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两种波动率模型的比较研究 摘要 自从2 0 世纪7 0 年代以来，由于宏观环境的变化，使得国际、国内金融市 场发生了深刻的变革，金融市场的波动日益加剧，金融风险明显增大。度量金 融波动、刻画和分析金融波动的特征，对于认识和掌握金融市场波动的规律和 结构具有重要意义。而金融波动的度量和分析，必须借助于科学的方法和工具 来实现。 波动性即不确定性，是现代金融理论研究的核心。金融资产价格的不确定 性可以用资产收益的方差和各种资产收益之间的协方差来度量。早在上个世纪 六十年代，人们就认识到这种方差和协方差是时变的，但直到九十年代初，金 融货币经济的应用研究者才对一阶矩与二阶矩的时变特性进行建模。描述时变 方差的模型一般有两类，即自回归条件异方差( a r c h ) 模型和随机波动率( s v ) 模型，分别由e n g l e 和t a y l o r 在1 9 8 2 年和1 9 8 6 年提出。这是金融计量学发展 过程中影响最大、具有里程碑意义的工作之一。本文就此两种模型进行了深入 的讨论。 本文主要做了以下几方面工作：一、系统地阐述了自回归条件异方差模型 族和随机波动率模型的产生背景、统计特性；二、通过随机微分方程详细地推 导了随机波动率模型的生成过程，以及连续随机波动率模型与离散随机波动率 模型的联系，发现它们是类随机微分方程的不同形式；三、通过随机微分方 程找出了随机波动率模型与自回归条件异方差模型的内在联系。 关键词：自回归条件异方差模型；广义a r c h ；随机波动率模型；随机微分方程 t h er e s e a r c ho fc o m p a r i s o nb e t w e e nt w ok i n d so f v o l a t i l i t ym o d e l s a b s t r a c t s i n c et h e1 9 7 0 si n2 0 t hc e n t u r y , w i t ht h en l a c r o e c o n o m i ce n v i r o n m e n tc h a n g e d i n t e r n a t i o n a la n dd o m e s t i cf m a n c i a lm a r k e t sh a de x p e r i e n c e dp r o f o u n dt r a n s f o r m a t i o n ，f i n a n c i a l m a r k e tv o l a f i l i t ya n df i n a n c i a lr i s k sh a di n c r e a s e dc l e a r l y i ti si m p o r t a n tt ou n d e r s t a n da n d m a s t e rt h el a wa n ds t r u c t u r eo ff l u c t u a t i o n si nt h ef l n a n c i a lm a r k e t st h a th o wt om e a s u r et h e f i n a n c i a lf l u c t u a t i o n s ，a n a l y s ea n dd e p i c tt h ec h a r a c t e r i s t i c so ff i n a n c i a lv o l a t i l i t y a n dt h e m e a s u r e m e n ta n da n a l y s i so ff i n a n c i a lv o l a t i l i t ym u s tb er e a l i z e dt h r o u g hs c i e n t i f i cm e t h o d sa n d t o o l s v o l a t i l i t y , t h eu n c e r t a i n t y , i s t h ec o r eo fr e s e a r c h m e n to fm o d e mf i n a n c i a lt h e o r y t h e u n c e r t a i n t yo f t h ef i n a n c i a la s s e t sp r i c cc a nb em e a s u r e dt h r o u g ht h ev a r i a n c eo f t h ep r o c e e d so f a s s e t sa n dt h ec o v a r i a n c eb e t w e e na l lk i n d so f t h ep r o c e e d so fa s s e t s b a c ki nt h e1 9 6 0 s ，i tw a s r e c o g n i z e