（工程力学专业论文）复规范形法求解非共振双Hopf分岔系统的最简规范形.pdf

中文摘要 规范形理论是研究非线性常微分方程的强有力工具之一，特别是在研究非线 性动力系统的稳定性和分岔方面发挥了非常重要的作用。目前规范形理论的研究 与实际应用正朝着最简与高维的方向发展，而且伴随着最简规范形理论的出现， 许多类型的动力系统的传统规范形可以由最简规范形理论加以简化，从而更简捷 地获取其平衡点附近的动力学特性。 最简规范形利用实数形式矩阵表示法，通过在传统规范形基础上引入迸一步 非线性变换，实现了对传统规范形结果的进一步简化。最简规范形可以使化简后 的方程组形式更为简单，并为深入分析非线性动力学系统的复杂动力学形态提供 极大的便利。然而与传统规范形相类似，最简规范形在计算及理论推导过程中需 要涉及大量的矩阵运算，这无疑增加了高阶系统的求解难度和复杂性。为此，本 文进一步推广了应用复规范形理论在获取非线性动力系统最简规范形方面的应 用，有效地简化了求解过程。 文中建立了复坐标下非共振双h o p f 分岔系统的传统规范形及非线性变换。 以上述复数形式规范形及变换为基础，在不经复杂矩阵运算的情况下，获得了此 类非共振系统各阶关键方程的通用迭代表达式，对非线性变换的形式进行了简 化，并借助于计算机代数语言m a t h e m a t i c a 推导出非共振双h o p f 分岔系统最简 规范形的前5 阶系数表达式，归纳出了最简规范形系数的选择规律，最终形成的 矩阵方程可用于计算任意高阶系统的最简规范形。 关键词：规范形；非共振双h o p f 分岔 ；最简规范形；矩阵表示法 a b s t r a c t n o r m a lf o r mm e t h o di sa ni m p o r t a n tt o o lf o rs i m p l i f y i n gt h eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，a n dp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fb i f u r c a t i o na n ds t a b i l i t y b e h a v i o r so ft h en o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sn e a rt h ec r i t i c a le q u i l i b r i u m p r e s e n t l y t h es t u d ya n da p p li c a t i o no ft h en o r m a lf o r m ( n f ) i su n d e ri t s w a yt o w a r d st h e d i r e c t i o no fm a x i m u ms i m p l i c i t ya n dh i g h - d i m e n s i o n m o r ea n dm o r en fo ft h e n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sc a nb ef u r t h e rs i m p l i f i e db ya p p l y i n gt h et h e o r yo ft h e s i m p l e s tn o r m a lf o r m ( s n f ) t or e s e a r c ht h e i rd y n a m i c a lb e h a v i o rn e a rt h ec r i t i c a l e q u i li b r i u mp r o f o u n d l y b a s e do nt h ec o n v e n t i o n a ln o r m a lf o r m ( c n f ) r e s u l t t h es n fu t i l i z e st h er e a i f o r mm a t r i xr e p r e s e n t a t i o nm e t h o dt of u r t h e rs i m p l i f yt h ec n fr e s u l tb yi n t r o d u c i n g n o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o n s t h a tm a k e st h er e s e a r c ho ft h ec o m p l i c a t e dd y n a m i c b e h a v i o rb e l o n gt ot h en o n l i n e a rs y s t e m sb e c o m em o r ee a s i l y h o w e v e rt h e r ea r ea l s o s o m ed r a w b a c k s ，s i m i l a r l yt ot h