t h i sp r o j e c t ： 1 b yu s i n gd e n a v i t h a r t e n b e r ga n a l y s i sa r i t h m e t i c t h ei d e a lm a t h e m a t i c a lm o d e l a n de r r o rm o d e lo f t h ea r t i c u l a t e da r n lc m ma r ee s t a b l i s h e d a ne r r o rs o u r c e sa r e d e e p l ya n a l y z e da c c o r d i n gt ot h et r a i t so f t h es y s t e m 2 b a s e do nt h en hm e t h o d , s e tu pc o m p l e xb a l lc o o r d i n a t es y s t e ma n de s t a b l i s ha n e wa n ds i m p l e rm a t hm o d e l d e s i g n e dp a r a m e t e r sc a l i b r a t i o nm e t h o d 3 v e r i f i e dt h ef e a s i b i l i t ya n da c c u r a c yo ft h ec a l i b r a t i o nm e t h o d ，b yc a l i b r a t i n gt h e f a r op l a t i n u m1 2 ma n nc m m s u m m e du pt h ep r o b l e mi nt h ep r o c e s so f c a l i b r a t i o n a c c u m u l a t e dt h ep r a c t i c a le x p e r i e n c ef o rr e s e a r c ho ft h eo w na r m c m mc a l i b r a t i o n 4 a ni m p r o v e dg e n e t i ca l g o r i t h m ，w h i c ha d o p t sr e a l c o d i n g , a na r i t h m e t i c c r o s s o v e ro p e r a t o r , ag a u s sm u t a t i o no p e r a t o r , a d a p t i v em u t a t i o np r o b a b i l i t ya n da m o d i f i e de l i t i s ts t r a t e g ya r ed e d u c e d t h r o u g ht h es i m u l a t i o n s , t h ee f f e c t i v e n e s s o f t h ea r mc m m p r o b e sc a l i b r a t i o ni sp r o v e d k e yw o r d s ：a r t i c u l a t e da r m ，c o o r d i n a t em e a s u r i n gm a c h i n e s ，m a t h e m a t i c a l m o d e l ，c o m p l e xb a l lc o o r d i n a t e ，c a l i b r a t i o n ，g e n e t i ca l g o r i t h m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：三二又移寸签字日期：2 卯7 年2 月罗日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权蠢鲞盘茔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 王宴式 签字日期：2 p 7 年z 月罗日 导师签名： 么。