（基础数学专业论文）r连通空间与理想拓扑空间的γi开集.pdf

摘要 连通空间是重要的拓扑空间，连通性的研究是一般拓扑学的基本课题 理想拓扑空间是在一般拓扑空间中引入理想结构而形成的新的拓扑空间， 它具有与一般拓扑空间相似的性质，又有其独特的性质 本文研究了基于二元关系r 的尺一连通空间和理想拓扑空间的y ，一开集 本文分为三章 第一章，我们介绍相关的背景知识 第二章，利用拓扑空间上的二元关系r 定义了尺开集，由r 开集引入了r 邻 域、r 闭包、r 内部、尺隔离等概念，由此定义了r 连通空间，给出了它的刻画， 研究了它的一些性质，主要结论是：命题2 4 4 ，命题2 4 5 ，定理2 4 9 ，定理2 4 10 ， 定理2 4 1 l ，定理2 。4 1 2 第三章，我们在理想拓扑空间中定义了一开集，研究了其性质，讨论了在 掌极不连通空间中与p r e i 一开集，s e m i i 一开集，s t r o n g l y 一i 一开集，0 【一i 一开 集之间的关系，主要结论是：命题3 2 3 ，命题3 2 6 ，命题3 2 7 ，命题3 3 3 ，命题 3 3 8 关键词：二元关系；r 一连通空间；理想拓扑空间；木- 极不连通空间；y i 一开集 a b s t r a c t c o n n e c t e ds p a c ei sa ni m p o r t a n tt o p o l o g i c a ls p a c e s t u d y i n gc o n n e c t e d n e s si s t h eb a s i ci s s u eo fg e n e r a lt o p o l o g y t h ei d e a lt o p o l o g i c a ls p a c ei san e wt o p o l o g i c a ls p a c e ，w h i c hi n t r o d u c e sa n i d e a l a n dn o to n l yd o e si d e a lt o p o l o g i c a ls p a c eh a v et h es i m i l a rp r o p e r t i e st og e n - e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ，b u ta l s oh a st h eu n i q u ep r o p e r t i e s w eh a v es t u d i e dt h ep r o p e r t i e so fr c o n n e c t e ds p a c e sw i t hab i n a r yr e l a t i o n ra n d y l - o p e ns e t si ni d e a lt o p o l o g i c a ls p a c e si nt h i sp a p e r t h i sp a p e ri sp a r t e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n dk n o w l e d g er e l a t e dt ot h er e - s e a r c h i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ef i r s t l yd e f i n er - o p e ns e t sw i t hab i n a r yr e l a t i o nr i n t o p o l o g i c a ls p a c e s ，t h e nc o n c e p t so fr n e i g h b o r h o o d ，r c l o s u r e ，r - i n t e r i o r a n dr - s e p a r a t i o ne t c a r ei n t r o d u c e db yr - o p e ns e t s o nt h eb a s i so ft h e s ec o n - c e p t s ，r c o n n e c t e ds p a c e sa r ed e f i n e da n dt h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fr c o n n e c t e d s p a c e sa r eg i v e n i t sp r o p e r t i e sa r er e s e a r c h e da tt h es a m et i m e t h em a i nr e s u l t sa r e o b t a i n e di nt h i sc h a p t e ra sf o l l o w s ：p r o p o s i t i o n2 4 4 ，p r o p