dt h a tv a r i a n c ea n dc o v a r i a n c ew e r ev a r i a t i o n a l b mu n t i lt h ee a r l y1 9 9 0 s ，f i n a n c i a la n d m o n e t a r ye c o n o m i cr e s e a r c h e r so n l yb e g a nt om o d e l i n gt h ec h a r a c t e r i s t i c so f v a r i a n c eo f t h ef i r s t o r d e rm a t r i xa n dt h es e c o n do r d e rm a t r i x t h e r ea r et w ok i n d so fm o d e l si nd e s c r i b i n gt h e v a r i a t i o n a lv a r i a n c e ：a u t o m g r e s s i v ec o n d i t o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t y ( a r c dm o d e la n ds t o c h a s t i c v o l a t i l i t y ( s m o d e l t h e yw e r er e l e a s e db ye n g l ea n dt a y l o ri n1 9 8 2a n d1 9 8 6 t h i si st h e l a r g e s ti m p a c ta n do n eo f t h el a n d m a r kw o r ki nt h ed e v e l o p m e n tp r o c e s so f f i n a n c i a lm e t r o l o g y i d i s c u s st h et w om o d e l si nm ya r t i c l ed e e p t h em a j o rw o r kd o n ei nm ya r t i c l e ：s y s t e m a t i c a l l ye l a b o r a t i n gt h eb a c k g r o u n d ，s t a t i s t i c a l p r o p e r t i e so fa u t o r e g m s s i v ec o n d i t o n a ih e t e r o s c e d a s f i c i t ym o d e lc o m m u n i t i e sa n ds t o c h a s t i c v o l a t i l i t ym o d e l ；d e d u c t i n gt h eg e n e r a t i o no fs t o c h a s t i cv o l a t i l i v ym o d e la n dr e l a t i o nb e t w e e n c o n t i n u o u ss t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e la n dd i s c r e t es t o c h a s t i cv o l a t i l i t ym o d e lt h r o u g hr a n d o m d i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h er e s u l ti st h a tm e ya r ed i f f e r e n tt y p e so ft h es 8 a t l er a n d o md i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a n dt h r o u g hr a n d o md i f f e m n t i me q u a t i o nia c q u i r e dt h ei n h e r e n tr e l a t i o n sb e t w e e n a n t o r e g r e s s i v ec o n d i t o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i v ym o d e la n ds t o c h a s t i cv o l a t i t 畸m o d e l i i k e yw o r d s ：a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t ym o d e l ，g e n e r a l i z e da r c h ，s t o c h a s t i c v o l a t i l i t ym o d e l ，r a n d o md i f f e r e n t i a le q u a t i o n ， i i i 第一章背景介绍 1 1 研究意义 金融在国家的经济生活中起着举足轻重的作用，对经济的发展有着深刻的影响，和人 民的日常生活休戚相关。