ec n f , i tr e q u i r e st o om u c hm a t r i xd e d u c t i o np r o c e s s ， w h i c hc e r t a i n l yi n c r e a s e st h ei n c o n v e n i e n c ea n dh a r d n e s so f c o m p u t a t i o n s o ，i nt h i s a r t i c l e ，t h ea p p li c a t i o no ft h ec o m p l e xn o r m a lf o r mm e t h o di nf i n d i n gt h es n fi s d e v e l o p e dm o r ee f f i c i e n t l yt oah i g h e rl e v e l ，t h en o n - r e s o n a n c ed o u b l eh o p f b i f u r c a t i o ns y s t e m t h a tm e a n st h eh a r d n e s st of i n dt h ef i n a ls n fr e s u l tc a nb e s e r i o u s l yr e d u c e dd u r i n gt h ec o u r s eo fc o m p u t a t i o n h e r et h en o r m a lf o r mo ft h en o n r e s o n a n c ed o u b l eh o p fb i f u r c a t i o ns y s t e ma n d t h ea s s o c i a t e dn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o na r ec o n s t r u c t e di nac o m p l e xo r d i n a t ef o r m b ya p p l y i n gt h ec o m p l e xn o r m a lf o r ma n dt r a n s f o r m a t i o n ，ac o m m o ne x p r e s s i o no f t h ek e ye q u a t i o n so fa l lp h a s e su n d e rt h en o n - r e s o n a n c ec i r c u m s t a n c ec a nb ea c h i e v e d w i t h o u ta n ym a t r i xo p e r a t i o n i ta l s os h o w st h a tt h en o n l i n e a rt r a n s f c i r m a t i o nu s e dc a n b er e d u c e dt oam o r es i m p l ys t y l e n ec o m p u t e ra l g e b r am a t h e m a t i c ai st a k e nt o f i g u r eo u tt h es n fe x p r e s s i o no ft h i sn o n r e s o n a n c ed o u b l eh o p fb i f u r c a t i o ns y s t e m u pt ot h ef i f t ho r d e ra n ds u m m a r i z e st h er u l e so fs e l e c t i n gt h es n fc o e 衔c i e n t s w i t h t h eh e l po fa l lt h e s ea c h i e v e m e n t st h es i m p l e s tn o r m a lf o r m so ft h i ss y s t e mu pt oa n y o r d e rs h o u l db eo b t a i n e d k e yw o r d s ：n o r m a lf o r m ；n o n r e s o n a n c ed o u b l eh o p f b i f u r c a t i o n ；s i m p l e s tn o r m a l f o r m ；m a t r i xr e p r e s e n t a t i o nm e t h o d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得基鲞基堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文 ：乍者签名： 七签签字日期：川 年参月多口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解一苤鲞盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞叁堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 签字日期：2 0 0 7 年6 月多j 日易 、 月 系一 名 k 绺 嘲 瞪 日 d， ， 刷 捍 天津大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 六十年代以来，在现代数学理论、先进的计算技术和计算机的帮助下，通过 一些典型的非线性范例，人们发现了包括分岔、浑沌等大量新的非线性现象，建 立了非线性动力学的初步理论框架，其概念、理论和方法已开始渗透到不同的学 科领域。