（机械电子工程专业论文）基于lmi多面体模型的非线性预测控制研究.pdf

摘要 随着科技进步和工业发展，人们对产品质量和产量的要求不断提高，及对经 济效益的追求使得工业生产过程同趋大型化、复杂化。工作点变化范围不断扩大， 使以往采用工作点附近的线性化模型设计控制器的线性预测控制方法已不能满足 控制性能要求。因此，对非线性模型预测控制的研究已成为控制工程界的重要研 究课题。 非线性预测控制经过近二十年的发展，取得了一些较为成熟的成果。但由于 非线性预测控制的复杂性，一些比较基础的问题，如稳定性、鲁棒性、实时性等 问题还没有很好地解决，这使得非线性预测控制理论和实践之间存在着较大的差 距，阻碍了非线性预测控制的发展和工业应用。因此上述问题仍是非线性预测控 制需要研究的主要问题。 本文重点介绍了用基于多面体模型的线性矩阵不等式进行非线性预测控制设 计的般性思路及其优缺点，分析了造成该类算法适用范围小的主要原因是稳定 性约束条件过强。针对该问题提出通过调整参数可有效放宽约束条件的算法，此 算法在传统算法的基础上进行改进，其改善了由于某个稳定性约束条件过强使整 个优化问题变得不可行的问题，放宽约束条件，留出裕度来满足衰减率的要求， 最终影响控制器的效果，如吸引区范围，响应速度等。同时该算法基于l m i 设计， 具有优化计算量小、能够处理一定的模型不确定性等优点，这也使该算法可应用 到实际系统中。最后通过对天线跟踪系统模型的算例分析，从名义系统稳定性， 参数对吸引区的影响和鲁棒稳定性等方面进行仿真分析，取得了良好的实验仿真 效果。 关键词：l m i 非线性预测控制多面体模型稳定性 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fm o d e r ni n d u s t r ya n dt h ep r o g r e s so fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y ，t h em a n u f a c t u r i n gp r o c e s si sc h a n g e dt om o r ec o m p l e xa n dw i t hs t r o n g n o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c ss ot h a tl i n e a rm o d e l p r e d i c t i v ec o n t r o l ( l m p c ) m a yn o ta l w a y s o b t a i ns a t i s f a c t o r yc o n t r o lr e s u l t s n o n l i n e a rm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ( n m p c ) h a s b e c o m ea ni m p o r t a n tr e s e a r c hi s s u ei nt h ec o n t r o le n g i n e e r i n gf i e l d a f t e rt w e n t yy e a r so fd e v e l o p m e n t ，m u c hp r o g r e s sh a sb e e nm a d ei nn m p ca n d s o m et h e o r yh a sr e a c h e dar e l a t i v em a t u r es t a g e w h i l e ，c o m p a r i n gw i t ht h eg r e a t s u c c e s si nt h ea p p l i c a t i o n so ft h el i n e a rm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l ，f e wa p p l i c a t i o n so f n m p ch a v eb e e nr e p o r t e d t h i sm a ya t t r i b u t e st ot h ec o m p l e x i t yo fn m p c ，a n ds o m e f u n d a m e n t a lp r o b l e m so fn m p c t h e o r yh a v en o tb e e nw e l lr e s o l v e dy e t a m o n gt h e m ， t h ep r o b l e m so fs t a b i l i t y , r o b u s t n e s sa n de f f i c i e n c yo ft h eo p t i m i z a t i o na r et h et h r e e o n e s ，a n dm a k et h em a i no b s t a c l e si nt h ea p