（基础数学专业论文）c1x上的等距算子的表示.pdf

摘要 摘要 经典的b a n a c h s t o n e 定理讲述了从赋范线性空间c ( x ) n 赋范线性空间c ( v ) 上的满的等距线性算子可以由x 和y 之间的同胚映射导出，其中x ，y 为紧致空 间这一结论已经被推广到很多其它的b a n a c h 空间上本文对线性空问c ( 1 ) ( x ) 引 进了一种新的范数，这种范数是由足2 上的正六边形导出的，在这种范数下我们证 明了赋范线性空间c ( 1 ) ( x ) 上的满的线性等距算子可以由x 上的同胚映射表出， 其中x 为实数域r 上的连通紧子集并且我们希望本文所用的方法对于类似由单 位球为正八边形，甚至对于正2 礼边形所引进的范数同样适用 关键词六边形；等距；端点 u i a b s t r a c t t h ec l a s s i c a lb a n a c h s t o n et h e o r e m s t a t e st h a ta n yi s o m e t r yf r o mc ( 叉) o n t o c ( y 1i si i l d u c e db yah o m e o m o r p h i s mo fy a n dx ，w h e r exa n dy a r ec o m p a c t s p a c e s t h i sr e s u i th a sb e e ne x t e n d e dt ov a r i o u so t h e r b a n a c hs p a c e sb ym a j l yo t n e r a u t h o r s i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c ea n e wn o r m0 1 1c o ) ( x ) w h i c hi si n d u c e d b y a h e x a g o no nr 2 ，a i l dp r o v et h a te v e r y i s o m e t r i co p e r a t o ro nc 1 ( x ) c a nb ei n d u c e db y ah o m e o m o r p h i s mo fx ，w h e r ex i sac o n n e c t e dc o m p a c ts u b s e to fr w eh o p em a t t h ei d e at h i sp a p e ru s e di sh e l p f u lt ot h en o r m i n d u c e db yar e g u l a ro c t a g o n ，e v e nb ya r e g u l a rp o l y g o nh a v i n gn s i d e s k e vw o r d sh e x a g o n ；i s o m e t r y ；e x t r e m ep o i n t i v 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规 定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和 电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影 印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目 录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权 按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子 版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分 或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签每活衙科 勿哆年月弓日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：摩群料 乒呷年石月弓日 一， 第一章引言及预备知识 第一章引言及预备知识 1 1 引言 设c ( x ) 表示由所有连续函数，：xh 足在范数0 ，| l o o = s u p i ( x ) i 。 