（通信与信息系统专业论文）希尔伯特黄变换理论和应用的研究.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 n o r d e neh u a n g 在1 9 9 8 年提出了希尔伯特黄变换( h i - i t ) 这一全新的 时频分析理论。在这一理论中，通过经验模态分解( e ) 的方法，将信号 表示成有限个内在模分量( m f ) 和一个残余分量之和的形式，并且提出了 通过希尔伯特变换( h t ) 对各个i m f 进行时频分析和求解瞬时频率。希尔 伯特黄变换在对非线性非平稳信号的分析处理方面表现出了有效性和自适应 特性，成为了一种优秀的、颇具发展潜力的信号分析工具。 在现有关于希尔伯特黄变换理论与应用研究的基础上，本文尝试进一步 完善和发展希尔伯特黄变换理论。从瞬时频率的概念和信号的数学模型出发， 提出了局部窄带信号的概念，并将其作为i m f 的本质，将e m d 过程描述成 一种时变窄带滤波过程。 其次，本文对过去研究过的和现在仍然存在的相关问题进行了更加细致 深入的思考，重点对希尔伯特黄变换端点延拓、正交性和最小信号周期等问 题进行了研究，从数学角度给出了具体的描述和解释，从而巩固了希尔伯特 黄变换的理论体系。 此外，关于希尔伯特黄变换在二维信号领域的推广，本文总结了迄今为 止主要的二维经验模态分解方法，给出了具体实现的改进算法，同时也介绍 了二维信号解析分析的有关理论和主要研究。 最后，尝试了将二维经验模态分解方法应用于具体的二维图像处理问题， 包括对图像的细节提取，边缘检测和d c t 图像压缩。实验的结果验证了这种 方法的有效性，充实了希尔伯特黄变换在二维信号领域的应用实例。 关键词：希尔伯特黄变换；经验模态分解：内在模分量；局部窄带信号； 希尔伯特变换 a b s t r a c t t h et h e o r yo fh i l b e r t h u a n gt r a n s f o r mi s b r o u g h tf o r w a r db yn o r d e ne h u a n ga san e wm e t h o do ft i m e f r e q u e n c ya n a l y s i si n19 9 8 i nt h et h e o r y , a n y s i g i n a lc a l lb ed e c o m p o s e dt h r o u g ht h em e t h o do fe m p i r i c a lm o d e d e c o m p s i t i o t t , a n dw r i t t e ni nt h ef o r mo fs u mo fs e v e r a li n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n sa n dar e s i d u a l f u n c t i o n t h e nt h et i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sa b o u tt h e s ei m f si sc a r r i e do n t h r o u g h t h em e t h o do fh i l b e r t t r a n s f o r m ，a n di n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c i e sc a nb ed e r i v e d h i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r ms h o w si t se f f i c i e n c ya n da u t o - a d a p t a b i l i t yi nm a n y o c c a s i o n se s p e c i a l l yi nt h ea n a l y s i sa n dp r o c e s s i n go f n o n 1 i n e a ro rn o n s t a t i o n a r y s i g n a l s i th a sb e c b m ea ne x c e l l e n ts i g n a la n a l y t i c a lt o o lo fm a n y a d v a n t a g e sa n d g r e a tp o t e n t i a l o nm eb a s i so fag r e a td e a lo fr e s e a r c h e si nt h ep a s ta b o u tt h et h e o r ya n d a p p l i c a t i o n so fh i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m ，e f f o r sa r em a d et r y i n gt oi m p r o v ea n d d e v e l o pi t st h e o r y s t a r t i n gf r o