（应用数学专业论文）快慢型动力系统的几何奇异摄动分析.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 快慢型动力系统广泛存在于实际问题中，有很强的实际背景。其 特点是系统的状态变量分为慢状态和快状态两类。系统的主要动态特 性由慢状态体现。表现在方程形式上即是微分方程的最高阶导数乘有 正的小参数，属于边界层型奇异摄动问题。 几何奇异摄动理论从动力系统的角度出发，应用动力系统的观点 对微分方程的解的全局行为进行定性的和近似的讨论。本文在第二章 对这一理论作了基本介绍。几何奇异摄动理论是基于f e n i c h e l 的关 于奇异摄动系统的不变流形及其稳定和不稳定流形、叶层在扰动下仍 然存在的定理为基础而发展起来的一套方法。几何奇异摄动理论对于 处理包括多个时间尺度的高维复杂系统也有效。该法利用时间尺度分 解降低原系统的维数，得到两个时间尺度不同的极限子系统。分别研 究这两个简化系统的动力学性质，再通过拼合它们的轨线就可以知道 原系统的动力学性质。 作为一个特殊的动力系统，第五章简单介绍了快慢型的稳定性和 分岔。利用中心流形定理，快慢型系统平衡点的稳定性和分岔在定 条件下可由退化慢子线性系统平衡点的稳定性和分岔来刻划。但由于 快慢型系统的特殊结构还将出现特殊的奇异引致分岔和奇异代数分 岔。 第三、四、六章主要利用几何奇异摄动理论，从定性分析的角度， 研究了儿个非线性快慢型自治动力系统的动力学行为。将m k d v k s 方程约化为快慢型自治动力系统，基于同宿轨与孤立波的密切关系， 利用m e l n i k o v 函数，通过扰动之后同宿轨的存在性而证明扰动m k d v 江苏大学颂士学位论文 - - k s 方程存在孤立波解。本法对其他扰动类型方程的定性或定量的 分析也都适用。将经典儿何奇异摄动理论应用于两个常见的混沌系 统，把l o r e n z 系统及c h u a 系统视作快慢型自治动力系统，求解出它 们的慢流形，通过对系统在慢流形上运动的分析给出解的局部描述， 从而初步了解这两个重要混沌系统的动力学行为。将几何奇异摄动理 论应用到控制上，从系统的慢流形出发，利用反馈控制方法控制v a n d e rp o l 系统的动力学行为，并给出了数值模拟结果。这些应用体现 出几何奇异摄动理论在快慢型系统的研究中确实是一个有力的工具。 关键词 快慢型自治动力系统，慢流形，慢变量，几何奇异摄 动，分岔 江苏大学硕二已学位论文 a b s t r a c t t h e r ea r em a n ys l o w - f a s ta u t o n o m o u sd y n a m i c a ls y s t e m si n t h en a t u r ea n dh u m a ns o c i e t y ，w h i c hh a v eb e c o m ea ni n t e r e s t i n g m a t h e m a t i c a ld o m a i n i t ss t a t ev a r i a b l e sc a nb ed i v i d e di n t o t w op a r t s ：s l o wv a r i a b l e sa n df a s tv a r i a b l e s t h ed y n a m i c a l f e a t u r e sa r ed e t e r m i n e db yi t ss l o wv a r i a b l e s h a v i n gas m a l l p o s i t i v ec o n s t a n tm u l t i p l y i n gi t sh i g h e s td i f f e r e n t i a lp a r t ， s o w f a s ta u t o n o m o u sd y n a m i c a ls y s t e mi sa ni n i t i a l l a y e r s i n g u l a rp e r t u r b a t i o ns y s t e m w ei n t r o d u c et h eb a s i cc o n c e p t sa n dn o t a t i o n so fg e o m e t r i c s i n g u l a rp e r t u r b a t i o nt h e o