（机械电子工程专业论文）极坐标数控加工插补方法及cam系统研究.pdf

堡主堂垡堡茎 ! 、遵攀瓣 摘要 极坐标数控机床具有机械结构简单、加工效率高和精度高等优点，广泛应用 于加工环形工件。由于在数控编程中的插补算法不同于直角坐标机床，导致目前 主流的基于直角坐标机床而开发数控加工程序辅助编程c a m 软件都不能很好的 适用于极坐标机床。在对极坐标数控加工插补方法研究的基础上，设计开发了极 坐标数控编程c a m 系统。该系统可以实现极坐标系下数控加工的计算机辅助编 程。主要内容如下： 1 介绍了极坐标机床数控加工的原理与方法，比较其与直角坐标机床结构 和加工方式上的差异，在此基础上确定极坐标机床的应用范围以及加工对象。 2 提出了一种基于极坐标系下采用等间距法以微小阿基米德螺线段插补曲 线的方法。首先给出曲线的参数方程；然后采用等间距法将插补区间分为n 段， 对任意一段曲线作一条阿基米德螺线，以该曲线逼近加工曲线，由此获得节点坐 标值( 半径和角度值) 。完成了在极坐标系下椭圆、渐开线等曲线的插补计算， 推导出节点计算公式，并进行了误差分析。最后，综合极坐标有理b e z i e r 曲线和 b 样条曲线构造、性质以及基函数等知识，给出一个便于计算的拟d eb o o r 算法 以及节点插入算法，拓展了极坐标在自由曲线曲面中的应用范围。 3 采用v c + + 、u g o p e nu i s t ) ，l e 与u g 0 i p e na p i 等工具完成极坐标数控 编程c a m 系统的开发研究。使用u o ，o p e nu i s 够l e 与u g o p e na p i 工具，开 发用户菜单和界面；并使用v c + + 软件编写目标源程序，生成动态链接库d l l 文件供u g 调用运行。由此构建完整的极坐标自动编程c a m 系统框架。通过开 发的用户交互操作界面实现曲线参数和切削参数的输入，运行用户应用程序可以 获得刀位轨迹文件，实现了数控加工的前置处理；在u g p o s tb u i l d e r 中设置后 置处理参数，对刀轨文件进行后置处理，转换成机床可识别的n c 代码程序。 4 采用三r i c u t 软件提供的虚拟仿真加工技术实现了极坐标机床的运动 仿真和加工过程中刀具的运动仿真，并对后置处理后生成的椭圆和渐开线加工程 序进行了实例验证。 关键词：极坐标数控加工插补方法c a m 系统加工仿真 a b s t r a c t a b s t r a c t p o l a r - c o o r d i l l a t en cm a c h i l l et o o lh 弱a d v a i l t a g e so fs i l l l p l em e c h 觚i c a ls t n l c 嘶， e m c i e n tm a c h i n i n ga n dh i g l lp r e c i s i o n i ti su s e dw i d e l yi nm a c h i l l i i l gm er i i 冯o f w o 却i e c e s 1 1 1 e r ea r ed i f f e r e n c e s i n i i l t e 印o l a t i o n m e t h o d sb e 觚e e nt h e c a n e s i a l l c 0 0 r d i n a t es y s t e ma i l dt h ep o l 小c o o r d i n a t es y s t e m a sar e s u l tt h ec u 玎e m 帅i c a l c a ms o r w a r eb a s e d0 nc a n e s i 观一c 0 0 r d i l l a t e c a l l t 印p l y t om e p o l a r - c o o r d i n a t em a c h i n ew e l l b a s e do nt h er e s e a c ho nt h em t e 印o l a t i o nm e t l l o d0 f p o l a r - c o o r d i i l a t en cm a c h i n i n g ，t h ep 0 1 a r - c 0 0 r d i i l a t ec a ms y s t e mi sd e s i 印e da i l d d e v e l o p e d t h es y s t e mc 趾g e n e r a t ec n cp r o g r a mb yc o m p u t e r a i d e dp r o 莎a m m i i l g t h em a i nr e s e a r c hc o n t e n t sw e r ea sf o l l o w s ： 1 b r i e n y i i l n 0 d u c e st h ep 血c i p l ea n d m e t h o d so