mt h ec o n c e p to fi n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c ya n dt h e m o d e lo fs i g n a l s ，t h en o t i o no fl o c a ln a r r o w b a n ds i g n a li sp r o p o s e di nt h i sl e t t e r , a n de x p l a i n e da st h ee s s e n c eo fi m f ，w i t ht h ep r o c e s so fe m da l s od e s c r i b e da s o n eo ft i m e - v a r i e n tn a r r o w - b a n d f i l t e r i n g f u r t h e r m o r e ，m o r ed e t a i l e da n dm o r ed e e p l ya r g u m e n t sa r ep r e s e n t e dt o w a r d s t h er e l e v a n tp r o b l e m sw h i c hh a v eb e e nd i s c u s s e db e f o r e ，o rw h i c he x i s tn o w s t i l l s p e c i a la t t e n t i o n sa n dr e s e a r c h e sa lep a i do nt h ep r o b l e m sa b o u tt h ee n o i n t e x t e n s i o n ，o r t h o g o n a l i t ya n dm i n i m a ls i g n a lp e r i o d t h e s ep r o b l e m s 抛ed e s c r i b e d ， e x p l a i n e da n ds o l v e df r o man e wa n dd i f f e r e n t p e r s p e c t i v e t h e r e f o r e t h e t h e o r e t i c a ls y s t e mo ft h es c i e n t i f i ch i l b e a h u a n gt r a n s f o r mi sc o n s o l i d a t e da n d d e v e l o p e d b e s i d e s ，a st h e2 - d i m e n s i o n a le x t e n s i o no fh i l b e a h u a n gt r a n s f o r m ，t h e m a i nm e t h o d so f2 - d i m e n s i o n a le m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ( b e m da n d 2 d e m d ) a r es u m m a r i z e d c o n c r e t em o d i f i e da l g o r i t h m sp r a c t i c a li n t ou s ea l e p r e s e n t e di nt h i sl e t t e r , a n dt h et h e o r ya n dr e s e a r c hr e l d v a n tt oa n a l y t i c a la n a l y s i s 哈尔溟工程大学硕士学位论文 f o r2 - d i m e n s i o n a ls i g n a l sa r ea l s oi n t r o d u c e db r i e f l n f i n a l l yi nt h el a s tc h a p t e r , t h em e t h o d so f2 一d i m e n s i o n a le m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n a r ep u ti n t o p r a c t i c a l u s et os o l v et h ep r o b l e m sa b o u tt h e p r o c e s s i n g o f2 一d d i g i t a li m a g e si n c l u d i n gt h e d e t a i l se x t r a c t i o n ，t h ee d g e d e t e c t i o na n dt h ed c tc o m p r e s s i o no ft h ei m a g e s t h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t so f t h e s ea p p l i c a t i o n sh a v ev