（基础数学专业论文）e反演半群和e稠密半群及其同余.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 本文主要研究b 反演半群及矽一稠密半群的若干性质和同余全文共分 五节 第一节是引言 第二节给出基本的概念和必要的预备知识，给出若干类特殊的e 一反演半 群及e 一稠密半群的基本性质， 第三节分两部分第一部分得到e 一反演半群及特殊e 一反演半群的一些 性质，并把正则半群的夹心集的一些性质推广到昂反演半群上第二部分得到 f 稠密半群的性质，并给出范的f 一稠密e 半群的一个等价条件 第四节首先利用半群s 上包含口关系的0 一限制的同余刻画范的居+ 一稠 密e 一半群上的0 。限制的逆同余然后利用满足( q ) 条件的同余刻画范的驴一 稠密e - 半群上的0 限制的本原逆同余，范的完全矿一稠密e 一半群上的0 一限 制的带同余，以及范的完全e 。稠密e - 中心半群上的0 一限制的半格同余 第五节首先给出特殊e 一反演半群和e + 稠密半群上的幂等元分离同余的 等价刻画最后，借助半群上的幂等元给出b 反演半群上最小群同余的等价 刻画 关键词d 反演半群，e 反演e 一半群，e 一稠密半群，范的e + 一 稠密e - 半群，同余 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yc e r t a i np r o p e r t i e sa n dc o n g r u e n c e so fe i n v e r s i v es e m i g r o u p sa n de + d e n s es e m i g r o u p s i ti sc o m p o s e do ff i v es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni sab r i e fi n t r e d u c t i o n i nt h es e c o n ds e c t i o n ，t h eb a s i cc o n c e p t sa n dn e c e s s a r yp r e l i m i n a r i e sa r e g i v e n b a s i cp r o p e r t i e so fc e r t a i nc l a s so fe - i n v e r s i v es e m i g r o u p sa n de 4 一d e n s e s e m i g r o u p sa r ei n v e s t 培8 t e d ，r e s p e c t i v e l y i nt h et h i r ds e c t i o n ，i ti sd i v i d e di n t ot w op e a t s i nt h ef i r s tp a r t ，s o m e p r o p e r t i e so fe - i n v e r s i v es e m i g r o u p sa n ds p e c i a le i n v e r s i v es e m i g r o u p sa x e o b t a i n e d m o r e o v e r ，s o m ep r o p e r t i e sa b o u ts a n d w i c hs e t so fr e g u l a rs e m i - g r o u p sa r ee x t e n d e dt oe - i n v e r s i v es e m i g r o u p s i nt h es e c o n dp a r t ，w eg e t s o m ep r o p e r t i e so fe + d e n s es e m i g r o u p s t h ee q u i v a l e n tc o n d i t i o no fc a t e g o r - i c a le + 一d e n s ee s e m i g r o u pi sg i v e n t h ef o u r t hs e c t i o ni sd e v o t e dt ot h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fc o n g r u e n c e so i l e + d e n s ee - s e m i g r o u p s f i r s t l y ，l e tpb ea0 - r e s t r i c t e dc o n g r u e n c eo nsc o i l - t a i n i n g 口t h e nw ed e s c r i b et h e0 - r e s t r i c t e di n v e r s ec o n g r u e n c eo