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堕堡堡矍三查耋堡兰堡! ：兰堡丝兰 m u s i e l a k o r l i c z 空间的若干几何性质 摘要 本文对赋o r l i c z 范数和l u x e m b u r g 范数的经典o r l i c z 空间以及o r l i c z 空间有的推广形式m u s i e l a k o r l i c z 空间的一些几何性质进行了研究。全文 共分四章，主要工作总结如下： 第一章绪论：回顾了o r l i e z 空间理论六十多年的发展历程和前人的主 要研究成果，评价和总结了前人的主要研究成果，并展示了本文所讨论内容 的背景和意义。 第二章o r l i c z 函数空间的依测度收敛序列系数：弱收敛序列系数是 b a n a c h 空闯几何理论的重要参数，本文首先在b a n a e h 函数空间中引进了依 测度收敛序列系数的概念，并给出依测度收敛序列系数大于l 的自反的 o r l i c z 函数空间中任何定义在依测度紧集上的非扩张映射均有不动点性质， 同时给出了o r l i c z 函数空间具有依测度收敛序列系数大于l 的等价条件。 第三章m u s i e l a k o r l i c z 序列空间的弱收敛序列系数：在已有的关于弱 收敛序列系数讨论结果之上，本章给出了m u s i e l a k o r l i c z 序列空间弱收敛 序列系数的表达式，并举例验证该表达式的正确性，丽且给出其在不同条件 下相应的一部分特殊形式。 第四章m u s i e l a k o r l i c z 空间的s 日拓扑：根据各种学科发展和应用的需 要，o r l i c z 空间有各种不同形式的推广，m u s i e l a k ，o r l i c z 空间是较为常见的 一种。本章主要讨论了m u s i e l a k o r l i c z 空间中弱拓扑的若干内容，o r l i e z 空 间中的相应结果得以扩充，类似的结果也可应用于m u s i e l a k o r l i c z 序列空 间。 关键词o r l i e z 空间；m u s i e l a k o r l i c z 序列空间：依测度收敛序列系数；不 动点；弱收敛序列系数 堕尘堡堡三奎兰型兰堡圭耋堡堡圣 s o m eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so f m u s i e l a k o r l i c zs p a c e s a b s t r a c t s o m eg e o m e t r i cp r o p e r t i e so fo r l i c zs p a c e se q u i p p e dw i t ho r l i c zn o r m ， l u x e m b u r gn o r ma n dac o m m o ng e n e r a l i z a t i o nm u s i e l a k o r l i c zs e q u e n c es p a c e s a r ci n v e s t i g a t e di nt h i st h e s i s m o r e o v e r ，s o m eg e o m e t r i cc o e f f i c i e n t so f o r l i c z f u n c t i o n s p a c e sa n dm u s i e l a k o r l i c zs e q u e n c es p a c e s a r ea l s os t u d i e d i t c o n s i s t so ff o u r p a r t s ：t h em a i nr e s u l t s o ft h et h e s i sa r es u m m a r i z e da s f o l l o w i n g ： c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n i ti sr e v i e w e dt h a td e v e l o p i n gc o u r s eo ft h et h e o r y a n d g e o m e t r i ct h e o r y o fo r l i e z s p a c e sd u r i n g m o r et h a n6 0 y e a r s s t u d i e s m o r e o v e r ，i ti s e v a l u a t i n ga n ds u m m a r i z i n gt h ep i o n e e r sm a i n r e s e a r c hr e s u l t s ，a n ds h o w i n gt h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo f t h ec o n t e n to f e a c hp a r ti nt h i st h e s i s c h a p t e