a l i d a t e d ( s h o w n ) i t se f f i c i e n c ya n de x c e l l e n tp e r f o r m a n c e c o n s e q u e n t l y , t h ea p p l i c a t i o n s o fh i l b e r t h u a n gt r a n s f o r mi nt h ef i e l do f 2 - d i m e n s i o n a ls i g n a l sa r ee x p a n d e di n t oam o r ep o p u l a rs i t u a t i o n k e y w o r d s ：h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m ；e m p i r i c a l m o d e d e c o m p o s i t i o n ； i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n s ；l o c a ln a r r o w b a n ds i g n a l ；h i l b e i r t t r a n s f o r m 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献等的引用己在文中指出，并与参考文献相对应。除文中 己经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集 体已经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：盘1 2 互! 墨二 i s 期：伽彤年弓月l - x 日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 希尔伯特黄变换的研究背景 在信号处理技术中，信号分析一直处于核心的地位。对于实际得到的任 何一个信号，我们都希望尽可能多的，或者尽可能详细的知道信号中所包含 的有用信息：频域的或者时域的，全局的或者局部的，轮廓的或者细节的等 等【l j 。随着信号处理技术的不断发展进步，人们对信号的分析和理解也更加 深刻和全面，随之而来的喜悦，更浓厚的兴趣和对信号分析更高的要求促进 了这门学科进一步的发展。 1 8 0 7 年法国科学家傅立叶指出，任何周期函数都可以用一系列正弦波来 表示，由此建立了最基本的傅立叶级数理论 1 , z l 。在此之后的一个半世纪里， 通过不断的完善和发展，以傅立叶级数和傅立叶积分变换理论作为主要研究 内容的调和分析理论已经在数学、物理学以及工程实践中得到广泛应用。傅 立叶信号分析方法的缺点在于它是一种频率分析方法，能够很好的刻画信号 的频率特性，但是不能够提供任何时域信息，这一缺陷导致在信号分析中长 期存在如下一对基本矛盾：即时域和频域的局部化矛盾。在傅立叶变换中， 人们不能够同时得到信号的时域信息和频域信息。同样的，拉普拉斯变换， z 变换，离散傅立叶变换这些传统的频域变换方法都无法解决这一根本矛盾。 人们对信号时频联合信息的要求推动了上个世纪时频分析技术的发展。 时频分析方法主要分为线性时频分析和非线性时频分析方法c - 弘习。线性时频 分析是由傅立叶频谱分析转换来的，包括短时傅立叶变换( s t f t ) ，g a b o r 变换和小波变换( w a v e l e t ) ，非线性时频分析方法主要指二次型时频分析， 以c o h e n 类分布为代表，常见的有c o h e n 分布、w i g n e r - l l e 分布( w v d ) 、 c h o i w i l l i a n s 分布等。 在这些时频分析方法中，不得不重点提n d , 波变换。虽然早在1 9 1 0 年 h a a r 就已经提出了h a a r 小波，但是一直到1 9 8 4 年才由法国地球物理学家 m o r l & 明确的提出小波变换的概念。在上个世纪最后二十年里，通过无数科 学家的共同努力，完善和发展了整个小波变换理论。其中包括：1 9 8 6 年m e y e r l 哈尔滨工程大学硕士学位论文 创造性的构造出了具有一定衰减特性的光滑函数，其二进制伸缩和平移构成 了r ( 足) 空间的正交基；1 9 8 7 年m a l l a t 得到了离散小波变换的快速算法一 m a l l a t 算法，并成功用于图像处理；1 9 8 8 年d a u b e c h i e s 成功的构造了多个具 有紧支撑的正交小波基。而后c o i f m a n ，w i c k e r h a n s e r 等人将m a l l a t 算法进 一步深化，得到了小波算法，这样小波的系统理论就初步建立起来了。 在上个世纪的最后十年里，信号分析技术仍然在快速发展和进步。 s w e l d e n s 在1 9 9 5 年系统的提出了通过矩阵的提升格式( 1 i f t i n gs c h e m e ) 来研 究完全重构滤波器，建立了第二代小波变换的框架体系。c a n d e s 与d o n o h o 等人在1 9 9 9 年提出了脊波( r i d g e l e t ) 与曲波( c u r v e l e t ) 理论。