下所构成的b a n a c h 空间；c o ( x ) 表示由所有连续函数，：x r 在范数i i ，l i = s u p i ，( z ) i 0 ， z x ：i ( x ) i e ) 为紧集所 构成的b a n a c h 空间经典的b a n a c h s t o n e 定理讲述了从赋范线性空间c ( x ) 到赋 范线性空间c ( y ) 上的满的等距线性算子可以由x 和y 之间的同胚映射导出，其 中x ，y 为紧致空间早在1 9 5 9 年，n a g a s a w a 1 就将这一结论推广到了函数代数 上1 9 6 5 年，a m i r 2 和c a m b e m 3 将这一结论推广到了正则的b a n a c h 空间上d e l e e u w 4 和r o y 5 】曾将这一结论推广至l jt l i p s c h i t z 函数上后来，p a t h a k 6 并l l r o y 7 】 又将它推广到由绝对连续函数所构成的b a n a c h 空间上1 9 8 1 年，c a m b e m 和p a t h a k 8 】 将这一定理推广到了由可微函数所构成的b a n a c h 空间上这些结论都证明了相应 空间上的满等距线性算子可以由一个同胚导出 记范数 l i ，l i = s u p l i ( ，( z ) ，7 ( z ) ) | iz 。= s u p i ，( z ) l + l ，( z ) l x e x x e x 为l 范数( x 为紧h a u s d o 艘间) 1 9 6 5 年，m c a m b e m 3 】首次证明了在l 范数下，复赋范线性空间c ( 1 ) o ，1 】上 的线性满等距算子可以m o ，1 】上的同胚映射导出，即( t ( ，) ) ( z ) = e i x f ( r ( x ) ) ，其 中丁( z ) = f 或7 - ( z ) = 1 一f ，t 为复赋范线性空间g ( 1 ) 【o ，1 】上的线性满等距算 子，f 为【o ，1 】上的恒等映射 1 9 8 1 年c a m b e m 和p a t h a k 8 做出了在l 范数下复赋范线性空间岛( ”( x ) 到复赋 范线性空间g ( 1 ) ( y ) 上的满的等距线性算子的表示，其中x ，y r 1 ，x ，y 为没有 孤立点的局部紧的h a u s d o 两腔问同年p a t h a k 9 将这一结论进行了推广，考虑了 在l 范数下复赋范线性空间岛( n ) o ，1 】上的满的等距线性算子的表示m 1 ) 这些 结论都证进一步推广了b a n a c h s t o n e 定理 第一章引言及预各知识 1 9 9 4 年，王日生教授将c a m b e m 和p a t h a k 的结论进行了推广，研究了在推广 的l 范数l lfi | = s u p 世掣下，g ( 1 ( x ) 到q ( n ( y ) 上的等距线性算子的可以 由y 到x 上的同胚映射导出，其中n 1 ，x ，y 足1 且x ，y 为没有孤立点的局部 紧h a u s d o r f f 空间最主要的足这一结论对于复和实的情况均成立【1 0 】 1 9 9 6 年，tit 生教授研究了更一般的情况，讨论了在范数i l ，0 = s u p 牮 下，c o ( - 1 ) ( x ) 到岛( n ：) ( y ) 上的等距线性算子的表示，其中 z 1 ，付。2 ，1 1 , 1 ，n 2 l ，x 足佣，y 足m 。且x ，y 为没有孤立点的局部紧h a u s d o r f f 卒间同样这一结论对于复 和实的情况均成立【1 l 】 受参考文献【1 1 】和 4 】的启发，本文引进了一种与前面几位作者所提到的范数 不同的新范数i l ( ，) 恼，在这种范数下赋范线性空问y = ( r 2 ，i i ( ，) 怕) 的单位 球为正六边形并且我们希望本文所用的方法对于类似由单位球为正八边形，甚 至对于正2 n 边形所引进的范数同样适用，只是在第二部分找峰值函数时可能会麻 烦一些 1 2 预备知识 预备定理1 ( h a h n b a n a c h 定理【1 2 】) 设 1 ) e 是复( 实) 线性空间，岛是e 内一复( 实) 线性子空间； 2 ) p ( x ) 是_ f k - - 次加、绝对齐性( 正齐性) 泛函， 是e ol ：的线性泛函，并有 ( y ) i p ( y ) ( f o ( 