（应用数学专业论文）两类带趋化性交错扩散方程组解的整体存在性.pdf

摘要 我们研究的趋化性( c h e m o t a x i s ) 生物模型为： i ，u t = a u v ( f ( u ) v x ( v ) ) - i - f ( u ，u ) ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， jv t = a v + g ( 饥，u ) ，( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， 1u l t ：0 = u o ， i t ：0 = v o ， z q ， 1 券= 0 ，是= 0 ，( z ，t ) a q ( o ，t ) ， 我们研究了这个方程组在不同情况下解的整体存在性 解的整体存在性问题一直是c h e m o t a x i s 模型的一 个难点在文章前半部分，我们在f ( u ，v ) = 0 ，g ( u ，v ) = 一钞+ 让，f ( u ) = u ，x ( 钞) = ( 1 + u ) 1 制，n = 1 ，p 是任意有界常数的 条件下，运用半群理论，m o s e r 迭代以及内插不等式证明了模型 解的整体存在性推广了日刎e 佗和p o t a p o v ( 1 7 ) 的结果在文章 的后半部分我们主要研究了一个具体生物模型证明了这个模 型的解的整体存在性 关键词：趋化性，整体存在性，m o s e r - a l i l 媳k o s 迭代 a b s t r a c t w ei n v e s t i g a t eab i o l o g i c a lm o d e lf o rc h e m o t a x i sa sf o l l o w s ： ft t = a u v ( ，( 乱) v x ( 口) ) + f ( u ，秒) ， j 仇= a v + g ( 牡，u ) ， 1 训扛o2u o ， v t ：o2v o ， 【舞= 0 ，雾= 0 ， ( z ，t ) q ( 0 ，丁) ， ( z ，) q ( 0 ，t ) ， z q ( z ，t ) a q ( 0 ，t ) w e s t u d yt h eg l o b a le x i s t e n c ei nd i f f e r e n tc a s e sf o rt h ea b o v es y s t e m t h eg l o b a le x i s t e n c eo ft h es o l u t i o ni sa l w a y st h ed i f f i c u l tp r o b l e mo ft h ec h e m o - t , a x i sm o d e l o nt h ef i r s th a l f , w ep r o v et h eg l o b a le x i s t e n c eo ft h es o l u t i o nw i t hs e m i - g r o u pt h e o r y ，m o s e ri t e r a t i o n ，i n t e r p o l a t i o ni n e q u a l i t i e s w ee x p a n df ( u ) = u ，x ( v ) = w h i c hi si nt h er e s u l t so fh i l l e na n dp o t a p o v ( 1 7 ) t o “u ) = u ，x ( v ) = ( 1 + u ) 1 + 3a n d 移i sa b o u n d e dc o n s t o nt h es e c o n dh a l f ，w ec o n s i d e ra s p e c i a lb i o l o g i c a lm o d e la n d w ep r o v et h eg l o b a le x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no ft h a tm o d e l k e y w o r d s ：c h e m o t a x i s ，g l o b a le x i s t e n c e ，m o s e r - a l i k a k o si t e r a t i o n 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： ：如文 蹶汐古撕歹瑁 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位 论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保 密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名： 如谠咬 。