r yi nt h es e c o n dc h a p t e r t h r e e t h e o r e m sg i v e nb yn f e n i c h e lc o n s t i t u t e st h em a i nc o n t e n t s o l 、t h eg e o m e t r i ct h e o r yo fs i n g u l a rp e r t u r b a t i o nt h e o r i e s t h e y a r ei n v a r i a n tm a n i f o l d t h e o r e m ，s t a b l ea n du n s t a b l em a n i f o l d t h e o r e mo ft h ei n v a r i a n tm a n i f o l da n dt h ef o l i a t i o n t h e o r e m o fi n v a i i a n tm a n i f o l d t h r o u g ht i m e s c a l ed e c o m p o s i t i o n ，t h e w h o l e d y n a m i c a l b e h a v i o rc a n b e s t u d ie d b y i t s s l o w t i m e s c a l el i m i ts u b s y s t e ma n df a s t t i m e s c a eo n e c h a p t e rf i v ep r e s e n t s s t a b il jt yb i f u r c a t i o n a n a y siso fs l o w f a s ta u t o n o m o u sd y n a m i c a ls y s t e m s l i m i t s l o w s u b d y n a m i c sh a sb e e np r o v e nt ob et h es a m ea st h a tf o r 江苏大学硕上学位论文 t h ef u lls y s t e m s m a i nc o n t e n t so fg e o m e t r i cs i n g u l a rp e r t u r b a ti o nt h e o r y a r ec o n t r i b u t e dt oo u rr e m a i na n a l y s i s w es t u d yt h ed y n a m i c a l b e h a v i o ro fs o m en o n 一1i n e a rs l o w f a s ta u t o n o m o u sd y n a m i c a s y s t e m si nc h a p t e rt h r e e ，f o u ra n ds i x b a s e do nt h i st h e o r y ， c h a n g i n gm k d v k se q u a t i o n i n t oa n o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o ns y s t e m ，w h i c hi saf a s t s l o wo n e ，w ei n v e s t i g a t et h e e x i s t e n c eo fs o l i t a r yw a v e si n m k d vk se q u a t i o n b e c a u s e s o l i t a r yw a v e sa r ef i r m l yc o n n e c t e dw i t hh o m o e l i n i co r b i t s ，w e t h e np r o v et h a tt h ep e r t u r b e ds y s t e mh a sah o m o c l i n i co r b i t t h u s ，t h ee x i s t e n c eo fs o l i t a r yw a v e si ns i n g u l a rp e r t u r b e d m k d v k se