缆 签字日期：d 7 年月歹日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 课题的立论依据及研究意义 三坐标测量机作为一种高效的精密测量仪器是先进制造技术的重要组成部 分，它将一切尺寸、形状、位置等几何量测量都归结为坐标测量，利用软件求特 征参数，进行评定，使它有很强的通用性。它测量范围大、精度高，易与柔性制 造系统和计算机集成制造系统相连接，因而它在机械制造、电子、汽车和航空航 天等工业中有极广泛的应用【嵋】。 然而，现在的三坐标测量机绝大部分是以正交坐标系为基础的，它有固定的 工作台面，三根互相垂直的运动轴及其标尺，运动轴及其标尺必须比被测尺寸范 围长。由于直线导轨和长标尺制作比较复杂，三坐标测量机的造价会随量程加大 而急剧上升。它的底座、工作台、立柱和导轨通常由金属、花岗岩或陶瓷制成， 一台三坐标测量机的总重量达数吨乃至数十吨，因而现在的三坐标测量机都很笨 重，不适宜大型工件现场快速测量的需要。此外，利用三坐标测量机进行测量要 求要将被测物放到测量机上，而生产中往往要求在加工、装配现场，在装备上进 行测量，还有一些对象根本就无法搬到三坐标测量机上了，为了实现现场测量， 要求发展数字化无导轨在线三坐标测量机。具有多个关节臂的柔性三坐标测量机 是一种能够满足这一要求的测量系纠3 4 】。 近年来，以c c d 摄像机为核心部件构建的三维视觉检测系统的研究取得了 较大发展，由于是非接触测量，能够对柔软或易变形的工件进行检测，一旦系统 被定位安装和标定后，检测速度快，因此适合于对同一工件的批量检测。但是， 由光源和c c d 摄像机组成的按照三角法原理进行测量的系统，只适用于小范围 测量。为了扩大它们的测量范围，一种是与三坐标测量机联用，作为三坐标测量 机的测头，这样一来就又受到了传统正交三坐标测量机的局限，难以在加工现场 或装配工位上使用。另一种方法是由多个c c d 摄像机为核心部件构建复合系统， 但是，此类复合系统在每次安装定位后都需要对部件问的位置参数等重新标定， 大大降低使用效率。而变化快、个性化是现代生产发展的一个趋势，单件或小批 量生产占相当比重，以上两种c c d 摄像系统都很难以全面满足这一要求。此外， 摄像系统难以对一些光线不能到达的区域进行测量，常常存在测量死角。 在生产和科学研究的实践中，有很多场合需要结构简单、体积小、精度高、 第一章绪论 价格低廉、安装简单、易于操作、能够在现场方便地探测工件或机器的各种部位 的大量程的便携式三坐标测量系统。多个关节臂的柔性的三坐标测量机能较好地 满足这一要求。 由于关节臂式柔性三坐标测量机的逆向运动学解不是唯一的，即测端处于的 同一位置，各个臂可以有不同位置；更主要的是因为关节臂式柔性三坐标测量机 致力于发展低成本、便携、现场用的测量机，目前都采用手动方式。 这种关节臂式柔性三坐标测量机的主要优点有： ( 1 ) 量程大、体积小、重量轻。对于传统的正交式三坐标测量机，必须选 择足够大的测量机，保证测量机的运动轴和标尺足够长才能测量较大的工件。一 台测量范围超过l m 的测量机重量以吨计。而关节臂式柔性三坐标测量机可以将 臂折叠起来，放入专用皮箱中，其测量范围却一点也不逊色。例如测量3 m 范围 内的点，必要的条件仅需各臂的长度总和超过1 5 m 。只要自由度足够，没有一 个臂的长度需要超过其它臂的长度总和，在理论上( 如果臂与臂之间不形成障碍 的话) 仍然可以探及半径为3 m 的球内的任意点。一台最大探测距离为3 7 m 的 关节臂式柔性三坐标测量机，其主要部件的重量仅有1 0 k g 左右，可以装在小箱 子中随意携带。 ( 2 ) 可以方便的在现场进行测量，甚至装在被测工件或机器上。这是由其 便携性和定位方便的特点决定的。也是关节臂式柔性三坐标测量机与传统正交三 坐标测量机相比的最大优势。 ( 3 ) 运动灵活、活动部分质量小，可以探测工件或机器上用光学方法不易 探及的点。 ( 4 ) 价格便宜，一台关节臂式测量机的价格仅为同等测量范围的正交式三 坐标测量机的几分之一。例如：一台测量范围为3 m 的正交式三坐标测量机的价 格约为2 0 0 多万元，而同样测量范围的关节臂式测量机大约仅需几十万元。 ( 5 ) 由于其柔性的特点和采用人手操作，与正交式三坐标测量机相比，测 量速度快，且无需考虑路径优化等问题。