脚姑哆日 顽士毕业生毕业论文 第一章引言弟一早与i苗 c h e m o t a x i s 是指许多微生物( 如细菌) 会优先向其生存环境中某 种化学物质浓度相对高的地方靠近( 或远离) 这些类似的现象还表现 为动物，昆虫等群体的聚集c h e m o t a 觑s 是生物交流的重要方式，通过 研究生物的这种趋化性现象可以了解更过的生物现象 本文主要考虑如下问题： f ，饥= a u v ( f ( u ) v x ( v ) ) + f ( u ，钞) ，( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， jv t = a v + g ( 乱， ) ，( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， 1u i ：o = u 0 ， l ：o = v o ， z q ， l 券= 0 ，舞= 0 ， ( z ，t ) a q ( o ，t ) ， qc 册是一个具有光滑边界的有界区域，函数u ( x ，t ) 代表生 物的密度，函数v ( x ，t ) 代表化学物质的密度，初值u o ，v o 都是非负函 数，且u o l 。( q ) ，v o w 1 , q ( q ) ，q 几，为表示a q 的外法向方向导 数 一 自从k e l l e r 和s e g e l l 9 7 1 年建立了经典的c h e m o t a x i s 模型后，c h e m o t a x i s 现象得到广泛的关注和深入研究一般。厂( u ) 依赖生物密度 和化学物质，本文只考虑，( u ) 只依赖于u 的情形函数x ( 钐) 是依赖 于c h e m o t a x i s 的敏感性系数 在解的局部存在性方面，当厂( 姐) ，x ( u ) 在零点无奇性时，日a m a n n ( 【1 ) 在初值u o w 1 , 口( q ) ，v o w 1 , 口( q ) ，q 死的条件下，有经典的局部 存在性理论，并且局部解为古典解 在解的整体存在性方面，当佗= 1 ，厂( 乱) = u ，x ( v ) = v ，f ( u ，v ) = 0 ，g ( u ，v ) = - a v + “时，h i l l e n 和p o t a p o v ( 1 7 ) 在2 0 0 4 年利用半群理论 在初值u o l o o ( q ) ，v o w 口伊( q ) ，1 仃 佗，( u ) c u q ，u 1 ，0 o l 要的条件- v 禾u m 能量泛函，半群理论证明了解的整 体存在性和一致有界性在y ( u ) 2 优a ，o l = 2 ，礼2 的条件下给出了 无界解存在的几个条件 一维的情形有较多的研究结果： 一个拟线性方程和一个常微方程的情形： 0 z 0 ， 0 z 0 ， 0 z 0 2 0 0 4 年n a g a i 和n a k a k i ( 1 8 ) 禾u 用线性化方法研究了这个方程组常数 平衡解的稳定性，结合半群理论给出了方程组解的局部存在性，而在 任意初值条件下没有得到解的整体存在性 对于模型 fu t = u 茁z f ( u ) v ，0 z 0 ， ，mjv t = ( 久一x 秽( ( 钍) ) z ) z + ( k l ( u ) 一秒一p 移) 杉，0 0 ， ia 一x u ( 乱) z = 0 ， z = 0 ，1 ，t 0 p 是一正常数，u 代表营养物，u 代表细菌浓度k f ( u ) 表示一个以指 数为k f ( u ) 的指数增长形式，p 表示细菌死亡率细菌有边值条件为 第二、三边值混合2 0 0 0 年w a n g 舭咖哪( 6 】) 用半群理论署i l m o s e r - a l i k a k o s 迭代方法证明了解的整体存在性和一致有界性并且考虑了 非常数平衡解的存在性和稳定性 对于三个方程的情况： 。 fu t = u z z 一，( u ) ( 秒+ 叫) ，0 z 0 ， lv t = ( 入1 一x 1 钞( ( 让) ) z ) z + ( 后，( 钆) 一p ) u ，0 z 0 ， ( 3 ) w t = ( 入2 2 注一x 2 t d ( ( 铭) ) z ) z + ( 忌，( 锡) 一o ) w ，0 0 ， 【入1 色k x 1 钉( 牡) z = 入2 伽z x 2 伽咖( 他) z = 0 ， z = 0 ，1 ，t 0 k i i 叫 却“ 岵慨 o m 扎篆器 顽士毕业生毕业论文 3 在这一模型中，u 代表营养物，v ，w 代表两种不同的细菌浓度，他 们在竞争同一种营养物两物种的出生死亡率和对营养物的消耗率 相同在2 0 0 2 年w