r2c o n v e r g e n ts e q u e n c ec o e f f i c i e n ti nm e a s u r eo fo r l i c zs p a c e ：t h e w e a k l yc o n v e r g e n ts e q u e n c ec o e f f i c i e n t ( m c s ( x ) ) a r ef u n d a m e n t a lc o n c e p t si n g e o m e t r yo fb a n a c hs p a c e i nt h i sp a p e r , t h ea u t h o ri n t r o d u c e san e wd e f i n i t i o n n a m e l yt h ec o n v e r g e n ts e q u e n c ec o c f f i c i e n ti nm e a s u r eo fb a n a c hf u n c t i o n s p a c e s ( m c s f o rs h o r t ) i ti sp r o v e dt h a ti fki sa nn o n e m p t yb o u n d e dc l o s e d c o n v e xs u b s e to fxa n dt ：k - - 4 ki sa nn o n e x p a n s i v em a p p i n g st h e nth a sa f i x e dp o i n ti nkf o re v e r yo r l i c zf u n c t i o ns p a c exw i t hm c s ( x ) 1 w e a l s og i v es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o ro r l i c zf u n c t i o ns p a c ext oh a v e m c s ( x ) 1 c h a p t e r3t h e w e a kc o n v e r g e n ts e q u e n c ec o e f f i c i e n to ft h em u s i e l a k - o r l i c z s e q u e n c es p a c e ：c o n c e r n i n gt h ed i s c u s s i o no nt h ew e a k l yc o n v e r g e n ts e q u e n c e c o e f f i c i e n t ，af o r m u l af o rt h ew e a kc o n v e r g e n ts e q u e n c ec o e f f i c i e n to ft h e m u s i e l a k _ o r l i c z s e q u e n c es p a c e0e q u i p p e dw i t ht h el u x e m b u r gn o r mi s c a l c u l a t e d a sac o n s e q u e n c eo ft h i sr e s u l t ，t h ec o e f f i c i e n tf o rn a k a n os p a c e s - l l 堕查堡竺三查耋墨耋堡圭兰堡篁圣 ，”- i sf o u n d c h a p t e r4w e a kt o p o l o g yi nm u s i e l a k o r l i c zs e q u e n c es p a c e s ：a c c o r d i n g t ot h er e q u i r e m e n to fv a r i o u st h e o r i e sa n da p p l i c a t i o n ，t h e r ea r e m a n y g e n e r a l i z a t i o n s o fo r l i c z s p a c e m u s i e l a k - o r l i c zs p a c e i sac o n 3 n l o n g e n e r a l i z a t i o n t h ew e a kt o p o l o g yo fm u s i e l a k o r l i c zs e q u e n c es p a c ei s i n v e s t i g a t e s ，t h ec o n c l u s i o n t h a th a db e e ng e ti no r l i c z s p a c eh a sb e e n e x p a n d e d t h er e s u l tc a nb ee n l a r g e dt om u s i e l a k - o r l i c zs e q u e n c es p a c et o o k e y w o r d s o r l i c zs p a c e ；m u s i e l a k o r