（基础数学专业论文）block型李代数的量子化及广义verma表示.pdf

上海交通大学博士学位论文 b l o c k 型李代数的量子化及广义v e r m a 表示 摘要 李代数是由挪威数学家s l i e 和德国数学家w k i l l i n g 在研究无穷小 变换的概念时各自独立发现的由于其在微分方程、微分几何等许多学 科中的广泛应用使得该学科得以迅速的发展结构理论和表示理论是李 代数理论中的两个最主要的课题特别地，无限维李代数的表示理论是 许多数学物理学家一直很感兴趣的问题，也是近年来代数学科中最活跃 的分支之一 量子群是在二十世纪八十年代由v g d r i n f e l d 和m j i m b o 在研究物理 问题时，特别是对y a n g - b a x t e r 方程的研究中各自独立发现的量子群不 是群，而是特殊的h o p f 代数，是一个李代数的普遍包络代数的形变量 子群有一个很重要的结构，即李双代数结构所谓李双代数就是一个李 代数同时具有一个李余代数结构，而这两种结构满足一定的相容条件 对李代数西来说，经典的y a n g - b a x t c r 方程的解与移上的一个三角的李 双代数结构是一一对应的关系计算出经典的经典y a n g - b a x t e r 方程的所 有解一直是许多数学家和物理学家非常关心的问题在h o p f 代数或量子 群理论中，构造李双代数的量子化是产生新的量子群的一个十分重要方 法，研究李双代数的重要目的之一就是对其量子化因此研究李双代数 的上边缘的、三角的结构并对其进行量子化是研究量子群的非常重要的 课题之一在量子群的研究中还有一个有趣的课题就是构造李代数的量 子形变及其相对应的量子群结构所谓的李代数的量子形变就是对李代 数的李运算中加入一些参数，使之广义化当参数趋向于l 时，李代数的 量子形变就回到原来的李代数；另外，李代数的一些性质在它的量子形 变中仍然保持李代数的量子形变在数学物理等学科有着广泛的应用 1 9 5 8 年r b l o c k 引入了一类无限维单李代数( 后来被称为b l o c k 型李 代数) 自此以后，有关研究这类李代数的文章陆续出现b l o c k 型李代数 之所以得到如此高的重视，其中一个重要原因在于该代数与v i r a s o r o 代 数及c a f t a n 型李代数密切相关( 广义b l o c k 型李代数包括c a r t a ns 型或h 型李代数，v i r a s o r o - l i k c 及q - 类似v i r a s o r o - l i k e 等代数) 众所周知，v i r a s o r o 中文摘要 代数在数学物理的很多领域有着极其重要的作用，c a r t a n 型单李代数在 李代数理论中也起着非常重要的作用如今，v i r a s o r o 代数的表示问题 已得到比较完善的解决，然而c a r t a n 型李代数的表示理论却远远不够完 善，所以研究一些特殊的c a r t a n 型李代数的结构与表示是一项很有意义 的工作 最高权表示无疑是表示理论中的最重要的课题之一目前对仿射k a c - m o o d y 代数，v i r a s o r o 代数，量子代数及y a n g i a n s 的v c r m a 表示的研究已取 得了可喜的成绩，但v e r m a 表示的研究还有待发展，还有很多有趣的没 解决的问题其中之一是对v c r m a 表示的研究进行推广，而推广v e r m a 模 本身是一个最自然的想法研究广义v e r m a 模可以更好地理解经典v c r m a 模的结构和性质 本论文共分四部分，第一部分是研究一类b l o c k 型李代数( 该代数与 著名的李代数肌+ 。密切相关，也是c a r t a ns 型或h 型李代数的特殊情况) 的李双代数结构；研究q 类似v i r a s o r o - l i k e 代数的李双代数结构通过烦琐 且富有技巧的计算我们得出它们所有导子的集合中没有外导子在计算 b l o c k 型李代数的李双代数结构时，我们应用到了v i r a s o r o 代数的中间序 列模的已有结果，把b l o c k 型李代数在伴随表示意义下看成v i r a s o r o 代数 的某类中间序列模来处理，把复杂的计算变的清晰而有条理最后证明 了这两类李代数上的李双代数结构是上边缘的，三角的第二部分是对 第一部分的李双代数进行量子化，通过构造d r i n f e l d 扭对李双代数的余乘 法和对径点扭一下，但保持乘法和余单位不变来实现第三部分是研究 另一类b l o c k 型李代数的广义v e r m a 表示我们构造了该类李代数的广义 v e r m a 模，确定了该表示的不可约性第四部分是研究h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数的量子形变，我们给出了h e i s e n b c r g - v i r a s o r o 代数的量子形变的一个 实现，之后研究它的中心扩张并计算出它的第二上同调群最后给出与 h c i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数的量子形变相对应的非平凡的量子群结构 关键词b l o c k 型李代数，q - 类似v i r a s o r o - l i k e 代数，李双代数，y a n g - b a x t e r 方程，量子化，d r i n f c l d 扭，h o p f 代数，广义v e r m a 模，量子形变， h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数 q u a n t i z a t i o na n dv e r m a t y p el i e r e p r e s