（应用数学专业论文）关于两类模糊方程解的研究.pdf

， ， c l a s s i f i e di n d e x ：o15 9 u d c ：0 4 a 7 2 ，16 d 2 5 d i s s e r t a t i o nf o r t h em a s t e r d e g r e ei ns c i e n c e ( p e o p l ee q u a lt ot h em a s t e r sl e v e l ) s t u d yo n s o l u t i o n so ft w o f u z z y e q u a t i o n s c a n d i d a t e ： s u p e r v i s o r ： a c a d e m i cd e g r e e a p p l i e df o r ： s p e c i a l i t y ： d a t eo fs u b m i s s i o n ： d a t eo fo r a le x a m i n a t i o n ： u n i v e r s i t y ： b i n g w u p r o f q i uj i q i n g m a s t e ro fs c i e n c e a p p l i e dm a t h e m a t i c s n o v e m b e r , 2 0 0 9 d e c e m b e r , 2 0 0 9 h e b e iu n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y 帆7，眦0洲6m 4 川m 1呲7叭叭1洲y 潢 河北科技大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的作品或成果。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 刁( 7 年明 望、臬 7 v j 铂 指导教师签名：了屯讨缝 护声玷 河北科技大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权河北科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 口保密，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 酌；保密。 ( 请在以上方框内打“ ) 学位论文作者签名： 关- 4 - 。7 年脚驷 指剥雠：了屯计瞳 明年肜月7 多日 | 一 一 ( 给 k 摘要 摘要 模糊集理论是美国计算机与控制专家z a d e h 于1 9 6 5 年提出的，从而创建了模糊 数学。z a d e h 以精确数学集合论为基础，并对数学的集合概念进行修改和推广，提出 用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。z a d e h 认为指明各个元素的隶属集合， 就等于指定了一个集合，当隶属于0 和1 之间的集合，就是模糊集合。并在“模糊 集合”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究。模糊积分和模糊微分方 程是模糊分析学的重要组成部分。1 9 8 7 年，o k a l e v a 把集值映射的积分推广到模糊 集上，定义了模糊数值函数的k a l e v a 积分，并且利用b a n a c h 压缩映象原理讨论了模 糊微分方程初值问题解的存在性和唯一性。矢于模糊积分和模糊微分方程的研究在 理论上不断完善，在应用上广泛扩展，是目前国际学术界的研究热点之一。 本文主要包括两个部分的内容。第一部分研究了一类模糊v o l t a r r a n 分方程的解。 第二部分讨论了一类模糊微分方程的解。主要研究工作如下： 1 ) 研究了模糊v o l t a r r a 积分方程解的全局存在性，给出了在不同条件下的解的 全局存在性的条件，并得到了两个定理： 2 ) 证明了模糊v o l t a r r a 积分方程解的两个特征定理，借助于特征定理，司以将 模糊v o l t a r r a 积分方程等价地转化为积分方程组； 3 ) 给出了模糊v o l t a r r a 积分方程存在有界解的两个充分条件； 4 ) 讨论了一阶线性模糊微分方程解的特征定理，利用特征定理可以将阶线性 模糊微分方程转化为等价的常微分方程组，研究了一阶微分方程的求解问题； 5 ) 讨论了二阶模糊微分方程解的特征定理，利用特征定理可以将二阶模糊微分 方程转化为等价的常微分方程组，研究了二阶模糊微分方程的求解问题。 