可) sp 例) ，v b e o 那么，必存在一个定义在全空间e 上的线性泛函，( z ) ，其满足条件： i ) f ( y ) = f o ( z ) ，v u e o ； i i ) 坂z ) i p 俐扶z ) p 俐) ，比e 由h a h n b a n a c h 定理得到下面的推论： 推论 1 2 ，1 3 设l izi l 是赋范线性空间el ：的范数那么，v x o e ，0x 0i | 0 ，3 f l f ，使得： l ( x o ) = 0x 0 i i i = 1 2 第一章引言及预备知识 预备定理2 【1 2 】为了有界线性泛函，( t o ) + ，必须且只需有 其中，f = ( ，厶，厶) 为n 元有序数组，k 为实数域或复数域 预备定理3当x 为紧集时，( x ) = c ( x ) 预备定理4 ( r i e s z 表现定理【1 4 】) 设x 为局部紧空间，肘仞表示在全变差范 数下x 上所有复值正则博雷尔测度所构成的空问，肛删定义兄：c o ( x ) 一 f 为 ，i f 恤0 f 、= il d 阻 t ， 则以c o ( x ) ，并且映射：p _ 凡是m ) 到岛( x ) + 上的等距同胚映射 预备定理5 【1 4 1 女1 ：i 果x 为紧致空问，那么b c f x ) 的端点集为 a 如：i 口l = 1 ，z x ) 其中，以：c ( x ) _ f 定义为如( ，) = ，( z ) ，v f c ( x ) 3 驴 几- 一 =比 七f 、 几脚 = z ，j 第二章h 范数及c ( 1 ) ( x ) 空间 第二章h 范数及c ( 1 ) ( x ) 空间 2 1h 范数的引入 下面我们来研究范数i i ( ，) 怯 在r 2 上，记e 1 = ( 1 ，o ) ，e 2 = ( ，乎) ，e 3 = ( 一，孚) ，e 4 = 一e 1 ，e 5 = 一e 2 ，e 6 = 一e 3 ，由这六个点的凸包所形成的正六边形记为日向量 e i ：i = 1 ，2 ，6 ) 将正六 边形分成了六部分，分别记为研，飓，风，风，风，风，如图一1 所示： i 肇一? 2 e 瓜 j a 天日i 、啦! 逆一 e 5 f i g 1 在足2 上，以日为闭单位球的赋范线性空间俾2 ，l i ( ，) | | 日) 记为e 因为型2 血既= e ：0y 怕= 1 ) ，由h a h n b a n a c h 定理的推论，存 在 s e ，使得 + ( 曼峙曼2 ) = 1 因为 4 ( e 1 ) ， + ( e 2 ) 1 ，从而由1 = + ( 曼宁) = 芷虹粤盟l ，知 + ( e 1 ) = + ( e 2 ) = 1 对于任意的y = ( s ，t ) e ，若记 4 = ( a ，b ) ，则 + ( s ，t ) = a 8 + b t 容易得 n 1 = + ( c 1 ) = n ，1 = + ( e 2 ) = 互1 n + 孚6 ，从而a = 1 ，b = 孚，故 + = ( 1 ，孚) ， 同理存在厶。，使得，2 + ( 旦出2 ) = 1 ，类似可证如+ = ( 0 ，竽) 一般地，存在五+ 。( i = 1 ，2 ，6 ) 使得五+ ( 华) = 1 ( 令e 7 = e 1 ) ，从 而 + ( e i ) = 五+ ( e i + 1 ) = 1 由此可知 f l * ( 1 雩) _ _ 亿肛( 0 ，学) ：- ( - 1 ，雩) = 啊 对于任意的y e ，有 y 怯2 。m a x b f , + ( y ) ) 2 。m 气a x i 五( ) i 4 第二章h 范数及c ( 1 ( x ) 空间 事实上，一方面，对于任意的y e ，显然有婴糕五+ ( 夥) 1 iyi i s 所以对于任意的y e ， i | yi i - 。燃( ) ) 2 。m a x i + ( 剪) i ) 设 + = a i , 玩) ，待l 2 ，6 贝, u i iyi i - 2 燃+ 嘲2 。m 处a x j i 。t s + 驯) 易 证l l ( s ，t ) 怕题2 上的一个范数 2 2 c ( 1 ) ( x ) 空间 设x 为实数域尼上的连通紧子集，c ( 1 ) ( x ) 表示x 上连续可微的实值函 数f 的全体，并且满足s u p l f ( x ) 1 ) n ，就有 一f m0 2 趟s u p 。m 垡a x 6 劬f n ( z ) + 玩( z ) 一。