这些成就都为新世纪里非线性科学理论和应用的深入发展奠定了坚实的 基础。与线性微分方程不同，非线性微分方程目前尚无统一的研究方法，且绝大 多数的非线性方程或方程组不能够精确的求解。目前，在解决实际应用中遇到的 非线性动力学问题时，主要用到理论分析方法、数值仿真法和试验研究等。理论 分析法是目前研究非线性动力学问题最主要的方法，包括定性方法和定量方法。 定性分析法是根据微分方程本身的特点对其在相空间中的积分曲线做出定性分 析，从而进一步判断系统的运动规律和振动特性，定性分析法有相平面法等；定 量方法是通过求得系统的近似解析解来研究系统的运动规律和性质，近年来该方 法有很大发展，如平均法、普通小参数法、多尺度法、规范形理论等。 规范形理论属于定量分析的范畴，是研究非线性常微分方程的强有力工具之 一，特别是在研究非线性动力系统的稳定性和分岔方面发挥了非常重要的作用， 近2 0 年来该理论得到了迅速的发展。在众多学者的努力下，规范形理论正日趋 走向成熟与完善。许多国内、外许多学者已经逐渐将规范形理论应用于非线性动 力学问题的研究中。随着时间的流逝，相信规范形理论必将把非线性动力学理论 的研究推向新的高度。 1 2 规范形理论概述 规范形( n o r m a lf o r m ) 理论是研究非线性常微分方程的强有力工具之一， 特别是在研究非线性动力系统的稳定性和分岔方面发挥了非常重要的作用。 规范形理论最早是由p o i n c a r 6 提出来的，其基本思想是：通过引入一系列的 近恒同变换，在不改变原系统动力学特性的前提下，于平衡点附近化简微分方程， 找出中心流形上流的方程在退化奇点附近非线性项的最简单形式。通常在进行近 恒同变换前要将原动力系统用中心流形定理降维，得到原系统的中心流上的方 天津大学硕士学位论文第一章绪论 程。由于经规范形简化后的微分方程仍然包含原系统在平衡点附近的所有动力学 特性，因此通过该理论的应用，人们可以更容易研究非线性动力学系统的分岔及 稳定性等动力学特性。l i a p u n o v ，b i r k h o f f 和a r n o l d 等人都为规范形理论的发展 做出了卓越的贡献。由于规范形理论在研究非线性动力系统的稳定性和分岔方面 发挥了非常重要的作用，近几十年来该理论得到了迅速的发展。 规范形理论的研究主要分为两类： ( 1 ) 给定矩阵，确定满足规范形定义的所有可能的矢量场集合，即所谓规范形 类的问题； ( 2 ) 给定具体非线性系统( 即常微分方程组) ，确定相应的规范形系数。 规范形就其简化过程和结果的简洁程度而言，又可分为传统规范形 ( c o n v e n t i o n a ln o r m a lf o r m ) 和最简规范形( s i m p l e s tn o r m a lf o r m ) 或称为唯 一规范形( u n i q u en o r m a lf o r m ) 。由于传统的规范形的非线性变换算子的补空 间的选取不唯一，因而得到的规范形的形式和系数并不能由原微分方程系数唯一 确定。与传统规范形相比，最简规范形的形式更加简单，且在其形式确定的情况 下，系数是由原方程唯一确定的，这样可以使人们更容易研究原系统的稳定性、 分岔的动力学特性。最简规范形的计算与传统规范形有较大区别，传统规范形的 计算中k 阶的非线性变换仅用于化简研的规范形系数，没有用到的非线性变换直 接设为零f l 】。因此对于传统规范形而言，低阶变换根本不会在高阶规范形求解中 出现。而最简规范形求解则不同，在化简k 阶的规范形时未用到的非线性变换并 不设为零，保留到高阶规范形的计算中，用于化简更高阶规范形。因而最简规范 形的形式比传统规范形的形式更加简单，而且仍然保留了系统在平衡点附近的动 力学特性。最简规范形可以由原动力系统经非线性近恒同变换直接得到；也可以 是建立于传统规范形的基础上。经过多年的研究工作，低维动力系统的规范形理 论已日趋成熟，许多学者已经开始将研究重点转向高维复杂系统传统规范形和低 维系统最简规范形的计算。 1 2 1 关于传统规范形理论的研究 对于第一类问题已经得到了较好的解决，北京大学的王铎( 19 9 0 ) 1 2 j ，加拿 大的c h o w 以及北大的李承治、王铎( 1 9 9 4 ) 1 3 j 对研究规范形的常用的三种方法 ( 矩阵表示法、共轭算子法、李代数法) 进行了全面的介绍，给出了各种余维1 和余维2 系统规范形的形式。 