e n t a t i o no fb l o c k a l g e b r a a b s t r a c t l i ea l g e b r a sw e r ei n t r o d u c e db yn o r w a ym a t h e m a t i c i a ns l i ea n dg e r m a n m a t h e m a t i c i a nw k i l l i n gt os t u d yt h e c o n c e p to fi n f n i t e s i m a lt r a n s f o r m a t i o n s r e s p e c t i v e l y b e c a u s eo fi t sb r o a da p p l i c a t i o ni nd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n dd i f f e 卜 e n t i a lg e o m e t r y , t h i sa l g e b r aw a sd e v e l o p e dr a p i d l y a si t i sw e l lk n o w n t h a t 、t h e s t r u c t u r et h e o r ya n dr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y , e s p e c i a l l yf o ri n f i n i t ed i m e n s i o n a ll i e a l g e b r a s ，a r et w oo ft h em o s ti m p o r t a n tt o p i c si nt h et h e o r yo fl i ea l g e b r a s q u a n t u mg r o u p sw e r ei n t r o d u c e db yv g d r i n f e l da n dm j i m b or e s p e c t i v e l y t os t u d yt h ey a n g - b a x t e re q u a t i o n si nm a t h e m a t i c sa n d p h y s i c si nt h ee i g h t i e so f t h et w e n t i e t hc e n t u r y a c c o r d i n gt oq u a n t u mg r o u p st h e o r y , q u a n t u mg r o u pi s n o tag r o u p ，b u tas p e c i a lh o p fa l g e b r a q u a n t u mg r o u pi s e s s e n t i a l l yaf o r m a l d e f o r m a t i o no f t h eu n i v e r s a le n v e l o p i n ga l g e b r ao fal i ea l g e b r ag ，t h es e m i c l a s s i c a l s t r u c t u r ea s s o c i a t e dw i t hs u c had e f o r m a t i o ni sal i eb i a l g e b r as t r u c t u r eo i l a a l i eb i a l g e b r ai sal i ea l g e b r agp r o v i d e dw i t hal i ec o b r a c k c tw h i c hi s r e l a t e d t ot h el i eb r a c k e tb yac e r t a i nc o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n w ek n o wt h a tt h e r ei sa 1 - 1c o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nt r i a n g u l a rl i eb i a l g e b r a sa n ds o l u t i o n so ft h cc y b e ， w h i l eg i v i n ga l lt h es o l u t i o n so ft h ec y b e i ss t i l la no p e np r o b l e m i nq u a n t u m g r o u p s , i no r d e rt op r o d u c en e wq u a n t u mg r o u p s 7c o n s t r u c t i n gq u a n t i z a t i o no f l i eb i a l g e b r a si sa ni m p o r t a n ta n de f f i c i e n ta p p r o a c h t h e r e f o r e ，o n eo ft h em o s t i m p o r t a n ti n t e n to fs t u d yb i a l g e b r a si st oq u a n t i z et h e s ea l g e b r a s i nr e c e n tv c a r s i th a sb e e ng r e a ti n t e r e s tt oq u a n t u md e f o r