关键词模糊数；模糊导数；模糊积分：模糊v o l t a r r a 积分方程；模糊微分方程 河北科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et h e o r yo ff u z z ys e tw a sp r o p o s e db yz a d e hi n19 6 5 ，w h ow a sac o m p u t e ra n d c o n t r o le x p e r t s ot h ef u z z ym a t hw a sc r e a t e d b a s e do nt h ec l a s s i c a ls e tt h e o r y , z a d e h m o d i f i e da n de x t e n d e dt h i st h e o r y h ea l s op r o p o s e dm a k i n gu s eo ft h ef u z z ys e ta sam a t h m o d et oe x p r e s sf u z z yt h i n g s h er e a l i z e dt h a tr e f e r r i n gt ot h em e m b e r s h i po fe v e r y c o m p o n e n t se q u a l e dt or e f e r r i n gt oas e t ，w h e nt h es e tb e l o n g st ot h e0a n d1i n t e r v a l ，i t w a saf u z z ys e t o nt h ef u z z ys e t ，h ee s t a b l i s h e do p e r a t i o n s ，t r a n s f o r m e dr u l e ，a n d d e v e l o p e dr e l a t i v et h e o r yr e s e a r c h f u z z yi n t e g r a la n df u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so r et w o i m p o r t a n tp a r t so ff u z z ya n a l y s i s i n19 8 7 ，0 k a l e v ae x t e n d e ds e t v a l u e df u n c t i o ni n t e g r a l i n t of u z z ys e t ，a n dd e f i n e df u z z yi n t e r v a l - v a l u e df u n c t i o nk a l e v ai n t e g r a l s b yb a n a c h c o n t r a c t i n gm a p p i n gp r i n c i p l e ，d i s c u s s e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sa b o u t f u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n i t i a lv a l u ep r o b l e mt h er e s e a r c ha b o u tf u z z yi n t e g r a la n d f u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw a sd e v e l o p e do nt h et h e o r ya n de x t e n d e do nt h ea p p l i e d f i e l d s w o r l dr e s e a r c h e r sa r em o r ea n dm o r ef o c u s i n go nt h e m t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w oc o m p o n e n tp a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，t h es o l u t i o n so ff u z z y v o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n sa r es t u d i e d i nt h es e c o n dp a r t ，s o l u t i o n so ff u z z yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r ei n t r o d u c e d m a i nr e s e a r c h e sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 ) t h ec o m p l e t ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sa