（基础数学专业论文）biprimitive+semisymmetric+graphs+from+psl2p+and+regular+coverings+of+cube.pdf

摘要 本文分为两部分第一部分是关于半对称图的分类，第二部分是关于立方体 边传递的正则覆盖图的分类，其覆盖变换群同构于初等交换p 群 半对称图是指正则，边传递，但点不传递的图显然，半对称图是两分图， 并且两部分的阶相同，自同构群在这两部分上的作用是传递的进一步地，如果 自同构群本原地作用在这两部分上，我们称其为双本原的本文将对p s l ( 2 ，p ) ， p ；4 - 1 ( r o o d1 0 ) ，作用在a 5 的陪集之集上得到的双本原半对称图进行分类同 时得到p g l ( 2 ，p ) 关于a 5 的次轨道结构 ( 设r 为有限连通图，h 为它的自同构群的一个子群，a 为给定一个初等交 换p 群杜少飞，k a w k 和徐明曜用矩阵的方法将f 盟互贝! 【连通覆盖图进行了 分类，其中以a 作其为覆盖变换群，并且h 可提升：) 本文中，我们用同一种方 法分类立方体的正则连通覆盖图，并且满足两个条件，覆盖变换群同构于初等交 换p 群且保纤维自同构群是边传递的 双本原半对称图，正则连通覆盖图 a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s t h ef i r s tp a r td e a l sw i t ht h ec o n s t r u e t i o no f s e m i s y m m e t r i cg r a p h sa n d t h es e c o n d p a r tc l a s s i f i e st h ee d g e _ t r a n 8 i t i v e r e g u l a rc o v e r i n g so ft h ec u b e ，w h o s ec o v e r i n gt r a n s f o r m a t i o ng r o u p sa r ei s o - m o r p h i c t ot h ee l e m e n t a r ya h e h a np - g r o u p s a r e g u l a ra n de d g e - t r a n s i t i v eg r a p hw h i c hi s n o tv e r t e x - t r a n s i t i v ei ss a i d t ob es e m i s y m m e t r i c i ti se a s yt os e et h a te v e r ys e m i s y m m e t r i cg r a p hi sn e c - e s s a r i l yb i p a r t i t e ，w i t ht h et w op a r t sh a v i n ge q u a l s i z ea n dt h ea u t o m o r p h i s m g r o u pa c t i n gt r a n s i t i v e l yo n e a c ho ft h e s et w op a r t s as e m i s y m m e t r i cg r a p h i sc a l l e db i p r i m i t i v ei fi t sa u t o m o r p h i s mg r o u pa c t sp r i m i t i v e l yo ne a c hp a r t t h i st h e s i sw i l lg i v eac l a s s i f i c a t i o no fb i p r i m i t i v es e m i s y m m e t r i eg r a p h sa x i s _ i n gf r o mt h ea c t i o no f t h eg r o u pe s l ( 2 ，p ) ，w h e r ep ；士1 ( r o o d1 0 ) ap r i m e ， o i lc o s e t so fa 5 b yt h e 啪品t h es t r u c t u r eo ft h es u b o r b i t so fp g l ( 2 ，p ) o i l t h ec o s e t so fa si sd e t e r m i n e d f o rag i v e nf i n i t ec o n n e c t e dg r a p hr ag r o u ph o fa u t o m o r p h i s m so ff a n daf i n i t eg r o u pa = 露，d u ，k a w ka n dx u ( s e e1 6 ) g e ts o m en e wm a t r i x - t h e o r e t i c a lc h a r a c t e r i z a t i o n st oc l a s s i f ya l lt h ec o n n e c t e dr e g u l a rc o v e r i n g so f f h a v i n ga a si t sc o v e r i n gt r a n s f o r m a t i o ng r o u p ，o nw h i c he a c ha u t o m o r p h i s m i n 日c a l lb el i f t e d w i t ht h i sm e t h o d ，i nt h ep r e s e n tt h e s i s ，w ew i l lc l a s s i f y a l lt h ec o n n e c t e dr e g u l a rc o v e r i n gg r a p h so ft h ec u b es a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n g t w op r o p e r t i e s ：( 1 ) t h ec o v e r i n gt r a n s f o r m a t i o ng r o u pi si s o m o r p h i ct ot h e e l e m e n t a