（基础数学专业论文）cartan型模李超代数w（mnt）的二阶上同调群.pdf

摘要 设f 是代数封闭域，c h a f f = p 2 ，本文决定了f 上有限维 c a r t a n 型单李超代数w ( m ；礼；) 的二阶上同调群h 2 ( w ( m ；n ；) ，f ) 本文的主要结论是： l = 亩l ，是f 上的有限维z 一阶化李超代数 l = 一r 引理3 4 设a ) l = u ( l 一) l 。 b ) l 。是不可约l o 一模 设妒：l 斗工+ 是次数为f 的齐次斜导子，2 q 2 i nt h i s p a p e r ，t h ec o h o m o l o g yg r o u ph 2 ( w ( m ；n ；) ，f ) o ff i n i t ed i m e n s i o n a l m o d u l a rs i m p l el i es u p e r a l g e b r a ( m ；n ；t ) o v e rf i sd e t e r m i n e d ，t h e m a i nr e s u l t sa r ef o l l o w i n g ： 口 l = o 厶i sa s s u m e dt ob eaf i n i t ed i m e n s i o n a lg r a d e dl i es u p e r a l g e b r ao v e rf l e m m a3 4s u p p o s et h a t a ) l = u ( l 一) l 。 b ) l 口i sa ni r r e d u c i b l el o m o d u l e l e t 妒：l 一三+ b e ah o m o g e n e o u ss k e w w h e r e 一2 q 2 为素数l = 亩工。 是f 上的有限维z 一阶化李超代数y 是磊一阶化线性空间，且 v = o 巧是有限维z 一阶化l 一模设hcl o 是一个幂零子代 数l 相对h 的权空间分解为l 5 息三( a ) ，v 2 悬k 盼 1 l 和d e r f ( l ，v ) 的z m a p ( h ，f ) 阶化结构 由hc l o ，我们可找到子集：c ，a jca 使l 。= ol ，n l ( 。) v j = 。叟k n k 口) 进而l 有一个z m a p ( h ，f ) 一阶化结构这里 p to b m a p ( h ，f ) 表示日到f 的映射群 设d e r f ( l ，v ) 表示三到矿的超导子空间，即对z ，y l ，妒 d e r f ( l ，v ) ，满足妒( ) = + ( 一1 ) “8 9 驴d e g 。 i n n f ( l ，v ) 表示内超导子空间，即对z l ，妒i n n f ( l ，v ) 珈v 使妒( z ) = ( 一1 ) 出g 。如叫嚣甜 d e r f ( l ，v ) 从工和y 继承了z m a p ( h ，f ) 一阶化结构，次数 ( i o ，o o ) 的齐次导子是这样给出的： 妒( 厶nl ( 。) ) ck 上t 0n 。+ 。) 注：因非齐次元素可以由齐次元素线性表出，故在本文中若出现 d e g x 则总认为z 是磊一阶化齐次元素并且z 的易一阶化次数为 d e g x 本文将超导子简称为导子文中若不特别说明，导子的次数均指 其z 一阶化次数 2 w 7 ( m ：n ；) 的定义 假设n ，n o 分别为自然数集和非负整数集令m ，ne n ，并且 m 2 , n 2 如果a = ( a h ，。) e n o “令l n l = 堂啦假设u ( m ) 是由生成元素 z 。l n o ” 生成的除幂代数令= ( ，t 。) n m = ( 7 r 1 ，m ) ，其中7 r i = p “一1 ，i = l ，m 令 a ( m ，圭) = o = ( q 1 ，n m ) n o mi 。s 仉，i = 1 ，m ) 2 u ( m ，t ) = 则u ( r n ，t ) 是u ( m ) 的子代数我们记x i = z 6 ，i = 1 ，m ，其中毛 = ( 文一，以。) n o “a ( n ) 是由z 。+ 1 ，生成的外代数，其中 s = m + n n = u ( m ，t ) qa ) ，简记z f n ，其中。u ( m ，) ，f a ( n ) 于是有x o 圆1 = 。，x i 圆1 = x i ，1o q = ，其中n a ( m ，) ， i = 1 ，m ，j = m + l ，s 在q 中下列等式成立 x a x 口：( q ：卢) z 。