l i c zs e q u e n c es p a c e ；t h ec o n v e r g e n t s e q u e n c e c o e f f i c i e n ti nm e a s u r e ：f i x e dp o i n t ：t h e w e a k l y c o n v e r g e n ts e q u e n c ec o e f f i c i e n t 一一 呛尔滨理工夫学理学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1o r l i c z 空间的由来及发展概况 o r l i c z 空间是波兰数学家w o r l i z e 于1 9 3 1 年引进的“1 ，o r l i c z 空间是l 。 窄间的推广。作为一类具体的b a n a c h 空间，它的性质及其判据是一般b a n a c h 空划的直观材料；从理论上来说，由于生成o r l i c z 空间的函数几乎涵盖了所有 的b a n a c h 空间类，因此o r l i c z 空间作为一类具体的b a n a c h 空间，给一般的 b a n a c h 空间，f r e c h e t 空间研究准备了巨大的模型库，使一般空间的研究得以 有所启迪和借鉴；从应用上来说o r l i e z 空间也给众多非线性分析问题提供恰如 其分的空间框架。 1 9 3 2 年和1 9 3 6 年o r l i c z 给出了k 空间及o r l i e z 范数的定义。“。 n a k a n o 。在1 9 5 0 年引进了模范数，并对模空间的一般理论进行了深入的研 究，发展了以o r l i c z 空间为特例的模半序空间理论。l u x e m b u r g 在1 9 5 5 年引 进l u x e m b u r g 范数“) ，并对o r l i c z 空间性质进行了深入的讨论，极大地推进了 空间理论的研究。与此同时，m a k r a s n o s e l s k i i 和y a b r u t i c k i i 为了求解非 线性分析若干问题，系统的研究了由不满足，条件的o r l i c z 函数生成的o r l i c z 空i q ，并于1 9 5 8 年出版了第一本关于o r l i c z 空间理论的专著凸函数与o r l i c z 空间”1 ，并总结了以前特别是他们本人的工作，这一专著的出版标志着 o r l i c z 空间理论已基本形成。 自六十年代以来，o r l i c z 空间理论又有了重要的发展，1 9 6 0 年，t a n d o 和m m r a o 分别给出了o r l i c z 空间上有界线性泛函表达式“7 “，1 9 6 2 年， 郭大钧给出了u r y s o n 算子全连续的充分必要条件。1 ，1 9 6 6 年壬廷辅得到了 o r l i c z 空f 自j y , j 紧集的充分必要条件“，丁夏畦3 ，n s t r u d i n g e r ”则从不同方 面推广了s o b o l e v 嵌入定理，o r l i c z 空间理论应用于偏微分方程理论。1 9 6 7 年v f g a p o s k i n “3 + ”3 证明o r l i c z 空间有无条件基的充分必要条件是空间自 反。 七十年代初，j l i n d e n s t r a u s s 和l t z a f r i r i 用空间引入常数的方法对 ：堕堡鎏竺三查差矍茎堡：兰篓丝兰 o r l i c z 序列空间的基和同构问题进行了一系列的讨论，得到了许多重要的结 果。之后，波兰的数学工作者进一步研究了模空间的般理论和o r l i c z 空间的 几何结构。 进入八十年代以来，在所有从事o r l i c z 空间研究的数学工作者的共同努力 下，使o r l i c z 空间理论特别是几何理论得到了长足发展。值得一提的是吴丛 忻，王廷辅的( ( o r l i c z 空间及应用“，吴丛忻，王廷辅，陈述涛和王玉文的 ( o r l i c z 空间几何理论“，以及陈述涛的g e o m e t r yo fo r l i c zs p a c e s ) ) 这 三部专著的相继问世，极大地丰富了o r l i c z 空间理论特别是几何理论，使这一 理论更加完善、系统化，并开拓了广泛的使用领域，使这一数学分支更加生机 勃勃、充满活力，也使中国哈尔滨成为o r l i c z 空间的研究中心之一“1 。同 时，它的应用范围也不断扩大，已渗透到了积分方程、偏微分方程以及逼近 论、概率论和控制论等许多数学分支。 1 2 广义的o r l i e z 空间 根据各种不同的理论和应用的需要，o r l i c z 空间有各种不同形式的推广。 本文主要对m u s i e l a k o f l i c z 空间进行讨论m u s i e l a k - o r l i c z 空间是一类具体的 b a n a c h 空间，是o r l i c z 空间的推广。这类空间不仅包括了工，( 1 p 0 ； 3 熙掣= 0 熙掣= 。 设m ，为一对互余的一函数，p 、q 分别为其右导数，( g ，“) 为一无 原子测度空间，r 表示定义在g 上的可测实函数全体。 