（基础数学专业论文）rn上半线性抛物方程解的存在性和不存在性.pdf

摘要 本文主要研究半线性抛物方程初边值问题之整体解的存在性和不存 在性全文由如下三章组成： 第一章介绍了问题的背景 第二章主要讨论如下半线性抛物方程的初边值问题： iu t a u = i x t i m i z i n u p ( z ，t ) r ( 0 ， u ( z 7 ，0 ；t ) = 0 t 0 ( 1 ) lu ( z ；0 ) = z $ 0 ( z ) z 兄掣， 其中p 1 ，m ，竹，t 0 ，z r n ，z = ( x 7 ，x n ) ，u o ( x ) 是定义在冗掣上的非负 连续函数得到了如下结论： 定理1 设钍o ( z ) 0 ，且不恒等于零，则当l 0 ( 2 ) i 让( z ；0 ) = u o ( x ) z r 筝， 其中p 1 ，m ，1 1 ，t 0 ，一r ，z = ( ，x n ) ，且咖( z ) ，( z ) 是定义在冗掣上 的非负连续函数得到了如下结论： 定理3 设咖( z ) 0 ，且不恒等于零，则当1 0 让( z ；0 ) = u o ( x )z 冗掣 ( 1 ) w h e r ep 1 ，m ，n ，t 0 ，z 7 r 一1 ，z = ( z 7 ，z ) ，a n du 0 0i san o n n e g a t i v e c o n t i n u o u sf u n c t i o ni nr ! w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m1i f1 0 ( 2 ) iu ( z ；0 ) = 蜘( z ) z 冗掣 t h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： i i i t h e o r e m3i f1 p 1 + 焉半，t h e n ( 2 ) h a sg l o b a ls o l u t i o nf o rs m a l li n i t i a ld a t a u 0 ，w h i l eh a sn og l o b a ls o l u t i o nf o rl a r g ed a t au o k e y w o r d s ：s e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n ，b l o w - u p ，g l o b a ls o l u t i o n 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明 的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 育蓑蛹 一p 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密d ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：奄象筇 别帷各徜 日舻k 易月中日 日舻体6 月牛日 星全圭兰堡丝丝望垄堡坚墼查垄堡塑至查垄丝 1 绪论 1 1问题产生的背景 偏微分方程理论在力学，天文学，电子技术，现代生物学，工程学，经 济学，孤波及人口理论的领域有着广泛的应用这些学科自身的精确化是 他们取得进展的重要保障，而这些学科的精确化是通过数学模型来实现 的，而大量的数学模型可归纳为所谓的半线性抛物方程 半线性抛物方程的爆破问题是近年来被许多作者广泛研究的一个课 题爆破问题首先是由h f u j i t a 在经典文献 1 】中提出的，f u j i t a 在经典文 献【1 】中提出的，后来，这一些经典结论被扩展成许多方向 关于解的整体存在性和爆破现象的研究 1 单个方程的情形 驴全一节、 ) r n “0 巩 ( 1 1 1 ) iu ( x ，0 ) = ( z ) 、7 1 9 6 6 年h f u j i t a 在【1 】中证明了存在临界指标p c = 1 + 丙2 ，使得 1 ) 当1 p 1 + 斋时，( 1 1 1 ) 的解对小初值存在整体解，对大初值不存 在整体解( 【1 3 】中的结果是当；厶i 咖卜1 如一南厶计1 d x 一2 ，有 硕士学位论文 1 ) 当1 p p c 时，( 1 1 2 ) 的解对小初值存在整体解，对大初值不存在 整体解 对于非齐次半线性情形 f 驴全一哆气矽“ ) ( 毛d “0 ，t ) ( 1 1 3 ) lu ( x ，0 ) = 呦( z ) 、 p i n s k y 在【1 4 】中证明了 1 ) 当1 p l + 莉2 + m 时，解对小初值存在整体解，对大初值不存在整体解 2 方程绍情形 l 饥一a u = 蚓m 矿 lv t a v = n u v lu ( z ，0 ) = u o ( x ) 【钞( z ，0 ) = v o ( x ) ( z ，亡) r n ( 0 ，t ) ( z ，亡焉r ( o ，t ( 1 1 1 4 ) 霉酽 、。 