fp o l a r - c o o r d i l l a t en c m a c h i n i n g ，c o m p a r e dm ed i f f e r e n c e si 1 1s t m c t l l r e sm dm a c h i n i n g m e m o d sb e t w e e nm e c a r t e s i 趾c 0 0 r d i i l a t e sm a c h i i l et o o l 锄dt h ep o l a r - c 0 0 r d i n a t em a c h i l l et 0 0 1 b a s eo n 廿l i sa b o v e ，也i ss y s t e me n s u r e s 印p l i c a t i o nr a i l g ea l l dt a r g e t sf 1 0 rp o l 瓣c 0 0 r d i l l a t e m a c h i n et 0 0 1 2 am e t h o do f a r c h i i i l e d e s s p h la p p r o x h a t i o na l g o r i t h mi sp u tf o n a r di nm e p a p e r f i r s to fa l l ，m ec u n ，ep 嬲l i l l e t e r se q u a t i o n i sg i v e n ；t h e n ，e q u i d i s t 锄c e 印p r o a c h m e m o di sa p p l i e dt od i v i d e 缸e n ，a l s a m ys e c t i o no fc u r v ei s 印p r o a c h e dt 0 觚 舡c h i m e d e s s p i r a lt og e tt h en o d ec o o r d i n a t e s ( r a d i u s v a l u ea 1 1 d a i l g l ev a l u e ) f m i s h i n gm ei 1 1 t e 叩o l a t i o n c a l c u l a t i o n sb a s e do ne l l i p s e ，_ i n v o l u t ee t c c a l c u l a t i o n f o 肌u l ai sd e d u c e d f i n a l l yc u r v e sw e r ep r o v i d e da c c o m p a l l i e db ye r r o ra n a l y s i s 1 1 1 e c o l l i g a t i n gl 【n o w l e 姑eo f 也ep o l a rr a t i o n a lb e z i e rc u e s ，b 。s p l i i l ec u r y es t 九l c t l l r e ， c h 撇c t e ra i l db a s em n c t i o ne t c a r eu s e df o rg e t t i i l gac o n v e n i e n tc a l c u l a t i o nd e b o o r a l g o r i 皿觚dn o d e 缸e 叩o l a t i o na l g 硎t l l i i l ，w h i c he x p a l l d e st h ea p p l i c a t i o n s f o r 疔e e - f 0 肌c u ea n ds u r f a c ei np o l a r - c o o r d i n a t es y s t e m 3 1 1 1 et 0 0 l ss u c h 鼬v c + + ，u g o p e nu i s t y l ea i l du g o p e na p lw h i c ha r e s e c o n d a 巧d e v e l o p m e n tt 0 0 l sa r eu s e df o rt h ed e v e l o p m e n to fp o l a r - c o o r d i n a tc a m s y s t e m 胁em e n u 锄d u s e r s 硫e 渤c ea r eb u i nb yt h eu s eo fu g o p e nu i s 够l e 眦d i i 硕士学位论文 u g o p e na p i t o o l s ；1 1 1 es o u r c ec o d e sa r ec o m p i l e db yv c 抖，w h i c hc 锄g e n e r a t e d y n 锄i cl i i l l ( 1 i b r a 巧u s e df o ru g ，n l e r e o u tt l l