q u a t i o ni sp r o v e d t h i sm e t h o dc a nb ea p p l l e dt o o t h e rp e r t u r b e ds y s t e m s t h e nw ec o n s i d e rl o r e n zs y s t e ma n d c h u as y s t e ma ss l o w f a s ta u t o n o m o u sd y n a m i c a ls y s t e m st o o b t a i nt h ea n a l y t i ce q u a t i o n so ft h es l o wm a n i f o l df r o mt h e g e o m e t r i cs i n g u l a rp e r t u r b a t i o np o i n to f v i e w i ta l l o w su s t og i v eag e o m e t r i cc h a r a c t e r i z a t i o no ft h ea t t r a c t o ra n da g l o b a lq u a l i t a t i v ed e s c r i p t i o no fi t sd y n a m i c s f i n a l l y ，s l o w m a n i f o l dc o n t r o lm e t h o di sp r e s e n t e d f o r s t o w f a s tv a nd e rp o l s y s t e m b a s e d o ni t ss l o wm a n i f o l dt os e l e c tc o n t r o l p a r a m e t e r s ，t h e s l o w f a s tv a n d e r p o l s y s t e m c a rb e c o n t r o l l e di np r e d e t e r m i n e de q u i l i b r i u ms t a t e so rc y c l i c a l t r a j e c t o r i e s s o m es i m u l a t i o nr e s u l t sa r e g i v e n i nt h is p a p e r 江苏大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：s l o w f a s ta u t o n o m o u sd y n a m i c a ls y s t e m s ，s l o w m a n i f o l d ，s l o w v a r i a b l e ，g e o m e t r i cs i n g u l a rp e r t u r b a t i o n ， b i f u r c a t i o n v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 = i f 、保密影 学位论文作者签卓；蒂袤 州年旁件日 指导教师签名： ，习空 t f f 文。o 咿年 月u 同 印， ，y d r f f1 0 1 6 1 3 1 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：瓣牛 日期：矿年；月 日 江苏大学硕士学位论文 第一章前言 本章对几何奇异摄动方法及其发展状况作总体介绍，同时阐述本课题的研究 意义、研究方法和内容。 1 、本课题的研究背景和现状 摄动问题起源于天体力学，是近百年来由许多数学家、力学家及物理学家 共同建立和发展起来的一个重要学科，在流体力学、弹性力学、量子力学、声学、 化学反映和最优控制等重要领域有广泛的应用嘶“”“1 。其特点是在针对问题 所建立的微分方程中含有摄动参数。这种参数可以是反映一定的物理性质而自 然出现，也可以是为提高建模精度或为方便研究而人为地引进的。对这些问题， 由于一般不能求得它的精确解，不得不借助于寻找渐近解或数值解。 摄动方法正是寻找渐近的，又能用函数解析式表示出的近似解的有效数学 方法，是一种渐近的分析方法汹“1o 运用摄动方法可以对微分方程的解的全局 行为进行系统的分析，给出正确的解的解析结构用来进行定性的和近似的讨论， 这种优点是数值解所不能达到的。