+ 口，n 卢a ( 仃z ，蓟 z 。z j = x j x o ，q a ( m ，立) ，j = m + 1 ，- - ，s x i z j = 一z j 疵，i ，j = m + 1 ，一，s 其中( 。吉卢)。亟( 啦左反) 令 b k = ( i l ，i k ) im + 1 i l - 0 设妒：l - v 是一个导子，e 是l 的齐次元素，且( a d e ) v 7 = 0 , e p v = 0 ，则e p 。1 妒( e ) v 。，其中 v = u y ；l = o ) 证明 设妒如前所述，则有e 矿妒( e ) = e 矿一砂( e ) = 妒( e 矿) 设。是l 的元素，若e ，则由( a d e ) 矿= 0 ，知e 矿c ( u ( l ) + ) 若e j ，贝4 由p 2 ，知e ，= 0 ，贝0e p e ( u ( 三) + ) ，贝u 。砂( e ，) = 妒( z e p 7 ) = 够( ( 一1 ) 出g 一d e g z e p z ) ) = ( 一1 ) 出g 扩4 出9 z c p 母( ：) = o 则 e 矿- “( e ) v 证毕 下面考虑v = l + 的特殊情况，由条件( a d e ) p = 0 ，可得e 矿l + = 0 。则 ( 厶+ ) = ，l + l ，= 0 ) = ，l + i ，( ) = 0 ) l 一模l + 继承了z i 1 4 a p ( h ，f ) 一阶化结构 ( ) ( ：，。) = ( f l i ( l jnl ( 口) ) = 0 ，对0 卢) ( 2 ，n ) ) ( + ) ( 。，。) = ( 工_ 4 ) ；n ( l 4 ) ( 。) ，l + = o ( l + ) 。 命题3 2 令l + 2 悬( ) ( 口) 是相对于h 的权空间分解，则以下 结论成立： 1 ) a = 一且( l ) ( 卢) 型( l ( 一卢) ) + v 卢a 2 ) a ，= 一a 一，一q 墨i r 5 定义3 3 一个导子妒：l - - 4 l + 被称为斜的，若 妒( z ) 可= 一( 一1 ) 出9 。d e 鲫i p ( 掣) zv 。，y l 我们考虑l + = l ，m = m ( l ) ：= 注意到m 是l 的阶化子代数，进而对k 1 有机c k ，使得l k = 峨+ 0 三n l 女 a 毋。 引理3 4 设a ) l = u ( l 一) - l 。 b ) l q 是不可约工。一模设妒：l _ l l 是次数为f 的齐次斜导 子，一2 q f 一q 一1 如果一g 不含在毋一( 口+ 1 ) 中，则妒= 0 证明v z l o ，yel ；，妒( z ) l ? ，则若i 一f ，妒( z ) ( 口) = 0 ， 而一f 三q + 1 ，则i = 一f ，同样有妒( z ) ( ) = 0 ，即妒( ) = 0 又对 比e l j ，j 0 ，妒( z ) el ；+ f 对v y l ：，i 一j f 贝i 妒( z ) ( 可) = 0 由 j 0 知，一歹一f q + 1 ，则i j f 时，同样有妒( 。) ( 可) = 0 ，因此 妒( 一) = 0 。 下面证明妒( m 一( 叶f ) ) = 0 m 一( 口+ ! ) = l 三t + j = 三q ，l s ， 一( q + z ) 妒( m 一( g + f ) ) 互妒 ，而v x l ，y l j ， 妒 = + ( 一1 ) “8 9 妒d 印。 而妒( l t ) l 42 ，t + f o ，芦，= p 一一1 ，1 i n ，l = f l ，三】，贝0 标准 映射中1 ：日1 ( l l ) 日1 ( k ，上) 是平凡的 证明1 ) 类似4 1 的证明我们考虑一个给定的导子妒：l 五+ 和 模同态妒：u ( 三) + 口，使得砂i l = 妒假定k e r ( a d e 。) ck e r 妒( e 。) ，l 茎 i n ，我f 门先证明妒( s ( n 礼n u ( ) + ( 工) ) ) = 0 设b 粤j 由e 6 u ( ) + 故存在j 1 ，2 ，礼 ，使得一= e j e “， 设z 是l 的一个元素，则y = e b - e j z k e r ( a d e j ) 我们有 妒( s ( e 6 ) ) ( z ) = z p ( s ( e j e 扣勺) ) ( z ) = 妒( ( 一1 ) d 。g e j d e g e s - 。j s ( e 6 一q ) s ( e j ) ) ( z ) = 一( 一1 ) 出9 8 ，“8 9 8 ”。