（基础数学专业论文）有限域上的本原正规元.pdf

中山大学硕士论文有限域上的本原正规元 t i t l e ：p r i n l i t i v en o n l l a le l e m e n to v e rf i n i t ef i e l d s m 旬o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s n a m e ：z h a oq i nl a n s u p e r v i s o r ：p i n gz h iy u a np r o f e s s o r a b s t r a c t l e tqb eap r i 1 ep o w e r nap o s i t i v ei n t e g e r - w - ed e n o t eb y 0 af i n i t ef i e l d o f 矿e l e m e n t s g i v e n 口，6 c ，w ew a i l tt o k n o ww h e t h e rt h e r ee x i s t sap r i r n i t i v en o m a le l e m e n t 孝o f0 o v e r s u c ht h a t口孝+ 易i sa l s oap r i 加j t i v en o m a le l e m e n to f 0o v e r i i lc h a p t e r3 ，w e c o n s t m c tac h a r a c t e rf u n c t i o no f ap r i m i t i v ee l e m e n ta n dan o m a le l e m e n ta n ds h o w st h a t 口”7 2 2 2 脚+ 2 q + 1 i sas u m c i e n tc o n d i t i o no fe x i s t e n c e i nc h a p t e r4 ， w ep r o v em a tf o rg i v e n 口，易c ，i f 鸟4 ，l 9 6 ，t h e nt h e r ei sa 孝 i n 0s a t i s f y i n g 1 ) 孝i sa 皿而t i v en o m a le l e n l e n to f0 中山大学硕士论文有限域上的本原正规元 t i t l e ：p r i n l i t i v en o n l l a le l e m e n to v e rf i n i t ef i e l d s m 旬o r ：b a s i cm a t h e m a t i c s n a m e ：z h a oq i nl a n s u p e r v i s o r ：p i n gz h iy u a np r o f e s s o r a b s t r a c t l e tqb eap r i 1 ep o w e r nap o s i t i v ei n t e g e r - w - ed e n o t eb y 0 af i n i t ef i e l d o f 矿e l e m e n t s g i v e n 口，6 c ，w ew a i l tt o k n o ww h e t h e rt h e r ee x i s t sap r i r n i t i v en o m a le l e m e n t 孝o f0 o v e r s u c ht h a t口孝+ 易i sa l s oap r i 加j t i v en o m a le l e m e n to f 0o v e r i i lc h a p t e r3 ，w e c o n s t m c tac h a r a c t e rf u n c t i o no