摄动方法的主要思想是把一个困难的问题分解 为无数个比较容易的问题，而头几项( 往往只要头一、二项) 就能揭示解的重要 特性，以后的步骤只需给出很小的修正。因此摄动方法受到学术界的重视，形成 了较完整的理论体系，应用范围r 益广泛，成为解非线性问题的最有效的解析方 法。 对摄动问题，一般当s = 0 时可求得解x 。，于是可把原系统的解展丌成的 幂级数x = + x g + x 2 e2 + 若这个级数当s 一 0 时一致收敛，则称此摄动问 题为正则摄动问题，否则称为奇异摄动汹”“1 。从最初应用于流体边界层的分析 算起，奇异摄动问题的渐近方法的研究已有近百年历史，成为摄动理论的一个重 江苏大学硕士学位论文 要领域。i n d w i n gp r a n d t a l 于1 9 0 4 年在第三届国际数学家大会上宣读的论文“o n f l u i dm o t i o nw i t hs m a l lf r i c t i o n ”，被公认是奇异摄动研究的开端“】。其后 奇异摄动方法得到了迅猛发展。 奇异摄动的主要思想是将非线性的、高阶的或变系数的数学物理问题的解， 用所含某个小量的渐近近似来表示“”。由于这些近似表示式的形式一般较原问 题简单，因此成为研究比较复杂的数学物理问题的有力工具，在力学、光学、声 学、化学、生物学以及控制论中有着广泛的应用。 在动力系统理论与控制工程中，对一个实际的物理系统建立的数学模型往 往含有多个时间尺度。早期对这类系统的处理方法是简单地忽略快变模态而降低 系统的阶数嗌4 删。然而大量的事实证明，这样的简化太粗糙，与实际相去太远。 为了提高精度，必须把这样的系统看作奇异摄动系统来考虑。 本文研究的快慢型系统是一种特殊的奇异摄动系统，又称动态未建模系统 或多时间尺度系统“4 2 ”，其基本形式为 l 西= f ( x ，y ) 【夕= g ( 毛y ) 其中，童r ”，y r ”是系统的两类状态变量，s 0 是小参数。 该系统的显著特点是，系统的状态变量分为两类，即慢状态y 和快状态x 。 这两类状态变量具有不同的变化率，慢状态时间常数大，动态过程中变化慢，快 状态时间常数小，动态过程中变化快。系统的主要动态特性由慢状态体现，快状 态主要是在瞬态变化过程( 或称边界层) 中发挥作用。 奇异摄动理论自6 0 年代应用于控制理论的研究后得到了迅速发展，一直是 一个研究的热点“。1 。在8 0 年代初期，对线性奇异摄动系统的研究已经比较全面， 主要研究内容包括奇异摄动系统的时间度特性、模型降阶、线性奇异摄动系统的 能控性和稳定性、最优控制器设计等。目前的研究更多集中于非线性系统，包括 稳定性分析、控制设计等。稳定性分析主要基于复合l y a p u n o v 函数，最优控制 一般采用复合控制器的方法。 自2 0 世纪7 0 年代中期以后，f e n i c h e l 吸收微分动力系统的理论成果，以 积分流形为主要工具，建立了几何奇异摄动理论“。“1 。其思想是将微分动力系 统理论应用于奇异摄动系统。几何方法以其丰富而深刻的理论受到普遍重视，取 江苏大学硕士学位论文 得重大进展，在各应用领域都有成功的应用和发展，在非线性奇异摄动系统的研 究中成为一个重要的方向。1 9 9 4 年j o n e s 利用多尺度方法研究几何奇异摄动理 论，从坐标变化及基于对锥的作用角度重新证明f e n i c h e l 三大不变流形定理， 开辟了新的应用前景。几何奇异摄动方法现已朝非法向双曲点及无穷维方向发展 n “1 。”1 ，研究方法也发展到泛函分析与拓扑学等较新的数学i 具，研究的内容从 传统的解的近似形式扩展到定性分析、不变流形、同异宿分支及混沌现象等。但 总的来说，非线性奇异摄动系统的研究成果还相当有限，应用也局限于低维系统 以及法向双曲点情形。 2 、本课题的研究内容 快慢型系统广泛存在于实际中，几何奇异摄动理论是处理这类系统的有力 工具。本文介绍了基本的几何奇异摄动理论，利用该理论，针对几个非线性快慢 型系统，通过详细的讨论，对以下几个方面进行了研究和分析。 ( 1 )利用定性分析探讨快慢型自治系统解的拓扑结构。某些问题的行 波解的存在性可以转化为研究快慢型系统的同宿解或异宿解的存在性。本文利用 几何奇异摄动理论，将m k d v - - k s 方程化为带快一慢变量的常微分方程组，通过 同宿轨的存在性而证明扰动m i ( d v 方程孤立波的存在性。 ( 2 )利用渐近分析方法，引入人工参数，将l o r e n z 系统及c h u a 系统 视作快慢型自治系统，求解出l o r e n z 系统及c h u a 系统的慢流形，通过对系统在 慢流形上的运动，给出解的局部描述。 ( 3 )将几何奇异摄动理论应用到控制上，基于慢流形，利用反馈控制 方法控制v a nd e rp o l 系统的动力学行为，并给出了数值模拟结果 3 、本课题的研究方法 非线性科学研究的蓬勃发展，以及微分动力系统的研究与应用取得的重大进 展，促使人们对数学的要求增高了，也促使微分方程的研究从寻找解析解逐步发 3 江苏大学硕士学位论文 展为讨论解的分析性质。人们不仅需要对微分方程单个解的讨论，而且力图知道 一大类解或全部解的总体趋势和结构，不仅满足于对解的局部函数性质的讨论， 而且希望知道轨道形成的拓扑结构。综合了传统摄动理论和微分方程定性理论的 几何奇异摄动理论应运而生，它从更高的高度，以更新的观点，用更先进的方法 去研究微分方程并获取更多更深刻的结果。 快慢型系统的特点是最高阶导数项乘有小参数，属于边界层型摄动问题 ”。当s = 0 时，方程降阶或其类型改变，导致原来适定的边界条件变为不适定。 产生了边界层。摄动问题的解作为s 的函数，在失去定解条件的边界附近，即所 谓边界区域内变化很快，具有边界层奇性。若用通常的数值方法求解，常出现数 值不稳定，在小参数e 十分小的情况下，要达到必要的精度，须要求网格步长很 小，往往小得实际上已无法计算，并且还将产生关于小参数的非一致收敛性。 为了得到关于小参数e 一致收敛的渐近解，必须寻找合适的方法。常见的有 平均法，匹配渐近展开法，w k b 法，多重尺度法等“3 。虽然这些方法解决了不 少实际问题，但应看到各种方法都有其局限性，并且方法之间缺乏数学上的统一， 限制了这些具体摄动方法的应用。几何奇异摄动理论以摄动理论中最成功的多重 量尺度法为基础，结合严密的动力系统理论，形成了自己的独特理论，较好地解 决了这一问题。 几何奇异摄动理论为快慢型系统的分析和控制提供了自然的框架“制。本 文根据几何奇异摄动理论，将快变变量和慢变变量分别作为独立的变量，通过复 合函数求导法则，将原快慢型系统分解为几个分别对应子不同的时间尺度的低维 系统，通过对低维系统的研究再加以适当综合就得到原系统的渐进性质。 4 、本课题的研究意义 快慢型系统具有非常广泛的实际背景，其特点是小参数s 出现在微分方程的 最高阶导数项中。许多系统，如物理系统、生态系统、电机网络、生化系统、经 济系统及其他非线性系统中不同进程之间的变化率往往是不同的，有的变化慢， 有的变化快，甚至相差很大，达到几个数量级。例如，细菌繁殖速度就比草的生 长速度快得多，而草的生长速度又比树木的快，树木又比气候变化快，等等。但 4 江苏大学硕士学位论文 另一方面，不同进程之间变化的快慢差异使得利用多尺度摄动方法来对整个系统 进行研究提供了可能。因此对此类系统的研究具有很重要的实际意义肌“2 5 。 随着近代物理学的不断发展，现代应用科学与新技术问题以及相应理论的研 究都引出了大量的非线性方程，在理论和应用方面都要求构造这些方程及其定解 问题的解，以及这些解的特性( 如孤立子，分岔与混沌等性质) ，因此对非线性方 程的研究便成为应用数学和物理领域的一个非常重要和热门的研究课题蚓。本 文研究的m k d v - k s 方程，l o r e n z 系统，c h u a 系统以及v a nd e rp o l 系统都是在 非线性科学发展的不同时期出现的具有代表性的非线性方程。但非线性微分方程 的精确解一般是难以找到，因而不得不借助于寻找渐近解或数值解。而奇异摄动 方法正是寻找近似解析解的有效数学方法。 本文首先讨论了奇异扰动m k d v - k s 方程孤立波解的存在性。已经知道一大类 非线性演化方程具有孤立波解。在对m k d v 方程加以小扰动后，用定性的方法证 明扰动之后的m k d v - k s 方程仍有孤立波解。这为进一步用其他方法去求出近似或 精确解打下了基础，同时该法对其他扰动类型方程的定性或定量的分析都有一定 的启迪作用。 本文还讨论了l o r e n z 系统和c h u a 系统的慢流形。快慢型系统的慢流形分析 是几何奇异摄动理论的一个很重要内容。寻找慢流形的方法也有不少，大体上有 标准分析和非标准分析两大类。本文采用标准的经典几何奇异摄动理论讨论 l o r e n z 系统和c h u a 系统的慢流形，通过对慢流形的分析可以初步了解这两个重 要混沌系统的动力学行为。 