b o u tt h ef u z z yv o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n si s s t u d i e d w i t hd i f f e r e n tc o n d i t i o n s ，t h ec o m p l e t ee x i s t e n c ec o n d i t i o n so fs o l u t i o n sa r eg i v e n ， a n dt w ot h e o r e m sa r eg o t ； 2 ) a b o u tt h ef u z z yv o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n so ft w oc h a r a c t e r i s t i ct h e o r e m sa r e d i s c u s s e da n dp r o v e d ，b yt h ec h a r a c t e rt h e o r e m s ，w ec a nt r a n s l a t ef u z z yv o l t e r r ai n t e g r a l e q u a t i o n si n t oac l a s so fi n t e g r a le q u a t i o n s 淅廿le q u i v a l e n c e ； 3 、t w on e c e s s a r yc o n d i t i o n sa b o u tt h ee x i s t e n c eo fb o u n d e ds o l u t i o n so ff u z z y v o l t e r r ai n t e g r a le q u a t i o n sa r eg i v e n ； 4 ) c h a r a c t e r i s t i ct h e o r e mo fs o l u t i o n so ft h ef i r s to r d e rl i n e a rf u z z yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o ni ss t u d i e d ，b yt h i sc h a r a c t e r i s t i ct h e o r e m ，w ec a nt r a n s l a t ef i r s to r d e rl i n e a rf u z z y d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t oe q u i v a l e n tc o n s t a n td i f f e r e n t i a le q u a t i o nc l a s s ，a n dt h ev a l u e d s o l u t i o n so ff i r s to r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni si n t r o d u c e d ； 5 ) i nt h ee n d ，w ed i s c u s st h ec h a r a c t e r i s t i ct h e o r e mo fv a l u e ds o l u t i o n so fs e c o n d o r d e rf u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n b yt h i sc h a r a c t e r i s t i ct h e o r e m ，w ec a nt r a n s l a t es e c o n d o r d e rf u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni n t oe q u i v a l e n tc o n s t a n td i f f e r e n t i a le q u a t i o nc l a s s ，a n d i l t h ev a l u e ds o l u t i o n so f s e c o n do r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni s 协t i o d u c e d k e yw o r d s ：f u z z yn u m b e r ；f u z z yd e f t v a t i v e ；f u z z yi n t e g r a l ；f u z z yv 0 1 t e 嗽硫e g r a l e q u a t i o n ；f u z z yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n 