因此，关节臂式测量机使用更加灵活、 快捷。 关节臂式柔性三坐标测量机具有以上诸多优点，应用前景广泛。我国目前还 没有这种测量机生产，而国外生产的测量机正在飞速发展。本项目着重研究关节 臂式柔性三坐标测量机的标定技术，包括理想的和有误差的关节臂式测量机的数 学模型建立，通过建立复合球坐标系简化系统的数学模型，完成复合球坐标系下 系统结构参数的标定方法的设计与实验以及关节臂坐标测量机测头的标定方法 的设计等。通过这些研究为研制具有自主知识产权的柔性三坐标测量机做好技术 准备。 第一章绪论 1 2 关节臂式柔性三坐标测量机的发展现状 国外，美国法诺( f a r o ) 和星科( c i m c o r e ) 等公司，德国z e i s s 公司等从 上世纪末开始研发此类关节臂式三坐标测量机，用于各种规则或不规则的小型零 件、箱体和汽车车身、飞机机翼机身等检测和逆向工程中，已经显示了其强大的 生命力。 表1 1c i m c o r e 关节臂坐标测量机及其精度 i n f i n i t e 系列柔性三坐标测量臂 规格型号1 2 m1 8m2 4 m2 8m3 0 m3 6 m 测量范围 o 9 m 3 m 37 m 31 2 m 31 4 m 32 4 m 3 单点球测精度士o 0 0 5 m m 土0 0 1 0 m mi - 0 0 15 m m士o 0 2 0 m m士0 0 4 0 r a m士o 0 5 0 m m 单点重复精度i - 0 0 10 m m0 0 1 6 m m土o 0 2 0 m m士o 0 2 9 m m士o 0 3 4 r a m土o 0 5 0 m m 空间测量精度 士o 0 1 5 m m 士0 0 2 3 m m士o 0 2 9 m m士0 0 4 l m mi - 0 0 5 0 m m士o 0 6 8 m m 手臂重量 5 4 k g5 8 k g7 0 k g 8 0k g 8 2 5 k g8 5 k g s t i n g e ri p - m 系列柔性三坐标测量臂 规格型号 1 8 m2 4 m3 0 m3 6 m 测量范围3 m 37 m 31 4 m 32 4 m 3 单点球测精度士o 0 1 5 m m4 - 0 0 3 0 m m士o 0 7 5 m m士o 1 0 0 m m 单点重复精度 士o 0 4 0 m m士o 0 5 0 m m士0 0 8 0 m mi - 0 11 0 m m 空间测量精度 士o 0 5 5 m m士0 0 7 0 m mi - 0 11 0 m mi - o 1 5 5 r a m 手臂重量 3 6 k g 4 1 k g 4 3 k g4 5 k g 表1 - 2f a r op l a t i n u m 关节臂坐标测量机及其精度 型号 重复性重复性长度 f a r o a t i l l ( 测量范围) 球测试( u r n )锥测试( u r n ) 精度( u r n ) 重量( k 曲 6 轴或7 轴6 轴7 轴6 轴7 轴6 轴7 轴6 轴7 轴 p l a t i n u n l1 2 m 5 171 31 81 82 59 1 9 3 p l a t i n 啪1 8 m 1 01 32 02 62 93 79 39 3 p l a t i n u m2 4 m 1 9 + 2 4 2 53 03 6- + 4 39 59 7 5 p l a t i n u m3 0 m- + 3 84 6+ 4 3- + 5 2 6 l7 3 9 7 59 9 8 p l a t i n u m3 7 m 5 36 46 l7 38 61 0 39 9 81 0 2 l 表1 1 和表卜2 是目前市场上两种最著名的关节臂坐标测量机的型号、精度 和重量等信息。可以看出，关节臂式坐标机正在朝着高精度，低重量的方向发展。 由于目前国内现在还没有自主研发生产关节臂式坐标测量机的厂商，国内现 有的关节臂式坐标测量机厂商都是代理销售国外厂家如f a r o ，c i m c o r e 等公司的 产品，在国内一台f a r op l a t i n u m1 2 m 的关节臂式坐标测量机的市场价格就高 达4 0 万人民币左右，价格非常昂贵。所以，加快关节臂式柔性三坐标测量机的 第一章绪论 研究，对于填补国内此类产品的空白，节约仪器进口费用和发展新型的柔性坐标 澳l 量机都有十分重要的意义。 