缈( s ( e 6 5 j ) e j ) ( z ) = 一( 一1 ) 出g e j “。9 8 ”。( s ( e 6 勺) 砂( e j ) ) ( z ) = 一妒( e j ) ( e 扣钆x ) = 一砂( e ，) ( y ) = 一妒( e ，) ( 可) 又y k e r ( a d e j ) ck e r 妒( e j ) ，故币( s ( e 6 ) ) ( z ) = 0 ， 因而砂( s ( 。礼礼u ( ) + ( l ) ) ) = 0 下面证明4 1 的( + ) 式： 由p b w 定理u ( k ) 的每一元素可以写成以下形式： “= o ( n ) e 。， a e n a 令面= ，n ( ) e 。，商= 莓n ( n ) e 。，则u = g + g z ，且百a n n u ( k ) + ( l ) a e jn j 、 设u i v i = 0 ，其中u 。u ( - ) + ，口：v 则0 ：曼( 可+ 砭) v i ：曼砺吡+ 曼磁q ：曼砑 l = l t = lz = 1l = l 即eo ( n ) e o 吡= 0 ，而e o 是基，故o ( o ) = 0 ，a j z = l 口 1 0 即面= 0 ，i = 1 ，2 ，m ， m 故砂( s ( t “) ) ( 仇) t ；1 m = 砂( s ( 丽) ) ( ) t = l m = 砂( s ( n ( n ) e 。) ) ( 地) l 尝1a c d = 0 我们定义，l + ，( ) = 0 ，v v v ，( u i ) = 妒( s ( “。) ) ( 地) ，其中u i u ( k ) + ，吼v t = it = i 前面的证明保证了，定义的合理性 设。u ( k ) + ， 则( a f ) ( v i ) = ( 一1 ) 出g 列。9 7 ，( s ( o ) 地) = ( 一1 ) “9 “8 9 7 妒( o ) ( u ：) ( n f ) ( u 。v i ) 2 = l ：( 一1 ) 咖n d e 9 7 ，( 曼s ( 。) u 。) ：( 一1 ) “e ，n d e g ，曼妒( s ( s ( 。) “。) ) ( ) ：( 一1 ) d e g a d e g ，曼妒( ( 一1 ) “e ，。d e ，u t s ( “：) n ) ( 叭) ：( 一1 ) 4 e ，。d e 。7 ( 一1 ) 4 e 。n d e ，uz 曼( s ( u ；) 妒( ) ) ( 仇) ：( 一1 ) 咖n 咖，曼t f i ( o ) ( u ：m ) ：( 一1 ) 岫础g 砂( ) 曼( “。) 即o ，= ( 一1 ) d e g 。d e 9 7 妒( n ) = ( 一1 ) 出9 。8 8 9 ，妒( 凸) ，v a k 即妒( 。) = ( 一1 ) 如9 州8 9 f a ，v a k ，故妒在k 上是内导子，因而 妒定义了k e r 圣l 中的元素， 2 ) 我们先证明k e r ( a d e i ) = e ? 1l ，l is n 由假设( n d e ，) ( e l ) = e ? ”1l ，而p + 1 岳j ， 故由a ) 知e ? ”1 l = 0 ，即e ? - lck e r ( a d e i ) 再证反包含，我们给出三的滤过u ( k ) 一模结构： u ( k ) ( 女) = ，i b l = e b i 定义u ( k ) 的一个标准滤过： 令工= u ( n ) + v ， 贝l = ul ( r ) ，且l ( k ) = k 0 用归纳法证明x k e r ( a d e i ) n 工( k ) ce ? 1 l 若z k e r ( a d e i ) n l 则z = ea j v j ，0 = e0 。e 。吩 若“：= 0 ，则e 。l = l ，若胁0 ，则有e ：j ，c i = e 钆是 基，故d j = 0 ，1 曼j m ，即茁= 0 ，结论成立 现设k 芝1 。容易证明下式成立： ( 十) e ；e 。兰( 一1 ) “。9 8 弛9 8 卜8 ；e “帆“m o d u ( k ) ( 卅p t ) 设x = e0 = ( 口，j ) e o - 是k e r ( a d e i ) n l 的元素，则 t = 10 n “ 0 = c i z 三o ( o ，j ) e | z e “ j = = 1 o r q ，且妒定义了k e r 圣- 中的一个元素，则妒是内导 子 2 ) 若f = r q ，妒是斜的，且定义了一个k e r 蛋l 中的一个元素， 则妒是内导子， 证明 由假设有f ( l + ) f 使妒( z ) = ( 一1 ) 衄州8 9 f x - ，v z l 考虑导子妒l = 妒a d f 。