振动与波习题课.pdf

Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 振动与波的教学要求振动与波的教学要求 1. 掌握谐振动的基本特性及描写谐振动的基本物理量以及它们的物理掌握谐振动的基本特性及描写谐振动的基本物理量以及它们的物理 意义。熟练掌握利用旋转矢量的方法解决谐振动的问题。意义。熟练掌握利用旋转矢量的方法解决谐振动的问题。 2.理解谐振动中的能量转换过程，了解振动能量与振幅的关系。理解谐振动中的能量转换过程，了解振动能量与振幅的关系。 3.了解阻尼振动，受迫振动及共振动现象。了解阻尼振动，受迫振动及共振动现象。 4.熟练掌握同方向同频率谐振动的合成。了解不同频率同方向振动的熟练掌握同方向同频率谐振动的合成。了解不同频率同方向振动的 合成，利用垂直振动的合成求未知信号的频率。合成，利用垂直振动的合成求未知信号的频率。 5.熟练掌握平面简谐波方程及方程中各物理量的意义。掌握波动中能熟练掌握平面简谐波方程及方程中各物理量的意义。掌握波动中能 量的传播和变化，会导出平均能流密度的公式，比较波动能量和振动量的传播和变化，会导出平均能流密度的公式，比较波动能量和振动 能量之间的异同。能量之间的异同。 6.熟练掌握干涉现象及相干波的条件。掌握形成驻波的条件及驻波的熟练掌握干涉现象及相干波的条件。掌握形成驻波的条件及驻波的 波动方程，理解驻波与行波的区别。波动方程，理解驻波与行波的区别。 7.掌握掌握多普勒效应。多普勒效应。 Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 一、基本概念一、基本概念 1 1、振幅：、振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值振动物体离开平衡位置的最大位移的绝对值. . 2 2、周期：、周期：振动物体完成一次完整振动所需要的时间振动物体完成一次完整振动所需要的时间. . 3 3、频率：、频率：单位时间内振动物体完成完整振动的次数单位时间内振动物体完成完整振动的次数. . 4 4、相位：、相位：表示谐振动状态的最重要的物理量表示谐振动状态的最重要的物理量. . 5 5、波长：振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离、波长：振动相位相同的两个相邻波阵面之间的距离 是一个波长是一个波长. . 6 6、波速：单位时间某种一定的振动状态、波速：单位时间某种一定的振动状态( (或振动相位或振动相位) ) 所传播的距离所传播的距离. . 7 7、平均能量密度：、平均能量密度：能量密度的平均值能量密度的平均值. . 22 2 1 A Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 8 8、平均能流密度：、平均能流密度：能流密度的平均值。能流密度的平均值。 uI 二、基本规律二、基本规律 1 1、简谐振动的动力学方程、简谐振动的动力学方程 00 2 2 2 2 2 2 dt d x dt xd 2 2、简谐振动的运动方程、简谐振动的运动方程 )cos( tAx)cos( 0 t 3 3、由初始条件确定、由初始条件确定 A Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 4 4、简谐振动的能量、简谐振动的能量 2 2 1 kAEEE Pk )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA 2211 2211 coscos sinsin AA AA tg 5 5、同方向、同频率简谐振动的合成：、同方向、同频率简谐振动的合成： 2 2 0 2 0 v xA 0 0 tan x v Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 6、一维简谐波的波动方程：一维简谐波的波动方程： )(2cos)(cos x T t A u x tAy 减弱减弱 加强加强 , 2 , 1 , 0) 12( , 2 , 1 , 02)(2 12 12 kk kkrr 7 7、波的干涉：频率相同波的干涉：频率相同、振动方向相同振动方向相同、初位相差恒定初位相差恒定。 减弱减弱 加强加强 2 , 1 , 0 2 )12( 2 , 1 , 0 21 kk kk rr Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 8、驻波：驻波： 振幅相同、在同一直线上沿振幅相同、在同一直线上沿相反相反方向传播的两列相干波，方向传播的两列相干波， 时叠加而形成的一种特殊的干涉现象时叠加而形成的一种特殊的干涉现象. . x 波腹波腹 波节波节 AAkk2, 1 , 0 2 max 02 . 1 , 0 4 ) 12( min Akk 9、多普勒效应：多普勒效应： s o v v u u o v 观察者观察者向向波源运动波源运动 + ，远离远离. 