nc a t e g o r i c a l e * - d e n s ee - s e m i g r o u p sr e l y i n go no s e c o n d l y , r e l y i n go nag i v e nc o n g r u - e n c es a t i s f y i n gc o n d i t i o n ( q ) ，w eo b t a i ns o m es p e c i a lc o n g r u e n c e s ，s u c ha st h e 0 - r e s t r i c t e di n v e r s ec o n g r u e n c eo nc a t e g o r i c a le d e n s ee - s e m i g r o u p s ，t h eo - r e s t r i c t e db a n dc o n g r u e n c eo nc o m p l e t e l yc a t e g o r i c a le + 一d e n s ee s e m i g r o u p s ， t h e0 - r e s t r i c t e ds e m i l a t t i c ec o n g r u e n c eo nc o m p l e t e l yc a t e g o r i c a le + 一d e n s ee - c e n t e rs e m i g r o u p s i nt h ef i f t hs e c t i o n ，w eg i v es o m ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n so f i d e m p o t e n t s e p a r a t i n gf i o n g r n e n c e so ns p e c i a le - z u v e r s i v es e m i g r o u p sa n de * - d e n s es e m i - g r o u p s t h ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n so ft h el e a s tg r o u pc o n g r u e n c eo n 曲阜师范大学硕士学位论文 e i n v e r s i v es e m i g r o u p sa r eg i v e n k e y w o r d s e i n v e r s i v es e m i g r o u p ，e i n v e r s i v ee s e m i g r o u p ，e 一 d e n s es e m i g r o u p ， c a t e g o r i c a le + d e n s es e m i g r o u p ，c o n g r u e n c e i u 曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说朗 ( 在口划“”) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士团f 一反演半群和 f 一稠密半群及其同余，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻 读博士口硕士囵学位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中 除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究 工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中己明确的方式注明。本 声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：铱玉之 日期汐岔，) 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“”) f 一反演半群和f - 稠密半群及其同余系本人在曲阜师范大学攻 读博士口硕士囤学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士日学 位论文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容 不得以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、 使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件 和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以 采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分 内容。 