（基础数学专业论文）wey1几何中的曲率张量的构造.pdf

摘要 y8 6 9 0 1 在物理中的e i n s t e i n 重力理论中所需的曲率空间可以由向量的平行移动的形 式来讨论，即一个向量沿着一闭环平行移动时，他的最后的方向会发生变化但是， 当引力常量随着时间发生改变，这时的向量沿着一闭环平行移动时，大小也会发生 变化，即长度是不可积的，这时就需要新的理论，在数学上把这种理论叫w e y l 几何， 它可以看作r i e m a u n 几何的一种推广w e y l 几何中的曲率张量与r i e m a u n 几何 中的曲率张量有什么关系呢? 本文主要是探讨w e y l 几何中的曲率张量的构造过程， 最后可以得到类似于p d e m a n 几何中的曲率张量的一些很好的结论 在5 1 中我们首先简单的回顾一下p d e m a n n 几何中的关于曲率张量的一些主要 的结论， 在2 中，主要的给出w e y l 几何中的曲率张量的构造过程及性质 在3 中，给出性质的证明过程 在弘中，给出w e y l - h c r m i t e 空间中的曲率张量的构造，可以看作曲率张量向 复空间的扩展 关键词：r i e m a n n 几何，w e y l 几何，曲率张量 a b s t r a c t t h eg r a v i t a t i o n a lf i e l di sv e r yw e l le p l m n e db ye i n s t e i n st h e o r y , w h i c hr e - c o u n t sf o ri ti nt e r m so ft h ec u r v a t u r eo fs p a c e t h ec u r v a t u r eo fs p a c er e q u i r e db y e i n s t e i n st h e o r yc a nb ed i s c u s s e di nt e r m so ft h en o t i o no ft h ep a r a l l e ld i s p l a c e m e n t o fav e c t o r t h et r a n s p o r to fav e c t o ra r o u n dac l o s e dl o o pb yp a r a l l e ld i s p l a c e m e n t r e s u l t i n gi nt h e f i n a ld i r e c t i o no ft h ev e c t o rd i f f e r i n gf o r mi t si n i t i a ld i r e c t i o n w e y l 8 g e n e r a l i z a t i o nw a st os u p p o s et h a tt h ef i n a lv e c t o rh a sad i f f e r e n tl e n g t ha sw e l la s ad i f f e r e n td i r e c t i o nw h i c hi sav e r yw e l lg e n e r a l i z a t i o no fp d e m a n n i a ns p a c e i n 1 ，f i r s tl e t sr e v i e ws o m e m a i nc o n c l u s i o n so f c u r v a t u r et e n s o ri nr i e m a n n i a n g e o m e t r y i n 2 ，m a i n l yt a l ka b o u tt h ec o n s t r u c t i n go ft h ec u r v a t u r et e n s o r i n 3 ，s h o wt h ep r o v i n gp r o c e s so ft h ep r o p o s i t i o n i n 4 ，s h o wt h ec o n s t r u c t i n gp r o c e s so ft h ec u r v a t u r et e