波源波源向向观察者运动观察者运动，远离远离 + . s v Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 振振 动动 与与 波波 振动振动 波波 0 2 2 2 x dt xd )cos( tAx )tan( 12 0 0 2 2 02 0 x vv xA TT 旋转矢量法旋转矢量法 )cos(2 1221 2 2 2 1 AAAAA 2211 2211 coscos sinsin AA AA tg )2cos()(cos x tA u x tAy Tu uIA 22 2 1 21 21 12 12 , 2 , 1 , 0) 12( , 2 , 1 , 02 )(2 AAAkk AAAkk rr 减弱减弱 加强加强 x 波腹波腹 波节波节 AAkk2,1,0 2 max 02.1 ,0 4 )12( min Akk s o v v u u Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 三、基本题型三、基本题型 1 1、已知运动方程求相应物理量。、已知运动方程求相应物理量。 2 2、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。、会证明简谐振动的方法，并求出谐振动的周期。 3 3、已知一些条件给出谐振动的运动方程。、已知一些条件给出谐振动的运动方程。 4 4、已知波动方程求相应物理量。、已知波动方程求相应物理量。 5 5、已知一些条件给出波动方程。、已知一些条件给出波动方程。 6 6、能解决波的干涉问题。、能解决波的干涉问题。 Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 二、典型例题二、典型例题 1、一木板在水平面上作简谐振动一木板在水平面上作简谐振动,振幅是振幅是12cm,在距平衡位在距平衡位 置置6cm处速度是处速度是24cm/s。如果一小物块置于振动木板上如果一小物块置于振动木板上, 由于静磨擦力的作用由于静磨擦力的作用,小物块和木板一起运动小物块和木板一起运动(振动频率振动频率 不变不变),当木板运动到最大位移处时当木板运动到最大位移处时,物块正好开始在木板物块正好开始在木板 上滑动上滑动,问物块与木板之间的静摩擦系数问物块与木板之间的静摩擦系数 为多少为多少? Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 解：解： )tcos(Ax )tsin(Av 有：在scmvcmx/24,6 3 4 解以上二式得 在最大位移处有MtAa,cos 2 2 Aa Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 :, 2 取上滑动在 开始，则稍稍大于若 M mmgmA 2 mAmg 0653. 0 2 g A Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 2、一倔强系数为、一倔强系数为k的轻弹簧，其上端与一质量为的轻弹簧，其上端与一质量为m的平板的平板 A相连，且板静止。今有一质量也为相连，且板静止。今有一质量也为m的物体自距的物体自距A为为h高高 处自由落下，与处自由落下，与A发生完全非弹性碰撞。试证明碰撞后系发生完全非弹性碰撞。试证明碰撞后系 统作简谐振动并给出该振动的振动方程。统作简谐振动并给出该振动的振动方程。 h k A m Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 解：解： 物理过程物理过程 m作加速直线运动作加速直线运动 m与与A作完全非弹性碰撞作完全非弹性碰撞 2m作作简谐振动简谐振动 （1）机械能守恒）机械能守恒 ghv2 （2）动量守恒）动量守恒 gh v V2 2 1 2 （3）证明：）证明： 确定坐标及坐标原点确定坐标及坐标原点 Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 k A 2m x o 2 2 0 22 dt xd m)xx(kmg 其中：其中： 0 2xkmg 2 2 2 dt xd mkx 0 2 2 2 x dt xd m k 2 Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 k A 2m x o 2 2 , 0 00 gh v k mg xt 利用初始条件：利用初始条件： mg kh tg mg kh k mg A 1 ,1 ) 2 cos(1 1 mg kh tgt m k mg kh k mg x Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 3、两个完全相同的轮相向高速旋转两个完全相同的轮相向高速旋转，轴在同一平面上轴在同一平面上， 间距间距d=10cm，板与轮间的摩擦系数板与轮间的摩擦系数 =0.25， （1）求证：此振动为简谐振动；求证：此振动为简谐振动； （2）求出该振动的振动周期求出该振动的振动周期。 d Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 解：解：F=fA-fB= NA- NB= - 2 Mgx/d=Ma s g d T9 . 