理学第一章典型例题ppt课件

数学物理方法,数学是科学的大门和钥匙，忽视数学必将伤害所有的知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。（英）R.培根,1,教材及指导书,一、教材：梁昆淼编，数学物理方法，第四版，高等教育出版社，2010年1月,二、主要的参考书：吴崇试编著，数学物理方法，第二版，北京大学出版社，2003年12月,成绩测定：作业30%上课出席参与10%考试60%联系方式：zyx,内容：复变函数论数学物理方程,2,主要内容:1复变函数2复变函数的积分3幂级数展开4留数定理5傅立叶变换6拉普拉斯变换,第一篇复变函数论,参考书：LarsV.Ahlfors著，赵志勇等译，复分析机械工业出版社，2005。,3,第一章典型例题,4,例1求出的值.,解,注：本例关键在于点在第二象限。Arg(z)=(2k+1),5,解,例2试求函数值及其主值:,令得主值:,6,例3证明,证,7,实部与实部对应相等,虚部与虚部对应相等,命题得证.,8,例4,证,.,0,),0,(,),(,限不存在,时的极,当,证明函数,=,z,z,z,z,z,f,根据定理一可知,9,例求以及它们相应的主值.,解因为,所以它的主值就是ln2.(k为整数),所以它的主值是ln(-1)=i.在实变函数中,负数无对数,此例说明在复数范围内不再成立.而且正实数的对数也是无穷多值的.,10,例6研究函数f(z)=z2,g(z)=x+2yi和h(z)=|z|2的解析性.解由解析函数的定义可知,f(z)=z2在复平面内是解析的,而g(z)=x+2yi却处处不解析.下面研究h(z)=|z|2的解析性.由于,易见,如果z0=0,则当z0时,上式的极限是零.如果z00,令z0+z沿直线y-y0=k(x-x0)趋于z0,由于k的任意性,11,所以,当x0时,比值,的极限不存在.因此,h(z)=|z|2仅在z=0处可导,而在其他点都不可导.由定义,它在复平面内处处不解析.,不趋于一个确定的值.,12,例7研究函数的解析性.,解因为w在复平面内除点z=0外处处可导,且,所以在除z=0外的复平面内,函数,处处解析,而z=0是它的奇点.,13,例8设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2).问常数a,b,c,d取何值时,f(z)在复平面内处处解析?解由于ux=2x+ay,uy=ax+2by,vx=2cx+dy,vy=dx+2y从而要使ux=vy,uy=-vx,只需2x+ay=dx+2y,2cx+dy=-ax-2by.因此,当a=2,b=-1,c=-1,d=2时,此函数在复平面内处处解析,这时f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z2,14,例9如果f(z)在区域B处处为零,则f(z)在B内为一常数.证因为,所以u=常数,v=常数,因而f(z)在B内是常数.,15,证,16,17,例11函数在何处可导，何处解析.,解,故仅在直线上可导.,故在复平面上处处不解析.,18,例12设为解析函数，求的值.,解设,故,由于解析，所以,即,故,19,例13讨论函数在原点的可导性.,故在原点不可导.,解,当沿正虚轴趋于0时，有,20,设为平面上任意一定点,当点沿直线趋于时,有,解,例14研究的可导性.,当点沿直线趋于时,有,21,例15,证,22,23,例16,解,24,例17,证,根据隐函数求导法则,25,根据柯西黎曼方程得,26,例18,证,27,28,例19,解,根据调和函数的定义可得,29,所求解析函数为,30,用不定积分法求解例1中的解析函数,例20,解,31,例21,解,用不定积分法求解例2中的解析函数,32,33,例22,解,两边同时求导数,所以上面两式分别相加减可得,34,35,例23,解,是否可导？,问,yi,x,z,f,2,),(,+,=,36,37,例24,解,满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴的直线,不是区域.,