（基础数学专业论文）开流形的曲率与拓扑及子流形几何.pdf

硕士学住论文 m a s t e r st h e s l s 摘要 本文从比较几何和予流形两个方面对r i e m a n n 几何进行了研究 第章讨论r i e m a n n 流形的曲率与拓扑之间的关系我们应用比较 几何的方法研究了完备非紧且具有特定曲率条件的开r i e m a n n 流形， 证明了在一定条件限制下，它就有有限拓扑型或微分同胚于n 维欧氏空 间 第二章讨论的是d es i t t e r 空间中的子流形戒们考虑了”( c ) 中的 紧致子流形m ，若m 的第二基本形式模长平方满足一定的p i n c h i n g 条 件，则m 是全脐的 最后在第三章，我们研究了球面的子流形的拓扑，若材的第二基 本形式模长平方有上界，我们证明了m 同胚于一个球面 关键词：有限拓扑型；微分同胚；同胚；全脐子流形 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt h i s t h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h e t o p o l o g y o fam a n i f o l da n d s u b m a n i f o l d so fam a n i f o l di nt h ef i e l do fr i e m a n n i a n g e o m e t r y w ed i s c u s st h er e l a t i o nb e t w e e nt h ec u r v a t u r ea n dt h e t o p o l o g yo f s o m er i e m a n n i a nm a n i f o l d si n c h a p t e r o n e w e s t u d yc o m p l e t e n o n c o m p a c to p e n r i e m a n n i a nm a n i f o l d sw i t hs o m ec o n d i t i o n sv i a c o m p a r i s o n a lg e o m e t r ym e t h o d s w ep r o v et h a t mw i t hs o m eb o u n d e d c o n d i t i o n sh a sf i n i t et o p o l o g i c a lt y p eo re v e nd i f f e c m o r p h i ct ot h ee u c l i d s p a c e i nc h a p t e rt w o ，s u b m a n i f o l d si nt h ed es i t t e rs p a c ea r ec o n s i d e r e d w e p r o v et h a tac o m p a c t s u b m a n i f o l di nt h ed es i t t e rs p a c ei st o t a l l yu m b i l i c a l j ft h el e n g t hs q u a r eo ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo fmi sb o u n d e db y s o m e p i n c h i n g c o n d i t i o n s a tl a s ti nc h a p t e rt h r e e ，t h et o p o l o g yo fs u b m a n i f o l d si nas p h e r ei s d i s c u s s e d w ep r o v et h a tmi sh o m e o m o r p h i ct oas p h e r ei ft h el e n g t ho f t h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r mo fmi sb o u n d e d b y ac o n s t a n t k e y w o r d s ：f i n i t et o p o l o g i c a lt y p e ；d i f f e o m o r p h i s m ；h o m e o m o r p h i s m ； t o t a l l yu m b i l i c a l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：泉冰玉日期：弘噼f 月多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 作者签名：宋汰玉砌弛绷 日期：z o * l 牟- 歹月弓日日瓤蚶多月之日 本人已经认真阅读“c a m s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程”中的规定享受相关权益。