对于第二类问题，美国的n a y f e h ( 1 9 9 3 ) 1 4 详尽地介绍了如何利用多尺度方 法计算自治及非自治的单自由度系统、参激振动系统、两自由度系统规范形。张 琪昌( 1 9 9 1 ) 、陈予恕( 1 9 9 0 ) 1 5 , 6 1 在国内最早提出了用规范形理论研究非线性振动 2 天津大学硕士学位论文第一章绪论 问题，法国的j e z e q u e l 和l a m a r q u e ( 1 9 9 1 ) 1 7 j 在国外最，y - 提出了用规范形理论研 究非线性振动问题。加拿大的y up e i ( 1 9 9 8 ) 峭j 利用摄动法推导出一种计算一般刀 维系统规范形系数的方法；张琪昌( 1 9 9 1 ) 1 5 1 、a n d r e wl e u n g ( 1 9 9 8 ) 9 。、韩景龙1 1 0 j ( 1 9 9 6 ) 及张伟亿1 ( 2 0 0 0 ) 等人证明了平均法与规范形方法的等价性，并将该方 法用计算机代数语言编制成计算h o p f 分岔系统的高阶规范形的通用计算程序。张 伟( 1 9 9 7 ) | i 2 , 1 3 , 1 4 1 禾1 j 用矩阵表示法计算了具有z 2 对称性时非线性动力系统的3 阶 和5 阶规范形，用共轭算子法( 1 9 9 3 ) 计算了具有幂零线性部分和不具有z 2 对称 性的非线性动力系统的2 阶、3 阶和4 阶规范形。吴志强和陈予恕( 1 9 9 7 ) 、陈 予恕和吴志强( 1 9 9 7 ) 1 1 5 ，l6 】提出了一种求解规范形的直接方法，并利用该方法计算 了具有双零特征值系统和刃2 h o p 盼岔系统的规范形，毕勤胜( 1 9 9 9 ) 利用这种方 法用m a p l e 语言编制了一套计算半单系统规范形的程序。张琪昌和a n d r e wl e u n g ( 2 0 0 1 ) 1 1 7 , 1 8 】利用单步非线性变换方法，并对计算方法进行了优化，利用 m a t h e m a t i c a 语言给出了一种经中心流形降维和不经中心流形降维计算高维半单 系统规范形的通用计算程序。而对于非半单系统，由于问题的复杂性，人们目前 还很难得到计算其规范形的通用程序方法。吴志强i l9 j 提出了求解非半单问题规 范形的直接方法，并运用该方法计算了具有双零特征值系统的传统规范形。 1 2 2 关于最简规范形理论的研究 由于传统的规范形的非线性变换算子的补空间的选取不唯一，因而所得到的 规范形的形式和系数并不是最简的，所谓最简规范形就是将传统的规范形进一步 简化，是建立在传统规范形的基础上的，其形式比传统的规范形更加简单。关于 最简规范形是由日本的u s h i k i ( 1 9 8 4 ) 1 2 0 j 首先提出的，法国的c h e ng u o t i n g ( 2 0 0 0 ) 【2 1 1 ，北京大学的w a n gx i a o f e n g 、王铎( 2 0 0 1 ) | 2 2 】利用基于l i e 代数的新方法，对 二维、三维、四维幂零系统的规范形类问题进行了深入的研究，给出在某些条件 下其最简规范形的表达形式。加拿大的y up e i ( 1 9 9 9 、2 0 0 1 、2 0 0 2 ) 1 2 h 6 j 利用规 范形理论，通过三个定理证明t h o p f a 壬1 广义h o p f 分岔的规范形可做进一步的简 化，其极坐标形式的方程仅含两项，利用同样的方法计算了具有双零特征值、一 对纯虚根及单零特征值系统的最简规范形，利用l i e 变换方法计算了具有单零特 征值的含参系统的规范形。 近年来，张琪昌等人( 2 0 0 5 2 0 0 7 ) 1 2 7 - 3 3 1 研究计算高维非半单系统( 传统) 规 范形的通用方法，并利用计算机代数语言m a t h e m a t i c a 实现程序化，计算系统具 有多重零实根和多重相同或相异共轭纯虚根情形下的规范形( 系数) 取得了突出 的进展。其中包括：针对高维h o p 恸态分岔问题，研究了不经计算其传统规范形， 直接计算高维任意阶数的h o p f 分岔系统的最简规范形：将常微分方程中的分岔参 3 天津大学硕士学位论文第一章绪论 数视为状态变量，在小截断的情况下，研究了非共振含参j 双h o p 盼岔系统的最简 规范形；基于矩阵表示法研究了半单系统的最简规范形，实现了在不经中心流行 降维的情况卜高效计算此类系统规范形的目的。上述研究不但使最简规范形的计 算分析方法更加全面，研究范围更加广泛，同时由于计算机代数语言m a t h e m a t i c a 的引入使整体求解过程实现了程序化，利用计算机完成相对繁琐的计算过程，方 便科研人员利用这一理论深入地开展高维复杂非线性动力系统的稳定性、静动态 分岔等问题的研究。 1 3 传统规范形理论及基本方法 传统的规范形理论对于我们了解不同种类分岔的规范形的结构发挥了重要 的作用。它的求解思路是通过一系列近恒同的非线性变换，化简原非线性动力系 统。一般而言，在引入近恒同变换得到同调算子后，关键的问题就成为如何确定 该算子的补空间。求得该算子的补空间，即确定了规范形的结构，完成了第一步 的工作。