a n g 舭咖叼和w uy 印i 珊( 【7 ) 证明了整体解的存在 性，唯一性及有界性给出了该方程组非常数平衡解的分叉结构 本文的组织及主要结果如下： 第一章引言 第二章给出本文在证明过程中用到的主要引理定理 第三章用半群理论和m o s e r 迭代公式证明了一维空间中类趋 化性交错扩散方程组的解的整体存在性和一致有界性所得到的结果 推广了胁l f e 铊和p d 亡印d t ，( 1 7 】) 的结果 第四章证明了一个具体的带趋化性生物模型解的整体存在性 硕士毕业生毕业论文 第二章预备知识 4 2 1叙述主要引理 引理2 1 设m 是一个有界的c 无边流形，令t ( t ) = e a t 表示定义 在m 上的热方程的解半群设：o t 1 ，p 口，8 r 于是：t ( 亡) ： w 1 , q ( m ) _ 叩( m ) 带有范数吼叫 其中：一q = 一鸶( 吉一昙) 一丢( s r ) 引理2 2 设1 p 0 ( 3 ) 任取t ( 0 ，1 ) ，1 p 0 引理2 。3 由( 2 ) ，( 3 ) 我们可以得到：对于所有的1 p 0 ，和某个正数p 0 引理2 4 由( 2 ) ，( 4 ) 我们可以得到：对于所有的1 p 0 ，和某个正数肛 0 引理2 5 设p o ，p ( 1 ，) ，那么任取 o 存在c ( e ) o 使得对于 所有的w ( q ) 我们有以下估计成立： l i ( a - i - ，) q e 一( a + j ) v w l l p ( n ) c ( e ) 亡一q 一 一e - - # ti l w l l p ( n ) c ( e ) t a 一孝叫i f 训l l p ( q ) ， 引理2 6 ( g r o n w a l l s 不等式) 设叩( t ) 是【o ，t 】上的非负连续函数， 对a e t 满足不等式 r ( t ) ( t ) 叩( 亡) + 妒( 亡) 砂( 亡) ，妒( ) 是 o ，t 非负函数j j l v 么对t 【0 ，邪有 r t 叩( 亡) e 菇咖( s ) d s ( 7 7 ( o ) + 妒( s ) d s ) ，0 引理2 7 基本不等式 内插不等式：假设1 s 7 t ，i t l s ( q ) n ( q ) 那么u l r ( q ) 并且 i l u l l l ，( q ) 笔。( q ) 蒜) 1 = 旦- i - 1 - _ _ _ o o i t st g a g l i a r d m n i r e n b e r g 不等式 u | | p ( q ) i i 让| | 影- ，。( q ) + l i u i l # ) 顽士毕业生毕业论文 v u w 1 ，口( q ) ，其中p ，g 满勋( 佗一q ) 0 ， b ( u ) u = 0 ，z a q ，t 0 nn 一( ea i ，后( z ，u ) u z 。) 即若a i ，k ( x ，u ) = a ( x ，u ) u q i ，七，其中a c ( qxg ，l ( r ) ) ，q = 【o l i ，d c o o ( q ，l ( r ) ) 是对称，一致正定矩 阵称( 木) 是分离的散度型( s e p a r a t e dd i v e r g e n c ef o r m ) 下面考虑( 水) 的主项 a 丌u = 一( ea i ，k ( x ，u ) u z 。) 以； 硕士毕业生毕业论文 7 岛t l = 6 a i ，七u z i 均+ ( 1 一q u ； 注：记算子a 的普为矿( a ) 若o ( a i ，七( z ) 七) c r e z o ) = 名c r e z o ) ，v z q ， 研 o ) ，a j ，詹( z ) c o 。( 孬，l ( r y ) ) 称a 是正则椭圆的( n o m a l l ye l l i p t i c 进一步，如果，a j ，七= a a j ，k ，a = a ( x ，让) 此时称a ) 是正则椭圆的，如果仃( a ) c z c r e z o 基于以上假设条件，h a m a n n 在 1 给出了带有初值的( 木) 系统局部解 的存在性条件 基本假设： ( 1 ) ( 木) 是s e p a r a t e dd i v e r g e n c ef o r m ( 2 ) a ( a ( x ，) ) cz c l r e z o ) ( 3 ) 6 = o ，1 ) 记佗 他用日0 7 s 亡仇口n 佗的证明方法也可以得到相同的局部存在 硕士毕业生毕业论文8 性结果u o l ( q ) ，v o w 1 p ( q ) ，p n 时，h a m a n n i 正n j j 了解整体 存在所需的先验估计可以由 l l u ( t ，z ) i i 沪( q ) + ( 亡，x ) l l w ，p ( q ) 0 ，0 亡” t ，减弱为 _ _ ， i i u ( t ，z ) i b ( q ) + l i v ( t ，x ) l l l o o ( n ) 0 ，0 t t ，c ( t ) 与乱，移无关 进一步，如果常数g ( t ) 与时间无关，则称解整体存在且一致有界 硕士毕业生毕业论文 第三章一类趋化性交错扩散方程组解的整体 存在性 h i l l e n 和p o t a p o v 0 4 年证明了在= 0 ，u o l ( q ) ，v o w 口( q ) ，1 口 o 时，他 们的证明方法存在局限性本文在这一章中我们将推广到任意有界 常数，通过更加细致的估计，利用半群理论，几种内插不等式和m o s e r i , 基i 代证明了一维条件下解的整体存在性 考虑以下方程组 ( 3 1 ) u t = 也z z 一( u ( 1 + v ) z v z ) z ，0 0 ， 仇= v x z v + u ，0 z 0 ， 心i t ：0 - - - - u o ，u l ：0 = v o ，0 1 ，佗= 1 设( 让，7 ，) 是( 3 1 ) 的解，n u o ，v o ，且i l u l l 三一( q ) = l i u 0 1 1 l ，( q ) 证明：由比较原理知钆0 ，由上下解方法知v o ，在u 方程两边积分 9 硕士毕业生毕业论文 1 0 可得恻h n ) = l i t o i i l - ( q ) 定理3 2 在引理( 3 1 ) 的条件下，且是任意有界常数，若u ，钞) 是( 3 1 ) 的解，则对u ，钞有如下估计： l l u l i l 一( n ) + k m ( q ) c c 与l i u o l k * ( q ) ，i i u o l l w t ，e ( q ) 有关 证明：现在我们令1 口 2 钞一方程的解可以写成如下积分形式 v ( t ，z ) = e - ( 州m 叼) 钌( 盯，z ) + e - ( 舢以扣8 ) u ( s ，x ) d s ( 3 2 ) ，艺 jo ( 3 2 ) 作用( 4 + ，) a ( a + ，) 口v ( t ，z ) =( a + ，) n e 一( a + 州一口) 可( 盯，z ) + z 。( a 圳叮“m 刊u ( s ，州s 取酽范数有 i i u l l x 。= l i ( a + j ) q v ( t ，x ) l l l a ( q ) c e p ( 一盯i i u ( 盯，x ) l l x 。+ s u pl i u i i 功( q ) ( 亡一s ) 一a e p o s ) d s ( 3 t 3 ) a s 0 硕士毕业生毕业论文 这里当壶( 圭+ 吉) 口 1 ，有x q = d ( ( 4 + ，) 。) q h 1 ( f 0 从而 i i ( q ) i l v l l x a a + q 恶。1 1 铭i i 删 ( 3 4 ) 由内插不等式： i m i 郴) i i u q ) i i 啦! - 0 ，r 乏p g ，；1 = 鲁+ 半，吲o 1 ) ( 3 5 ) 知对任意的1 q 2 ，有 1 1 u 1 1 l 。( q ) l i 钆i i 笔。( q ) i i u i i 工1 - 。( # q ) c i i 钆i i 笔。( q ) ，p = 2 一言 ( 3 6 ) 我们有 删a + q 裟。i i u 慨m 。 ( 3 7 ) 令 k ( ) = s u pj g 1 u 2 0 s tj o ( s ，z ) 如 ( 3 8 ) 年争种1 右 i l v x l l l 。( q ) c 1 + q ( k ( 亡) ) g ( 3 9 ) 下面估计s u pl i u ( 亡，x ) l l 五z ( q ) 盯t s t 其中t 为解的最大存在区间 硕士毕业肇毕业论文 u 方程两边同乘以u ，积分得 三丢产如= 取三( 1 + 昙) + ( 1 l u l l 州q ) + i l 钆岫q ) i i 训全刊1 让卫出 p 1 1 ，则 x 历= d ( ( a + ，) p t ) qc 1 ，加( 豆) ，0 伽 0 结合( 3 6 ) 式有： i x 融 1 2 ( 3 1 0 ) + i i ( a + ，) 卢1 e - ( a + i ) ( t - s ) u ( s ，帅) 1 1 d s e 一卢( 细) m 伊，x ) l l l 。( n ) + c 号1 s u p t ，砒a ( q ) ，( t - s ) r t 一岛e 训叫如 a + as u pl l u ( s ，x ) l l l a ( q ) o s t c 3 + qs u pi i u ( s ，z ) 嵫( q ) o s t 、 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 如 z u 8 、l ， 秒+1 f i u z +如 如 钍 z z 一 一 顽士毕业生毕业论文 1 3 秒( 亡，z ) l i c l , 1 0 ( 砭) c 3 + as u p 笔。