i 厶( z ) 一6 t 厶( z ) ， 2 艄s u p m 她a x 。一 。t 厶( z ) + 6 t ( z ) 一口t f m ( z ) 一玩厶( 圳) n ，只要m ，n ，就有 s u p io 厶x ) 一a j m ( 。) j ) 2 e 因此， 厶) 在y 上一致收敛，即存在，( z ) c ( 1 ( x ) ，使得 厶( z ) ) 一致收敛于，( z ) ， r f ( z ) = 9 ( z ) 6 第三章主要引理 因为 i i 厶一，i i = z s u x p m s 。a s x j i 口t 厶( z ) + 玩厶( z ) 一。t ，( z ) 一玩( z ) i s 似s u p m 蜓a x 。 i 啦厶( z ) 飞m ) i + i6 t 厶( z ) 一b i f k ) i - 所以， 厶) 按范数收敛于，c ( 1 ( x ) ，即c ( 1 ) ( x ) 为b a n a c h 空间 口 定义w = x x + ， + ) ，则w 为紧h a u s d o r f f 卒间任意的f c ( 1 ) ( x ) 定义上的连续函数，为：f ( x ，五+ ) = a i f ( x ) + b i f 7 ( z ) ，其中五+ = ( a i ，h i ) ， i = 1 ，2 ，6 引理3 2 映射，h 厂是一个从g ( 1 ) ( x ) 到c ( w ) 的闭线性子空间s 上满的线性 等距映射f 因此我们可以将c ( 1 ) ( x ) 和s 看作同一个空间， 证明：由，的定义和，的定义易证 口 因为b c ( w ) 的端点集为 q 以：q = 4 - 1 ，u ) ，所以任意的，。e x t b c ( ) 僻) 均是某g + e x t b c ( w ) 在s 上的限制，即广= g + i s ，其中g + = q 瓦( o l = 4 - 1 ，u w ) 从而有 ，+ ( ，) = 9 + ( ，) = a 瓦( 厂) = q ，( u ) = q ，( z ，五4 ) = a ( a i f ( x ) + b i f ( z ) ) = a j f ( x ) + b j 。( z ) 其中a 五+ = a ( a i ，b i ) = ( ，h a ，i ，j 1 ，2 ，6 ) 对于这个性质的逆命题，我们有如下的命题： 命题3 3 对于任意的u w ，定义c ( 1 ) ( x ) 上的线性泛函以为? 乩( 厂) = a i f ( x ) + b t 厂7 ( z ) 其中u = ( z ，五+ ) ，五+ = ( a i ，b i ) “= 1 ，2 ，6 ，则乩e x t b c ( - ) 伍) ，并且由 五+ ：i = 1 ，2 ，6 ) 关于原点的对称性知 屯：u 彤) 为b e ( - ) ( x ) 的全部端点 在证明这个命题之前，我们先来看以下几个引理： 定义3 1 一附于任意的u wr 彤是紧致空间j ，s 是c ( w ) 的一个闭线性子空 间( ) 中范数取上确界范数，泛函h s 称为在点u 相对于子空间s 的峰值 函数，如果 ( u ) = 0hi i ，并且ih ( z ) i 剑hi | ，v z 彬z u 等号成立当且仅当 对于满足g ( z ) = 9 ( u ) 或者g ( z ) = 一g ) e c g 剐的z 成立 7 第三章主要引理 引理3 4 做w 为紧的h a u s d o r f f 空间，s 为c ( w ) 的一个闭线性子空间，对 于u w ，若在u 点存在一个相对于子空间s 的峰值函数，则s 上的线性泛函 瓦：php ( u ) f v p s ) 是b s 的端点 引理3 5s 如引理3 2 中所设，w = xx + ， ) ，则对于任意的5 d o w ，存 在厂s ，使得厂为在u o 点相对于子空间s 的峰值函数 取 令 证明：1 ) 若u o = ( z o ， ) ，z o x 则v f 一s ，氕岫) = f ( x o ) + 乎厂( z o ) 畎垆博= x o ) ， 夕c z ，= z ：9 7 c t ，d t = 1 4 z 3 7 0 一互1 ， x o i 1 x x o ， x o z x o + 互1 ， x o + 互1 z ， x x o ) ( 1 + z x o ) ， x x o ) ( 1 一z + x o ) ， l 4 ( 3 1 ) z x o i 1 ， z x 。o - - ；z x z 。