金融市场的发展状况直接反映了一个国家的经济发展水平。近二 十年来，由于受经济全球化、金融一体化、信息技术、金融创新等各种因素的影响，金融 市场呈现出前所未有的不确定性和波动性，从而给各金融机构、企业带来了日趋严重的金 融风险，金融风险不仅严重影响了工商企业和金融机构的正常运营和生存，而且还对一国 乃至全球金融及经济的稳定发展构成了严重威胁，金融风险己成为学术界和实务界密切关 注的对象。 在诸多不同类型的金融风险中，金融市场风险具有特殊的地位，不仅所有企业都面j 临 着金融市场风险，而且金融市场风险往往也是其他类型金融风险的基础原因。上世纪7 0 年 代初，国际金融市场处于深刻变革之中，布雷顿森林体系瓦解后，世界主要汇率实行自由 浮动，世界主要几种货币的汇率也不再受几家中央银行控制，从未有过的货币波动逐渐加 剧，导致汇率市场波动性急剧上升，金融风险问题日益突出。1 9 7 9 年，美联储进行利率体 制调整，以货币总量管理代替利率管理，同时西方主要发达国家放松利率管制，导致利率 波动性上升，由于各种资产价格存在以汇率和利率为中心的互相交错的相关性，汇率、利 率市场波动性的增加，导致金融资产价格的波动。能源危机以及美国政府在2 0 世纪8 0 年 代初对石油价格管制的取消，导致石油价格和全球商品价格的波动，许多国家为了解决通 货膨胀而采取的货币、汇率和财政政策导致金融市场波动性的增加。全球经济一体化，有 助于世界各国经济的交流与发展，资源在全球范围内将重新配置，各国金融市场不断加大 开放力度，资本在全球范围内快速自由地流动，与此同时也加大了全球金融市场之间的相 互依赖性，导致了各个市场之间波动的互动效应，使任何地区金融市场的局部波动都会迅 速地波及扩散到其它市场，加大全球金融市场的波动性和风险，以至引发金融危机，给世 界经济发展造成更严重的后果，二十世纪九十年代以来国际金融市场危机迭起正说明了这 一点。近年来，随着经济全球化和金融自由化，金融市场的波动性不断加剧，从而使得对 金融市场波动性的研究成为金融风险研究领域的主要课题。 在这样的背景下，一方面各种规避风险的金融产品应运而生，从而促进了相关金融理 论的诞生，另一方面也说明无论从风险规避防范的角度，还是从风险管理监控的角度，采 用科学的方法和工具度量金融波动，反映和刻画金融波动的特征对于认识和掌握金融市场 波动的规律和结构具有重要意义。而这也正是现代金融理论所研究的重要内容之一。 波动性是指价格非预期变化的趋势，或者说是指收益的不确定性或不可预测性，更学 术化的定义即指收益的概率分布。人们偏好低波动性，因为低波动性减少了投资者承担的 不必要风险，因此可使市场交易者在价格变化不大的情况下完成交易。人们发现经济变量 的波动性( 即不确定性) 并不是固定不变的，而是随时间变化的，具有时变性，即经济变 量的均值和方差并不是如传统经济计量学假设那样是固定不变的，而是随时间变化的，这 主要由于金融商品的价格、收益率等是随机变量，金融市场的波动行为是随机变化过程。 1 9 5 2 年，哈里马克维茨( m a r k o w i t z h a r r y ) 发展了资产组合理论，这使得金融理论 发生了一场革命，从而导致现代资本市场理论的发展，他运用概率论与线性规划的方法， 提出的证券组合理论被视为现代证券理论的基石。在他的资本资产定价模型中，风险的测 度是通过方差来实现的，而方差过程是二阶矩过程，因此，金融风险的度量往往通过研究 随机变量的二阶矩来实现，它能反映随机过程的波动情况。对各种波动率模型的研究己成 为学术界的一大热点。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 常用的风险度量方法 设z 为资产收益股票指数等的价格，工。为该随机变量在时间t ，f = 1 ，z 时的实 现，常常采用以下的几种方法来度量与x 有关的风险： 1 ”l ( 1 ) 方差：盯悸) 2 寺善皤r e z ) 2 ，其中e 工2 i 智x ( 2 ) s h a r p 比：s ：塑 e 皑) ( 3 ) 标准差：盯瞄) o r g 。) ( 4 ) 阶段均值( m e l ) ( b a s s i 等，1 9 9 8 ) ：给定x 0 ，m e l 0 ) = e x x 防 x ( 5 ) 在险值( v a r ) ：令j 为资产价格，给定水平口，其中口( o ，1 ) ，x 的在险值v a r 定义为v a r p = 一i n f v ：p 噬v ) 1 一) ，或 砌r 口= s u p v ：p ( r v ) ( 6 ) 自回归条件异方差模型( a r c h ) 族 ( 7 ) 随机波动率模型( s v ) 族 2 l - 2 2 研究现状 1 8 2 7 年，b r 。