回蠢迨塞理套卮溢卮；旦圭生i 旦= 生；旦三生 蕉查! 作松名：泉冰玉锄张俐 日期：劲t 浒6 月弓日日期：测年舌月3 7 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一章开流形的曲率与拓扑 微分几何中的一个基本问题就是理解流形的曲率与其拓扑之间的联系。常 见的曲率有三种：截面曲率、r i c c i 曲率和数量曲率本章我们讨论非负的r i c c i 曲率以及截面曲率对流形拓扑的限制 1 1 引言 提到曲率与拓扑的关系，熟知有很多经典结果例如，关于曲率与示性数 的g a u s s b o n n e t 公式，关于基本群的s y n g e 定理和b o n n e t m y e r s 定理；关于 第一b e t t i 数的b o e h n e r 定理，正截面曲率的b e r g e r 球面定理和负截面曲率的 c a f t a n h a d a m a r d 定理等等 近三十年来，有关曲率与拓扑关系的研究取得了长足的进展，得到了一 批有效的方法和美妙的结果，其中首推1 9 6 9 年和1 9 7 2 年c h e e g e r 和g r o m o l l 得到的结构定理：s o u l 定理和s p l i t t i n g 定理( 【6 】【7 】) s o u l 定理指出每个带有 非负截面曲率的完备非紧r i e m a n n 流形都有一个称为s o u l 的紧致全凸全测地 子流形( 般而言不唯一) ，使得原来的流形就微分同胚于该子流形的法丛。 特别的，当原流形具有正截面曲率时，这个s o u l 就是一个点，从而该流形微 分同胚于舻这样，研究非负截面曲率的非紧流形就化归到研究紧流形的情形 了s p l i t t i n g 定理则是关于非负r i c c i 曲率的结构定理，它断言这样的流形的万 有覆盖空间等距同构于n r ，其中里面不包含任何“直线”1 9 7 7 年g r o v e 和s h i o h a m a ( 【1 2 】) 在证明他们的广义b e r g e r 球面定理时，引入了距离函数 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 的i 瞄界点方法，由此开辟了曲率与拓扑关系研究的新篇章 关于有限拓扑型的第一个重要结果是a b r e s h 和g r o m o l l 在1 9 9 0 年得到 的他们证明了若完备非紧流形m 具有非负r i c c i 曲率，其截面曲率有负下界， 且直径增长的阶小于，“”，则流形m 具有有限拓扑型之后，s h e n 和w e i ( 2 6 ) 在弱边界几何与较小的体积增长条件下得n t 有限拓扑型的结果，s h e n ( 【2 4 】) 则在第k 个r i c c i 曲率非负条件下推广了上述结果以及a b r e s h 和g r o m o l l 最初 结果此外s h a 和s h e n 在( 【2 3 】) 中对于非负r i c c i 曲率、截面曲率不太小且 有大体积增长的情形证明了有限拓扑型的结果 本篇文章研究了具有非负r i c c i 曲率和大体积增长的完备流形x i a 在 ( 3 0 1 ) 中在截面曲率有负下界的情况下，通过控制在某些点处的测地球的体 积条件得到了流形膨微分同胚于彤的结果，从而一般化了s h e n 在( 【2 5 】) 中的相应结果。本文则是通过下面的引理1 3 3 ，将x i a ( 【3 0 】) 中的结果作了 部分推广 1 2 基本概念与定理 设( m ，g ) 为托维完备r i e m a n n 流形 定义1 2 1 给定p m ，我们称p 点处的射线截面曲率大于或等于c ，记为 k 苫c ，若对于任意从p 出发的极小测地线y ，所有与y 相切的平面的截面 曲率大于等于c 定义1 2 2 令口。一。l i r a 与篱，则易见a ”的定义跟工m 的选取无关， 从而定义是确切的当口。，o 时，称流形m 是具有大体积增长或者欧式体积 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 增长 现在给出如下的第k 个r i c c i 曲率和沿射线r i c c i 曲率的概念，前者是介 乎于r i c c i 曲率和截面曲率中间的一个概念，而后者则类似于射线截面曲率 定义1 2 3 对于任意的1 s ks n 一1 ，称n 维r i e m a n n 流形m 的第k 个r i c c i 曲 率r 把h 在某一点p e m 处成立，若对任意的 + 1 ) 维子空间v c 毛材 曲率张量s ( x ，y ) z 满足 善( 地v m ) 日，w y 且删_ 1 其中慨，e 。) 