对任意x 三o ，我们称 i m ( z ) = l m ( x ( f ) ) d t 为x ( f ) 关于m 的模，“m a ：”表示m ( u ) 关于较大的“满足：条件。 则线性集 匕= 缸：j x 0 ，i m ( h ) 0 ，i s ( 2 和0 使锝 m ( 2 x ) g m ( x ) o ) 称一函数肘满足6 2 条件是指存在 2 和x o 0 使得 m ( 2 x ) s 删( 工) ( x x o ) 2 2o r l i c z 函数空间的依测度收敛序列系数 定义2 1 b a n a c h 函数空间x 的依测度收敛序列系数，简记为m c s ( x ) 定 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 义为 m c s ( x ) = i n f a ( x 。) ：x ncs ( x ) ，x n 是依测度收敛序列 其中s ( 卫) 表示x 的单位球砸。对于中的序列k 爿( ) = l i m s u p l x , - x j l ：i ，- ，h ，f _ ，) 定理2 1 m c s ( l m ) 1 的充要条件是m 2 证明必要性假设m 硭a ：则取任意x s ( 如) ，再取集合列 g = p g ： x ( t ) l n ) i x 。x | | = 1 ，所以k 。| _ 1 令 e = g g = 0 g ：l x ( t ) p n ) 且x 。= j ) ( 。固定h ，取 h ，令 且k ，。= x n - x 。，则 又有 e 。= t g ：栉 o ，j 6 o ，当p ( 8 ) 6 时，有k 惑l 手 ( 2 - 1 ) 2 n n x 。s ( k ) ，t 与0 ，则对于上述的6 ，了c e f 瓴) ( 6 ，使得当 t c g e o 时，_ 二乌o 于是j 一，当n n t 时，有k ) ( g 。i o ，使得当 时，有 同理当 时，有 了二是 l i ( x t o ) ) 出 6 ，m ( 毛o ) ) 出s 1 m ( 啪) 一邪) ) 出一m ( 水) | - k 。时皈( f ) ) 出 6 ，。m ( o ) ) d t o 满足k 一玉i l + 6 依此类推，我们可构造也) 的一个子列仍记为 ) 满足k k8 i + 6 则m c s ( 、k ) 1 ，定理得证。 定理2 2 m c s ( l ) 1 的充要条件是m 2 证明 必要性假设m 盛：则对v s 0 , 3 x s ( 岛) ，再取集合列 g = te g ：i x ( t ) l n 使得k 。i o - 1 一 令 e = g 皈= f g ：l x ( t ) j 月) 且x 。= x ) ( 。 固定n n ，取 n 。 ，令 e ，。= f g ：h 0 ，3u u o ，使得 于是 1 i m 盟：4 o ，3 6 0 ，t z ( e ) 6 时，有l x , x , i 。 s ( 2 2 ) 又因为山0 ，则对于上述的6 ，3 e o c g ，肛( ) 6 ，使得当t g 时，有_ 二乌o 于是3 v ，当n n 。时，有i _ x 。j 。 0 ，当弘( p ) 6 时，有l x , x j 。 s( 2 - 3 ) 又由于j 。山0 ，则对上述的6 ，e o c g ，正( 岛) 6 ，当t g 时，有 x n 马o ， 即| 一， 当n 时，有i x 。i 。 - i l x x 。一五x 啪9 * - 2 s 子一( 1 + i u ( k 】( x k 一玉x 卅) ) ) 一s 一2 5 = 厂1 ( 1 + p ( ( _ k ) ) 出+ 肛( t ( ) ( 时) ) d t ) 一3 2 古( 1 + p ( ( 砌姘亡p ( ( 呶劫s i x j 。+ 九( x ，x 。q ) 一3 5 2 1 + 一3 依此类推，可以构造佤 的一个子列仍记为扛。 满足 l x n 一屯p l + e z - 3 s 哈尔滨理工人学理学碗士学位论文 由s 的任意性，则 因此，m c s ( ) 1 得证。 x 。一x 。i 。1 + ( 1 ) 2 _ 3o r l i c z 函数空间中依测度紧集上的不动点性质 引理2 1 设x 是自反的o r l i c z 函数空间，若 m c s ( ) = s u p a o ；对任何依测度收敛序列瓴) 匕x ， 存在y c o ( 也) ) 满足a l i m s - pl l x 一y l l - a ( x 。) 则 m c s 7 ( z ) = s u p a ：上斗j 口- l i m s u p x - - x o l - - 一( ) ) 证明令 m o 0 ，使得m e s e 6 时， i l v x 。忆 s 再- o ax ( t ) 一( f ) 与。伽一m ) 可知存在qc g ，m e s g 6 使得n 充分大时 k 。) _ 州o i 商巾g 瞩) 于是由h 6 1 d e r 不等式，当n 充分大时有 哈尔滨理工大学理学瑚十学位论文 f 厂c 气一而，| = | 争c z ，一如。，v 。，破i x a t ) 一川v ( f ) ld tq - x n 一0 。