o s i t i o n2 4 5 ，t h e o r e m 2 4 9 ，t h e o r e m2 4 10 ，t h e o r e m2 4 11a n dt h e o r e m2 4 12 i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed e f i n e y i o p e ns e t si ni d e a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ， s t u d y i n gt h e i rp r o p e r t i e s a n dt h er e l a t e d p r o p e r t i e s w i t h p r e i o p e n s e t s s e m i i o p e ns e t s ，s t r o n g l y8 一i - o p e ns e t s a n dq i o p e ns e t si n 卑- e x t r e m e l y d i s c o n n e c t e di d e a lt o p o l o g i c a ls p a c e s t h em a i nr e s u l t sa r eo b t a i n e di nt h i sc h a p t e r a sf o l l o w s ：p r o p o s i t i o n3 2 7 ，p r o p o s i t i o n3 3 3 ，p r o p o s i t i o n3 3 8 k e y w o r d s ：b i n a r yr e l a t i o n s ；r c o n n e c t e ds p a c e s ；i d e a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ； 木- e x t r e m e l yd i s c o n n e c t e dt o p o l o g i c a ls p a c e s ；y i - o p e ns e t s 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：夺i l 移1 0日期：z d 如年矿月z 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本论文收录到 中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密d 。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：李；l 帐日期：2 0 o 年- 厂月z 日 导师签名：寺才七l日期：工。i 。年j - 月三f 日 第一章绪言帚一早珀i 二元关系是拓扑学中的一个重要概念，基本的二元关系包括自反关系、对称 关系、传递关系、等价关系等 等价关系的研究是一项基础工作例如粗糙集理论【1 由波兰数学家p a w l a k 于2 0 世纪8 0 年代提出，它是基于等价关系并用于数据分析的理论经典的粗糙集 模型是用等价类来定义上下近似算子的，这限制了它的应用范围因此，对经典 的粗糙集模型进行有意义的推广，吸引了众多的研究者，取得了很多成果如将 等价关系放宽为相容关系 2 ，3 】、相似关系 4 ，5 】；l i n 和l i u 于1 9 9 4 年将等价关系 放宽为一般的二元关系，用邻域代替等价类，从而定义了更为一般的近似算子 【6 ；y a o 用后继邻域定义三对对偶的近似算子【7 】；从等价类等同于剖分这个角度 出发，z a k o w s k i 于19 8 3 年把剖分放宽为覆盖，将粗糙集理论推广到覆盖广义粗 糙集理论 8 ；z i a r k o 于19 9 3 年提出了变精度粗糙集模型 9 ，10 以上粗糙集理论是二元关系的应用，而作为重要的拓扑空间一连通空间，许多 研究者通过引入新的连通类空间，研究其性质和特征，充实和丰富了连通理论如 文 1 1 1 4 对连通性进行了深入研究和推广：将万一闭集引入连通空间，得到万一连 通空间并研究了其性质，得到了具有连通空间类似的结果 15 ；通过引入p 一开集， 得到乡一连通空间，并研究了0 一映射和口一连通 16 ；文 2 2 ，2 3 研究了极不连通空 间主要结论如下： 定理1 1 【1 5 1 设a 是一指标集，讧口) 口。一是一组两两不相交的拓扑空间族，则和空 间ox 。是局部6 连通空间当且仅当对任意口a ，x 。是局部6 连通空间 定理1 2 【1 5 1 设s 是一指标集，若对于任意的s s ，x 。