则若妒是斜的，妒l 也是斜的 由妒l ( l 一) = 0 ，d e g ( _ 2 1 = l ，知l ck e r 妒l ，因而k e r 妒1 是l 的 u ( l ) 一子模则1 ) 中妒l ( l 口) = 0 ，2 ) 中妒l ( k ) c ( l + ) ，由妒l 是斜 的知妒1 ( l q ) = 0 即1 ) ，2 ) 都有l 目ck e r 妒l ，再由妒l 是导子得妒1 = 0 引理4 5 设hcl o 是一个幂零子代数，假定l = u ( l 一) - l 。，设 妒是一个次数为( f ，o ) 的斜导子，且定义了k e r 圣l 中的一个元素，则下 列结论成立： 1 ) 若- q 0 ，则 妒1 ( z ) ( 可) = 一( 一1 ) d 8 9 2 出9 9 妒l ( 可) ( z ) = 0 ，v z l q ，y 己一( q + z ) ，即 妒t ( 厶) = 0 1 3 若q + f = 0 ，则妒i ( l 口) c ( l + ) o ，由g na o = 0 知( p l ( l q ) = 0 故工= u ( l 一) l 口ck e r 妒l ，即妒l = 0 ，妒= a d s ，故妒是内导子 5 上同调群h 2 ( ( m ；n ；t ) ，f ) 引理5 1 设妒：( m ；礼；曲- - - + ( m ；n ；t ) + 是一个导子，则存在 ，w 7 ( m ；n ；查) 使妒( z ) = ( - 1 ) 4 8 9 。4 8 9 - f x ，v x w 7 ( m ；礼；立) 一1 证明令l = w ( m ；n ；查) ，k = w ( m ；n ；古) 一1 ，则 d 1 ，d 2 ，d 。 是子代数k 的基 考虑v = w ( m ；n ；) 口，其基为 矿z b 。d 1 ，x 7 r z b 。d 。) 由l 的 单性知l = u ( k ) + v o v ，对a a 皤，令 d o = d ? 1 d ；2 - d ；。，其中。，= 0 或1 ，i = m + 1 ，8 不妨设a 。+ 一a 。中所有为o 的元素为a i a i 。，其中i t i 2 2 证明由【5 1 5 中的结论知，对于李超代数l 日2 ( 厶f ) 同构与三 1 4 到l + 的斜外导子 令l = w ( m ；n ；) ，由l 是单的，知l = u ( l 一) “ 设妒：l l + 是次数为l 的齐次斜导子 a ) f r q = l q 时，此时由4 4 和5 1 ，即知妒是内导子 b ) f = 一q 时， f 毛一勺，i = 1 ，。一，m ，j = 1 ，一，m 。= 嚣) 二2 ：；三2 j i ，? ? s _ ；二。i ，? ，m 【( i ) 一0 ) ，i = m + 1 ，一，s ，j = m + 1 ，一，s 。= r 。r + + b b 。a 邓- g k ) , ，k 。= ：l 髯0 由m ，礼2 ，显见o n 。= 0 ，故由5 1 和4 5 知妒是内导子 c ) 2 q 茎f 茎- q 一1 时，我们先证明，对h 3 l h = m ( l ) h + f z o d j j 2 1g o e i 三0 m o d p ，z = l ，m 1 ) 当1sj m 时，下面式子成立 ( 5 1 ) = 茁。z u l z “2 d j ( 1 ) = 去b ( 一3 ) 。z 。l z “2 d 1( 2 ) = a k ( a j 一1 ) 。x “l z “2 d j( 3 ) 设x c t x 。d j 是三 的一个元素，则h = 1 0 i + l “l 一1 可令。“= z 。，由( 1 ) 知若o z j 0 ，哟 h 一1 ，且p o 一1 贝4z o z 。d ，m ( l ) h 先讨论o j 0 的情况，此时q j 1 ( i ) 若吲一l ，则q = e k + j 勺，其中j ，或n = a j 勺 若是前者，则= i o l | - 1 = h l u | 若“2 ，可令i “2 l = 2 ，若 2 知一3 0 若川22 ，可令l u 2 i = 2 ，若 1 u 1 2 ，且o x j 3 时，由( 2 ) 知z 。z u d 3 m ( l ) h 若吐j 三3 ，贝o l j 一1 0 ，o l j 一5 0 ，有 = i d ，( a ，一1 ) ( q j 一5 ) z q q z u i z 2 d j 三一2 x o j 5 。u i z “2 d j 若= 3 ，则i u i 1 ，可令l u 2 i = 1 ，由上式知茁。z 。