作者签名： 导师签名： 弥玉芏 移料 日期：2 ，o 占钲o 日期：知占o x 。 曲阜师范大学硕士学位论文 1 引言 e 一反演半群的概念是由t h i e r r i n 2 7 引入的由于有零半群一定是口反 演的，因而为了避免这类特殊情形，l a t t e m e n t 1 5 1 引入了0 一反演半群的概念， 即我们现在所说的驴稠密半群许多半群学者对这两类半群进行了研究例 如，c a t i n o 和m i c c o l i 1 、m i t s c h 2 3 ，2 4 】、m i t s c h 和p e t r i c h 2 2 】给出了e 一反演 半群的基本性质1 9 9 0 年，m i t s c h 2 4 1 研究了b 反演半群的子直积1 9 9 4 年， 江中豪 1 4 1 将这一结果推广到d 反演d 半群上f o u n t a i n 和h a y e s 6 i 研究 了幂等元的集合是子半群的e + 一稠密半群2 0 0 4 年，h a y e sf 1 0 研究了一类特 殊的矿一稠密b 半群，即当幂等元的集合是 一矩形带的情形 本文第二节和第三节给出了必要的预备知识，进一步讨论了b 反演半群 和口一稠密半群的若干性质，并把f 2 5 1 中关于正则半群的夹心集的一些结论推 广到e 一反演半群上最后给出了范的p 一稠密b 半群的一个等价条件 同余的研究一直是半群理论研究的热点之一对于e - 反演半群上的同 余已有许多结果郑恒武 3 0 】研究了e 一反演半群上的群同余f o u n t a i n 和 g o m e s 7 研究了范的半群上的本原逆同余，并证明了此类半群上的0 一限制的 本原逆同余的核是$ 一自反、# 酉、丰- 稠密的子半群w e i p o l t s h a m m e r 2 8 】研 究了e 反演半群上的若干特殊的同余，比如，最小群同余、半格同余、正则同 余、幂等元分离同余范兴奎【4 】和孟祥芹 2 1 】利用“核一迹”与“核正规系” 方法刻画了豇反演b 半群上的强同余罗彦峰等 1 6 】利用“核迹”方法刻 画了口反演半群上的正则同余然而对于e 一稠密b 半群上同余的研究，目 前却很少有人问津本文第四节主要刻画范的驴一稠密e 一半群上的0 一限制 的逆同余、本原逆同余，和完全稠密b 半群上的0 _ 限制的带同余，以及 范的完全驴一稠密e 一中心半群上的0 一限制的半格同余 h o w i e 1 3 】和m e a k i n l l 9 ) 分别刻画了逆半群和纯正半群上的最大幂等元分 离同余w e i p o l t s h a m m e r 2 8 1 给出了且反演e _ 半群上幂等元分离同余和最 小群同余的等价刻画h a y e sf 1 1 】刻画了范的e + 一稠密b 半群上0 一限制的最 小本原逆同余。罗彦峰等 1 8 j 利用弱逆的方法刻画了毕竟正则半群上的最大幂 等元分离同余本文第五节推广了f 1 8 】的相关结论，给出了特殊b 反演半群 和e 一稠密半群上幂等元分离同余的等价刻画，同时推广了【1 1 】的相关结论， 给出了特殊e 反演e 一半群上最小群同余的等价刻画 2 曲阜师范大学硕士学位论文 2 预备知识 本文中未定义的术语、记号等参见f 7 ，1 2 ，2 8 1 在有零半群s 中，s + = s o ) ，e + ( s ) = e ( s ) o ) ，w + ( n ) 表示s 中 非零元素a 的非零弱逆元的集合 定义2 1 1 1 1 】令s 是有零半群若对任意a 扩存在z s 使得a 2 ； e + ( s ) ，则称s 是f + 一稠密半群 定义2 2 令s 是驴一稠密半群若对任意d s 存在z w ( o ) 使得 a x = x a ，则称s 是完全e + 一稠密半群 定义z 3 1 1 0 令刀是有零带若e ，e ，e f 0 ，有e ，e = e ，则称e 是 一矩形带 定义2 4 1 1 1 】令s 是e 一稠密半群若对任意a ，b ，c s ，由a b c = 0 可 推出a b = 0 或b c = 0 ，则称s 是范的e + 稠密半群 下面来看几个例子 例2 5 设s = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) ，乘法表如下 易验证s 是完全e 一稠密娶半群 例2 6 设s = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) ，乘法表如下 3 12 34 5 12 1335 212 335 3 33 333 4 33343 5 55335 则s 是范的e + 一稠密口半群其中3 是s 的零元e ( s ) = 2 ，3 ，4 ，5 e t ( 固= 2 ，4 ，5 由于2 - 4 = 3 ，因此驴( s ) 不是带 例2 7 设s = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，乘法表如下 