m a t i o n so fc o m m u t a t o rr e l a t i o n so fl i e a l g e b r aa n dr e l a t e dh o p fs t r u c t u r e s t h eq u a n t u md e f o r m a t i o no fal i ea l g e b r ai s o b t a i n e db ya d d i n go n ep a r a m e t e rq ，w h i c hi sr e d u c e dt ot h eo r i g i n a ll i ea l g e b r a w h e nt a k i n gt h el i m i tq _ 1 ；s o m ep r o p e r t i e so ft h eo r i g i n a ll i ea l g e b r ar e m 越n i n1 9 5 8 ，r b l o c ki n t r o d u c e dac l a s so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a l s i m p l el i ea l g e b r a s ( u s u a l l yr e f e r r e dt oa sl i ea l g e b r a so fb l o c kt y p e ) s i n c et h e n m a n ya u t h o r ss t u d i c d i i i a b s t r a c t g e n e r a l i z e db l o c ka l g e b r a s p a r t i a l l yd u et ot h e i rc l o s er e l a t i o n st o t h ev i r a s o r o a l g e b r aa n dc a r t a nt y p el i ea l g e b r a s ( g e n e r a l i z e db l o c kt y p el i ea l g e b r a si n c l u d e c a r t a nso rht y p el i ea l g e b r a ，v i r a s o r o - l i k ea n di t sq - a n a l o ga l g e b r a ) ，t h e s e a l g e b r a sh a v ea t t r a c t e ds o m ea t t e n t i o n si nt h el i t e r a t u r e i ti s w e l lk n o w nt h a t v i r a s o r oa l g e b r a sa n dc a r t a nt y p es i m p l el i ea l g e b r a sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei n m a n ya r e a so fm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s t h et h e o r yo ft h er e p r e s e n t a t i o n so f v i r a s o r oa l g e b r a si sw e l ld e v e l o p e d ，h o w e v e r ，t h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fc a r t a n t y p el i ea l g e b r a si sf a rf r o mb e i n gw e l ld e v e l o p e d i no r d e rt ob e t t e ru n d e r s t a n d t h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo fc a r t a nt y p el i ea l g e b r a s ，i ti s v e r yn a t u r a lt of i r s t s t u d yr e p r e s e n t a t i o n so fs p e c i a lc a s e so fc a r t a nt y p el i ea l g e b r a s t h ef o u n d a t i o no ft h et h e o r yo fh i g h e s tw e i g h tm o d u l eo v e rc o m p l e xs i m p l e f i n i t ed i m e n s i o n a ll i ea l g e b r a sd u et ot h eo r i g i n a lp a p e rb yd v e r m a ，w h e r et h e f a m i l yo fu n i v e r s a lh i g h e s tw e i g h tm o d u l e s ( v e r m am o d u l e s ) w a si n t r o d u c e da n d s t u d i e d s i n c et h i s ，m a n yf a m o u sa n dd e e pr e s u l t sa b o u tv e r m am o d u l e sw e r e o b t a i n e d s o m er e s u l t sh a v eb e e ng