是矿中的一组标准正交基r f c 嚣h 表示r i c 。h 对所有 的p m 成立 显然，对任意的1 ks ls h 一1 ，r i c 嚣k c 蕴涵着r i c g ) 苫l c ，因而 r i c _ i i f 暑r 缸2 。( 忍- 1 ) c 定义1 2 4 点q e m 称为距离函数d 。的临界点，若对于任意单位向量 v 埘，都存在一条从口到p 的极小测地线，使得p ( o ) ，p ) s 三。 下面给出有限拓扑型的定义，由该定义，可以视为类似于紧致流形的非 紧流形 定义1 2 5 一个流形m 称为具有有限拓扑型，若存在一紧致区域q ，使得a q 是一拓扑流形且m q 同胚于a qx 【o ，。) 由此给出临界半径的定义： 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 定义1 2 6 流形m 在点p 处的临界半径c ，定义为使b ，0 ) 不合点p 的临界点 的最大的r 由下面的合痕引理，b 。( p ) 同胚于开球- 定义c ( m ) = 翳c ，称为流 形m 的临界半径显然，若对于某点p ，c 。= o 。，则m 微分同胚于r “ 定义1 2 7 给定两点p ，q e m ，p ，q 的c x c c s s 函数定义为 0 ) 。d ( x ，p ) + d o ，q ) 一d ( p ，q ) 其中d ( p ，口) 表示从p 到q 的距离 定理1 2 1 ( r i c c i 曲率的t o p o n o g o v 型比较定理) ( 【1 0 】) 设( m ，g ) 是完备，l 维 r i e m a n n 流形，舭m 苫一0 1 ) 则对v p e m ，存在常数c 0 一c 帆以o ) ) 0 使得若盯，：【o ，。】一m 是从p 点出发的极小测地线，p 净m a x ( r ，r 2 ) s i l p 。( p ) ， 则 d ( o i ( _ ) ，仃：( r 2 ) ) s e c o p z i _ v ，一r ：v ：l 其中u ；銮生( o ) ，i - 1 ，2 ，而p c o ) ；s u p p ) o l c o n j ( q ) p ，v 口b ，p ) 进一 t l t 步，若该流形的整体共轭半径可。= c 。) 0 ，则存在常数c 。；c ( ，l ，p 。( p ) ) 使 得上述结果成立 对于r i c c i 曲率而言，如下的体积比较定理更引人注目 定理1 2 2 ( b i s h o p - g r o m o v 体积比较定理) ( 【1 1 】) 设m 为n 维完备r i e m a n n 流形，r i c ( n 一1 ) k 贝0 ( 1 ) 对任意x m 和尺) 。，号辫是r 的非增函数特别地， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 2 ) v o l b ：僻) 】sv 暖，r ) 其中v ( k ，r ) 表示常曲率k 的空间形式m 。中半径为r 的测地球的体积 定理1 2 3 ( 合痕引理) 设点p e m ，cr 2s + * ，且瓦面b 。o ) 内没有d ， 的临界点，贝f j b 。( p ) b 。( p ) 同胚于o b 。( p ) h ，r 2 】更进一步，峨( p ) 为没有 边界的拓扑子流形 定理1 2 4 ( 圆盘定理) 若流形m 上g - 在一点p ，使得函数d ，除了p 点外没 有其它的临界点，则流形m 微分同胚于彤 定理1 , 2 5 ( 有限型引理) 若流形m 上存在一点p ，使得函数d 。的所有临界 点都在m 的一个紧致子集里面，则流形m 具有有限拓扑型 1 3 主要结论与证明 给定p m ，令为p 点处的单位切球面中闭子集，令c ( z ) = q e mi 存在连 接p 与口的极小测地线y ，满足r ( o ) e z ) 乓仞，) 一 x e b ( p ，) i 存在从p 到z 的极小测地线y ，满足y ( o ) 三) 给定r 0 ，令 h ( r ) = m a x 彤0 ，c ( ) ) j 工晒( p ，r ) ) 为扭p ，) 中的点到由p 点出发的射线锥 之间的最大距离 对o t rs 。定义z 。