童_ + x o ，, ( 3 2 ) z o z z o + 吉， x o + z o 因此有g ( x o ) = 0 取，( z ) = g ( x ) l x + 学，显然，g ( 1 ( x ) j 并且，( z ) = g l ( z ) ( z x ) 从而， 鼬_ ，( 训+ y 瓶f k o ) _ 学+ 笪3 ：以 对于任意的u 彬u f , d 0 ，分三种隋况进行讨论： 第一种情况：如果u = ( z ，五) ，i 2 ，5 ) ，z x ，则有 m ) j _ 学i 八圳 瓶 第二种情况：如果u = ( z ， + ) ，i 【1 ，3 ，4 ，6 ，z x o ，那么， 当z z o 一 时，i 冗u ) i = 1 ，( z ) i = 1 一丢+ 学i 锈 8 第三章主要引理 当z o 一互1 z z o 时， 氕训if ( 圳+ 雩i 八z ) ix - x o + x - - x 0 ) 2 i + 雩| 1 + 2x - - x 0 ) i + 学 ：一 x - x o + x - - x 0 ) 2 】+ 雩”2x - - x 0 ) 】+ 学 ：一x - - x 0 ) z + 学( x x 0 ) + 以 以 当x o z x 0 + 时， l x - - x - x - - x o ) 2 | + 雩1 1 - 2 t - - x 0 ) i + 警 ：x - - x 0 - - x - - x 0 ) 2 】一学( x - - x 0 ) + 以 z o + 时，l 灭u ) i + 学 怕 第三种情况：如果u = ( x 0 ，五+ ) ，i 3 ，4 ，6 ) ，那么， 当i 3 ，6 ) 时， 当i = 4 时， l 氕川：if ( 训一雩八训l ：雩 锈 f ( o g ) i _ i 州训一雩八训：锈：氕 坛s ，元( u ) ：一危( z 。) 一! ，( z 。) ：一元( u 。) 故，为在u o 点相对于子空间s 的峰值函数 1 ) 若蛐= ( x 0 ， + ) ，x 0 x ，取，( z ) = - g ( x ) l x 一学，其中夕( z ) 如1 ) 中所设 从而， f ( w o ) ：一m 。) 一雩八训：咖。) + 学+ - 锈- f f - g 砌：学+ 雩：锈 对于任意的u 彬u 蛐，分三种隋况进行讨论： 9 第三章主要引理 第一种情况：如果u = ( z ， ) ，i 2 ，5 ) ，z x ，则有 i 冗u ) i ：半i ，协) i 锈 第二种情况：如果u = ( x ， ) ，i 1 ，3 ，4 ，6 ，x x o ，那么， 当z x 0 一时，i ，( u ) i = i ，( z ) i = i 一夕( z ) i x 一学l = i 一虿1 + 学i 锈 当z o i 1 z z o 时， i 氕u ) i i ，( 圳+ 娑i ，协) i iz 一跏+ ( z 一知) 2i + 娑i1 + 2 ( z z 。) i + 竿 jj 当x o zsx o + ；时， m ) l i f ( 圳+ 雩i 八训 iz z 。一( z z 。) 2i + - - 百3 - i1 2 ( z 一加) h 攀 vj x o + 时，i 氕u ) i i ，( z ) i + 乎i ，7 ( z ) i + 学 亏 第三种情况：若u = ( x 0 ， 4 ) ， 1 ，3 ，6 】l ，那么， 当i 3 ，6 ) 时， m ) i ：if ( z 。) 一了v f 3 ，k 。) i ：t 锈 锈 当i = 1 时， i 氕u ) i = l ，( z 。) + 字，( z ) l ：锈：冗u 。) ， 且 诟s ，元( u ) ： ( z 。) + ! 九，( z 。) ：一瓦( ) 故，为在0 ) 0 点相对于子空间s 的峰值函数 2 ) 若岫= ( 踟， + ) ，取，( z ) = 夕( z ) i x 一学，其中夕( z ) 如1 ) 中所设从而， 氕蛐) = 一他。) + 雩( 训：一出。) + 学+ 了v 3 9 i k 训：堕3 + 笪3 ：锈 第三章主要引理 对于任恿的u 彬u 蛳，分三种情况进行讨论： 第一种情况：如果u = ( x ，五+ ) ，i 2 ，5 ) ，x x ，则有 i 氕u ) i ：攀i ，铷) i 锈 第二种情况：如果u = ( x ，五+ ) ，i 1 ，3 ，4 ，6 ) ，z x o ，那么， 当z x 0 一 时，i ，( u ) i = i ，( z ) l = i 一 一学l 锈 当z o 一 z z o 时， i 欲u ) l i ，( z ) i + ! ；i 厂，( z ) l ix - x o + ( x - - x 0 ) 2 | + 雩i l + 2 ( z - x o ) i + 学 以 当, t o z x 0 + ；时， i 灭川is ( 圳+ 雩l 八圳 ix - - o ) 2i + 雩| 1 _ 2 ( 。) 