w n 首次描述了散布在液体或气体中微粒的不规则运动，即布朗运动。 1 9 0 5 年。e i n s t e i n 指出布朗运动在数学上可以通过假定散布的微粒连续不断地受到周 围大分子碰撞来解释。 1 9 5 2 年，马克维茨( m a r k o w i t z ) 发展了资产组合理论，同时也提出了他的波动性度 量方法一样本方差法。 1 9 8 2 年，e n g l e 首次提出自回归条件异方差模型a r c h ( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a l h e t e r o s k e d a s t i c ) 。 1 9 8 6 年，b o l l e r s l v e 发展了a r c h 模型即广义自回归条件异方差模型一 g a r c h ( g e n e r a li z e da r o h ) 。 1 9 9 1 年，n e l s o n 提出一个非线性模型e x p o n e n t i a la r c h ( e a r c h ) 模型。 1 9 9 2 年，希金斯与贝拉( h i g g i n sa n db e r a ) 提出非线性的a r c h 模型，即n o n l i n ea r 删 ( n 】 c h ) 模型。 1 9 0 0 年，b a t h e l i e r 独立地介绍了布朗运动，并以此来建立股票和商品价格运动的模 型。 1 9 8 6 年，t a y l o r 提出随机波动率( s v ) 模型。 1 3 本文的内容与结构 本文系统地阐述了金融市场波动问题及其常用的研究方法一自回归条件异方差模型 ( a r c h ) 族和随机波动率模型( s v ) 族，通过随机微分方程比较了两者的异同。 第一章介绍了金融市场波动的原因及其研究的重要性，列举了常用的研究方法以及国 内外研究现状。 第二章介绍了自回归异方差模型( a r c h ) 族的产生、性质、条件方差预测及模型的检验 方法。 第三章介绍了随机波动率模型( s v ) 族的定义、性质及持续性。 第四章通过随机为微分方程比较了这两种波动率模型的关系，证明了两种模型均可由 一类随机微分方程得到。 第五章对自回归条件异方差模型和随机波动率模型进行总结归纳，对今后的研究趋势 进行了展望。 3 第二章自回归条件异方差模型族 2 1a r c h 模型的产生与定义 在引起金融市场风险的诸多因素中，金融商品的价格异常变化往往是主要原因之一， 而金融商品价格受市场影响，难以预测带有不确定性，因此如何把握金融市场的不确定性 已成为当代金融领域研究工作的主要任务之一，以便更好的避免金融风险。通常入们是用 随机变量的二阶矩即方差来描述和度量的不确定性，哈里马克维茨( m a r k o w i t z h a r r y ) 在他的资本资产定价模型中，就提出用方差来度量风险。但传统的金融计量模型假设随机 变量方差是不变的。大量研究表明许多金融商品的时间序列数据的方差的观测值随时间变 化的特点，现在的价格受历史价格的影响，例如：昨天的股票价高，今天的股票价格方差 就大。而且在方差变化的过程中，存在着一种积聚的现象，即大幅度变化后紧接着大幅度 变化，小幅度变化后紧接着小幅度变化，说明某段时期内比其他时期更富有波动性。 金融随机变量方差变化也引起了人们对其预测的兴趣，方差的变化对理解金融市场非 常重要，这是因为投资者要求用更高的预期收益作为持有更高风险资产的补偿。传统计量 模型往往采用期望值为零，且服从独立同分布的假设；或至多是由外生变量影响所形成的 异方差假设，不能客观和准确地描述金融商品价格等要素随时间变化的现象。美国著名经 济学家恩格尔( e n g l er f 1 9 8 2 ) 教授率先提出了能准确地反映观测值方差随时间变化的自 回归条件异方差( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t y ) 模型，即a r c h 模型， 巴拉斯拉夫( b o l l e r s l e v ) 于1 9 8 6 年又提出了广义自回归条件异方差模型( g a r c h ) ，之后又 有了若干推广的形式，如e g a r c h 、i g a r c h 、g a r c h - m 等，这些模型适用于具有积聚性及方 差波动性特点的时间序列数据的回归分析及预测。实践证明，此类模型族在实际应用中取 得了令人满意的效果。 通常对于一个观察到的变量y ，其p 阶自回归过程a r p ) 有如下形式： y r = c + q k l y 卜1 + q k 2 y f 一2 + + 6 y f 一口+ 甜r ( 2 1 1 ) 且“，是白噪声过程：即e ( u 。) = 0 ，e = o - 2 ，e ( u ，”，) = o ( f f ) ， 说明“的无条件方差为一常数盯2 。 e n g l e 在定义a r c h 模型时，认为金融时间序列的波动性随时间的变化而变化，最基 本的特征是上面的线性回归模型中假定误差项的方差不是白噪声，而是呈自相关性，即观 测误差的方差是其滞后值的函数，即，的条件方差随时间改变而改变。 