( * ) = v e s p ( m ) i y ( f ) = e x p , ( i v ) 在 o ，r ) 上具有极小性) ，且 有下面的结论成立： ，( r 2 ) c 三，( ) ，0 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ，( 。) = q z ，( r ) ，) u 引理1 3 1 ( 【1 】) 设m 为n 维完备r i e m a n n 流形，满足r f c 乞苫o ( i ks 一1 ) ， 令y ：【o ，口】一m 为连接p 与q 的一条极小测地线那么有下列不等式成立： c k + l 三 ) 8 ( ) v x e m 这里5 一d 0 ，y ) ，r ；m i n d ( p ，工) ，d ( q ，z ) 引理1 3 2 设m 为h 维完备r i e m a n n 流形，满j , 足z r i c m o 和口_ | i ， 0 ，那么对 v r 0 和v x e o b ( p ，r ) ，有 啦( p ，2 r 糊电等字一声r 证明：令s ；d ，b z 。( 。) ( p ，2 r ) ) ，那么s r ，且 吃 ，s ) u b ：。( 。) p ，2 r ) c 曰，2 r ) ( 1 ) 且( 1 ) 的左边表示的是不交并由( 【3 0 】) 中的引理2 3 ，有 2 “v o t n ( p ，r ) 】v d f 陋( p ，2 ，) 】 v o t b ( x ，s ) 】+ v o i b z ，( 。) ( p ，2 r ) 】 c t u r o s ”+ a f o ( 2 r y 因此 s t 等掣r 一声r 蛆 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定理1 3 1 设肘为n 维完备r i e m a n n 流形，满足月f c 鲁0 ( 1 s k5 n 一1 ) ， 口 f 0 ，和初02 g 之0 看存征常数6 = 巧( 泞，k ，c o ) 便得对p e m 和v r 0 有p 式成立： 鼍掣舡争。” 贝, t j m 微分同胚于彤 证明：由i n j u g 0 可得坷 c o ，0 搬p p ) e m ，r - d ( x ，p ) 若， o ) x ( p ) e m 是p 的一个临界点，则v g m ，有 e 。 ) 苫( i ，2 ) 这里 s ( ，r 2 ) 一h 1 + e 2 一：厄地万2 + l n 1 ：= d ( p ，x ) ，r 2 ：一d ( q ，x ) 证明：设y 是一条以p 为起点的射线，q y o ) ，由于r 是p 的一个临界点， 故对任何由x 到q 的测地线y 。，存在一条由x 到p 的极小测地线r z ，使得 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( y ，( o ) y ：( o ) ) s 要由t o p o n o g o v 三角比较定理，有 c o s h ( 矗c t ) sc o s h ( 厄) c o s h ( 石r 2 ) p 矗+ g 一也s 昙。而+ p 而) o 厩+ e 一矗) 令 f o ) ；p 届+ e 一届一昙忙而+ e 一而) o 而+ p 一厩) n f ( t ) s o ，且l i m f ) _ + 吼 因此，存在唯一的亭巩，使得f ( 亭) = 0 苫f ( f ) 由f o ) 单调增知ts 亭，通过 简单的计算可得： 芋；l i l 【三( e _ ，1 + e - ，1 ) ( e 一+ e 。t ) + 丢、f i 了：- ：z i i i ；忑i _ = j ：而】 故8 肿 ) = 1 + r 2 一t 苫+ r 2 一亭_ 占( ，2 ) 注：当f 一+ 。时，r 2 。d ( q ，z ) _ + ，则j 骢( ，r 2 ) 1 n 再面。s 。u ，p 。8 ( ，t ) 从而下面的定理是优于( 【3 0 】) 中定理2 1 的 定理1 3 2 设m 为h 维完备r i e m a n n 流形，满足r f c _ | ：r 苫o ( 1 s k sn - 1 ) ，和 口。，0 ，且存在常数c ，o 和p m 使得衅“苫一c 若对所有的，o 有下列不 等式成立： 艺笋c 1 + 2 弋掣) 鼍k ( 3 ) 峨，1 j 则m 微分同胚于r ”这里( ，) 与引理1 3 3 中的相同 证明：要证明m 微分同胚与掣，r 需i t i n d ，没有除p 自身之外的临界点 对帆( ，p ) e m ，= d ( p ，工) 令r ，为从p 点出发的射线的点集，重复引理1 3 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 的证明过程得 d 。，j o ) s 2 a 。一二1 ! ：! ! ! i ：；! ；孕玉旦一a 。) 1 ( 4 ) mr 出( 3 ) 和( 4 ) 有 再由引理1 3 1 刚川 ，r p ) c 掣声南 拍) s 哞丸吨 r 2 ) 从而，根据引理1 3 3 知x 不是p 的临界点，n n m 微分同胚于科 推论1 3 1 ：设m 为，l 维完备r i e m a n n 流形，满足r i c m 皂0 ，口 0 和 k 2 ”2 一c ( c o ) 若v o 骂产c m “掣r l hr 、阢。 