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数学归纳法(一),瑞昌二中伍志,2008.05.07,费尔马(1601.81665.1)法国数学家。,(费马猜想),结论是错误的。,我们在推导等差数列通项公式时如下：,对于某一数列的通项公式是：,容易验证：,是否可得出结论：,思考：,从一个袋子里第一次摸出的是一个白球,接着,如果我们有这样一个保证:“当你这一次摸出的白球,则下一次摸出的一定也是白球.”能判断这个袋子里装的全是白球吗?,能判断袋子里全是白球。,播放视频1人体多米诺视频,播放视频2多米诺骨牌分析,什么是数学归纳法？它的基本步骤是？,对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：,先证明当n取第一个值n0（如=1或2）时命题成立；,2.然后假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。从而说明命题对从开始的一切正整数都成立。这种证明方法就叫做。,数学归纳法,验证n=n0时命题成立,若n=k(kn0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.,归纳奠基,归纳推理,命题对从n0开始所有的正整数n都成立,数学归纳法的原理图：,证明：,例1.用数学归纳法证明:当,（1）当n=1时，左边=1，,右边=,故当n=1时，等式成立。,根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立。,这就是说，当n=k+1时等式也成立。,那么,例1.用数学归纳法证明:当,（2）假设当n=k时，等式成立，,则有：,例1的如下证明对吗？,证明：当n=1时，左边，,右边,等式成立。设n=k时，有,即n=k+1时，命题成立。根据问可知，对nN，等式成立。,第二步证明中没有用到假设，这不是数学归纳法证明。,那么：,=,小结,重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。,例2、用数学归纳法证明：如果是一个等差数列，那么对一切都成立。,证明：,（1）当n=1时，左边=，右边=等式成立；,（2）假设当n=k时等式成立，则有,那么，,这就是说，当n=k+1时，等式也成立.,综上（1）（2），等式对任何都成立。,学生训练：,训练1、用数学归纳法证明：,解：,训练2、首项是，公比为的等比数列的通项公式是,训练3、用数学归纳法证明：,(1)第一步，是否可省略？,不可以省略。,(2)第二步，从n=k(kn0)时命题成立的假设出发，推证n=k+1时命题也成立。既然是假设，为什么还要把它当成条件呢？,这一步是在第一步的正确性的基础上，证明传递性。,反例,想一想：,同学们可以自己验证n=1，n=2，n=3等时，命题是否成立？,假设n=k时，等式成立,就有,那么,这就是说，如果n=k时等式成立，那么n=k
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