对同调算子的补空间的选取不同，计算规范形方法有：矩阵表示法、共 轭算子法、李代数法和周期平均法等四种较为典型的方法。 1 矩阵表示法 矩阵表示法的原理比较简单，很容易被人接受，但是随着系统的维数刀及需 求解的规范形的阶数k 的增大，：的维数将迅速增大1 l ，川。例如，当g = 4 、k = 4 时，由d i m h , k ：n - 础一。= ，1 等掣可知，d i m h ：1 4 0 ，从而计算量相当大。 l 刀一l ，：丘： 随着计算机技术的发展，许多优秀的计算机代数系统软件( 上世纪6 0 年代初的 r e d u c e 以及现今流行的m a t h e m a t i c a 、m a p l e 等) 相继问世，为规范形理论的深 入研究提供了条件。这些软件逐渐被应用到规范形理论研究中，这不仅大大提高 了相关研究人员的工作效率，同时也使得高维系统规范形的研究成为可能。 2 共轭算子法 e l p h i c k l 3 5 j 等人提出了计算规范形的共轭算子法，利用这种方法可以不通过矩 阵计算，而通过计算系统的线性偏微分方程得到其规范形。该方法基于空间日：的 一个点积，从而发现算子耐：的共轭算子谢：，然后根据弗雷德霍姆定理，对于 每一个后，k e r a d ：是l m a d ：的补。由于k e r a d 是线性偏微分方程系统的k 阶齐 次多项式的解空间：耐：f ( x ) = 0 ，因此不用进行矩阵运算就可得到l m 耐：的补 子空间：另一方面，对任意k 2 ，线性偏微分方程系统是相同的，因此可以通 过解同一系统耐：f ( x ) = 0 的形式幂级数( 或者多项式) 的解得到规范形。 注：通常要找到一个线性偏微分方程系统的全部多项式解并不容易，王铎【3 7 j 4 天津大学硕士学位论文第一章绪论 对此作了具体说明。其中一个难点就是在一些算例中所有线性独立的多项式的一 次积分，通过常见的多项式运算不能生成一个齐次线性偏微分方程的所有的多项 式解空间，因此我们不得不去找更多的多项式一次积分。 3 李代数方法 为了避免大量的矩阵运算，c u s h m a n 和s a n d e r s l 3 6 将l i e 代数s l ( 2 ，r ) 的表示论 引入到规范形理论研究中。根据这种方法，具有幂零线性部分系统的规范形的计 算被简化为，寻找一个标量齐次线性偏微分方程的多项式解的问题。 为了找到k e rl m 生成元，首先要找到齐次偏微分方程k p ( x ) = 0 的线性独立 的一次积分多项式。有些多项式很容易找到，而有些则很难找到，一般有两种寻 找方法。第一种方法是c u s h m a n 给出的：如果p ，g 都是k p ( x ) = 0 的一次积分， 则 p ，q ) 三o p l q l n p l q 要么为零，要么是k p ( x ) = 0 的一次积分，但我们 并不知道p ，g 与 p ，q ) 是否代数独立；第二种方法是用待定系数法去计算某些特 定阶数的本原多项式。 李代数方法的优点： ( 1 ) 该方法提供的计算维数的公式能帮助我们检查已发现的k e r 匕( 或 k e r 戤) 中的线性独立的多项式的数目是否与k e r 吻( 或k e r 磁) 的维数相等， 当不相等时，可得到所需的本原多项式( 或本原矢量值多项式) 阶数的线索； ( 2 ) 解线性偏微分方程组简化到解一个齐次线性偏微分方程； ( 3 ) 利用庞加莱级数可得到规范形( 但利用庞加莱级数的难点是体现 k e rl m ( 或k e r 谢h ) 生成元之间的( 条件) 代数独立关系； ( 4 ) 计算较低阶数规范形时，不用检查庞加莱级数，实际上如果已发现 k p b ) = 0 的一些一次积分，它们就生成了整个k e ra 九空间k = 2 ，就可得 到直至，阶的规范形。 4 计算高阶规范形的周期平均法 源于k r y l o v 和b o g o l y u b o v 提出的著名的k b 变换后形成的平均法，对弱非线性 振动系统和线性振子的摄动法是非常有效 j 勺1 3 7 , 3 8 。该方法是目前研究分岔问题 的一种重要的方法。韩景龙及张伟亿等证明了平均法与规范形方法是等价的。 所以，在用平均法计算高阶平均方程时遇到的问题和用规范形法计算高阶的系数 时所遇到的问题也是等价的。 对规范形理论，主要用上述四种基本的方法来计算规范形的系数。通常用矩 阵表示法来计算规范形的系数和高阶平均方程，对于后两种方法，则需要很熟练 的数学技巧。n a y f e h 提供了一种方法，通过该方法，在消除永年项的同时可以计 算系统的规范形1 3 9 】。a y tl e u n g 和张琪昌提出了一种将经典的平均法与规范形相 结合的用于计算高阶平均方程的新方法，通过计算机代数语言m a t h e m a t i c a ，给 天津大学硕士学位论文第一章绪论 出了一个简洁而有效的程序，该程序不仅可以计算高阶平均方程，而且可以用于 计算高阶规范形系数，并给出了几个具体算例，并将该程序计算的结果与已有的 结果进行了比较【9 1 。 1 4 论文的工作安排 本论文具体包括以下四部分： 第一章首先简要介绍了经典的规范形理论，并综述了规范形理论的历史和 现状，其中对传统规范形，最简规范形的发展和应用做了相应的介绍。 