f ap r i m i t i v ee l e m e n ta n dan o m a le l e m e n ta n ds h o w st h a t 口”7 2 2 2 脚+ 2 q + 1 i sas u m c i e n tc o n d i t i o no fe x i s t e n c e i nc h a p t e r4 ， w ep r o v em a tf o rg i v e n 口，易c ，i f 鸟4 ，l 9 6 ，t h e nt h e r ei sa 孝 i n 0s a t i s f y i n g 1 ) 孝i sa 皿而t i v en o m a le l e n l e n to f0 o v e r ；2 ) 口舌+ 6i s ap m d t i v en o m a le l e m e n to f 乃 o v e r 乞 k e yw o r d s ：f i n i t ef i e l d s ，p r i m i t i v ee l e m e n t s ，n o 肌a le l e m e n t s ， c h a r a c t e rf u n c t i o n s 中山大学硕士论文 有限域上的本原正规元 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过 的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结 果由本人承担。 学位论文作者签名：握昭旋 日期：砌驴年，月，厂日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送 交论文的电子 x 中山大学硕士论文有限域上的本原正规元 本原正规基定理吲 对任意给定的素数方幂q 和正整数n ，存在c 。在上 的本原正规基。 1 9 9 9 年的时候，c o h e n 和h a c h e n b e 略e r 得到了上述定理的一个加强，证明了 指定迹的本原正规元的存在性： 定理吲对任意给定的素数方幂q 和正整数n ，设口，则存在c 。在上 的本原正规元国满足、，( 动= n 。 2 0 0 3 年，c o h e n 和h u c z y n s k a 更是没有借助计算机，通过纯理论的方法证明 了本原正规基定理引。 此外还有很多相关的结果。比如国内的田甜和戚文峰，研究了有限域上互反 本原正规元的存在性。 定理嘲当正整数时，对任意的素数方幂q ，存在乞。中的本原元孝，满足孝和 善q 都是c 上的正规元。 本文对有限域上的本原正规元做了进一步的研究。设孝为乞。在上的本原 正规元，对任意的口，易巧，考虑以善+ 易能否同时为乃在上的本原正规元， 即满足 孝，伊，孝9 ”1 、( 口孝+ 易，( 口舌+ 6 ) 9 ，( 口孝+ 易) 9 ”1l 同时为乞。在上的正 规基。在后面的章节中，运用根据有限域上的指数特征和构造的本原正规元特征 函数，并借助m a t l a b 和p 根i 数学软件通过计算机验算，证明了如下的定理： 定理1 对给定的口，易，当正整数，l 9 6 时，对任意g 4 的素数方幂， 存在0 在上的本原正规元善，使得口孝+ 易同时为乞。在上的本原正规元。 在论文的安排上，第二章简单介绍了有限域本原正规元的相关背景知识，第 三章通过构造有限域本原元和正规元的特征函数，得到了定理1 成立的一个充分 条件，第四章则在该充分条件的基础上，借助数学软件m a t l a b 和p a 对验算充 分条件之外每一对( 口，以) 的情况，最终完全证明定理1 。 2 中山人学硕士论文有限域上的本原正规元 上式说明对任意的口巧，其乘法阶d 脚( 口) 有限，并且与q 互素。同样地，我 们有：口弓铮d 以( 功i q “一l 。 因此口是_ 。的本原元当且仅当d 耐( 动= 矿一1 。 上述性质可轻易地推导到加法群上。