1234 11111 21211 31133 41 l4 4 其中1 是s 的零元，则s 是范的驴一稠密半群且e ( s ) 是+ 一矩形带 引理2 8 2 8 1 令s 是e - 反演半群则下列条件等价： ( 1 ) s 是d 半群； ( 2 ) ( v a ，b s ) ，有( 6 ) ( 口) = ( 口6 ) 引理2 9 5 ，8 ，2 9 】若s 是b 反演b 半群，则 ( 1 ) ( v a s a 7 w 7 ( o ) ，e ，e ( s ) ) 有e 0 ，a t ，v a ，l 矿( a ) ； ( 2 ) ( v a s ，a t i 矿( o ) ，e e ( s ) ) 有o , t e 口，a e a e ( s ) ； ( 3 ) ( v e e ( s ) ) 有w 7 ( e ) e ( s ) ； ( 4 ) ( r e ，f ( s ) ) 有w ( e f ) = ( ，e ) 引理2 1 0 2 8 】令s 是昂反演半群则下列条件等价： ( 1 ) z ( s ) 是矩形带； 4 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 2 ) ( v a ，b s ) 有w ( a ) nw ( b ) 口寺w ( 8 ) = ( 6 ) ； ( 3 ) e ( s ) 是带，且对任意o r e g ( s ) ，有w ( a ) = y ( o ) 相应的，在e + 一稠密口一半群中，我们有如下结论 命题2 1 l令s 是e + 一稠密半群若对任意a ，b s 且曲0 ，则 w + ( a b ) w 。( 6 ) w + ( o ) 证证法同f 2 ；命题2 3 1 口 命题2 1 2 若s 是e + 一稠密e 一半群，则 ( 1 ) ( v a s ，d w 4 ( 口) ，e ，e + ( s ) ) 有e ，a i ，e ，w ( d ) ； ( 2 ) ( v a 9 ，w ( a ) ，e 刀+ ( s ) ) 有e 聪，a e a e + ( s ) ； ( 3 ) ( v e e + ( s ) ) 有w 7 + ( e ) e ( s ) ； ( 4 ) ( r e ，e + ( s ) ) 有w ( e 1 ) = w + ( ，# ) 注记2 1 3在上述命题中，只需说明e 0 即可，其它证明参见反证 若e = 0 ，则e a t a = 0 由e ，n 盘e ( s ) 且f ( s ) 是带知e a a 0 矛盾因 此e 0 命题2 1 4 设a ，b s ( s + ) ，b 以若a 是b 反演( 驴稠密) 的，则b 也 是b 反演( 驴稠密) 的 证只证驴稠密的情况由a ，b 知，存在缸，u ，s ，t s 1 使得a = u b v ，b = s a t 取z w + ( 口) 由卫= 髫n o 知x = x u b v x 从而 u z 让= u z 钍b 甜z 扎 于是口z u w ( 6 ) 下证口岳0 假设w 。= 0 ，则由z = x u b v x 知 z “= z t b y 盘u = 0 矛盾因此u 茁 w ( 札即b 是驴一稠密的 口 命题2 1 5 令s 是b 反演半群若o sb 且b r e g ( s ) ，则a r e 9 ( s ) 证由n b 知，存在z ，y s 1 使得a = x b = b y = a y 再由b r e g ( 5 ) 5 知存在z ( s ) 使得b = b z b 从而 a = x b = x b z b = a z b = a z b y = a z a 所以a r e g ( s ) 口 命题2 1 6 若a b 且a 是卫反演( 驴一稠密) 的，则b 也是e - 反演( e + 一稠密) 的 证只证驴稠密的情况由a b 知，存在m ，t i , s 1 使得o = m b = b n 再由a 是矽稠密的知，存在z w + ( o ) 从而 卫= x , a x = x m b x 等式两边同时右乘m 得 z m = z m b z m 故z m w + ( 6 ) 因此b 也是矽稠密的 口 命题2 1 7 令s 是b 反演( 口稠密) 半群若t 是s 的理想，则对任意 8 t ( t + ) ，有1 ( 口) ( w ；( a ) ) t ( t 4 ) 证只证驴稠密的情况对任意a w ；( 口) ，有a ，_ a a a 从而由t 是 s 的理想知a a 7 t + 因此一t + t + 口 6 曲阜师范大学硕士学位论文 3 e 一反演半群及e + 一稠密半群的若干性质 m i t s c h 2 3 ，2 4 和p e t r i c h 2 2 研究了d 反演半群的基本性质h a y e s 1 0 】 刻画了一类特殊的驴一稠密半群的等价条件，即当幂等元的集合是“矩形带 的情形本节将在以上基础上进一步得到b 反演半群及e 一稠密半群的若干 性质，并给出一类特殊的f + 一稠密半群即范的口一稠密e 