1 1 i 河北科技大学硕士学位论文 口三曩 t = l 乏k 摘要i a b s t r a c t ”u 目录i v 第1 章绪论l 1 1 模糊数学的产生及在中国的发展1 1 2 模糊数和模糊数值函数的研究概况4 1 3 模糊v o l t e r r a 积分方程的研究概况- 6 1 4 模糊微分方程的研究概况”6 1 5 本文研究的主要内容”7 第2 章预备知识9 2 1 模糊集的基本概念与性质”9 2 2 模糊导数的概念与性质1 2 2 3 模糊积分的概念与性质1 4 2 4 模糊方程的概念与性质1 5 2 5 模糊v o l t e r r a 积分方程的概念与性质”1 6 2 6 模糊微分方程的概念与性质1 8 2 7 本章小结2 0 第3 章模糊v o l t e r r a 积分方程2 1 3 1 解的全局存在性“2 1 3 2 模糊v o l t e r r a 积分方程的求解。2 4 3 3 模糊v o l t e r r a 积分方程的有界解3 1 3 4 本章小结3 3 第4 章一阶和二阶模糊微分方程3 4 4 1 一阶模糊微分方程的求解3 4 4 2 二阶模糊微分方程的求解3 8 4 3本章小结4 4 结 论4 5 参考文献。4 6 攻读硕士学位期间撰写与发表的论文5 0 致 谢5 1 个人简介5 2 l v 第1 章绪论 第1 章绪论 模糊集理论是美国计算机与控制专家z a d e h 于1 9 6 5 年提出的，从而创建了模糊 数学。模糊数学在实际问题中的应用几乎涉及国民经济的各个领域。 1 1 模糊数学的产生及在中国的发展卜s 0 1 现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义在某一方面来看，在于 集合论把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处，我们可以通过说明属性来说 明概念，当然也可以通过指明对象来说明它，而符合概念的那些对象的全体叫集 合。因此，集合可以表现概念，而集合中的关系及运算同时可以表现推理和判断， 一切现实的理论都可能纳入集合描述的数学框架。经典集合明确地限定：每个集合 都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。 因此，精确性是经典数学的一大特色，在很长时间里，利用精确数学及随机数学描 述和研究自然界许多事物的运动规律，扩得了显著的效果。 但在日常生活中，人们常常会遇见许多的模糊事物，这些事物没有明确的数量 界限，需要使用一些模糊的词句来形容、描述。例如，比较漂亮、高个、大胖子、 好、年轻、善、丑、远、近。因此在人类的一般语言以及科学技术语言中，也 大量地存在着模糊概念。人类自然是最具普遍的现象，人类大脑是最具灵活的特征 在于其具有模糊性。然而精确性经典数学扬弃模糊性，模糊性与精确性是对立的， 这是当今社会科学发展所面临的一个非常显著的矛盾。更重要的是，随着计算机、 系统科学、控制理论的迅速发展，要使计算机能够像人脑那样对复杂事物具有识别 能力，就也必须研究模糊性。人同计算护相比，人脑具有处理模糊信息的能力，善 于判断和处理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力就差的多了，为了提高计算 机识别模糊现象的能力，这就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能够接受的指 令和程序，进而提高计算机自动识别和控制模糊现象的效率。处理与人类行为相似 的复杂系统，如人脑系统、航天系统、社会系统等等，这些系统很复杂，变量和参 数甚多，各种因素相互交错，它的模糊性也特别明显。恩格斯说：“辩证法不知道什 么绝对分明的和固定不变的界限，不知道什么无条件的普遍有效的非此即彼t 它 使固定的形而上学的差异互相过渡，除了非此即彼! ，并且使对立互为中介；辩 证法是唯一的、最高度地适合于自然观的这发展阶段的思维方法。”因此，在当今 社会的科学发展中，人们再也无法回避模糊现象，并对越来越多的对所谓“正统 的概念进行本质上的改造，使之重新描述大自然是大脑智慧中非绝对化，非清晰的 一面，于是在历史的辩证法中显示出一颗强大、奇特的种子在精确的摇篮中， 河北科技大学硕十学位论文 模糊数学应运而生。因此，模糊数学的产生是科学技术与数学发展的必然产物。 早在1 9 0 4 年，法国物理学家杜恩( p d u h e m ) 在物理理论的目的和结构中 说过“同一般常识的模糊陈述，正因其比较精确，反而比较不确定。而在1 9 2 3 年， 大哲学家罗素( b m s s e l ) 在他的论文访模糊性中特别强调：“当运用于精确符号 时，排中律是有效的，但是当符号是模糊的时候，排中律就无效了。”美国控制论专 家、数学家l a z a d e h 教授多年来一直从事于“计算机”与“大系统的矛盾研究 之中，尽管计算机计算神速，具有超人的记忆，然而当计算机面对外延不分明的模 糊状态时，却“一筹莫展”。