d j m ( l ) h 若哟3 ，则由上式知护z 。d j m ( r ) h ( i i ) 若q ，= p t ，一1 ，o l = “+ n ，勺，七j 及o l = 凸。勺的情况在( i ) 中已讨论过，其余情况均有 q 一i 2 ，则由( 2 ) 知护卫。d j m 旺) h ( i i i ) 只剩兰0 的情况 若存在q t 0 ，则当j o j 3 时，由( 3 ) 知z 。z 。d j m ( r ) h 若l q i 2 ，则u l 2 ，可令l u 2 1 = 2 ，由( 3 ) 知。z 。d j m ( r ) h 若v o j 三0 ，j 1 ，一，m ) ，贝0l n 三0 ，故l 。i = 0 ，或l q 2 3 若i q l = 0 ，则l u 4 ，可令j “i 2 ，l 札2 i22 ，由( 1 ) 知z o z 。d ， a i i l ) h 若f o f23 ，由a j 三0 知】= 0 或q j2 3 a ) = 0 日寸，若i “i 1 ，令i “2 i = 1 ，贝4 由( 1 ) 知茁。z 。d j m ( l ) h q ，= 3 时，若1 “1 l ，令1 u l = 1 ，= 勺的情况前面已讨论 过，其余情况由( 1 ) 均知矿z 。d j m ( l ) h 只剩l “l = 0 ，且v 。：三0 的情况，此时 z 。z u d j = z o d j f x 8 d j ，= lv q i = 一o m o d p ，t l ，m ( 2 ) m 十1 曼j 茎s 时 令z o x 。d ，是如中任一元素 当jg u ) 时，可令z 。+ ( j ) = z 。z 。，其中j u 2 1 6 则有 = x a x “d s 若j “) ，可取k m + 1 ，s ，女j ，令 u l = u 一( j ) ，7 2 2 = ( j ) + ( 七) ，则有 = 士z o 茁u d j ( i ) jg u 时 当i u ；3 时，可取l u l i 2 ，i u 2 1 2 ( 5 ) 当i u l = 2 时，l q l 2 ，必存在o 。1 ，可令1 “2 i = 2 ，l u l l = 1 当i u l = 1 时，i o l l 芝3 ，若存在o q 2 ，可令 7 a 2 f = 2 ，l u l i = o ；若 m k a x n k ) 2 q t = 1 ，则i a 一t e ；i 2 ，可令l u ，i = 1 ，1 “2 i = 1 以上情况由( 4 ) 均知z 。z 。d s m ( l ) h j uj = 0 时，4 ，此时l u 2 i = 1 若存在啦0 ，则由 = a 。z 。z u d j 知z 。z “d j m ( l ) h 若v 惦啪邶，2 z 。d j 砉眠；毒 l ，川肘d s ( i i ) j “ 时，l u 2 = 2 i u i 3 时，可令i u i i 2 ，由( 5 ) 知z 。z 。d j m ( l ) h 川= 2 时，则17 2 1 i = 1 ，而l 2 ，故必存在口。l ，由( 5 ) 知 z o z 。d j m ( l ) h i i t i = 1 时， l “l i = 0 ，i q i 3 ，若存在n 。2 ，由( 5 ) 矢口z 。x 。d ， m ( l ) ；若n l r x o t k = n 。= 1 则i o 一c t i c 。 22 则将( 5 ) 中z a “与 z ”1 调换一下也可知上。z 。d j 肘( l ) 因j u ) ，故不存在= 0 的情况 综上，知( 51 ) 式成立 若fs q 一3 ，则( 口+ f ) 3 故 = ：二瓠毪；嚣勰篙譬：嚣0 讣，。) 1 7 。= ( 7 r + 玩一e k ) ，= 1 ，m 一( 7 r + b 。一( ) ) ，k = m + 1 ，- 一，s 显然一q 芷曲一( q + 1 ) ，由引理3 4 知妒= 0 故只剩f - q 一2 ，- q l 的情况 设2 ：a x 。d j l 2 ，贝i n l + j 钍i = 3 肾 n a w + u 。- - 锨6 j , 裂剁精l u ： 一。= ( ”+ b 。一“) ， k = 1 一( 7 r + b n 一( 七) ) ， k - m m + 1 s 故一口仨2 ，而曲2c 2 ，因而q 茌曲2 同理a 。仁l = 机，故由3 5 知妒= 0 练上所述，h 2 ( w ( m ；n ；查) ，f ) 是平凡的，对m ，n 2 参考文献 1 】r o l ff a r n s t e i n e r ，d u a ls p a c ed e r i v a t i o