一半群的等价条件 一且一反演半群的若干性质 命题3 1 令s 是b 反演半群任取a s ，a i 彤( o ) ，有w ( a ) w ( a a ) a w ( a n 1 证对任意o w ( a 7 ) ，有茹= 0 0 7 x = x a o n 7 z 等式两边同时右乘a 得 x a t = x a t a a ，x a ， 从而x a t ( o ) 同样地，等式两边同时左乘a 得 a t x = a l x a t a a t x ， 从而a 口w ( a o ) 因此x = o a n z 所以结论成立 口 命题3 2 令s 是b 反演且半群若对任意o s 存在a 7 w ( a ) 满足 o = a a ，则( ) = w ( a a ) a w ( a 7 0 ) 证由命题3 1 知( 口) 曼w ( a a ) a w ( a a ) 下证w ( a a ) a w ( a a ) ( 0 ，) 对任意z w ( a a ) ，由a a = a a 7 知 z w ( a 7 0 ) 从而z = x a a x 等式两边同时右乘。得x a = x a a 7 z 口即 t a ( ) 因此x a x 彤( ) 卫cw ( a 7 ) w ( a a ) = w ( a 7 0 口7 ) = w ( a ，) 综上所述w ( a ) = w ( a a ) a w ( a a ) 口 命题3 3 令s 是b 反演半群，t 是s 的理想，且e ( t ) 是矩形带赃对 任意a 只b t 存在z t 使得a x b r 叼口) 证对任意n s ，由t 是s 的理想知，对任意t t 有a t t 从而由 7 丁是e 一反演的知，存在掣，。t 满足a t - y ，b z e ( t ) 由e ( 丁) 是矩形带知 a t y 。b z d 坷= a t y 等式两边同时右乘b 得 a t y b z a t y b = a t 加 取o = t y ，则a x b r e g ( t ) 口 命题3 4 令s 是e - 反演半群，t 是s 的理想，且e ( t ) 是矩形带则对 任意a sb t 存在茹t 使得a x ( ” 证对任意a s ，由? 是s 的理想知，对任意t t 有a t t 从而由 t 是e 一反演的知，存在y ，z t 满足a t - y ，z b e ( t ) 由e ( t ) 是矩形带知 a t y z b a t y = a t y 等式两边同时右乘z 得 a t y z b a t y z = a t y z 取z = t y z 则鲋b = a t 所以船矽( 6 ) 口 在半群s 中，用g r ( s ) 表示s 的所有群( 完全正则) 元的集合我们有下 面的引理 引理3 5 2 0 j 令s 是半群，e e ( s ) 则g r ( s e ) = g r ( s ) n s e 命题3 6 若对任意a s 存在z ( 口) 满足z d = f f , x ，则g r ( s z ) = c r ( s ) n s x 证显然g r ( s x ) g r ( s ) n s x 令y g r ( s ) n s z 由z 是完全正则元知x = x 2 a 从而 y v r ( s ) n s x = g r ( s ) n s x 2 口互g r ( s ) n s x a 再由x a e ( s ) 及引理3 5 知a r ( s ) n s x a = g r ( s x a ) ，即y g r ( s x a ) = g r ( s a x ) cg r ( s 卫) 8 曲阜师范大学硕士学位论文 于是g r ( s ) n s z g r ( s z ) 因此g r ( s x ) = g r ( s ) n s x 口 下面从引理3 7 至定理3 1 2 推广了h a y e s 1 0 】中的相应结果 引理3 , 7 令s 是b 反演e 一半群若e ( s ) 是矩形带，则对任意a ，b ，c s 6 ，( 6 ) ，有w ( a ) b w ( c ) 垦w ( c e a ) 证令a ( o ) ，d ( c ) 由引理2 9 知d e ，b d c t ，e ( s ) 从而 a t b c l c b a a b c = a a a b c c 6 ，6 c ，= n 一b d = c i , b e 因此缈( n ) 6 w ( c ) ( 口) 口 引理3 8 令s 是且反演b 半群若对任意。，b ，c 只b w ( 6 ) ， ( n ) 6 w ( c ) 冬w ( c b a ) ，则e ( s ) 是矩形带 证令e ，e ( s ) 由s 是b 反演且半群知e f ( e ) 从而由假设 知 w ( e ) e w ( e ) s ( e e f e ) = ( e ，e ) 再结合 e w ( e ) e w ( e ) w ( e f e ) ， 因而 e = e 。