ew h o l e 的m e w o r ko fp o l a r c o o r d i i l a t e a 毗o m a t i cp r o 伊锄m i l l gc a ms y s t e mi sc o n s t r i l c t e d c u n ，ep a r 锄曲e r sa 1 1 d c u 仕i n g p 娥吼e t e r sc a nb ei l l l p o r t e dt h ：r o u 曲t l l ed e v e l o p e du s e r s 砬e r a c t i o ni n t e m c e a f t e r r u i l l l i n gu s e r sa p p l i c a t i o n ，t 0 0 lp a mf i l e s a r ep u 印o s e d ；t h e p o s t p r o c e s s o rf o r p o i a r c o o r d i n a t en cm a c h i i l et 0 0 1i s c u s t o m t a i l o r e di nt h eu g p o s tb u i l d e rt o a c c o m p l i s ht l l e 仃a n s f 0 肌a t i o n 舶mt o o lp a t hf i l et ot 1 1 ec n cp r o 伊锄f o l l o w i l l gm e p o l a r - c 0 0 r d i l l a t em o d e 4 v e r i c u ts o 脚a r ei si 1 1 们d u c e dt 0r e a l i z e 廿1 em o t i o ns i m u l a t i o na 1 1 d m a c h i n i n gs i i i l u l a t i o ni np 0 1 a r - c o o r d i i l a t em a c h i n e ，a n dv 嘶矽t h ee 1 1 i p s e sa n d i n v o l u t e sc n cp r o 铲锄g e n e r a t e d b yt 1 1 ep u 叩o s e dp o l a r - c o o r d i l l a t ec a ms y s t e m k e y w o r d s ：p o l 孙c o o r d i n a t e ；n cm a c h i l l i n g ；i n t e 叩o l a t i o nm e t h o d ；c a m s y s t e m ；m a c h i l l i l l gs i i i l u l a t i o n i 硕士学位论文 1 1课题的目的和意义 第一章绪论 现代先进制造技术对数控机床的要求除了向高速、高精度、高可靠性发展以 提高加工效率，缩短加工时间外，从工艺生产水平及科研生产能力的需求看，大 规模的技术改造使机床结构模块化，数控功能专门化，机床性能价格比提高并加 快优化也是数控技术发展的另一条道路。针对大型通用零件和高精度的特殊零件 开发适合特殊加工工序、个性化的工艺性专门化数控机床尤其迫切实用。近年来， 新型的经济型专用类零件加工数控机床正在不断涌现。 极坐标机床的出现，从加工方法上突破了目前空间曲面加工直线三坐标联动 铣镗钻驱动方式，以回转运动加上x 、z 两个方向直线进给的极坐标插补联动， 实现大型回转复杂曲面的数字化加工的创新。增加了一圆周进给运动坐标轴，在 极坐标机床上加工某些适合极坐标方式下的曲线如：阿基米德螺线、渐开线，螺 旋线等易于获得曲线方程，控制简单，精度高；加工圆心与回转轴同心的圆，理 论上就比直角坐标机床有更高的加工精度；加工二次曲线，如椭圆、抛物线、双 曲线、凸轮等具有工件定位方便，加工精度优于直角坐标数控机床等特点。 由于极坐标机床和直角坐标机床在坐标轴和进给方式上的差异，极坐标机床 在数控编程中的刀位轨迹算法和控制系统中的插补算法却都不同于前者，导致目 前主流的基于直角坐标机床而开发数控加工程序辅助编程c a m 软件都不能很好 的适用于极坐标机床。这使得目前极坐标机床在实际应用中仅仅限于简单的点位 加工，还多为手工编程，没有真正发挥出优势。本课题就是基于这样的背景产生 的，课题目标旨在对极坐标下数控加工的插补方法进行研究，设计开发极坐标自 动编程c a m 系统，实现加工程序计算机辅助编程，并进行仿真加工验证加工程 序的正确性。 基于直角坐标机床工作的c a m 软件之所以不能很好的适用于极坐标机床的 自动编程主要是由于极坐标机床与直角坐标机床有不同的运动坐标系和迸给方 式，由此导致的数控编程c a m 软件的工作原理的差异。 1 ) 极坐标机床与直角坐标机床结构差异导致运动坐标系和进给方式的差异 第一章绪论 直角坐标机床的采用直角笛卡儿坐标系下三坐标x 、y 、z 直线进给运动方 式，三伺服轴联动下位移是各轴最小位移量的矢量和，即空间一微小直线段。 