4 该定义将上述过程“，的平方视为服从a r ( 研) 的过程： “? = f + 口1 材三i + 口2 封三2 + 口。群乙+ w 。 ( 2 1 2 ) 这里w t 也是白噪声过程。因为是预测的误差，所以表达式意味着y ，的预测误差的平方关于 前m 个预测误差的平方的线性投影由下式给出 e ( 引三】，封：2 ，一) = f + a i “王l + 口2 “三2 + + a 。掰三- 。 ( 2 1 3 ) 把满足( 2 1 3 ) 的过程“，称作自回归条件异方差过程，记作“，a r c h ( m ) ，a r c h 模 型是一类确定性波动描述模型，利用过去价格的信息来修正当前资产的波动。a r c h 模型最 基本的特钲在于它真实地反映了某些经济数据的方差随时间的变化而变化的特点，因此在 经济领域尤其是金融市场中得到了越来越广泛的应用，并取得了良好的效果。如e n g l e ( 1 9 8 2 ) 用a r c h 模型分析预测美国通货膨胀率的趋势，取得了令人满意的结果。d o m o w i t z 和h a k k i o 也曾经把a r c h 模型用于外汇汇率市场的研究中。 “，是t 期的扰动项，表示偶发事件对金融市场的冲击，这是不可预测的。但上述表明， 扰动“，的平方之间存在相关关系，而且可以用聊阶自回归式子表示。由于“，是随机的，并 且“? 是不可能为负，所以对于“，的所有实现值，只有( 2 1 3 ) 式是正的，并且( 2 ，1 ，2 ) 非负 才是合理的。如果 w t 下界为一f ，f o ，并且口，0 ，对于，= 1 , 2 ，那么上述要 求可以保证。为了使“? 协方差平稳，我们进一步要求式( 2 1 3 ) 的特征方程 1 一g i 三一9 2 2 2 一一口z “= 0 ( 2 1 4 ) 的根位于单位圆外。如果口，都非负，这等价要求 口1 + 9 2 + + 口，( 1 ( 2 1 5 ) 这样“。的无条件方差为： 盯2 钉( 扣面再丢= 万 2 - l 6 ) 恒为常数。 另外一种表示a r c h ( m ) 的方法： “，= 4 h , v ， ( 2 1 7 ) 这里v ，是一个i i d 序列，a e ( v ，) = 0 ，e ( v ? ) = 1 ，如果 h t = f + 5 1 甜三1 + 口2 u l 2 + + 口。u l 。 ( 2 1 8 ) 那么意味着 e ( u ? l u ，一1 ，“，一2 ，- ) = f + 口1 ”三l + 5 2 “二z + + 5 。“三， ( 2 1 9 ) 因此，如果“，是( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 产生的，那么“，服从爿月c 日( 研) 过程，并且线性投影式 ( 2 。1 3 ) 亦是其条件期望。 2 2a r c h 模型的拓展形式 e n g l e ( 1 9 8 2 ) 提出a r 删之后，a r c h 模型在分析美国金融商品的波动方面取得了前所 未有成功，但也出现了不少问题。金融市场的波动总是受各种不确定因素的影响，靠简单 的a r c h 模型己不能解决，为了不断地适应金融市场的变化，a r c h 模型在原有基础上又衍 生出了许多新的形式，形成了一个a r c h 模型族。 ( 1 ) m a r c h ( m u l t i v a r i a t ea r c h ) 模型 在a r 口模型的基础上，由恩格尔、格兰杰和克拉夫特( e n g l e ，g r a n g e ra n d k r a f t ，1 9 8 4 ) 1 又提出多元a r c h 模型，定义为：甜，= z t 彬2 ，其中z ，为i i d 序列，且 e ( z ，) = 0 ，v a r ( z ，) = l ，彬为协方差矩阵。 ( 2 ) l o g a r c h 模型 在a r c h 模型的应用中，首先遇到的困难之一是如何能保证方差的系数估计口值为正， 因为如果口，出现负值，就有可能导致方差的值为负的情况，这显然与方差为正的性质相矛 盾，为此，格威克( g e w e k e ，1 9 8 6 ) 提出对数a r c h 模型，即i o g a r c h 模型。对数a r c h 模 型的方差函数为： l o g ( h ) = 盯o + 口1 i o g ( “l 1 ) + + 口4 l o g ( u l 。) 这里条件方差一定严格大于0 ，无须对5 加任何条件限制就可以保证条件方差大于0 。 ( 3 ) t a r c h 模型( a r c h t ) 该模型基本上与a r c h 模型同型，不同之处在于它的误差项不再服从正态分布，而是f 分布，由于正态分布假设不完全是经跻和金融的经验研究结果，于是许多经济学家尝试对 模型的误差项的分布作出各种不同的假设，实际中除t a r c h 外，还有正态一泊松混合分布 ( j o r i o o n ，1 9 8 8 ) ，扩展的指数分布( n e l s o n ，1 9 9 1 ) 等，对改善a r c h 模型的适应性取得了 不同程度上的进展。 