p l i c a t i o n so fn m p c s ot h ec u r r e n tn m p c r e s e a r c h e ss t i l lf o c u so nt h ep r o b l e m so fs t a b i l i t y ，r o b u s t ，a n do p t i m i z a t i o ne f f i c i e n c y f i r s t l y ，b r i e fi n t r o d u c t i o n st oa d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g eo ft h en o n l i n e a rm o d e l p r e d i c t i v ec o n t r o lb ya n a l y z i n gt h el i n e a rm a t r i xi n e q u a t i o nb a s e do nt h eg e n e r a l c o n c e p to fp o l y n o m i a lm o d e a st h ed i s c u s s i o n sp o i n t e d ，t h eo n eo ft h em a i nr e a s o n s f o rt h es m a l la p p l i c a b l ed o m a i no fc l a s sa l g o r i t h m sa r et h es t a b l ec o n s t r a i n ta r et o o s t r o n g s e c o n d l y ，a i m i n ga tt h i sp r o b l e mt h ea p p l i c a b l ea r e a sa r eb r o a d e n e dt h r o u g h m o d u l a t i n gt h ep a r a m e t e r t h ea l g o r i t h mi sa d v a n c e do nt h eb a s i so ft h ec o n v e n t i o n a l m e t h o d ，t h e r e b ye f f e c t i v e l ym e n dt h ep r o b l e mw h i c hm a k et h ew h o l eo p t i m i z ep r o b l e m b e c o m ei n f e a s i b l e ，t h ep r o b l e mu s u a l l yi sf o r m e dd u ot os e v e r a lt h es t a b l er e s t r i c t i o n c o n d i t i o ng os t r o n g ，b yb r o a d e n i n gt h er e s t r i c t i o nc o n d i t i o na n dl e a v i n g a d e q u a t e m a r g i n ，u l t i m a t e l yi n f l u e n c et h ec o n t r o l l e re f f e c ts u c ha s t h ea t t r a c t i o na r e a t h e r e s p o n s es p e e d s i m u l t a n e i t y ，t h ea l g o r i t h mw h i c hb a s e do nl m id e s i g nh a v et h e c h a r a c t e r i s t i c so fs m a l l e ro p t i m i z a t i o nc a l c u l a t i o nq u a n t i t ya n d d i s p o s i n gd e f i n i t em o d e l i n d e t e r m i n a c y ，t h e r e f o r et h ea l g o r i t h mc a nb ea p p l i e dt oa c t u a ls y s t e m f i n a l l y ，ag r e a t n u m b e ro fs i m u l a t i o n sa r ep e r f o r m e db a s e do nt h ea n t e n n at r a c ks y s t e mm o d e ls u c ha s n o m i n a ls y s t e ms t a b i l i t y ，p a r a m e t e rt ot h ei n f l u e n c eo fa t t r a c t i o na r e a , r o b u s t n e s s s t a