o r p = m 彻 p + n z p + 等，q + i n q 十i m ) 戴求亿在【6 】中证明了 1 ) 设乱o ( z ) 0 ，v o ( x ) o ，且咖( z ) o 或v o ( x ) 0 ，则当1 l ，p g 1 + 斋( 1 + p ) 则当u o ，v o 充分大时，( 1 1 4 ) 的解 在有限时刻爆破，而当咖，v o 充分小时( 1 1 4 ) 具有整体解 白f u j i t a 在文献1 中得到临界指标以来，包括a f r i e d m a n ，h 。l e v i n e ， f w e i s s l e r ，y g i g a ，v a g a l a k t i o n o v 等在内的一批著名数学家进入了这一 研究领域此后，人们开始研究各种非线性抛物型方程和方程组的f u j i t a 一2 r ! 上半线性抛物方程解的存在性和不存在性 的临界指标问题，八、九十年代关于临界指数的研究工作的综述可见文献 【3 ，1 l 】在本文中我们将研究初边值问题 u t 一钍= i x t i m i = n i 扎u p 在半空间r 垡中整体解的存在性与不存在性，其中p 1 ，m ，n 0 ，a = 耋岛是拉普拉斯算子 1 2 预备知识 1 2 1 解的整体存在性，局部存在性和爆破现象 解的整体存在性是指相关的抛物问题的解u ( z ，t ) 对亡 o 都存在，解的 局部存在性是指存在t 0 ，乱( z ，亡) 在t ( 0 ，t ) d p 存在所谓解的爆破性质 是指解在有限时间内会失去正则性，解本身或某些导数在有限时刻趋于 无穷 解的爆破理论首先是在上世纪四、五十年代在s e m e n o v 链式反应，绝 热燃烧和爆炸理论的研究中提出的自七十年代起，随着气体动力学、激 光核聚变和燃烧等领域的深入研究，非线性发展方程解的爆炸理论引起 了研究者的极大兴趣解在有限时刻爆破是指解或其导数在有限时间变 成无穷大( 按某种范数) 经典意义下的爆破是指逐点爆破现在仍然没 有完整的一般化理论，但是对于各类特定的模型有了许多相应的研究现 今爆破理论仍然是一个有发展空间的课题2 0 世纪6 0 年代，f u j i t a 对半线 性抛物型做出了开创性的工作，他的兴趣在于非负解关于时间t 的性态，从 而要求初值是非负的，且非线性项有定义自f u j i t a 开创性的工作以来，人 们对于非线性发展方程解的爆破理论做了大量的研究为了推广f u j i t a 的 结果，有四个可能的方向： _ 3 一 硕士学位论文 首先，可以在其它无界区域考虑以上爆破问题，如用一个有界区域的 外部或本身及其补集都是无界的区域来代替r n 第二，可以研究包括非线性耗散项的更一般的抛物方程 第三，考虑当改变非线性项( 通常称作反应项) 时会发生什么现象方 程组的情形也可以考虑 爆破的定义，所谓爆破是指存在一个常数t ( 0 ，+ 。o ) ，使得s u pu ( x ，t ) 0 爆破估计等) 等都 是我们感兴趣的问题处理这类问题的一种常用方法是上、下解方法，该 方法是利用比较原理，通过构造问题的整体上解和爆破下解来证明方程 解的整体存在或在有限时刻爆破 1 2 4 几个常用的不等式 5 一 硕士学位论文 y o u n g 不等式设口 0 ，b 0 ，p l ，q 1 ，并且；1 + ；1 = 1 则有 n 6 1 ，m ，n ， t 0 ，牡o ( z ) ，( z ) 是定义在冗誓上的非负连续函数这一结果改进和推广 了文【1 4 】的主要结果 - 6 一 r 空上半线性抛物方程解的存在性和不存在性 2 r 垡上半线性抛物方程解的存在性和不存在性 2 1引言 设p 1 ，m ，礼，t 0 ，“o 是定义在冗型上的非负连续函数考虑初边 值问题 l 缸t a