1 3 国内研究现状 国内最早从事关节臂式柔性三坐标测量机研究的是哈尔滨工业大学的车仁 生教授，叶东博士等 ，他们于1 9 9 9 年连续发表了4 篇关于关节臂式坐标测量 机的数学模型，误差模型等方面内容的文章，也研制了样机，但是后来一直没有 见到有后续的研究成果的发表。华中科技大学的范震等人2 0 0 4 年在计算机工 程与应用上发表过一篇关于关节臂式坐标测量机的数学模型和参数标定的文 章。他们都是效仿关节机器人的建模方式，在d - h 矩阵的基础上建立了数学模 型，但他们并没有就其他问题，如模型的优化结构参数对于整个系统的误差的 贡献和系统参数的准确标定等方面有所涉及，除此之外国内井未见到与本论文 研究的关节臂式柔性三坐标测量系统相关的技术报道或论文发表。 l t 4 论文的主要工作 圉差节臂式秉性二坐标测量系统的构成 关节臂式柔性三坐标测量系统是一种新型的多自由度非笛卡尔式坐标测量 系统，如图i 所示它将6 个转动臂和1 个测头通过6 个旋转关节串联连接，图 中3 至9 分别表示系统的6 个关节，一端固定在基座2 上，测头9 可在空间自由 运动，构成了一个半球形测量空间i ，“。为了臂的灵活转动，在关节处还配有平 衡重测量人员手工移动测头进行测量，利用计算机1e 携带的测量软件计算出 被测点的坐标位置，通过数据处理得出待测参数值或偏差。但是测量机末端测头 第一章绪论 中心坐标与各关节转角的关系比较复杂，因此建立其数学模型就显得尤为重要。 所以本论文的第一项工作就是研究空间坐标系的转换关系，利用d - h 参数法建 立起关节臂式坐标测量机的坐标系，在不考虑各种误差的情况下建立系统的理想 数学模型，并利用图解法验证了理想模型的正确性。 在实际应用中，由于存在加工和装配误差，以及环境温度变化和受力变形的 影响，都将引起系统各关节臂产生误差。论文首先讨论了会给系统精度带来影响 的各种误差，并且分析了各种误差对系统精度的影响的特点。在此基础上，将各 种系统结构参数和各类误差分割出来，代入系统的理想模型，对其进行修正，得 到带误差的数学模型1 7 j 。 为了更好地对系统进行标定，论文提出了一种新型的坐标系：复合球坐标系。 经过对关节臂式柔性三坐标测量系统结构的分析，将复合球坐标系应用到关节臂 式柔性三坐标测量系统的测量模型中，在前面建立的带误差的数学模型的基础 上，建立了更为简洁的数学模型。论文接下来讨论了关节臂式柔性三坐标测量系 统结构参数的标定方法，并且通过对一台f a r op l a t i n u m1 2 m 关节臂测量机进行 参数标定实验，验证了标定方法的可行性和精确性。 最后，采用改进的遗传算法一并行组合模拟退火算法对关节臂的测头进行 标定，通过仿真验证了算法的正确性。 1 5 本章小结 本章从关节臂式柔性三坐标测量系统的应用前景和技术优势等方面分析了 对其进行研究的意义，介绍了国内外相关产品的发展状况和目前国内相关技术的 研究现状，并概括了本论文的主要研究工作。 第二章数学模型的建立 第二章数学模型的建立 关节臂式柔性三坐标测量系统是根据仿生学原理，模拟人的四肢和躯干运动 而构成的一种新型的非笛卡尔式坐标测量系统。传统的笛卡尔坐标测量系统对空 间坐标位置的测量是直接通过三个相互垂直的长度基准来描述的，而多关节臂式 坐标测量系统则比较复杂，其空间笛卡尔坐标描述是各个关节角度基准和各个杆 件长度等参数的非线性函数关系。因此，建立关节臂式坐标测量系统的数学模型 是本课题研究的关键问题之一 3 】。 2 1 空间变换基础 本论文研究的是依靠逐级正交链接在一起的由六个旋转关节组成的类似于 多关节机器人手臂式的新型三坐标测量。基于关节臂式柔性三坐标测量系统的结 构特点，使得无论其理想数学模型还是带误差的数学模型都是建立在同一空间点 在不同正交坐标系间的坐标变换的基础上的【引。 首先看一下坐标基本变换的一些知识。例如，d l 蜀h z l 坐标系是由o o x o 历 坐标系绕蜀轴遵守右手准则，即沿逆时针旋转p 角获得的，如图2 1 所示。 x d x l 图2 1 绕x 轴旋转坐标系 空间一点的坐标在0 0 , ( o r o z o 标系下用n ( j r o ，朐，动) 表示，在o l hz l 坐标系下用p l ( x l ，y l ，刁) 表示。