极坐标机床的运动坐标系由笛卡儿坐标系下两直线进给运动坐标轴( x 轴、 z 轴) 和一圆周进给运动坐标轴( c 向) 组成，三伺服轴联动下位移是空间一段 微小非圆圆弧，可以证明是空间一段微小阿基米德螺线。 2 ) 运动坐标系和进给方式的差异导致相应c a m 软件工作原理的差异 基于直角坐标机床的c a m 软件的工作原理的核心是：在数控编程阶段，用 微小直线段逼近曲线；在数控系统内部，能保证插补误差的控制对象也是直线段； 这与直角坐标机床的伺服轴在联动方式下的迸给位移是一致的( 用圆弧段逼近、 插补、加工其实质也是直线段) 。在直角坐标机床上，对于任何曲线的加工实质 上都是将宏观的曲线转换成控制在误差范围内的微观的直线段加工，而数控编程 c a m 软件与数控系统所完成的工作只是曲线的微观化，c a m 软件微观至加工精 度级，数控系统微观至脉冲当量级。 借鉴直角坐标机床数控编程c a m 软件的原理，极坐标机床的数控编程的核 心也就在于在刀位轨迹计算阶段：在允许的逼近误差内，以极坐标机床在伺服轴 联动方式下的微小位移段，即微小阿基米德螺线段来逼近加工路线，记录节点坐 标值，配以数控系统采用极坐标插补方式，在极坐标数控机床上完成零件轮廓的 复现。 1 2 国内外研究现状 在极坐标系下对曲线曲面进行插补分析是实现极坐标加工系统的基础。目 前，国内外对在极坐标机床加工下的插补方法进行了一些研究：文献【1 】【2 分析 探讨了极坐标下逐点比较法的直线插补和圆弧插补方法，适合低精度的步进驱动 系统使用。文献 3 】提出了在直角坐标系数控控制系统中阿基米德螺线实现渐开 线软件插补的算法，对本课题很有借鉴价值；文献【4 】就极坐标条件下的渐开线 插补进行了具体分析。通过实例详细描述了这种方法插补渐开线的优势：文献 5 】、【6 】分别介绍了极坐标法数控加工凸轮的研究；文献【7 】提出了基于极坐标的 空间复杂曲线的无干涉刀位轨迹的生成算法，适合于鞋楦类工件的环切加工；文 献 8 9 】就数控刻楦机的刀位轨迹算法和刀补计算方法提出了建设性的理论基 2 硕士学位论文 础。 国外的文献多偏重于复杂样式曲线的研究，近年来出现了极坐标系下的有 理b 6 z i e r 方法和b 样条方法。l9 9 0 年，j s a i l c h e z r e y e s 首次将b 6 z i e r 方法拓广 到了极坐标的情形，给出了拟b e m s t e i n 三角基函数形式的有理b 6 z i e r 表示【埘。 1 9 9 2 年又将b 样条拓广到极坐标的情形，并导出了以极坐标为参数的曲线递推 算法【】等。1 9 9 7 年他进一步讨论了在极坐标系下高阶b 6 z i e r 圆的生成，给出了 具体的计算公式，具有控制定点特别容易的优点，即权因子是径长的倒数【1 2 】。 1 9 9 9 年研究了圆内外螺旋线的正弦基函数有理b 6 z i e r 表示【1 3 】。这进一步增强了 b 6 z i e r 方法和b 样条的功能。除此之外，其他文献如文献【1 4 】牛- 分析了b 样条线、 螺旋线、等分角线在极坐标下的曲线特性，包括相似性和不同的控制节点的跨度， 为在极坐标条件下实现对这些空间复杂曲线的数值逼近奠定基础；文献【1 5 】提出 了极坐标下以单变量三次样条统一逼近空间曲线的算法，具有一定前瞻性；文献 【1 6 】提出了与文献【8 类似的解决鞋楦类工件的环切加工的刀位轨迹生成算法。 c a m 技术发展得较晚，它是在数控机床广泛应用的基础上发展起来的，目 前大型的c a d 软件都集成有c a m 模块，如u gm i 黟a p h i c s ) 、p r o e n g i n e e r 、 c a t 认、s o l i dw | 0 r l ( s 等。这类一体化的c a d c a m 系统，以内部统一的数据格 式直接从c a d 系统获取产品的几何模型，利用实体数据生成数控加工代码，通 过通信接口传输到数控机床系统。此外，专门的c a m 软件，如m a s t e rc a m 、 h ) ，p e rm 几l 、p o w e rs o l u t i o n s 和w b r kn c 等独立的c a m 系统，通过中性文件 获取产品几何模型，利用c a d 设计结果，控制机床动作，实现制造业的“无纸 加工 。以s o l i dw o 呔s 为代表的一些广泛应用的3 d 软件( 还包括a u t o d e s k 公 司的m e c h 锄i c a ld e s l ( t o p 等) 则通过与第三方合作的方式完成c a m 模块与c a d 软件无缝集成，实现数控加工代码生成【1 7 】；国内软件有由北航海尔研发c a x a ， 它是一款面向我国工业界推出的包括工程绘图、数控加工、注塑模具设计在内的 系列软件。其他还有大天c a d c a m 软件系统、美思m i c r 0s o l i d 软件系统等。 本文将借助上述大型通用c a d c a m 软件，经过二次开发将极坐标插补方 式应用于曲线曲面的数控加工中，突破大型通用c a d c a m 软件不能实现极坐 标数控加工的瓶颈。 