漫谈数学的基本思想_史宁中.pdf

中国大学教学 2011 年第 7 期 9 史宁中，东北师范大学校长、教授，第五届高等学校教学名师奖获得者。 漫谈数学的基本思想 史宁中 史宁中 一、应当把握数学思想 从事数学教学工作的教师应当把握数学思想，有两 个理由。首先，在现实的大学教育中，普遍开设了数学 文化的课程，这是非常重要的，而数学思想是数学文化 的核心。梁漱溟在东西文化及其哲学的书中区别了 文化和文明：文化是那个时代人们生活的样子，文明是 那个时代人们创造的东西。据此或许可以说，文化是生 活的形态表现，文明是生活的物质表现。那么，数学文 化就是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历 史、数学思想。其中思想是本质的，没有思想就没有文 化。 其次，是为了培养创新性人才。在修改义务教育 阶段数学课程标准的过程中，把传统的“双基”扩充 为“四基”，即在基础知识和基本技能的基础上加上了 基本思想和基本活动经验。基本活动经验的重要性是不 言而喻的， 因为数学的结果是 “看” 出来的， 而不是 “证” 出来的，这就依赖于直观判断。正如希尔伯特在几何 基础第一版的扉页引用康德的话：人类的一切知识都 是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。几乎 所有的大数学家都强调直观的重要性，数学直观的养成 不仅依赖数学知识，更依赖思考问题的方法，依赖思维 经验的积累。那么，数学思想是什么呢？ 二、数学思想是什么 人们通常所说的等量替换、图形结合、递归法等， 只是数学思想方法而不是数学思想。基本数学思想不应 当是个案的，而必须是一般的。这大概需要满足两个条 件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那 些思想。二是学习过数学的人所具有的思维特征。这些 特征表现在日常的生活之中。这就可以归纳为三种基本 思想，即抽象、推理和模型。通过抽象，人们把外部世 界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的 对象，其思维特征是抽象能力强；通过推理，人们得到 数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展，其思维 特征是逻辑能力强；通过模型，人们创造出具有表现力 的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特 征是应用能力强。 三、什么是抽象 对于数学，抽象主要包括两方面的内容：数量与数 量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。其中关系是重 要的，正如亚里士多德所说：数学家用抽象的方法对事 物进行研究，去掉感性的东西剩下的只有数量和关系； 对于数学研究而言，线、角或者其他的量，不是作为存 在而是作为关系。 通过抽象得到数学的基本概念， 这些基本概念包括： 数学研究对象的定义、刻画对象之间关系的术语和符号 以及刻画对象之间关系的运算方法。这种抽象是一种从 感性具体上升到理性具体的思维过程，这样的抽象还只 是第一次抽象。在此基础上，还能凭借想象和类比进行 第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源 于现实的数学概念和运算方法，比如实数和高维空间的 概念，比如极限和四元数的运算。第二次抽象是此理性 具体扩充到彼理性具体的思维过程，在这个意义上，数 学并非仅仅研究那些直接来源于现实生活的东西。 数量与数量关系的抽象。数学把数量抽象为数，经 过长期的实践，形成了自然数，并且用十个符号和位数 表示。数量关系的本质是多与少，把这种关系抽象到数 学内部就是数的大小，后来演变为一般的序关系。由大 小关系派生出自然数的加法，逆运算产生了减法、简便 运算产生了乘法、乘法逆运算产生了除法。数的运算本 质是四则运算，都是基于加法的，这也是计算机的运算 原理。通过对运算性质的分析，抽象出运算法则；通过 对运算结果的分析，抽象出数的集合。 数学还有一种运算，就是极限运算，这涉及数学的 第二次抽象， 起因于牛顿、 莱布尼茨于 1684 年左右创立 的微积分。