对盯， 口弓甘矿( 功= 口( ，一1 ) 。口= o 因此对任意的口，口在【z 】中的零化子非零。此时【工】中的零化子 即为 z 】中的理想，其首一的生成元称为口的加法阶，记为d 耐( 口) ，则有： 口0 甘d 耐( 口) i ，一1 口是弓在上的正规元当且仅当d 府( 叻= ，一1 。 后面的证明中还需要用到欧拉函数缈以及多项式的欧拉函数垂： 定义2 1 1 吲对首一的多项式厂 x 】，定义多项式的欧拉函数中为 西( 厂) = # ( 吲以 x 】) 即中( ，) 表示上次数小于f ( x ) 且和f ( x ) 互素的多项式个数。 对于欧拉函数钗，1 ) ，有： 烈d ) = ，l = 兀( 1 一p 。1 ) ， ( 2 1 ) 对多项式的欧拉函数，类似地有： 中( g ) = ( ，) ( 2 2 ) 似门- u ) g 压( 1 一志 ( 2 3 ) g i ，g i ，r 、o ， 此处( - 厂) = 稃( 【工】以 工】) = 留比烈，。 定理2 1 2 吲设，乞【工】首一，且与x 互素，则口中满足d 以( 口) = ，的 个数等于币( 厂) 。 定理2 1 3 吲设a = 口已。：d 耐( 动= r 1 ) ， 中山人学硕士论文有限域上的本原正规元 第三章存在性的充分条件 3 1l e n s t r a 和s c h o o f 的方法 l e n s t r a 和s c h o o f 在证明本原正规基存在性的过程嗍中，基于c a r l i t z 【1 6 1 7 】 设孝+ ，d 噱( 孝) 表示孝在乘法群中的乘法阶。 定义3 1 n 9 1 设正整数ri 口一l ，且厂 1 ，孝巧，若r 和( 留一1 ) ，d 趔口( 孝) 互 素，则称孝是r - f b e 元素。 注：善是r - 胁元素当且仅当孝是f r e e 元素，此处为r 的无平方因子。 由定义3 1 知，孝是c 中的本原元当且仅当手是( q - 1 ) - f r e e 元素。 可根据下面的n o g r a d o v 定理判断元素是否为r - f 1 e e ： 定理3 2 m 1 ( n o 黟a d o v ) 设孝，正整数，i 鸟一1 且， 1 ，则有： ；篙。赢孵，- f 躲转巾沅素 此处( ) 表示m 6 b i u s 函数，钗) 表示欧拉函数，前一和式表示取遍r 的所有正 因子d ，后一和式表示取遍巧的所有d 阶乘法特征。 设厂( 工) 石】，中。( 厂( 戈) ) 表示【z 】中次数小于f ( x ) 且和f ( x ) 互素的多项式 定义3 3 设孝0 ， 厂( x ) 工】且厂( x ) i ( r 一1 ) ，若f ( x ) 和 ( r 一1 ) d 以。( 孝) 互素，则称孝为f ( x ) 一f r e e 元素。 中山大学硕士论文 有限域上的本原正规元 = 李。，鬻。磊：。毒加孝埘 因为j l l 1 ，根据( 2 4 ) 式知z ( 口舌+ 6 ) = o z ( 6 ) ，并注意到等式 知弓 l = 中( j l z ) ，l = 2 n l 。从而 d r d ( z ) = i ( ，一i ) 啡磊赤磊。l 掣乩 髓瑚耻磊磊酬，= 磊磊锷磊：。膨， 考e f 二ig i ( ，一1 )知f 二g i ( ，一1 ) r 占，d ，矗( z ) = o 9 譬l叮卫l 得l 2 q 一1 ； = 毒；：善，铬。磊：。础，舔。磊；。z c 以乡埘 = 黜z ( 孝) 彳( 口号+ 易) g ，每1 ) 中( g ) 中( j 1 1 ) 揣刈南： 怠“”“一7 7 卫 l 由有限域上加法特征的定义，可设z = 屁，2 劫，戗0 ，石是0 的标准加法特征。则 屯= ；：参。，黜焉钏磊勘c 易，舌妒c 。 当口+ 口= 0 时，g = h 。 s 。= ( 矿一1 ) 1 3 扫+ 声j 、 口庇r 芦j 、g 足 豁 坼 = s 中山犬学硕士论文 有限域上的本缘正规元 硇”叫州。罪打( ，一器。