3 第一章绪论 1 3 课题的主要内容 目前大直径回转件的孔系和环形复杂曲面的精加工大都在直角坐标系数控 铣镗床上进行，如工程机械上的回转支承、军工上雷达和炮台座、重型汽车轮胎 模具及食品机械上分离机壳体等。上述工件加工主要存在二大问题，一是加工效 率低；二是大型数控机床价格太贵。鉴于以上方面，南京工业大学机电一体化研 究所成功开发研制了极坐标系列数控机床。根据机床模块化集成设计理论，研究 回转运动加上x 、z 两个方向直线进给的联动代替直线三坐标联动镗铣机械驱动 的最佳模块组合，实现了低成本高精度的多功能的先进制造模式。 新机床带来了新的问题。由于目前国内外对极坐标数控编程c a m 软件研究 的滞后，导致到目前还未有一个完整的极坐标机床的数控编程c a m 软件的出现。 极坐标数控机床在使用中，至今还仅限于手工编程，且多用于点位加工程序的编 制，对于复杂的曲面轮廓加工，则需要编制专门程序( 通常为基于w i l l d o w s 下 的应用程序，如c + + 程序等) ，方能完成加工，费时费力，没有体现出极坐标数 控机床的优越性。总体来说，本课题所要求完成的数控编程c a m 软件在功能需 求上与一般直角坐标数控机床的c a m 系统是一致的。鉴于极坐标数控机床主要 用于加工特殊类的专用零件，要求在满足极坐标数控机床的实际使用前提下，尽 量简化系统。c a m 系统是一个庞大的工程，需要进行长期的、系统的开发和研 究。由于初涉极坐标机床c 蝴软件，本课题在主旨上以构建软件整体框架为目 标，功能上实现平面轮廓铣制加工的前置处理和后置处理，解决极坐标数控镗铣 床的二维轮廓加工数控程序编制的瓶颈。为极坐标下数控加工提供可靠的探索性 研究。针对极坐标数控机床的加工需求，构建几何造型、刀具轨迹生成、刀具轨 迹验证、后置处理、及用户界面等功能模块。课题实现框架图如图1 1 所示。 4 硕士学位论文 内容 c a d c a m 后置处理 仿真加工 步骤工具 差竺妻篓篓型璺登 ：l 厂i 了磊 生成三维模型p n 文件r 卜_ 1 二二= ：= = = 二 走刀路线、切削参数、刀具的选择： 生成a p t 格式刀位轨迹c l s 文件 iu go p e n a p i 基于数 控加工模块做二次开发 定制用户自定义后置处理文件： 将c l s 文件转换成机床识别g 代码 建立极坐标机床，设置刀具与工件，仿 真加工显示：g 代码检验，优化 u gp o s tb u i l d e r 模块 i 构成本课题的主要二次开发内容 v e r i c u t 图1 1 课题进程示意图 f 追1 一lt h ep r o c e s so f t l l e 跚b j e c t 课题的主要内容如下： 1 ) 研究数控编程系统的刀位轨迹规划与生成算法，在分析极坐标机床进给 方式的特点及在联动方式下的实际运动轨迹，提出了以阿基米德螺线逼近曲线曲 面的插补算法，包括渐开线、椭圆曲线、凸轮曲线、b 6 z i e r 曲线和b 样条曲线 的逼近讨论，并给出误差分析，并就各种算法的特点加以总结。 2 ) 通过u g o p e na p i 、u g o p e nu i s t y l e r 、m e n us c r i p t 联合开发，实现 了渐开线、椭圆等曲线极坐标机床自动编程的前置处理器，为实现空间曲线c a m 程序的深入开发铺平道路；建立了c a m 软件的整体框架，设计c a m 系统的总 体方案，根据系统的需求研究和功能描述实现系统的总体结构以及功能模块的定 义；最后探讨了用户刀具数据库的建立。探讨平面轮廓加工、平面区域加工以及 曲面加工等零件形状的自动编程的实现。 3 ) 结合极坐标机床数控加工代码的特点，基于u gp o s tb u i l d e r 实现极坐 标机床后置处理器，使极坐标数控机床使用通用的数控系统的条件下完成极坐标 指令，即“g 0 1xzc 格式，数控加工程序的加工。 4 ) 采用v e r j c u t 软件对极坐标数控加工程序进行加工仿真，一方面是对 5 第一章绪论 c a m 软件自动编程功能的检验，另一方面对虚拟仿真加工的进行探索，通过动 态的、实时的模拟加工实现错误提示，对加工路径优化为进一步降低加工成本， 减少试切加工的损失，可以将数控机床的加工效率提升至一个新的高度。且由于 采用的是二次开发提供的函数库，程序更稳定、符合规范。本课题就是基于这种 思想产生的。 6 硕士学位论文 第二章基于极坐标数控加工插补算法 2 1基于极坐标椭圆的插补算法 2 1 1 算法 椭圆的标准方程为： ( 2 1 ) 以x = ，c 珊9 ，y = 觑9 代入转换至极坐标，极轴矽轴以常数乡等间距递增， 整理得椭圆的数值拟合迭代公式2 0 】， 2 1 】： 仁 秒+ f ( f = o ，1 ，2 ，刀一1 )( 2 2 ) 此间，每一分段的阿基米德螺线方程为： ，一堋2 糟( 乳啪 ( 2 3 ) 图2 1 阿基米德螺线段逼近椭圆 f i g 2 1 a r c h i i l l e d ea p p r o a c h i l l go fe l l i p s e s 7 = 旷一铲 + 矿一矿 第二章基于极坐标曲面的刀位轨迹算法 2 1 2 误差分析 如图2 - l 所示，椭圆曲率最大处发生在端点处，故而误差估计选在岛尸。