( q ) ( 3 ，1 3 ) 、 o s t 、 i i p ( q ) a - t - as u p q ) ( 3 1 4 ) o s t 、。 l i u 卢i l l m ( q ) = 。| i u i l 2 。( q ) ( 仍+ as u pm f 莹。( q 】) 声 o s t 伤- t - g ( s u p q ) ) 卢 o s t 7 s u pi i u 慨q ) s u pi i u 噶q ) ( s u p o s s t o s g to s g t 至z ( q ) ) 2 、，一、。， ， ( s u p 2 。) 卢( k ( 亡) ) 譬 ( 3 1 5 ) o s i l 钞卢 。( q ) = l l 秽| j 呈( q ) g + g ( k ( ) ) 譬 ( 3 1 6 ) 介绍将要用到的不等式 i i ；啦( 0 。) c ( 面埘( z 1 乱三出内 z 1 u 2 出s z 1 u 三如+ ( 晚一；十1 ) 铲 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 瓦= f 孑u ( t ，z ) 如 由( 3 1 0 ) 一( 3 1 6 ) 知 这里 让2 d x 硕士毕业生毕业论文 1 4 如+ ( g + g ( k ( 亡) ) 譬) l 护( q ) r 1 如 d 0 如+ a c ( _ 如+ 4 c ( 瓦 d x + u 三出+ e 2 0 1 如 + c ( 1 ) ( a 仇) 2 记出+ c ( e 2 ) ( 航c ) 2 ( 2 d 0 d 0 一小三如+ c a 2 u 2j ( 0 1 啦+ c a 龟2 ( f 0 1 一三z 1u 三如+ c a 2 _ 2 + c a 2 - 2 ( z 1 u 三如) 3 如) 3 记如) 3 u 2 如一_ 2 ( 1 + c e 一 ) ) + c a 2 瓦2 ( 厂1 如) 3 d o 2 如+ 掰+ c a 2 瓦。2 ( 1 + ( 1 a = 侥+ g ( k ( 亡) ) 譬 记如) 3 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) z 如 炉 胡 扔 。 胡 之 u f厂厶 如 如 1 z 日 2 z 2 z 2 z 2 z u u 钆 u 1 1 1 1 z z 一 一 一 一 一 一 。 一 一 厂，加 d 一出1 2 1 u 厂，儿d ，0厂加l一压1一轧 一 一 由( 3 9 ) 知 ( z 1 幽3 = 硕士毕业生毕业论文 慨喙( q ) ( c l 牟岛k ( 亡) g ) 6 研+ c 2 k ( t ) 警 g + 岛( k ( 亡) ) 明 结合前面的( 3 1 9 ) ，( 3 2 0 ) ，( 3 2 1 ) 得到 三丢z 1 乱2 d z 从。至l j t 积分 一去产如+ 掰 + c - 瓦2 ( c 5 + g ( k ( 亡) ) 譬) 2 ( c a + c 2 ( k ( t ) ) 3 口) 1 5 ( 3 2 1 ) 一言z 1 缸2 如+ c t + c s ( k ( 艺) ) 邡+ 即 一1 u 2 如+ a + q ( k ( ( 3 卵) 一( 3 2 2 ) z 1 乱2 出1 u 2 ( 。，z ) 如+ 岛( 1 + ( 3 + 即) k ( 亡) i l u ( o ，z ) i 陉z ( q ) + c 9 ( 1 + k ( ) ) ( 3 + p ) p ( 3 2 3 ) 0 = 2 一吾令q 一1 ，则对任意有界p ，可得到( 3 + p ) p 1 ，从而有 顽士毕业生毕业论文 k 婶) su c 与t 无关，0 t t c 只依赖l i u o i i ，a ( q ) 到此，证明了对0 t t ， i l u ( t ，x ) l l l 。( q ) c 由( 3 1 4 ) j i l l ，i i v z l l l o o ( n ) c i l ( 1 + ) p i i l m ( q ) c ( 1 + i l u l 惺。( q ) ) c 下面估计i l p ( q ) u 方程两边同乘以乱s 一1 积分，8 3 ， 兰d o i 以州) 如= - ( s - 1 ) 产 三出 + 小一1 u s - l u x ( 1 刊卢咄 一( s - 1 f o u s - 2 u 三出 + 8 1 ) 1 1 ( 1 + u ) p l i 工。