n s o ri nw e y l - h e r m i t i a n g e o m e t r y , w h i c hc a nb es e e na st h ee x t e n s i o nt ot h ec o m p l e xs p a c e k e yw o r d s ：r i e m a n n i a ng e o m e t r y , w e y lg e o m e t r y ，t h ec u r v a t u r e t e n s o r 引言 w e y l 几何的产生的背景t 有理由相信引力常量会随着时间而改变，这种改变就 迫使改变e i n s t e i n 的重力理论物理学中的大范围作用力是指在两个相互作用的 物体之间，它们在降变过程中的力反比于它们的距离的平方，这里有两个著名的大 范围的作用力即引力场与电磁场，引力场已经由e i n s t e i n 很好的解释过了，它可以 以曲率空间的形式来阐明，这就使得人们相信电磁场也应该归功于空间的一些性质， 而不是紧紧的嵌入到空间中，那么这样就要求建立一个更加广泛的空间，这个空间 要建立在r i e m a n n 理论上，但是要比它更加广泛，这个更加广泛的空间不但可以来 阐述引力场与电磁场而且能够来统一大范围的作用力在e i n s t e i n 的重力理论出现 以后，这个问题的假设w e y l 解决了，e i n s t e i n 理论所需的曲率空间可以以一个向量 的平行移动的形式来讨论，即一个向量沿着一个闭环平行移动时，它的最后的方向 会发生变化，w e y l 总是假定向量最后的长度发生变化，因此它是r i e m a n n 几何的一 个非常自然的推广但是用最初的w e y l s 的想法，没有一个一致的方法来比较不同 的两点的元素的长度，除非这些点非常的靠近，这个比较可以仅可以通过连接两点 的道路但是如果对于两个元素的长度比不同的话，不同的道路会导致不同的结果， 为了有长度的数学的理论，我们就必须在每一个点建立一个自由的标准的长度，这 样就可以在任何的点来定义向量的长度值，但是，当改变局部长度的标准时，这个值 会改变当然，这个长度的改变可以由一个函子来完成 考虑在点向量，长度为；，坐标为扩，假设它可以平行移动到点扩+ 缸p ，则 它的们将正比于如一，所以它具有形式酏= z d 下面假设长度的标准改变，即 我们可以乘以函子a ( 。) ，则有z + r = u ( 。) 且f + 谢( f + d z ) ，= r + 矾，所以 其中 j 7 + 6 f = ( f + j j ) a ( 。+ d z ) = ( f + 种) a ( 。) + l a ，“6 a 严 、 a a p 2 丽 ：。+。+。!】!f。一 则 f ，十6 r = f a ( $ ) + 6 1 a ( z ) + l a “d 扩， 得到 踟7 = 以+ a 。“6 耋p = 越- t - 簪，) 5 ， 其审簪一l n a 。这样 毓= 、0 铲， 磁= 札- i - 。 w e y l 几何在物理中的广泛的应用引起了数学家的黉视，在许多的文章巾也寥次 的提到p a m d i r a c 在1 9 7 3 年的文章( 觅【l 】) 中提到w e y l 脯中的曲率张量有类 似黎曼几何中的黎曼曲率张量的很好的性质，但是没有给出性质的详细的证观，本 文主要的就燕给出这个很好的性质的详细的复杂的繁琐的证明过程 l回颟r i e m a n n 凡鹰中曲率张量的一些结论 设m 是m 维的光滑流形，g 是m 上对称正愆的二阶协变张最场，若渺；) 是m 的个局部坐标祭，张量场g 农u 上可以表泳为 g 一瓣矗矿圆d w 其中一野t 是u 上的光滑函数，g 农每一点p m 缭出了蜀( m ) 上的二重线性 函数 设x = x 未，y y 丽o ， a ( x ，y ) = 辩岔y ， 二次微分拔与局部坐标系的选取是光荧的，通常称为度鼍形式，称为l l i e m a m 1 度慧 定义1 设( m ，g ) 鼹个扎维的黎曼流形，映射 r ：俨t c 。