那么存在如下关系： 第二章数学模型的建立 ( 2 1 ) 刚诧珊0l l x l 协2 ， 刚舅臻 协3 ， 萎 = l i c s o i ：s 9 0 - c s c 苫i n p o ； 耋 c 2 4 ) 以上的坐标变换仅仅考虑了绕坐标轴的旋转，没有考虑坐标的平移。但是众 所周知，测量臂随温度变化引起的热膨胀，测量机在x ，) ，z 三个方向上的窜动 都相当于发生了坐标的平移。另外，臂身受重力及操作力影响产生的弯曲可以视 为坐标旋转，同时在弯曲变形很小的情况下也可以近似看作是臂末端中心在垂直 于臂轴线的两个方向上的微小平移。与坐标旋转相比，坐标平移的作用要微小的 多，但是由于三坐标测量机要求有很高的测量精度，必须考虑这些平移对测量结 果的影响，所以需引入齐次变换矩阵，将平移量考虑到数学模型中。 在解析几何中，点的平移公式为： 在线性代数用n + l 维向量表示n 维向量来实现坐标平移： x y z 1 l0 ol o0 00 0， o 小 1刀 ol x + l j ，+ m z + 刀 1 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 9 秒暑瞄 名 互 i 一 片咒 f i i i 磊 珊聆 斗 + 卜 h 叫一 茁犷 rj、【 第二章数学模型的建立 所以，坐标系i 和坐标系i 1 之间的坐标转换关系可以做如下考虑： 设仅乒卜屏l 是将z 扣i 轴转到与z t 轴平行时需要分别绕x f 1 轴和y 扣l 轴转过的 角度，逆时针方向转动为正；a i 1 、b i - ! 、矗l 是将d 扣l 移到与d ，重合时需要沿x 卢i 轴、k l 轴、z 乒l 轴方向移动的距离，其正方向同x f 1 轴、y f - l 轴、z 扣l 轴正方向 相同；巩l 是第i f 臂绕其回转轴z 扣l 转过的角度。那么 o i 1 x i i y i 1 z “与 o i x i y i z i 之间的变换可以用坐标系的平移、旋转来实现。可先将 p 肠 绕圪l 轴旋转兹 角使石平行于x i - l 将 o i x i y i z i 绕丘j 轴旋转a f 角使z 平行于z i ；再沿墨l 轴 平移- a i ，沿矗l 轴平移一b f ，沿z 1 平移- 西，使。与d f - l 重合；最后，将 o i x i y i z i ) 绕z 1 轴旋转- 靠l 角，就可以使 o i x i y i z i 与 o i i x i 1 y i 1 z i 1 ) 与重合。将 o i x i y i g i 坐标系的点g ( x i ，磊) 转换成为 o i ，l x i i y i 1 z i - 1 ) 坐标系的点坼“，y i - i ，却，) 的坐标 变换矩阵瓦l 。，可以通过齐次变换矩阵连乘得到，如式( 2 7 ) 所示i l 0 。 互- 1 1 = r o t ( z , ，只一1 ) t r a n s ( z ，4 ) t r a n s ( y j ，b , ) t r a u s ( x , ，口，) r o t ( x , ，口；) r o t ( y f ，屈) ( 2 7 ) 其中： t l = 【c o s 岛_ lc o s p _ f - s i n o i qs i n a fs i n 届，s i n o i qc o s 届+ c o s 移i _ is i n a is i n 届，一c o s ( s i n , b ，0 】1 2 = 卜s i n 岛一1c o s 口i ，c o s 分i _ 1c o s g f ，s i n a f ，0 r t 3 = c o s o _ f qs i n 屏+ s i n o f _ 1s i n a ic o s p f ，s i n o j qs i n p f c o s o j - ls i n a fc o s b i i ，c o s a fc o s 届，o 】1 t 4 = 【a c o s o f l b es i n 幺一l ，口fs i n 9 f - l + b ic o s o , q ，d i ，i 】1 通过对式( 2 7 ) 进行分析，我们可以得到两个空间直角坐标系之间的坐标 转换通式，如式( 2 8 ) 所示。 t = 毛 l ym y l zm z o0 n lp l p y n zp z 0l ( 2 - 8 ) 公式( 2 8 ) 中，p = ( 见乃见) 7 表示第i 个坐标系的原点在第i 1 个坐标 系中的坐标。