（基础数学专业论文）john基等价条件的推广及几个特殊凸体的性质.pdf

原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：_ 瓠一日期：嘶r t 一一 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：一羚酞导师签名： 日期：】豳红龟上选一一 上海大学理学硕士学位论文 j o h n 基等价条件的推广及几个 特殊凸体的性质 作者：郑敏 导师：冷岗松 专业：基础数学 上海大学理学院 2 0 1 0 年3 月 p h d c a n d i d a t e ：m i nz h e n g s u p e r v i s o r ：p r o f g a n g s o n gl e n g m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s s c i e n c ec o l l e g eo fs h a n g h a iu n i v e r s i t y m a r c h ，2 0 1 0 摘要 凸体几何是现代几何学的一个重要分支，j o h n 基在凸体几何分析中占有着重要 地位，是研究凸体包含最大体积椭球的基础，也是凸几何研究中的一个重要课题 其中j o h n 基和双j o h n 基是研究这个课题的基础 本硕士论文正是以j o h n 基和双j o h n 基为主要研究内容本文共分四章：首先 第一章介绍凸体几何发展的历史和研究内容；第二章证明j o h n 定理和j o h n 基等价 条件定理；第三章，将j o h n 基的等价性限制性的推广到双j o h n 基并给出证明；第 四章介绍b m 距离，求出特殊凸体的体积和体积比率 本文取得的主要结果是：给出j o h n 基的等价条件的另种证明，并将j o h n 基的 等价性限制性的推广到双j o h n 基第四章主要是用特殊的方法证得正则单形，正 八面体的体积并算出体积比率 关键词：j o h n 基；接触对；极体；双j o h n 基；b m 距离；体积比率 i i a b s t r a c t c o n v e xg e o m e t r yi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r ng e o m e t r y , j o h nb a s e so c c u p ya n i m p o r t a n tp o s i t i o ni nc o n v e xg e o m e t r y , a n di ti st h ef o u n d a t i o no fs t u d y i n gt h em a x i m a le l - l i p s o i dc o n t a i n e di nc o n v e x ：a l s oi sa ni m p o r t a n tr e s e a r c hs u b j e c ti nc o n v e xg e o m e t 呵j o h n b a s e sa n dd o u b l eb a s e sa r et h ef o u n d a t i o no fr e s e a r c h i n gt h es u b j e c t t h i st h e s i si sb a s e dj o h nb a s e sa n dd o u b l eb a s e sa st h em a i nr e s e a r c h t h i st h e s i s i sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r ，i nt h ef i r s tc h a p t e rw ed e s c r i b et h ed e v e l o p m e n th i s t o r i c a l o fc o n v e xg e o m e t 眄a n dt h em a i nc o n t e n t s ；i nc h a p t e r1 1w ep r o v ej o h nt h e o r e ma n d j o h n - b a s e de q u i v a l e n tc o n d i t i o n s ；i nt h et h i r dc h a p t e r ，w er e s t r i c t i v e l ye x t e n de q u i v a l e n t c o n d i t i o n