贝, l j m 与r “微分同胚这里e ( ，乇) 与引理1 3 3 中的相同 定理1 3 3 设m 为n 维完备r i e m a n n 流形，满足尉靠o ( 1 s 七s 以- 1 ) ，和 口。，0 ，且存在常数c - o 年 1 1 p e m 使得醪。2 一c 若有下列不等式成立： n m 俨s u p ( 鼍掣吨) 鼍坤弋壶n i 2 e x p - 习c 南 _ mm 。 6 、，c 1 十 r 2 则m 具有有限拓扑型 证明：根据i s o t o p y 引理，只需证明当d ( p ，工) 足够大时，x 不是p 的临界点 由条件( 5 ) ，则可找到一个充分小的常数，o 和一个充分大的常数n ，使得 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s (掣一口。)rlk+-等_1尸1il=。i忑28qc 1 e x p - c r 2 一e ) 熹a ”鸭 +吖 由于 粤s “，吒) - s 棚u p s ( 仙) 乩嘉 州 ，nl 士p o 其中e ( q ，r 2 ) 与引理1 3 3 中的相同，则存在足够大的b ，使得 等，丽1h 去1 一s8 c8 、，c + 已叫w 4 令r o ；m a x a ，b ) ，因此 等c 1 + 2 - ( 掣8 q c r ，) 鼍h v n l 由定理1 3 2 的证明，知m b p ，r 0 ) 中不含p 的临界点，因此m 具有有限拓 扑型 推论1 3 2 设m 为n 维完备r i e m a n n 流形，满足r i c m o ，a 0 和 k z - c ( c ，o ) ，若 1 1 删( 鼍产训) 0 时，一个单连通的l o r e n t z 空间形 式称为d e s i t t e r 空间，并记作筇”p ) 如果m ；”p ) 的一个疗维子流形m 由外 围空间m ；+ ( c ) 所诱导的度量是正定的，则称肘为m ；+ 9 ( c ) 的类空子流形 对于具有平行平均曲率向量的子流形的研究，目前最受人们重视的研究 算是三维空间形式中具有常数平均曲率曲面，原因是它的研究涉及分析、拓 扑等大量信息，因此这种曲面的分类工作方兴未艾在高维情形下，问题变得 更为复杂另一方面，若将外围空间加以改变，则分类问题有时变得简单例如， 当外围空间是d es i t t e r 空间时，著名的g o d d a r d ( 【1 3 】) 猜测是：霹“中具有 常数平均曲率的完备类空超曲面必是全脐的1 9 8 7 年a k u t a g a w a ( 【3 】) 获得： 当h 2 1 时，g o d d a r d 猜测是错误的1 9 8 8 年，m o n t i e ( 【1 8 】) 在紧致条件下，使用积分公式证明了g o d d a r d 猜测是正确的；同时他 指出：当h 2 4 亿一1 ) n 2 时，上述猜想是错误的后来，人们一直在g o d d a r d 猜测上花费了许多精力，但问题至今未彻底解决。最近c h e n g ( 9 ) 将上述结果 推广到了d es i t t e r 空间中的子流形上 本篇文章与s h e n ( 【2 7 】) 均讨论了d es i t t e r 空间中具有平行平均曲率向量的 类空子流形，对这种子流形的第二基本形式的长度平方的上界进行讨论，研 究这种子流形成为全脐子流形的条件；所不同的是：s h e n ( 【2 7 】) 考虑的是流形 完备的情况，而本文则是应用b o c h n e r s 引理考虑流形紧致的情况 2 2 主要结论 引理2 2 1 ( 【2 】) 令魄1 1 j i s 厅) 为n 个实数满足口f = o 则 a ? 卜南( 乒 定理2 2 1 设m 为霹+ 1 f 1 ) 中具有平行平均曲率向量的n 维紧致类空超曲面， 其中n ：2 若s c 2 五，则m 是全脐的，其中5 为m 的第二基本形式模长平 方 证明：设m 为s ? + 1 ( 1 ) 中具有平行平均曲率向量的紧致类空超曲面，h 为其平 均曲率经过简单的计算，不难得到 1 3 硕士学位论文 m a $ t e r st h e s i s 三2 缸2 ；2 + 氓 = 2 + ，l t r h + - 2 一) 2 + ( 朋一2 ) 2 一曰一3 ) + ，) ( 1 ) 这里h 。= ( h o ) 定义二阶共变向量= 一日岛) 啦吁巳+ l 由的定义知 t r l t = 0 t r h + 1 2 = t r u 2 + n i l 2 t r p 2 + 三( f 坍。“) 2 打曰。+ 1 3 = f r 3 + 3 ( t r h 。) ( t r u 2 ) + 去乩+ 。) 