上= ( 乞乞) r 表示第i 个坐标系的x 轴相对于第i 一1 个坐标系的 三个坐标轴的方向余弦；肘= ( 鸭鸭) 7 表示第，个坐标系的】，轴相对于第 i - 1 个坐标系的三个坐标轴的方向余弦；= ( 以吩吃) 7 表示第i 个坐标系的z 轴相对于第i 1 个坐标系的三个坐标轴的方向余弦。 2 2 理想数学模型 建立合适的坐标系，能够很大程度的使模型变得简单，同时还会使一些误差 第二章数学模型的建立 对测量结果没有影响或者影响系数变小。所以如何设定系统的坐标系，如何确定 各个坐标系的原点、坐标轴，对于最终建立的系统模型是很重要的。由于关节臂 式坐标测量机的运动原理和结构与机器人手臂很类似，所以本论文首先采用在机 器人手臂的建模中广泛使用的d h 法建立关节臂系统的坐标系和模型。 2 2 1d e n a v i t - h a r t e n b e r g 方法的基本原理 1 9 5 5 年，d e n a v i t 和h a r t e n b e r g 两人提出了一种后来称为d e n a v i t h a r t e n b e r g 矩阵的方法，简称d - h 法，用于解决两个相连且可以相互运动的构件问的坐标 转换问题。此方法广泛应用于机器手臂的运动或控制理论中1 1 1 , 1 2 。 d - h 方法严格定义了杆件坐标系，遵循的基本原则如下： 第一步：确定各个坐标系的z 轴。 基本原则是：选取z i 轴沿关节i + l 的轴向( 指向可以任选，但通常让各z 轴的指向一致) 。 第二步：确定各坐标系的原点。 基本原则是：选取原点o i 在过乙l 轴与z i 轴的公垂线上( 即o i 为此公垂线 与z i 轴的交点) 。这里需要说明的是： 1 当z i 1 轴与z i 轴平行时，经过两轴的公垂线不唯一。确定的方法是：若z i 1 轴与z i 轴重合，取o i = ：o i i ，若乙1 轴与z i 轴平行且不重合，过o i 1 作z i 1 轴和 z i 轴的公垂线，取此公垂线与z i 轴的交点为o i 。 2 对于瓯，由于没有乙l 轴，故无法按照上述基本原则选取0 ；d ，这时确定 o o 的方法是：若z o 与z l 相交，取o o = o l ，若z o 与z l 不相交，0 0 在z o 与z l 的 公垂线上。 第三步：确定坐标系的x i 轴。 基本原则是：选取x i 轴沿z i 1 轴和z i 轴的公垂线，方向由z i 1 轴指向z i 轴。 这里需要说明的是： 1 当z i - i 轴与z i 轴重合时，( 这时o i = o i 1 ) 选取初始条件位置时，x i 轴与x i - l 轴重合。 2 当z i - l 轴与z i 轴相交其不重合时，选择x i 一( z i 1 z i ) ，通常使所有x 轴的 指向一致。 3 当i = 0 时，有上述可知，o o = o 或者o o 在z o 轴和z 1 轴的公垂线上，选取 在初始位置时x 0 与x 1 同向。 第四步：确定坐标系的y i 轴。 基本原则是：使y i = z i x x i ，即构成右手坐标系。 第二章数学模型的建立 2 2 2 理想数学模型的建立 图2 - 2 系统结构模型 关节臂式柔性三坐标测量系统由复杂的六轴七臂系统( 考虑测头) ，建立数 学模型时，必须首先设定机构的基准位姿，然后再根据机构的基准位姿建立每一 级坐标系，测量中，通过逐级的坐标变换，计算出测头中心的坐标。为了研究各 个关节臂之间的位置及姿态关系，可在每个关节臂上固定一个坐标系，然后描述 这些坐标系之间相互关系。 按照d - h 方法建立关节臂式坐标测量机的坐标系，如图2 2 所示【l3 1 。图中 z f ( - - - 0 - 5 ) 为回转轴，竖直回转轴的正向向上，水平回转轴的正向向右。按照 d - h 方法，设定理想情况下所有坐标系的x 轴同向，k 向遵从右手定则。 o o x o y o z o ， 为空间位置固定的坐标系，简称固定坐标系； d i y z ) ( 卢l 5 ) 为各转动臂坐 标系； 0 6 x 6 r 6 2 6 为测头坐标系，p 为测端。那么 o i - l x i - 1 y i - i z , - 1 ) 与 d 出磁) 之间 的变换可以用坐标系的平移、旋转来实现。 