1 丁2 v - z o + 时，i 氕u ) i 1 ，( z ) l + 孚i ，7 ( z ) i 1 一2 v 3 5l 之j 锈 第三种情况：若u = ( x 0 ，五+ ) ，i 【1 ，4 ，6 ) ，那么， 当i 1 ，4 ) 时， is ( 训= if ( 训+ - 怕5 - f 吖训i = 孚 面 当i = 6 时， i 氕u ) i = lf ( x o ) 一半，铷o ) i = 锈= 氕u 。) ， 且 诟s 元( ) ：h ( x o ) 一雩 协。) ：一元( 蛐) 故厂为在o j o 点相对于子空间s 的峰值函数 2 ) 7 若蛐= ( x o ，矗+ ) ，取，( z ) = 一g ( z ) i x + 学，其中夕( z ) 如1 ) 中所设类 似2 ) 可证明厂( z ) = ，( z ) 一孚，7 ( z ) ，z x ，为在蛐点相对于子空间s 的峰值函数 第三章主要引理 令 3 ) 若0 , 0 = ( x o ，尼) ，取 八班陋- x 拳o 4 3 ， f 0 ， z z o 一乎 m ，= d 咖t = k 兰谭二妻新素一x o - - 篓饕 【，跏+ 竽 z ( 3 4 ) 故，( u o ) = 警，7 ( z ) = 1 任意的彬u 蛐，分三种情况讨论： 当叫= ( z ，五+ ) ，i 1 ，3 ，4 ，6 ) 时，i 灭u ) i l ，( z ) i + 乎i ，7 ( z ) i + 乎 乎 时，由( 木) 式得 t ( 夕) 7x o ) = 士1 ， 由( 料) 式，得 t ( g ) 7x o ) = 0 这也是不可能的 所以 片6 ( m ，) ii = 1 ，2 ，6 ) 为单点集 口 引理3 9 记t + 6 ( z ，t ) = 屯疗) ，i ，j 1 ，2 ，6 】，z ，y r ，则映射r ( x ) = y 是 x 上的同胚映射 证明：首先，由引理3 8 知r ( x ) = 有定义并且连续 其次，7 - ( z ) 是双射事实上，一方面，由t 一1 是c ( 1 ) ( x ) 上的线性满等距及引 理3 8 ，易证7 - ( z ) 是单射另一方面，因为( t + ) = ( t 一1 ) + 是c ( 1 ( x ) 上的线性满 等距( ( 丁+ ) _ 1 将端点映成端点) ，所以7 ( z ) 是满射 口 1 5 第三章主要引理 引理3 1 0 记五+ = ( a i ，玩) ，i 【1 ，3 ，4 ，6 ) ，对于任意的x 0 x 若有 t + 巧0 0 ， ) = 6 ( 珈，1 ) t + 6 ( 知，l ) = 6 ( 如，3 ) k ，2 l ，3 ，4 ，6 ) ，则a k = - - a i ，b k = b t 证明：由 r & z 。， ) ( 1 ) = 6 ( 珈， ，) ( 1 ) t 6 ( 孤 ) ( 1 ) = 6 ( 如，3 ) ( 1 ) 容易得到，a k t ( 1 ) = 1 和a r t ( 1 ) = 一1 再由引理3 6 容易得到a k = 一a f ，通过五。 的性质( i ( 1 ，3 ，4 ，6 ) ) 得：b k = 6 1 口 引理3 1 1 设t 是c ( 1 ) ( x ) 上的线性满等距算子，任意的f c ( 1 ) ( x ) ，如果存 在x x 使得f ( x ) = 0 ，则t 一1 ( ，) ( 丁( z ) ) = o 证明：由引理3 9 ，因为6 ( r ( z ) ， ) ( t - 1 ( ，) ) = ( t 一1 ) + 6 ( r ( z ) ， ) ( ，) ，即 t 一1 ( ，) ( 7 - ( z ) ) + j ( t 一1 ，) ( 7 ( z ) ) = 口七，( z ) + 6 七，7 ( z ) ：6 七厂7 ( z ) ( 5 ) 同理6 ( 下( z ) ，3 ) ( 丁- 1 ( 川= ( t _ 1 ) + 6 ( r ( z ) ，3 ) ( ，) ，即 一t - i ( ，) ( 丁( z ) ) + 半( t 一1 ，) 7 ( 7 ( z ) ) = 