e n e r a l i z e dt oc e r t a i ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ll i e a l g e b r a s ，e g ( a f f i n e ) k a c - m o o d ya l g e b r a ，v i r a s o r oa l g e b r a ，q u a n t u ma l g e b r a s ， y a n g i a n sa n df o r t h s of a rt h et h e o r yo fv e r m am o d u l e si sn o tc o m p l e t e da n d t h e r ea r em a n yi n t e r e s t i n gu n s o l v e dq u e s t i o n sa n dp r o b l e m s t h e r eh a v eb e e n s e v e r a la t t e m p t st og e n e r a l i z ev e r m am o d u l e s ，a n do n eo ft h em o s tn a t u r a lo f t h e mi st og e n e r a l i z ev e r m am o d u l e st h e m s e l v e s g e n e r a l i z e dv e r m am o d u l e sc a n b ca p p l i e dt os t u d yt h es t r u c t u r eo fu s u a lv c r m am o d u l e sf o rd i f f e r e n ta l g e b r a s t h e p r e s e n tp a p e ri n c l u d e sf o u rp a r t s i nt h ef i r s tp a r tw ei n v e s t i g a t i v et h el i e b i a l g e b r a s t r u c t u r e so nb l o c kt y p el i ea l g e b r a sa n dg a n a l o gv i r a s o r o - l i k ea l g e b r a s w eo b t a i nt h a ta l ls u c hl i eb i a l g e b r a sa r cc o b o u n d a r yt r i a n g u l a r t h ep r o o fo f t h em a i nr e s u l ti sb a s e do i lt h eh e a v yc o m p u t a t i o no ft h es e to fa l ld e r i v a t i o n s a n dw ec a nc o n s i d e rt h eb l o c kt y p el i ea l g e b r a sa nam o d u l eo fi n t e r m e d i a t e s e r i e so fv i r a s o r oa l g e b r a w eo b t a i nt h a tt h ef i r s tc o h o m o l o g yg r o u po ft h e s el i e a l g e b r a sw i t hc o e f f i c i e n t si ni t sc e r t a i nm o d u l e si s t r i v i a l i nt h es e c o n dp a r tw e u s et h eg e n e r a lm e t h o do fq u a n t i z a t i o nb yd r i n f e l d st w i s tt oq u a n t i z ee x p l i c i t l y t h el i cb i a l g e b r as t r u c t u r e so nb l o c kt y p ea n dq - a n a l o gv i r a s o r o - l i k ea l g e b r a s h it h et h i r dp a r tw ec o n s t r u c tac l a s so fg e n e r a l i z e dv e r m am o d u l e so v e rs o m e i v 上海交通大学博士学位论文 o t h e rb l o c kt y p el i ea l g e b r aa n dd e t e r m i n ei t si r r e d u c i b i l i t y i nt h ef o u rp a r t ， t h eq u a n t u md e f o r m a t i o n so fh e i s e n b e r g - v i r a s o r oa l g e b r a 镅i sp r e s e n t e da n dt h e c e n t r a le x t e n s i o no f t h i sa l g e b r ai si n v e s t i g a t e d f i n a l l y , w eg i v ei t sn o n t r i v i a l q u a n t u mg r o u ps t r u c t u r e k e yw o r d sl i ea l g e b r a so fb l o c