6 ( 4 ) e a r c h 模型( e x p o n e n t i a la r c h ) e a r c h 模型由n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 提出，它是一个非线性模型，他给出的条件方差形式为： l o g h t = 鳓+ 9 0 。) + 辟l o g ( h t ，) ，g ( 毛) 2 岔，+ 州= ，卜- e k | t 为i i d 序 i = 1 - 1 列，一般为正态分布。 e a r c h 模型避免了对参数的非负性假设，具有以下特点： 1 ) 分段线性产生了非对称的条件异方差，从而可以描述所谓“负债”的影响： 2 ) 允许模型的误差项与条件方差相关。个大的波动或震荡将导致条件方差的增大。 ( 5 ) n a r c h 模型( n o n - l i n ea r c h ) 希金斯与贝拉( h i g g i n sa n db e r a ，1 9 9 2 ) 提出非线性的a r c h 模型，即n a r c h 模型，他 们把条件方差定义为：h t = k 。 ? ) 5 + ( “三1 ) 5 + + 乙) 5 。 可证得a r c h 模型和i o g a r c h 模型是n a r c h 模型两种特殊形式。当6 = l 时，n a r c h 模型 就是a r c h 模型，当6 一o 时，n a r c h 模型就是i o g a r c h 模型。 ( 6 ) a r c h _ m 模型( a r c h i n - m e a n ) 恩格尔、莉莲和罗宾斯( e n g l e ，l i l i e na n dr o b b i n s ) 认为风险溢价也随时间的变化 而变化，不应该假设为不变的，为此他们把这一模型定义为：y 。= 犀，+ 承+ “，”，l 仍一l n ( 0 ，见) ，其中吼是直到f 时刻所有信息集合，该模型的最大特点就是方差进入期望函数， 而条件方差随时间的变化可以引起条件期望随时间变化，从而为某些类型的经济和金融时 间序列数据的研究提供了一个非常有效的方法。 2 3a r c h 模型的性质 a r c h ( m ) 模型超越了传统异方差模型，能更准确得反映客观实际，从而成为经济、金融 等领域研究波动及风险的重要工具，它具有如下一些性质： ( 1 ) 从a r c h ( m ) 模型中条件异方差h ，的回归分析方程中看出：当前方差是过去误差 项平方的m 阶滑动平均，这和金融市场中的时间序列数据特征十分吻合，即如果t h 时刻 时( 聆m ) ，市场朝着某个方面变化，那么这个方面的误差平方就会增大，如果它们相应 的系数口，不为0 ，则必会导致t 时刻条件异方差h t 的增大，也就是说，t 时刻市场可能朝 着卜一 时的变化方向继续运行。因此波动会持续一段时间，从而模拟了市场波动的积聚现 象，即较大幅度的波动后面一般紧接着较大幅度波动，较小幅度的波动后面一般紧接着较 ：i 1 缶n 叶a2 ，c r ；v t 2 ，= 喾 q 统计量为 ( 2 ) l a g r a n g e 乘子检验： z = 其中，3 o ) 的条件方差的预测。 定理2 5 1 “r 彤表示在时刻t ，对“，在时刻t + s 的条件方差盯2 的估计值， u t + s 形( f - 1 , 2 ，m ) 表示在时刻t ，对甜丢。的最佳线性预测，则计算的递推公式为： ；一盯z ：( 施戈一盯：) 蝎( ：乙叼一。：) + + ( 采一盯z ) 证明：显然，当s = l 时，有 “，+ 多= 盯三1 = f + 口1 甜? + - + 盯。“三。+ i ( 2 5 1 ) 根据式( 2 1 6 ) ，可将参数f 表示为：f = ( 1 一甜广口2 一一日。弦2 代入式( 2 5 1 ) ，可得 2 甜r - 形竺( 1 一口l 一口2 一一口，) 盯2 + 口l “? + - - + 口，“三m + i 整理得 9 ：一盯2 = ? 一0 2 ) + 口：( 甜：，一0 - 2 ) + + 口。( “三。+ 。一盯2 ) 同理可得在时刻t + 1 对“，在时刻t + 2 的条件方差的估计为 ：二琢。一盯2 = 嘶( “矗，一0 - 2 ) + 口：( “? 一叮2 ) + + 口。( “三。+ ：一盯2 ) o 也是对随机变量甜乏，的最佳线性预测，以“a ，2 嘭代替上式中的“乏。，就可得在时刻t 对 g t 在t + 2 时的条件方差为 ：一盯：口，( “a ，2 形一叮z ) + 口：( 。? - 0 2 ) + + 口。 三m + 2 - - 0 - 2 ) ( 2 5 ，2 ) 一般地，可以定义在时刻tx t u ，在t + s 时刻的条件方差的估计为 会：e 丢，阮 ”r 彳= e 丢，j “? ， 这也是在时刻t 对“。0 = 1 , 2 ，) 的s 步预测。类似( 2 5 1 ) 式，经连续往后迭代，可得 2 计算甜t + 形的递推公式 。