是非空的万一连通空间，则 乘积空间ik 也是万一连通空间 定理1 3 【m 】设f ：( x ，f ) 专( y ，伊) 为从口一连通空间x 到拓扑空间】厂的口一连续 映射，则厂( x ) 为】，的秒一连通子集 随着一般拓扑学的发展，一些拓扑学家尝试着在拓扑空间中引入理想结构，产 生了理想拓扑空间具体来说，设( x ，r ) 是一没有分离性质假定的拓扑空 问，acx ，i 是( x ，f ) 的非空的子集族且满足以下条件：( 1 ) 若a i ，bca ，那么 b ，；( 2 ) 若a ，b ，那么彳ub ，带有理想，的拓扑空间( x ，r ) 称为理想拓 扑空间，记为( x ，r ，) 自从j a n k o v i c 和h a m l e t t 在理想拓扑空间中引入了，开集以 来，许多研究者对理想拓扑空间中各种，开集进行了细致而深入的研究，如文 17 ，2 4 2 9 定义和研究了p r e - ，一开集、s e m i i - 开集、s t r o n g l y f l i 一开集、g t ，- 开 集和w - 开集；在文 2 1 】中，e h a t i r 和t n o i r i 定义了枣一极不连通空间，并在木极不连 通空间下研究了不同，一开集的关系；文 18 ，19 ，2 0 在拓扑空间中引入理想后，对拓 扑空间的各种新的性质进行了研究；文【3 0 3 5 在紧空间中引入理想，研究了其性 质主要结论如下： 定理1 4 t 3 5 1 对每个拓扑空间( x ，f ) 和x 上的理想孝，下列性质等价： ( a ) ( x ，f ) 是( ( ) q h c ； ( b ) 每个有空交的闭集族a ，有一个有限子集族 人。，人：，人。) 使得 n l i n t ( a 加善； ( c ) 每个满足 i n t ( a ) ：人f ) 的闭集族有皓归，其中n 人：a f ) ； ( d ) 每个正则开覆盖有一个有限( 孝) 近似子覆盖； ( e ) 每个有空交的非空正则闭集族人，有一个有限子集族 人。，人：，人。 使得 n ，b ；l i n t ( a ，) 孝； ( f ) 每个满足 i n t ( h ) ：人f 的非空正则闭集族有( 4 ) f i p ，其中n a ：人f ) ； ( g ) 设是p ( x ) 一f 的开滤基，则nt ，( b ) ：b ； ( h ) 每个p ( x ) 一f 的开的超滤子是聚合的 定理1 5 【3 5 1 设( x ，r ) 是一拓扑空间，孝是x 上的理想，则下列性质等价： ( a ) ( x ，r ) 是一个c ( 孝) - 紧空间； ( b ) 对于彳的每个闭子集彳和闭子集族f ，使得n 人na ：人f - 矽，那么存在 一个有限子集族 人。，人：，人。) 使得n ( i n t ( a ，) ) n a f ； ( c ) 对于x 的每个闭集么和闭子集族f ，使得 i n t ( a ) na ：人f ) 有g ) 脚，其中 n 人na ：人f 矽； ( d ) 对于x 的每个闭集彳和4 的正则开覆盖d ，存在d 的一个有限子集族 妙，u ：，u 。) 使得a - u ， 。c l ( u ，) f ； ( e ) 对于x 的每个闭集彳和正则闭集族f 满足n 人na ：人f ) = 矽，那么有有限 子集族 人，人：，人。) 使得u 三。( i n t ( a ，) ) n 彳f ； 2 ( f ) 对于x 的满足 i n t ( a ) na ：人f 的每个闭集彳和正则闭集族f 有( 孝) f i p ， 其中n 人na ：人f ； ( g ) 对于x 的每个闭集彳，x a 的开覆盖u 和彳的每个开邻域矿，存在u 的一 个有限子集族妙。，u ：，u 。 使得x pu ( u ：，c ，( u ，) ) ) f ； ( h ) 对于x 的每个闭集彳和每个开滤基，满足pna ：b ) c 2p ( x ) 一f 其中 n 忙，( b ) ：b p na l i v i up o p e s e u 教授用x r y 代替x y ，x r a ( a r x ) 代替x 诺a ，a r b 代替 an b = a ，由经典的分离空间定义了尺分离空间，得到一些相应的定理 3 8 在本文第二章，我们通过引入了拓扑空间的二元关系尺，定义了尺开集，由尺开 集引入了尺邻域、r 闭包、r 内部、r 隔离等概念，并由此定义了尺连通空间，给 出了它的刻画，并研究了它的一些性质从而深化了拓扑空间的连通理论，推广了 二元关系的应用主要结论如下： 命题1 5 设( x ，f ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系，彳，bcx ，则： ( 1 ) 如果a 与b 是隔离的，那么a 与b 是j r 隔离的； ( 2 ) 女1 3 果彳与b 是互斥的j r 闭集，那么彳与b 是尺隔离的； ( 3 ) 如果a 与b 是互斥的尺开集，那么彳与b 是尺隔离的 命题1 6 设( x ，f ) 是拓扑空间，r 是x 上的映射，则( x ，f r ) 是连通空间当且仅 当( x ，r ) 是尺连通空间 定理1 7 设( x ，r ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系，则下列条件等价： ( 1 ) x 是尺连通的； ( 2 ) x 