段。 设最大弧长误差为，则阿基米德螺线逼近椭圆的弧长误差为： r 一= 一s ，( p ) 戤=一撼( 臼一幺) + 易+ ，一只、 “ ( 2 4 ) ( 2 5 ) 下面讨论直线度误差，将点昂( ，岛) ，鼻( 1 ，b ) ，转换至直角坐标点 爿( ，y 。) ，只仕。，y 。) ，则爿置直线方程为： ( 2 6 ) 设： 彳= y l y o ，b = x o x 1 ，c = y l x o y o x l ，贝0 有： 血+ 缈：c 艿以可 ( 2 7 ) 为与直线巧毋线平行且相距为万的等误差直线。当所求直线在爿毋线上方 时取“+ 号，反之取“”号。 联立椭圆方程( 2 1 ) 式与( 2 - 7 ) 式： 睁詈一 协8 ， l 血+ 砂= c 万厨 当方程组满足唯一解条件时，解得万为实际直线逼近误差五。 对( 2 - 8 ) 式阿基米德螺线方程进行坐标变换，联立： 厢2 糟( 加砌印) + ，o协9 ， 【血+ 砂：c 万厕 当方程组满足唯一解条件时，解得占，i 万一4 l 为实际的阿基米德螺线逼近直 线度误差蟊。 8 硕士学位论文 2 1 3 实例应用 例2 - 1 ：设有椭圆：盖+ 盖= 1 ，设取插补次数州o o ，等间距p = 孟。 坐标转换得极坐标方程： r 2 c 0 s 8 2r 2 s 汛铲 1 1 8 01 2 0 由式( 2 - 2 ) 插补结果如表2 - l 所示。 表2 1 椭圆节点值部分结果 1 j a b l e 2 - lp a r ti e s u h so f t l l en o d e s c a c u l a t i o no f e n i p s e 由式( 2 - 8 ) 、式( 2 9 ) 计算得出，阿基米德螺线算法的直线度逼近误差 蟊= o 0 0 8 2 1 6 ，直线逼近误差4 = 0 0 0 3 6 6 8 。 2 2 基于极坐标渐开线的插补算法 渐开线是机械零件中应用广泛的一种曲线，在极坐标机床上，它可以由径向运 动轴尺和回转运动轴护的插补运动来实现。由于渐开线运动方程中含有三角函 数，硬件插补一般比较困难；而采用软件插补，用阿基米德螺线分段插补来逼近 渐开线则更容易实现，在复杂螺杆和螺旋曲面的加工中都借鉴到这一方法 1 8 】。 9 第二章基于极坐标曲面的刀位轨迹算法 2 2 1 算法 在图2 2 所示的极坐标系中，有一条渐开线，其方程为： 口= ，( 厂) ( 2 - l o ) 写成参数方程形式为： 仁善y ( 2 1 1 ) 式中：y 为参数，6 为基圆半径将插补区间局只弧分为玎段，节点为 暑，忍只- l ，设各节点坐标为只( ，g ) ，f = o ，1 刀，对应的参数为。在任一分 段e r 。上，过只，曩。点作一条阿基米德螺线1 9 1 ，则其方程为： 1 9 = s ，( ，) = c ( ，一) + 易 现。 其中：c ，：丝：盟 乍l 一乃 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 该曲线就是用来逼近渐开线的曲线，它可以由尺轴与乡轴的线性插值来实 y 一 曰= ，驴) a ；墨( 力 飞 毒 厂鲻嬲、一，l l o l r 。 图2 - 2 阿基米德螺线段逼近渐开线 f i g 2 - 2a r c h i i l l e d e 印p r o a c h 访go fi i l v o l u t e s 1 0 硕士学位论文 2 2 2 误差分析 在某分段只& 。上，以( 2 1 2 ) 式描述的阿基米德螺线来逼近渐开线( 2 1 3 ) 式时会 产生逼近误差，若不考虑插补器的脉冲当量，该误差就是插补器的插补误差。设 ，处的逼近误差为r ( ，) ，则： r ( ，) = i ，( ，) 一最o ) l = c ，( 厂一_ ) + b 一，o ) ( 2 1 4 ) 对，- 求导，并令尺；( ，) = o ，则有： ，( ，) = q 或跏y = c ，巧 ( 2 - 1 5 ) 由于尺如) ：一望业( o ，故此时r ( ，) 取极大值，即： s m l r 眦= 彳，渤( c f ) + 谚一c f ( 2 1 6 ) 若系统允许误差为护。，则对于每一分段都应满足： r 。缸，( f = o ，1 ，2 ，刀一1 ) ( 2 - 1 7 ) 2 2 3 节点计算 插值的总思路是：计算节点e ，从而求得r 轴和口轴的坐标增量缸和幺， 再由数控系统的线性插补实现对渐开线的加工。节点计算，即坐标增量缸和只 的计算，可通过( 2 - 1 1 ) 式、( 2 1 2 ) 式、( 2 一1 3 ) 式、( 2 - 1 4 ) 式及( 2 - 1 5 ) 式的联立求解来完 成，( 2 一1 4 ) 式是一个超越方程，需要用选代法或分区间法来求解。节点计算的方 法采用等间距法。 