目前，基于 提升格式的小波、脊波和曲波也已经成功地应用于数学以及信息处理的各个 领域。 正是在这样的背景下，n o r d e neh u a n g 等人在1 9 9 8 年首次提出了希尔伯 特黄变换( h i l b e r t - h u a n gt r a n s f o r m ，简写作h h t ) 这一全新的信号时频分析 理论【l 】。在这一理论中，引入了固有模态函数( i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n ，简写 成i m f ) 的概念，在经验模态分解( e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n ，简写成 e m d ) 的基础上，对每个i m f 进行h i l b e r t 变换得到瞬时频率，从而将信号 精确表示成频率一时间一能量( 或者幅度) 的分布，称为h i l b e n 谱。h h t 的 特点在于它是基于信号局部特征的，能够对信号进行自适应的高效的分解， 而且它特别适用于分析非线性非平稳信号，具有重要的理论价值和广阔的应 用前景。 1 2 希尔伯特黄变换的研究现状和意义 自1 9 9 8 年希尔伯特黄变换由n o r d e neh u a n g 等人提出以来，受到国内 外广大学者的关注，在理论上和实践中取得了一系列的成果。一方面，希尔 伯特黄变换这一时频分析方法被广泛的应用在许多实际信号的分析处理中， 包括语音信号、心音信号、地震信号、水波信号、海洋环流信号和机械振动 信号等，显示了希尔伯特黄变换在处理非线性非平稳信号方面的有效性和优 越性吣 7 】。另一方面，希尔伯特黄变换的理论和技术被进一步完善，人们提 出了关于包络拟合和均值曲线计算的新方i ：去l 】，提出了新的筛分停止条件 【引j 】同样，有学者对信号端点的延拓问题进行了深入的研究，提出了有效 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 解决端点边缘效应的新方、法【州】。 此外，在最近的几年里，学者们将关注的目光转移到如何将希尔伯特黄 变换从一维发展n - - - 维空间或者更高维的空间陋剐。人们尝试将希尔伯特黄 变换应用到数字图像处理中，进行了包括图像细节提取，图像边缘提取，图 像去噪，图像压缩，图像融合等在内的一系列实验【临2 班：7 】。 总的说来，最初实验上的成功很大的激发了人们对这一崭新的时频分析 方法浓厚的兴趣，希望它在性能上能够代替甚至超越小波变换。然而，迄今 为止对于希尔伯特黄变换的研究更多地停留在方法和实践上，在理论上显得 不足；在具体算法的研究中，也是关注问题的解决和方法的实现，忽视了问 题的本质。理论上的匮乏，使它缺乏坚实有力的基础，让研究者对于它未来 的发展和应用缺乏更多的信心；同时，理论上发展的不完善导致了一些不太 理想的实验效果，比如说端点延拓问题，迄今为止没有一个权威的普遍的方 法彻底的解决这一问题；再比如说，经验模态分解过程中m 伍分量之间的正 交性是通过筛分迭代算法近似实现的，还没有得到彻底的解决方案和完整的 理论解释，从而不可避免的导致能量的混叠和频率的交叠，这个问题成为了 希尔伯特黄变换最致命的缺点，迫切需要研究者们的努力；最后，希尔伯特 黄变换的应用仍然比较有限，相比于成熟的小波分析，这一新技术缺乏竞争 力和说服力。 在许多方面，希尔伯特黄变换还是不完善和不完整的，需要更多的时间 和精力对这一新理论进行发展和补充，也需要将这一技术运用到更广泛的场 合。 1 3 本文研究内容 本论文将从希尔伯特黄变换的基础理论出发，尝试从理论上进行补充和 完善；同时，在希尔伯特黄变换的实际应用方面，也会努力将其应用n - 维 空间，解决图像处理中的一些具体问题。 本文的具体组织结构如下： 第1 章为绪论，介绍了希尔伯特黄变换的研究背景、研究现状和研究意 义，简要阐述和回顾了信号分析技术的发展状况，对迄今为止希尔伯特黄变 换的研究成果和不足作了简单的总结，指出了现在研究希尔伯特黄变换理论 1 哈尔滨工程大学硕士学位论文 和应用的重要意义，同时给出本文研究的内容重点和文章的框架结构。 第2 章介绍了希尔伯特黄变换的基础理论。在这一章，将对过去信号分 析理论中具有代表意义的调和分析方法和时频分析方法进行简单的介绍。让 读者对信号分析方法的发展历程有一个概括的了解，在此基础上介绍了希尔 伯特黄变换的基本思想，具体算法和实现步骤。 第3 章将对希尔伯特黄变换理论进行更深入的研究和讨论。在这一章， 将探讨信号瞬时频率的定义，引入局部窄带信号的概念，探讨内在模分量的 本质，并且将经验模态分解描述成时变滤波器模型。基于这些关于希尔伯特 黄变换理论基础的讨论，分析和讨论了一些重要的相关问题，从而发展和完 善了希尔伯特黄变换的理论体系。 第4 章介绍了二维希尔伯特黄变换理论，将希尔伯特黄变换发展n - 维 空间。关于二维经验模态分解，提出了多种不同的实现思想和具体的实现算 法，同时讨论了怎样在二维空间分析信号的局部频率。在这一章的最后，总 结了二维图像信号进行二维经验模态分解的特点。 第5 章讲述希尔伯特黄变换在图像处理中的具体应用。主要将二维经验 模态分解方法应用在图像细节提取，图像( 多尺度) 边缘检测和图像( d c t ) 压缩处理中，对结果进行了比较和分析。 