磊：，加) ) 叫矿。) ，。母晰( 1 一南毒：，加) ) 由予b 非( 矿一1 ) 一加g 元素，则存在一个f 。，使得矗然，。爹。因此 ( 玉) 2 夕( ，。= 夕，( g ) = l = 西( ，) 此时代入原式有：耻盯- 1 ) 触职哳( 哿) a 又因为不可约多项式 ，k 毒”一i ) ，矗r f ， 菇一l l ，一l ，且中( 工一1 ) = l ，显然此时：蕊4 = 0 。 所以不妨设劈+ d 夕0 ，类似于前面的讨论，同理得： 刚篷羔锱等焉髫磊；矗堋邓q 叫2 是，= 尹( 蠢，善 乒弓搿一1 拳毒委。篙。磊：d 姒务= 委。篙。石耐舌y c 务 根据( 2 5 ) 式，因为d l ，所以矿( 手) = o ，故 鑫墨 是l 黧0 是：黧p ( d ，孝) 冠( g ，彩 皋弓搿一1 ；g 枷 = 丕蚓丕。，磊篙。磊：d y c 9 锪。磊；。颜务 = 黜y ( 黝。 每善t ) 认d ) 垂( g ) 高；d 施：s 怠列小列 露l譬l q 1 4 。 中山大学硕士论文有限域上的本原正规元 ： 等导黜( 孝，( 口孝+ 6 ) ，) z ( f ) d ，笨蚓怎z ，烈d ) 烈p ) 中( 占) 。南副。南兹：譬澎”一 “。7 d 。e l卫l ， 对上式作墨i 同样的处理，根据定理2 1 5 的( 2 8 ) 式有 = 2 ( 2 埘一1 ) 2 ( 2 q 一1 ) 矿圮 同理， ； l 墨3 l 2 ( 2 缈一1 ) 2 ( 2 n 1 ) 鼋栊 s 4 4 = p ( d ，孝) p o ，口舌+ 易) 尺( g ，孝) 尺( ，口孝+ 易) ；，二ld ，d g ”一lg ， i ( ，一1 ) q d ，f l卫 l ：笔辔篙糕叭毋吵( 口孝+ 6 ) 舣善) ( 口f + 6 ) d ，z k 怠- 1 ) 矽( d ) 伊( p ) 中( g ) ( j i z ) 。而刮旆；：g 爱“ ”一 = 筹咎篙燃( 易) ( 乳孝+ 易) 饥( ( 口+ 口) 孝) d ，荨味每- 1 ) 认d ) 认p ) 中( g ) 中( j 1 ) 揣可d 崩：g 。最“”一 “7 li 当口+ 口= o 时，| m ( ( 口孝+ 易) 刮g 州2 ，所以根据定理2 1 5 的( 2 8 ) l 乒弓l 式有 l i 2 ( 2 国一1 ) 2 ( 2 q 1 ) 2 留“2 至此，所有的和式都进行了估计，把各个和式的上界代入( 3 3 ) 式整理后得： 胁矿c 智，c 半，2 i ( 等) 2 ( 半) 2 【( 2 2 q - 1 ) + ( 2 脚砒栊+ 2 辨1 ( 2 埘_ 1 ) ( 2 2 q - 1 ) 2 】 因此( 日，1 ) 0 的充分条件是 1 7 帕赢 磊 未一 一巾一垂 一d 一认 一d 一认 黔暂 瓯 中山大学硕士论文有限域上的本原正规元 ( 等) ( 半) 2 ( 等) 2 ( 半) 2 【( 2 2 q - 1 ) + ( 2 m - 1 ) 2 2 帆2 珊- 1 ) ( 2 2 n - 1 ) 2 】 上式等价于 留”一1 ( 2 2 q 一1 ) + ( 2 国一1 ) 2 口“7 2 + 2 讲1 ( 2 国一1 ) ( 2 2 q 一1 ) 口”彪，即： 2 一宇+ ( 2 国_ 1 ) 2 l ( 2 国_ 1 ) ( 2 硷- 1 ) ( 3 4 ) ( 3 4 ) 式成立仅需 留疗72 2 2 埘+ 2q + 1 ( 3 5 ) 成立即可。定理证完。# 对q ，n 不互素的情况，设g = p ”，n = p 聆+ ，( p ，l + ) = l ，由引理3 4 知孝 是( r 一1 ) 舭e 当且仅当善是( x ，一1 ) 一加p 。并注意到一1 = ( x ”一1 ) ，因此 此时仅需考虑( 口，z ) 的情况。类似于定理3 7 ，我们有： 定理3 8 设q 是素数p 的方幂，正整数，z = p n + ，( p ，l ) = 1 ，缈= 烈日”一1 ) ， q 。