kt y p e ，q - a n a l o gv i r a s o r o - l i k ea l g e b r a s ， l i eb i a l g c b r a ，y a n g - b a x t e re q u a t i o n ，q u a n t i z a t i o n ，d r i n f c l dt w i s t ，h o p fa l g e b r a ， g e n c r a l i z e dv e r m am o d u l e s ，q u a n t u md e f o r m a t i o n ，h e i s e n b e r g - v i r a s o r oa l g e b r a v 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：二吾姗基 日期：2 0 0 8 年6 月1e l 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密口，在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密 以 ( 请在以上方框内打“，) 学位论文作糍：粥指导教师酶揣习 日期：2 0 0 8 年6 月1 日日期：2 0 0 8 年6 月1 日 第零章绪论 o 1课题背景及已有的相关结果 李代数来源于李群，所谓李群就是可微分的群或者连续变换群李理论是由 挪威数学家s l i e ( 大约1 8 7 0 年左右) 在研究微分方程的积分曲线在什么变换下 不变时，和德国数学家w k i l l i n g ( 大约1 8 8 0 年左右) 在研究刚体的无穷小运动的 分类时各自独立发现的当时人们使用“群的无穷小变换“和“无穷小群”等术语 来称呼这种数学模型大约在1 9 3 4 年c w e y l 把这个数学模型叫做李代数李代 数的最初研究对象是有限维复半单李代数w k i l l i n g 第一个给出有限维复半单 李代数的分类，e c a r t a n 进一步研究了复半单李代数的结构，c w e y l 得到了有 限维复半单李代数的特征标公式及有限表示的完全可约性定理，j s e r r e 给出了 有限维复半单李代数的统一实现在1 9 6 8 年前后，v k a c 与r m o o d y 各自独 立地对有限维复单李代数进行无穷维推广，所得到的代数被后人称为k a c m o o d y 代数由于无穷维李代数在物理，孤立子理论，k d v 方程和其它的可积系统的构 造等方面有许多应用，因此越来越多的人开始对它感兴趣 b l o c k 型李代数最早是由r b l o c k 在1 9 5 8 年给出的一个无穷维李代数【1 】设 砸 是特征为0 的域，( a ，+ ，0 ) 是个t o r s i o n - f r e e 阿贝尔群，妒：a x a f 是个非 退化双加性反对称函数域f 上的b l o c k 型李代数b ( a ，妒) 具有基e ；，z a f 0 和李括号b ，1 = 妒( z ，可) e 蚪v 从此以后，b l o c k 型李代数得到了很多学者关注， 赵开明教授和j m o s b o r n ，d z d o k o v i c ，苏育才教授等分别研究了几类 b l o c k 型李代数，它们分别包含v i r a s o r o 代数、h c i s e n b e r g 代数或三维李代数 s j 。，对这些代数进行了分类，给出的单性条件，决定了它的导子、自同构类及第二 上同调群 2 , 3 ，4 ，5 ，6 】他们推广了r b l o c k 的定义，给出了的广义的b l o c k 型李代 数 2 】，这类李代数包括厶型，一型和h 一型李代数之后，徐晓平教授在文 7 】 中引进了更广义的b l o c k 型李代数它包括两类无限维单李代数和一类无限维单 李超代数 b l o c k 型李代数之所以得到如此高的重视，其中一个重要原因在于该代数与 v i r a s o r o 代数及c a r t a n 型李代数密切相关( 广义b l o c k 型李代数包括c a r t a ns 型或h 型等李代数) 众所周知，v i r a s o r o 代数在数学物理的很多领域有着极其 重要的作用，c a r t a n 型单李代数在李代数理论中也起着非常重要的作用如今， 上海交通大学博士学位论文 v i r a s o r o 代数的表示问题已得到比较完善的解决，然而c a f t a n 型李代数的表示理 论却远远不够完善，所以研究一些特殊的c a r t a n 型李代数的结构与表示是一项很 有意义的工作 研究b l o c k 型李代数的结构的文章很多，但是表示理论还不够完善对b l o c k 型李代数的表示方面，苏育才教授做了一些有益的工作他在2 0 0 4 年对两类特殊 的b l o c k 型李代数的权重数有限的不可约模进行了刻画在文献【8 】中，苏育才教 授研究了一类b l o c k 型李代数( 该类李代数是c a r t a ns 型或h 型李代数的特殊 情况，同时又与著名的肌+ o o 李代数密切相关) 的泛中心扩张的伪有限表示，证 明了其伪有限模是最高权模或最低权模并且进一步对伪有限不可约最高权模进 行了分类，证明了其酉表示都是平凡的文献 9 】中，吴月柱和苏育才教授合作考 虑了该类李代数上的v e r m a 模这些v e r m a 模作为z 一阶化模除了由生成元生 成的子空间是一维外，其余子空间都是无限维的齐次子空间并且他们给出了一 个不可约最高权模是伪有限的充分必要条件苏育才教授在文献 1 0 l 中对另一类 b l o c k 型李代数s ( s ，g ) 的伪有限模进行了研究，这里，g 为任意特征0 的代数闭 域上的非零加法子群，s = 0 ，l ，确定了b ( s ，g ) 有非平凡伪有限模当且仅当g 同 构于z 和8 = 1 ，得出了伪有限b ( 1 ，z ) - 模是最高权模或最低权模，并且对伪有 限不可约最高b ( 1 ，z ) 权模进行了分类，证明了其中的酉模是平凡的 g - 类似v i r a s o r o - l i k e 代数( 也是一种b l o c k 型李代数) 由k i r k m a n 等在 1 1 】 给出姜翠波教授和孟道骥教授证明了它可以由量子环面q 【z ，z 妻】的内导子李 代数的普遍中心扩张来实现( 参见f 1 2 ，1 3 】) 量子环面是非交换几何中的一个重要 课题，它对扩张的仿射李代数的分类起着重要的作用而且，口- 类似v i r a s o r o - l i k e 代数还可以看作是v i r a s o r o - l i k e 代数的口- 形变( 也既是说v i r a s o r o - l i k e 代数是口- 类似v i r a s o r o - l i k e 代数的q = 1 时的特例) ，所以该代数的结构和表示理论已经受 到了越来越多的学者的关注( 例如，【1 4 ，1 5 】) 广义v e r m a 模是经典v e r m a 模的自然推广v m a z o r c h u k 系统地讨论了广 义v e r m a 模的结构f 1 4 5 ，论证了由有限维复半单李代数及广义w i t t 型李代数诱 导的广义v e r m a 的性质f 1 3 8 ，1 3 9 ，研究广义v e r m a 模可以更好地理解经典v e r m a 模的结构和性质 在1 9 8 5 年，受到量子场中的量子反射理论和规范场的研究工作影响，v g d r i n f e l d 和m j i m b o 从李代数的泛包络代数出发成功地引进了量子群的概念量 子群与h o p f 代数密切相关，它包含了半单李代数的包络代数为其特例，这就使李 2 绪论 理论有了更广阔的发展前景 j j a n t z e n ，c k a s s e l ，g l u s z t i g 等人对量子群进 行了大量的研究工作对量子群的研究还引发了几何研究对象的量子化，这些成 了非交换几何的主要研究对象 李双代数结构是量子群的一个非常重要的结构一般说来，所谓李双代数实 际上是一个同时赋予了李代数结构和李余代数结构的向量空间，在李代数结构和 李余代数结构之间满足一个相容条件这个相容条件的提出是基于研究h a m i l t o n 动力学和p o i s s o n 李群的需要提出来的对李代数。来说，经典的y a n g b a x t e r 方程的解与6 上的一个三角的李双代数结构是一一对应的关系计算出经典的 y a n g - b a x t e r 方程的所有解一直是许多数学家和物理学家非常关心的一个公开问 题在h o p f 代数或量子群理论中，构造李双代数的量子化是产生新的量子群的一 个十分重要方法，研究李双代数的重要目的之一就是对其量子化因此研究李双 代数上边缘的、三角的结构并对其进行量子化是研究量子群的非常重要的课题之 一 在文献 2 6 】中，m i c h a e l i s 给出了一类w i t t - 型李双代数，与此同时，作者还 给出了在该类李代数上构造一个上边缘的、三角的李双代数的方法而s i u h u n g n g ，e a r lj t a r 对m i c h a e l i s 定义的w i t t 型的李双代数进行了分类 2 8 ，2 9 ，3 0 1 ， 最后g r u n s p a n 利用d r i n f e l d 扭构造了该类李双代数的量子化f 1 3 3 在文献f 2 0 1 中，宋光艾和苏育才教授确定由d d o k o v i c 和赵开明定义的一类广义w i t t 一型李 代数【6 3 1 的李双代数结构胡乃红教授等利用d r i n f e l d 扭构造了该类李双代数的 量子化f 1 3 4 宋光艾等用类似地方法把文【1 5 】的李双代数进行了量子化【1 3 1 在量子群的研究中还有一个有趣的课题是李代数的量子形变 6 9 ，7 0 ，1 0 0 ，1 0 1 ， 1 1 8 ，1 1 9 ，1 2 0 所谓的李代数的量子形变就是对李代数的李运算加入一些参数，使 之广义化当参数趋向于1 时，李代数的量子形变就回到原来的李代数；另外，李 代数的一些性质在它的量子形变中仍然保持李代数的量子形变在数学物理等学 科有着广泛的应用v i r a s o r o 代数及v i r a s o r o 超代数的量子形变已经有很多结果 【6 9 ，7 0 ，1 0 1 ，1 2 2 ，研究v i r a s o r o 代数的量子形变已经出现了很多f 6 9 ，1 0 1 ，1 2 1 ，其中 胡乃红教授在 1 0 1 】中研究了量子版本的w i t t 代数和v i r a s o r o 代数，进一步给出 了q 一李代数， q - p b w 基，口_ 同态等的概念在文献 1 0 0 】中，胡乃红教授具体 地给出了一个q - v i r a s o r o 代数的量子群结构文献 1 2 3 】研究h e i s e n b e r g 代数的 量子形变，然而有关h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数的量子形变及相对应的量子群结构 的存在性问题仍然没有解决 3 上海交通大学博士学位论文 0 2 本论文的主要内容 在第一章，我们先给出李双代数的有关定义，接着研究两类b l o c k 型李代数 的李双代数结构，一类是苏育才教授在文献 8 】中研究的b l o c k 型李代数，另一类 是q 类似v i r a s o r o - l i k e 代数。