u = i i m i z i n u p ( z ，t ) 冗掣( 0 ，t ) 乱( z ，o ；t ) = 0 t 0 ( 2 1 1 ) i 缸( z ；0 ) = u o ( x )z 群， 其中一= ( z ，z 一。) ，i z l = ( z ；4 - + z 知一1 ) ；，f 群= z 冗掣i z o ) 本章的主要目的是考察在半空间上当仇，礼0 时，它们对于方程( 2 1 1 ) 的可解性主要结果可叙述为： 定理2 1 1 设咖( z ) 0 ，且不恒等于零，则当1 0 ，c 0 ，对v t t o ，使 得 心( z ，亡) 西一譬一e x p ( 一篆) 鲫t z 冗掣 ( 2 1 3 ) 证明：易知( 2 1 1 ) 的解可表示成 u ( z ，亡) = 上掣g ( z mt ) 让。( z ) 妇+ z 。上垡g ( x , u , t - s ) l y l l m i 射i 竹u p d y d s 注意到铷( z ) 0 ，z 桦，因此存在x o r ，n ，以及g o 和常数c 0 ，使得 咖( z ) c ，z 展( z o ) r ! ，因此有 u ( z ，t ) c 。，a ( x ，y ，t ) u o ( x ) d y a ( x ，y ，t ) d y ( 2 1 4 ) j 避 j b , ( x o ) 。 对于基本解g ( x ，可，t ) 有下面的估计： = ( 4 删嘲e 印专一唧专芋】 = ( 4 删也印之芋【e 印坠掣叫 ( 4 1 r t ) 也计唑竽】半 = ( 4 1 r ) 一譬( t ) 一学【e 印( 一雎2 t 、 z 】【e 印( 一警2 ) 蚋】 ( 2 1 5 ) 将( 2 1 5 ) 代人( 2 1 4 ) ，对耽 t o 1 有 乱( z 2 碍e 印( x 2 t 2 ，) x 亡n ( 、2 万力一譬厶m ) e 印( 一萎) 妇 d 譬- 1 e 印( 一譬) 年蝇 引理2 1 2 设u ( x ，亡) 满足( 2 1 1 ) ，且u ( x ，亡) e x p ( 一譬) z ，t t l ，2 【- 譬一1 ，+ o 。) ，则存在正常数c 及如使得 心( 础) 沙( 峨聃竽e 酬一譬) z 妇尺掣，t t 2 ( 2 1 6 ) 8 一 型二生兰2 茎苎堕塑查堡堡箜童垄堡塑至查垄丝 证明：由于0 且g ( x ，y ，力为正函数，由引理( 2 i 1 ) 可知 缸( z ，亡) 2 上zg ( z ，y 铷( z ) 咖+ o 。上垡g ( x , y , t - - s ) h 鼽l 竹俨咖如 f o t 厶g ( x , y , t - - s ) m m l 鲋i 竹矿( 爹，t ) 由d s 矿z 。厶g ( x , y , t - - s ) h 蚋h 印( 一了p y 2 ) 鳙s 扫咖如 ( 2 1 7 ) 先计算 g ( z ，秒，亡一s ) 唧( 一堂) s = 归( x - y , t - s ) 一垂( z y , t - - 8 ) 】唧( _ p j 占y ? ，) = 胁 一s ) 】警 e 印【- 簧云等一e 印卜若】) e 印( 一竽) = m 卜s 庐恸【- 鲢致鹆瘩掣j e z p 一丛鲣型4 磐堕堂m s ( ts 1 j j 令r = 甭靠习便有 g ( 训，亡一s ) e x p ( 一学) = 胁( 卜s 胪蚓一峰群h 计譬群】) = m 卜s 胪蛔e 一辚一等h 计辚一错， = 眺q 胪唧卜警蚓一辚蛔【贮辫- 1 】 附 一s ) 】孚e 印( 丝竽) e 印f - 等云笃】f e 印警等一1 】 = m 扣钏芋唧嵩酬一( 学+ 鹩j ，等 = ( 4 神萼 一s ) 型掣e 印丢篙鼽e 印 堡髦洋跚) ( 4 们竿 一8 ) 芈e 印丢鹣柳e x p s + 4 z p m ( t - 一s s ) i l r i x l 2 z ) = ( 4 丌) 竿 一s ) 业产 e 印寺热鲋】【e 印者鹄z 】 ( 2 - 1 8 ) 硕士学位论文 由( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) 可得 t 正( 础)c p r 厶 一s ) 芈【e 印葫拦y2 面射j l e 印摘x 2 z 】l 刎m l 鲋i n + p s f p 由如 矿r ( ) 掣e 印半z 上型e 印嵩p 炒挑 令丁= r 一s ) ，由 