b i l i t ya n ds oo n t h ee x p e r i m e n ts i m u l a t i o nr e s u l tc o m m e n d a b l ya c h i e v eb yt h e a n a l y s i so fa l g o r i t h me x a m p l e k e y w o r d s ：l m l n o n f i n e a rm o d e lp r e d i c t i v ec o n t r o l p o l y n o m i a lm o d e s t a b i l i t y 西安电子科技大学 学位论文独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包括其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 同期：塑q 2 ：! 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业 离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学 校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 本人签名： 导师签名： 日期：逆2 ：三：! 三 第一章绪论 第一章绪论 本章简要介绍了鲁棒控制理论的发展历史及其现状，以及基于线性矩阵不等 式控制研究的发展历史及现状，最后对本论文的主要工作和章节安排作了简要介 绍。 ， 1 1 鲁棒控制理论 任何一个物理系统都不可能用一个数学模型精确表示，在实际工程中，对于 复杂的物理系统的模型，存在以下两个问题：1 描述物理系统的解析模型很难， 甚至不可能精确的刻画，因此为了便于处理，需要简化模型；2 一个模型，无论 多么详细，都不可能是物理系统的一个精确表示。因此，模型存在本质的不确定 性。 鲁棒控制理论是设计一种控制器，使得当系统存在一定程度的参数不确定性 及一定限度的未建模动态时，闭环系统仍能保持稳定，并保持一定的动态性能品 质的控制理论。它是建立在传递函数基础上的经典反馈控制理论及建立在状念空 间描述基础上的现代控制理论。因为被控对象精确的数学模型难以预知，建模方 法的局限性及实际过程自身参数摄动现象的存在，对象数学模型中不可避免地存 在着各种形式的不确定性，因此获得被控对象精确数学模型的难度很大。由此控 制界针对不确定性对系统性能影响的研究产生了鲁棒控制理论，并使其向深层次 化、实用化的方向发展。 1 1 1 鲁棒控制理论发展历史及其现状 鲁棒控制问题的最早研究可以追溯到1 9 2 7 年b l a c k 针对具有摄动的精确系统 的大增益反馈设计思想。由于当时无法知道反馈增益与控制系统稳定性之间的关 系，故基于这设计思想的控制系统往往是动态不稳定的。直至1 9 3 2 年n y q u i s t 提出基于n y q u i s t 曲线的频域稳定性判据之后，才使得反馈增益与控制系统动态 稳定性之间关系明朗化。进而b o d e 于1 9 4 5 年讨论了单输入单输出反馈控制系统 的鲁棒性，提出利用幅值和相位稳定裕量来得到系统能容忍的不确定性范围，并 引入微分灵敏度函数来衡量参数摄动b 的系统性能。 6 0 年代初，c r u z 和p e r k i n s 将单输入单输出系统的灵敏性分析思想推广至多 输入多输出系统，并引入灵敏度比较矩阵来衡量闭环和开环系统性能。这些关于 鲁棒控制的早期研究主要局限于系统不确定性是微小参数摄动的情况，属于灵敏 性分析的范畴，距离工程应用的距离相差较大。事实上，实际系统中的参数是不 能视为不变或仅具有微小摄动的，系统工作条件和环境的变化、建模的简化处理、 降阶近似和非线性系统的线性化等均可描述为相应参数的摄动。有时被控对象可 2 基tl m i 多面体模型的1 f 线性预测控制研究 能存在几个不同的工作状念，当采用同一控制器来控制这种对象时，也可以把由 于不同工作状态所对应参数的差别视为系统参数的摄动等，很显然，这些情况下 的系统参数摄动就不仅仅是微小的摄动了，而有可能在较大范围内变化，从而超 出基于微分灵敏性分析方法所能解决问题的范畴，引起了面向非微小有界摄动不 确定性的现代鲁棒控制理论问题的研究与发展。 从6 0 年代以来，通过结合实际工程问题和数学理论，系统鲁棒控制的研究取 得了令人瞩目的成就，并已逐步形成具有代表性的三个主要研究方面，即：研究 系统传递函数( 矩阵) 的频域方法，研究系统特征多项式族的多项式代数方法和研 究系统状态方程矩阵族的时域( 状态空间) 方法。 不确定线性系统的鲁棒控制理论所研究的方法包括系统的鲁棒稳定性分析和 鲁棒控制器的设计两个方面。在鲁棒稳定性分析方面要研究的是：当系统存在各 种不确定性及外加干扰时，系统性能变化的分析，包括系统的动态性能和稳定性 等；而鲁棒控制器的设计是指采用什么控制结构和何种设计方法可保证系统具有 更强的鲁棒性，以及如何处理系统存在的不确定性和外加干扰的影响。