0 2 2 0 2 2 2 x d g dt xd x fA y B A O NANB fB Mg 力矩平衡力矩平衡 NAd=Mg(d/2-x) NBd=Mg(d/2+x) Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 4、如图所示如图所示，两相干波源两相干波源S1和和S2的距离为的距离为d =30m，S1和和S2都都 在在x 坐标轴上坐标轴上，S1位于坐标原点位于坐标原点O,设由设由S1和和S2分别发出的两分别发出的两 列波沿列波沿x轴传播时轴传播时，若两波强度相等若两波强度相等，x1= 9m和和x2= 12m 处处 的两点是相邻的两个因干涉而静止的点的两点是相邻的两个因干涉而静止的点，求求:两波的波长两波的波长。 d O x S1 S2 Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 2 , 1) 12()( 2 12 kkrr 由题中已知条件由题中已知条件:xrxdr 12 2 , 1) 12()2( 2 kkxd mxx62)( 4 12 Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 5、 如图所示如图所示，原点原点O是波源是波源，振动方向垂直于纸面振动方向垂直于纸面，波波 长是长是，AB为波的反射平面为波的反射平面，反射时无半波损失反射时无半波损失。O点位点位 于于A点的正上方点的正上方，AO = h，OX轴平行于轴平行于AB，求求OX轴上干轴上干 涉加强点的坐标涉加强点的坐标（限于限于x 0) h O A x B Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 解：沿解：沿Ox轴传播的波与从轴传播的波与从AB面上面上P点反射来的波在坐标点反射来的波在坐标x处处 相遇，两波的波程差为：相遇，两波的波程差为： 2 , 1) 2 (2 22 kkxh x h k k kh x 2 2 , 1 2 4 222 （当（当x=0时由时由4h2-k22=0可得可得k=2h/.) x h O A B P P Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 6、振幅为振幅为A，频率为频率为 ，波长为波长为 的一简谐波沿弦线传播的一简谐波沿弦线传播， 在自由端在自由端A点反射点反射（如图如图），假设反射后的波不衰减假设反射后的波不衰减，已已 知：知：OA = 7 /8，OB = /2，在在t = 0时时，x = 0处媒质质元的处媒质质元的 合振动经平衡位置向负方向运动合振动经平衡位置向负方向运动。求求B点处入射波和反射点处入射波和反射 波的合成振动方程波的合成振动方程。 O y x BA Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 解：设入射波的表达式为解：设入射波的表达式为: : ) 2 cos( 1 xtAy 设设OA= =l，则反射波的表达式为则反射波的表达式为: : lx l tcosAy 222 2 驻波的表达式为驻波的表达式为: : 21 yyy O y x BA Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 )ltcos()l x cos(Ay 22 22 4 0000 得 和处，有时，在 t y yxt tsinAy2 其中，, B点点(x=/2)的振动方程为的振动方程为: 8 7 lOA Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 练习题练习题1、一平面简谐波沿一平面简谐波沿Ox轴的负方向传播，波长轴的负方向传播，波长 为为 ，P处质点的振动规律如图所示处质点的振动规律如图所示 (1) 求求P处质点的振动方程；处质点的振动方程； (2) 求此波的波动表达式；求此波的波动表达式； (3) 若图中若图中d= /2 ，求坐，求坐 标原点标原点O处质点的振动处质点的振动 方程方程 x OP d t (s) 0 -A 1 yP (m) ) 2 cos(xtAy 练习题练习题2、在绳上传播的入射波表达式为在绳上传播的入射波表达式为 入射波在入射波在x = 0处反射，反射端为固定端设反射波不衰处反射，反射端为固定端设反射波不衰 减，求：驻波表达式减，求：驻波表达式 Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 练习题练习题3、一平面简谐波沿一平面简谐波沿x正向传播，如图所示。振幅为正向传播，如图所示。振幅为A， 频率为频率为 ，传播速度为，传播速度为u。（。（1）t=0时，在原点时，在原点O处的质元由处的质元由 平衡位置向平衡位置向y 轴正方向运动，试写出该波的波动方程；（轴正方向运动，试写出该波的波动方程；（2） 若经界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，试写出反若经界面反射的波的振幅和入射波的振幅相等，试写出反 射波的波动方程，并求出在射波的波动方程，并求出在x轴上因入射波和反射波叠加而轴上因入射波和反射波叠加而 静止的各点的位置。静止的各点的位置。 波蔬波蔬波密波密 u OP x 3 /4 分界面分界面 Harbin Engineering University 孙秋华孙秋华 练习题练习题4、在一根线密度、在一根线密度 =10-3kg/m和张力和张力F=10N的弦线上，的弦线上， 有一列沿轴有一列沿轴x正方向传播简谐