上型e 印弓笋l m 靖叶1 咖盯芈 故有 u ( 州) c e 计毕胁e s f p ( t 叫芈丁鼍掣d s = 吲一学妇z 喜抑华r 学丁芈d s ， 令刀= ；，当亡4 t l 时就有 蝴) c e 卅学肺名t 龇产( 1 刊掣【南】芈却 吲一譬胁t 业产序刊芈【南】芈咖 c e x p ( 一毕) 州掣 干丝 引理2 1 3 设乱( z ，亡) 是( 2 1 1 ) 的解，则当1 0 ，使得 u ( x , t ) _ c r t r e x p ( 一毕炳， 引， 进而有 l i mu ( x ，t ) = 0 0 t - - * + o o - 1 n 一 冗型上半线性抛物方程解的存在性和不存在性 证明：由于u ( x ，t ) 满足( 2 1 1 ) ，由引理( 2 1 1 ) 知存在常数c 及使得 u ( z ，t ) d 一譬- 1 e 印( 一了x 2 ) 芒 ，z 雌 又由引理( 2 1 2 ) 可知存在常数c l ，t 1 使得 u ( z ，z ) 西+ ( 1 + ；肼字e 印( 一了x 2 ) z 比桦，z 亡1 定义映射u ( z ) = 互1 + ( 2 + ) p + m 2 + n ，u ( z ) 存在不动点 圳_ f 1 = 堕垃掣 由此可得p 0 = 1 一丽r n + n + 2 当p ( 1 ，p o ) 时，有u ( z ) 1 令( z 1 ) = l k + l ，如果 能够证明 便有 因而有 1 i m ( 1 ) = 1 i mk = r 0 ， 詹+ 凫 u ( 础) e 印( 一毕) z t 独 下面让我们证明( 2 1 9 ) ： 。l i r a u ( x ，t ) = 0 0 t + + o 。 。 u ( f 。) = ：，= ( z 。+ 三殄+ 掣 u ( z 2 ) = z 。= ( z 2 + 互1 ) p + 掣 ( f 1 + 护+ 竺乒p + 堕 。，+ 丢) p 2 + r e + r n + 2 p + t r e + n + 2 一石1 下面我们可采用归纳法来证明，设 ( z 1 )拈m q 1 华妻矿t 互1 ， ( 2 1 9 ) 硕士学位论文 不难证明 u 知+ 1 ( z 1 ) u 老氏= ( k + 三) p + 掣 陬+ 三) p + 堕笋一 m + 三) + 堕等 l 七+ l ， 1 2 k + 1 f p k - - i j 一一1 z * 一 j ；- - ；- t 2 因此归纳假设成立，即 以邓+ 批半打1 = 石与 【m + n + 2 - ( 2 i x + 1 ) + ( 2 l l + 1 ) p l p 七一( m + n + 2 ) ) 一互1 由1 1 = 一学，i 0 ，即 1 i mu 南2 = 。l i mk = r 0 成立 i t - - - o o口- - - * o o 2 2 主要结果的证明 定理2 1 1 的i t n ： 运用反证法假设( 2 1 1 ) 具有整体解，则由引理2 1 3 可 知，通过一个时间轴变换，我们不妨假设u o 充分大，选取有界区域q 础 使得 一1 2 一 ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ( 。，t ) a q ( 0 ，t )( 2 2 1 ) z q 矿 k、 额 “ = u 矿 = o 一 = 而仉u 叭 ，-iij、i-_-_， 冗! 上半线性抛物方程解的存在性和不存在性 由比较原理可知 乱( z ，t ) u ( x ，亡) ( 2 2 2 ) 又由【5 】的结果可知，当u 0 ( z ，t ) 充分大时，v ( x ，t ) 必在有限时刻爆破，由此 及( 2 2 1 ) , - l9 nu ( x ，t ) 必在有限时刻爆破，这就产生了矛盾，定理1 证毕 定理2 1 2 的证明：爆破结论的证明完全类似于定理2 1 1 ，从略f 向对 整体解的存在性进行证明，现在让我们来寻找( 2 1 1 ) 具有如下形式的上 解 瓦( z ，t ) = a ( t + 亡) 一a e 一盯1 , 7 1 2 z ， ( 2 2 3 ) 其中7 7 = 南，a ，0 f ，口 0 为待定常数通过计算表明要使其成为问题 ( 2 1 1 ) 的上解，只需 一q + 2 口n + 4 盯口( 4 盯一1 ) i v l 2 + a v 一1 ( t + 亡) 1 + q 一口p i z ，l