最后证明了这些李双代数结构都是上边缘的，三角 的 下面是关于b l o c k 型李双代数的主要结果： 命题1 3 4 设留是( 1 3 1 ) 中定义的b l o c k 型李代数在纺的伴随对角作用 下即( 1 2 2 ) ，v = 留q 国成为一个纺模，则我们有d e r ( 纺，v ) = i n n ( 留，y ) 定理1 3 5b l o c k 型李代数留上的任意李双代数结构都是上边缘的，三角的 下面是关于牛类似v i r a s o r o - l i k e 李双代数的主要结果； 定理1 4 1 设是( 1 4 1 ) 中定义的铲类似v i r a s o r o - l i k e 代数则上的任 意李双代数结构都是上边缘的，三角的 在第二章中，我们给出了第一章所构造的两类上边缘的，三角的李双代数的 由d r i n f e l d 扭莎( 参见2 2 ) 所决定的量子化下面是本节的主要结果： 定理2 2 6 令留是( 2 2 8 ) 中所定义的b l o c k 型李代数，且满足阢明= e ( 参见( 2 2 8 ) ) ，则在u ( 留) 】上存在一个非交换非余交换的h o p f 代数结构 ( u ( 留) 旧】，p ，7 - ，e ，s ) ，使得u ( 勿) 【 】t u ( 绍) 】= u ( 留) ，这个h o p f 代数结构 保持了u ( 留) 】的乘法和余单位不变，但余乘法和对径点如下定义 a ( l z ，j ) = 。( 1 一e t ) 6 + ( 一1 ) 七a k t 七 ( 卜e t ) l p + k a o 诵t 七， k = 0 。 s ( ) = 一( 1 一e 圹6 n k l p + k a o 如酬t ， 这里b = 案，d 南= 蠢兀( i o + p + ( n 一2 ) a o a o j ) ，a o = 1 定理2 2 。1 3 设是q - 类似v i r a s o r o - l i k e 代数且满足阢e 】= e ( 参见 ( 2 2 8 ) ) ，那么在u ( ) 】上存在一个非交换余交换的h o p f 代数结构( u ( ) 】， p ，丁，s ，e ) ，使得u ( ) 1 u ( ) 1 = u ( ) ，这个h o p f 代数结构保持了u ( c ) t l 】 的乘法和余单位不变，但余乘法和对径点如下定义 a ( l 卢) = l 卢圆( 1 一e t ) 。+ ( 一1 ) 七a k t ( 七 ( 1 一e t ) 一七l p + 七a t 詹： k = o ( 哦) = 反 1 + 1 固喀+ a i t ( 1 一e t ) e t ， 4 绪论 s ( l 口) ：一( 1 一e t ) 一c 曼雠l 斛七口可知铲， k = o s ( d i ) = a i t ( 1 一e t ) 一1 ( e t e 2 t 2 ) 一d ， 这里c = z l 及+ z 2 侥，锹= 击n ：1 ( q 啦( p l + ( p - 1 ) n 1 ) 一矿1 慨+ ( p 一1 ) 蚴) ，仍= 1 ，i = 1 ，2 在本文的第三章中，我们将研究由苏育才教授在文【1 0 】中所研究的另一类 b l o c k 型李代数8 ( 0 ，g ) 的v e r m a 表示我们构造了该类李代数的广义v e r m a 模，研究了它的结构与性质并确定了它的不可约性具体结果如下： 定理3 2 3 设g 是稠密的， y 是艿( g ) o 一模的一个非平凡不可约子模， 并且满足l o ，0 在y 上的作用是局部有限的则召( g ) 的广义v c r m a 模m ( v ) 不 可约。 第四部分是研究h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数的量子形变，我们给出了h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数的量子形变的一个实现，之后研究它的中心扩张并计算出它的二阶 上同调群最后我们证明了这样的给出量子形变是非平凡的并给出其相应的的非 平凡的量子群结构具体结果如下： 定理4 2 1h e i s e n b e r g - v i r a s o r o 代数在l e v e lz e r o 的量子形变乡纥是一个p e r - f e c t 的h o r n - l i e 代数，i e ，阮，磁】- 镅而且，h 2 ( 镅，c ) = c o c m o c m ， 其中 ，t n ( 厶，k ) = 如帆。南 n 一1 ) n ) n + 1 ) ，( k ，k ) = ( 厶，厶) = o ， 妒( k ，k ) = 硫+ n 。南 n ) n + 1 ) ，妒( 厶，l m ) 2 妒( 厶，k ) = o ， o 一什l 妒( 厶，厶) = 靠帆。( 礼) 南，妒( k ，l m ) = 妒( k ，k ) = o 命题4 2 3h e i s e n b e r g v i r a s o r o 代数的量子形变乡缮是媚在h o m - l e i b n i z 代数范畴中的普遍中心扩张并且d i m h l 2 ( 乡绥，f ) = 3 引理4 3 1 结合代数具有生成集 k ，厶，t ，c 乙，q ，c 乙jl 礼z ) 及乘法 运算( 4 3 。4 ) 一( 4 3 7 ) 和( 4 3 1 8 ) 一( 4 3 1 8 ) 是非平凡的 ， 定理4 3 2 乡瑶的量子包络代数带有余乘，余单位e 和对径点s 满足式 ( 4 3 4 ) - ( 4 3 2 1 ) 构成一个非交换且余交换的h o p f 代数 5 第一章b l o c k 型及口- 类似v i r a s o r o 1 i k e 李双代数的结构 1 1 背景介绍 一个李双代数就是一个李代数同时又具有一个李余运算，并且这个运算与李 运算是相容的按照h o p f 代数或量子群的理论，量子群就是一个李代数g 的退化 或者是它的的普遍包络代数，而量子群的一个主