= q ( r 一1 ) = q ( 工”一1 ) 。对给定的以，易巧，若留”7 2 2 2 卅2 q + l ，则( 口，1 ) u 。 注：同样地证明过程中可得到( 鸟，儿) u 的两个充分条件： 2 一宇+ ( 2 - 1 ) 2 l ( 2 国_ 1 ) ( 2 2 d _ 1 ) ( 3 6 ) 口”7 2 2 2 辨2 q + 1 ( 3 7 ) 1 8 中山大学硕士论文有限域上的本原正规元 取( 4 1 ) 式的p = 口”一l ，代入( 4 1 ) 可得依赖于参数如的烈g ”一1 ) 的上界表达式： 烈口”一1 ) m坍 l o g ( q ”一1 ) 一l o g 既，l l o g 口一l o g p f + ，竹 1 6 ，( 4 4 ) 式左边大于o ，则有： 2 0 中山大学硕士论文有限域上的本原正规元 定理证完。 完成定理4 4 ，4 5 的证明后，定理4 3 的证明只剩下g 2 3 的情形。 定理4 6 设q 为素数方幂且4 口2 3 ，n 为正整数，( q ，n ) = 1 且n 不整除 q 一1 。如果，l 9 6 ，贝0 ( 口，1 ) u 。 在证明定理4 6 之前，先介绍一个引理。当口2 3 时，若沿用引理4 2 对q 的估计，则不满足( 4 5 ) 式的( q ，n ) 较多，计算的效率较低。因此我们利用有限域上 分圆多项式的分解特性，在已知q 的条件下，可以对q 进行更精确的估计。田 甜在其硕士毕业论文 2 1 】中给出了以下一系列q 的估计： 引理4 7 设( q ，n ) ，q = q ( ，一1 ) ，则在上有： q - 2 3 时： ( 1 ) 若1 1 不整除n ，则q ，l 2 ： ( 2 ) 若2 不整除n 但1 l i n ，则q ，z 2 + 9 2 ； ( 3 ) 其它情形有q ，z 2 + 1 0 。 q = 1 9 时： ( 1 ) 若3 不整除n ，则q ，l 2 ； ( 2 ) 若2 不整除n 但3 i n ，则q ，l 2 + 7 2 ； ( 3 ) 其它情形有q ，l 2 + 8 。 q = 1 7 时： ( 1 ) 若2 i n 但4 不整除n ，则q ，l 2 ； ( 2 ) 若4 l n 但8 不整除n ，则q 咒2 + 1 ； ( 3 ) 若8 l n 但1 6 不整除n ，则q ，l 2 + 3 ； ( 4 ) 其它情形有q 疗2 + 7 。 q = 1 6 时： ( 1 ) 若5 、1 7 都不整除n ，则q n 3 + 1 ； ( 2 ) 若5 不整除n 但1 7 i n 或者5 i n 但1 7 不整除n ，则q ，l 3 + 9 ： ( 3 ) 其它情形有q ，l 3 + 4 9 。 q 1 3 时： ( 1 ) 若2 、3 都不整除n ，则q ，l 3 + 2 3 ： 2 3 中山人学硕士论文有限域上的本原正规元 ( 2 ) 若2 不整除n 且3 i n ，则q n 3 + 4 ： ( 3 ) 若2 i n 但3 、4 都不整除n ，则q ，l 3 + 7 3 ； ( 4 ) 若2 i n ，3 i n 但4 不整除n ，则q ，l 3 + 9 ； ( 5 ) 其它情形有q ，z 3 + 3 3 。 q = l l 时： ( 1 ) 若2 、5 都不整除n ，则q ，l 3 ； ( 2 ) 若2 不整除n 且5 i n ，则q ，l 3 + 4 ； ( 3 ) 若2 l n 但4 、5 都不整除n ，则q 仡3 + 1 ； ( 4 ) 若2 i n ，5 i n 但4 不整除n ，则q ，l 3 + 9 ： ( 5 ) 其它情形有q ，l 3 + 2 4 。 q = 9 时： ( 1 ) 若2 不整除n ，则q ，l 3 + l 3 ； ( 2 ) 若2 i n 且4 不整除n ，则q n 3 + 5 3 ； ( 3 ) 若4 f n 但8 不整除n ，则q ，l 3 + 1 3 3 ： ( 4 ) 若8 l n 但1 6 不整除n ，则q ，l 3 + 2 9 3 ( 5 ) 其它情形有q ，l 3 + 4 9 3 。 