第二章阐述复数形式规范形理论的基本形式以及计算方法。介绍了用复规 范形法求解h o p f 分岔系统的最简规范形的方法，简化原有矩阵分析法获取最简 规范形的求解过程。 第三章研究了复坐标下非共振双h o p f 分岔系统的最简规范形，归纳出了 最简规范形系数的选择规律，并且通过算例验证了采用此方法的有效性。 第四章全文总结。 6 天津大学硕士学位论文第二章复规范形法简介 2 1 引言 第二章复规范形法简介 本章重点阐述复规范形法的基本定义，形式及其计算方法。文中提到的复规 范形法或复规范形理论为复数形式的规范形理论的简称。复规范形理论是由 n a y f e h l 4 】在其著作中所提出的，其核心内容是以复数形式表示非线性动力系统方 程，并依据复数运算的自身特性计算系统的传统规范形，其好处是在规范形求解 过程中不必引入类似实数形式矩阵表示法【1 ，2 】的矩阵运算，使其求解过程比较简 单也易于实现计算机编程。文中以求解单自由度系统为例来介绍了复规范形法计 算传统规范形的基本思路，并将复规范形法与实数形式矩阵表示法的算法进行了 比较。n a y f e h 提出的用于计算传统规范形的复规范形法已拓展到了最简规范形领 域，众所周知，矩阵表示法是目前求解各类分岔系统规范形的常用方法，但是由 于在求解过程中需要牵扯到一系列复杂的矩阵运算，致使最简规范形的研究还只 停留在基本方法上而实际的动力系统应用还很有限。针对矩阵法计算规范形的自 身局限性，在这一章中介绍了采用复规范形法求解h o p f 乡) 岔系统的最简规范形， 此方法极大程度地简化了计算的复杂性，并以算例验证了复规范形对于简化传统 规范形结果的有效性。 2 2 复规范形法的基本形式 在这一节，我们以求解单自由度系统为例来介绍规范形方法，下面的二阶非 线性常微分方程为典型的单自由度系统： 西+ 力2z f = f ( u ，i t ) ( 2 一1 ) 式中，f ( u ，i i ) 可展开成砧和i t 的幂级数的形式，在以下的分析中，我们把 蠢+ 彩2 甜= 0 作为未受扰系统，而( 2 1 ) 作为扰动系统。假定方程( 2 1 ) 的平衡点为 ”= 0 和舀= 0 。令 而= 甜和x 2 = 矗 ( 2 2 ) 则方程( 2 一1 ) 可表示为下面两个一阶方程 戈l = x 2 ( 2 - 3 ) 7 天津大学硕士学位论文第二章复规范形法简介 量2 = 一2 x l + f ( x 1 ，x 2 ) 非常明显，未受扰系统 毫= x 2 和叠2 = 一国2 x l 有一对纯虚根i a ) 。 下述规范形方法的主要思想是通过引入近恒同变换 x l = y i + 矗( y j ，y 2 ) x 2 = y 2 + h z ( y j ，y 2 ) ( 2 4 ) ( 2 5 a ) ( 2 - 5 b ) 将( 2 5 ) 代入( 2 3 ) 和( 2 4 ) 中，可得到原方程组较简单形式( 即所谓的规范形) 。 变换( 2 5 ) 称为近恒同变换是因为x l ( t ) - y 。( ，) 和x 2 ( r ) - y 2 ( f ) 是小量，即o ( x 1 ( f ) ) 和 o ( y 。( ，) ) 。这个过程也可以叫做规范化。将( 2 5 ) 代入( 2 3 ) 和( 2 4 ) 中可得 或：y ：+ 吃一晏夕，一姿j i ，：( 2 - 6 a ) 哕lo y 2 攻：吲2 m 一力z ( 乃+ h i ，y 2 + h 2 ) 一娑舅一要夕：( 2 - 6 b ) o y lo y 2 选择合适的铣和如，方程( 2 - 6 ) - h i 化为最简形式。假如( 西，x ：) 可以分解为 f ( x ，x ：) = 以( x ，x ：) n = 2 ( 2 7 ) 式中六是关于x 。和x ：的，? 阶多项式，我们应先选择合适的和吃，化简阶数最 低的多项式厶( 五，恐) ，( 其中聊2 ) 。然后，我们可以再一次利用近恒同变换， 化简m + l ，以此类推，我们可以逐步化简f ( x 。，x ：) 的各阶多项式。 因为受扰系统( 2 3 ) 和( 2 - 4 ) 表示一种振子，所以控制方程很容易表示成一个复 数方程。我们接下来的步骤和参数变异法相似。当f 三0 ，方程( 2 - 1 ) 的解可表示 为 u = b e 川+ b e 一“。 ( 2 8 ) 式中，b 是一个常量，b 为b 的共轭。所以 疗= i a ) ( b e ”一b e l 引)( 2 9 ) 当f 0 时，我们仍然可以用( 2 - 8 ) 和( 2 9 ) 来表示方程( 2 1 ) 的解，只是，式中 的b 不再是常量，而是随时间变化的。我们用f 代替b e 砌7 ，( 2 - 8 ) 9 1 ( 2 9 ) 式改写 为 天沣大学硕士学位论文 第二章复规范形法简介 u = f + f 和矗= i 缈( f - g - ) 这样，t h ( 2 1 0 ) 可以解得f 和孑如下 f = 丢似一i i 西) 和孑= j 1 ( 钳+ i i 五) 求方程( 2 11 ) 关于t 的微分，考虑到( 2 1 ) 式得 乎= 吉( 舀一i i 舀) = l ( u + i r ou - i f ) 则： 爹= 丢似群一i i 西) 一去m ，厅) 将( 2 1 0 ) 和( 2 11 ) 代入上式，得到 f = i e o ( 一一厂【f + f ，f 缈( f f ) 】 z 豇， 下面，我们根据微分多项式厂的具体形式来进行分析。 