a ，2 彤一盯z ：( ：2 + ，彤一盯z ) + a ：g ：，嘎一盯：) + + ( ：，形一仃：) 其中“三，( f = 1 ，2 ，埘) 是在时刻t 对“三，f 的最佳线性预测。当j m 时，显然有 拼乙一= ：。 2 6g a r c h 模型( g e n e r a l i z e da r c h ) a r c h 模型的一个实践难点是，非限制估计通常会违背口，为非负数的限定条件，我们需 要这个限定保证盯? 恒为正数。1 9 8 6 年，巴拉斯拉夫( b o l l e r s l e v ) 提出了更一般性的a r c h 模型( g e n e r a l i z e d a r c h ) ，即广义自回归条件异方差g a r c h ( g e n e r a l i z e da u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t l c i t y ) 模型。g a r c h 模型对口加强了一个相当任意的递减时 滞结构，以保证模型满足上述限定条件，该模型是用过去的方差和过去方差的预测值来预 测未来方差的自回归条件异方差时间序列模型，其中异方差指方差随时间变化而变化，即 具有易变性；条件性表示了对过去临近观测信息的依赖；自回归则描述了预测值与过去观 测之间的联系。它在对时间序列波动性的解释和建模上具有较强的优势，因而有着极其广 1 0 泛的理论和实用价值。 g a r c h ( p ，q ) 模型的一般形式为 瓜一 其中v 。为i i d 序列，且e ( 匕) = 0 ，v a r ( v 。) = 1 ，若有 p 口 h ，= 口d + 口。“三，+ f l j h , 吖= 盯o + 口( 三) 甜? + ( 三) 曩 ( 2 6 1 ) i = 1 ，= l p ，g 0 ，甜o o ，口；o ( i = 1 , 2 ，p ) ，尼o f f = 1 , 2 ，- ，g ) g 则称“。服从g a r c h 过程，记为“，g a r c h ( p ，q ) 。式( 2 6 1 ) 中f l j h , 1 为自回归项 j # 1 它不仅是滞后随机扰动项平方的线性函数，还是滞后条件方差的线 性函数，表明了过去时刻的波动对未来收益波动有着正向缓解的影响，从而模拟了波动的 积聚性。 当p = o 时，这就是a r c h ( q ) 过程，当p = q = o 时，( u ， 为自噪声过程，若1 一f l ( l ) 的 根在单位圆外，则式( 2 6 1 ) 可写作 口 h ，= t 2 o ( 1 一卢( 1 ) ) 。1 + 口( 三) ( 1 一( 1 ) ) 。1 “? = o c o ( 1 一) 。1 + 4 “三。( 2 6 2 ) i = 1i 1 这就成了无穷阶a r c h 模型( i n f i n i t e d i m e n s i o n a la r c h ) ，即a r c h ( 一) ，故a r c h ( q ) 只是g a r c h ( p ，q ) 的特例。式( 2 6 2 ) 中点是口) ( 1 一( 三) ) - 1 展开式系数，可写作 r k + 局j = 1 胡 4 = 。”1 j 局 ，= g + 1 l j = l 其中n = m i n p i - 1 ) 。 g a r c h ( p ，q ) 模型还可以写成另一种形式： = 以v 。 其中v ，为i i d 序列，且e ( v 。) = 0 ，v a r ( v , ) = 1 ，则 项 hcra 为 2 卜 ”口 ， “? = 铴+ “三。+ 屈“三，一岛屿+ v j ( 2 6 3 ) 这时可以把g a r c h ( p ，q ) 看作是的a 1 n a ( ，p ) 模型，其中m = m a x p ，q ) 。可以看出， 式( 2 6 1 ) 与式( 2 6 3 ) 实际上是一回事，但式( 2 6 3 ) 把g a r c h 的理论基础时间序列的 a p , g a 模型剥离了出来，易从理论上把握g a r c h 模型的含义。g a r c h ( p ，q ) 模型中用得最多 的是g a r c h ( 1 ，1 ) 模型。此后，在g a r c h 的基础上，又相继发展了i g n c h 、e g a r c h 、g a r c h - m 等推广形式。 第三章随机波动率模型族 3 1 随机波动率模型的定义 在早期的统计学和经济计量模型中，人们一般假设金融产品的波动是固定不变的。做 这种假设不仅是为了计算上的便利，更重要的是为了能应用传统的稳定随机过程的理论和 模型。但实践发现，这种假设并不相符台实际。随着研究的深入，波动被认为不仅是时变 的而且是可预测的。 随机波动率模型( s t o c h a s t i cv o l a t i l i t ys v ) 具有数理金融学和金融计量经济学的 双重根源。1 9 7 3 年，c l a r k 提出把资产收益作为信息到达随机过程的函数建模。