q = 8 时： ( 1 ) 若7 、7 3 不整除n ，则q 厅4 + 7 4 ； ( 2 ) 若7 l n 且7 3 不整除n ，则q ，l 4 + 7 3 4 ： ( 3 ) 若7 3 i n 但7 不整除n ，则q 刀4 + 1 7 5 4 ； ( 4 ) 其它情形有q 疗4 + 2 4 1 4 ； q = 7 时： ( 1 ) 若2 、1 9 不整除n ，则q 咒4 + 7 4 ； ( 2 ) 若1 9 i n 且2 不整除n ，则q ，z 4 + 6 1 4 ； ( 3 ) 若2 l n 但4 、1 9 不整除n ，则q ，l 4 + 1 8 4 ； ( 4 ) 若2 i n 、1 9 i n 但4 不整除n ，则q ，l 4 + 1 2 6 4 ； ( 5 ) 其它情形有q n ，4 + 4 2 。 q - 5 时： ( 1 ) 若2 、3 l 不整除n ，则q ，z 4 + 1 4 ； 2 4 中山大学硕士论文 有限域上的本原正规元 ( 4 8 ) 式中取 1 6 ，则又可写成： 露嚣卡参+ 三+ 臌一三三& 加i 一 o ) 绷十易+ 昙+ 聊一题拼+ 6 + 三+ m 一邈 p c r 虬 1 j l f 墅l 赤一矗皿b 9 2赢一高冲k g 4 或者5 。对每个c ，如果鼋4 ，l + 警，受| j ( 窜，栉) u 。 务+ 三+ 勰一至三 撵 _ 冬_ 墼 ( 4 1 1 ) 撵 盘2 j k f 4 11 ) ( 擘塑一丛塑一口) v 、l o g l 6l o g 7 。2 7 ， 中山大学硕士论文有限域上的本原正规元 n n + 6 + ! + ，咒一至三趣 崦驴弋去式争 蚴 面一面瓦p 聆 先讨论c = 1 的情况。此时，l 4 8 ，类似于定理4 3 的证明，我们分两种情 况讨论： i ) 疗+ 整除q 1 根据引理4 2 ，此时a - l ，b = o 。取p 。= 2 9 3 ，l = 4 8 代入( 4 1 2 ) 式计算得： 鸟3 3 。因为，l + 4 8 且，l + 整除q 1 ，所以g 4 9 。显然对所有口4 ，z + 4 8 ， ( 2 ，z ) = l 且，z + 整除q 1 的( 口，l + ) ，( q ，z ) 满足( 4 1 2 ) 式，即( q ，z ) u 。定理成立。 i i ) 咒+ 不整除q 1 根据引理4 2 ，此时a _ 3 4 ，b = o 。取= 2 9 3 ，口= 8 代入( 4 1 1 ) 式计算得： ，z + 3 7 。因为，l 4 8 ，所以对满足题设条件的所有的口8 ，( g ，1 ) u 。则还 需证明q = 4 的情况。q _ 4 时，根据引理4 7 ，a = 1 ，4 ，b = 3 7 4 ，代入( 4 1 1 ) 式计得： ，l 8 9 。对4 8 ，z + 8 9 且与2 互素的，l ，直接用软件p a r i 计算验证是否满足 ( 3 8 ) 式。 计算结果显示，对4 8 ，z 。 8 9 ，且，z 与2 互素的，l ，( 4 ，l + ) 满足( 3 8 ) 式。 即此时同样有( 4 ，1 ) 【，。 结合i ) 和i i ) ，若q 是素数2 的方幂，正整数，z = 2 ，l + ，( 2 ，n 。) = l ，如果留4 且，l + 4 8 ，贝0 ( 留，1 ) u 。 同理可得c = 2 、3 、4 或者5 时的证明，而且过程更简单，结果全部满足( 4 1 1 ) 、 ( 4 1 2 ) 式。 定理证完。 # 同理可得p 等于其它值的证明，因为证明方法跟定理4 9 完全一模一样，我 们只给出以下定理，证明过程从略。 2 8 生些丕堂堡主迨塞 二笪堡丝土盟查堕啦 定理4 1 0 设q 是素数3 的方幂，正整数，l = 3 ，l + ，( 3 ，l + ) = l 且c - l 、2 、3 对每个c ，如果q 4 ，l 。