m l z i n + p 一1 e 一2 i ，i ，( 2 2 4 ) 取玎= 则有 一a + 1 + 学a p 一1 ( t + 亡) l + a - - a p l x i m x ni n + p - - 1 e - 纽m 2 ， ( 2 2 5 ) 由p 1 可知，存在常数c 使得 l z 7 l i x i n + p - 1 e 一纽m 2 c ( t + 亡) 盐2 笋 因此要使( 2 2 4 ) 成立，只需 一口+ 1 + 百n a p - 1 ( t + t ) 1 + 口一口p + 竺纽芦， 选取q 使得 1 + a 一口p + 竺2 掣：o ， 即p = l + 甓警， 则当0 f l _ 1 _ m 。+ 。n 一+ 2 = l qm 。+ ，+ n + 2 时，对充分小的a 必有( 2 2 4 ) 成立，这样就构造了( 2 1 1 ) 的一个上解，因而当咖( z ) 充分小时( 2 1 1 ) 具 有整体解证毕 1 3 - 兄2 上半线性抛物方程解的存在性和不存在性 3 非齐次情形 3 1引言 在第二章中我们研究了半空间上半线性抛物方程的可解性，在本章中 我们研究半空间上非齐次半线性抛物型方程的可解性考虑问题 i 钝一a u = l z 7 l m i z f n u p + ，( z ) 乱( 一，0 ) = 0 ( z ，t ) r 掣( 0 ，t )( 3 1 1 ) 【牡( z ，0 ) = 牡o ( 。) ， 其中p l ，m ，妃，t 0 ，呦( z ) ，( z ) 是定义在桦上的非负连续函数， = ( x l ，x n 1 ) ，l i = ( z i + + z 南一1 ) 壶，冗掣= z 7 ，x n x n o ) 本章的主要结果可叙述为： 定理3 1 1 设u o ( x ) 0 ，且u o ( x ) 不恒等于零，则当1 0 ，存在芘 0 ，c 0 ，对娩 0 ， 使得 出d 也印( 一譬) 鲫 t ，z 桦( 3 1 2 ) 证明：易知( 3 1 1 ) 的解可表示为： 上掣g ( z ，秒，t ) 咖 ) 咖+ z 。f r ，g ( x , y , t - - s ) 7 h 射i n 扩+ ，( 秒) 】幻如 tl 迸g 。x , y , t - - s 蛐 1 5 注意到，( z ) 0 ，z 冗筝，因此存在z 。群，以及，c 0 ，使得，( z ) c ，z 展( 。o ) ，得至i j 钆( z ，舌) g ( z ，秒，亡一8 ) d y d s j oj b e 忙o ) = ( 4 丌) 半z z e 印【方专m s ) - 学幽厶。唧 隶】劫 1 ( 4 7 r ) i - - r x nj 纷- s ) 华e 印( 半灿z e 印【志8 打 0 ，n。z l 艺一l 。 2 陬恩印【嵩h o 5 ( h ) 芈d s re 印【志咖 酬4 泸e 印( 半h z 孝( h ) 掣d sz 8 吲；d r c e 印( _ - - i x l 2 ) z 厂吾( t - - s ) 掣d s = d 一譬e 印( 一了t , 2 ) z 引理3 1 2 设札( z ，亡) 满足( 3 1 1 ) ，且让( z ，亡) 彬e 印( 一譬) z ，亡 孟1 ，z 卜譬，+ o o ) ，则存在常数c ，t 2 使得 巾一护( 1 瑚p + 字泖( 一手) 鲫 证明：证明过程与引理( 2 1 2 ) 的类似 ( 3 1 3 ) 引理3 1 3 设u ( z ，t ) 满足( 3 1 1 ) ，则当1 0 ，使得 进而有 u ( 州) 妒吲一譬) z 亡。 - 1 6 r 空上半线性抛物方程解的存在性和不存在性 证明：证明过程与引理2 1 3 的类似 3 2 主要结果的证明 定理3 1 1 的证明： 应用反证法假设( 3 1 1 ) 具有整体解，则由引理3 1 3 可 知，通过一个时间轴变换，我们不妨假设u o 充分大，选取有界区域q r 使得 慨u t - 三a u = 5 u p ( z ，t ) q ( 0 ，印 ( z ，t ) a q ( 0 ，t ) ( 3 2 。1 ) z q 乱( z ，t ) u ( x ，t )( 3 2 2 ) 又由【5 】的结果可知，当u o ( x ，t ) 充分大时，u ( x ，t ) 必在有限时刻爆破，由此 及( 3 。