( q ) z t s - 1 乱z d x ，工 j 0 注意到 1 6 ( 饥毒) 三= 百8 2 u s 一2 镌；也铖) z = 互8 u 3 _ 1 u 卫 ( 3 2 8 ) 、，、，、l，、， 4 5 6 7 2 2 2 2 3 3 3 3 硕士毕业生毕业论文 结合前面的( 3 2 5 ) ，( 3 2 6 ) ，( 3 2 7 ) ，( 3 2 8 ) 得到 三新讹小 而 - ( s +a _ 1 ) 刍小锐如+ c 1 ) 4 小税如 ( 8 1 ) s 4 ( s - s 2 2 ( s 一1 ) s i o iu s d x l l l f 0 1 ( u ) ：如) 小说如 + q 孚( f 0 1u s d x ) ( z 0 1 ( u 考) 三出) 由y o n g 不等式知 s 3 ， - 4 ( s 一1 ) c ( s 一1 ) ( f o x & d x ) ( f 0 1 ( 钆) 2 z “z j 主1 s 一2 弘渤蚪 1 7 p ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) c 2 s 2 f 0 1 u s 如 ( 3 3 1 ) 带入( 3 2 9 ) 式有 硕士毕业生毕业论文 一小暑肛+ c 2 s 2f o x 钆s 如 一z 1 ( 心) 三如+ q s 2z 0 1 7 2 s 出 ( 3 1 8 ) 式中，令u = 钆 ，取e = 互万1 有 1 8 ( 3 3 2 ) 一1 ( 缸差) 三如一2 q s 2j ( 0 1u s 出+ 2 q s 2 ( c ( 瓦b ) 一 + 1 ) ( 1 钆考如) 2 结合前面的( 3 3 2 ) ，( 3 3 3 ) 得到 即 ( 3 3 3 ) 爰z 1 u s 如一q s 2 1 u s 出+ 岛s 3 ( z 1 也；如) ( 3 3 4 ) 丢( e 仍s 2 t 1 u s 出) 伤s 3 e q s 2 ( 上1 u 出) 2 对上式从仃到亡积分，得 e 岛矾j ( o 1 u s 如_ _ e c 2 s 2 a 1 u s 如器( 1 钆考如) 2 q s ( e q 砘一e q 如) 即 0 ， x q ，亡 0 ， x a q ，t 0 x q 对于模型( 4 1 ) 解的局部存在性，h a m a n n 有经典抽象定理可以 保证( 4 1 ) 局部解的存在性，而且当时间亡 0 后，这个局部解变成古典 解因此，我们主要研究整体解的存在性 引理4 1 设u o ，v 0 ，w 0 0 ，均不恒为0 ，u o l ( q ) ，v 0 ，w 0 w 1 ，p ( q ) ，p 佗，q = ( 0 ，1 ) ，礼= 1 若( 让，移，叫) 是( 4 1 ) 的解，则u 0 并 且 i i v i l k ( n ) + i l 叫i k 一( q ) c 顽士毕业生毕业论文 2 3 证明：由上下解方法知：o 是钆方程的下解叫的上，t 解为m z 5 2 a x w o ；0 u 的 上，下解为搿伽南；o 定理4 2 在引理( 4 1 ) 条件假设下，若( u ，u ，伽) 是( 4 1 ) 的解，则对v t 0 ，0 t t ，有 u l i l 一( n ) + l 卜i i l * ( q ) + 1 1 w l l l 一 n ) c g 依赖l i u o i i 沪( q ) ，l i 钉0 1 1 w - ，p ( q ) ，i i 叫o l l w - ，p ( q ) 证明：对u 方程积分： 爰z 1 钆如= 1u x x d x 0 1 c 化简有： ( 1 + u ) 2z 如+ 小 爰1 乱如z 1 乱如一j e o i i i , 2 如 由g r o n w a l l 不等式： l l u l l 二- ( q ) i i 乱o i i l - ( q ) 对于1 p 2 ，令x = 汐( q ) 一a = a = 岳 在x 上生成解析半群 取 丢( 三+ 三) 袄j w 2 1 + 叫2 u ) 出 ( 4 2 ) 使得 硕士毕业肇毕业论文 d ( ( a + ，) 岛) qw 1 ，2 ( q ) 钐方程可以写成下面积分形式 钉( 亡，z ) _ e - ( a + i ) ( t - 6 ) v ( 6 ，z ) + te - ( a + i ) ( t - s ) ( 叫 i | u i i x 助 i i ( a + j ) 庞e 一( a + ，) ( 。一6 ) u ( 6 ，z ) l l 口( q ， + i ( a + ，) 侥e 一( a + 州一s ) ( 叫 c e - 6 1 ( 一6 ) i i 钉( 6 ，x ) l l x 助 u 2 1 + u 2 1 + 位2 - u v + v ) d s ( 4 3 ) 一u u + v ) l l l p ( n ) d s s u p 恤雨u 2 一乱钌刊h q ) 瓜- s ) 喝e 。