r ya b e l i a np - g r o u p ；( 2 ) t h eg r o u p o ff i b r e - p r e s e r v i n ga u t o m o r p h i s m s a c t se d g e - t r a n s i t i v e l y k e yw o r d s ：s e m i s y m m e t r i cg r a p h ，b i p r i m i t i v e s e m i s y m m e t r i cg r a p h ，c o i l n e c t e dr e g u l a rc o v e r i n gg r a p h 1i n t r o d u c t i o n a l lg r a p h sc o n s i d e r e di nt h i st h e s i sa t ef i n i t e ，u n d i r e c t e da n ds i m p l e 、f o rag r a p h x ，w eu s ey ( x ) ，e ( x ) ，a ( x ) a n da u t ( x ) t od e n o t ei t sv e r t e xs e t ，e d g es e t ，a r es e t a n df u l la u t o m o r p h i s mg r o u p ，r e s p e c t i v e l y f o ra n y y ( x ) ，b y g ( v ) w e d e n o t e t h en e i g h b o r h o o do fvi nx l e tgsa u t ( x ) t h e nxi ss a i dt ob eg v e r t e x - t r a n s i t i v e ，g e e - t r a n s i t i v e o rg - a v e t r a n s i t i v e ，i fga c t st r a n s i t i v e l yo nt h es e to fv e r t i c e s ，e d g e so ra r c so f x ，r e s p e c t i v e l y f u r t h e r m o r e ，xi ss a i dt ob ev e r t e x t r a n s i t i v e ，e d g e t r a n s i t i v eo r a r c t r a r l s i t i v e ，i fi t i sa u t ( x ) 一v e r t e x - t r a n s i t i v e ，a u t ( x ) 一e d g e t r a n s i t i v eo ra u t ( x ) 一 a r e t r a n s i t i v e ，r e s p e c t i v e l y a ns a r eo fag r a p hx i sas e q u e n c e ( v 0 ， l ，仇) o f 5 + 1v e r t i c e ss u c ht h a t ( 地，y i + 1 ) a ( x ) a n dv i v i + 2 ag r a p hxi s8 - a r c t r a n s i t i v e i fa u t ( x 1a c t st r a n s i t i v e l yo nt h es e to f8 - a r c so fx t h i st h e s i sd e a l sw i t ht h ec o n s t r u c t i o no fg r a p h sa n di tc o n s i s t so ft w op a r t s ， t h a ti s ，s e m i s y m m e t r i cg r a p h sa n dr e g u l a rc o v e r i n g so ft h ec u b e i nw h a tf o l l o w s ， w eg i v eas i m p l yi n t r o d u c t i o ns e p a r a t e l y 1 1 s e m i s y m m e t r i cg r a p h s l e txb eab i p a r t i t ew i t hb i p a r t i t i o nv ( x ) = u ( x ) u w 僻) s e ta + = ( 9 月iu ( x ) g = u ( x ) ，w ( x ) 9 = i 矿( x ) ) c l e a r l y i fx i sc o n n e c t e dt h e ne i t h e r f a ：a + i = 2 o ra = a + ，d e p e n d i n go nw h e t h e ro rn o tt h e r ee x i s t sa na u t o m o r p h i s m w h i c hi n t e r c h a n g e st h et w op a r t su ( x ) a n dw ( x ) s u p p o s eg i sas u b g r o u po fa + t h e nxi ss a i dt ob eg - s e m i t r a n s i t i v ei fga c t st r a n s i t i v e l yo i lb o t hv ( x ) a n d ( x ) ，a n ds e m i t r a n s i t i v ei fx i sa + s e m i t r a n s i t i v e d e f i n i t i o n1 1ag r a p hi sc a l l e ds e m i s y m m e t r i cl ，i t i sr e g u l a ra n de d g e t r a n s i t i v e b u tn o tv e r t e z t r a n s i t i v e i ti se a s yt os e et h a te v e r ys e m i s y m m e t r i cg r a p hi sab i p a r t i t eg r a p