关节臂l 的坐标系 0 1 x i y i z i 相对于固定坐标系 o o x o y o z o 的转换矩阵记作 1 o l ，关节臂2 的坐标系 o z x 2 r 2 2 2 相对关节臂l 坐标系 d 1 * kz l 的转换矩阵记 作乃2 ，则坐标系 0 2 x 2 y 2 2 2 相对于固定坐标系 o o x o y o z o 的转换矩阵是而1 和乃2 的乘积，记作1 0 2 。依此类推，测端p 在坐标系 0 6 x 6 y 6 2 6 中的位置p ( x 6 , y 6 , 7 6 ) ， 它由测头的结构尺寸和安装位置确定。它在固定坐标系 0 0 3 ( o y o z o l 的坐标可以通 过式( 2 9 ) 所示转换矩阵求得。 瓦= r o 。正：疋，乙( 2 - 9 ) 第二章数学模型的建立 关节臂式柔性三坐标测量系统的结构是特殊的，在测量过程中连杆臂的6 个 参数中只有岛是变化的，称为关节变量，其他5 个结构参数臂的偏转角嘶、届 和臂的长度d j 以及臂的偏置a i 、b ，都是固定的。对于图2 3 所示测量机，在理想 情况下，由于所有坐标系的石轴同向，且两相邻关节轴线是正交的，因此届和 a i 、b i 均为零，口；为袍或以；测端p 在连杆臂6 的坐标系 0 6 x 6 y 6 2 6 中的位置 为e ( o ，0 ，鳓。将上述5 个已知参数代到式( 2 - 9 ) ，由此可推出系统的理想数学模 型死7 ，如式( 2 1 0 ) 所示，其中当= 1 ，4 ，5 时# 1 ；当= - 2 ，3 ，6 时扫一l 。 6 = 兀 t = i c o s o , 0k s i n o , 0 s i n g , 0 - k c o s o , 0 0k0 d 1 oool 2 2 3 理想数学模型的图解法验证 l0 01 00 0 o 00 00 1 正 0l ( 2 1 0 ) 为了验证理想数学模型的正确性，即公式( 2 1 0 ) 的正确性，采用计算机仿 真的办法，首先给出一些关节的旋转角度组合进行理论计算，然后结合图解的方 法，通过将理论计算的坐标对比图解法下系统的位姿相对于基础坐标系下的坐标 的方法，来验证理想数学模型的正确性。 设定的理想杆件参数如表2 - l 所示： 表2 1 系统的理想杆件参数 轴 “弧度) b i西岛钡m m ) 1n 2ooo2 0 0 2 r d 2oooo 3- n 2oo03 5 0 4n 20o0o 5- n 20oo3 5 0 6r d 2ooo o 7o0oo1 5 0 理论计算中选取6 组关节角带入理想模型中进行计算，得到测头理论坐标值 如表2 2 所示： 第二章数学模型的建立 表2 2 理想模型计算结果单位：m m 组号 ( 1 9 l ，岛，岛，吼，晚，0 6 x 弧度) 测头理论坐标值 l ( 0 , 0 ，0 ，0 ，0 ，o )( o ，0 ，1 0 5 0 ) 2 ( 舵，i t l 2 ，舱，7 t 2 ，舵，w 2 )( - 3 5 0 ，3 5 0 ，3 5 0 ) 3 ( 1 t 2 ，0 ，o ，兀2 ，0 ，o )( o ，5 0 0 ，5 5 0 ) 4 ( o ，r d 2 ，0 ，o ，2 ，o ) ( s s o ，o 2 0 0 ) 5 ( o ，兀2 ，- 兀，2 ，7 比，0 ，兀2 )( 2 0 0 ，3 5 0 ，2 0 0 ) 6 ( o ，0 ，0 ，0 ，0 ，兀2 )( 15 0 ，0 ，9 0 0 ) 由于篇幅有限，在图2 5 中只列出了表2 2 中第2 组和第5 组关节角时系统 的位姿图解图，通过对比表2 2 和图2 3 ，可以验证理想数学模型的正确性。 a ) 第2 组系统位姿 2 3 误差数学模型 喜 - ， 蒋 瑚 埘棚 瑚( r a m ) 图2 - 3 测头的位姿图解 b ) 第5 组系统位姿 椭 关节臂式柔性三坐标测量机的精度主要由以下五个方面决定1 1 4 l ： ( 1 ) 角度编码器误差。从测量原理上，关节臂式三坐标测量机根据臂的相 对旋转角度来确定被测点的坐标，而安装在每个关节处的角度编码器又必须满足 尺寸要求，因此较难在尺寸受限的情况下达到很高的测角精度。安装在关节处的 角度编码器大多采用基于刻划分度的测角器件，如光栅器件。尽管光栅形成的莫 尔条纹有平均效应，使得光栅示值误差可以小于刻线误差，但是要将以线值表示 的光栅示值误差减小到o 1 p m 也绝非一件易事。