e r e e = e r e 所以e ( s ) 是矩形带 i - 1 由上述两弓f 理知 命题3 9 令s 是b 反演b 半群则下列条件等价： ( 1 ) e ( s ) 是矩形带； ( 2 ) 对任意a ，b ，c s ，6 ，w ( 6 ) ，有( o ) 6 w ( c ) = w ( c e a ) 命题3 1 0 令s 是e 一反演的且e ( s ) 是矩形带则r e g ( s ) 是s 的理想 证令。s ，a r e g ( s ) 由引理2 8 知存在( x a ) w ( x a ) ，a ( o ) ，z 7 ( z ) 使得( 石口) = a t x 再由引理2 1 0 知一y ( o ) 从而 x a = ：r , a a t o , = 7 3 ( a a t x z z x a a t ) a = x a f l , t x g $ 。a 9 r e 9 ( s ) 兄e g ( s ) r e 9 ( s ) r e g ( s ) 同理可证r e g ( s ) 是s 的右理想即r e g ( s ) 是s 的理想 口 注记3 1 1 1 2 8 】若s 是口半群，则r e g ( s ) 是s 的纯正子半群 定理3 1 2 对于半群s ，下列条件等价 ( 1 ) 集合f ( s ) = s ! o 是e 一反演的 是s 的子半群； ( 2 ) 对任意e ，e ( s ) ，有e ，是s 中的口反演元 证( 1 ) 辛( 2 ) 显然 ( 2 ) j ( 1 ) 令a ，b ，( s ) 由f ( s ) 的定义知，存在口( a ) ，b i ( 6 ) ， 使得d ，n ，b y e ( s ) 由假设知a a b 6 ，j ( s ) 于是存在c w ( a t a b b i ) 使得 c = c a l a b b c 令d = l y c a i 则 d 0 6 d = 6 ，c 一a b 6 c 一= b 一c a a b b c 吐7 = b l c a i = d w ( a b l 从而a b ，( s ) 因此f ( s ) 是s 的子半群 口 定义3 1 3 1 1 6 】令s 是半群，e ，e ( s ) 再令 m ( e ，) = 幻e ( s ) ig e = g = ，g ) ， s ( e ，) = 9 e ( s ) | g e = g = ，9 ，e g f = e ， 则称s ( e ，) 是e 和，的夹心集 定义3 1 4 1 2 5 1 令s 是正则半群如下定义s 上的自然偏序： osb 存在e 歹e ( s ) 使得b = e b = b f 。 记( a ) = 6 s ；b o ) 命题3 ，1 5 令s 是且反演半群着8 ，e ( s ) ，则m ( e ，) = s w ( e f ) e 证先证m ( e ，) s w ( e f ) e 对任意g m ( e ，) ，由血= g = g e 知 g e f g = g e 9 = g 从而g ( e ，) 又由于g = ，g e ，因此g s w ( e f ) e 反之，对任意h w ( e f ) ，有 f h e = ，h e f h e = ( f h e ) 2 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 从而f h e 刀( s ) 显然f f h e = f h e = f h e - e 于是f h e m ( e ，) 综上，m ( e ，f ) = f w ( e f ) e 口 注记3 ，1 6 1 1 6 】在b 反演半群中，m ( e ，f ) o 特别地，在上述命题中，若 s 是b 反演口半群，则 s ( e ，f ) = f v ( e f ) e 命题3 1 7 令s 是b 反演半群若e ，f 层( s ) ，z w ( e f ) ，则m ( x e f ，f ) m ( e ，) ，( f ) 证由命题3 1 5 知m ( e ，) ，= f w ( e f ) e f 只需证明m ( x e f ，f ) f w ( e f ) e f 即可对任意m m ( x e f ，) ，有，m = m = m x e f 从而r d , = f r r i x e f = f i x e f 而 仇o - e ，f l b x 2 m x e f m x = m m 。= n 2 x ， 因此r ：k t w ( e n 所以m f w ( e f ) e f 即m ( x e f ，) m ( e ，f ) f 对任意y w ( e ，) ，有y = y e f y 因 f y e f y e = f y e f y e = l y e 从而f y e f = l y e f = f y e f ，其中f y e ，e ，f ( s ) 因而m ( e ，f ) f = f w ( e f ) e fc ( ，) 1 3 对偶地，我们有 命题3 1 8 令s 是b 反演半群若e ，f e ( s ) ，z ( e ，) ，则 m ( e ，e f x ) ce m ( e ，) 垦( e ) 命题3 1 9 若s ，a ( o ) ，则m ( a a ，o ) a w ( a 2 ) 8 证由命题3 1 5 知 m ( a 7 a ，a a ) = a a w ( a a a a 7 ) 一凸 从而对任意z ( o o 口一) 有 0 ，z o = n z 7 a c e a t x a t = d a i 口吐0 0 一 故a x a ( 舻) 从而o - a t x a a a w ( a 2 ) o 因此 a a w ( a a a a ) n a w ( a 2 ) 吐。 