h w i t ht w o p a r t so fe q u a ls i z ea n d i ss e m i t r a n s i t i v e d e f i n i t i o n1 2as e m i s y m m e t r i cg r a p h 话c a l l e db i p r i m i t i v e 玎i t sa u t o m o r p h i s m g r o u pa c t sp r i m i t i v e l yo ne a c hp a r t 1 t h ef i r s t p e r s o nw h os t u d i e ds e m i s y m m e t r i cg r a p h sw a sf o l k m a n i n1 9 6 7h e c o n s t r u c t e ds e v e r a li n f i n i t ef a m i l i e so fs u c h g r a p h sa n dp r o p o s e de i g h to p e np r o b l e m s ( s e e 8 】) a f t e r w a r d s ，b o u w e r ，t i t o v ，k l i n ，a ，v i v a n o v ，a a i v a n o va n do t h e r sd i d m u c hw o r ko ns e m i s y m m e t r i cg r a p h s ( s e e 3 ，4 ，1 2 ，1 1 ，1 3 ，1 6 】) t h e yg a v en e w c o n s t r u c t i o n so fs u c hg r a p h sa n dn e a r l ys o l v e da l lo ff o l k m a n so p e n p r o b l e m s i n p a r t i c u l a r ，i o f i n o v aa n d v a n o vf 1 2 】i n1 9 8 5c l a s s i f i e db i p r i m i t i v es e m i s y m m e t r i cc u b i cg r a p h su s i n gg r o u p - t h e o r e t i c a lm e t h o d s ；t h i sw a st h ef i r s tc l a s s i f i c a t i o nt h e o r e m f o rs u c hg r a p h s m o r er e c e n t l y , f o l l o w i n gs o m ed e e pr e s u l t si ng r o u pt h e o r yw h i c h d e p e n do nt h ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t es i m p l eg r o u p s ，s o m en e wm e t h o d sa n dr e s u l t s i nv e r t e x - t r a n s i t i v eg r a p h sa n ds e m i s y m m e t r i c g r a p h sh a v ea p p e a r e d i n ( 7 ，f o re x - a m p l e ，t h ea u t h o r sg i v eac l a s s i f i c a t i o no fs e m i s y m m e t r i cg r a p h so fo r d e r2 p qw h e r e pa n dqa r ed i s t i n c tp r i m e s i ti ss h o w nt h a tt h e r ea r e1 3 1e x a m p l e so fs u c hg r a p h s ， w h i c ha r eb i p r i m i t i v e i n 【5 】ac l a s s i f i c a t i o ni sg i v e n ，o fb i p r i m i t i v es e m i s y m m e t r i c g r a p h sa r i s i n gf r o mt h ea c t i o no ft h eg r o u pp s l ( 2 ，p ) ，p 兰士1 ( m o d8 ) ap r i m e ， o i lc o s e t so fs 4 i ns e c t i o n2 ，w ew i l lc l a s s i f ya l lb i p r i m i t v eg r a p h sa r i s i n gf r o mt h e a c t i o no f t h e g r o u p p s l ( 2 ，p ) ，p 三4 - 1 ( m o d1 0 ) a p r i m e ，o nc o s e t so f a 5 t h e s e t w o w o r k sa r em o t i v a t e db yo u rg o a lt oc l a s s i f ya l lb i p r i m i t i v eg r a p h so fo r d e r2 k p ，w h e r e k p ，p ap r i m e m o r e o v e r ，t op r o v et h ec l a s s i f i c a t i o nt h e o r e m ，w eh a v et od e t e r m i n et h es u b o r b i t so fp g l ( 2 ，p ) a c t so nt h ec o s e t so fa 5a n ds u c had e t e r m i n a t i o n w i l lc e r t a i n l yb eu s e f u lf o ro t h e rp r o b l e m s 1 2 c o v e r i n g so f a g r a p h a g r a p hr i sc a l l e dac o v e r i n