( m , t m ) c ”( 蝇t m ) 一( m ，t m ) 定义党 r ( x ，r ) z = v x ( v r z ) 一v y ( v x 彩一v i x , ，1 z ， r 称为( 1 , 3 ) 型r i e m a n n - c h r i s t o f f e l 曲率张量场 定义2 黎曼流形m , g ) 上静( 0 , 4 ) 蘩r i e m a n m c h r i s t o f f e l 麴率张萎凌是一获 射： r ：c ”( m ，t m ) c 。( m ，t m ) 0 ”( m , t m ) xg 0 0 ( m , t m ) + 0 ”( 1 i f ) 矗( 墨k z ，w ) = a ( r ( x ，r ) z ，) ， 局部的，农搬标域扩上，若设局部坐标零是0 1 ，。2 ，$ ”) ，x = x 皤，y = 落， z = 多盛，w = w - a , ，巅 r ( x ，y 玩w ) = l x w 一 符涮她 捌= r ( 惑，南，鑫，毒) = 9 ( 硪基，鑫) 最基) = 堍鳓， 其中 硪= 器一器+ 如吨一r 袅吆。 憾震黎曼滚澎上戆夔率张爨翰瓤寿f 甏瓣径震： ( 1 ) j 捌= 一马材= 一墉， ( 2 ) 嘞斟+ 最姆+ 焱断= o ， ( 3 ) 槐州= r k i i i 注：详缨内容觅f 4 】，【5 l ，嗣。 2w e y l 几何中的曲率张量的构造过程 定义1 设m 是m 维的光滑流形，9 是r i e m a n n 度量，u 是一形式，如果在规 范变换下g 变为g = a 2 9 ( 其中 为m 上的正的光滑的实函数) ，一形式u = b d 扩 变为u = k d x “( 其中：= 札+ 0 ( 1 n a ) ) ，那么我们就把这样的几何叫w e y l 几何 由定义可以看到w e y l 几何是p d e m a r m 几何的个广义的推广，在其中有两个 变换：即g a u g e 变换与广义的双线性坐标变换 d s _ d s = a d s 札一砬= k u + o ( 1 n ；9 定义2 设】，为( m ，g ) 中张量，y 为( m g ) 中张量，如果在在上述变换下y 与y 满足y y ，那么y 叫次数为他的余张置若n = 0 ，则y 就叫i n - t e n s o r 下面看一下几个张量的次数，由d s 2 = 鼬。d x u d z ”，及在g a u g e 变换下，出p 是不 变的，则乳，为2 次余张量，9 炒为一2 次余张量 下面来看，在g a u g e 变换下，如何构造个次数为n 的余张量 一般得，如果t 是一个余张量，但是霉，= 一r 品t 。不是个余张量，然而， 可以构造一个统一的协变导数，叫余共变导数，记作7 k = z ，一。”r 盘z 。，它是一 个余张量 首先看次数为n 的标量s ，有s 7 = s ，且s 的共变导数s ：p = 墨，一r 各 与普通导数相同，我们可以都记作品，则在g a u g e 变换下 则 咒= ( a - s ) p ， = a ”品+ ，；a “一1 a “， = 品+ n - 1 a ( 一札) s = & + 札( 一) s ( 品一n k s ) = ”( 一n 札s ) 6 韭堕! 型盟笪些主壅篓塑煎丝塾堡 即品一n 钆s 是次数为n 的余向量 定义3s _ = 品一n 札s 叫s 的余共变导数 为了得到余向量与余张量的余共变导数，下面来定义一个广义的t r 盘 + 1 1 品= 一鳐一够札+ 跏胪 则+ r 品在g a u g e 变换下是不变的 下面定义余共变导数 设在局部坐标系下a = a u d z “，也的次数为n ，或= 如，在g a u g e 变换下 张量( 4 。一+ 聪。) 有 则 ( a u 一) = ( a “a p ) ，一( + r 品 j 4 。) 2 a “a p v + n a “一1 a ” j 一+ r 盘，a “a 。 ( a 一。一一n k v a “一+ i 、品) 7 = a “( a 。，一嘶如一+ r 盘) 定义4 a p ”= a 一一n k , , a p 一a 。，叫做的余共变导数 根据a = a m i 墨如及。瞄的定义可以得到 a p + ”= a “：”一( n 一1 ) a p + a 。一跏詹。如 下面定义第二余共变导数 定义5 设s 是次数为n 的标量，s o ，= s 0 ：。一一1 ) b + 钆s 0 一乳，护| s ：。 叫s 的第二余共变导数 性质1 5 ：忡”一= 一扎e 。