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章希尔伯特黄变换的基础理论 希尔伯特黄变换是1 9 9 8 年由n o r d e neh u a n g 等人提出的一种信号分析 方法。它是一种能够有效分析线性非线性，平稳非平稳信号的时频分析方 法。它的核心是经验模态分解( 简称e m d ) 和希尔伯特变换( 简称h t ) ， 前者是信号分解( 或者信号变换) 方法，后者是信号分析( 谱分析) 方、法【- 】。 在本章节中，将对这两个重要步骤进行详细的说明。考虑到信号分析理论的 完整性和不同分析方法之间的差异，也为了第3 章中一些新理论的需要，对 傅立叶变换、小波变换理论和w v d 分布等信号分析方法也作了简单的介绍。 2 1 傅立叶信号分析 傅立叶信号分析主要包括两个部分：傅立叶级数和傅立叶变换。在傅立 叶信号分析理论中，“任何 周期信号都可以用成谐波关系的正弦级数来表 示；而非周期信号表示成不全成谐波关系的正弦信号的加权积分，即傅立叶 积分( 变换) i , 2 1 。 周期信号x ( f ) 存在一个傅立叶级数表示式( 2 1 ) ，傅立叶级数中的系数 由公式( 2 2 ) 确定。这一关系式就定义为傅立叶级数。 x ( f ) = 口t e 脚 ( 2 - 1 ) 口i = 軎建m ) p 慨出( 2 - 2 ) 其中，t o 为基波周期，是满足x ( t ) = x ( t + 丁) 中丁的最小非零正值； c o o = 2 r c t o 为基波角频率。 非周期信号的傅立叶变换( 傅立叶积分) 与傅立叶反变换一起被称为傅 立叶变换对，表示如下： 石( f ) = 万1e x ( 缈弦问d 缈 ( 2 - 3 ) x ( ) = i 。x ( t ) e 吖科d t ( 2 4 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 传统的傅立叶频谱分析方法将信号表示从时间空间变换到频率空间，能 够表示信号全局的能量一频率分布。因此，通常谈论到频谱特征，总是习惯的 和信号的傅立叶变换联系在一起。然而应用傅立叶变换必须注意到一些严格 限制的条件：系统必须是线性的；数据必须满足周期性或者是广义平稳的； 否则，用傅立叶变换分析这样的信号就无法得到具有实际物理意义的结果【l 】。 n o r d e neh u a n g 在他的论文中提到【l 】，不论来自物理测量还是数学模型 所得到的信号，都有可能面临下列一个或几个问题：( 1 ) 总的信号长度太短； ( 2 ) 信号是非平稳的；( 3 ) 信号代表着非线性过程。其中上面的前两个问题 是相关的，如果信号的长度比平稳过程的最大时间区间( 或者说最大时间长 度) 小的话，将表现出非平稳性，而在自然界，我们面临的大部分现象都是 短暂的，所以非平稳性是普遍存在的。此外，由于探针、量化等非线性因素， 实验中得到的数据极有可能是非线性的。 到了近代，所研究的信号更普遍，更贴近实际生活：比如像心音信号， 语音信号，地震信号，机械振动信号，图像信号，那么采用非平稳随机信号 模型将更加合理。为了对这类非线性非平稳信号进行有效的分析和处理，相 继诞生了不同的时频分析方法。 2 2 时频分析方法回顾 时频分析方法的提出主要是为了对非线性非平稳信号进行有效的信号分 析，从而得到信号在局部时间上的频率信息，即频率随时间的变化情况。 ( 1 ) 短时f o u r i e r 变换 1 2 1 常规f o u r i e r 分析属于稳态分析方法，只能反映信号的静态频谱特性。短 时f o u r i e r 变换则将非平稳信号假定为分段平稳的，通过采用一个滑动窗截取 信号，一次次地对截得的信号进行f o u r i e r 变换，从而得到任意时刻信号工0 ) 的 频谱： s t f t ( t ，厂) = ix ( r ) h ( r _ t ) e - j 2 矿r d f ( 2 5 ) 其中 ( f ) 为窗函数，因而上式中有效的积分区间实际上是有限的。与此 对应的能量密度谱，虽p s p e c t r o g r a m ( 简写成s p e c ) ：s p e c ( t ，f ) = i s 卵丁( f ，刊， 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 它反映了信号的动态时频谱分布。 短时傅立叶变换公式表示：在时间轴上移动窗函数，就能够对信号j f n 连 续的做“局部谱”分析，了解其频率变化规律。如图21 所示即为一个变频信 号的时频分布图。 n d 瞰ds t y l i s r - ：t 1 1 1 1 r t 1 t t q r 1 r r r 1 t ，1 ，r ，一 曼o 6 * 0 日1 1 知2 w m 咖 图21 一个变频信号的频谱图 s t f t 时频表示的时间分辨力和频率分辨力是相互矛盾的，不可能在时间 和频率两个方向同时获得高的分辨力。因此，s t f t 对非平稳信号的分析难以 满足要求。然而由于s t f r 可以利用快速f o u r i e r 变换( f f t ) 实现，因此获得 了广泛的注意力。这种时频联合分布在语音学，语音信号处理领域中发挥了 巨大的作用，而且推广到雷达、声纳、地震、地质信号处理领域，获得了广 泛的应用。 ( 2 ) 小波分析m 1 基于小波变换的时频表示的基本思想是：认为自然界各种信号中频率高 低不同的分量具有不同的时变特性，通常是较低频率成分的频谱特征随时阃 的变化比较缓慢，较高频率成分的频谱特征则变化比较迅速。因此，按这样 的规律非均匀地划分时间轴和频率轴，就能获得比较合适的时间和频率分辨 力，从而在一定程度上克服 v s t f t 的时间和频率分辨力不能兼顾的弱点。小 波变换和s t f t 是两类非常重要的线性时频表示方法，这两类方法在数学表达 式和性质上有许多相似之处。 日 * j b ih；l口 哈尔滨工程大学硕士学位论文 信号f ( t 1 的小波变换定义为： 啊瑚叫一萨去d 甲( 警弘 c z 删 其中l 。( f ) 为小波函数，它是由小波基函数甲( f ) 经时间轴的平移和伸缩 得到的： 舻忑i 甲 学 似， 其中口叫做尺度参数( s c a l e ) ，6 为平移参数( s h i i t ) ，甲( f ) 称为“分 析小波”。在频域上掣( 甜) 为一带通滤波器。 2 小波变换的系数幅度平方l 一( m 6 ) f 称为小波谱( s c a l o g r a m ) ，s c a l o g r a m 也是信号的一种广义时频表示形式。 5 竺! ! ! 竺竺 矿、，八八m 肌八7 0l|lili!|ii舢|i喇 图22 连续小波变换的例子 在满足简单的条件q = 鬯等监如c m 下，信号，( 。可用连续小波变 换精确重构： ，( 。= c ， 也一 _ 击e e 砉町( 吼6 ) e o 如曲 ( 2 - 8 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 同s t f t 一样，小波变换的小波基函数甲( f ) 的频域变换q ( c o ) 可以解释为 中心频率为厶的带通滤波器。通过改变平移参数，得到一滤波器组，信号通 过这一滤波器组，便可获得小波分解系数。通过改变尺度参数，中心频率发 生平移，从而能够对更低频率的信号成分进行分析。正是由于这种不断改变 中心频率的行为，使得小波变换能够对信号的不同频率成分进行分析，达到 逐渐精细的目的。小波变换的这种多尺度特性或者多分辨率特性，使得小波 变换被誉称为“数学显微镜”。 虽然小波变换得到了足够的重视和广泛的应用，但也有一些难以克服的 缺点。在短时f o u r i e r 分析中，有唯一的基函数，因此对不同的信号没有适应 性，这就影响了它分析信号的能力。而在小波变换中，可以根据需要构造不 同的小波基，正是由于有不同的小波基可供选择，使得小波变换对信号分析 有足够的适应性，能够满足不同应用领域的要求。我们可以从信号的全局出 发，根据一定的准则，构造或者选择最佳的小波基。但是在小波变换中，小 波基一经选择，在整个分解和重构过程中都无法更换，因此有可能该小波基 在全局上是最佳的，但对某个局部区域来说却是最差的。由于小波基对信号 的局部并没有适用性，对某一信号，依据什么原则，用什么判据选择小波基， 目前在理论上和实际应用上都还是一个难点。目前在工程上影响小波变换应 用的一个重要原因就是小波基的选择，不同的小波基具有不同的性质，对信 号的分析能力也不同，对同一信号采用不同的小波基得到的结果基本没有可 比性。 ( 3 ) w i g n e r - v i l l e 分布 1 捌 由于自然界及工程领域中大量存在着非平稳信号，而f o u r i e r i 著分析及 s t f t 方法都难以满足应用，人们非常希望有一种同时具有高的时间和频率分 辨力的时频联合分布。努力设计高时频分辨力的时频联合分布是主要的研究 方向。1 9 3 2 年e p w i g n e r 在量子力学研究中提出t w i g n e r ：分布( 简称w d ) ， 信号s ( f ) 的w d 定义为： w d , ( t = d 卜刊f 吲e 印。 ( 2 9 ) 这是种二次时频分布( 即信号在变换中被使用了两次) 。w d 可以理 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 解为信飘倘中心协方差函数卅= e m 一烈r + ；) 胁嘶变换， 即：w d ( t ，) = e c ( r ，t ) e - , - q , d f 。 w i g n e r 分布要求对信号过采样，且容易产生畸变，因此很少使用。在上 个世纪的4 0 年代j v i l l e 用s ( t ) 的解析信号z ( r ) 代替w i g n e r 分布定义中的实信 号，发明t w i g e r - v i l l e 分布： g a z ? ( = 峨n 舻州，一辨+ 妒”a r ( 2 - 1 0 ) 并且将其引入到信号女 理领域。 ! 口 1 量 4 0 ； rw 凡。1 。 f u 哈尔滨工程大学硕士学位论文 上面介绍的三种方法都是被设计来修正f o u r i e r 分析的。分析表明作为非 线性非平稳时间序列的分析方法，一般应该满足下列条件：( a ) 完备性、( b ) 正交性、( c ) 局部性和( d ) 自适应性【2 1 。 第一个条件保证了信号分解的精度要求；第二个条件保证了能量的非负 性，并且能够避免能量的泄漏；局部性要求对非平稳信号是非常重要的，由 于非平稳信号不存在周期性，所有的事件都必须通过发生时刻确定，所以要 求幅值( 能量) 和频率都是时间的函数。