这种所谓 的时间变形逼近方法产生一种资产收益的时变波动模型。后来，t a u c h e ng 与p i t t sm ( 1 9 8 3 ) 细化了这项工作，提出一种与信息到达时间相关的资产收益的混合分布模型，h u l l 和w h i t e 并没有直接把资产收益和信息到达联系起来，而对欧洲期权定价产生兴趣，研究 了标的资产服从连续时间s v 模型的欧式期权定价问题。他们假定基础资产收益是连续时间 随机波动模型。他们对具有波动的基础资产提出一种扩散表达式，其中波动服从一个正扩 散过程；而另一个方法来自于t a y l o r 的工作，1 9 8 6 年他提出了一种离散时间的s v 模型来 刻画金融市场中的有关波动问题，来解释金融收益序列波动的自回归行为，这是一种非连 续的随机波动模型，可替代自回归条件异方差( a r c h ) 模型，具有广阔的研究前景。从计 量经济的角度看，随机波动模型在实践上的困难在于不能直接得到模型的似然函数与模型 的无条件矩的解释形式，这是因为随机波动模型中均值方程的方差是一个潜在的、非直接 观察到的变量并且模型是非正态的，似然函数和无条件矩只能通过高维积分得到。近年来， 在随机波动模型估计方面已经取得了极大的进展，估计技术可班分为三大类：第一类是基 于传统的参数估计方法，用近似的方法或者模拟的方法构造模型的似然函数和无条件矩。 前者包括伪极大似然估计( q 札) 、广义矩估计( g 埘) 等，后者包括模拟极大似然估计( s 乩) 、 模拟矩估计( s 删) 等。第二类方法通过引入一个辅助模型( 如a r m a - g a r c h 模型) 或半参 数方法间接地估计随机波动模型，包括非直接推断有效矩估计( e 湔) 等。第三类方法是基 于贝叶斯原理的参数后验分布分析，但因为高维积分的原因，参数的后验均值和标准差的 计算极为困难。随着马尔科夫蒙特卡罗 m c ) 模拟技术的发展和计算机能力的提高，后 验分布计算上的困难得以克服，然而m c m c 方法对计算能力的要求，使用非常规的软件， 使得研究者和实际从事人员实施起来较为困难。 3 i 1 连续形式的随机波动率模型 在描述金融商品的价格、收益等变量的变化规律时，以往总是通过布明运动刻回，布 朗运动有着著名的科学背景，1 8 2 7 年英国植物学家( r o b e r tb r o w n ) 首次描述了散布在液 体或气体中微粒的不规则运动，1 9 0 5 年( a l b e r te i n s t e i n 首次给出了这种运动的解释， 他指出布朗运动在数学上可以通过假定散布的微粒连续不断地受到周围大分子的碰撞来解 释。1 9 1 8 年美国应用数学家( n o r b e r tw i e n e r ) 给出了其数学定义。 定义3 1 1 设概率空间( q ，f ，尸) 中有一族上升的子盯域，形是该空间上的随机过 程，t r + ，= 0 ，如果彬几乎所有样本连续，且对任意s t ，有e ( 彬i e ) = ： 五( 彬2 一盱) = 盯2 p s ) ，则称彬过程为b r o w n 运动过程。 定义3 l2 对随机过程扛，f 丁 ，任意给定的 ，f 2 ，t 。t ，且 ( f 2 ( o ，e r ，) = ，川 o o ， e 晖，i ，) = z h ，f = 盯o ，z l i 一，鼻h ) ，则称弘，f o ，+ 。 是相对f 的一个鞅过 程。 定义3 1 6 设对一个鞅过程留，f o ，+ 。】 ，即彳，= x h + ，若e ( “，i f ) = 0 ， f = a ( x o ，x 1 ，t ，j h ) ，则脯。= z ，- x “为鞅差过程。 定义3 1 7 设，t “口，6 是二阶矩过程，0 a b ，矿( f ) 是b r o w n 运动，对 a ，b 的一组分点：a 2 气 r 1 0 ， l o gc y ? ) 服从一个o r n s t e i n u h l e n b e c k ( o u ) 随机过程。解出方程组中第 1 6 三个随机微分方程，就可以得到见的表达式。通常，若o u 过程 x ，) 的表达式为 d r ，= 一龇f d t + d d 形，它的解可表示为 其中x o 为x ，的起始值。利用式( 3 1 3 ) ，可以得到( 3 1 2 ) 中h ，的解 啊= e - a h 。+ 吒- p ( t - s ) d 谚 如果： - g - h ，的解限制在区间i t 一1 ，t ，则： 其中d = e - p ， ( 3 i 3 ) r h ，= p 邓啊_ 1 + qp 。”d 瓦= 婀一1 + r ， ( 31 4 ) 0 吁0 卜州) d 两( o ，筹( 1 巧2 呦= ( 0 ，盯；) - 工， 式( 3 1 4 ) 给出了连续s v 模型和离散s v 模型之间的联系，在一定意义上，前者可以看作 是后者的概率极限。 3 1 4 有问断跳跃的连续s v 模型 金融数据，特别是金融资产收益数据，不仅呈现出前面讨论过的波动的特征，往往还 带有间断性的跳跃，但这种跳跃不能由连续变化的过程来描述。为了有效地分析这种现象， 可以