最后本文以v a nd e rp o l 系统为例，提出注入反馈的慢流形控制方法，基 于快慢型系统的慢流形来选择控制参数，使系统保持到指定的平衡态或希望的振 荡周期上，通过动态适时调节控制参数还实现了对非线性v a nd e rp o l 系统的 动态控制。所提出的用慢流形控制快慢型二维系统是一个新的方法，直观有效。 5 江苏大学硕士学位论文 第二章几何奇异摄动理论介绍 经典几何奇异摄动理论“。御是f i n e c h e l 将微分动力系统的基本理论和奇异 摄动理论相结合而创立起来的。这一方法至少有以下两个优点：( 1 ) 在不失去物 理特性的条件下，用数学方法来简化原系统或把原系统分解成两个子系统，通过 对两个子系统的分析来得到整个系统的动态。( 2 ) 利用t i k h o n o v 定理，可以估 计由近似而引起的误差，如果要求误差较小还可以利用高阶近似来减小误差。 1 、背景和动机 有多个时间尺度的动力系统出现在很多领域中，比如物理系统、生态系统、 电机网络、生化系统、经济系统及其他非线性系统。它们具有一个共同的特点， 即状态变量在不同的时间尺度上变化，有的变化快，有的变化慢。这一类动力学 现象理论上都可以用快慢型方程来描述，用几何奇异摄动方法来研究。下面我们 给出几个例子。 例l d 町在自然界中，各生物的生长变化是不同的。例如，草的生长很快， 树木就相应慢一些。被捕食者的生长也较掠夺者快，二者往往不在一个数量级。 因此被捕食者一掠夺者的l o t l k a - y o l t e r r a 模型采用如下形式 i o = f ( x ，y ) 眵= g ( x ，y ) 其中x 代表被捕食者的种群数量，y 代表掠夺者的种群数量，2 磊d ，e 是正的 小参数。比如在生态学中经典的r o s e n s w e i g 娴模型为 6 江苏大学硕士学位论文 陋= 州一一篇一局x k 一秒+ 黑矗：y 其中，a o 代表被捕食者的内生增长率，k 为无掠夺者以及食物充分供应时的 被捕食者的承载因子，生是掠夺者的h o l l i n g i i 型反应函数，c o 是新生掠 i + 搿 夺者对每个捕获的被捕食者的转折因子，r o 是掠夺者的死亡率，e t 0 ，e 2 o 分别是被捕食者和掠夺者的环境因子。 例2 州某些微分方程的行波解在存在性可以转化为研究快慢型系统的同 宿解或异宿解的存在性。由c a g i n a l p 和f i f e 给出的描述相变的方程 鲁警+ 参+ 窘+ 刑， 其中( ) = 妒( 妒一口) ( 1 一妒) 当a o 时具有双稳定性。故该相变方程看作为 一个纯量双稳定反应扩散方程的扰动。求它的形如妒( 善) = 妒 一c t ) 的行波解且满 足 孵，_ 偻：= 则该行波解满足下列微分方程 一c 多1 = 4 争6 ) + a s2 争4 + 爹2 + 厂( 妒) 其中的导数是关于行波变量芒。写为o d e 即为 村l = “2 “2 = 甜3 e l d 32 z ，1 跚4 。蚝 翻52 材 葫6 = - a u ，一，一c 甜2 一f ( u i ) 这是一个快慢型系统。研究该快慢型系统的同宿轨或异宿轨的存在性可以得到原 系统的行波解的存在性。 例3 在神经网络的研究中，一般将神经元分为三类，激励元，慢抑制元， 7 江苏大学硕士学位论文 快抑制元。单一的神经元通常用h o d y k i n h u x l e y 公式将其模型化为张弛振子， 抑制元由独立的微分方程给出。神经元研究的w i l s o n _ c o w a n 模型考虑一对相互 作用的激励和抑制元构成的神经元振子。在这个振子中，一个神经元实际指定 数量的神经元集合。这样的相互作用的激励和抑制神经元对被认为是大脑的振动 活动的机制之一令一，乃分别代表神经元的激励和抑制活动，w i l s o n c o w a n 模型形式如下： 。 rhh l “，毫= t + ( 1 一毛) s ( p _ + 气_ 一b v y , ) ： l 甜p 奶= 只+ ( 1 一只) s ( p 月+ c 口x j 一吒奶) l j - 1j i 其中甜，甜， o 是膜时间常数，0 是激励和抑制神经元的r e f r a c t o r y 周期，正 系数嘞，b e ，白，d o 叫做突触在此模型中，时间常数u x ”，可以相等，但也存在二 者不相等的情形。特别是甜，“，即激励神经元活动比抑制神经元的活动快很 多，此时的模型便写成： l 诚= 厂( x ，y ，“) 【夕= g ( x ，乃材) 这是一个快慢型系统。