计算机为什么不能够象人脑那样进行灵活的思维与判 断问题呢? 关键在于人脑的思维，在其感知、推理、辨识、决策以的过程中，完全 可以达到对模糊信息的接受、处理及贮存。而计算机为什么不能象人脑思维那样处 理模糊信息呢? 其根本原因在于经典数学的理论，经典集合是描述人脑思维对整体 性客观事物的识别和分类的数学方法。磨托尔集合论( c a r t o r 。ss e t ) 要求其分类必须 遵从形式逻辑的排中律，所考虑的对象的全体中的任一元素要么属于集合，要么不 属于集合，两者仅居其一。这就是导致目前计算机不能象人脑思维那样灵活、敏捷 地处理模糊信息的主要原因。因此在非线性、多变量、时变的大系统中，精确性与 复杂性形成了尖锐的矛盾。美国控制论专家、数学家l a z a d e h 教授从实践中总结 出一条互克性原理：“当系统的复杂性日趋增长时，我们作出系统特性的精确然而有 意义的描述的能力将相应降低，直至达到这样一个阈值，一旦超过它，精确性和有 意义性将变成两个几乎互相排斥的特性。”“常规数学方法的应用对于本质上是模 糊系统的分析来说是不协调的，它将引起理论和实际之间的很大差距。 1 9 6 5 年，l - a z a d e h 教授发表了论文模糊集合，标志着模糊数学这门学科的 诞生。模糊数学用精确的数学语言去描述模糊性现象，“它代表了一种与基于概率论 方法处理不确定性和不精确性的传统不同的思想，不同于传统的新的方法论”。 l a z a d e h 教授以精确数学集合论为基础，对数学的集合概念进行修改与推广，l a z a d e h 教授经过仔细研究发现古典集合论中的集合，指明各个元素的隶属集合，就等 于指定了一个集合，当隶属于o 和1 之间值时，就是模糊集合。比如“老年人”是 个模糊概念，7 0 岁的人肯定应该属于老年人，它的从属程度是1 ，4 0 岁的肯定不算 老年人，它的从属程度为o ，按照l a z a d e l 教授给出的公式，5 5 岁的人属于“老 年人”的程度为0 5 ，即“半老年人”，6 0 岁的人属于“老年人”的程度应该就是o 8 。 在此基础上l a z a d e h 教授还提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型， 一 并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换，开展有关的理论研究。1 9 7 5 年，l a z a d e h 教授在语言变量的概念及其在近似推理中的应用( ( ( t h e c o n c e p t o f a l i n g u i s t i c v a r i 一 a b l e & i t s a p p l i c a t i o m o a p p r o x i m a t e r e a s o n i n g ) ) ) 中，提出了语言变量的概念并探索了 其本质的含义。模糊集合理论中最重要的发展是模糊语言的概念，模糊语言理论的 第1 章绪论 重要方面是语言变量的概念，语言概率2 其订算、模糊逻辑及近似推理则可以当作 语言变量的应用来处理。人类语言表达主客观模糊性的能力引起人们的高度重视， 也许从研究模糊语言入手就能掌握主客观的模糊性、找出解决这些模糊性的方法。 人类语言具有模糊性，人们经常接受模糊语言和遇到模糊信息，并能对其做出正确 的识别和判断。而现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的，它在处理客观确定 的事物方面，发挥了巨大的作用，但是却不具备处理事物和概念的模糊性或不确定 性的能力。人类自然语言具有模糊性，为了达到用自然语言跟计算机进行直接对话， 就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型，从而把计算机转到多值逻辑基础 上，这就需要研究模糊逻辑。 模糊数学诞生至今，发展迅速、应用广泛。模糊数学以“模糊集合”理论为基 础，它是运用数学方法研究和处理模糊性现象的一门新的数学分支。模糊数学提供 了一种处理不精确性和不肯定性问题的新方法，是描述人脑思维处理模糊信息的有 力工具。从纯数学的发展来看，模糊数学将经典的集合论扩展为模糊集合论，乘积 空间中的模糊子集便给出了一对元素间对应的模糊关系。同时集合概念的扩充也使 许多数学方面的分支增添了更多、更新的内容。例如：不分明线性空间、模糊拓扑 学、模糊概率统计、模糊代数学、模糊测度与积分、模糊分析学、模糊范畴、模糊 图论、模糊群、模糊逻辑学等等分支。其中相当多的领域已有比较深入的研究。 模糊数学发展的主要原因是在它的应用方面。由于可以用模糊集来描述模糊性 概念，人们可以运用用模糊性数学的方法来描述概念进行判断、评价、推理、决策 和控制的过程。例如：模糊聚类分析、模糊信息处理、模糊控制、模糊决策与模糊 预测、模糊综合评判、模糊模式识别等等。这些方法构成了一种新兴的模糊性系统 理论，构成了一种新的思辨数学雏形，在图象识别、自动控制、信息处理、人工智 能、经济学、管理科学、社会学、生态学、哲学、心理学、医疗诊断十语言学研究 等领域中，都得到广泛应用。