m _ s ) 幽 c l l l 钞( 6 ，z ) 1 1 x 危+ c 2 sup南一心v+vii6st 泖) 工十，“。 5 1 + cs u pi l u l i l ( n ) 0 s 0 从而我们有 由内插不等式有 i l 工z ( q ) a + cs u pi i 钆i i p ( q ) o s t ( 4 4 ) ( 4 5 ) 从而有 硕士毕业生毕业论文 乱怯( q ) i l u l l o 。( q ) 吲1 - 0 q ) 慨q ) o + q 黑 现在= 2 ，选q ( 0 ，1 ) ，使得 慨q ) d ( ( a + j ) q ) qc 吖( 孬) 7 ( 0 ，2 a 一石1 ) 1 注：令q = 吾，则7 可以取到1 v x i i l m ( q ) i i u i i c - ( 西) c i i v l x 。i i ( 4 + j ) a e 一( a + ，弘v ( o ，x ) l l l ：( q ) + z 1 1 ( a + ，) n e _ ( a + 。一曲( 伽 岛+ a 牡方程两边同乘钆，积分 s u p 切q ) o s g t 去丢产如亏 化简上式，得 + 0 1 0 1 乱2 1 + 让2 u 乱z z 。d = - 0 1 乱c u 2 ( 1 + 叫2 ( 4 6 ) ( 4 7 ) 一u v + v ) l l 2 ( q ) d s ( 1 + 口) 2 u ) d x 丢丢产如一0 1 钆三出+ 1 钆u x v x 妇 ) z 如 ( 4 8 ) ( 4 9 ) 硕士毕业生毕业论文 对于( 4 9 ) 中的詹乱让z v x d x ，我们有 j f 0 1u 让x v x 如i l u l l 工二( q ) 1 u x 如 c ( 一 c ( _ + ( 4 1 0 ) 代z k ( 4 9 ) + 番( 1u z 2 u z ，。1 ，以f lu z 如 榭( z lu 2 d x ) ) ( g k 。1 2 f 0 1 2 叫；1 伉( 1 2 u x d x ) 互( 1 j f 01 2 叫；1 仇 i 0 1u 三如汽z 1 u 2 d x ) ( 4 1 0 ) 三丢产出一小如+ 侃c 序如成序出，； + 仇 ( 序如汽厂1 哪2 妒1 j o ，0 ( ，- c ) ( 一1 + e - + 2 ) 1 乱三出+ c ( ) _ 2 1 记如， ，j + c ( 2 ) - 2 ( 出厂 ，n 一三序出+ 货+ 啾z 1 蚴3 + 1 u 2 如 ( 3 1 8 ) 一云1 ( z 1 心2 如一( 侠一+ 1 ) - 2 ) + 哼 + 掰( 1 蚴3 二三产如+ 掰+ c 商2 ( f 0 1 如) 3 即： 硕士毕业生毕业论文 丢z 1u 2 如一z 1u 2 如+ 戗_ 2 ( 1 + ( z 1 u 兰如) 3 ) 2 7 ( 4 1 1 ) ( 木) 式由y d 死夕不等式 a b e a 2 + c 仁) 6 2 ；a b 警+ 警，昙+ 吉= 1 ，取p 百6 ，q = 6 ) 结合( 4 7 ) ，( 4 1 1 ) 式 丢z 1 乱2 如一1i t 2 如+ g _ 2 ( 1 + 6 s s u 唆pi i u i i 嚣( q ) ) 令k ( t ) = s u pi l u l l 至：( q ) ，关于亡积分 o s g t 、7 有 由 p 如产( o 挑+ 掰( 1 倒矿勺 k ( 亡) 1 钆2 ( 。，z ) 出+ c _ 2 ( 1 + k ( 亡) 卵) 瓯 ! = 旦+ 型，1 1 p 2 ， 一= 一十一o 1 j 气三 p 2 。 1 7。7 可知，只要1 p 鲁，有 从而 3 秒 叩 亡 0 ，0 t t 1 u t u s - 1 出= 1 x ? 比s - 1 如一0 1 c 注意到下列关系 我们有： 小 + z 1 (1 + 叫2一u ) u s d x ( 1 + 钞) 2 1 7 比t u s - 1 如= 三丢产如， ( 1 + 口) 2x u s - 1 如- ( s _ 1 ) 乱s 一1 v x ) z u 3 1 d x ( 1 + u ) 2 u z v x d x 丢三z 1 乱s 如一( s 一1 ) z 1 心s 一2 让三如+ c ( s 一1 ) z 0 1 u s - l u x 出 注意到： 厂1 + u s d x j o f l u 8 + 1 d x j q ( u 暑) 三= 百8 2 饥。