（基础数学专业论文）heegaard分解的关系矩阵.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 h e e g a m d 分解是三维流形理论中重要的研究内容三维流形的中心问题是对三维流形 进行分类，而分类中重要的一步是要列举出所有的三维流形因为任何一个紧致可定向的连 通的三维流形都可以分解成两个压缩体的并，即任意紧致可定向的连通的三维流形都存在 h e e g a a r d 分解，所以h e e g a a r d 分解给出了一种可以描述出所有三维流形的方法，对三维流 形的研究具有普遍意义和重要价值 关系矩阵a 包含了一维同调群日1 ( m ) 必要的信息。同时能在一定程度上体现流形m 的信息a 的行列式由h e e g a a r d 分解决定，与两个柄体上的极小完备圆片系统的选择无 关 本文通过对闭三维流形h e e g a a r d 分解m = h lu 愿的同调群的关系矩阵的分析，先 后给出了流形的h e e g a a r d 分解可约时，关系矩阵所具有的形式，及h e e g a a r d 分解可以稳 定化时，关系矩阵所具有的形式，从关系矩阵的角度给出可约h e e g a a r d 分解及可以稳定化 的h e e g 蹦r d 分解的必要条件：当关系矩阵不具有某种形式的时候，一定是不可约的，或者 是不可以稳定化的 关键词：h e e g a a r d 分解；稳定化；可约h e e g a a r d 分解；关系矩阵 i 大连理工大学硕士学位论文 t h er e l a t i o nm a t r i x so fh e e g a a r ds p l i t t i n g s a b s t r a c t h e e g a a x ds p l i t t i n gi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n ti s s u e so f3 - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d s t h e c e n t r a lp r o b l e mo f3 - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d si st h ec l a s s i f i c a t i o no f3 - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d ，a n d t h em o s ti m o p o r t a n ts t e pi se n u m e r a t i n ga l lt h em a n i f o l d s b e c a u s ee v e r yc o m p a c t ，c o n n e c t ， o r i e n t a b l e3 - m a n i f o l dc a nb ed e c o m p o s e da st h eu n i o no ft w oc o m p r e s s i o nb o d y s ，a sm u c h a st os a yt h a te v e r yc o m p a c t ，c o n n e c t ，o r i e n t a b l e3 - m a n i f o l da l l o w sah e e g a a r ds p l i t t i n g h e e g a a r ds p l i t t i n gp r o v i d e sam e t h o dw h i c hc a 2 1b eu s e dt od e p i c ta l lt h em a n i f o l d s s oi tc a l l b r i n gu n i v e r s a ls i g n i f i c a n c e sa n di m p o r t a n tv a l u e st ot h er e s e a r c ho f3 - d i m e n s i o n a lm a n i f o l d s i ft h er e l a t i o nm a t r i x so ft h eh e e g a a r ds p l i t t i n gd on o tm e e tt h ef o r m st h a tw ed i s c u s s e d ，w e c a na s s e r tt h a tt h eh e e g a a r ds p l i t t i n gi sn o tr e d u c i b l eo rs t a b i l i z e d t h em a t r i xae n c o d e sa l lo ft h ei n f o r m a t i o nn e c e s s a r yt ot h ef i r s th o m o l o g yg r o u p 1 ( m ) a n di t c a l le m b o d ys o m ei n f o r m a t i o no ft h em a n i f o l d st oac