go ft h eg r a p hfw i t hp r o j e c t i o np ：f _ fi ft h e r ei s as u r j e c t i o np ：v ( r ) _ v ( r ) s u c ht h a tp l 州。) ：( o ) + n ( v ) i sab i j e c t i o nf o ra n y v e r t e x v ( r ) a n do p - 1 ( u ) t h eg r a p hf i sc a l l e dt h ec o v e r i n gg r a p ha n dpi s t h eb a s eg r a p h ac o v e r i n gpi ss a i dt ob en - o l di f1 p - 1 ( ”) i = nf o re a c h 1 ，( r ) e a c hp - 1v ) i sc a l l e da z b r eo ff a na u t o m o r p h i s mo frw h i c hm a p saf i b r et oa f i b r ei ss a i dt ob ef i b r e p r e s e r v i n g t h eg r o u pk o fa l la u t o m o r p h i s m so ffw h i c h f i xe a c ho ft h ef i b r e ss e t w i s ei sc a l l e dt h ec o v e r i n gt r a n s f o r m a t i o ng r o u p ac o v e r i n g p ：亍_ r i ss a i dt ob er e g u l a rf s i m p l y , a - c o v e r i n g ) i ft h e r ei sas u b g r o u pa o fk a c t i n gr e g u l a r l yo ne a c hf i b r e m o r e o v e r ，i f fi sc o n n e c t e d ，t h e na = k a p u r e l yc o m b i n a t o r i a ld e s c r i p t i o no f ac o v e r i n gw a si n t r o d u c e dt h r o u g hav o l t 一 2 a g eg r a p hb yg r o s sa n dt u c k e r 【9 ，1 0 】a n da l s oav e r ys i m i l a ri d e aw a sa p p e a r e d i nb i g g s m o n o g r a p h 1 ，2 _ l e ta b eaf i n i t eg r o u p a n ( o r d i n a r y ) v o l t a g ea s s i g n m e n t ( o r ，a v o l t a g ea s s i g n m e n t ) o f fi saf u n c t i o n 庐：a ( r ) _ aw i t ht h ep r o p e r t y t h a t 西( “， ) = 曲( ，u ) 一1f o re a c h ( 让， ) a ( r ) t h ev a l u e so f 妒a r ec a l l e dv o l t a g e s ， a n dai sc a l l e dt h ev o l t a g eg r o u p t h eg r a p hf x dad e r i v e d # o r e 西i sd e f i n e db y v ( rx 4 , a ) = v ( r ) a a n de ( r 十a ) = ( ( 札，g ) ，( v ，咖( 乱， ) g ) ) i ( ，口) e ( 1 1 ) ，g a c l e a r l y , t h eg r a p hr t ai sac o v e r i n go ft h eg r a p hfw i t ht h ef i r s tc o o r d i n a t e p r o j e c t i o np ：fx c a _ + f ，w h i c h i sc a l l e dt h en a t u r a l p r o j e c t i o n f o re a c hu y ( i ) ， ( 钍，9 ) ig a ) i s af i b r eo ff 毋a m o r e o v e r ，b yd e f i n i n g ( 钍，9 ) 9 ：= ( u ，g g ) f o r a n yg aa n d ( u ，g ) v ( r ta ) ，ac a nb ei d e n t i f i e dw i t haf i b r e - p r e s e r v i n g a u t o m o r p h i s ms u b g r o u po fa u t ( r ta ) a c t i n gr e g u l a r l yo ne a c hf i b r e t h e r e f o r e ， p c a nb ev i e w e da saa c o v e r i n g g i v e nas p a n n i n gt r e eto ft h eg r a p hf ，av o l t a g e a s s i g n m e n t 西i sc a l l e dt - r e d u c e d i ft h ev o l t a g e so nt h et r e ea r c sa r ei d e n t i t y g r o s s a n dt u c k e r ( 【9 】) s h o w e dt h a te v e r yr e g u l a rc o v e r i n go fag r a p hpc a nb ed e r i v e d f r o ma l lo r d i n a r yt - r e d u c e dv o l t a g ea s s i g n m e n t 西w i t hr e s p e c tt oa na