它已在心理、医学、气象、经济管理、地质、石油、 环境、生物、林业、农业、化工、遥感、语售、控制、体育教育、等方面取得具体 显著的研究成果。模糊性数学最重要的应用领域应是计算机智能。计算机使用模糊 数学，更能大大提高计算机的识别能力，可以模拟人类神经系统的活动。它已经被 用于知识工程和专家系统等方面，在各个领域中发挥看非常重要的作用，并已获得 巨大的经济效益。 在当今社会的大系统管理中，更加有效的决策，就是运用模糊数学的方法。模 糊数学这种相当新的数学方法和思想方法，其应用前景非常广阔。 在美国，法国，日本等世界数学强国相继研究模糊数学。1 9 7 6 年，中国开始注 意模糊数学的研究。1 9 8 0 年，中国成立：模糊集与系统协会。1 9 8 1 年，创办模糊 数学杂志。1 9 8 7 年，创办了模糊系统与数学杂志。出版了大量的颇有价值的 3 河北科技大学硕士学位论文 论著。汪培庄教授编著了模糊集与随机集落影，模糊集合论及其应用，张文修 教授编著的模糊数学基础等。1 9 8 8 年，汪培庄教授指导几位博士生研制成功了 一台模糊推理机分立元件样机。它的推理速度高达1 5 0 0 万次秒，这表明中国在 模糊信息处理方面迈出可喜的一步。何新贵院士将f u z z y 方面的论文在国内外权威 杂志上发表，标志着中国在模糊数学方面的研究已经达到国内外先进水平。2 0 0 5 年， 通过国际模糊系统协会( i f s a ) 专家评审，授予四川大学副校长刘应明院士 “f u z z y f e l l o w 奖 。“f u z z y f e l l o w 奖”是模糊数学研究领域的最高奖项，专门授 予得到国际公认的，在模糊数学领域做出杰出贡献的科学家。2 0 0 5 年8 月2 0 日， 中国运筹会f u z z y 信息与工程分会正式成立。f u z z y 信息与工程分会隶属于全国两大 数学方向的一级学会之一中国运筹会，这表明f u z z y 数学在中国已取得了重要 的发展，尤其是f u z z y 数学的创始人l a z a d e h 教授出席了会议，中国运筹学会理 事长、中国科学院数学与系统科学研究院副院长袁亚湘教授和广州大学校长廖建设 教授为学会揭牌，这给f u z z y 信息与工程分会的成立增添的极大的光彩。同时也积 极的鼓舞了全国f u z z y 研究工作者。f u z z y1 青息与工程分会的宗旨：在完善和加强 f u z z y 集理论研究的同时，更侧重于f u z z y 技术的应用和f u z z y 产品的开发研究。至 此，中国已成为全球四大模糊数学研究中心之一。( 美国，西欧，中国，日本) 。 1 2 模糊数和模糊数值函数的研究概况 j - ：o 】 模糊数理论是模糊分析学中最重要、最基本的概念之一。1 9 7 2 年，c h a n g 和z a d e h 将实数域尺上的一类具有与概率分布函数类似性质的模糊集称为模糊数。1 9 7 5 年， n e g o i t a 和r a l e s c u 把模糊数视为尺”中满足某些特定条件的非空子集族 a oi 口 o ，1 1 以= 亭i 彳( 善) 口 ， 定义为a 的口截集。从而建立了模糊数的截集形式的表示定理1 9 8 6 年，g o e t s e h e l 和v o x m a n 用两个满足特定条件的函数族： ( 口( 口) ，6 ( 口) ) l 口【o ，1 】 来表示r 上的模糊数。其后，m i z u m o t o 和t a n a k a 、n a h m i a s 、b e z d e k 、d u b o i s 和p r a d e 、 r o d a b o u g h 以及h e i p e r n 等对模糊数的性质，尤其是代数性质进行了研究。模糊数空 间的嵌入是研究模糊数理论及其应用的重要方法，1 9 8 3 年，p u r l 和r a l e s e u 借助非空 紧凸集的r a d e s t r o m 定理，将门维模糊数空间嵌入到某个b a n a c h 空间中，并且作 为以0 为顶点的闭凸维。19 8 6 年，p 嘶和k l e m e n t 、r a l e s c u 将e ”的子空间既嵌入 到b a n a c h 空间c ( ，s ”1 ) 中，来研究模糊随机变量的正规性和极限定理。1 9 8 9 年， 4 第1 章绪论 d i a m o n d 和k l o e d e n 给出了完备度量空间( f ，c ) 的紧性的刻画。1 9 9 1 年，吴从忻和 - b 明指出了在一维的情况下模糊数空间e 1 可嵌入到空间a o ，1 】否【o ，1 】中，其中 c o ，1 】表示在【o ，1 】上有界左连续，对于， o ，1 ) 有右极限，且在忙。右连续的全体函 数。人们越来越多的将模糊数系与区间分析和集值映射理论联系起来，并逐步形成 了力维欧式空间r ”上的模糊数的概念。 传统数学尤其是概率论与数理统计的出现和发展给人们提供了一种表示和处理 随机世界的一种不确定性。迄今为止人类对世界随机现象规律性的研究已相当的深 入。