v x g 1 6 , i o ，由m c s ( x ) 的定义 3 一c o ( x ：，耐) 使得 ( m c s ( x ) 一占) m s y l x ，一m i o ；对任何依测度收敛序列x n ) 亡x ， 存在y c d ( 纯) ) 满足口1 i m s 印| | 吒一y l i 爿( 吒) ) 证明因为 m c s ( x ) = s u p a o ；对任何依测度收敛序列饥 cx ， 存在y ec o ( k ) ) 满足a l i m s u p i x - y l j 一也) ， 则对vs 0 ，选择一序列帆 c x ，使得山 令2 _ 一：c o ，则兑山0 ，选择饥) 的一个子列 ，使得 l i m y = l i m _ s u p y i o 地t o 棚i j 令气2 备酣( 弘弘山o ，龇有 坠查堡矍三奎耋墨兰璧圭兰堡丝兰 m c s p 老岛一 r i 矗 x j 意i m s u 崭p 吖 ll y 。l 箫t i my “。i = 爿( z 。) 一 m c s ( x ) 一 由的任意性，m c s ( x ) m c s ( x ) 再由引理2 2 ，m c s ( ) m c s ( x ) ， 则m c s ( x ) = m c s ( x ) ，引理得证。 定理2 3 设x 是一自反的o r l i c z 空间，k 是x 中的依测度紧凸集，设 t ：k 寸k 是非扩张映射，即满足下面的条件： l i v x - 砂l l - a l l x y l l ，vx ，y k ，其中。冬口- 1 ，即 理= l i r a s u pi i x 。y l i l i m s u p 如- x i b j n ，f 毕n = 口 于是对任意一个y s ，有 0 z 一砂a i x e l l - 0 ，存在 t s ( i = 1 ，2 ，h ) ，使得 因而 y 一, s i t x i i i - e ，岛o ，岛= 1 悴一y l 弛一p e t x ii i + i i b i t x i - y + 口， t z - t x ，i 占+ 砉p ，口i z 一西i 占十n 口f d 由于占的任意性，和y s 的任意性，故s u p i 陋一州a ，此即t z s ，这 v e 6 就说明了s 对丁是不变的，但由s 的定义知6 ( s ) i x o ，m 。( “) 。 n = ( 川，2 ，) 称为m 的余函数是指 m ( v ) = s u p u v m ， ) ) ( v 0 ) 则n i ( v ) 具有与m ， ) 相同的性质a 只 ) 和g ，( v ) 分别表示m ，( “) 和( v ) 的右 导数。 叉记 b ( i ) = s u p ( v 0 ：m ( v ) i o 足 m f ( 2 u ) k m i ( u ) + c i ( i i o ，m 知) u o ) 此条件简记为m a ， 设x = ( z ( f ) ) 昌为实数序列，x 关于m 的模定义为 p 。( 工) = z m , q x ( i ) i ) i = i 哈尔滨理丁大学理学硕士学位论文 线性集 z = ( z ( f ) ) ：3 x o ，_ d ( x x ) o , 存在乇使得萎鸠 半卜 继承0 和的范数，分别记为h m 和 w l b y n u m 娜3 于1 9 8 0 年引进了弱收敛序列系数的概念，并且给出了这 一概念在不动点理论中的应用。此后，人们对这一重要的几何常数陆续有所讨 论”“ 定义3 1 对不具有s c h u r 性质的b a n a c h 空间x ，弱收敛序列系数( r v c s ) 定义如下： w c s ( ) = i n f 署篙等： x ，, i - i ) cx 是弱收敛但非强收敛序列) 其中彳( k ) ) 是渐近直径， 即 爿( 饥) ) = l i m s u p 拈- x j l i ：f ，j - ”) ，( k ) 是历( k ) ) 相对c h e b y s h e v 半径。 即有以下等价定义： 定义3 2 “”z 的弱收敛序列系数，简记为w c s ( x ) 定义为： w c s ( x ) = s u p a 0 ：对任何弱收敛序列k ) 仁x ， y c d ( _ ) 满足a l i m s u p x 一y l i 爿( _ ) ) 张广禄”4 给出了上述定义的等价表述。如果满足 4 ( ) = l i m i n f x , 一x j l l ：i ，h ，f j ) 称序列k ) 是渐近等距的。 张广禄的结果是 w c s ( x ) = i n f a ( x 。) ： ) 是s ( x ) 上的渐近等距序列z 。生0 3 2m u s i e l a k - o r l i c z 序列空间的弱收敛序列系数 设工是k 6 t h e 序列空间。五表示x 中具有绝对连续范数元素的全体，且 爿具有s e m i f a t o u 性质。 