so fj o h nb a s e st og e n e r a l i z e dd o u b l ej o h nb a s e sa n dg i v ep r o o fo ft h ea b o v e i n t h ef o u r t hc h a p t e rw ei n t r o d u c et h eb md i s t a n c e ，a n dc a l c u l a t et h es p e c i a lc o n v e xb o d y v o l u m ea n dv o l u m er a t i o t h i sp a p e r sm a i nf i n d i n g sa r et h e s e u s ea l t e r n a t i v em e t h o dt op r o v et h ee q u i v a l e n t c o n d i t i o n so fj o h nb a s e sa n dr e s t r i c t i v ee x t e n dt od o u b l ej o h nb a s e s i nt h ef o u r t hc h a p t e r w eu s et h es p e c i a lw a yt op r o v et h ev o l u m eo fr e g u l a rs i m p l e xa n dt h eo c t a h e d r o n ，a n d c a l c u l a t ev o l u m er a t i o k e y w o r d s ：j o h nb a s e s ；c o n t a c tp a i r ；p o l a r ；d o u b l ej o h nb a s e s ；b md i s t a n c e ； v o l u m er a t i o 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 绪论 1 研究的背景 1 研究课题和主要工作 3 j o h n 基等价条件 6 基础知识和准备工作 6 j o h n 定理的证明 7 j o h n 基三个等价条件的证明1 0 j o h n 定理的推广形式 1 4 j o h n 定理推广的证明1 4 j o h n 基推广的等价证明1 8 几个特殊凸体的性质 2 0 特殊凸体的b m 距离。2 0 几个特殊凸体的体积2 1 特殊凸体的体积比率2 7 参考文献 3 3 作者在攻读硕士学位期间公开发表及完成的论文3 8 致谢3 9 幸u 抛 一卑虬纰粥 一耳叭弛 障们躺 舭m j 纵辫娜 尊纵妣 嘻泓m 洳 第 第 第 第 第一章绪论 1 1 研究的背景 凸体几何是以凸体或星体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支，它是 以微分几何、泛函分析、偏微分方程、点集拓扑为基础的现代几何学 凸体几何起源于1 9 世纪末和2 0 世纪初，h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是两位杰出 的奠基者2 0 世纪3 0 年代，前苏联著名数学家a d a l e k s a n d r o v 以及t b o n n e s e n 和 w f e n c h e l 引进凸体的混合表面积测度，使得凸体几何成为一个独立的数学分支 在随后的几十年中，凸体几何理论发展迅速，一些经典的古老问题陆续得以解决， 新的富于挑战性的问题大量产生在这个过程中，它与数学的其他学科，如泛函分 析、群论、代数拓扑结合，产生了许多新的富于魅力的数学分支，其中最引人注目 的是它与泛函分析结合的产物一b a n a c h 空间的局部理论，这被认为是现代国际数 学研究的主流方向之一j b o u r g a i n 运用几何分析的局部研究理论，彻底解决了凸 体几何的一些经典难题，并因此获得了1 9 9 4 年的f i e l d s 奖1 9 9 9 年国际数学家大 会报告者m i l m a n 运用凸体渐近理论研究凸体之间的逼近问题，成绩斐然 国内，2 0 世纪5 0 年代，著名数学家吴文俊运用拓扑方法圆满解决了复合形在 欧氏空间嵌入的这一凸体几何的难题，成果举世瞩目2 0 世纪8 0 年代，杨路教授、 张景中院士借用距离几何方法和计算机辅助证明，在凸体几何的高维几何不等式与 几何极值、初等图形的嵌入等方面作了许多开创性的工作( 见 5 0 ，【5 1 】) ，获得了国际 数学界的广泛好评9 0 年代，冷岗松教授取得了一系列有意义的结果( 