将渐开线( 2 2 ) 式按尺轴分成等间距节点，设间距，为常数，则有： ( 江0 ，1 ，2 ，刀一1 )( 2 1 8 ) 这样就可求得觚= k ，一，谚= 谚+ 。一只。 ， 叩 洳 协 w “ m 7 ， 钆 纠 吨：帅 第二章基于极坐标曲面的刀位轨迹算法 根据线性插值的误差定理嘲，在任一分段r 。内，插值误差为： 附) = 掣( 地+ l - ，) ( 2 1 9 ) 式中：名是区间( ，k 。) 内依赖于，存在的点。由于是等间距划分，且： 以咖苗 沼2 。) 为一减函数，所以在此，2 个分段中，r 嗽最大，故只要： r m 瓠g ( 2 2 1 ) 就可以满足误差要求。显然，由( 2 1 1 ) 式、( 2 1 2 ) 式、( 2 - 1 3 ) 式求得觚，并取 ，= 觚即可。 2 2 4 实例应用 算例2 2 ：设现有一渐开线的基圆半径，6 = 1 9 7 3 3 5 4 5 研研，计算半径从2 0 m m 到1 8 8 6 7 3 0 m m ，插补范围甄= 0 ，耐，。= 8 0 4 2 5 7 6 ，耐，插补精度 觚= o 8 4 4 6 9 7 聊聊。 则根据以上算法计算结果得： 表2 - 2 等间距法计算节点值部分结果 m l b l e 2 2p a nr e s u l t so f 廿l en o d e s c a c u l a t i o nw i n le q u a ld i s t 锄t sm e 也o d 1 2 硕士学位论文 2 3 基于极坐标凸轮的插补算法 极坐标对于表示封闭曲线特别是圆弧和整圆特别适用。尤其是在一些工程技 术应用中，如设计凸轮的轮廓时，可用r = r ( 秒) 定义凸轮的外形，便于在凸轮旋 转时，对其状态作出极械分析。图l 所示为在极坐标式数控磨床上磨削平面凸轮 的加工模型瞄】。图2 - 4 中，o 为凸轮轴心，也是机床的绝对零点；d 1 为砂轮中心； p 为凸轮与砂轮的接触点；t 为凸轮在p 点的单位切矢量；c 为d d 与o 轴的夹 角；r 为砂轮半径。 x t 。 一 厂一一仆一 l |j i 图2 - 4 凸轮加工模型 f 噜2 _ 4m o d e l so fc 锄m a c h i n i n g 2 3 1 砂轮轴心轨迹曲线表达式 设凸轮的轮廓曲线( 即p 点的轨迹曲线方程) 为 ，( f ) = 扛( f ) ，y ( f ) ( f o f f 。) ( 2 - 2 7 ) 在此规定，( f ) 为有向单值曲线，即t 单调增大、，( ) 为起点、，( f 。) 为终点， ，( f ) 可以是简单曲线或样条曲线，但必须为正则曲线，即0 忑丽o ，且具有c 1 连 续性。 1 3 第二章基于极坐标曲面的刀位轨迹算法 ，( f ) 在p 点的单位法线方程为 o ) = 一y 0 ) ，x ( f ) ) x ( f ) 2 + y ( f ) 2 ( 2 - 2 8 ) 若以极坐标p = p ( f ) 的形式表示p ，则有 z ( ) 2p ( ) c o s f( 2 2 9 ) 【y ( f ) = p ( f ) s i i l 在实际磨削过程中，c n c 机床对砂轮中心d 。的运动进行控制。根据尸d ，垂 直于t 的要求，砂轮在磨削凸轮时q 的轨迹曲线为： ，1 ( f ) = ，( f ) 尺( f ) = y ( f ) ，】，( f ) )。s f f 。) ( 2 - 3 0 ) 其中： p 爿( 们 腆) 】7 悭! ：型 ( 2 - 3 1 ) i y o ) = y o ) 千 瓜( f ) 】x o ) 2 + ) ，( f ) 2 其中式( 2 3 1 ) 中的“千 符号由如下原则确定：当砂轮轴心处于啡) 前进 方向的左边时，第一式取“一 ，第二式取“+ ”；当砂轮轴心处于r ( t ) 前进方向的 右边时符号则正好相反。 2 3 2 极坐标平面插补方法 实际加工中，c n c 机床在磨削凸轮类轮廓时的运动方式为：凸轮绕自轴心转 动为秒轴，砂轮轴心沿径向运动为，轴。在此，矽坐标系下，插补控制需要计算 的量是 ，秒) 。下面给出具体计算方法。 设已通过式( 2 3 1 ) 计算出d l 点在x y 平面的坐标值 x ( t ) ，y ( t ) ) ，通过 厂秒两个坐标轴的平动和旋转，使d 。始终处在厂轴的正向上，即0 。点的坐标值 在x y 平面上为 r ( t ) ，o ) ，则 x ( t ) ，y ( t ) ) 与 r ( t ) ，o 之间的关系为： 似吐啦以m 兰端葛黜 协3 2 ， 式中9 ( f ) 表示c 轴旋转的角度，逆时针为正，顺时针为负。整理式( 2 - 3 2 ) 后可得： 1 4 硕士学位论文 ) - - 蝴【嚣】 ，( f ) = x ( f ) c o s 【9 ( f ) 卜】，( f ) s i n 口( f ) 】 ( 2 - 3 3 ) ( 2 3 4 ) 得出式( 2 3 3 ) 、( 2 3 4 ) 后，设f f 【f o ，f 。】