s 证明 = 品一n k , s ， s m = ：”一仰一1 ) v + p & 一9 p 一酽踮 = 瓯：v n 札：，s n 七p s r n k v ( 昂一钆鼍* s ) ， = 母：p n k s n b & 一n k p ( & 一n b s ) ， & v = 乱v r 知& ，：p = s ，“一r & ， 乱：r = 岛 7 s - 一s “b = 一n f p s 定义6 设也是次数为n 的余张量量， a 。t 一一= 4 “w n k a ”一十( 鲰b + 醪缸一跏妒) a p v + ( 卯b + 露枷一g ”妒) a 脚 叫九的第二余共变导数 性质2 a 肿。一a ”，= ( j w p a p 一( n 一1 ) f l 。 其中 。= 吼+ 跏( 札：，+ 缸k ) + 跏( ：，+ 椰) 一日( ：v + 札k ) 一跏( ：一+ b ) + ( 9 p ，靠v 一郇，9 ) 胪a 。 = 一b m 口p + 毛l 9 p f + g f 一g f i i ，一9 f 凶， b u 。= ( 一咎+ 譬一哆+ r 岛) ， + 吼w = 邑，+ 跏( ：，+ 札b ) + 跏( b ：，+ b b ) 一g ，( 札：”+ 札) 一9 p ( 如：，+ k 如) 一 ( 跏+ 跏勖一跏一跏勖) 由性质2 可以看到，可以把d 可以作为p d e m a n - c h r i s t o f f e t 张掇的一个广义的 推广，但是它没有一个r i e m a u - c h r i s t o f f e l 张量的一般的对称性+ 性质3 ( 1 ) ”= 一嚣m = 一b p ， 嗡b p 口p 七b 七b # * * = 0 。 瀚b f p b # ， 避p 积p 口p = b m ”p = b 。4 ： b v “ i 窝b m 。4 妒b w 中b m ，一0 由性质3 可以糟到，b 却满足所有的对称性。这样我们就把+ 嚣叫做w e y l 空 间的r i e m a n - c h r i s t o f f e l 张量 3 性质的证明 下面给出这个公式的证明过程：先计算一些在证明过程中需要用到的一些基本 的公式：以下的计算都是在局部坐标系下来完成的 公式一 a p ：v = a p 一r 品a 口 证明 d a p d 扩= a d x ”od x “+ a p ( 一聪口d x 。o 如4 ) = ( a 。一f 2 , ) d z o d 矿 公式二 a p 一：一= a m ，。一a 风。r 缸一a p 啦i 乞 证明 d ( a u ”d 扩 如”) = 山。 d 矿。如“0 d z ”+ 屯。d 如”o d x ” + a 。d 茁“0d d x ” 公式三 公式四 证明 = j 4 帅d x o 舻o d x ”一a 舢d z 。o 舻。舭 一a p r 孙d z “ d x “o d 扩一缸，叱。d x = o d x o d x ” 一a 脚吃d x 。圆删。秽 妒= k l g “ 筹一k l 棚耐+ 岛箬丽。，一旷+ 衄毒 9 积鲰= 霹 筹一“警 否万2 一r 9 ”盲爹 9 。姒= 鹾 1 0 一。 l ! 丝堕照骥盟 。 尉 于是 ，落时器一。 豢耐。= 一严纂萨 丽0 9 a z 辞= 一一罄扩， 筹= _ g a l 鼎o g l k g 胁， 否歹 鼎“。， 箬一一g 一= - , g 参丽。一蕾 公耐：五 誊砘扩。一册”参 o 掣 1。 珏廿 谜麓鑫公式篓) 与 公式疆) 鹫疆褥强 嚣= k z , ，g 州+ 鹕碧 = 甄，+ 岛( 一事”g 蟠) = 硒g o , 一9 a , 7 “n 静 公蹴穴 一鼬筹戋= 一跏矗+ 蜘扩警 证明由公式五可得 一鼬嚣如。鼬镌箍，+ 瓣如孽一舻箩 = 一9 砂a i 臃a + 跏4 。”韶笋 公篝i ：七 直2 南：r 一如一1 ) 南+ 稚也一鼬舻如 竺a p 一i 嚣a 一( 丁l 1 ) a p + k a ，一鲰，凫a a 。 公式八 。，= ，。一碧a r 知几， - ( n 一1 ) 。a 。一( n 一1 ) 4 ，一 十靠。，a ，+ p a ，一笔等凫。a 。 - 9 1 , ，筹a 。