见 2 2 ，【2 4 】i ) ， 其中彻底解决了单纯形内的最大超下行体的体积估计问题，被著名数学家v k l e e 教 授评价为是对“这一领域的实质性的贡献” 经典凸性的核心在于包括m i n k o w s k i 混合体积理论的b r u n n m i n k o w s k i 理论成 为理想的研究体系b r u n n m i n k o w s k i 理论起源于1 8 8 7 年h b r u n n 的论文和h m i n k o w s k i 开创性工作的实质部分，1 9 3 4 年b o n n e s e n 和f e n c h e l 的著名论著收集 了当时已出版的主要结果它作为一个经典的数学分支，通常被称为凸几何，主要 是由s t e i n e r ，b r u n n ，m i n k o w s k i ，a l e x s a n d r o v ，h a d w i g e rf 1 2 ，p e t t y 3 2 ， 3 6 】，f 3 4 】， 3 5 】和 s c h n e i d e r 4 2 ， 4 3 】等著名数学家逐渐发展起来的一个学科它的主要内容是：等周问 题 3 8 】混合体积理论，表面积测度【2 6 ，投影体理论和均质积分【1 5 】最核心的定理 1 2 j o h n 基等价条件推广及几个特殊凸体的性质 是b r u n n m i n k o w s k i 不等式：设a 和b 是础中的紧集，则 y ( ( 1 一a ) a + a b ) 嘉( 1 一a ) y ( a ) 吉+ a y ( b ) 吉，叭f 0 ，1 】 由于它基本的几何内涵，它被认为是b r u n n m i n k o w s k i 理论的基石，最经典的参考 书是r s c h n e i d e r 的专著4 2 b r u n n m i n k o w s k i 理论巧妙地把欧氏空间中的向量加 ( 通常称为m i n k o w s k i 加) 和体积联系起来，使得它渗透到各个数学领域，它是处理 各类涉及体积、表面积、宽度等度量关系难题的有力工具 经典理论的第一位代表人物是h e r m a n nm i n k o w s k i ( 1 8 4 6 - 1 9 0 9 ) ? 出生于立陶宛 ( l i t h u a n i a ) ，后来在哥尼斯堡( k o n i s b e r g ) 接受教育，他的主要贡献是在b r u n n 的基 础上，证明了b r u n n - m i n k o w s k i 不等式和被称为m i n k o w s k i 存在定理的凸体构造性 定理 经典理论的第二位代表人物是俄罗斯数学家a l e k s a n d e rd a n i l o v i c ha l e k s a n d r o v ， 他对经典理论的主要贡献是建立了a l e k s a n d r o v f e n c h e l 不等式和找到了一种研究椭 圆型偏微分方程新的几何方法”此外还有w f e n c h e l ，b j e s s e n ，h l w y , 等等 随着对b a n a c h 空间( 尤其是它的几何理论) 研究的深入，上世纪末形成了一个 被称为”b a n a c h 空间局部理论”的分支它是凸几何与泛函分析结合的最引入注目 的产物，通常也称为巴拿赫空间几何学，这一理论已成为现代国际数学研究的一个 活跃领域或主流方向此理论源于2 0 世纪a d o l fh u r w i t z 的工作，h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于甲面区域等周不等式的f o u r i e r 级数的证法，并在后继的论文中运用 球面调和分析对孓维空间的凸体证明了类似的不等式，随后，h m i n k o w s k i 用球 面调和分析的方法证明了3 - 维常宽凸体的有趣特征，由此开辟了运用球面调和分 析研究几何的方法，此方法具有很强的生命力，j e a nb o u r g a i n 和v i t a l im i l m a n 是 该方向的代表人物，他们开创了凸体渐近理论的研究，在凸体逼近研究中获得了大 量深刻的结果【3 0 ，【3 1 ，他们合作的一篇关于凸体的逆b l a s c h k e - s a n t a l o 不等式的著 名论文【1 0 l 是b o u r g a i n 接受f i e l d s 奖引用的第一论文p i s i e r ，l i n d e n s t r a u s s 等在该 领域也作出了创造性的贡献它区别于经典的泛函分析理论，主要研究： ( a ) n 维赋范空间的几何量当n 趋于无穷时的情形 ( b ) 无穷维赋范空问与它的有限维子空间的关系 b o u r g a i n 问题是b a n a c h 空间局部理论中最主要的公开问题，研究凸体迷向常数 上界的b o u r g a i n 问题一方面是当前国际几何泛函分析领域的热点问题之一，近年来 许多数学家作了大量的工作；另一方面它作为“几何断层学”( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 的研究对象之一，在体视学( s t e r e o l o g y ) j 机器人学中的几何探索( g e o m e t r i cp r o b i n g 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 3 i nr o b o t i c s ) ，访晶学( c r y s t a l l o g r a p h y ) 和信息论等领域有着广泛的应用此外，它也 是力学迷向超弹性体( 如航空、航天器件) 结构、性能稳定性研究的数学基础 本篇论文的研究对象是凸体内包含的最大体积椭球，它是凸几何研究的一个重 要课题，具有很强的应用背景【4 】， 6 】n 9 1 1 2 研究课题和主要工作 本硕士论文共分四章，以j o h n 基和双j o h n 基为主要研究内容，下面对各章内 容作一简要介绍 第一章介绍本学科领域的发展概况和本文的主要工作 第二章主要工作是给出j o h n 定理及证明及j o h n 基的等价条件的简单证明， 定理1 2 1 1 6 】每一个凸体都包含着唯一一个体积最大的椭球，这个椭球是 叨当且仅当下面的条件成立：叨ck ，且在的边界上存在m 个单位向量 i $ 1 ，u 2 ，u r n 和m 个正数c l ，c 2 ，( 其中m 是某个正整数) 满足 m c i u i = 0 ， t = l ( 1 2 1 ) c i ( u i ，z ) 2 = 2 ( 1 2 2 ) i = i 通常称罂1c i ( u i ，z ) 2 = 捌1 2 ，对于任意的z 成立的【讹) 为j o h n 基 定理1 2 2 【1 8 】设r n 为7 , 维空间，u i 是r n 中单位列向量，龟是正实数， = 1 ，2 ，m ，厶是n 阶单位矩阵下面三个等式等价： ( i ) 翟1c ( z ，u d 2 = 恻1 2 ，对于任意z r n 成立； ( i i ) 罂l q ( z ，u i ) u i = z ，对于任意的z r n 成立； ( 谢) 銎lc i u iou t = 厶 第三章的主要工作是定义双j o h n 基，并将j o h n 基的等价条件限制性的推广到 双j o h n 基 定理1 2 3 1 3 设c 1 和q 是r n 中两个紧凸集，并且c 1 的凸包有非空内点，0 c o n v ( c 2 ) ，如果c o n y ( c 1 ) 是位于q + 中，并且体积最大，则存在( c 1 ，q ) 的仇 r $ 2 + n 个接触对( x i ，y i ) l 0 ，j a a f f ( n ) ，jz 舻，l a k t l + z ) ( 2 1 2 ) 这个定义还可以写为 d ( k ，l ) = i n f a b ，a ，b 0 ，k b l ? a g ( 2 1 3 ) 一个经典的椭球氏是包含在k 中且具有最大体积的椭球l 6 w n e r 第一个考 虑了这种椭球，并证明了此椭球由k 唯一地确定 j o h n 在文【5 】中证明对每个 中心对称凸体k 都有kc 溉 一 6 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 7 即 d s m ( x ：毋) 而，d i m x = r e ( 2 1 4 ) j o h n 的结果是最强的，若凸体k 为非对称的，对每一个n ，都有d b m ( k ，霹) n 2 2j o h n 定理的证明 j o h n 定理有着重要的应用 2 】- m 【6 】，f 8 】i 【1 l 】下面我们介绍f 6 】中j o h n 定理及证 明 定理2 2 1 【6 1 每一个凸体k 都包含着唯一一个体积最大的椭球，这个椭球是 叨当且仅当下面的条件成立：毋ck ，且在k 的边界上存在m 个单位向量 u l ，u 2 ，和m 个正数c 1 ，c 2 ，( 其中m 是某个正整数) 满足 m c i u i = 0 ， i = l ( 2 2 1 ) m c i ( u i ，z ) 2 _ 1 1 2 1 1 2 ( 2 2 2 2 ) t = 1 证明我们只考虑对称凸体的情况，非对称的凸体情况类似证明分两部分 先证明容易的部分：由满足( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 的j o h n 基存在推出且譬是位于k 内 唯一的体积最大的椭球 假设单位向向量( 讹) 位于k 的边界上，正实数g 满足 c i u i 。