对于非线性现象，自适应性具有特 殊的意义，我们不能期待有一个预定义的基函数满足所有的物理性质，一种 最方便的办法就是通过信号本身产生所需要的自适应基函数。 说明：关于二进小波，小波包，提升小波，g a r b o 展开和g a r b o 变换， r a d o n - w i g n e r 分布和分数阶傅立叶变换，自适应参数法等时频分析方法可以 参考相关资料，在本文不再赘述p ，芦，l 。 2 3 希尔伯特黄变换理论的提出 回溯信号分析方法的整个发展历程可以发现，不同的信号分析方法总是 为了满足人们对不同类型信号的不同特征的兴趣。对于平稳的线性信号或者 周期信号，可以采用傅立叶变换等频域变换的方法得到关于信号全局上的频 谱信息；对于非平稳的或者非线性信号，人们对于信号局部的频谱特征更加 感兴趣，相应的必须采用时频分析方法得到信号的时频联合信息，比如短时 傅立叶变换( s t f t ) ，小波变换( w a v e l e t ) 和w i g n e r - v i l l e 分布( w v d ) 。 从2 2 节的介绍不难看出，大多数时频分析方法都是直接针对变化的频 率提出的，而且还可以看出几乎所有这些时频分析方法都以傅立叶变换为最 终理论依据，都采用积分分析、法【z 】。归纳这些由傅立叶分析理论( 演变) 得 来的时频分析，按导出方式主要可分为三类，一是直接对傅立叶变换的基函 数进行改造，如r a d o n 变换，分数阶傅立叶变换和小波变换等；二是先由信 号得到一个双线性函数，再进行傅立叶变换如w i n g e r - v i l l e 分布等；三是先 对信号加窗，再进行傅立叶变换，如s t f t 和g a b o r 变换等。第一类时频分 析方法一般只适于某类信号，如r a d o n 变换适于分析线调频信号，而小波变 换适于分析具有自相似结构的信号；第二类时频分析方法一般会造成交叉项 的困扰；第三类时频分析方法通常需假设信号是局部平稳的。这三类时频分 1 1 哈尔滨工程大学硕士学位论文 析方法的共同缺点是：因为它们都是基于傅立叶分析理论的，因而也受傅立 叶分析不足的制约。傅立叶分析理论是将信号分解成无始无终的正弦信号的 加权和，当信号是仅由几个正弦信号组成时，用傅立叶分析比较理想。但如 果信号极不规则，用傅立叶分析就需要许许多多的正弦信号来拼凑，因而容 易带来虚假的正弦信号和假频现象。将基于傅立叶分析理论的时频分析方法 用于一般的非线性非平稳信号时，也会出现虚假信号和假频问题，如 w i n g e r - v i l l e 分布会有交叉项，小波分解会明显出现多余信号等。 总之，由于基于傅立叶分析理论的时频分析方法的基函数是比较固定的， 缺乏自适应性或自适应性差，在表示信号时都容易出现多余信号。即使是波 形匹配追踪法和c h i r p l e t 变换之类的自适应参数时频分析方法，由于它们基 函数的母函数是固定的，因而它们的自适应性也很有限，且计算复杂以致目 前还很少实例展示。受h e i s e n b e r g 不确定原理的限制，这些时频分析方法也 不能精确描述频率随时间的变化。虽然有时也可以通过时频分布估计瞬时频 率，但因为这些时频分布已经遭受了局限，所以其依据含糊，难以有真正的 说服力【2 l 。 理想地，为了精确描述频率随时间的变化，需要一种自适应比较好，直 观的瞬时频率分析方法。1 9 9 8 年n o r d e neh u a n g 提出了希尔伯特黄变换理 论( 简称h h t ) 。在这个理论中，通过经验模态分解e m d 将信号自适应得 分解成有限多个内在模分量i m f 和一个表征信号趋势变化的残余信号，并且 提出对得到的各个i m f 运用希尔伯特变换进行时频分析【l ，1 0 ，1 2 , 3 4 1 。 2 3 1 经验模态分解e m d e m d 是i - 正i t 的一个关键步骤，首先找到信号工( f ) 的极大值和极小值，通 过三次样条拟合，从而得到信号的上包络线u 。( f ) 和下包络线三。( f ) ，计算上 下包络线的均值： 聊，o ) ：u x ( t ) + l x ( t ) ( 2 1 1 ) 一。 2 从原始信号工( f ) 信号中减去此均值珑。( f ) ，得到第一个分量矗。o ) ，即： h 。( t ) = x ( t ) 一m ，( t ) 。检查h ，( t ) 是否为一个i m f ，主要看其是否满足以下两个 条件：( 1 ) 在整个信号长度上，h ( t ) 的极大值点和过零点数目是否相等或者 1 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 只相差一个；( 2 ) 在任意时刻，有极大值点定义的上包络线和下包络线的均 值是否为o ，也就是说h ( t ) 是否关于时间轴对称。这两个条件也被称作是过 零点条件和均值条件。 如果h 。( t ) 不满足上述两个条件，那么就应该继续进行筛分，即求得h i ( f ) 的上下包络线，然后得到它的均值线m 。( f ) ，求得其分量h n ( f ) 为 l l ( f ) = h i ( f ) 一m 1 1 ( f ) ( 2 1 2 ) 再检查h ，( f ) 是否满足上述的两个条件，如果不满足进行再一次的筛选， 直到得到满足条件的啊t ( f ) ：啊t ( f ) = h l f k - t ) ( t ) - - m 。