微积分的运算基础是极限，为了合理解释极 限，特别是合理解释一个变量趋于一个给定常量，1821 年柯西给出了 语言的描述。这也开始了现代数学的 特征：研究对象的符号化、证明过程的形式化、逻辑推 10 理的公理化。 数学的第二次抽象就是为这些特征服务的。 为了很好地描述极限过程，需要解决实数的连续性 问题；为了很好地定义实数，需要重新定义有理数。这 样，小数形式的有理数就出现了，这已经完全背离分数 形式有理数的初衷：部分与整体的关系，线段的比例关 系。1872 年，从小数形式的有理数出发，康托尔用基本 序列的方法定义实数，解决了实数的运算问题；戴德金 用分割的方法定义实数，解决了实数的连续性问题。在 此基础上， 1889 年佩亚诺给出算术公理体系， 1908 年策 梅洛给出集合论公理体系，建立了现代数学的基础。 图形与图形关系的抽象。欧几里得最初抽象出点、 线、面这些几何学的研究对象是有物理属性的，比如， 点是没有部分的那种东西。凡是具体的就必然会出现悖 论，比如，如何解释两条直线相交必然交于一点？两条 直线怎么能交到没有部分的那种东西上？随着几何学研 究的深入，特别是非欧几何学的出现，人们需要重新审 视传统的欧几里得几何学。 1898 年，希尔伯特重新定义了点、线、面：用大写 字母 A 表示点，用小写字母 a 表示线，用希腊字母 表 示面，这完全是符号化的定义，然后给出了五组公理， 实现了几何研究的公理体系。这些公理体系的建立，完 成了数学的第二次抽象。至少在形式上，数学的研究已 经脱离了现实，正如希尔伯特所说：无论称它们为点、 线、面，还是称它们为桌子、椅子、啤酒瓶，最终得到 的结论都是一样的。 四、什么是推理 人们通常认为思维形式有三种，即形象思维、逻辑 思维和辩证思维，数学主要依赖的是逻辑思维。逻辑思 维的集中表现是逻辑推理，人们通过推理，能够深刻地 理解数学研究对象之间的逻辑关系，并且可以用抽象了 的术语和符号清晰地描述这种关系。因此，人们通过推 理形成各种命题、 定理和运算法则， 促进了数学的发展。 随着数学研究的不断深入，根据研究问题的不同数学逐 渐形成各个分支，甚至形成各种流派。既便如此，因为 数学研究问题的出发点是一致的，逻辑推理规则也是一 致的，因此，至少到现在的研究结果表明，数学的整体 一致性是不可动摇的。也就是说，数学的各个分支所研 究的问题似乎是风马牛不相及的，但是，数学各个分支 得到的结果之间却是相互协调的。为此，人们不能不为 数学的这种整体一致性感到惊叹：数学似乎蕴含着类似 真理那样的合理性。 所谓推理，是指从一个命题判断到另一个命题判断 的思维过程，其中命题是指可供是否判断的语句；所谓 有逻辑的推理，是指所涉及的命题内涵之间具有某种传 递性。在本质上，只存在两种形式的逻辑推理，一种是 归纳推理，一种是演绎推理。 归纳推理。归纳推理是命题内涵由小到大的推理， 是一种从特殊到一般的推理。因此，通过归纳推理得到 的结论是或然的。归纳推理包括归纳法、类比法、简单 枚举法、数据分析等等。人们借助归纳推理，从经验过 的东西出发推断未曾经验过的东西，这便是上面所说的 “看”出数学结果，看出的数学结果不一定是正确的，但 指引了数学研究的方向。 演绎推理。演绎推理是命题内涵由大到小的推理， 是一种从一般到特殊的推理。因此，通过演绎推理得到 的结论是必然的。演绎推理包括三段论、反证法、数学 归纳法、算法逻辑等。人们借助演绎推理，按照假设前 提和规定的法则验证那些通过推断得到的结论，这便是 数学的“证明”，通过证明得到的结论是正确的，但不 能使命题的内涵得到扩张。 数学的结论之所以具有类似真理那样的合理性，或 者说数学具有严谨性，正是因为数学的整个推理过程严 格地遵循了这两种形式的推理。 我们不可能把抽象和推理截然分开：抽象的过程、 特别是第二次抽象的过程要依赖推理；而两种形式的推 理、特别是归纳推理的过程要依赖抽象。 五、抽象的存在 关于抽象了的东西是如何存在的，这是从古至今争 论的话题，这个争论是从古希腊学者柏拉图和亚里士多 德开始。或许正是因为有了这个争论才导致了数学的严 谨性，因此，只有很好地理解这个问题，才能更好地把 握数学的思想。 柏拉图认为人的经验是不可靠的，经验可能随着时 间的改变而改变， 也可能随着场合的改变而改变。 因此， 所有基于经验的概念都是不可靠的，也是不可能的。