目前一般 将鲁棒控制的研究方法分为两类：一类是以分析系统鲁棒性特别是系统稳定性为 基础的不确定性系统分析和设计；二是以某种性能指标优化为设计依据的控制理 论，诸如力山控制理论，保性能控制理论等川。 鲁棒控制中尚待解决的几个问题及一些新的研究热剧2 j ： 1 非线性系统的鲁棒控制越来越受到控制界的关注。目前，这方面的文章很 多，研究成果也很丰富，非线性系统和微分对策已成为研究非线性鲁棒控制的有 效工具； 2 在理论和算法上标准的h 。控制都已基本成熟，难点在于指标的设定和权函 数的选取，由于无规律可循，主要依靠设计者的经验，所以建立基本经验的专家 系统软件包括确定工程上可用的权函数成为研究的一个热点方向；非标准的巩 控制理论尚未成熟，有很多问题尚待解决；离散系统的h 。控制理论受线性时不变 连续h 。控制发展的影响，对这一理论研究已成为热点；h 。控制算法比较多，且 各有优缺点，有必要进行全面了解h 。控制系统本质结构，研究各个方法之间潜在 的联系，进而提出分析设计h 。控制的更有效的算法； 3 许多鲁棒控制问题均与线性矩阵不等式l m i ( l i n e a rm a r t i xi n e q u a t i o n ) 密切 相关，可将系统的鲁棒问题转化为线性矩阵不等式l m i 来求解，因此，基于l m i 的凸优化问题方法已成为研究的热点之一，以后的发展成果也将会越来越多； 4 发展任何一种控制理论的最终目的都是为了实际运用。随着鲁棒控制理论 向着工程方面的发展，利用它来控制化工、电力、冶金等工业过程中广泛存在的 时滞问题引起了控制界的关注，时滞系统的鲁棒控制成为了又一新的研究热点。 同时，关于鲁棒控制理论应用于航空航天及航海等领域是极富挑战性的课题。 第一章绪论 3 1 1 2h 。鲁棒控制理论发展与应用 h 。控制理论是指在h 。空问，用h 。范数作为目标函数的变量进行优化设计。 在h 。控制理论中，h 。范数是指在右半复平面上解析的有理函数阵的最大奇异值， 它的物理意义就是系统获得的最大增益。可见，如果使系统干扰误差的传递函数 的h 。范数最少，那么具有有限功率谱的干扰对系统误差的影响将会降到最低限 度，这就是h 。最优控制的基本思想。 在控制界中，以加拿大学者h i e s 和美国学者d o y l e 等人发表的两篇著名论文 为标志，将h 。鲁棒控制理论的发展过程分为两个时期。称前一时期的理论为经典 h 。鲁棒控制理论，后一时期的理论为状态空间h 。鲁棒控制理论。从1 9 8 8 年d o y l e 等人发表著名的d g k f 论文【3 】至今，h 。鲁棒控制理论己经发展成熟，逐步走向工 程应用。 h 。控制理论的发展过程可分为四个阶段。 第一阶段：准备阶段( 1 9 6 5 左右至1 9 8 0 年) 在六七十年代，为近代控制理论向严谨化、数学化发展的鼎盛时期，以 r o s e n b r o c k 、m a c f a r l a n e 、p o s t l e t 、a i t e 等人为代表的英国学者一直主张完善和扩 展经典的基于频域特性的设计理论，以改变控制理论过于数学化而脱离实际应用 的现象【4 1 。实际的需要和广大学者的努力，以及泛函分析和算子理论等的完善， 为h 。鲁棒控制理论的提出做好了准备。 第二阶段：诞生阶段( 1 9 8 1 年至1 9 8 7 年) 1 9 8 1 年，加拿大著名学者在其论文中引入h 。范数作为目标函数，对系统进 行优化设计，标志着h 。鲁棒控制理论的诞生。 第三阶段：发展完善阶段( 1 9 8 8 年至1 9 9 5 年) 1 9 8 8 年，d o v l e 等人在全美控制年会上发表的d g k f 论文，首先提出了简化 的状态空间控制器求解公式，仅需解两个r i c c a t i 方程便可求得h 。优化控制器的 解，其阶次等于广义对象( 被控对象和加权函数) 的阶次p j 。d o y l e 、g l o v e r 和 k h a r g o n e k a r 等人进一步给出了更简单的控制器求解的方法，提出状态反馈h 。控 制问题可通过求解一个代数r i c c a t i 方程来获得1 6 】。 第四阶段：成熟应用阶段( 1 9 9 6 年至今) z h o u 等人的专著( ( r o b u s t a n d o p t i o l c o n t r 0 1 ) ) ，s k o g e s t a d 和p o s t l e t h w a i t e 的专 著l t i v a r i a b l ef e e d b a c kc o n t r 0 1 ) ) ，标志着h 。控制理论己基本成熟。 h 。鲁棒控制理论特点主要有以下几点n 1 经典频域设计理论具有一定的鲁棒性和现代控制理论的状态空间方法，适 用于m i m o ( m u l t ii n p u tm u l t io n p u t ) 系统的两个优点融合在一起，系统地给出了 在频域中进行回路成型的技术手段； 2 给出了h 。鲁棒控制系统的设计方法，并充分考虑了系统不确定性的影响， 4 基tl m i 多面体模刑的1 卜线性预测控制研究 不仅能保证控制系统的鲁棒稳定性，而且能优化某些性能指标； 3 采用状态空l 日j 方法，具有时域方法精确计算和最优化的优点； 4 多种控制问题均可变换为鲁棒控制理论的标准问题，具有一般性，并适用 于实际工程应用。 