3 hn 令，2 = t r p 2 ；5 一n h 2 若平均曲率向量 与法丛平行t 则易知抒为常数，那么 7 h ( 1 ) 有 丢，2 一2 + 矿2 + ，4 一言( 柑。) 2 厂2 一( 棚一) 缈p 3 ) ( 2 ) t r l t = o 和上面的引理2 2 1 可得 一+ 1 ) 蚶净了篡每j 咀扩 ( 3 ) 将( 3 ) 代入( 2 ) 得 圭，2 【，2 一蒜阻+ i ，一壶+ 1 ) 2 州 【，2 一蒜l 帆t 1 ，一砉一) 2 _ n 】 ( 4 ) 如果能证明( 4 ) 式的右边非负，则由b o c h e r s 引理知2 = 0 因此，必须满足 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s f 2 蒜l 喊肌言+ 1 ) 2 一。 即 ，c 蒜i 呶- 卜t r h , 1 ) 2 + n 因此 “删+ 葫南阻一杀百1 ) 2 州2 = 赤蜘一n 则( n - - l j 2 ) h i _ 、 n 2 h 2 + 4 ( n - 1 ) 2 ( n 一1 )z t n u g ( 耻南肌 n 2 ( n - 2 ) 。日l 历砸而析删为偶溅 则只需考虑日苫0 的情形，即 艄岛( 删n 3h 2 + n - 貉日历砸丽 ( 5 ) 令g 旧) = 0 ，则有 ( , a - 0 2 ：矗j “一2 4 2 = 5 ) ( 6 ) 将( 6 ) 代入( 5 ) 有g 。；2 ；i i ( g ( o ) ：n ) 则由上面的讨论知：若s c2 ；i i ，则 m 是全脐的故完成了定理2 2 1 的证明 引理2 2 2 ( 【3 5 】) q ，口：，；趣，b 2 ，屯为2 n 个实数满足岛一0 则 a i a ， 一6 ，) 2 2s 孰( q 2 ) 2 ( 2 b l z ) 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 证明： 一抒 。h b hb h ，丫2 q et r ( h 。2 h p 2 ) 一打( 也日口) 2 ；( 鳄 盖蟛蟛一 “i 。j ， 1 4 k “k 。l - 1 4 t 、； = 蔓w 醒( ；碟一 硝) _ 。 = 蟛簖；嵋一h j t h n “) = 軎( 峻蟛一 ；蛭) ( 鳄磁一w 醛) 。壶。磊，( 善。域一 2 三。 所以 一f r 阻。h p h ，h o ) 2 2 e r r ( h = 2 日p 2 卜一 。h ，) 2 土0 引理2 2 3 证明完毕 定理2 2 2 设m 为s ；+ 9 ( 1 ) 中具有平行平均曲率向量的h 维紧致类空子流形， 满足一0 - f f sc 磊，则膨成为全测地子流形并+ 1 ( 1 ) 中的超曲面 证明：由h - o ，令+ t 。- y 5 因此有 t r h * + 1 ) ，f 埘。+ 1 = o ( a 1 1n h 日。“h 。= 爿。爿h “ 令二阶共变张量r ；螺母哆，那么有 n + ，r r ( 日a 2 ) ，加互，榴a = o 经过简单的计算得到 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 。善，笱喵一。羲饼) 2 。磊+ ，打饵。一月a ) 2 + ( t r h 。h ，) 2 + ( t r h 。h 。) 2 一h h ( t r h j 日。) ( 9 ) d a 啡ln 卅lo 1 由引理2 2 3 及( 7 ) 得 一。磊+ 。f ，a 姊一，哎) 2 一荔打眠珥一以也) 2 o ( 1 0 ) 对固定的a e n + 1 ) 将h 。对角化，注意f 用。= 0 - n + 1 ) 根据引理2 2 2 ，则 有 p 虬风+ ，) 2 一n h ( t r h 。2 以+ ，) = k + 豫蟒1 一蟛 z 1 弼垲 一鳐坛蝣“h 7 1 一( 鳝) 2 罐“h , 7 1 = 一昙( 雌一h d 2 h , 7 + 1 蟛1 z 一捱( 酵) 域， 。篆，p 也以+ 1 ) 2 一柑磊。( 棚。2 巩+ 1 ) 芑一捱s 。善。( 帽y ( 1 1 ) 将( 8 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ) 代入( 9 ) 有 抄1 2 3 磊，( h * a ) 2 。荟。鲜蠼 = 。