一跏妒a 下面就主要的来证明前面的公式，来看一下公式中的b 与+ b 分别是什么由定义 可以得到 a ”w = a w ：口一n k 口a ” + ( 鳄k + 露札一g 妒9 ) 如v + ( 9 # b + 鳄幻，一g i , ，k 9 ) a m ， 又由于 a p 戢v = a u 埘：p n 南p a 埘口 + ( 鳄+ 鳄l 一9 9 ) a + ( 鳄k + 9 ：口一g o v k p ) a “p ， 则 a ”口一a h ”p = ( a 。一a p 。：，) + n 如。一n k a ”。 + ( 鳄b + 鳐缸一g k p ) a p ” 一( 鳄b + 鲧缸一9 妒妒) a p ” + k + 鲳一舢。舻) a p 一( 鳄+ 够枷一如，k 9 ) a m 先给出证明的式子中的一些记号： 1 2 l ! 丝堕鲍堡璺 计算攀个式子 n k v a n w 一他口岛w ( a 口。：”a p ，：，) f 鳢+ 露鼯一骆妒岛” 一( 9 ：匕+ 9 枷一如v 驴) a p 帕 ( 够岛+ 菇k u 一9 。妒) a 口蚴( 鳐+ 繇静秽一曲”竞刁4 即 显然( s ) 一o 再来饕( 1 ) ，( 1 ) = n a p 。一n k 。, a 坩”， 蜜穗? 式：) 芨穗 式忐) 霹褥， ( 1 ) = ”曙擒，一麓如一砸一i ) k r a p 十瓠南一晒驴囊叠一蕊，涵；，”r 南 一( 扎一1 ) k ，山+ 4 。一9 。a 。】 = 椎鹣南f 一嚣臻建。一秘一1 ) n k 鹃南 十张札如一n k , 蜘胪如一n k , a m 一锋瓣磁矗s + 坼一l 滤r 函 一牲札a v + 扎口m 妒a 。 = 社札如，。一挖r 盘a a + 毛砖， 一蕊r 酗妒& 一韩琢聋。，嚣如r 如 - n k 口k u a p + n k a g u ，k 4 a 。 鼢 瓣 渤 下面来看( 3 ) ( 3 ) = ( 鲧b + 醒p 一9 舻酽) a p w = ( 鲧十蝣蠢p 一跏舻) i a g v 一( 1 ) k p a ，+ k 屯一跏驴a 0 = a ，泌一l ；b 鬈孙+ 壤蠢r 颤 一乳，“九+ a 。：，札一( 札一1 ) k a 一 + 岛a p 一勃一扩a a 一蜘9 4 妒 + 如一q 9 舻k ”a p k p a v k p + g p v 妒g m k 。钆 下麓袋看( 4 ) ( 4 ) 一( 鳐+ 钟研一跏9 ) a 肿r 一( 鳐如+ 熙珏一g k p ) ， 一( 羁一1 ) k p a ，+ 如a 一一跏惫4 a a 】 = a ：，k 一一1 ) b a p 札+ 缸a ，b 彝，稚妒屯+ a ，。稚一协一1 ) a v + 如a 口9 v o k p 。a a + g 炒妒a + g p ( 椎一t ) k p 岛岛+ 鼬奠，醇 + 9 w 9 蜘b a a 所以( 3 ) 与( 4 ) 的和为： ( 3 ) + 圆= 瓠一如一氐一十如：，粕 a v k i 一g * 舻a * p + 9 p k p a p ：口 1 4 5 兰丝爨鲤堡骥 + 坼+ 1 ) 缸a 一露一0 + 1 ) 岛妨 一舢铲愈+ g m , 毛妒氐灿礼轳如 + g v 口k i 。a + n g k 9 k p a p n g k 口a p + 9 k p a 口k 口一g k 囊p k p 则这时把( 1 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 加超来可以褥到 ( 1 ) 中余下的项为 础r 南a 一* 一噍南，+ 础，r 缸南， ( 3 ) + ( 4 ) 中余下的瓒为 a 炉b 一如：a b + 如：”靠一a b g p 9 与：，+ g 渺9 尘口* + 铝盘岛 一竹稚南一鼬k a a 。+ 跏札护矗。 一g 。v k “酽a a 七g v o k “妒a 七g p k p a 口k p g 口k 毋￥k 叉由公式= 南：”= 氐，一珞屯， 以褥割，遮对静( 3 ) + 转) 孛余下静顼为 b ，v k o f 州a a + k a p 一i 品a 口 + 跏k 9 ( a 舻一鼍，a a ) + 跏女9 ( 如，一r ，如) 一岛尚一+ 墨 a 一( 五”一一氏c ) + 凳弘盖”岛 一礼a 一一跏k k a a 。十跏札妒a 。一9 知札酽a 。 + 9 r 一札k “a a + 9 p v 鳓a 一坼一跏a ，坼 l ! 