r b i t r a r yf i x e d s p a n n i n gt r e et o ff a na u t o m o r p h i s mo to ffc a nb el i f t e dt oa na u t o m o r p h i s mao fa c o v e r i n gg r a p h fi fp a = a p ，w h e r e p i st h ec o v e r i n gp r o j e c t i o nf r o mft or w es a ya s u b g r o u po f 日o f a u t ( r 1c a nb el i f t e di fe a c he l e m e n t o fhc a l lb el i f t e d f o rag i v e nf i n i t ec o n n e c t e dg r a p hf ，ag r o u pho fa u t o m o r p h i s m so ffa n da f i n i t eg r o u pa ，an a t u r a lq u e s t i o nc a nb er a i s e da sf o l l o w s ：f i n da l lt h ec d n n e c t e d r e g u l a rc o v e r i n g so ffh a v i n ga a si t s c o v e r i n gt r a n s f o r m a t i o ng r o u p ，o nw h i c h e a c ha u t o m o r p h i s mi nhc a nb el i f t e d i n 【6 】 d u ，k a w ka n dx ui n v e s t i g a t et h e r e g u l a rc o v e r i n g sw i t ha = 刃，a ne l e m e n t a r ya b e l i a ng r o u pa n dg e ts o m en e w m a t r i x t h e o r e t i c a lc h a r a c t e r i z a t i o n sf o ra na u t o m o r p h i s mo ft h eb a s eg r a p ht ob e l i f t e d ，a n da so n eo ft h ea p p l i c a t i o n s ，t h e yg a v eac l a s s i f i c a t i o no fa l l c o n n e c t e d r e g u l a rc o v e r i n g so ft h ep e t e r s e ng r a p hw i t ht h ec o v e r i n gt r a n s f o r m a t i o ng r o u p 刃， w h o s ef i b r e - p r e s e r v i n ga u t o m o r p h i s ms u b g r o u pa c t sa r c t r a n s i t i v e l y i ns e c t i o n3 ， w eu s et h es a m em e t h o dt oc l a s s i f ya l lt h ec o n n e c t e dr e g u l a rc o v e r i n gg r a p h so ft h e c u b e s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gt w op r o p e r t i e s ：( 1 ) t h ec o v e r i n gt r a n s f o r m a t i o ng r o u p i si s o m o r p h i ct ot h ee l e m e n t a r ya b e l i a np - g r o u p ；( 2 ) t h eg r o u po ff i b r e - p r e s e r v i n g a u t o m o r p h i s m s a c t se d g e - t r a n s i t i v e l y ( t h e o r e m3 1 1 3 2 s e m i s y m m e t r i cg r a p h sf r o mp s l ( 2 ，p ) t h i ss e c t i o ni sd i v i d e di n t ot h r e es u b s e c t i o n s i ns u b s e c t i o n2 1 ，w ef i r s t a u o t ea g r o u p t h e o r e t i cc o n s t r u c t i o no fs e m i s y m m e t r i cg r a p h sg i v e ni n 7 】a n dt h e ns t a t et h e c l a s s i f i c a t i o nt h e o r e mm a r k e db yt h e o r e m2 2 o fb i p r i m i t i v e s e m i s y m m e t r i cg r a p h s a r i s i n gf r o m t h ea c t i o no f t h e g r o u pp s l ( 2 ，p ) o nt h er i g h tc o s e t so f a 5 ；i ns u b s e c t i o n z 2s o m e p r e l i m i n a r yr e s u l t sa r eg i v e n ；a n di ns u b s e c t i o n2 3 t h e o r e m2 2i sp r o v e d w ew i l lu s e 磊a n dd nt od e n o t et h ec y c l i cg r o u po fo r d e rna n dt h ed i h e d r a l g r o u po fo r d e r 礼，r e s p e c t i