三，孵蜘一争) 由条件s c 磊得 z o 再根据b o c h n e r s 引理知h 2 = 0 ，因此 盯2 磊( h f f ) 2 = o 由s t y a u ( 【3 4 】) 知m 位于o e s l n e r 空间”( 1 ) 的h + 1 维全 测地流形掣“( 1 ) 中因此这就完成了定理2 2 2 的证明 推论2 2 1 ：设m “o 2 ) 为s ：+ ( 1 ) 中具有平行平均曲率向量的h 维紧致类空 子流形，满足日一o 若5 c 磊，则m ”成为全测地子流形研“( 1 ) 中的全脐超 曲面 证明：由定理2 2 2 有m “c s ；“( 1 ) 且( h d 2 = o 因此m “为群“( 1 ) 中的一个 超曲面，且其第二基本形式长度的平方仍为s 另一方面，知s2 如一l ( n z 2 ) ， 由定理2 2 1 知m “在s ，n “( 1 ) 是全脐的因此完成了推论证明 硕士学位论文 b i a s t e r st h e s i s 第三章球面s 一( c ) 中子流形的拓扑 r i e m a n n 几何的一个基本问题是研究一个完备连通，且维数大于等于2 的 流形的r i e m a n n 结构与其拓扑结构之间的关系本章在m 的第二基本形式长 度的平方满足一定条件时，讨论了n 维完备可定向子流形 ，的拓扑结构 3 1 引言 m y e r s ( 【1 9 】) 的经典定理指出：截曲率k 满足足芑巧 o 的流形是紧致的； 特别的，要求流形肘的直径d ( 膨) 满足d ( m ) 5 z 6 在r 卸c h ( 【2 2 】) 的工作的 基础上b e r g e r ( 【4 】) 获得了著名的球面定理的偶数维形式，一般的球面定理为 k l i n g e n b e r g ( 1 4 ) 后来所获得 值得感兴趣的是r i e m a n n 流形的子流形的拓扑怎样被主要的内在和外在 曲率不变量影响t e u n g ( 1 5 ) 证n 了：若m 为单位球面5 ”9 ( 1 ) 中的一个紧致可 定向的n 维极小子流形，且m 的第二基本形式长度的平方5 c n 0 r3 ) ，则m 同胚于一个球面舒世昌( 【2 9 】) 证明了： s m i n 2 - j - 2 j c ，等等+ 2 。) 。，3 、 时，n n s “+ ，( c ) 中的完备可定向的n 维子流形m 同胚于一个球面本章则是用 不同的方法证明了与( 【2 9 1 ) 相类似的结果 1 9 硕士学位论文 m a s l t r st h e s i s 3 2 结论及证明 引理3 2 1 ( 【1 6 】) 设m 为r i e m a n n 流形”9 中的n 维浸入子流形， 令r i c 为 m 在每一点处的极小r i c c i 曲率若n ”，的所有截曲率有下界k ，则 r i 。：( n - 1 ) k + 1 - 2 ( n 一1 ) n hz 一( n - 2 ) 矗再丽二而一( n 一啪) 引理3 2 2 ( 【1 7 】) 设m 为s ”，( 1 ) 中的n 维紧致浸入子流形，其第二基本形 式为b ，令正数p ，q 满足p + 口= ，l ，且1 p ，q h - 1 若不等式 + 薯。耋。( 2 忙。，气) 1 1 2 一p 。户j ) ，口瓴，咯) ) ) c p 日 x c m 中的任何点p 和瓦m 任何局部正交标架场均满足，那么 h 。彤，z ) 也( m ，z ) = 0 其中h ，( m ，z ) 为m 整系数的第s 次同调群 定理3 2 1 设m “q ：3 ) 为单位球面+ ，( c ) 中的n 维完备可定向的子流形若 m 的第二基本形式长度的平方5t 2 0 i 二- c ，则m 紧致且膨的基本群有限而 且若n ，3 ，则m 同胚于一个球面 证明：通过一个等距变换，当c ) 0 时可假定c = 1 因此，下面仅讨论在c = 1 的 情形 令五。；) 2 ，驴；咐) 2 灿= 由条肌p 耶卜蠊p q 因此 2 毫毒，雌) 2 + 等瓦c 譬【2 薹。蚤n 啡) 2 + 卜等n ( 1 ) 2 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对每个口，令棚。善w ，由c a u c h y - s c h w a r z 不等式，有 善) 22 善( a ，2 1 - 。善，僦) 2 o p ( 扣2 0 q ( 。耋，彬，= i “i 嚣1 #一n(弘p)2一一2删。酗ppqq+ 三q ( 喊) 2篇“嚣“ 因此 ( 舡) 2 _ 等喊舡+ 詈一i p q 刍n a 2 s 。 所以 詈棚。一孚v 7 n 妻( 彬一呻 尼栉符 s 套| l l ；s 詈城+ 孥廿骞蝌一帆) 2 由( 2 ) ( 3 ) 得 c 扣2 一。私 5 等耋蝌+ 孚喊舡a p 。( t r h n 倒 厅 篇” ” s 盟n 艺饼) 2 卫n ( 棚+ 题字( f 珊口) 2 爿 ” + 宰l 警槲。忻喜蝌一叫 ( 3 ) 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s = p 。q 。一t r h ) 2 + 届掣i 棚一厄i 砑 故由( 1 ) ，( 4 ) 及c a u c h y s c h w a r z 不等式得 善t z 砉。毫。( h d 2 一薹。毫， j j h “ 2 善【2 薹。蚤， 盖) 2 “薹蝣) 2 一棚“薹嵋】 s 善【2 蓦。