2 2 ) 可知u ( x ，亡) 必在有限时刻爆破，这就产生了矛盾，定理3 1 1 证毕 定理3 1 2 的证明爆破结论的证明完全类似于定理3 1 1 ，从略 下面对解的存在性进行证明，寻找( 3 1 1 ) 具有如下形式的上解 面( z ，亡) = a ( t + t ) 一q e 一口m 2 z + g ( z ，y ，t 一8 ) i ( u ) d y d t ( 3 2 3 ) j q3r 其中，7 = t t 霓霉- t ，鉴于( 地一u ) 嘭厶! g ( x ，y ，t s ) f ( y ) d y d t = ，( z ) ， 因此只需证明 一a + 2 a n + 4 a a ( 4 a 一1 ) j 刀1 2 + a p 一1 ( t + 亡) 1 + a - a p x 7 i mj z i n + 尸一1 e 一m 2 ，( 3 2 4 ) 取盯= i 1 则有 一q + 1 + 虿n r 一1 ( t + 力l + a - - a p z p i 跚i n + p - 1 e - 牮岷 ( 3 2 5 ) 一1 7 硕士学位论文 由p l 可知，存在常数c 使得 i z 7 i m l z i + p 一1 e 一纽m 2 c ( r + 亡) 丑= 号p ， 因此要使( 3 2 4 ) 成立，只需 选取 一q + 1 + 百n 一1 ( t + 旷p + 霉拶， l + o ：- - o r p + 翌i = o ， 即p = 1 + 百m - t - n 丁- t - 2 ， 则当o t 1 + r e 2 + 口n 一+ 1 2 = 1 + r e + n 一+ 1 2 时，对充分小的a 必有( 3 2 4 ) 成立，这样就构造了( 3 1 1 ) 的一个上解，因而当u o ( x ) 充分小时( 3 1 1 ) 具 有整体解 3 3 其他 it t a u = 妒+ ，( z ) 巡o ! 型n = 0 ( z ，亡) r 筝( o ，t ) ( 3 3 1 3 ) lu ( z ，0 ) = u o ( z ) 方程的基本解为： g ( z ，y ，t ) = 圣( z y ，t ) + 圣 一雪，t ) = ( 4 删嘲蚓一譬】+ e 计学】) 2 ( 4 删也印【- 譬】 因此可将半空间上的黎曼问题转化为全空间上的柯西问题 - 1 8 冗! 上半线性抛物方程解的存在性和不存在性 问题2 我们在前面( 2 1 1 ) 及( 3 1 1 ) 中都要求初值咖( 。) 0 ，事实上初 值u o 不一定要求是非负的，只要有相应的初值线性问题 fu ：一全u = 0 ，、 ( z ，亡) r ( o ，t ) ( 3 3 2 ) 1 扎( z ，o ) ：u 。( z ) 【3 3 2 慨篙 姒加k ( z ，亡) r ( 0 ，t ) z z z ( - - 1 ，z ) z - l ， u ( x ，亡) = ( 2 7 r t ) 一譬g ( z ，可，t ) u o ( y ) d y ，r = ( 2 7 r t ) 一ee 计譬姒洲咖 = ( 2 州【佃向( i x 云t y l 2 ) 一e 计i x - q 。y 1 2 ) d y + 仁鲫( 一譬凇 0 1 9 冗空上半线性抛物方程解的存在性和不存在性 结语 本文在戴求亿，p i n s k y 等学者研究的基础上，研究了 i 让t a u = 1 2 7 l m i z i n u p( z ，t ) 兄掣( 0 ，t ) 牡( z 7 ，o ；t ) = 0 t 0 i 让( z ；0 ) = u o ( x )z r 掣 以前，人们考虑最多的是全空间上解的存在性，而本文考虑了半空间上的 半线性抛物型方程之整体解的存在性与不存在性，并推广到了非齐次的 情形在证明定理2 1 1 ，2 1 2 的过程中主要运用了极值原理，上下解方法 但本文没有研究这些问题的爆破速率及爆破集，因为它们和解整体存在 性及有限时刻爆破问题一样具有很高的实际背景和应用价值，所以也值 得继续研究。 