为了运动轻便，关节处的角度编 码器直径不宜超过5 0 r a m ，0 1 岬的线值误差引起的测角误差为l ”，它在2 m 处 引起的测量误差为1 0 岬。因此，必须选择合适的角度测量方法及采取有效的转 第二章数学模型的建立 角误差补偿手段，才能保证对关节转角的精确测量，使关节臂式三坐标测量系统 的精度在原理上满足要求i l 引。 ( 2 ) 臂的弯曲带来的误差。关节臂通常采用直径较细的圆筒，由于长度过 大，且测量机本身整体刚度较低，在自重和操作力的作用下，很容易产生弯曲变 形，这就相当于使臂发生了附加的转动。臂的两端产生l o ”以上的相对弯曲变形 是十分常见的。因此，必须对臂由于加工、自重及操作力等原因产生的弯曲变形 误差进行补偿l l 酬。 ( 3 ) 臂的热变形误差。由于测量机需用人手操作，体温再加上测量环境温 度的影响，都会使臂产生热变形。例如，温度变化1 ，臂长要产生l o - 5 的相对 变化，即l m 的臂长要变化1 0 9 i n ，可见此类误差的影响也是十分可观的。 ( 4 ) 臂长设定值误差。从测量原理上，为了确定测头中心的位置，需要知 道各级臂长和各个转角等数据。目前臂长多采用设计值，其加工精度直接影响测 量结果。不仅臂的长度有误差，还会存在偏置，如：绕z 轴旋转的臂，理想情况 下臂末端中心相对于原点的坐标用( ，0 ，o ) 表示，但是由于结构安排的需要 和加工误差，常在y 和z 方向上存在偏置，臂的末端坐标实际为( i x ，t y ，l z ) 。 忽略纱和l z 会使测头的实际位置与计算结果相差很大。 ( 5 ) 臂的运动误差。理想情况下，每条臂都绕某一轴转动，但实际应用中， 臂在转动时还存在绕另外两个正交方向的角运动误差和在三个方向上的线运动 误差( 称为窜动) ，这些误差同样会给测量结果带来不可忽略的影响。 所以在实际应用中，必须将系统可能存在的误差进行分析和分类，将各种系 统结构参数和各类误差分割出来，修正系统的理想模型。 综合上面的分析和前面建立的关节臂的理想模型可以知道，各种影响系统精 度的因素反映到d - h 模型中，就是系统转角误差么研，邻杆件不垂直产生的角度 误差a a ，相邻关节的旋转轴线不相交于点而产生的误差么嘶和杆件的长度误 差么西，且考虑剑参数误差z f a i 是微小的，余弦值近似为l ，正弦值近似为该角 度。所以可以得到带误差的数学模型为式( 2 1 1 ) 所示i i l i s l 。 c o s ( 0 , + 谚) 陟。= 冉l5 i n 谚 谚 k a a , s i n ( a , + 谚) 一七a a r jc o s ( o , + 6 i ) k o 0 o + 酗， 1 k s i n ( 0 , + 谚) 一k c o s ( o , + 谚) 一k 0 a a , c o s ( o , + 只) qs i n ( o , + 辞) d l + 酗i l ( 2 1 1 ) 西 0 o ，0 o o o 0 o 0 第二章数学模型的建立 当i = l ，4 ，5 时k - - i ，当i - - 2 ，3 ，6 时k = - i 。 通过以下步骤分析各个误差对于系统精度造成的影响： ( 1 ) 在坐标测量机的工作空间中取8 组测头的位置点，其关节臂转角组合 和测头理想位置点见表2 3 ，为了使测头位置尽量均匀分布在工作空间中，在系 统固定坐标系分割的8 个象限中，每个象限任取1 个代表测头位置的点【1 9 2 0 】。 ( 2 ) 对各数据点仅考虑a a ，、乜f 、西和研之一对测量系统的影响，首 先忽略a f 、a a i 、a 西的影响，令研= 3 ”，a 卯铂( = - 2 - - 6 ) 代入公式( 2 9 ) 和公 式( 2 1 0 ) 分别求得测头的理想坐标值和实际坐标值，用误差模量 却；【( _ x ) 2 h h 力2 】“2 作为测头误差结果，其中x 、a y 、a z 为测头的理 想坐标值和实际坐标值之差，进而求得第一关节角误差对测头的位置变化量 , 耻a 0 1 。 ( 3 ) 依此讨论每个关节角误差对测头位置变化的影响，进而得到 - a 0 , ( = - 2 - - 6 ) ： ( 4 ) 同样的方法讨论口，= 3 ”，a a f 3 脚 n ，d 户3 p m 等对测头位置变化的 影响。a b f 的影响与口；、嘶