但是，由于客观世界的复杂性，以丁，永恒的物质运动所引起的不断变化性质， 使世界除了随机性这种不确定性之外，还有一种更普遍存在的不确定性，即为模糊 性。它是与随机性截然不同的概念。随机性所描述的事件或现象本身含义是清楚的， 可以判断该事件在某待定时刻和特定条件下发生了还是没发生。模糊性所描述的现 象或概念本身是模糊不清楚的，一个具体的对象是否符合一个模糊概念是不能明确 判定的。 模糊集理论是美国计算机与控制专家z a d e h 于1 9 6 5 年提出的，从而创建了模糊 数学。模糊集理论是经典集合论的推广，它认为元素总是以一定的程度属于某个集 合，也可能以不同的程度属于几个集合。经典集合论中集合的边界是清晰的，而模 糊集理论中集合的边界是不清晰的，对人们现实生活中大量使用的一些含义确定但 不准确的语言表述，模糊数学可以较好地表达与处理。 模糊数学在实际问题中的应用几乎涉及国民经济的各个领域，以模糊推理为核 心的人工智能技术在许多方面都取得了明显的经济效益。模糊代数学的研究也得到 了一些成熟的结果。1 9 7 1 年，a r o s e n f e l d 定义了模糊子群；1 9 8 0 年程里春引入模糊 元的概念给出了模糊子群的另一定义，从而促进了模糊代数学的研究。 在我国，模糊数学的研究已十分活跃，我国数学工作者在模糊拓扑学，模糊分析学， 模糊代数学等领域均已取得许多长足的进展 模糊数值函数就是取值于模糊数空间的函数。模糊数值函数是模糊分析学的重 要的研究对象。如何建立合理的模糊数值函数的微积分是模糊分析中的一个重要问 题。模糊数值函数可微的研究，最早始于p u r i 和r a l e s c u 的工作。1 9 8 3 年，p u f f 和 r a l e s c u 提出了模糊数值函数的h 可微性。s e i k k a l a 给出了取值于e 1 的模糊数值函数 的模糊导数的定义。1 9 9 2 年，吴从忻和马明利用抽象函数的f r e c h e t 可微性条件刻画 了模糊数值函数的h 一可微性。2 0 0 4 年，b e d e 提出了取值于e 1 的模糊函数的广义微 分的概念。 5 河北科技大学硕士学位论文 1 3 模糊v o l t e r r a 积分方程的研究概况 1 9 8 2 年，d u b o i s 和p r a d e 首先对取值于e 1 的模糊数值函数定义了积分。1 9 8 6 年， m m l o k a 利用对区间进行了分割、再分别求大和、小和的方法定义了模糊数值函数的 r i e m a n n 积分。r g o e t s c h e l 和w v o x m a n 利用分割，求和，求极限的方法定义了一 一 种模糊数值函数积分。1 9 8 6 年，m l p u r i 和d a r a l e s c u 将集值映射的a u m a r m 积分 推广到，z 维模糊数空间的情况，1 9 8 7 年，o k a l e v a 把集值映射的积分推广到模糊 。 集上，定义了模糊数值函数的k a l e v a 积分。1 9 8 7 年，m m a t l o k a 定义了( m ) 积分。1 9 8 9 年，n a d a 定义了r i e m a n n s t i e l j i e s 积分。1 9 9 2 年，吴从忻和马明利用抽象的( r 1 积 分分别刻画了模糊数值函数的r i e m a n n 积分。1 9 9 5 年，j o n gy e o u lp a r k 证明了模糊 v o l t e r r a 积分方程解的存在唯一性定理，1 9 9 9 年他又给出了不同形式模糊v o l t e r r a 积 分方程解的存在唯一性定理。2 0 0 3 年，海射香给出了有限区间上胛维模糊数值函数 的h e n s t o c k 积分。我国的吴从忻，巩增泰等对模糊数值函数的积分进行了一系列的 讨论。2 0 0 4 年，巩增泰定义并讨论了强模糊h e n s t o c k 积分，给出了区间f a ，b 上( f h ) 可积的模糊数值函数，其积分原函数不是几乎处处可导的例子。利用强( f h ) 积分刻 划了模糊数值函数积分原函数的几乎处处可导性，指出：模糊数值函数户在区间k b 上强( f h ) 可积，则其积分原函数在 a ，b 上几乎处处可导。 1 4 模糊微分方程的研究概况 2 j o 一1 2 ，2 3 一s ，】 在常微分方程中，利用p e a n o 定理考虑问题 x ( f ) = 厂( r ，x ( ，) ) ，x ( f 0 ) = x o ， 其中x 为b a n a c h 空间，f ：r x x 连续，若x 是有限维的，则此问题在任何含“ 的实区间内至少有一个解具体地，令口 0 ， 0 ，记 s = ( f ，x ) r xt i t 。，f 。+ 口】，i l x - - x o o ，x o e ”的初值问题，最早始于k a l e v a 的工作。