中不存在两个非空的互斥的r 闭集a 和b ，使得彳ub = x ； ( 3 ) x 中不存在两个非空的互斥的r 开集a 和b ，使得aub = x ； ( 4 ) x 中不存在一个既r 开又r 闭的非空真子集 定理1 8 设j ，为拓扑空间( x ，f ) 的尺连通子集，只是x 上的二元关系，zcx 若 yc z cc l r ( y ) ，则z 为x 的r 连通子集从而c k ( 】，) 为x 的r 连通子集 在本文第三章，我们在理想拓扑空间中引入一开集的概念，讨论了它的性 质，研究了在宰一极不连通空间中它与p r e i 一开集，s e m i i 一开集，s t r o n g l y 一i 一 开集，0 【一i 一开集的关系，主要结论如下： 命题1 9 设( x ，r ，) 是理想拓扑空问，则下列命题成立 ( 1 ) 对于每个口人，若u 口y i o ( x ，r ) ，则u 帆：口a ) r i o ( x ，r ) ； ( 2 ) 若a r l o ( x ，r ) ，u r ，贝0a n u r i o ( x ，f ) 命题1 1 0 设么是理想拓扑空间( x ，r ，) 的一开集，那么 c ，( 么) = c l ( c l ( i n t ( c l + ( 彳) ) ) ui n t ( c l + ( 切f ( 彳) ) ) ) 命题1 1 1 设( x ，r ，) 是理想拓扑空间，则下列性质等价： ( 1 ) x 是幸极不连通的； ( 2 ) x 的s e m i i 一开子集的宰闭包是开集； ( 3 ) x 的p r e i 一开子集的木闭包是开集； ( 4 ) x 的一开子集的木闭包是开集； ( 5 ) x 的r ，一开子集的宰闭包是开集 本文未定义的符号和术语参看文【4 0 4 3 4 第二章尺连通空间 研究连通性是一般拓扑学的基本课题本文利用拓扑空间上的二元关系尺定 义了r 开集，由r 开集引入了r 邻域、尺闭包、r 内部、尺隔离等概念，由此定义 了r 连通空间，给出了它的刻画，并研究了它的性质从而深化了连通理论，推 广了二元关系的应用 我们首先介绍二元关系和一些相关概念和符号( x ，f ) 是一拓扑空 间，rcx xx 是x 上的二元关系，r 是r 的对偶( 如x r y 营( x ，y ) 诺r ) ；r 一是r 的 逆关系( 如x r - 1 y 铮y r x ) ；x r a x r y ，对v y a ；x r a x r y ，对v y a ；a r b x r y ， 对v xf t a ，y b ；a r b ，x r y ，对v x a ，y b ；尺( x ) = y ：x r y ，r - 1 ( x ) = y ：y r x ) ； r ( a ) = y ：3 x a ，使得x r y ) ，r - 1 ( 彳) = y ：3 x a ，使觚) ；v 是点x x 在x 中的邻域 系；对任意的ac x ，记v = b ：3 d 乃使得ac d cb ) ；c a = x 么设f 是x 的一 个子集族，若r 满足条件：( 1 ) 囝，xf t r ；( 2 ) v r 。f ，t a r 。r ；( 3 ) 若a ，b f ，彳nb f ， 则称r 是x 上的一个拓扑，( x ，f ) 为一拓扑空间f 中的元素称为开集，其余集称 为闭集对a x ，a 。= o o f ：o a ) 称为a 的内部；a = n f ：f f ，a f ) 称为 a 的闭包设b r ，f 中的每个元素可由b 中元素的并表示，则称b 为f 的一个基 若v x 满足：3 0 f 使得x o 互v ，则称y 是x 的一个邻域；z 的所有的邻域所 组成的集族称为x 的邻域系，记为v ；若v 0 v 使得对每一个v v ，3 w 丘使 得w v ，则称v v ：为x 的邻域基若一个拓扑空间存在非空的真开( 闭) 子集，则 称该空间为不连通的，否则该空间为连通空间；若拓扑空间( x ，r ) 的一个子集】， 作为它的子空间是一个连通空间，则称】，是空间( x ，f ) 的一个连通子集；对于拓 扑空间中的点的连通关系而言的每一个等价类称为该拓扑空间的一个连通分支， 即对于一个拓扑空间的任意不同的非空连通子集无交，且它的所有的连通子集之 并就是这个拓扑空间，则它的每一个连通子集就是该拓扑空间的一个连通分支 2 1 引言 等价关系的研究是一项基础工作例如粗糙集理论 1 ，它是解决模糊性和不 确定性问题的数学工具，它的分类机制是建立在等价关系上粗糙集理论的核心概 念是上、下近似运算，它们是由一个论域上的等价关系导出的运算从拓扑的角度 看，它们也可看作由一个论域上的等价关系诱导出来的拓扑而产生的闭包算子和 内部算子随着粗集理论在数据挖掘和软计算，特别是处理大型数据库和复杂问 题等方面的广泛应用，许多研究者突破原有粗集理论的限制，对粗糙集模型进行 有意义的推广，其中放宽等价关系r 是推广的热点之一例如，文 7 用一般二元关 系导出的邻域算子定义了上近似和下近似，提出相应的粗糙集模型；文【4 】用相似 关系( 即满足自反和传递的关系) 