这种典型的动力系统还包括h o d g i n _ h u l e y 方程和 f i t z h u g h - - n a g u m 方程。 综上所述，可以看到在实际应用中我们会遇到很多自然现象需要用快慢型 系统来描述。 2 、快慢型系统的基本概念 设对某个系统运动规律建立了如下的微分自治系统瞄“，： 鲍 = ( 工( ，) ) ( 2 1 ) 其中t 是自变量如时间等，x = ( 而，x ：，矗) 7 r ”是状态变量，= 导。当 a t 系统中状态变化有快有慢时，可将状态变量分成快慢两部份，f ， ，厶，为快 8 江苏大学硕士学位论文 变变量，而，s 2 ，矗。为慢变变量，以r + = ，z ，则式( 2 1 ) 成为 j 厂( ，) 2f ( ，( r ) ，s ( ，) ( 2 2 ) 【j ( ，) = s 盯( f ) ，s ( ，) ) 其中f ：u ，以，丘) 7 ，s = ，s ：，屯) 7 ，n 础l 例 m a ) 【i 为强调状态f 比状态s 变化快的事实，可将式( 2 2 ) 适当改写成凹 j ( r ) 2 f ( 厂( f ) ，s ( f ) ，s ) ，f ( 2 3 ) ( f ) = 心( 厂( r ) ，s ( f ) ，) 其中小参数e 标量，选取o s l 并使m a ) ( | i 爿i m 酬例。实际系统中可能有多 个小参数，只要它们在同一个数量级即可。由于存在小参数s ，变量f 的动态比 交量s 的动态变化快得多，因此称f 为快交变量，而称s 为慢交变量。也有的系 统具有快慢型状态变量，但不能写成形如式( 2 3 ) 那样的显式形式，此时可以 通过分析状态变量的物理意义，或通过几何分析。确定快变变量和慢变变量，经 坐标变换转换化显式形式。故本文只讨论形如式( 2 3 ) 的显式模型。 定义2 1 乜棚称系统( 2 3 ) 为快系统。其中厂= ( 石，正，无，) 7 r ， j = ( 屯，j 2 ，j ) 7 r “，力，+ = 刀，o s 0 ，即得慢子系统 j f ，s ，o ) 2 0( 2 7 ) f = s ，j ，o ) 式( 2 7 ) 为一微分一代数系统，只有当f ( f ，s ，0 ) = 0 时才有意义。 定义2 6系统( 2 7 ) 称为退化慢系统，其第二式称为退化慢子系统。 这样就将系统( 2 3 ) 分解为快慢两个时间尺度t ，f 以及式( 2 4 ) 和式( 2 7 ) 两 个退化系统。奇异摄动理论首先研究怎样从两个退化系统的渐近行为来推断快慢 型系统式( 2 6 ) 或式( 2 3 ) 的渐近行为。由于维数降低了，选择这样的近似解一般 比直接解式( 2 6 ) 或式( 2 3 ) 要容易得多。 注意到式( 2 7 ) 的平衡点包含在式( 2 4 ) 的平衡点中，这说明系统( 2 4 ) 运动 到有些平衡点( 不是式( 2 7 ) 的平衡点) 后接下来会有慢变量s 的变化。式( 2 7 ) 运动到平衡态，但也可能会有其他复杂的情形，比如接下来是快运动，这种快慢 交替的运动可能达到平衡解，或周期解，甚至于奇怪吸引子。本文将在后文中予 以讨论。 定义2 7 “。“”退化快子系统( 2 4 ) 的奇点集 ( s ，f ) i f ( f ，s ，0 ) - - 0 称为约 l o 江苏大学硕士学位论文 束流形( 或临界流形，奇异流形) ( c o n s t r a i n tm a n i f o l d ，c r i t i c a lm a n i f o l d ) ， 记为m 。在m 上使得等的所有特征值均有负实部的点集称为m 的稳定分支，记 为m 一。在m 上使得等至少有一个正实部特征值的点集称为m 的不稳定分支，记 讲 为m + 。 由( 2 7 ) ，只有在罢非奇异时，退化慢系统才有定义，故下文不在整个约 讲 束流形而只在约束流形的一个子集即慢流形上来讨论系统的动力学行为。 定义2 8 瞄”约束流形m 上使得等非奇异的子集肘。称为零阶慢流形 ( s l o wm a n i f o l d ) 。 对充分小的s 。零阶慢流形在局部匕可近似看作不变流形豫删。 3 、f e n i c h e i 不变流形定理 由定义2 7 ，零阶慢流形m 。是式( 2 4 ) 的部份平衡点集，它通过在r ”中解 方程f ( f ，s ，o ) = o 而得到，所以m 。至少局部上是维的。我们希望它可以被慢 变量s 参数化。现假定膨。可能有边，且吖。可表示为c 。