笪塑鲤堡堕 1 5 所以这时的( 1 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 再次相加可以得到 ( 1 ) 中余下的项为 ( 他一1 ) k 岛，一一( 件一1 ) r 譬如 一( 铭一1 ) 妨氐，+ 一1 ) 自a 虢a a 3 ) + ( 4 ) 巾余下辩磺为 札a v 一稚r “+ 跏9 ( 4 ，一一r 嚣a 。) 一9 加9 ( 一一一r 品k ) 一( a 。，一r 饕a 。) + 如屯k 一愈一妇。如妒如 + 跏孙妒屯一跏稚舻气十蜘稚妒如 + 9 归k p a 口k 。一9 ”k p a p k p 下面来计算( 2 ) 由公式( 2 ) 可以得到 ( 2 ) 一a 舭，：，一以口。，：。 一缸岍一a 一一直牌珞 一f 五p w ，一五一l 一a 。r 豁j ， 所蕊，最麓( 2 ) 中余下的顼为 ( 2 ) 一a p 。一a p w ：= p m 口 一如* m ”一a 。w i 墨十a a ”r ， 由公式八可以得到 量脚一& 。一譬如一珏如， 一扣一1 ) k ，一( n 一1 ) k a a 。， + ”如十缸如，一磐k 。a 。 又毽先 所以有 最后得到的( 2 ) 为 一跏等如一跏枞 一9 ”j 万_ 4 “一口 。a n a w = 。一吃山 一( 一1 ) 岛a 。+ ，一擘。舻a 口】， 一u r 缸= r s a 。，一r ! 。a 口 一( 托一1 ) 砖量。十建。一g 。是8 南】， ( 霉= 蔗辫p 万一蠢却# ：p 。 ”，一a p w 一 一i 诜+ a 。r 孔 = a 忡一譬a 。一强。a 。， 一( 孙一1 ) 如( 托一1 ) a g ， + 札一以”+ 札如一是皆k “a 。 一g ”罄轰n g 舻a 。口一迪# # 带。 一：i 拶a 。一i 。，一( n 一1 ) k ，a 一谗一1 ) 拓 “r 十鲰。a 。+ 黛， 一船舻如一跏黟a 。一鼬舻，d i 口。，一聪，a p 一( n 1 ) 岛，如 + 敏。囊，一g a ”妒南j + i i 建。，一瑶，南 一m 一1 ) 也+ k 一乳，胪山】 总之这对的( 1 ) + ( 3 ) 十( 4 ) 为 ( n 1 ) k v a “一一( 他一1 ) b f 品屯( 伸一1 ) a p 一 髓一1 ) 珏r 螽如+ a # ，。一雾氛一鬈，& 一( 佗一1 ) k ，山一( 扎一1 ) b + ，a v + 如。一磐驴氐一鼢器屯一跏轳 。， 一( 山，。，一譬a 。一i a 。，一m 一1 ) b ，a ， 一( n 一1 ) k 。a p ，+ a ，+ 如，一船8 a 。 一跏器如一跏妒如，0 一池，一瑶，南 一一1 ) ，a 。+ k a ，一9 。胪山1 + r 品【a 。， 一驾，南一如一1 ) 如+ 奄一鼢轳蚓 + 札如”一札曙屯+ 鼬舻( 如一一啼) 一跏舻( 氐，一焉氐) 一岛( n 一一曝是) + 稚a v 砧一a ，k ，一乳。舻a 。十乳。k 舻a 。 一g a ”札驴a “+ 鼬舻以。+ 甄，如如k p 一跏如a ，妒 = 一鼬扩强忽+ 跏舻珞a a + 也 一k & k v 一9 p k g 姆a q g k p a v k p + 擘拶b 轳点。g 妒妒一雾建。 一( n 一1 ) ，a “+ ，a ，一磐。a 。 一鼬蕊o k f a n 4 。+ 雾如+ 缸一1 ) k ，鬈 一如札，+ 爹舻氐+ 跏a - ；v a 。 + r 勘l r 2 ，山+ a ，一岛。妒 口】 一l 茜f 一翠尚氟；南一热。舻冀p j 。 1 8 l ! 堡堕塑堑翌 = 一跏妒a 。+ 跏k 9 r 函如+ 札a ，k k * a a k v g p k 口 一a q g k p a p k p + 乳。b k 。a 。+ 乳，k , a ，k p 一笔a 。 一( n 一1 ) k v , ， + 札，a ，一g 警。a 一跏o 。k 。“a 。+ 等a 。+ ( n 一1 ) k ，4 一a ，札，+ 名等8 a 。+ 目 嚣a 。 一瑶。r 品也+ r ：，k 如一r 品i c e a p + r 盘a 。一也+ r 品啦，舻a 口 = 一雾屯+ 譬如一瞄r 嚣也 + r 5 i 乱a 。+ a ，( 札：，+ k ) 一a 。