砚，( z ) + 6 z ，( z ) ：6 f ，7 ( z ) ( 6 ) 如果( x ) = 0 ，由( 5 ) 一( 6 ) 得t - 1 ( 似7 ( z ) ) = 0 口 1 6 第四章等距算子的表示 第四章等距算子的表示 定理4 1t 是c ( 1 ) ( x ) 上的线性满等距算子当且仅当t 具有如下形式： 丁( ，) ( z ) = 口，( 7 - ( z ) ) ，o t = 4 - 1 ，v f c ( 1 ( x ) ( 7 ) 其中1 - 是x 上的同胚映射，并且如果x = 【a ，6 i ，则7 - 为f 或a + b f 其中之 一，其中f 为x 上的恒等映射 i f - n ：如果t 具有( 7 ) 式，显然t 是线性等距对于任意的f c ( 1 ) ( x ) ，取 g = o r f ( r - 1 ( z ) ) ，显然g c ( 1 ( x ) ，并且t ( g ) = f ，即t 是c ( 1 ) ( x ) 上的满线性 等距反之，如果丁是c ( 1 ) ( x ) 上的线性满等距算子，对v f c ( 1 ) ( x ) ，v x x ， 令夕( ) = f ( y ) 一，( z ) ，y x ，则g c ( 1 ( x ) 并且g ( x ) = 0 ，由引理3 1 1 得 0 = t 一1 ( 9 ) ( 丁( z ) ) = t 一1 ( ，) ( 丁( z ) ) 一f ( x ) t 一1 ( 1 ) ( 丁( z ) ) 因为t 是c ( 1 ) ( x ) 上的线性满等距，通过引理3 6 知t 一1 ( 1 ) 亦为x 上的常值函 数，并且由引理3 7 容易得到t 一1 ( 1 ) = q = 士1 因此 ，( z ) = a t 一1 ( ，) ( 丁( z ) ) 用t ( f ) 代替，得丁( ，) ( z ) = q ，( 7 ( z ) ) ，v f c ( 1 ) ( x ) 如果x = a ，6 】，则t ( f ) ( z ) = a f ( 7 - ( z ) ) = o i t ( x ) ，所以丁( z ) c ( 1 ( x ) ，并且 ， w 丁( 驯= 咖( z ) + 雩丁协) 】 而由引理3 7 得 州嘶叫耻q 丁雩 所以7 - 7x ) = ：k l ，又因为7 是x 上的同胚映射，所以7 - 为f 或a + b f 其中之 一 口 1 7 第五章致谢 第五章致谢 在此硕士论文完成之际，我谨向所有指导和帮助我完成学业的师长、同窗、 朋友们致以诚挚的谢意 首先，我要感谢我的导师王日生教授在研究生期间，王老师竭尽所能地给予 我学业上的指导和帮助这篇论文正是在王老师的悉心指导下完成的从课题的选 择到论文的最终完成，王老师都始终不厌其烦地给予我细心的指导，并在论文的 关键环节提出了很多宝贵的意见，才能使得本论文的研究内容能够顺利地完成 在此由衷地感谢王老师的指导和帮助 非常感谢定光桂教授，在研究生期间，我一直在跟从定老师学习，他给了我 很多的启发和帮助更重要的是，定老师严谨的治学态度和精益求精的工作作风， 深深地感染和激励着我，为我树立了一个做人的典范在此感谢定老师 感谢南开大学数学科学学院的各位老师以及我的所有师兄和师姐们在研究生 期间对我的支持和帮助 最后，还要感谢身边所有的同学、朋友以及养育我的父母，谢谢他们多年来 对我的支持、关心和帮助 1 8 参考文献 参考文献 1 】m n a g a s a w a ，i s o m o r p h i s m sb e t w e e nc o m m u t a t i v eb a n a c ha l g e b r a sw i t ha p p l i c a t i o nt or i n g so fa n a l y t i cf u n c t i o n ，k o d a im a t h s e m r e p 11 ，1 9 5 9 ，1 8 2 - 1 8 8 【2 】d a m i r , o n i s o m o r p h i s m s o fc o n t i n u o u sf u n c t i o n s p a c e ， i s r a e l j m a t h 1 9 6 5 ，1 9 ：2 0 5 - 2 1 0 【3 】m c a m b e m ，i s o m e t r i c s o fc e r t a i nb a n a c h a l g e b r a s ，s t u d i am