一2 1 参考文献 【11f u j i t a ，h o nt h eb l o w i n gu po fs o l u t i o n so ft h ec a u c h yp r o b e mf o r 毗= a u + u l + a j 1 3 f a c $ c i u n i v t o k y os e c 1 ，1 9 9 8 ，1 3 ：1 0 9 - 1 2 4 【2 】b a n d l e ，c h a l e v i n e o nt h ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o no f r e a c t i n - d i f f u s i o ne q u a t i o n si ns e c t e r i a ld o m a i n s 【j 】t r n r 8 a m e r , m a t h 8 0 c ，1 9 8 9 ， 3 1 6 ：5 9 5 6 2 2 。 【3 】l e v i n e ，h t h er o l eo fc r i t i c a le x p o n e n t si nb l o w - u pt h e o r e m s 【j 1 s i a mr e w , 1 9 9 0 ， 3 2 ：2 6 2 - 2 8 8 【4 】p i n s k y , r g e x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n sf o r 毗= a u + a ( x ) u p i n 冠df j 】zd 忍1 9 9 7 ，1 3 3 ：1 5 2 - 1 7 7 【5 】e s c o b e d o ，m a as e m i l i n e a rp a r a o l i cs y s t e mi nab o u n d e dd o m a i n 【j 】a n n a l id z m a t h p u r ae da w lc i v ) 。1 9 9 3 1 1 5 ：3 1 5 - 3 3 6 f6 】戴求亿一类半线性抛物方程组的爆破临界指标【j 】应用数学学报，2 0 0 2 ，2 5 ： 3 3 9 3 4 6 【71z h a n g ，q s an e wc r i t i a lp h e n o m e n o nf o rs e m i l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m s 【j 】z m a t h a n a l a p p t , 1 9 9 8 ，2 1 9 ：1 2 5 - 1 3 9 【81z e n g ，x z b l o w - u p r e s u l t sa n dg l o b a le x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h ei n h o - m o g e n e o u se v o l u t i o np l a p l a c i a ne q u t i o n s 【j 】n o n l i n e a ra n a l , 2 0 0 6 ，6 6 ：1 2 9 0 - 1 3 0 1 【9 】z h a n g ，q s b l o w - u pr e s u l t sf o rn o n l i n e a rp a r a b o f i ce q u t i o n so i lm a n i f o l d s 【j 】d u k e m a t h z1 9 9 9 ，9 7 ：5 1 5 - 5 3 9 fl o 】k e n g ，d g l o b a le x i s t e n c ea n db l o wu pf o rh e a te q u a t i o nw i t han o n l i n e a rb o u n d a r y c o n d i t i o n j 1 m a t h m e t h o d sa p p l 8 c i , 1 9 9 5 ，1 8 ：3 0 3 1 5 硕士学位论文 【1 1 】k e n g ，d t h eb l o w - u pr a t ef o rap a r a b o l i cs y s t e m j 1 za n g e w m a t h p h y s , 1 9 9 6 ， 4 7 ：1 3 2 1 4 3 【1 21h a y a k a w a ，k o nt h en o n e x i s t e n c eo fg l o b a ls o l u t i o n so fs o m es e m i l i n e a rp a r a b o l i c e q u t i o n s 【j