t o ) 。 最终得到的h l k ( f ) 被看作是第一个m 伍：g = j l i 。o ) 。它包含了原始信号 工( f ) 中的( 局部) 高频部分。 从原始信号工( r ) 中减去c l 得到残余信号1 ( f ) ： ，l ( f ) = 石( f ) 一c l ( 2 - 1 3 ) 将残余信号进行如同上述的筛分得到更多个i m f ，直到最后的i m f 被分 离出来。最终的残余信号o ) 可能是一个常数或为一个单调函数。若为一个 单调函数则它表示了信号工( f ) 的趋势变化。 至此，将信号工( f ) 分解为以个i m f 和残余信号( f ) 之和，即 石o ) = q o ) + o ) ( 2 _ 1 4 ) 2 3 2 希尔伯特变换h t 对每一个m 伍进行h i l b e n 变换：_ ( f ) ：三pr ：里盟d f ，式中：p 为柯 。 石。t f 西主值。 形成的解析信号为z ( f ) = c j ( f ) + f l ( f ) ，表示成极坐标的形式： z j ( t ) = a ( t ) e 巳 ( 2 1 5 ) 其中 州垆跏酬n 一a n 器 解析信号的极坐标形式反映了h i l b e r t 变换的物理含义：它是通过一个正 哈尔滨工程大学硕士学位论文 弦曲线的频率和幅度调制( a m f m ) 获得信号局部的最佳逼近。根据瞬时频 率的含义，可以得到每一个i m f 的瞬时频率： 哆( f ) 5 云g ( f ) ( 2 1 7 ) 因此原始信号的解析信号z ( t ) 的极坐标形式可以表示成 z ( f ) ：主a j ( t ) e i f 啪瑚 ( 2 1 8 ) j = l 这样原始信号可以表示成如下形式 x ( t ) = r e | 窆a j 雨h 。l ( 2 1 9 ) l j = lj 在此舍弃了残余项o ) ，因为它只能为一个单调函数或者常量，信息量 比较少，对信号随时间变化的贡献不大，人们更加关心信号的高频周期成分 所包含的信息。 观察式( 2 1 8 ) ，以时间t n n w t n g ( t ) 为自变量，信号幅值可以表示 成为f 和q ( f ) 的函数，这个幅值的时间一频率分布口，( f ) c o j ( t ) 一f 称为h i l b e r t 谱。 2 3 本章小结 本章重点介绍了信号分析发展的历史：阐述了调和分析和时频分析的具 体理论，比较具体的讲述了希尔伯特黄变换的基本思想和实现步骤，从而让 读者对信号分析理论形成一个比较完整的概念上的认识，从而为以下几章关 于希尔伯特黄变换在理论和应用的深入研究做好基础准备。 1 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第3 章希尔伯特黄变换理论上的研究 虽然希尔伯特黄变换在( 一维) 非平稳信号的信号分析和信号处理方面 表现出优异的性能，但是由于它是基于经验模态分解e m d 的时频分析方法， 因而，不可避免的，缺少一种合适的方法和准则对它的实验结果进行评估和 判定。事实上，判断希尔伯特黄变换的有效性往往过多的依赖于人们的主观 感受和先验知识：此外，在实际应用过程中，对于经验模态分解方法e m d 的具体算法，也很难解释包括收敛性( 或者收敛速度，滤波停止条件) 、端点 延拓( 边界问题) 和正交性在内的许多问题。为了从理论上和实践上完善和 发展希尔伯特黄变换，需要对它进行更深刻的研究和讨论。本章参考了随机 信号、语音信号处理、小波分解方法等信号处理技术和方法，从内在模分量 i m f 的本质出发，分析和讨论了希尔伯特黄变换的时变滤波特性和多尺度特 性，对希尔伯特黄变换理论进行了完善、补充和发展【1 5 , 7 - 9 瑚删7 】。 3 1 瞬时角频率概念 瞬时角频率是最直观的概念，我们每天都能感受到这种经验现象，譬如 变换着颜色、变换着的音调等等。然而对变换着的频率进行精确的数学描述 和对其概念的理解还算不上确切，到现在为止一直是一个有争议的问题。 关于瞬时频率的定义问题，可以追溯到1 9 3 7 年c a r s o n 和t f r y 所做的 工作，后来v a n 、v i l l e 、s h e k e l 、m a n d e l 、p r i e s t l e y 、l c o h e n 、j o n e s 和b o a s h a s h 、 r i h a c z e k 、v a k m a n 、o p p e n h e i m 、f i n k 和g u p t a 等一大批科学工作者相继投 入了探索。但他们发现，给瞬时频率一个满意的定义并不是一件容易的事情。 因为，将一个实信号工( f ) 表示成x ( t ) = a ( t ) c o s ( t ) ，即使假设a ( t ) k ( f ) i ，也 有无穷多种表示法。 尽管遭遇了困难，人们并没有轻易放弃对瞬时频率的研究，并在长期的 研究中形成了一些一般认识： ( 1 ) 用解析信号相位求导定义瞬时频率极具合理性； ( 2 ) 信号分为单分量信号和多分量信号。 其中解析信号由h i l b e r t 变换唯一确定【2 】。 1 5 哈尔滨工程大学硕十学位论