（基础数学专业论文）小波与奇异积分算子理论及其在平方根问题中的应用.pdf

中文摘要 本报告主要研究c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子理论在变系数的散度型椭圆方程方面的应 用，以及在非齐次空间上的奇异积分算子和小波理论方面的研究报告分为三章，第一章 为平方根算子与其相关问题的研究，分为三节，第一节是关于相伴于椭圆算子的分数次 积分的研究，第二节是关于相伴于椭圆算子的l i t t l e w o o d p a l e y 函数的研究，第三节是关 于强l i p s c h i t z 区域上的相伴于椭圆算子的分数次积分的研究；第二章主要研究非齐次空 间上的奇异积分算子的有界性研究，第一节主要研究相伴于弱核的一类t ( 1 ) 定理，第二 节是关于非齐次空间上的一类交换子的有界性研究；第三章主要研究小波理论，第一节 主要研究一类相伴于增长函数的框架构造的研究，第二节主要研究一类t r i e b e l - l i z o r k i n 空间的小波刻画研究需要说明的是每章中节和节之间基本是独立的，可以独立阅读 以下我们详细阐述每一章中的重要结果 第一章平方根算子与其相关问题的研究 平方根问题是研究以下散度型椭圆算子的 三= 一d i v ( a v ) ，n2 2 其中系数矩阵a = ( 。，( z ) ) 1 氢，如是复系数的，满足 a 吲25r e a f ，1l 艇 7 i 曼a i c i i i ，( 2 ) 其中车，c n , o 0 ，p 1 ，对于任意的r n 中的z - 进方体 q ，函数砀：p q c ”满足以下条件： ( i ) f b 日1 ( 肛q ) 且 iv 哟1 2 g l q i ( i i ) d i v ( avf q ) l 2 ( “q ) ，且 上。剐v 酬2s g 赫 ( 扼i )对于任意一族) t o o 。( r ”r + ；c “) ，有 s u 。p - - 拼小的f 。) ( 圳2 丁d x d t 划刊忡川。 这里j f 2 ( ，) = e l ；，其中识= t “( z ) c 铲( 置”) 紧支在单位球中，且f 讯( z ) t = 8 字 同1 j qj 。l 研) 1 2d x 。d t 1 7 2 a u s c h e r 和t c h a m i t c h i a n 证明了以下定理 定理11 如果a s ，那么就有( 3 ) 成立 sh o h n a n n ，m l a c e y 及a m c i n t o s h 在热核具有c a u s s i a n 性质的情形下构造了相伴 于系数矩阵的函数哟= e 。矿。，同时也证明了n = 2 时的k a t o 问题当n 2 时，热 核没有上述的光滑估计，那么需要其他方法来处理，p a u s c h e r ，sh o f m a n n ，ml a c e y ， a m c i n t o s h 以及p t c h a m i t c h i a n 在利用了以下基本估计， 引理1 1 设e 和f 是r ”中的两个闭集，d = d i s t ( e ，f ) ，那么 1 ( 1 + t 2 ) 一1 f ( x ) 1 2 d x c e 一基“，( z ) 1 2 d x j fj e 二i t v ( 1 + t 2 l ) 。，( 删2 d z 0 依赖于a 和a ，c 0 依赖于n ，a ，a s ? t p p f e s u p p fce 他们在有了以上估计后，利用了c a l d e r 6 n - z y g m u n d 算子的理论，给出了k a t o 问题的 完整解答( a h l m t ) 那么对于此类不光滑核的研究仍然在继续，a u s c h e r 和t c h a m i t c h i a n 曾经在( a t j 中论述过除了平方根问题，对于v l 一，2 的三p 有界性问题也是相伴于平方 根问题的问题，它的研究和椭圆方程的边界值问题以及解的正则性问题相关，具有很重 要的意义 本人在博士期间曾利用多线性分析和小波分析以及c 出d e r 6 n z y g m u n d 算子理论给 出相伴于非散度椭圆增生算子的r i e s z 变换的妒有界性我们主要考虑一个2 m 阶的高 阶微分算子( m 1 ) ，定义如下 l u = 。( 。) d 。u ，( 4 ) i a i = 2 m 其中。( z ) 是复值的，i i n 。j l o 。 0 4 。= ( 1 ) 一( 靠) o n 定理a 设工的定义如上，a ( x ) = ( o 。( z ) ) ：2 。，则j 0 ，当i i a i i b m o = s u p 【l a 。怕m o a i = 2 m e 时，t = v l _ 1 2 是l p 有界的，其中2 p 0 以及a 十o 。与f g h “( 形) 的选取无关这里v 7 “f = ( 护n 。l ：。且 | | 可”f l 2 = ( ：。，r 。l 铲f i 2 ) 由全纯泛函演算理论( m c m 1 【m 2 】) ，l 的分数次积分l 一。