u 严厶 设椭球 = z ：i = 1 绁o r ) 2 1 】l ck ， ( 2 2 3 ) 对于r 竹中的某一个正交基( 勺) 和正实数叼，我们想证明 1 ( 2 2 4 ) 等号成立当且仅当对于所有的j ，q = 1 都成立 因为ck ，则对于任意的i ，都不会被超平面 z ：( z ，u i ) = 1 ) 切割，因此单 位向量( u i ) + ，则对于每一个i 1 ，2 ，m 有 碍( 札t ，白) 2 1 ， ( 2 2 5 ) 8j o h n 基等价条件推广及几个特殊凸体的性质 因此 ( 2 2 6 ) 再注意到 c i u i ，e j ) = l e j l 21 ： ( 2 2 7 ) ( 2 2 6 ) 可以写为各1 2 1 由算数几何不等式得( 2 2 7 ) ? 且当a l = q 2 = = o t n = 1 等号成立，这时对应的椭球是田 下面证明如果田是k 的最大内含椭球，则存在k 和霹的若干个接触点( ) 满足 扣去妻郫 若上式成立，则 r 皇：1 因此，只需证明矩阵击厶能够表示成有限个形如乱固札的矩阵的凸组合， ( 其中u 是接触点) 因为矩阵空间是有限维向量空间，则问题转化为击厶属于所有秩1 的 矩阵凸包 即证明 二厶c d 删【札圆乱：谩k 和b 2 的接触点) = n 一 反证法，若击厶不属于u ，则对单位球作一个小小的扰动，构造出一个新的包 含于k 的新椭球，但是它的体积比单位球的大从而导出矛盾 因为去厶不属于矿，根据凸集的分离定理知存在矩阵空间上的一个线性函数西 使得 咖( 詈) 0 ，k 的边界点都属于岛即可下面分两种情况证 明 ( 1 ) 若l 是接触点，则由乱丁h u 0 可得 t r ( 厶+ 6 日) t = 1 + 6 u t h u 1 所以u 不属于岛 ( 2 ) 若u 是o k 上的非接触点，则川 1 因为o k 是紧的，且函数z x t h x 是连续的便知x t h x 在a 上取得最小值，记为m ，则对于充分小的6 有 u 丁( 厶+ 6 日) t i v l 2 + 6 m 1 ， 所以u 不属于磊 对使得o k 上所有的点都不属于磊的充分小的6 0 都有磊ck 这时将岛稍 微扩张一点，记为岛+ 。ck 下面证明对上面的椭球岛的体积大于等于y ( b ) 事实上，设正定矩阵i n + 6 h 的特征值为入l ，入2 ，入n ，则由t r ( h ) = 0 可得 n 九= t r ( i n + 5 h ) = n 这与霹最大矛盾 y ( 岛+ 。) y ( 磊) y ( b 孑) 2 3j o h n 基三个等价条件的证明 通常称满足銎1c a ( u i ，z ) 2 = i i x l l 2 ，对于任意的z 成立的t t ) 为j o h n 基j o h n 基有下面三个等价条件 定理2 3 1 【1 8 】设r 扎为n 维空间，u t 是r n 中单位列向量，白是正实数， i = 1 ，2 ：，m ，厶是n 阶单位矩阵下面三个等式等价： ( i ) e 翟lc i ( x ，u t ) 2 = l i x l l 2 j 对于任意z r n 成立； ( i i ) 銎lc i ( x ，仳t ) t t = z ，对于任意的z r ”成立； ( 饿) 翟1c i l t i m = 厶 柯睿在f 1 8 】给出证明，下面我们从另个角度给出证明证明之前我们先介绍几 个引理 引理2 3 2a 是n n 的矩阵，z 是r n 中的列向量，若a x = 0 对于任意的 都成立，则a = 0 证明设a 2 【三 取：z i = ( 1 ，0 ，o ) ，z ：= ( 0 ，1 ，j o ) ，z ：= ( o ，0 ，1 ) ， 分别将上述n 个向量代入a x = 0 ， 则 ( 三：) = ( 进一步得出a = 0 ) ，( 三三) = ( f a l n l la 2 “ l j | a 霄力 ( 2 3 1 ) 、l-、 n n n 彻 彻； 阶 2 2 2 “ 簖； 阶 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 引理2 3 3a 是n n 的对称矩阵，z 是r 九中的列向量，( a x ，z ) = 0 对于任 意的x 都成立，则a = 0 证明 设a = ( 口玎) ，z 7 = ( z 1 ，x 2 ，x n ) ， 可以转化为 ( a x ：z ) = 0 n a i j x i y j = 0 ， i , j = l 取z ：= ( 1 ，0 ，o ) ，z ：= ( 0 ，l ，o ) ，z ：= ( o ，0 ，1 ) ， 可以得出a i i = 0 ，( i = 1 ，2 ，n ) ； 再令z 7 = ( z 1 ，z 2 ，n ) 的第i 与第j 个分量等于1 ( i 歹) ，其余分量为0 ， 代入( a x ，z ) = 0 ，得 a o = 0 ，( i j ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 结合上两式得出a = 0 引理2 3 4u ，u ，埘表示舻中的列向量，则( t ov ) w = ( 口，钳) u 证明 设t 7 = ( u l ，u 2 ，u n ) ，v 7 = ( u 1 ，v 2 ，u n ) ，加7 = ( w l ，”2 ，w 。) 是彤 中的列向量，则 ，w ) u = ( v l w l + u 2 叫2 + + 叫n ) 加l + u 1 0 2 w 2 w l + u 2 v 2 w 2 w l4 - u n u 2 t u 2 + + + + + + f u l l ii l 二：j 。2 3 5 ， u l v t l 伽n 1 l u 2 v n w n i i u n ? j n w n 1 1 1 ” 口 ” m 们 咖 ，j-。_-。_11。一 = 1 2 j o h n 基等价条件推广及几个特殊凸体的性质 c乱。u，加=(兰)c，忱，un，(兰=i u l v li z l v 2 - i z l v n wl 所以( u v ) w = ( 口，埘) 仳 定理2 3 1 的证明：先( i i ) 推导( i i i ) ： 由引理2 3 4 知( i i ) 式可以改写为 m 丌t q ( z ，t 加严c t ( u t 。u i ) x = z ， t = 1 = 1 设墨1c i ( u iou i ) = a ， 则( 2 3 7 ) 可以转化为 即 由引理2 3 2 ，可以得出 ( 饿)推导( i i ) ： ( 饿) 两端同时乘以z 得， a z = z ( a 一厶) z = 0 ， a = 厶 m e i ( u i 。饥) z = z ， i = 1 利用引理2 3 4 上式左端可以化为 mm c i ( u il t i ) x = q ( z ，i t i ) l t i ， t = 1i = 1 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) n n k 撕 嘶 h 胁 - 二 甜 n u u 耽 忱； 忱 圪 圪 也 叭 们 咖 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 3 由( 2 3 9 ) ，( 2 3 1 0 ) 知( i i ) 成立 ( i i ) 推导( i ) ； 因为銎1c i ( x ，l t i ) l t i = x ，对于任意的x r n 成立 所以 i l z l l 2 = ( 啪) = ( z ，c i ( x ju i ) u i ) = a ( 础 ) 2 ， t = 1i = 1 ( i ) 推导( i i i ) ：因为 则上式左端可以变形为 即 m c f ( z ，u i ) 2 = 2 ， i = l 令a = e 竺lc i ( u i 圆饥) ，由( 2 3 1 1 ) ：( 2 3 1 2 ) 得 由引理2 3 3 知 ( a x ，z ) = ( z ，z ) ， ( ( a 一厶) z ，z ) = 0 a = 厶 说明本文相关内容已发表在上海大学学报( 自然科学版) ( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) zuou 龟 m 汹 z l | uu石 a m z l i uzuz 以 m 汹 第三章j o h n 定理的推广形式 3 1j o h n 定理推广的证明 袅憾m 堕：l 老袅岳l a x l ： l 磊袅矢 m 蝴= 0 ， i - - 1 1 4 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 )桃 园z 色 m 汹 | f k 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 5 说明：( 1 ) 由于x i ，y i ) = 1 对所有的1 t m 成立，所有上面定理中的 c l ，c 2 ：仍满足 m c i2n ( 2 ) 在假定a 是连通的条件下，b a s t e r o - r o m a n c e 在 8 】中证明了上述定理的 结论 引理3 1 2 商，则 若t 是n n 的矩阵，。