代替等价关系，提出相应的粗糙集模型；文 3 6 用 支配关系代替等价关系，提出相应的粗糙集模型 l i v i up o p e s c u 3 8 用一般的二元关系r 的对偶关系瓦代替等价关系，研究了 尺一分离公理，具体如下：令rc x x x 是x 上的二元关系，瓦为r 的对偶关系( 即 x r y 铮( z ，y ) 萑r ) ，用西代替x y ，用x 融或彳虱代替x 盛a ，用彳动代替彳nb = ，定 义了尺分离公理，得到z r 空间( f - 1 , 2 ，3 ，4 ) ( 当尺为对角线关系时z 月空间即为经典 的z 空间) ，得到一些很好的结果 连通性是一个拓扑不变性质一个拓扑空间被认为是连通的，如果它不能够被 表示为两个不相交的非空隔离集之并研究连通性是一般拓扑学的基本课题文 11 1 4 对连通性进行了深入研究和推广 本文利用拓扑空间上的二元关系r 定义了r 开集，由r 开集引入了r 邻域、r 闭包、尺内部、尺隔离等概念，由此定义了尺连通空间，给出了它的刻画，并研究 了它的一些性质从而深化了连通理论，推广了二元关系的应用 2 2 预备知识 设( z ，f ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系，r 。1 是尺的逆( 即 x r - 1 y ( j ，x ) r ) 对于x x 和acx ，我们定义：x r a x r y ，3 y a 并且，我们 记 尺( x ) = x ：x r y ，尺( 彳) = u 尺( x ) ； r - i ( x ) = xy r x ，r 一1 ( 彳) = u r 叫( x ) ； _ = 协：b3 彳，b r ) ； f1 月= bn a ：b r 显然， x r sc 今x r 一1 ( y ) 令y r ( x ) ；x r a 今z r 一1 ( 么) ； 6 r ( anb ) cr ( a ) nr ( b ) ，r ( aub ) = r ( a ) ur ( b ) ，r - 1 ( 彳nb ) cr 一( 彳) nr 。( 召) ；若r 为 映射，r _ 1 ( 彳nb ) = r _ 1 ( 彳) nr - 1 ( b ) ，r 叫( 彳ub ) = r - 1 ( 彳) ur - 1 ( b ) ；若r 是自反关系，则 ac r 。1 ( 彳) 2 3r 开集及其相关概念 定义2 3 1 设( x ，r ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系对于acx ，称彳为 ( x ，f ) 或x 的尺开集，如果对满足x r a 的任一x x ，存在开集矿，使得 x r - 1 ( 矿) cr 一( 彳) r 开集的补集称为( x ，f ) 或x 的r 闭集a 称为x 的尺开闭集， 如果彳在x 上是既r 开且r 闭的 显然，开集是r 开集，闭集是尺闭集 设( x ，f ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系，我们定义： 靠2 乜：么为( x ，) 的r 开集 命题2 3 2 设( x ，f ) 是拓扑空间，月为x 上的映射，那么( x ，r r ) 是拓扑空间 证明首先，对满足x r 矽的任一x x ，取u = 矽，则x r 一( u ) cr 一( ) ，所以为 尺开集对满足x r x 的任一x x ，取u = x ，则x r _ 1 ( u ) cr 。1 ( x ) ，所以x 是尺开集 其次，设彳，bcx 是r 开集对满足x r ( anb ) 的任一x x ，x r - 1 ( 彳nb ) cr 一1 ( 彳) nr - 1 ( b ) jx r - l ( 爿) 且x r _ 1 ( b ) 由于a 是r 开集，则存在u f ，使得 x r 1 ( u ) cr _ 1 ( a ) 由b 是r 开集，则存在v f ，使得x r 一( 矿) cr 一( b ) 于是 x r 。1 ( u ) nr - 1 ( v ) = r _ 1 ( unv ) cr 卅( anb ) 而unv f ，因此anb 是尺开集 最后，设 以：口人) 是r 开集族，对满足x rua 口的任一 x x ，xer - ( ua 口) = u r 一0 口) ，存在口人使得x r 。