爹，则( g ，n ) 【，。 定理4 n 设q 是素数5 的方幂，正整数，l = 5 。，l ，( 5 ，l ) = 1 且c = 1 、2 。对 每个c ，如果g 4 ，l + 爹，则( g ，1 ) u 。 定理4 1 2 设q 是素数7 的方幂，正整数n = 7 刀+ ，( 7 ，l ) = 1 。如果口4 ， ，l 1 4 ，贝0 ( 鸟，1 ) u 。 定理4 1 3 设q 是素数1 l 的方幂，正整数，l = 1 l ，z ，( 儿，l + ) = 1 。如果口4 ， ，l + 9 ，贝u ( 留，z ) u 。 定理4 1 4 设q 是素数1 3 的方幂，正整数n = 1 3 ，z ，( 1 3 ，l ) = 1 。如果鼋4 ， ，l + 8 ，贝l j ( q ，n ) u 。 定理4 1 5 设q 是素数1 7 的方幂，正整数，l = 1 7 咒+ ，( 1 7 ，l + ) = 1 。如果留4 ， 疗+ 6 ，贝0 ( 目，1 ) u 。 定理4 1 6 设q 是素数1 9 的方幂，正整数n = 1 9 ，l ，( 1 9 ，l ) = 1 。如果g 4 ， ，l 6 ，贝u ( 口，咒) u 。 定理4 1 7 设q 是素数2 3 的方幂，正整数，l = 2 3 ，l + ，( 2 3 ，l 。) = 1 。如果鼋4 ， n + 5 ，贝( g ，1 ) u 。 定理4 1 8 设q 是素数2 9 的方幂，正整数，l = 2 9 ，l ，( 2 9 ，以) = 1 。如果g 4 ， ，l 。4 ，贝u ( 鼋，1 ) u 。 定理4 1 9 设q 是素数3 1 的方幂，正整数，l = 3 l ，l ，( 3 1 ，i + ) = l 。如果q 4 ， ，l 4 ，则( q ，1 ) u 。 定理4 2 0 设q 是素数3 7 的方幂，正整数万= 3 7 ，z + ，( 3 7 ，l ) = 1 。如果g 4 ， 2 9 中山大学硕士论文 有限域上的本原正规元 j o u m a lo fc o m b i n a t o r i a ln e o 以19 8 9 ，5l ：l0 4 1 10 【1 6 】l c a r l i t z ，p r i m i t i v er o o t si naf i n i t ef i e l d ，t r a i l s a m s ，1 9 5 2 ，7 3 ：3 7 3 3 8 2 【l7 】l c a d i t z ，s o m ep r o b l e m si n v o l v i n gp r i m i t i v em o t si naf i n i t ef i e l d ，p r o c n a t a c a d s c i u s a ，1 9 5 2 ，3 8 ：31 4 318 【1 8 】h d a v e n p o 吒b a s e sf b rf i n i t ef i e l d s ，j l o n d o nm a 1 s o c 1 9 6 8 ，4 3 ：2 1 3 9 【19 】s d c o h e n ，蹦m i t i v ee l e m e n t sa n dp o l y n o i i l i a l s ：e x i s t e n c er e s u l t s ，l e c t n o t c s i np u r e 锄da p p l i e dm a t h ，v 0 1 1 4 l ，e d i t e db yg l m u l l e na n dp j s h i u e ，d e l ( 1 【e r n e wy i d r k ，1 9 9 3 ，4 3 5 5 【2 0 】s d c o h e n ，p r i m i t i v er o o t si nt l l eq u 枞i ce x t e n s i o no f