19 8 7 年k a l e v a 利用b a n a c h 压缩映象原理讨论了当厂连续且满足l i p s h i t z 条件时，模糊微分方程初值问题 z ( f ) = f ( t ，x u ) ) ，x ( t o ) = x 0 有唯一解以来，模糊微分方程的研究引起了很多学者的兴趣。1 9 9 0 年，k a l e v a 指出 ( e ”，d ) 上的模糊微分方程的p e a n o 定理不成立，他将f 限制在e ”中的闭锥u 上，指 出当厂：j xu 专u 是连续时，模糊微分方程的初值问题在j 上有解当且仅当u 在f 中局部紧致。1 9 9 6 年，p vs u b r a h m a n y a m 利用距离空间上的一个压缩不动点定理讨 论了模糊v o l t e r r a 积分方程 一 z ( r ) = f ( t ) + ! ，9 0 ，x ( j ) ) d s 在满足厂，g 连续且g 具有l i p s h i t z 条件的情况下有唯一解。1 9 9 6 年，吴从忻，宋士 吉将模糊微分方程初值问题转化为b a n a c h 空间的闭凸锥上的抽象微分方程，建立了 模糊微分方程初值问题的近似解和解的关系，得到当厂满足广义l i p s h i t z 条件时，初 值问题有唯一解，并在凸闭集上讨论的解的存在唯一性问题。紧接着，他们用同样 的方法，讨论了在紧型条件下，模糊微分方程的初值问题，在耗散型条件下，又给 出了模糊微分方程c a u c h y 问题解的各种存在唯一性定理，进而得到了耗散型条件下 模糊微分方程的全局存在唯一性定理，连续相依性定理，特别对于耗散型条件考虑 了c a u c h y 问题在闭集上解的存在唯一性定理。1 9 9 9 年，j u a n j n i e t o 证明了当厂连 续且有界时，微分方程至少存在一个解。l9 9 9 到2 0 0 1 ，j a m e sj b u c k l e y 和t h o m a s f e u f i n g 对模糊偏微分方程进行了研究。2 0 0 7 年，b a r n a b a sb e d e 和i m r ej r u d a s 研 究了在广义可微性下一阶微分方程的解。2 0 0 1 年，j a m e sj b u c k l e y 研究了模糊玎阶 方程的解。2 0 0 4 年，b e d e 提出了取值于e 1 的模糊数值函数的广义微分概念。此后， 他进一步研究模糊数值函数的广义微分的概念，讨论了模糊微分方程的初值问题。 2 0 0 5 年d n g e o r g i o u 研究了高阶模糊微分方程解的存在性定理，2 0 0 9 年 t a l l a h v i r a n l o o 研究了在广义模糊可微条件下高阶模糊微分方程解的存在性定理。 2 0 0 8 年b a m a b a sb e d e 给出了一阶模糊微分方程的特征定理，可以将模糊微分方程 等价地转化为常微分方程组。2 0 0 9 年，f ，p e d c r s o n 利用特征定理研究了电力模糊微 分方程初值问题的数值解。 1 5 本文研究的主要内容 本文主要研究一类模糊积分与一类模糊微分方程的解的问题。全文共分4 章。 第1 章是绪论，介绍模糊数学的产生及在中国的发展、模糊数、模糊函数、模 糊积分和模糊方程的发展历史、研究现状。 7 河北科技大学硕士学位论文 _ _ _ _ 目= = = 目_ 目_ _ _ l ；目目；= 目_ _ 目目口日= 口目= # = = = = = ；= = = = 目= = = = 目_ _ e = 自= = j 目j ；自= 目= 第2 章是预备知识，介绍该研究课题所涉及到的定义和预备知识，主要包括： 模糊集的概念与性质、模糊导数和模糊椤分的概念与性质、模糊v o l t e r r a 积分方程和 模糊微分方程的基本知识、现有的主要结果。 第3 章，主要研究模糊v o l t e r r a 积分方程 j m ) = 邝) + j ：，尼( 柚，砸) ) 出 0 ) 为紧集。 则称e ”为模糊数空间，e ”中的元素称为1 2 维模糊数，简称模糊数。 记 【“ a = x r ”lu ( x ) 口) ，口( 0 ，1 ， 称为“的口一截集， 甜 o = s u p p u 称为“的支集。显然，如果扰e ”，则 材：! 和i “】o 是r ”中的非空紧凸子集。 对于0 0 。 那么对于任取的口 o ，1 】，陋】口是一个有界的闭区间。对于“，v 口f 和兄口， “+ v 和勉被定义为： 【“+ v r = 【“r + 【v 。，【旯甜r = a 【甜 。，v 口【o ，1 】， 这里 u l 口+ v r = x + y ：工陋 。，y v ， 【x u 口= 旯x ：x 阻，陋】。= 旷，引+ 】 - ek ( r ”) 为r ”中的非空紧子集全体，k c ( r ”) 为r ”中的非空紧凸子集全体。 定义2 2 论域u 上的一个模糊集合以是由u 上的一个隶属函数 a ：u 一 o ，1 来表示，其中a ( x ) 表示元素x 隶属模糊集合彳的程度。 一般地，一个模糊集合a 可以表示为 a = ( x ，彳( x ) ) ：x u ) 如果论域u 是有限集合或可数集合，那么可以表示为 a