1 阮) 由彳口是x 上的r 开集， 则存在虬f 使得x r 一1 ( 虬) cr - l ( 以) 于是，x 尺( u u 。) cr - 1 ( u a 口) 而 u 虬f ，所以ua 口是x 上的r 开集 综上所述，( x ，了r ) 是拓扑空间 定义2 3 3 设( x ，f ) 是拓扑空间，尺为x 上的映射，那么称靠为( x ，r ) 的尺拓扑 定义2 3 4 设( x ，f ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系，x x ，acx 如果存在 灭开集u ，使得x uca ，那么称彳为点x 的r 邻域；如果a 是点x 的r 邻域且a 是 r 开集，称a 为点x 的r 开邻域 不难证明以下命题2 3 5 ： 7 命题2 3 5 设( x ，f ) 是拓扑空间，只是x 上的二元关系，x x ，ac x ( 1 ) 若a 是点x 的邻域，则彳是点x 的r 邻域； ( 2 ) 若彳是点x 的开邻域，则a 是点x 的尺开邻域 命题2 3 6 设( x ，f ) 是拓扑空间，尺是x 上的二元关系，acx ，那么彳是r 开集 当且仅当对任一x a ，a 是点x 的r 邻域 证明若a 是x 上的r 开集，对任一z a ，取u = a ，则是尺开集且x uca 于是彳是点x 的尺邻域另一方面，对任一x a ，a 是点z 的r 邻域，则存在尺丌集 u ，使得x u ，c4 ，予是a = u x ) cu 以c 彳，从而彳= u 以故a 是r 开集 定义2 3 7 设( x ，r ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系，x x ，ac x ( 1 ) 称点x 为彳的r 极限点，如果对任一点x 的尺邻域u ，有una 矽a 的所有 尺极限点的集合称为彳的r 闭包，记为c k ( 彳) ( 2 ) 称点x 为a 的r 内点，如果存在点x 的r 邻域u ，使得uca a 的所有尺内 点构成的集合称为集合a 的r 内部，记作扬f r ( 彳) ( 3 ) 称点x 为彳的尺聚点，如果对任一点x 的r 邻域u ，有un ( a 一 x ) a 的 所有尺聚点的集合称为彳的r 导集，记为d 舟( 彳) ( 4 ) 称点x 为a 的r 边界点，如果对任一点z 的r 邻域u ，有una 矽且 u n 一a ) a 的所有r 边界点的集合称为a 的r 边界，记作a 尺( 彳) 不难证明以下命题2 3 8 ： 命题2 3 8 设( x ，f ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系，acx ，那么 ( 1 ) i n t ( a ) ci n t 尺( 彳) cacc 1 月( 彳) ca 一； ( 2 ) c 厶( a ) 2 au d 尺) 命题2 3 9 设( x ，f ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系，acx ，那么c k ( 么) 是r 闭集 证明倘若c l ( c l r ( 彳) ) - c 1 月( 彳) 矽，那么取x e l ( e 1 月( 彳) ) 一c l r ( 彳) 由x 仨c l j r ( 彳) ，则 存在u f r ( x ) ，使得una = 于是对于某一尺开集wc ( x ) ，有x wc u ，显然 wna = 因此acx w ，从而c l 舟( 彳) cc l r ( 又一矿) = x w ，即nc i r ( 彳) = 因为 是x 的r 邻域，那么x 诺c 1 月( e l 冗( 么) ) ，矛盾所以c l ( c l r ( 彳) ) 一c l 尺( 彳) = 矽，即 c l ( e l r ( 彳) ) cc l r ( 彳) 故c k ( 彳) 是r 闭集 命题2 3 1 0 ( x ，r ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系，acx 是r 闭集当且仅 8 当a = c l r ( 彳) 证明设acx 是r 闭集对任一x c l j e c ( 彳) ，我们有x a 倘若x 硭a ，那么 x x a = u 因为a 是尺闭集，所以u 是r 开集根据命题2 3 6 ，u 为点x 的尺开邻 域，una = 这与点x 为彳的尺极限点矛盾，所以c 1 月( 彳) c 7 a 又因为c l 曰( 4 ) 3a ，故 a 2 c l r ( 彳) 另一方面，若a = c l j i c ( 彳) ，则x a = x - c l 尺( 么) 任意x x a ，那么x x - c l r ( 彳) ， 因此x 萑c l 凡( 么) 由r 闭包的定义知，存在u f r ( x ) ，使得una = 矽从而存在尺开集 形，使得x wc 2u 因此x wcx a 所以x 一么为点x 的r 邻域，根据命题 2 3 6 ，x a 是r 开集，故a 是r 闭集 由命题2 3 9 ，可得以下命题2 3 1 1 ： 命题2 3 1 1 设( x ，f ) 是拓扑空间，r 为x 上的二元关系，acx 那么 c i r ( a ) - - n b ：台x ：3a ，b 为r 闭集 命题2 3 1 2 设( x ，r ) 是拓扑空间，尺是x 上的二元关系，acx 那么 ( 1 ) x c l r ( 4 ) 2 i n t 尺( x a ) ； ( 2 ) x i n t r ( 彳) 2 c l r ( x a ) 证明( 1 ) 假定x x c l j e f ( 彳) ，那么x 仨c l 曰( 么) ，由r 闭包的定义知，存在u r r ( x ) ， 使得x u 且una = 矽，则u c x 一么，因此x i n t 月( x a ) 所以 x c 靠( 