光滑函数f ( s ) 的图， s e k ，k 是尺中的单连通紧集，其边界为疗，一1 维的c 。子流形。关于流形膨。还要 假定其为法向双曲的。 定义2 8 。删( f e n i c h e l ) 若快系统( 2 4 ) 的线性化矩阵在流形肼。上每点 恰有以个实部为零的特征根，而其余所有特征根都是双曲的，则称流形m 。为法 向双曲的( n o r m a l l yh y p e r b o l i c ) 。 利用图和k 的微分同胚，f e n i c h e l 不变流形定理给出肘。在扰动下的存在条 件。这和慢系统式( 2 6 ) 的流有关。 定义2 2一个集合m 在式( 2 6 ) 的流作用下局部不变，若它有一个邻域v l - 江苏大学硕士学位论文 使得只要轨线不离开v 则也不离开m 。 定理2 1 ( f e n i c h e l 不变流形定理) 对充分小的正数s 。在掰。的o ( s ) 邻 域内存在一个与m 。微分同胚的流形 l ， t 在式( 2 3 ) 的流作用下局部不变， 可表示为一c ( ， ，其中 r ，i 集合毋以乃= o 的点为边界 当s = i ( r ) 时，式 ( ，) = ( 亨( ，) ) ( 2 1 3 ) 给出了f 的拟定态解夕( f ) 。只有在适当的条件下，f ( t ) 才会收敛到它的拟定态 解于( f ) 。考虑等价的快系统式( 2 9 ) ，作变换y = f - h ( s ) ，将f ( t ) 的拟定态解变 到原点。从而式( 2 9 ) 变为 p = f + 琊) ，叩) 一8 瓦o h s ( j ，+ 琊) ，驴) ( 2 1 4 ) 【j = s ( y + 厅( j ) ，s ，) 式( 2 1 4 ) 的极限系统为退化快子系统 岁= f ( y + ( s ) ，j ，0 ) ( 2 1 5 ) 其中慢变量s 看作是“冻结“常数。式( 2 1 5 ) 的平衡点为y = 0 ( 即f = h ( s ) ) 研究式( 2 1 5 ) 的平衡点的稳定性时，要“冻结“参数在慢变量s 的区域中缓慢 变化。y 的速度可能很大，y 不可能都收敛到f = h ( s ) 上，除非附加某些稳定性条 件。因此必须研究式( 2 1 5 ) 原点的指数稳定性，并且相对于“冻结“参数一致 成立。 1 4 江苏大学硕士学位论文 定义2 1 0 称式( 2 1 5 ) 的平衡点y = o 是指数稳定的，并且对于( t ，s ) 0 ，1 e 是一致的，如果存在正常数k ，r 和风使得式( 2 1 5 ) 的解y ( t ) 满足 0 y ( f ) l | k l l y ( 0 ) l l e “ 印。 ( 2 1 6 ) 其中9 y 删o ，p 。s 詈 式( 2 1 5 ) 原点的指数稳定性可用两种方法来检验。第一近似渐近稳定性 是利用j a c o b i a 矩阵的特征值如果线性化的j a c o b i a 矩阵乃l 。的所有特征值 在复平面的左半平面，则原点是指数稳定的。另一方法是利用l y a p u n o v 函数。 如果存在一个l y a p u n o v 函数v ( s ，y ) 满足q i 圳2 y ( j ，力 c , i l y t 2 和 等s 。+ 联j ) ，s ，o ) _ c ，i l y l l ，则原点是指数稳定的。 下面的t i k h o n o v 定理给出了快慢型系统式( 2 8 ) 的近似解可由两个退化 系统式( 2 1 2 ) 与式( 2 1 5 ) 的近似解拼成的条件。 考虑如下带初值的快慢型系统 j 辱2 ，l f , 踮) 厂( 7 。) = 髻( s ) ( 2 1 7 ) 【s ：= s ( f ，s ) s ( t o ) = 7 7 ( g ) 定理2 4 ( t i k h o n o v )令f = h ( s ) 为f ( f ，s ，e ) = o 的孤立解。假设对所有 的 t ，s ，f - h ( s ) ， 0 ，i 毋xb px 0 ，s o 有下列条件成立： ( 1 ) 函数f ，s 及其所有一阶偏导连续，函数h ( s ) 及j a c o b i a 矩阵乃( 厶s ，o ) 有一阶连续偏导，初值 ( g ) ，t 7 ( ) 为e 的光滑函数。 ( 2 ) 退化子系统= s ( 办( 0 ，s ，o ) ，s ( t 。) = 玎( o ) 有唯一解i ( ，) 定义在【，o ，r i 】上， 且对一切t t o ，r l 】，愀f ，l ， ( 3 ) 对退化快子系统式(