e r t a i ne x t e n t t h e d e t e r m i n a n to fai sd e t e r m i n e db yt h eh e e g a a r ds p l i t t i n g ，i n d e p e n d e n to ft h es y s t e m so f d i s k si nt h eh a n d l e b o d y s i nt h i sc h a p t e rw ea n a l y s et h er e l a t i o nm a t r i xo ft h ec l o s e d3 - 击m e n s i o n a lm a n i f o l d m = 4 1t _ j r 飓，a n dw eg i v eo u tt h ef o r m so ft h er e l a t i o nm a t r i xw h e nt h eh e e g a a r ds p l i t t i n gi s r e d u c i b l ea n ds t a b i l i z e da n dp r o v i d en e c e s s a r yc o n d i t i o n sa b o u tr e d u c i b l eh e e g a a r ds p l i t t i n g a n ds t a b i l i z e dh e e g a a r ds p l i t t i n g k e yw o r d s ：h e e g a m ：ds p l i t t i n g ；s t a b i l i z a t i o n ；r e d u c i b l eh e e g a a r ds p l i t t i n g ；r e l a t i o nm a t r i x ； i i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所 取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外，本论文不包 含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请学位或其他用途 使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明 确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题 作者签名：日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间论文 工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有权保留论文 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制手 段保存和汇编本学位论文。 学位论文题 作者签名： 日 导师张墨兆 魄业年月日 3 1 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 关于三维流形研究现状 以低维拓扑为研究对象的拓扑学最早可以追溯到十八世纪末的p o i n c a r 舌时期，但只在 近几十年才有了飞速发展，成为拓扑学中一个十分活跃的分支三维流形理论可归属于几何 拓扑或者说是低维拓扑这一分支自2 0 世纪7 0 年代t h u r s t o n 提出著名的几何化猜想， 三维流形理论成为数学中蓬勃发展的生长点之一，取得了一系列喜人的成果分类问题是低 维拓扑学的个十分重要的问题，二维流形的分类问题早已解决，三维情形还不知道能否解 决，四维以上则是不可解的事实上，任何一个有限显示群都能实现为某个四维闭流形的基 本群如果我们能够对四维流形进行分类，那么我们当然就能对有限表现群进行分类，而这 是不可能的：群论学家们已经证明了这种群的区分是”不可解”问题，也就是说，不存在 一种能够在t a r i n g 机上实现的算法来判断任意两个给定的有限表现群是否同构所以在流 形的分类问题上，高维比低维更困难，但我们在高维只能满足于部分的解答，只是在低维才 期望一个完全的解答除此之外，由于我们生活的世界是一个三维立体的世界，我们熟悉的 几何对象也往往都是三维或三维以下的，可以说三维流形是拓扑学研究对象中最具有几何直 观性的但是由于它的维数和余维数较低，就使得在高维流形研究中很多行之有效的方法对 它们难有作用，从而对三维流形的研究相对较困难，所使用的方法与获得的结果也有别于其 它拓扑学分支最典型的就是对三维流形的p o i n c a r d 猜想的研究这一猜想是拓扑学的基 本问题，说的是任一1 1 维同伦球面必定同胚于一佗维球面( n 3 ) 这一猜想最早是由拓扑 学的创立者p o i n c a r d 在1 0 0 多年前提出的，它首先只是针对三维流形在它提出后的一个 世纪内，无数数学家向它发起挑战，广义的p o i n c a r d 猜想在4 ) 的情况在上世纪6 0 与 8 0 年代都已经得到解决，而唯独三维流形的情形却显得异常的困难与复杂，直到最近才由 俄罗斯数学家佩雷尔曼甩几何分析的方法解决 1 2 关于h e e g a