总之，h 。控制是一种具有很好鲁棒性的设计方法，具有设计思想明确、控制 效果好等优点，尤其适用于模型摄动的多输入多输出( m i m o ) 系统。h 。控制在控 制理论、设计方法及应用等方面，经过多年不断发展和完善，已成为一种具有较 完整体系的鲁棒控制理论。为适应控制系统稳定性、自适应性、智能化及工程化 的更高要求，基于线性矩阵不等式( l m i ) 的h 。控制、非线性h 。控制以及h 。控制 与神经网络和模糊控制结合，成为近年来h 。控制研究的热点。随着h 。控制研究 的深入，其存在的诸如理论复杂、计算量大和参数摄动范围有限等问题将会逐步 得到解决，适用范围也会更广、应用前景会更好。 1 2 基于线性矩阵不等式( l m i ) 控制研究发展历史及现状 在过去的几十年罩，由于线性矩阵不等式l m i 的特性和解法的突破，使其在 控制系统分析和设计方面得到了广泛的重视和应用。研究者发现许多的控制问题 都可以转化为求解l m i 问题，随着l m i 方法在控制理论中的广泛应用，基于 r i c c a t i 方程的h 。控制器设计方法研究已逐步朝着线性矩阵不等式l m i 方向转化， 以期通过求解线性矩阵不等式l m i 使问题得以求解。 2 0 世纪4 0 年代，i j 苏联科学家l u r e p o s t n i k o v 及其他学者将l y a p u n o v 方法 应用于求解控制工程中的一些典型问题，尤其是用于分析系统具有局部非线性时 的稳定性，虽然他们没有形成精确的矩阵不等式，但是所提出的稳定性准则具有 l m i 的雏形。2 0 世纪6 0 年代，p o p o v y a k u b o v i c h 及其他学者利用j 下实引理简化 了l u r e 问题，应用图形准则进行求解，产生了p o p o v 判据，这个判据可以应用于 高阶系统，但不能用于具有多个非线性的系统。7 0 年代，一些学者认识到利用 p r 引理，l m i 问题不仅可以通过图形方式获得求解，而且可以通过求解代数 r i c c a t i 方程获得求解【8 】。1 9 7 1 年一些学者得到求解典型l m i 的方法，如图形以及 l y a p u n o v 函数方法。这些分析方法可以用于求解特殊形式的l m i 问题。在l m i 发展中最有代表性的阶段是1 9 8 4 年k a r m a r k e r 引入解决时域多项式的线性程序算 法；1 9 8 8 年n e s t e r o v 和n e m i r o v s k y 将内点方法直接引入到求解l m i 的凸优化问 题之中，使得求解高维的l m i 成为可能p j 。 现阶段主要理论成果有：采用线性矩阵不等式的方法研究日。控制器存在的 条件，并给出了一种静态条件；将线性矩阵不等式方法引入预测控制，给出了无 穷优化时域的鲁棒预测控制的综合方法；采用正实引理研究控制器的综合问题； 第一章绪论 5 将双线性矩阵不等式问题转化为线性矩阵不等式问题；基于j 下实引理，利用线性 矩阵不等式方法讨论了正实控制问题，给出了输出反馈控制器解的参数化形式； 基于线性矩阵思想对混合输出反馈控制进行论述，指出l m i 对不同的线性控制问 题已成为有效的分析方法；基于线性矩阵不等式的鲁棒负荷预见控制方法，引入 保性能控制思想，给出了最有保性能控制率的设计方法，再通过适当变换，把鲁 棒负荷预见控制器的设计问题归结为求解一个l m i 约束下的凸优化问题；利用 l m i 方法研究有理系统的线性分式表达问题，并对有理系统提出了基于状态反馈 综合的线性矩阵不等式思想等。 最近几年，对l m i 在时滞系统中的研究已经引起了越来越多人的关注，文献 i o - i h 中考虑了当状态不能直接测量时，如何为不确定系统设计观测器；文献【1 2 】 分析了具有时滞的离散系统，利用改进的r i c c a t i 方程给出了控制器存在的充分条 件，得到了时滞系统的h 。稳定界；文献【l3 】中研究了状念和控制同时存在时滞的 线性系统的鲁棒h 。控制问题；文献【1 4 】利用l y a p u n o v 稳定性理论，将输入、输出 矩阵均存在不确定性以及具有时变时滞的鲁棒控制问题转化为不带不确定性的定 常系统的鲁棒控制问题；文献【i5 】分析了状态和控制均含有变时滞的不确定性系 统，采用二次调节器理论，研究线性不确定时滞系统的鲁棒性能问题，其结果是 不依赖于时滞的。文献i l6 - 1 8 】分析了具有时滞线性系统的h 。控制器设计的l m i 方 法，给出了控制器存在的充分条件；s h a k e d 针对具有时滞和不确定参数、具有有 界范数约束的一类系统给出了基于l m i 方法的鲁棒稳定性判据，并给出了控制器 存在的充分条件；文献1 1 9 】中研究了具有状态时滞的线性系统，利用l y a p u n o v 函 数分析了时滞系统的稳定性，并将稳定性问题的求解归结为线性矩阵不等式问题。 近年来，模糊控制系统的稳定性问题已经在非线性稳定性框架下得到广泛的 研究和考虑f 2 0 2 2 】，特别是对于反馈系统的稳定性问题已有研究f 2 3 2 4 】。