( 扛0 ，1 ，刀) ，并给定址，即给出 在，口坐标系的插补计算步骤【2 3 】： ( 1 ) 由式( 2 - 3 1 ) 计算出 x ( 气) ，y ( 气) ，代入式( 2 - 3 3 ) 、( 2 - 3 4 ) 计算出 ，( 气) ，目( ) ) 作为p ( f h ) ，乡( “) 的初值，将f 。作为f ，二。的初值； ( 2 ) 由式( 2 - 3 2 ) 计算出础，及f j = “+ 缸f ( 扛1 ，2 ，玎) ； ( 3 ) 由式( 2 - 3 1 ) 计算出 彳( f a 】，( f ，) ) ，代入式( 2 - 3 3 ) 、( 2 - 3 4 ) 计算出 ，( f f ) ，秒( f f ) ； ( 4 ) 通过下式计算出 ，( f f ) ，口( r ) ： f 缸( f ，) = ，( f ，) 一，( “) 【秒0 f ) = 秒( f j ) 一秒o ，一1 ) ( 5 ) 保存和 ，( 0 ) ，秒( f ，) 作为计算m 和 ，( “) ，臼( f m ) ) 的初值，返回到步骤 ( 2 ) ，如此循环直至插补完成。 2 3 3 实例应用 例2 3 ：三次曲线如图所示的砂轮磨削曲线的凹面为一立方抛物线，可表示为： ，( f ) = 3 f f 3 ，3 f 2 ( 一1 ) f 1 ) ( 2 3 5 ) 图2 5 立方抛物线 f i g - 2 5c u b i cp a r i a b o i a 第二章基于极坐标曲面的刀位轨迹算法 对应的曲率表达式为尼( f ) = 2 3 ( 1 + f ) ，显然，尺一= 1 m a x 【七( f ) 】- 3 2 ， 即最大的砂轮直径为3 。选定最大砂轮半径后，按式( 2 - 2 2 ) 得出砂轮轴心轨迹曲线 方程为： 卜) _ 3 卜矿一寺 旧瑚2 + 三( 鲁) 卜d 鱼引 q 。3 6 当给定插补步长址= o 5 时，可得出f = 0 5 3 ( 1 + f 2 ) ， = 1 3 ( 1 + f 2 ) + 3 【1 + ( f + f ) 2 】 。插补结果如下表2 3 所示。 表2 3 凸轮节点部分结果 t a b l e 2 3p a r tr e s u l t so fc a mn o d e s lt i 1t i缸0l i l- 1 0 0 00 0 8 7o 4 3 72 7 3 40 4 9 9 2o 9 1 30 0 9 5o 3 5 32 2 7 3o 4 9 8 3- 0 8 1 80 1 0 5o 2 3 91 3 4 30 4 9 8 4- o 7 1 40 1 1 6o 0 9 50 3 2 80 4 9 8 5- 0 5 9 8o 1 2 9- 0 0 6 6- 3 0 1 2o 4 9 7 6- 0 4 6 90 1 4 3o 2 0 36 6 4 10 4 9 6 70 3 2 5o 1 5 6o 2 3 41 0 2 3 10 4 9 6 8- 0 1 6 90 1 6 4o 1 0 91 2 3 1 4o 4 9 6 9- o 0 0 50 1 6 5 o 0 9 71 2 3 7 10 4 9 5 l oo 1 5 9o 1 5 7o 2 3 l1 0 4 0 6o 4 9 5 1 1o 3 1 60 1 4 4o 2 0 96 8 7 6o 4 9 6 1 2 0 4 6 0 0 1 3 0o 0 7 7_ 3 2 1 9o 4 9 6 1 3o 5 9 0 o 1 1 70 0 8 5- 0 4 7 lo 。4 9 7 1 4o 7 0 6o 1 0 5o 2 3 01 2 5 60 4 9 8 1 5o 8 1 20 0 9 6o 3 4 72 2 2 60 4 9 8 1 60 9 0 70 0 8 7o 4 3 22 7 1 20 4 9 8 1 70 9 9 4o 0 8 00 4 9 82 9 0 60 4 9 9 - 2 4 基于极坐标有理b 6 z i e r 曲线和极坐标b - 样条曲线 2 4 1 极坐标有理b 6 z i e r 曲线 首先描述b 6 z i e r 曲线的有理三角基函数表示；其次给出极坐标系下b 样条 曲线的定义、基函数及其拟d eb 0 0 r 算法和节点插入算法。 1 6 硕士学位论文 定义给定n + 1 个控制顶点 p ，) ：o r 3 ( 或尺2 ) 及 缈， 岛r 1 且 缈1 0 ，国。国。 o ，则称： 国，p ，b ? ( 甜) p ( “) = 鼍- 一 q 彤( “) ，= o z f “o ，l 】 ( 2 - 3 7 ) 为n 次有理b 6 z i e r 曲线，力，为相应于每个控制顶点p ，的权因子，彤( 甜) 为n 次b e m s t e i l l 基函数： b ? ( 材) = c ：甜( 1 一“) 加 i = o ，l ，n ( 2 3 8 ) 已知( r ，秒) 平面内n + 1 个控制顶点 岛= ( 乃，易) ) 釜o 尺2 ，对应于( x ，y ) 平面内 的点： p ，= ( x ，) ，f ) ) 扛o 尺2 一， ( 2 - 3 9 ) 及权因子 功，) ：o = p ，：o 尺( 岛= 彳1 ) ，幺满足： 舅一只一l = 2 ( 1 5i5 n ，2 酲 图2 - 6 弪制坝点阴计算 f i g