，y 表示r n 列向量，v 丁表示对丁的微 ( v t ( t x ，) ，v 。( n ，可) ) = ( z y ，可) = c i l l 2 1 协 = t l l x l y l + t 1 2 x 2 y 1 + + t l n z n y l + t 2 1 x l y 2 + t 2 2 x 2 y 2 + + t 2 竹z n y 2 + + t n l x l y n + t , n 2 x 2 y n + + t n n z r i 沮 、liillllil 班 抛 虮 ，-iii-i一 = 耖 、l 现 沈； ，。-。-一 l i z 、l n n n 幼 纫； 跏 2 2 2 纪 锄； “ 组 组； 钿 ，j。一 = r 没明证 则 、l 讥 s ：； 鼽 ，j。 、lliiliili， n n 饥 而 而 z m m n 勘 川 t v t + + + + + + 观 现 现 ： 毖 砣 + + + z z z 乱 勿 伽 ，j-。-。-t-_。-i-一 = 1 6 j o h n 基等价条件推广及几个特殊凸体的性质 根据矩阵微商的定义得到 又因为 则 因此 f f x l y l x 2 y l l v t ( 死：iz ? 2z ? i ： ： f x l y 刀x 2 y n =(三cz-，z。，：zn， = 扛圆可) 一 ( boy ) = a l y l + a 2 y 2 + + a n y n ， v 。( 口o y ) = ( y l ，北，y n ) = y ， ( v t ( t x ，耖) ，v 口( o ，y ) ) = ( z 圆y ，y ) 引理3 1 3 1 1 7 1 设f ：冗一r 是一个c 1 的函数，s 是一个紧的度量空间， g ：r n s r 是连续的，假设对每一个s s ：v ：c ( z ：s ) 存在且在r 一r 上连 续，设a = z r i c ( z ，s ) 0 对所有的s s 成立) 且满足 f ( z o ) 2 赌f ( z ) ， 下面两种情况( t ) 和( i i ) 必有一种成立 ( ) v ：f ( 匈) = 0 ( 西) 对某个m ( 1sm ) ，存在5 l ，8 2 ，s m s 和非负实数a 1 ，a 2 ，h ，使 得g ( z o ，8 i ) = 0 ，且 m v ；f ( z o ) = 九v ：g ( 邵t ) i = l 说明：v ：c ( z ，s ) 的意义表示g ( z ，s ) 关于z 的导数，即v ：g ( z ，s ) = ( 筹，籍，筹) ， 其中名= ( z l ，z 2 ，z n ) 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 7 为 定理3 1 1 的证明设= 亿2 + n ，r = r n 2xr “，设函数f ：r g r ，其定义 f ( t ：a ) = - d e t t 其中n r n ，t r n 2 ( 丁看作是r n r 的一个线性映射) ，明显的f 是c 1 的 现在定义s = c l 岛，则s 是紧的定义函数g ：r s r ： g ( ( t ，n ) ( z ：) ) = 1 一( o + t x ：可) 并令a = z r i g ( z ，s ) 0 对所有的s s 成立 注意到( t ，a ) a 当且仅当 a + t c lcq ，这也等价于当且仅当a + t ( c o n v ( c 1 ) ) c 四如果c o n y ( c 1 ) 处于q 内 的最大体积位置，则f 在a 上的最小值在( 厶，0 ) 处取得 对于非退化的丁，易见 v ( t ，。) f = ( - ( d e t t ) ( t 一1 ) + ，o ) v ( t ，口) g ( ( t ，a ) ( z ，可) ) = ( 一v t ( t x ，耖) ，- v 。( 口：耖) ) = - ( xpy ，v ) 这样，因为f 在a 上的最小值在z o = ( 厶，0 ) 处取得，由引理可3 1 3 知对于某个 m n ，存在入t 0 ，8 i s ，8 i = ( x i ，y i ) j ( 1 i m ) ) 使得 和 且 ( 鼠，玑) = 1 一g ( ( 厶：o ) ( z i ，玑) ) = 1 竹l m v ( z n ) f ( 厶，o ) = ( 厶，o ) = 九v ( r 口j g ( ( 厶，o ) ( 以，矾) ) = a i ( z fp 鼽，矾) ( 3 1 3 ) i = l t = 1 因为( 兢，犰) = 1 ，x i c 1c 叼，玑qcq ，我们得到黾o q ，玑a q 因此，由( 3 1 3 ) 得到 m a f 肌= o i = 1 只要选取非零的, k i 为c t ( 注意到此时在( 3 1 3 ) 两边取迹易得n = 罂。