在针对模糊 模型来设计状态反馈控制器方面也有一些研究成果f 2 5 】，但在保证闭环系统稳定的 条件方面存在一定的保守性，使其应用受到很大的限制。目前，关于l m i 的研究 还处于理论研究阶段，在控制系统的实际应用方面还有许多问题需要解决。 1 3 本论文研究意义及内容安排 经典和现代控制理论在数学模型的自动控制系统领域，发挥了巨大作用，获 得了许多成功的应用，随着科学技术的飞速发展，现代工业系统具有如下特征： 1 复杂性：系统的结构和参数具有高维性、时变性、非线性等特征； 2 不确定性：系统及其外部环境具有许多未知的不确定因素； 3 高标准的性能要求：由于系统复杂，导致了控制目标的多样性和各种目标 之间的矛盾，在设计控制器时需要综合考虑各种因素。 6 基tl m i 多面体模型的1 卜线性预测控制研究 因此对于现有大范围多参数时变、大滞后以及具有严重非线性和强耦合的多 输入、多输出系统，存在着两个方面的困难： 1 要建立精确数学模型非常困难； 2 同时满足系统的性能要求及实际约束较为困难。 非线性预测控制的复杂程度是稳定性条件，鲁棒性条件，以及非凸优化问题 三方面原因共同造成的，这三个因素，相互影响，共同作用，给非线性预测控制 的应用造成了很大的困难。非线性预测控制的实际应用需同时考虑稳定性，鲁棒 性，算法实时性三方面问题。而稳定性约束，鲁棒性约束最后也反映在优化问题 的复杂程度上。因此为非线性预测控制寻找快速的解法至关重要。 本文组织结构为： 第一章简要介绍了鲁棒控制理论的发展历史和应用以及基于线性矩阵不等 式( l m i ) 控制研究发展的历史，并对本文的章节进行安排。 第二章对控制问题中所包含的关于灵敏度极小化，鲁棒镇定性问题，混合灵 敏度优化，跟踪等问题进行论述，分析了控制问题中主要的处理方法；介绍了线 性矩阵不等式( l m i ) 的原理及其发展历史，分析了可转化成线性矩阵不等式( l m i ) 表示的问题及数值解法。 第三章首先阐述了预测控制的基本原理及其产生过程，再研究非线性模型预 测控制的一般描述和方法以及其研究现状，提出研究非线性模型预测控制的重要 性和意义。 第四章针对传统方法中因涉及到固定反馈形式，将优化目标改为原目标函数 的上界等步骤，对原优化问题的最优性造成一定损失，特别是实际应用中，传统 方法存在控制器的吸引区范围小的缺点提出通过调整参数可有效放宽约束条件的 算法，此算法在传统算法的基础上进行改进，其改善了由于某个稳定性约束条件 过强使整个优化问题变得不可行的问题，放宽约束条件，留出裕度来满足衰减率 的要求，最终影响控制器的效果，如吸引区范围，响应速度等。 第五章通过对天线跟踪系统模型的算例分析，首先从名义系统稳定性分析可 知，系统状态的变化较为平稳，控制量波动较小，系统的响应速度比较快。天线 能够在较短时间里跟踪上物体的角度变化，状态和控制量都可以满足约束条件； 其次从参数对吸引区的影响方面进行分析，用3 组参数进行试验，对比出当选用较 小的一组参数可以得到较大的吸引区，得出参数的大小可有效的影响约束关系。 最后从鲁棒稳定性等方面进行仿真，选用参数在一定的范围内进行随机变化，结 果表明即使存在一定的参数变化，算法仍可保持较好的控制效果。 第二章h ，控制基本原理及l m i 理论方法介绍 7 第二章h 控制基本原理及l m i 理论方法介绍 本章首先介绍了h 。控制理论的基本原理，接着提出了线性矩阵不等式l m i 理论方法在控制领域的应用研究。 2 1h 。控制基本原理 控制界将h 。控制理论的发展过程分为两大阶段，分别以z a m e s 和d o y l e 等 发表的两篇著名论文为标志【2 6 御】。前一阶段的理论被称为经典h 。控制理论，后一 阶段的理论被称为状态空间h 。鲁棒控制理论。h 。控制已经形成了完整的控制理 论体系，近年来国内外用线性矩阵不等式l m i 方法求解h 。控制问题取得了一系 列研究成果。尤其是h 。控制理论在离散控制系统、非线性系统中的推广以及在实 际工程系统中的应用都将成为重要的研究方向。 h 。控制即h 。范数控制，所谓范数就是表示函数大小的一个概念。h 。范数的 h ，在称为哈迪( h a r d y ) 空f n j 的复数右半平面上，表示在丌右半平面解析且有界的 复变函数的集合，哈迪是一位数学家的名字【2 引。下标表示对于此函数空间的元 素是由右边的范数所定义的。 稳定并常态( 分母次数分子次数) 的传递函数g ( 5 ) 是哈迪空问的元素，g ( s ) 的h 。范数是由下式定义： l l o l l 。= s u p l g ( j w ) l ( 2 - 1 ) 也就是，蚓i 。相等于有关g ( s ) 增益缈的上限( 也可以解释为单位脉冲响应的 幅频特性之最大值) 。对于多输入多输出系统，其传递函数的h 。范数为： 0gi l 铲s u p s u p 敝加) “1 1 2 ( 2 - 2 ) 解t 其中，c 可以解释为频域上包含时间延迟的向量脉冲信号空间，当输入向量 中各输入的初始时间为任意时刻时，i t c 忆是输出频率响应的最大振幅。 h 。鲁棒控制是针对不确定性结构未知但给定从干扰输入到控制输出的范数 约束的控制问题。 