v e l y g i v e nag r o u pg a n das u b g r o u pho fg ，w eu s e g ：h 】t od e n o t et h es e to fr i g h tc o s e t so f h i ng t h ea c t i o no f go nf g ：h 1 i sa l w a y sa s s u m e dt ob et h er i g h tm u l t i p l i c a t i o na c t i o n m o r ep r e c i s e l y , f o rg g w eu s en ( g ) t od e n o t et h ee f f e c to fr i g h tm u l t i p l i c a t i o no fgo n ( g ：h 】a n dl e t r ( g ) = r ( g ) ig g ) h o w e v e r ，f o rc o n v e n i e n c e ，i nm o s tc a s e sw e w i l li d e n t i f y r ( g ) w i t hg ，e x c e p tf o rt h es p e c i a lc a s e st ob es t a t e d 2 1t h e o r e m2 2 i n 【7 t h ea u t h o r sg a v eag r o u p - t h e o r e t i cc o n s t r u c t i o no fs e m i t r a n s i t i v eg r a p h sb y i n t r o d u c i n gt h ed e f i n i t i o no fs oc a l l e db i - c o s e tg r a p h a sf o l l o w i n g ： d e f i n i t i o n2 1 【7 ，d e f i t i o n2 1 】l e tgb eag r o u p ，l e tla n drb es u b g r o u p s0 ，g a n dl e tdb eau n i o no fd o u b l ec o s e t so f ra n dl 讯g ，n a m e l y ，d = u r d l l d e f i n e a b i p a r t i t eg r a p hx = b ( g ，l ，r ；d ) w i t hb i p a r t i t i o nv ( x ) = 【g ：l 1u 【g ：捌a n d e d g es e te ( x ) = 幻，r d g ig g ，d d ) ，t h i sg r a p h i sc a l l e dt h eb i c o s e tg r a p h 0 gw i t hr e s p e c tt ol ，ra n d d n o t et h a ti nd e f i n i t i o n2 1 ，i fla n dr a r et h es a m es u b g r o u p ，t h e nw es t i l lu s e l ga n dr g t od e n o t ed i f f e r e n tv e r t i c e si nt h et w op a r t so fy ( x ) i ti sp r o v e di n 【7 t h a t ( 1 ) t h eg r a p hx = b ( g ，l ，r ；d ) i s aw e l l d e f i n e db i p a r t i t eg r a p h ，a n du n d e r t h er i g h tm u l t i p l i c a t i o na c t i o no nv ( x ) o f g ，t h eg r a p hx i sg s e m i t r a n s i t i v e ；( 2 ) e v e r yg s e m i t r a n s t i v eg r a p hi si s o m o r p h i ct oo n eo f s u c hb i c o s e tg r a p h s n o ww es t a t et h em a i nt h e o r e mo ft h i ss e c t i o n 4 t h e o r e m2 2l e tp 三土1 ( r o o d1 0 ) ，g = p s l ( 2 ，p ) a n d q = p g l ( 2 ，p ) l e t yb eab i p r i m i t i v es e m i s y m m e t r i cg r a p hw i t has u b g r o u pg o fa u t ( y ) a c t i n ge d g e t r a n s i t i v e l yo ny a n d h a v i n ga 5a sav e r t e xs t a b i l i z e r t h e ny i si s o m o r p h i ce i t h e r t os o m eb ( g ，l ，l ；d ) ，w h e r el 竺a 5a n ddi sad o u b l ec o s e t c o r r e s p o n d st o a n o n - 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- 8 0 p z + 1 0 7 7 口一8 7 6 2口- 6 0 口= + 1 1 9 7 口一5 0 4 2 - 3 1 1 4 4 0 01 4 4 0 0 口# 一6 0 p 2 + 1 0 7 7 p 1 2 2 1 8矿一b 0 矿+ 1 1 9 7 口一2 ”8 4 1 1 4 4 0 01 4 4 0 0 4 l 1 4 1 0 0 ，一p 2 + 1 1 0 7 0 - - 1 1 5 4 3，- a o d = + 1 0 7 7 0 - - 3 0 6 2 l “ t j s - - 6 0 v 2 + 1 0 7 7 口一1 1 8 1 8口- - 6 0 p ：r + 1 1 9 7 p 一4 7 3 8 6 1 1 4 4 0 01 4 4 矿-