a r d 分解研究现状 1 8 9 8 年，丹麦数学家h e e g a a r d 在文献 1 】中注意到每个连通可定向的闭孓流形都可以 表示为两个同亏格的柄体沿着其边界的并，这就是3 流形的h e e g a a x d 分解h e e g a a r d 分 解的提出，使我们获得了研究三维流形的一种有效的方法，也为三维流形的研究开辟了一个 l 新的方向1 9 6 8 年，h a k e n 将h e e g a 息r d 分解的概念推广到带边界的三维流形上，形成了 广义的h e e g a a r d 分解的概念现在我们已经知道，任何一个可定向的连通的三维流形都可 以分解成两个压缩体的并，而这两个压缩体的公共界面便是该流形的一个h e e g a a r d 分解曲 面，这也就是所谓的广义的h e e g a a r d 分解广义的h e e g a a r d 分解给出了一种可以描述出 所有三维流形的方法，使对更大范围的流形进行研究成为可能，对三维流形的研究具有普遍 意义和重要价值在很多文献 2 - 7 】中也已经对此展开了大量的研究，得到了大量的结果 任意3 _ 流形都有h e e g a a r d 分解，但一个h e e g a a x d 分解本身到底能多大程度决定它 所确定的3 流形的拓扑性质和几何结构却是一个十分复杂的问题因此稳定化理论便成为 了是h e e g a a r d 分解理论的另一个重要组成部分，它与h e e g a a r d 分解的唯一性问题密切相 关。众所周知，对同一个三维流形而言，不同亏格的h e e g a a r d 分解是不合痕的，同一亏格 的h e e g a a r d 分解可能合痕，也可能不合痕这样就增加了h e e g a a r d 分解的复杂性，所以 人们期望存在这样的三维流形s 它的任意亏格的h e e g a a r d 分解在合痕的意义下是唯一的 1 9 6 8 年，w 猷d h a u s e n 在文献( 8 i 中证明了妒的亏格为9 的h e e g a a r d 分解是唯一的，即通 过对s 3 的亏格为0 的h e e g a a r d 分解伊= b 1u 岛( 当然，s 3 的亏格为0 的h e e g a a x d 分 解是唯。的) 稳定化夕次而得到，这是w 出d h a u s e n 得到的最早的关于稳定化的结果，它激 发了人们对稳定化理论的研究由于每个紧3 维流形都有三角剖分，这样每个紧3 维流形 都有h e e g a a r d 分解m o i s e 和b i n g 的结果3 - 维流形的任何两个三角剖分都是分段线性等 价，这样就有每个紧致的冬维流形的任何两个h e e g a a r d 分解都有共同的稳定化这一经典 的h e e g a a r d 分锵的稳定等价定理最初的证明比较复杂，雷逢春教授在文献 9 1 中给出了一 简单证明既然紧致的3 - 维流形的任何两个h e e g a a r d 分解都有共同的稳定化这样人们就 提出疑问，究竟要稳定化多少次才能得到共同的稳定化呢? 命题1 1 wu ，y 和u 。y 是紧致乒维流形m 的两个h e e g a a r d 分解，它们的亏格分 别为9 1 、仍，且9 1 1 h e e g a a r d 分解，是风的单顶点的脊，e l ，是他的 边，d = ( d l ，d g 】- 是飓的个极小圆片系统，通过前面的讨论，我们可以得到m 的 基本群的一个表展示w l ( m ) = 引理3 2 1 2 t 设d 7 是d 的带连，则k 和d 7 决定的基本群7 1 ( m ) 的表示是由k ，d 决定 的基本群的表示经过一次t i e t z e 变换例，和若干次t i e t z e 变换一，7 得到的 引理3 3 2 7 设7 是k 的一个边滑动，则k 7 和d 决定的基本群7 r 1 ( m ) 的表示是由k ，d 决定的基本群的表示经过一次t i e t z e 变换侣) 得到的 我们已经知道任意两个脊或两个圆片系统都可以经过一系列的带连或边滑动相关联， 于是综合上面两个引理可以得到下述定理： 定理3 1 f 2 7 j ( ，风，飓) 的基本群的任意两个表示a ，口，满足生成元来自皿，生成关系来 自岛则存在一系列的t i e t z e 变换以，j ，俐，俐，将a 变成b 3 2 m = 既u r 飓的一维同调群 一维同调群与基本群有如下的关系； 引理3 4 1 1 3 1 当复形k 连通时，皿( ) 同构于7 r 1 “k i ) 的交换化， 由引理3 1 已经知道h e e g a a r d 流形m = ( ，日l ，h 2 ) 基本群为7 f 1 ( m ) = 故，我们只要实现q ( m ) 的交换化，便可得到一维同调群皿( m ) 定义3 1 蚓v a ，b g ，形如a b a 一1 b 一1 的元素称为群g 的换位子由g 中所有的换位子生 成的子群称为换位子群 由同调群的定义可以知道，m 中的回路，在日1 ( m ) 中是平凡的，则它是玎1 ( m ) 中的 一系列换位子的乘积实际上，存在从7 r 1 ( m ) 到玩( m ) 上的自然同态妒，而它的核正是 7 r 1 ( m ) 的换位子群嘲由群的同态基本定理可知，风( m ) 同构于i r z ( m ) 与它的换位子群 的商群群g 商掉它的换位子群等价于添加关系a b a -