2 1 1h 。标准控制问题 h m 标准控制问题是求一真实的k 使n r m 加州i 。n 叫| f t ( g ，k ) u 。或l l f , c ，k ) 忆，通过 鲁棒稳定性和鲁棒性能的无穷范数优化来得到鲁棒控制器。在实际应用中，许多 8 基丁l m i 多面体模型的竹线性预测控制研究 问题可以归化为所谓的h 。标准控制问题。如图2 1 所示结构的控制系统为h 。标 准问题框图。图中各信号均为向量值信号。 ，锶瓣唯剿 陋4 ， 由图2 1 根据输入信号( w , u ) 和输出信号( z ，y ) 的维数对g 进行分块，可得输 盼， ：1 = ( 黧2 1 2 2 煳) k u “= k ( s ) y ( 2 5 ) 那么，由w 至z 的闭环传递矩阵皿。( s ) 为： 皿。( s ) = g i 。( s ) + g l ：( s ) k ( j ) 【，一g 2 ：( s ) 足( s ) rg 2 。( s ) ( 2 - 6 ) 第一二章h 。控制基本原理及l m i 理论方法介绍 9 其h 。性能指标可表示为9 日：，( s ) k ，。其中，为充分小的证数，表示跟踪精度。 定义2 i ( h 。最优控制问题) 求一正实有理控制器k ，使闭坏系统内稳定且使 传递函数阵日：。( s ) 的h 。范数极小，即： m k i n h ：( s ) 忆= ( 2 - 7 ) 定义2 2 ( h 。次优控制问题) 求一j 下实有理控制器k ，使闭环系统内稳定，且 使： l i 虬( s ) i i 7 ，其中7 y o ( 2 8 ) 显然，如果以上两种控制问题有解，可以通过逐渐减小厂去逼近。即由次 优问题去解决最优控制问题。 如果图2 1 中h 。控制| 口j 题示意图广义对象中的g l ：( s ) 和g 2 。( s ) 在包含无穷远 点在内的虚轴上不含零点则上述h 。控制问题就称为标准h 。控制问题；否则，若 g l ：( s ) 和g 2 。( s ) 在虚轴上有零点存在，此时称上述h 。控制问题为非标准( 或奇异) h 。控制问题。 对h 。次优控制问题，对式( 2 8 ) 作变换，得 肛“s 心- 亿9 ， 而二互。( s ) 等于广义被控对象 盼y - l g i , ( s ，；酬 陋蚴 和所构成的图2 1 所示系统的从w 到z 的闭环传递函数矩阵。因此，不失一般性， 常取7 = 1 。 需要指出的是，h 。最优控制问题难于求解。因此只讨论h 。次优控制问题的 各种解法，并将其称为h 。标准控制问题。工程实际中，许多控制问题都可以归结 为h 。标准控制问题【2 9 1 。 2 1 2h 。控制所包含的各类控制问题 前面许多控制问题均可统一于标准h 。控制问题。需要指出的是在图2 1 中的 广义对象g 并不等同于实际的受控对象。对于不同的设计目标，即使受控对象相 同，广义对象也不一定相同。在本节，将说明灵敏度极小化问题、鲁棒镇定问题、 混合灵敏度优化问题、跟踪问题、模型匹配问题等均可归于标准h 。控制问题，也 就是推出上述各种问题所对应的广义对象g 和控制器k 。 1 灵敏度极小化问题 如图2 2 所示，设计控制器k 使得闭环系统稳定且干扰对期望输出z 的影响 l o 基y - l m i 多面体模型的1 卜线性预测控制研究 最小，这就是灵敏度极小化问题。 图2 2 灵敏厦极小化l 司题 这时w 到z 的传递函数为s 为： s = ( ，+ g k ) 。1( 2 - 1 1 ) 事实上，s 是灵敏度函数，它也是输入，到误差e 的传递函数。 考虑加权函数，则灵敏度极小化问题就是： m i n w s 。(2-12ii ) 田 令= w s ，由 = w ( 1 + g k ) 叫= w w g k ( i + g k ) 叫( 2 - 1 3 ) 可知，相应的广义对象p 为 f w w g 7 尸_ l ，一gi ( 2 - 1 4 ) 2 鲁棒镇定问题【3 9 】 由于很多原因，控制系统总存在不确定性。设受控对象g q ( j ) 存在如下不确 定性： g 。( s ) = g ( s ) + 4 ( s )( 2 1 5 ) 其中g ( s ) 被称为标称系统，摄动a ( s ) r - 。满足 l i a ( j w ) 忆 i l r ( j w ) l ，v w ( 2 16 ) 这里尺( s ) 是一已知函数。 鲁棒镇定问题就是设计控制器k 使其能镇定所有满足式( 2 1 6 ) 1 拘不确定性摄 动的受控对象g q ( j ) ，如图2 3 所示。 对此问题，文摘【3 9 】首次提出用插值方法解决s i s o ( s i n g l ei n p u ts i n g l eo n p u t ) 系统的鲁棒镇定问题，受到人们的重视，这使得插值方法成为h 。控制理论发展初 期的一种重要的方法。 对图2 3 作等价的方块图变换可得图2 4 所示的系统。 第一二章h ，控制基本原理及l m i 理论方法介耋f l l 图2 3 具有加性不确定的系统图2 4 图2 3 的等价系统 由文摘3 9 1 知，k ( j ) 能使g ( j ) + z 1 ( s ) 稳定的充要条件是k ( s ) 镇定标称系统 g ( s ) ，且满足 i l 胀( ，+ 似) 。