( 札：，+ 札b ) + ( 如靠，一a ，) 护k 一( 扎一1 ) b a p 一乳r k p r ：, a 。+ 9 p r 知4 。 一g u ”k ，k “a 。+ 跏b 。如一是砦k a a 。 一灿筹a 。+ e 。g _ 业，k 8 a 。+ 跏筹九 一r g 一胪a p + r 品乳，j 护a z = 一譬a + 譬如一础，也 + 磁，r 筋a 。+ a 。( 札：。+ k ) + a v ( 札：一+ 札k ) 一如( 札：，+ 砧) + ( a 一目妒一a p a 9 妒) 七。k 一( n 一1 ) r ，a 。 一乳v ( 胪+ 如护) 如p + 跏“+ 4 ) l ! 丝壁鲤堡骥 1 9 十( 一是笋+ 镪舻+ r 岛卯。一r 盘鹭鼢) b + ( 一跏券如+ 跏筹屯) 、 又由公式五，霹镄童式秀 ( 等+ 訾一糯+ 吼) 、a 矿a p p 即o 肛，口f ，y 叩n 专 v ( ：，+ 瓠) + 建，轴( ，+ 稚毛) 一如( b ：”+ 钆b ) 一a 一鼬( 鳓：，+ 拓) + ( 如口如一 埘g 舻) 驴一( 铭一l 】e 。a “。 叉阂为 a “t 一”一如一t 一= a 9 所拨每瑟证琵戆等式曩孽袁迭毙鞍鼙激褥鹫 岬一( 一警+ 雾一曝十嚷r 筋) 鼬。， j e 0 种= j 。唧+ 9 和( ，+ 稚岛) 十晒( 岛：，+ 如) 一9 舻( w + b ) 一9 ，( ：，+ 椰b ) 一9 w f 七g f w g m f w g f 凶 嚣瑷镁蒺2 褥汪| 下面来证明性质3 证明( 1 ) 根据定义，c h r m t o f f e - l e v i - c i v i t a 联终。的韭率矩陴是 q d u u a u 外微分( 1 2 0 ) 式可以褐副 幽t g 一留a 薅g + 据瘁，+ g 幽= o ( 鼬一u u ) g 十g 。( 幽一w a u ) = 0 ， 2 0 一 l 堡壁鲤垂盟 剐 q - g + 。( q g ) = 0 * 嘴踯， 蠹”十瞻 = 0 ， 哪= ；壤，。如” 如一， 一一器+ 雾一喽臻+ 哆鞴氮 = i 吼忡妇” 出一， 一( 一警+ 雾一臻+ 唼强) 鳓 由( 1 ) 式埘以得到 b ”口2 一基m f ” 舞i 得弱了辫证明的第一个摊式 ( 2 ) 由c h r i s t o f f e - l e v i n c i v i t a 联络的无挠性，可得 外微分并利用 由 d x * a = 8 ， g = 撬嗡+ a 蝴， d a ( q 雌一啦 啊) = 0 ， 拶a = 莰 ：；崴。即妇，a 拶， b 掣e 妇9a 出妒a d 妒= 0 。 一 i 丝堕塑堡塑 2 i 所以 所以 则 饵p 。+ b 。h + b 曲d a d x 。a 出= 0 则( 2 ) 得证 ( 3 ) 由( 7 ) 一( 6 ) 得 b p p a + b 口q + b 口= 0 q 6 、 b * p 口+ b 口p b = 0 ( 乱 2 b p 。p + b m o + b 口v b w ，一b w = 0 根据前面的性质可得 2 b p 口p + b 呻p 口+ b m + b 口p + b p p = 0 再把p 与p ，口与p 交换 所以 则 2 b ”4 d 口七b v 口q p + b v * + b w + b ，”p b = 0 下面证明关于+ b 的性质 2 b o p 一2 b p = 0 b u v 口p = + 吼一p 2 吼v + 跏( 札，一+ k p 一2 r 盘k + 2 k p k a ) + 9 如( k 一十k ，一2 王1 刍k + 2 ) 一i 1 、k + k p 一2 k + 2 h b ) 一；乳一( ，+ b p 一2 r 品+ 2 k p k a ) + 1 9 g p 一9 g o k 。k t 2 2 51 堡重塑堑哩 所以有 又由b 的性质 所以有 同理 又由b 的性质 所以有 + b ”一一= 耳一一十 鼬v ( ，+ k ，一2 咯k + 2 k p k 。) + ；9 ( 札一+ k 。一2 k + 2 札b ) 一女跏( + 也，p 一2 r 品k + 2 k p k u ) 一 跏( 札，。+ k p 一2 r 品k + 2 k b ) + ( 邬一跏一钆，9 ) 舻 b 口p = 一b w 口h t b 口。