数 学的概念不应当是经验意义上的存在，而应当是一种永 恒的存在。柏拉图把这种永恒的存在称为理念，并且认 为只有理念才是真正的存在。 因此， 数学是一种 “发现” ， 即发现了那些 “实际” 存在了的东西。 这便是 “唯实论” 。 亚里士多德的想法正好相反。一般概念是对许多具 体存在的事物的共性抽象得到的，所以一般概念不可能 是真正的存在，一般概念表现于特殊事物，每个具体存 在都是一般概念的特例。因此，数学的研究对象、以及 表述研究对象之间关系术语都是抽象出来的，在这个意 义上，数学只能是一种“发明”。这便是“唯名论”。 事实上，抽象了的东西不是具体的存在，而是一种 11 理念的存在，或者说，是一种抽象的存在。这便是周 易系辞中“形而上者谓之道，形而下者谓之器”所 说的“形”。比如，看到足球、乒乓球，在头脑中形成 圆的概念，这个概念就是一种抽象的存在，这种存在已 经脱离了具体的足球和乒乓球。借助这种抽象的概念， 可以在黑板上画出圆，甚至还可以定义圆，可以研究圆 的性质。这种抽象的存在构成了数学研究的基础，数学 研究的是普遍存在的东西， 而不是某个具体存在的东西。 正是由于这种普遍性，数学才可以得到广泛的应用。数 学就是研究那些抽象了的存在的东西。 但是，通过上面的讨论可以看到，即便数学的第二 次抽象在形式上是美妙的，但其功能至多是很好地解释 了第一次抽象得到的那些结果，因此，在本质上无重大 发明可言。而数学的第一次抽象是来源于经验的，抽象 的对象是现实世界，而只有直接从现实世界中抽象出来 的那些问题，才是朝气蓬勃的，才可能具有不断发展的 生命力。正如冯诺伊曼所说：数学思想来源于经验， 我想这一点是比较接近真理的 数学思想一旦被构 思出来，这门学科就开始经历它本身所特有的生命。事 实上，认为数学是一门创造性的、受审美因素支配的学 科，比认为数学是一门别的、特别是经验的学科要更确 切一些。换句话说，在距离经验本源很远的地方，或者 在多次“抽象的”近亲繁殖之后，一门数学学科就有退 化的危险。 那么，数学的那些概念、原理和思维方法应当如何 与现实世界联系呢？合理的思维过程具有理性加工的功 能，而现实世界的那些东西一旦经过理性加工，不仅具 有了一般性并且具有了真实性。 六、什么是模型 数学模型与通常所说的数学应用是有所区别的。数 学应用涉及的范围相当宽泛，可以泛指应用数学解决实 际问题的所有事情。虽然数学模型也属于数学应用的范 畴，但更侧重于用数学的概念、原理和思维方法描述现 实世界中的那些规律性的东西。 数学模型是指用数学的语言描述现实世界所依赖的 思想。数学模型使数学走出数学的世界，是构建数学与 现实世界的桥梁。通俗地说，数学模型是借用数学的语 言讲述现实世界的故事。 数学模型的出发点不仅是数学，还包括现实世界中 的那些将要讲述的东西。就像建筑桥梁一样，在建筑之 前必须清楚要把桥梁建筑在哪里。并且，研究手法也不 是单向的，需要从数学和现实这两个出发点开始，规划 研究路径、构建描述用语、验证研究结果、解释结果含 义，从而得到与现实世界相容的、可以描述现实世界的 结论。 在现实世界中， 放之四海而皆准的东西是不存在的， 数学模型必然有其适用范围，这个适用范围通常表现于 模型的假设前提、 模型的初始值、 模型参数的某些限制。 在这个意义上，所有的数学表达，比如函数、方程、公 式等，本身都不是数学模型，而是描述现实世界的数学 语言。 因为数学模型具有数学和现实这两个出发点，数学 模型就不完全属于数学。大多数应用性很强的数学模型 的命名，都依赖于所描述的学科背景。比如，在生物学 中：种群增长模型，基因复制模型等；在医药学中：专 家诊断模型，疾病靶向模型等；在气象学中：大气环流 模型，中长期预报模型等；在地质学中：板块构造模型， 地下水模型等；在经济学中：股票衍生模型，组合投资 模型等；在管理学中：投入产出模型，人力资源模型等； 在社会学中：人口发展模型，信息传播模型等。在物理 学和化学中，各类数学模型更是百花齐放。 数学模型的价值取向往往不是数学本身， 而是对描述 学科所起的作用。 比如， 那些获得诺贝尔经济学奖的数学 模型， 人们关注的并不是模型的数学价值， 而是实际应用 价值。 但是， 数学家们在构建数学模型和实际应用的过程 中，必然会从数学的角度汲取“创造数学”的灵感，促进 数学自身的发展，就像冯诺伊曼所说过的那样。