1 k 1 ( 2 1 7 ) 与式( 2 13 ) 相比较可推得广义对象 f o r p = l ，一gl ( 2 - 1 8 ) 同理，对具有乘性不确定性的受控系统 g 口( j ) = g ( s ) ( ，+ 4 ( s ) )( 2 1 9 ) 其中4 ( s ) 满足式( 2 - 1 6 ) ，可推得不确定系统g 。( s ) 鲁棒镇定的充要条件是k ( s ) 镇定标称系统g ( s ) ，且 i l r g k ( i + g k ) 。1 卜l ( 2 2 0 ) 成立，故此时相应的广义对象为 肚i ；一r g gi 陋2 ， 令t = g k ( i + g k ) 。t 通常被称为补灵敏度函数，这是因为丁和式( 2 1 1 ) 中 的灵敏度函数满足s + 丁= 1 。由于式( 2 - 2 0 ) 可写为l | 朋k 1 ，故通过上面有关灵 敏度极小化和鲁棒镇定问题的讨论，我们知s 与系统抗干扰能力有关，丁与系统 鲁棒稳定性有关，由于两者之和等于，所以提高系统的抗干扰能力与提高鲁棒 稳定性的要求两者有矛盾，对两者进行折中，就是下面的混合灵敏度优化问题。 3 。混合灵敏度优化问题【4 0 】 对图2 5 所示的系统，w n 输出z 。和z ：的传递函数分别为s 和丁，选取 目标函数 矽= 翮 ( 2 - 2 2 ) 混合灵敏度优化问题就是寻找k 使得闭环系统稳定，且使得蚓l 。t l d 、。 1 2 基丁l m i 多面体模型的1 f 线性预测控制研究 z l z 2 图2 5 混合灵敏度优化问题 下面从妒来推得广义对象户。由 矽_ 揣焉m + - 嘲w l g k ( i + g k 一) - 休 + 茹卜田1 可得 尸= 暖朔 ( 2 - 2 3 ) 故求解混 考虑图2 6 所示的跟踪系统，g 和w 已知，c l 和c 2 待定。跟踪问题就是设计 c l 和c 2 使得目标函数： s u p 一堰+ i i p , , l l ：，w 日：，： l j ( 2 - 2 4 ) 极小。 图2 6 跟踪问题 令z = 翻，求龆- 2 4 删、就等价于m i n 忙2 - f 面将讨煳何黼踪问题 归为标准h 。控制问题。令k = bc 2 ，y ： 厂tv t r ，则： 第一二章h ，控制基本原理及l m i 理论方法介绍 1 3 阱 ，一v ， 1 ， 渺一g 0 p l 形o og u = k y 与标准h 。控制问题相比较，广义对象p 为： p = 形一g 0 p i 0 0g ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 将鲁棒跟踪问题归为标准h 。控制问题的方法与灵敏度极小化问题、鲁棒镇定 问题、混合灵敏度优化问题的方法不一样。在后面三种方法中通过分析目标传递 函数来获得p 。一般来晚，若控制器k 所含的待定函数阵不止一个，则从选取 标准h 。控制问题的z 、) ，和w 、“来确定j p 更方便，否则通过将化为有关控制 器k 的现行分时变换来确定尸较为方便。 5 模型匹配问题 如图2 7 所示，模型匹配问题就是选取q r h 。，使得t 2 q t 3 能逼近正，这里 r h 。是所有有利稳定的矩阵集合。在此问题中正r h 。( 江1 , 2 ，3 ) 。 如果衡量正q 正逼近i 的程度。选择测试信号weh ：且州i ： l ，使得：极 大的值极小，根据日。范数的定义可得： m i n l l v , 一正q 五k ( 2 - 2 8 ) 图2 7 模型匹配i 司题 模型匹配问题是标准h 。控制问题中一个重要问题，它将闭环系统内部稳定性 转化为q r h 。，这对研究h 。控制系统地稳定性更为方便。这时广义对象 尸_ 匮乙i 陋2 9 ， 值得指出的是，任一标准玑控制问题均可转化为一个模型匹配问题。 6 h 。控制的稳定性 稳定性是控制系统分析和设计中的最重要问题之一。在标准也控制问题中， 1 4 基丁l m i 多面体模型的1 卜线性预测控制研究 控制器k ( s ) 必须稳定闭环系统。本节将讨论什么样的广义对象会存在使闭环系统 稳定的k ( s ) ，如何设计k ( s ) 。 下面将从时域和频域两方面讨论h 。控制系统的稳定性。 定义2 3h 。控制系统闭环稳定是指【w t v 。tv ：t r 到【z t g t j ，t 】r 的9 个传 递函数都稳定。 l ，一舅2 j0 i 【0 一只2 ( 2 - 3 0 ) 充分条件是只：( ) = 0 。所以以后遇到该类问题时可以直接设置：( ) = 0 。由式( 2 - 3 0 ) | = q 1 筹2 16 1 琴嚣司小引， f 膏= 彳x + 蜀w + b 2 材 k 蛐：意出 q 硼 1，j w u 吃 -。l1，j o o ，0 ，0 日0 b 。，。，。l i i r_，j z y 1j o k ，o一， 第二章h 。控制基本原理及l m i 理论方法介纠 1 5 t h a ( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 可得关于x tx k t 7