_ 2 2 ； 铭淞) z = 互8 铭8 1 锰z ( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) ( 4 1 4 ) 代入( 4 1 3 ) 有 硕士毕业生毕业论文 爰三z 1 矿出一( s 一1 ) ；z 1 ( 乱暑) 至出+ c + 卜z 由h s l d e r 不等式： 2 ( s 一1 ) s弘肫 z 1u ( u ) z 如( z 1 二s 出) ；( 1 ( u 暑逢如) 互1 1 主1 ( 4 1 5 ) ，( 4 1 6 ) 因为 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 一4 ( s - 1 ) 0 1 ( 乱) 三如 c ( s 一1 ) ( 1 矿如) ( z 1 ( 稿) 至如) j + sj ( 0 1u 8 如( 4 1 j ) i 扫y o n o q 不等式有 8 3 ， 4 ( s 一1 ) s c ( s - 1 ) ( f 0 1u s d x ) ( z 0 1 ( u ) 三如) ( 4 1 8 ) 代a ( 4 1 7 ) 有 一2 譬产如+ j 0 1 沁) ：印 丢z 1 仳s 如一z 1 c u ；埕如十c 2 8 2z 0 1 矿出+ sz 1 u 5 出 ( 4 1 8 ) m a x s ，丁0 2 8 2 ) 爰z 1 钆s 出一0 1 ( 钆e ) 三如+ 岛s 2 1 u s 出 由( 3 1 8 ) ，令钆= u 有 ( 4 1 9 ) 一1 ( 钆 ) 三出了- 1 ( 以1 乱8 如一( c e 一 ) ( z 1 u 如) 2 ) ( 4 2 。) ( 4 2 0 ) 代入( 4 1 9 ) 并取e = 孬1 ， d 出 一c o s 2 z 1 乱s 如+ q s 3 0 1 ( 也；出) 2 一c o s 2 1 u s 如+ 6 s u 世pq s 3 ( 1 钆 如) 2 瓦d , c 6 0 8 2 t 厶1u 8 如) q s 3 e c n 26 茹以1 乱盖如) 2 从6 到亡积分，有 即： e 2 2 1 矿如e 2 6 1 u s ( 瓦z ) 如 + ，- 工 s u p ( u i d x ) 2 c 3 s ( e c 。8 2 一e c o 铲6 ) 6 s tj o z 1 钆8 如1 u s ( 6 ，z ) 如+ g s 6 要( z 1 u 差出) 2 ( 4 2 1 ) 硕士毕业生毕业论文 令 誓( s j = ma - x l l u ( 删i l 。( 0 , 1 ) , 躐s u 引p ( i 。l l u s 出) ；) 结合( 4 z 1 ) ，可以证明 取 令k 一有 m ( s ) ( q s ) ；1 m ( 互8 ) s 3 8 = 3 七，k = 1 ，2 ， 3 1 m ( 3 七) c + j ”+ 专3 + + 嘉m ( 1 ) ( 4 2 2 ) i l u ( x ，酬五* ( q ) c 5 m ( 1 ) g g 依赖i i 钆o i i 护( q ) ，i i u o l l w - ，p ( q ) ，1 1 w o l l w - ，( q ) 从而u 方程的解整体存在且 一致有界 硕士毕业生毕业论文 参考文献 3 2 【1 】h a m a a n ，d y n a m i ct h e o r yo fq u a s i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s i i ：r e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s - t e r n s ，d i f f e r e n t i a li n t e g r a le q u a t i o n ，3 ( 1 9 9 0 ) p p 1 3 - 7 5 【2 】h a m a n n ，d y n a m i ct h e o r yo fq u a s i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n si l l ：g l o b a le x i s t e n c e ，m a t h z ，2 0 2 ( 1 9 8 9 ) p p 2 1 9 - 2 5 0 【3 】d h o r s t m a n n ，m w i n k e r ，b o u n d n e s sv s b l o w - u pi nac h e m o t a x i ss y s t e m ，j d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 2 1 5 ( 2 0 0 5 ) p p 5 2 1 0 7 【4 】t h i l l e n ，k p a i n t e r ，g l o b a le x i s t e n c ef o rap a r a b o l i cc h e m o t a x i sm o d e lw i t hp r e v e n t i o n o fo v e r