毫，2 + 譬莨一等旧+ 压亨l 朋口l 厄i 面】 s 譬一印弘2 + 丽字【善呱) 2 】； p 一帆) 2 】严 。塑( 。一2 槲：+ 生单型1 日 厮) ， 、p q 。丝( 。一枷：+ 埤掣吲正矛) ：一丝 + 胴z 一警1 日i ，一，：) + p q ( 5 ) 这里，2 = s n h 2 若能够证明在一定条件下( 5 ) 式的右边括号内大于0 ，则下式成立 薯。私训2 中蚂一徊 枷p 口 因此，只需要求，满足 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 即 因此 卜x ：- n n 岳( n - 渺2 ) 辱 = 丽n 3 一n h 2 + n - n 2 ( n - 2 ) 。h l 历可丽 2 ( ，l 一1 )2 ( 栉一1 ) 。 令g ( h ) = 赤n n 一精旧l 历砸而析艄) 则只需考虑hz 0 的情形，即 皑卜赤n 雌一帮h 厕 令g ( h ) = 0 ，则有 ( n i l ) 2 ；石i m 一2 4 x 7 i ) 将( 1 1 ) 代入( 1 0 ) 有g 。一2 五j ( g ( o ) 一，1 ) 令 g ( 日，厂) 。n + n 日：一掣1 日j ，一，2 、，万一j 由( 7 ) ( 1 l y i g ，当j 2 五时g ( 日，卜o 再由引理3 2 1 得 尉c 尘兰伽+ 柑：一掣l h i ，一f2 n ， 、，l 一1 ：n h - 1 g ( h ，) ( 8 ) ( 9 ) 为偶函数 ( 1 0 ) ( 1 1 ) 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 若s 0 ，因而r i c ) 0 ，故由b o n n e t - m y e r s 定理知m 是紧 致的，且m 的基本群有限另一方面，当( 6 ) 式成立时，由引理3 2 2 ， ，( m ，z ) = ( m ，z ) = 0 ，对所有的1 p ，q h 一1 ，p + q = h ，从而 h 。( m ，z ) = 0 由上同调群与下同调群的关系知日”1 ( 村，z ) 无挠，再由庞加莱 对偶定理知h ，( m ，z ) 也无挠由条件知，当：r l ( m ) 有限时h 。( m ，z ) = 0 r 从而 m 为个同调球 上面的讨论也可用到膨的万有覆盖空间厦，知麝也是一个同调球由于 詹是单连通的，即以( 廊) - 0 ，由h u r e w i c z 定理知府也是一个同伦球由一般 的p o i n c a r e 猜想( s m a l e n 5 ，f r e e d m a nn = 4 ) 知府同胚于一个球面因此球 砸府覆盖同伦球m ，再由s j e r v e ( 【2 8 】) 的一个结果知啊( m ) t 0 ，从而j 】l f 同 胚于一个球面因此完成了定理的证明 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 【1 】1u a b r e s h d g r o m o l l ，o nc o m p a c tm a n i f o l d s o f n o n n e g a t i v er i c c i c u r v a t u r e ，j o u r a m e n s a c ，3 ( 1 9 9 0 ) ，3 3 5 - 3 7 4 2 】h a l e n c a r m d oc a r m o ，h y p e r s u f f a c ew i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r r i n s p h e r e s ，p r o c a m e r m a t h s o c ，1 2 0 ( 1 9 9 4 ) ，1 2 2 3 - 1 2 2 9 【3 】k a k u t a g a w a ，o ns p a c e - l i k eh y p e r s u r f a c e w i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r ei nt h e d es i t t e rs p a c e ，m a t h z ，1 9 6 ( 1 9 8 7 ) ，1 3 - 1 9 【4 】m b e r g e r , l e sv a r i e t e rr i e m a n n i e n n e s ( 1 4 ) - p l n c e e s ，a n n s c u o l an o r m s u p p i s a , s e r h i ，1 4 ( 1 9 6 0 ) ，1 6 1 - 1 7 0 【5 】5r l b i s h o p & r j c r i t t e n