定理3 1 若x i 置o ，则w c s ( x ) = 1 证明因为也是x 的真闭子空间，利用r i s e z 引理，对于v 占( o ，1 ) ，存 在t s ( x ) 满足 i i 工i i 1 一v x e 置 于是我们有 ( o ，- ，0 ，x c ( n + 1 ) ，t ( n + 2 ) ，) 1 1 - 1 一s 又x 具有s e m i f a t o u 性质，知 熙瞧x a i ) 弓h 未，t e l 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 i + 】 其中岛= ( 0 , - - - , 0 ，1 ，0 ) 从而存在n 1 n 2 ，满足 e 谯棚弓i ， 记x ，= o ) q ，( = 1 ，2 ，) ，则- 旦斗o 事实上，因为爿中的元素，可以唯一地分解成 f = y + 其中y 为x 的k 6 m e 对偶泛函，口为z 上的奇异泛函，即 i y ( f ) x o ) l 0 ，使得p 。( 秒) 0 ，存在五 o ，。 o 使得 i 彳，( | ) 五满足l ( 7 i y ( f ) 【) 尝因为对于所有。爿，有 一0 也一矗 一、吲矿卜“土 嘶= l 2 ，) 其中，我们可以假设专，且缸 f 丝坠l 盏剑2 盘 。1 ) “ 利用定理3 1 知道，若m 硭a ：，则w c s ( i m ) = 1 以下我们假设m a ： w c s g ) = l i m i n f i n f g ，。 o ：p m ( c - - l - ) _ 1 - ，z s g ) ， 。卿( 埔限，上1 3 v ( x ) 地l 。i m 半兰如 其中n ( x ) = m i n n ：”s u p p ( x ) 证明记 拈哟啦“c o ：p u ( 考) ，工咧 s 唧( 埔阮且( 班翱兰譬l 扣 往证w c s g ) = d 首先证阡珊( 0 ) d 对于vg 0 ，利用极限的定义，j 强n ，满足 缈n 帅“( 寺) s 撕眠) ， s z 仰( 工) 有限且( 石) 儿l 、i m 。o u 入( m ) 一茎 _ ) ) d + 占 哈尔滨理工夫学理学瑚士学位论文 丹利用p 哟界阴定义，5 6 仔在五s ( 0 工s u p p ( x 1 ) 有限，且n ( x 1 ) n ， 使得固卫吗上 ，满足 浒卜地以毒，斗m 注意到s u p p ( x ，) 有限集，故j ： 强，满足 s u p p ( x 0 n n 2 ，佃) = o 重复上面讨论，又3 乇s ( o ) ，s 唧( 屯) 有限，j ( 屯) 以：，熙鱼鸡上击，满 足 i n r 卜沁p 。寺，斗m 依此类推，存在h ： 0 ，利用 ( p a ：，对于x n 存在n ，满足 妻啪) 岛l ，使得 i m s u p 互! 竺竺! f 2 ，则 _ ：2 ( 0 ，o ，( 之+ 1 ) ，x n 2 ( 之+ 2 ) ，x ( 五) ，) 满足( _ ：) 丁1 ，且 艺m ( k 。) ) 辫u p 型丁 再找 h ：，t 工， ，满足( ) 可1 ，且 堕堡篁竺三奎耋垩：罂兰兰堡篁兰 l i m s u p ! 蒌兰! 兰：竺。土 生l 一二 h o 一 入 于是，即可找到一列”i 玎2 雄3 ，及i l f 2 五 毫 五 d s ，w c s ( t ) d 一占 2 6 丢 一扎。一2 ，+ ，一：。 啥尔滨理工大学理学硕士学位论文 由的任意性，期穷( 如) d 定理得证。 例3 1 以r ( 1 p 1 ，l i m p 。= p o ，m ) o 则m ( v ) 具有与m ，( “) 相同的性质。b ( “) 和吼( v ) 分别表示m ，( “) 和f ( v ) 的右 导数。 又记 占( 1 ) = s u p v 0 ：m ( v ) i o ，m ，( “) “o ) 此条件简记为m a ： 设工= ( 工( f ) ) 三为实数序列，z 关于m 的模定义为 如( 功= 够( i 善“) j ) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 线性集 扛= ( x ( o ) ：3 k o ，p m ( h ) o ：p m 守 或o r l i c z 范数 印 莩砌胴：p ( y 闰 = i n f ! ( 1 + p m k o k ( h ) )、j ， 皆为b a n a c h 空间，称之为m u s i e l a k o r l i e z 序列空间，简记为乙和矗 子空间 对任跏o ，存在毛使得委m ( 警卜 继承k 和毛的范数，分别记为k 和 本文要用到的结论“2 ”3 ： ( 日) = 日，( ) = 上，( ) = 瞄，( ) + = 如 引理4 1 对任意的“厶，d ( u ) = d 。( “) = o ( u ) ，其中 d ( “) = i n 刈i “一叫| ：w e 0 ) ， d o ( “) ：i n f o l u - 叫l 。：w ) 引理4 2 任意的，乙有唯一的分解 ，= v + 妒( v l n ，妒f ) 引理4 3 厂匕，则 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 6 = l l v l l ；+ 。 引理4 4如果妒f ，a ，b e ，且4 n b = o ，则 0 妒i u 。i i = n 妒l 。i i + l l p l 。i 引理45 对任意的口f ， i | 妒| | = 1 t 妒1 1 。= s u p 伊( “) ：p 。( “) o 令g 彻) = g ：i v | 睾，j 咖( f ) f 也 孚 由于( v i 。，) - - - 0 ，当