九) ，我们便 得到要证定理中的( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 玑 0 z 沁 m 汹 i l k 1 8 j o h n 基等价条件推广及几个特殊凸体的性质 3 2j o h n 基推广的等价证明 现在我们称满足厶= 罂1c i x i y i 的接触对 ( 秭，玑) ) 为双j o h n 基，本节的主 要结果就是给出双j o h n 基也有类似于定理2 3 1 的等价条件 定理3 2 1 设a 和q 是r n 中两个紧凸集，并且a 的凸包有非空内点， o c o n y ( c ：) ，( x i ，玑) 1 t 。是( c 1 ，q ) 的m 个接触对，则下面三个等式等价： ( i ) 若罂lc i x ipy i 为对称矩阵，括mlc i ( x ，z i ) ( z ，y i ) = l i x l l 2 ，对于任意x r n 成立 ( i i ) 銎1c i ( z ，z i ) y i = z ，对于任意的z r n 成立； ( 洌) 銎1c i x io y i = 厶 证明 先( i i ) 推导( i i i ) ： 由引理2 3 4 知( i i ) 式可以改写为 ( 3 2 1 ) 设墨lc i ( x i 圆y i ) = a ， 则( 3 2 1 ) 可以转化为 a x = z 即 似一厶) z = 0 ， 由引理2 3 2 ，可以得出 a = 厶 ( 谢) 推导( f z ) ： ( 谢) 两端同时乘以z 得， m c i ( x i 。y i ) z = z ， ( 3 2 2 2 ) 利用引理2 3 4 上式左端可以化为 由( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 知( i i ) 成立 ( i i ) 推导( 1 ) ： ( 3 2 3 ) z = z 玑 圆 z 龟 m 汹 = 班 zz q m 玑 zo q m 汹 f | z 玑 圆 z 龟 m 汹 2 0 1 0 上海大学硕士学位论文 1 9 所以 因为警1c i x ，z i ) y i = z ，对于任意的x r n 成立 ( t ) 推导( i i i ) ：因为 则上式左端可以变形为 即 m q ( 邶t ) ( z ，犰) = 2 ， i = l ( 3 2 4 ) mm m 色( z ，反) ( z ，犰) = ( z ，c i ( x ，兢) 犰) = ( z ，q ( z i 。犰) z ) ( 3 2 5 ) i = 1 = lt = l 令a = 銎1c 4 ( x i 圆犰) ，由( 3 2 4 ) ，( 3 2 5 ) 得 ( a x ，z ) = ( z ，z ) ， 由引理2 3 3 知 ( 一厶) z ，z ) = 0 a = 厶 说明本文内容已发表在上海大学学报自然科学版 虮 zzz 岛 m 烈 i | 可 z 圣 白 m 斟 z = zz 一一 2 z 设k 和l 是r n 中的两个凸体，定义他们的b a n a c h m a z u r 距离( 简称b m 距 离) d b m ( k ，l ) = m i n t 0 ，3 a a l l ( n ) ，jz r n ：l a k 冬t l + z ) 这个定义还可以写为 d b m ( k ? l ) = i n f a b ，a ，b 0 ，kcb l ：l a k d b m ( k ? l ) = i n f x i l u k a k ：札g l 。) 从 j o h n 在文【6 】中证明对每一个中心对称凸体k 都有kc 、佤氏即 d b m ( k ，聊) 而，d i m k = 佗( 4 1 1 ) j o h n 的结果是最强的，若凸体k 为非对称的，对每一个n j 都有d b m ( k ，b 2 ) 孔 特别的，凸体k 为单形时，d b m ( k ，毋) n 单形的研究一直是几何界研究的重点， 2 0 】：【2 2 】，【2 3 】【2 5 】，【2 7 1 ，【4 4 ，【4 5 】，【4 6 ，【4 7 】， 5 1 】， 5 2 】【5 s ，【5 4 5 】，对单形的性质有着不同方面的研究下面我们研究几个特殊凸 体的性质 定理4 1 1 3 3 】如果k 是r n 中的一个凸体，则d b m ( k ，b y ) = 佗当且仅当