即 4 ( o a ，o ) a w ( a 2 ) 口 口 命题3 2 0 令s 是b 反演半群，e ，工9 e ( s ) ( 1 ) 若8 c ，则m ( e ，g ) ：膨( 孽) ； ( 2 ) 若e 冗，则m ( g ，e ) = m ( g ，) 证类似于 1 2 ；命题z 5 2 】可得 二e + 一稠密半群的若干性质 引理3 2 1 若s 是范的e 一稠密半群，则下列条件等价： ( 1 ) s 是b 半群； ( 2 ) 若a ，b s ，n 6 0 ，则w + ( 6 ) w ( o ) = w ( 口6 ) 证( 1 ) = ( 2 ) 一方面，由a b 0 知a 0 ，b 0 从而对任意a t w + ( ) 6 ，w + ( 6 ) ，有a r a ，b y e ( s ) 据s 的范性知a a b 0 同理可证a b b 0 因而a a b b i o ( 再根据s 的范性) 由s 是e 半群知 a 耐= a l a b b t a a b b i - - ( 1 , l a - b b a 口矗6 ，0 因此b b aa 0 进而得到b a 0 ，而且a a b b ，b b a a 7 e + ( s ) 最后由 矿a b b a = 6 b b 7 a t a b b a t a a t = b i b b a t a b l t a a a i = b b e a l a a ；= e a 知d w ( 0 6 ) 因此w + ( 6 ) 彤+ ( o ) w ( n 6 ) 另一方面，由命题2 1 1 知w + ( a b ) w ( 6 ) + ( 综上，w ( 6 ) w + ( o ) = w ( 曲) 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 2 ) 辛( 1 ) 对任意e ，e ( s ) ，分两种情况 当e ，= 0 显然有e e ( s ) 当e y 0 据条件( 2 ) 知w ( ，) w + ( e ) = w + ( e ，) 由e w ( e ) ， + ( ，) 知f e w + ( e ，) 再利用条件( 2 ) 有e ，w + ( ，e ) 故 e = e s - y e e j = e f e f = ( e ，) 2 综上，e ( s ) 是s 的子半群 口 推论3 2 2 令s 是范的旷稠密半群则下列条件等价： ( 1 ) s 是b 半群； ( 2 ) 若a ，b s ，a b o ，则w ( 6 ) ( o ) = w ( n 6 ) ( 3 ) 若e ，e ( s ) ，e ，0 ，则w ( ，) w “( e ) = w + ( e ，) 命题3 2 3 令s 是矽一稠密半群若驴( s ) 是带，则 a b = 0 辛a = 0 或b = 0 证假设口0 ，b 0 由s 是e + 一稠密半群知，存在o ，w + ( n ) ，矿w + ( 6 ) 满足。7 口，b e e 。( s ) 由e i ( s ) 是带知a a b b r e p ) 此与条件曲= 0 相 矛盾因此n = 0 或b = 0 i - 1 推论3 2 4 令s 是驴一稠密半群若驴( s ) 是带，则 a b = 0 b a = 0 命题3 2 5 令s 是范的完全e | 稠密d 半群则 a b = 0 甘b a = 0 证净令n ，b s + 且曲= 0 由s 是完全e 一稠密半群知，存在 a w ( o ) ，6 ，w ( 6 ) 满足口7 0 = a a t ，b b = b t 从而 凸7 a b b = 0 = 争a a 6 = 0 净e b a a = 0 1 3 由s 的范性知b b a = 0 或6 0 = 0 ，若b l b a = 0 ，再由s 的范性可得b b = 0 或b a = 0 而b b e + ( s ) ，因此只能是b a = 0 同样可以证明，若b a = 0 ，则 k = 0 反之亦然 口 命题3 2 6 令s 是e - 反演( 驴一稠密) 半群若e ( s ) ( f ( s ) ) 是矩形带， 则对任意o ，b s ( s ) 存在茹s ( s + ) 使得a x b r e g ( s ) ( r e g + ( s ) ) 证只证护一稠密情况 令a ，b s + 则存在。