2 b m o + b t u a v p2 马* + 跏( 札+ ，p 一2 i j w , k 。+ 2 k t 。k v ) + 跏( 如，+ b p 一2 r 品+ 2 b 拓) 一z 1 、k p ，+ b p 一2 r l 惫+ 2 k k a ) 一 乳一( 纬，+ k p 一2 鼍k + 2 k p k v ) + ( 跏跏一跏乳。) 护k b p 口p = 一b v p b m p = j b v d ! 堡壅艘诞塑 2 3 叉由b 的性质 所以有 + b v p 妒；b v n + 专g ，媾，。p + k 。一啦。k + 2 k ，k p ) 9 坤，+ ，一2 u , k o 2 蠡，) 一i 驰p ( 札h + 札，。一2 r k + 2 札) 一；g 雌( p + & ，一2 r l k + 2 拓颤) + b 口4 9 ”* 一g ，嘏，玉舻靶， 下麓谣囊纛为0 。巍 所以有 b 口口2b 口”， + b 咿口p = ，b ” + 绵”卵= 邬”邓+ 跏( 札，+ ，p 一2 r l k + 2 k ) + 蜘( ”+ ，一2 蔷瓠+ 2 岛) 一晕( 鳓，”+ b “一2 f 、岛+ 2 ) 一 跏( 一+ 一2 嘴k + 2 靠) + 鼬鼬一劬晒矽 + 謦掣2 鼋一+ 辆a ( 一+ ，一2 珞+ 2 如稚) + ；p m ( 札一+ ，一2 r l k + 2 ) 一j 1 、k p ，+ k p 一2 r t k + 2 ) 一 9 妒( p + 岛，一2 i 警p k a + 2 k v k p ) + ( 嘶蜘一跏) 胪k ， 2 4 8 蔓堡堕塑堑璺 所以有 目p 一= 玩胪。+ 如p ( 札。+ 也，p 一2 - i - 2 k k ，) 十9 如( 岛，+ k p 一2 曙十2 鳓如) 如v ( 缸，一+ 孙p 一2 + 2 稚岛) 一 g m ( 如，+ k ”一2 r 啬+ 2 k ) | 镪，固8 一g ，穗凶静k + + b p 时p b p b 晦斟口= b 睁豫p 嚣峨咿七b 嘲坩 + ；邪”( 缸，+ 如p 一2 r l k a 十2 札k ) + 跏( + 一2 + 2 k p k ，) 一 9 舻( 札+ k ”p 一2 i 翟札+ 2 k k ) 一 靠，( 一+ k ，一2 珞+ 2 如) 十( 跏跏一跏跏) 驴蚝 + 跏一( b ，p + k p p 一2 r l k + 2 k , k , ) 窝印( ，+ 酝，一2 麓+ 2 毛 一 9 ( ，+ k p 一2 + 2 札) 一舻( 如+ 。一2 r l k + 2 岛) 七妯v 口9 口一g 。，e a 妒k 。 + 知p ( 缸，v + ，p 一2 r 嚣k + 2 札) 十 跏( 稚，+ p 一2 i 茹如十2 孙砧) 一 西”( 札，+ 如* 一2 r 三口十2 札b ) i ! 丝壁般逛鳗 2 5 一 ( h 一+ h ，一2 p 豁k + 2 k 札) + ( 跏舢一妨鼬) o 叉囊b 的住簇 b 口p 七b + 8 w 口= 0 ， 所以凑 8 口p 守b 口 + b m f = 0 由性质2 和性质3 可以看到，w e y l 几何中的曲率张量有类似于m e m a n l l 几 穆孛瓣夔率张量黪一些壤好的缨谂：它鳃这些魏凌在跃器爨愁蔡德鳃空阉颤w e y l - h e r m i t e 空闯，w e y l - k a h l e r 空间中有许多重要的作用 54w e y l h e r m i t e 空间中的曲率张量 从v a n o 6 ，2 n 维实流形可以由复坐标系覆盖，使得两坐标邻于的交集是全纯 的，则就有认为就有一个复结构，记吼为复流形，用l a t i n l ，2 ，n ，t ，夏，元，来 d s 2 = g i j d z 列 ( 蚓 下面来定义w y e l - h e r m i t e 空间：在h e r r a i t i a n 空间中加上 d s 22 g # d z d z j ， 在这个空间中来定义n 阶协变张量：设t 为( m ，g ) 中张量，r 为( m g ) 中余 张量，如果在上述变换下t 与r 满足r = a n r ，那么t 叫次数为n 的余张量若 下面给出几个张量的次数肋的次数为2 ，的次数为一2 ，