2 3 运用复规范形法计算h o p f 分岔系统的传统规范形 ( 2 - 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 本小节以单自由度杜芬( d u f f i n g ) 方程为例，介绍如何应用复规范形法计算 h o p f 分岔系统的传统规范形。 d u f f i n g 方程可写为： - i - 缈2 甜= 口, 3 式中，f = 口”3 ，所以，式( 2 一1 4 ) 可以写为 f ：，缈f 一娄三( f + 孑) 3 ( 2 - 1 5 ) z 缈 现在引入从f 到7 7 的近恒同变换 f = 刁+ 厅( 7 7 + r ) ( 2 - 1 6 ) 可以得到下式 力：f a ) r + f 缈厅一罢7 1 7 一娶旁一罢( 刁+ 厅+ 万4 - 万) ，( 2 - 1 7 ) o no n三 因为非线性部分是三次，所以可假设h 是关于刁和虿的三次多项式，如下式 h = 人l r 3 + a 2 r 2 9 + a 3 叩万2 + 人4 虿3 ( 2 - 18 ) 天津大学硕士学位论文第二章复规范形法简介 通过选择合适的人，使( 2 1 7 ) 变为简宁形式( 规范形) 。 下一步，通过迭代法，我们可以从式( 2 1 7 ) 的右边消去7 7 和虿，由式( 2 - 1 7 ) 第 一次近似为 力：i m t l 和方：一，缈虿( 2 1 9 ) 把式( 2 - 1 9 ) 和( 2 - 1 8 ) 代入( 2 1 7 ) ，保留三次项，可以得到 旰砌：焉渖一万3 i a t 刁k ( 2 - 2 。) + 训2 a 3 一号) 7 7 万2 + i 6 0 ( 4 a 4z 了) 万3 为消去r 3 , 7 7 万2 和彳3 ，选择人1 ，人2 和a 。的值如下， 人l - 一寺 a s = 鲁“。= 旦8 0 ) 2( 2 - 2 1 ) 但是，可以看到，因为在( 2 2 0 ) 式中没有出现人：，所以r 2 虿项不能消去，我 们称其为“共振项”。这样，进行第二次近似变换时，力的最简形式为 ：f 7 7 一娑r 2 刁-(222)r 2 2 )= l 7 7 一_z 。 将f = 刁+ 办( 仉神代入( 2 - 1 0 ) 式，并考虑( 2 2 1 ) 式的系数结果有： 甜= ，7 + 7 7 i 一毒( 7 7 3 + 万3 ) + 4 - 偿y ( , 7 , 7 t + 刁2 0 - ) + 锄2 歹+ 五刁矿2 ( 2 - 2 3 ) 上式中由于不应再出现共振项，所以有4 = 石= 一i ，这样h 的表达式就可以 4 m 最终确定，同时如果令：刁= 彳p 胁，么= 兰臼p 妒可得系统的渐近解为： 胪口c o s ( 耐+ ) 一番( 3 耐+ 3 ) ( 2 - 2 4 ) 2 4 复规范形法与实数形式矩阵表示法的算法比较 考虑如下的立方非线性系统： j = 巴耻樱：臻：糍：矧 采用复规范形法： 引入复变换五= f + 芗，而= f ( f 一芗) 得： l o ( 2 - 1 6 ) 天津大学硕士学位论文第二章复规范形法简介 乎= f f + 妻s 【( 口1 一i c r ，) ( 孝+ 手) 3 + i ( 口2 一i a 6 ) ( 孝+ 芗) 2 ( 孝一芗) 一 ( 口3 一i a t ，) ( 善+ 芗) ( 孝一芗) 2 一i ( a 4 一f ) ( 孝一手) 3 】 ( 2 一1 7 ) 引入一阶变换： f = ，7 十d 2 ( r ，矿) 力= i t + a g ( r l ，矿) ( 2 - 1 8 ) 将式( 2 一l8 ) 代入式( 2 - l7 ) 得： g + f ( 罢7 一善竺歹一厅) ：喜【( 喁一f 口，) ( 7 7 + 巧- - ) 3 f ，( 口：一f 口。) ( r + 可) z ( 7 7 一虿) 一 d 刀d 7 2 ( 口3 一i c e 7 ) ( 7 7 + 歹) ( 7 7 一万) 2 一f ( 吒一i a 8 ) ( 7 7 一矿) 3 】( 2 - 1 9 ) 依据式( 2 1 9 ) 中非线性项的形式选择近恒同变换办： h = f 刁3 + 正刁2 歹+ g , 7 巧- 2 + 万3( 2 2 0 ) 将式( 2 - 2 0 ) 代入式( 2 19 ) 得： g 一4 ( a + i b ) 7 7 2 虿+ 【2 阢一l ( a i - a 3 + a 6 - a s ) 一昙f ( 一吼+ 鸭一) 】矿一 2 g + 昙( 3 喁+ a 3 一一3 a s ) 一丢，( + 3 a 4 + 3 a 5 + a 7 ) ，7 f f 2 一( 2 - 2 1 ) 4 - 4 + i 1 ( 一一+ ) 一l i ( a 2 - a 4 + a s - ) 】可3 ：0 其中：8 a = 3 a l + + 吼+ 3 a s8 b = 口2 + 3 吼- 3 a 5 一 由于式( 2 2 1 ) d p 只有矽2 万是共振项，所以：g = 4 ( 口十i b ) r 1 2 虿。