，y s + 使得a x ，b y e + ( s ) 由驴( s ) 是矩形带知 a x 叻o z = n g 进一步，有a x b y - a x b = a x b 所以a x b m g ( s ) 下证a x b 0 若a x b = 0 ，则凹= a x b y a x = 0 ，矛盾因此a x b r e g + ( s ) 目 命题3 2 7 若s 是有零逆半群，a s + ，则a _ 1 y ( a ) 是w + ( o ) 中的最大 元 证由a _ 1 v ( a ) 知a = a q , 一a 对任意。w 4 ( n ) 有 正= 茁n 茹= x a a 一1 衄= 。a a 1 a x 由a a 一，e + ( s ) 且e ( s ) 是半格知 z = x 础一1 2x a a - 1 2 x a o l 同理可得 茁= 卫o 口一1 8 z = a - l a x a x = 8 一1 从而。a 综上所述，_ 1 是w + ( n ) 中的最大元 口 定理3 2 8 令s 是有零半群则下列条件等价： ( 1 ) s 是e + 一稠密的； ( 2 ) s 的任意非零的右理想中含有个非零的幂等元； ( 3 ) s 的任意非零的主右理想中含有一个非零的幂等元 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 证( 1 ) 辛( 2 ) j ( 3 ) 显然成立下证( 3 ) 辛( 1 ) 令a s + 因由a 生成的主右理想中含有非零的幂等元，从而存在r s 1 使得a r e + ( s ) 令z = r o r 则 ( a x ) 2 = ( o r o r ) ( n r n r ) = ( r ) 4 = ( o r ) 2 = a r a r = o 茁0 否则0 = a x = a r a r = a r 0 ，矛盾由定义知s 是e 一稠密的 口 据 1 1 引理4 1 0 和【1 0 定理3 4 可得 定理3 2 9 令s 是范的e + 一稠密半群则下列条件等价： ( 1 ) e ( s ) 是十一矩形带； ( 2 ) 对任意o ，b s ，w ( a ) nw ( b ) o 号w ( a ) = ( 6 ) ； ( 3 ) 对任意e ，f e + ( s ) ，w i e ) n ( ，) o = w ( e ) = 彬( n ( 4 ) e ( s ) 是带，且驴( s ) 是平凡序的； ( 5 ) w + ( e ) = ，e ( s ) ：f e o ) ，其中e e ( s ) ； ( 6 ) e ( s ) 是带，且对任意a r e g + ( s ) ，有w ( o ) = y ( n ) 命题3 3 0 令s 是p 一稠密半群，o s + ，a 7 w + ( n ) 则 + ( 口，) w + a a ) a w + ( a ) 命题3 3 1 令s 是范的完全驴一稠密e 一半群，o s + ，a t w ( o ) 则 w + ( o ) = w + a a ) a w + ( o ) 证由命题3 3 0 知( 一) w ( n ) a w ( n ) 下证w ( 口0 7 ) a w + ( o a ) 矽+ ( ) 对任意o w + ( o ) ，由0 ，o = o 知z w + ( 0 7 a ) 且a t , 0 从而 口= x a a ；x 等式两边同时右乘。得x a ；x a a i - , t a ，即x a w + ) 由s 的 范性知o 0 ，凹0 号盘鲫0 因此 茁n z w + ( ) z w + ( 8 ) 1 附。a ) = w + ( 0 7 a a 7 ) = w + ( 0 7 ) 综上，( o ) = w + ( 耐) + ( o ) 口 1 5 4 e + 一稠密d 半群上的若干同余 对于e 一反演半群上的同余，许多学者诸如w e i p o l t s h a m m e r 2 8 ，2 9 1 、郑恒 武 3 0 】、罗彦锋等 1 6 1 已经进行了诸多研究本节主要讨论f 一稠密b 半群 上的若干同余，比如0 一限制的逆圊余及本原逆同余，0 一限制的半揍同余及带圊 余等 有零半群上的m 限制同余【1 1 】意指：零所在的同余类只含零元的同余 定理4 1 令s 是范的扩一稠密b 半群，p 是s 上o 限制的且包含d 关系的同余。如下定义s 上的关系f ： 眯 骨a = b = o 或v a 咿ew * 嚣耋湍器a p b ) 粥f 是s 上o 限箭的逆同余，且硝j 乇叼( s ) 至f i 廊口 证显然，f 是s 上的等价关系下证是右同余 令n ，b ，c s 且血印分以下两种情形 】，当= b = o 时有8 c = b c = 0 ，从而i f c , 沈 2 ，当a 0 ，b 0 ，且对任意a w ( o ) 存在6 ，w + ( 6 ) 满足n p ，且 对任意6 ，w ( 6 ) 存在a s w ( o ) 满足a tpb 7 此时分以下两种情形 1 0 当扰= o ，下证6 c = 0 ，假若b c 0 ，贝i j 由引理3 2 1 知，存在( b e ) 7 w ( 6 c ) 不妨取6 ，w ( 6 ) ，c ，w (