么) ci n t 尺( x 一彳) 另一方面，设x i n t 只( x a ) ，则存在u t r ( x ) ，使得z ucx 一彳，所以 un a = 因为u 是x 的尺邻域，所以x 诺c l r ( 4 ) ，那么x x - c l r ( 彳) ，因此 x - c l 尺( 么) 3i n t r ( x a ) 故( 1 ) 成立 ( 2 ) 在( 1 ) 中用x 一彳代替a ，同理可证 由命题2 3 9 n 命题2 3 1 2 ，可得以下命题2 3 1 3 ： 命题2 3 1 3 设( x ，r ) 是拓扑空间，尺是x 上的二元关系，则伽f 尺( 么) 是r 开集 由命题2 3 1 0 n 命题2 3 1 2 ，可得以下命题2 3 1 4 ： 命题2 3 1 4 设( x ，f ) 是拓扑空间，尺是x 上的二元关系，则彳是r 开集当且仅 当i n t j r ( a ) 2a 由命题2 3 1 l 和命题2 3 1 2 ，可得以下命题2 。3 15 ： 命题2 3 1 5 设( x ，f ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系，acx ，那么 9 i n t r ( 彳) = u b ：bca ，b 是尺开集) 容易证明以下命题2 3 1 6 ： 命题2 3 1 6 设( x ，r ) 是拓扑空间，尺是x 上的二元关系，acx ，那么 a 尺( 彳) = e l 尺( 彳) ne l r ( x 一彳) 命题2 3 1 7 设( x ，r ) 是拓扑空间，尺是x 上的二元关系，acx ，则 ( 1 ) e l r ( a ) 2 i n t 尺( a ) ua 月( a ) ； ( 2 ) c l r ( 彳) = a u a r ( 彳) 证明( 1 ) 由命题2 3 1 6 ，可得i n t r ( a ) u o r ( 4 ) cc l r 0 ) 反之，倘若 c k ( 彳) 一砌f 月( 彳) ua 月a 矽，取x c l 凡( 彳) 一伽r 月( 彳) ua 月( 彳) jx 正i n t 只( 么) ，x 诺a r ( 彳) 因为x 仨a 月( 彳) ，所以存在点x 的r 开邻域u ，使得una = 矽或un ( x a ) = 因为 x c l j r ( 彳) una 矽所以un ( x 一么) = 矽即有u c a ，因此x i n t r ( 彳) ，矛盾故 c l 尺0 ) c 砌，0 ) u a 尺( 么) 故e l 尺0 ) = i n t r ( a ) u o 片( 彳) ( 2 ) 由命题2 3 1 6 和( 1 ) 可证 定义2 3 1 8 设( x ，r ) 是拓扑空间，尺是x 上的映射，为( x ，f ) 的r 拓扑，y cx ， 那么称( 】，i 】，) 或】，为( x ，靠) 的子空间，也称( 】，f ri 】，) 或】，为( x ，r ) 的r 子空间 对于ac y ，我们记c ，砌，：( 爿) ，a 尺y0 ) 分别为a 在( 】，f 舟ly ) 中的闭包，内 部，边界 命题2 3 1 9 设( x ，f ) 是拓扑空间，r 是x 上的映射，x3 y3 z 若( y ，靠iy ) 为( x ，靠) 的子空间，( z ，( 靠i 】，) iz ) 为( l f rly ) 的子空间，则( z ，( f 月i 】，) iz ) 为( x ，) 的子空间 证明由定义2 3 18 ，只需证明( i 】厂) iz = f 只lz 因为i 】，= 臼ny ：a t r ) ，所以 任意b 靠iy ，b = any 又因为x3 y3 z ，所以( 靠lnz = bnz ：b f 月i 】，) = ( 彳n 】，) nz ：a f 尺 = - nz ：a f r = f r z 命题2 3 2 0 设】，为拓扑空间( x ，r ) 的r 子空间，r 是x 上的映射，acy ，则 ( 1 ) c 碟0 ) = c l 尺0 ) ny ，i ( 2 ) a ：0 ) = a r 0 ) n y ； ( 3 ) 砌f ；0 ) = i n t 月0 ) n y 证明( 1 ) 任意y c 碟( 么) ，因为acy ，所以y c 碟( 彳) cc 碟( 功= y 因为任意 u r r ( 少) ，uny r ry 且y uny ，因此uny ( f 月i 】，) ( y ) ，又因为y c 碟( a ) ，所 1 0 以缈ny ) na 矽，即una 矽，从而y c l 舟( 彳) ，所以y c l r ( 彳) ny 故有 c 碟0 ) cc l 曰( a ) ny 另一方面，任意y c l r ( 彳) n 】，我们需证明任意w 0 rl 】，) ( y ) ， 形na 那么存在u f r ，使得w = un y 因为y w ，所以y u ，从而u t r ( y ) 又因为y c l 舟( 爿) ，由r 闭包的定义知anu 矽，所以彳nw = anuny 痧，故 y c j 二( 彳) 因此c 0 ) 3c 1 月0 ) n 】，综上所述，c ，：0 ) = c l 尺( a ) ny 成立 ( 2 ) a ：；( 彳) = c 碟( 彳) 一a = ( c “( 彳) n 】，) 一a = ( c l 尺( 么) n y ) n 伍一a ) 2 ( c k ( 彳) n ( x 一么) ) n 】，= ( c k ( 爿) 一彳) n 】，= a r ( 彳) n y ( 3 ) 由命题2 3 1 2 有 】，一i n t ：( a ) = c l ；( y - a ) = c l r ( 】厂一彳) n ycc 1 月( x 一彳) n y = ( x 一m r ( 么) ) n y = 】，一n t j l c ( 彳) n y 故 咖f ；( 彳) 3 n t 尺( 彳) n y 另一方面，由命题2 3 1 7 ( 1 ) 有，c 碟( 彳) = i n t ：( a ) uo y r ( a ) ，所以砌f ：( 彳) cc ( 彳) 由 ( 1 ) 得： i n t r ( a ) cc 鹾( 彳) = c l r ( 彳) n y ， 再根据命题2 3 1 7 ( 1 ) ，我们有 砌，：( 彳) cc 1 只( 彳) ny = ( 砌，片( 彳) ua 尺( 4 ) ) ny = ( i n t 尺( 彳) ny ) u ( o r ( 彳) nj 厂) ， 所以由( 2 ) 得： i n t r r ( a ) c ( i n t 只( 么) n 】，) ug ( a ) 因为i n t r ( a ) 旺a ：( 彳) ，因此砌f ：( 彳) c n t 凡( 么) n y 综上所述，砌f ：0 ) = m r 0 ) n y 成 立 例2 3 2 1 设( x ，f ) 是拓扑空间任意x ，y x ，我们定义x 砂x = y ，那么 x r y 营z a 容易证明= r 例2 3 2 2 令x = 1 , 2 ，3 ) ，r = ， 1 ) ， l ，2 ) ，x ) ，r = ( 1 ，2 ) ，( 2 ，1 ) ，( 2 ，3 ) ，( 3 ，1 ) ) 那么( x ，f ) 是 一拓扑空间因为尺- 1 ( 1 ，2 ) ) = x ，r 一( 1 ) ) = 2 ，3 ) ，r - 1 ( 2 ) ) = 1 ) ， r - j ( 3 ) = 2 ，r 一( l ，3 ) ) = 2 ，3 ) ，r 一( 2 ，3 ) ) = 1 ，2 ) ，所以r r = ru 1 ，3 ) ) 这表明： ( 1 ) 1 ，3 ) 是x 的尺开集，但不是开集； ( 2 ) 2 ) 不是x 的月开集； ( 3 ) ( x ，f r ) 不是拓扑空间 2 4r 连通空间 定义2 4 1 设( x ，f ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系，a ，bcx 那么 ( 1 ) 么，b 称为是互斥的或者是x 上的一对互斥子集，如果anb = 矽； ( 2 ) a ，b 称为是隔离的或者是x 上的一对隔离子集，如果c l ( a ) n b = a nc l ( b ) = 矽； ( 3 ) a ，b 称为是尺隔离的或者是x 上的一对r 隔离子集，如果c 1 月( 彳) nb = a n c l r ( b ) 2 定义2 4 2 设( x ，f ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系如果中不存在两个非 空r 隔离集彳和b ，使得x = aub ，则称x 是一个r 连通空间否则称x 是r 不连 通空间 不难证明以下命题2 4 3 ，2 4 4 和2 4 5 ： 命题2 4 3 设( x ，f ) 是拓扑空间，r 是x 上的二元关系，彳，bcx ，则： ( 1 ) 如果么与召是隔离的，那么么与b 是r 隔离的； ( 2 ) 如果a 与b 是互斥的r 闭集，那么a 与b 是尺隔离的； ( 3 ) p n 果4 与b 是互斥的尺开集，那么彳与b 是r 隔离的 命题2 4 4 设( x ，f ) 是连通空间，尺是z 上的二元关系，则( x ，r ) 是r 连通空间 命题2 4 5 设( x ，f ) 是拓扑空间，r 是x 上的映射，则( x ，f r ) 是连通空间当且仅 当( x ，f ) 是尺连通空间 定理2 4 6 设( x ，f ) 是拓扑空间，只是x 上的二元关系，则下列条件等价： ( 1 ) x 是r 连通的； ( 2 ) x 中不存在两个非空的互斥的r 闭集彳和b ，使得么ub = x ； ( 3 ) x 中不存在两个非空的互斥的r 开集彳和b ，使得aub = x ； ( 4 ) z 中不存在一个既r 开又尺闭的非空真子集 证明( 1 ) j ( 2 ) 由命题2 4 3 可证 ( 2 ) j ( 3 ) 倘若存在两个非空的互斥的尺开集么和召，使得彳ub = x ，则 b = x a ，a = x b 于是a 和b 是互斥的尺闭集，使得彳ub = x ，矛盾 ( 3 ) 号( 4 ) 倘若存在一个既r 开又尺闭的非空真子集a ，令b = x