代入式( 2 一1 8 ) 可 得系统的规范形为： 疗= f ，7 十4 e ( a + i b ) r i 2 万 采用实数形式矩阵表示法： ，= y 2 + e ( a y , + 何- 虫i ( 2 - 2 2 ) 兜= 一y l + 6 ( a y 2 一魄) ( 并+ ) 将式( 2 1 6 ) 代入算子吕( y ) + 础( y ) 沙一以( y ) = ，( y ) 1 2 ，4 1 可得： 卧黝一巴 ( 2 - 2 3 ) 引入如下的近恒同变换【l ，2 ，4 】： 露躬吼 十 + 露露劬哪 + + 娩儿订订吃瓯 + + 订并 = 厢肛 门_ _ 叫 o 1 1oo十 煎玑堕鞔煎坝一魂 天津大学硕士学位论文 第二章复规范形法简介 h n = y ；+ r 2 y ：y 2 + l 3 y i y ；+ r y ： h i 2 = l - s y i 。+ l - 6 y 2 一y 2 + i t y , y 2 ，+ f s y ；，( 2 - 2 4 ) g l i = a l y i + 4 j ，1 2 y 2 + 4 乃彰+ a y ； 9 1 2 = a y ；+ a 6 y 1 2 y 2 + a y l y ；+ a y ； 将式( 2 2 4 ) 代入式( 2 2 3 ) 有： a y ? + 4 订咒+ 以乃以+ a 舅+ ( 3 f 拜+ 2 f 2 y , y 2 + 正一) 一( 正衍+ 2 1 - 3 y j y 2 + 3 c 虫) m 一( e 订+ 瓦订耽+ 乃炙+ 躬) = q 订+ 口2 y ； + ( 2 2 5 ) c t 3 y l y ；+ 口4 建 4 订+ a 衍奶+ 4 y i 露+ a 躬+ ( 3 f s y ；+ 2 i 6 y ，y 2 + y ；) 儿一( 几订+ 2 f 7 y i y 2 + 3 f s y 2 ) y l + ( 正j ，? + 正y ；奶+ g y j y ；+ 谚) = 拜+ 瓯并儿+ ( 2 - 2 6 ) 口，y l 以十以 平衡式( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) q b 方程两侧一，订y 2 ，m 虫，躬的同阶项系数，可得： 丑厂= 仿- a ( 2 - 2 7 ) 其中：厂，口，a 均为8 维列向量，丑为实数形式8 8 系数矩阵，所以b + = b r 曰= 按照实数形式规范形理论1 捌，求解b 厂= 0 可得两个独立的线性非平凡解： ( 3 , 0 ，1 ，0 ，0 ，1 ，0 ，3 ) 。，( o ，l ，0 ，3 ，一3 ，0 ，- 1 ，0 ) 7( 2 - 2 8 ) 同时由b 厂= 0 可得： a = q ( 1 ，0 ，l ，0 ，0 ，1 ，0 ，1 ) 。+ c 2 ( 0 ，1 ，0 ，l ，- 1 ，0 ，- l ，0 ) 7 ( 2 2 9 ) 那么对于一阶近似系统( 2 1 6 ) 的实数形式规范形为： 舅2y 2 + f ( c l y l + c 2 奶) ( 拜+ 躬) ( 2 3 0 ) 兜= 一y l + c ( c l y 2 一巳m ) ( 彳+ 彰) 其中q ，c 2 分别为： 8 c l = 3 a l + + 瓯+ 3 a s 8 c 2 = + 3 a 4 3 一口7 ( 2 - 3 1 ) 如果令：口= q ，b = c 2 ，那么式( 2 - 2 1 ) 和式( 2 - 3 1 ) 是相同的。 由此可见采用复规范形法获得的规范形和采用实数形式的矩阵表示法获得 的系统的规范形式是完全一致得。但是从以上的分析过程可以看出前者不但涉及 的计算量要小得多，而且不需要经过任何矩阵运算过程，所以此方法更有利于实 1 2 o o o o o 0 o ，l ，z o o o oo， o o o o o 2 o o o o o 3 o o o o o o o o o 。 o乞o。o o ，o o o 2 o o o o 天津大学硕士学位论文第二章复规范形法简介 际应用和实现程序化。 2 5 运用复规范形法计算h o p f 分岔系统的最简规范形 最简规范形是由王铎f 2 2 】、于培1 2 3 2 6 1 等人在u s h i k i l 2 0 j 的研究基础上发展起来 的，它通过采用新的非线性变换实现了对于传统规范形结果的进一步简化。最简 规范形的计算正是根据利用近恒同的非线性变换化简原微分方程的第k 阶非线性 项时，会对高于k 阶的非线性项产生影响这一特点，用第k 阶的非线性变换项，来 化简原微分方程中高于k 阶的非线性项f 2 3 】。目前广泛采用的最简规范形求解方法 是矩阵分析法，然而这种方法和传统规范形理论一样在计算及理论推导过程中需 要涉及到复杂的矩阵运算1 2 ，3 1 ，不利于理论的进一步推广。鉴于前面提到的复规 范形法与矩阵表示法相比好处是较少借助矩阵运算，因而更有利于掌握和实际应 用。这一节介绍将复规范形方法拓展到最简规范形领域的相关方法，其实现了在 不经矩阵运算的条件下，计算f h o p f s - ) 岔系统的最