2 ( ( 】 a 2 m ，0 n n m ，p o = 暑赫，p l = ( 与挚+ 等) _ 1 且：= ；一警那 么， ( i ) 三1 2 是从l v ( r ”) 到l q ( 1 7 “) ( p o 0 那么我们利用了h o f m a n n 在【h m 】中处理r i e s z 变换的技巧推广了【d y 的结果 在第二节我们主要研究了以下l i t t l e w o o d p a l e y 函数的有界性问题 免( ，) ( z ) = ( t ive - t 们l f ( x ) 1 2 d t ) 1 2 ( 7 ) j n 在第二节中我们主要证明了以下定理 定理21 1 设n 2 m ，p o = 莉2 n 鬲，那么 ( j ) 艮是从妒( 兄”) 到l p ( - r ”) 有界的，其中p o 0 ， 鲥l - ，卜( 半) ” 在第三节我们主要研究了l i p s c h i t z 区域上的相伴于高阶椭圆算子的分数次积分有 界性问题，我们证明了以下定理 定理31 1 设n 2 m ，0 o n m ，q 是强l i p s c h i t z 区域，p o = 元而2 n ，p l ( 紫+ 警) ，i 1 = i 1 一警那么， ( i ) l 一。2 是从护) 到l 。( f 1 ) 有界的，其中p o p 0 l z ef l ：一2 m 炒x ) l 曼c ( 竿) 础“ 第二章非齐次空间上的调和分析问题的研究 在经典调和分析理论中，测度有二倍条件是相当重要的前提，即在r n 上的r a d o n 测度满足条件 - ( 2 q ) c “( q ) 、其中q 是酽中的任意方体 ( 8 ) 2 q 是q 二倍扩张，我们称测度有二倍条件的空闻为齐次空间，否则为非齐次空间那 么是否在去掉二倍条件的情况下，一些重要的调和分析结果依然存在，这是非常有意义 的，b e s i c o v i t v c h 在没有二倍测度条件下通过b e s i c o v i t c h 覆盖定理，证明了 ( m 。) ，( z ) 2 船可取1 ；丽厶( 圳) i f ( y ) l d 肛( ) ，( b ( x , 5 ) 表示以z 为心，6 为半径的球) 在非齐次空间中也具有l p ( 1 p a ) ) sc 1 e z p ( 丌i 羔) 肛( q ) ( 9 ) 对于非齐次空间的研究根源是对于著名的p a i n l e v 6 问题的研究，也就是称一个复平 面上的紧集e 为可去集，即对于给定的任意开集n ) e 以及任意的在n e 上的有界解 析函数，可以扩张到q 上，那么现在就是想问e 的集合特征究竟是什么? 这个问题一直没有完全的解答，v i t u s h k i n 猜想是对于此类问题的部分解答，是由 v i t u s h k i n 在1 9 6 7 年提出的 v i 】，也就是0 “1 ( e ) + o 。，那么e 的可去性当且仅当e 是完全不可求长的，即h 1 ( eng ) = o ，对于任意可求长曲线( 这里h 1 ( e ) 表示一维 h a u s d o r f f 测度) 这个问题的解决和c a u c h y 积分在曲线上的驴有界性很有关系，象j v e r d e r a 在 v l v 1 1 中所述，对于某些特别的集合的可去性和c a u c h y 积分在其上的上2 有界性是等 价的这个问题在1 9 9 8 年由g d a v i d 给出了0 0 使 得， 忖忆一u p 1 ( 丽5 i f ( x ) - m ( 2 ( f ) l d l ( x ) + 器警， ( 1 0 ) ；n 中t i q ，一= l + n 舌q , r 韪哿，。r 是满足2 v 舭一l u j 2 0 r _ l z - y l 2 0 + 1 ” + ( k ( 。十u ，y 十口) 一k ( x ，y ) 1 ) d y = b ( m ) 2 k r 曼k 一训1 2 + 1 r 女_ b ( ) 。 s h o f m m m 和y s ，h a n ( h h ) 曾经在以下条件下证明了t o ) 定理 o o 1 ( j ) u j 2 7 兰k 一引 l k ( y + u ，z + u ) 一j r ( z ，y ) l d y ，o r l “l + l u ls r 其后邓东皋，杨奇祥，颜立新把条件弱化到弧b ( ) 0 是一类截断算子，定义如下 r t e f ( x ) = 自( z ，y ) ，( ) 如( ) ， ( 1 1 ) j 一1 ，e r 贮，( z ) = a ( g ，z ) ，( y ) 咖( g ) ，对于任何，l 2 ( ) ( 1 2 ) o p f f ，c 那么在本章的第一节我们证明了以下结果 定理1 1 1 设正定义如上，是弱有界的， 满足以下条件，k ( x ，y ) el o c ( r 4 ( z ，口) t o ( i ) = 0 ，( 1 ) = 0 ，另外正的核( z ，y ) 茁= 可) ) ， 濯上嘞小钆。驯仆( 舭) ( z ) e e n d s u p 、f i ( 。，p ) f 十f ( 9 ，x ) l d # ( z ) 5g( 1 3 ) h e z ，u e s u p p ( j i ) j f ( q “， ) l t 一引，a n d ，z 0 。 一d 2 。 。 7 一 、 s u p ( z ，y ) 一 ：( z ，) i + i k ( y 7 ，z ) 一k ( ，。) i d 肛( z ) = 1 ( j )( 1 4 ) h e z j 。 、 0 口”h x e r 4 0 v ，h j s i p h e z 州训) 一k ( 甄y ) l + i k ( 舭) 一 ( y 7 ，z ) 忡( y ) = ，y ( j )( 1 5 ) 目- 7 e 0 ，h y ：x e r 4 吼h 一， 7 ( j ) o 。， 那么正在l p ( 1 p 0 一致有界 在第二节我们研究了一类交换子的有界性问题，证明了以下定理 f 1 6 1 定理2 11 设b ( z ) e l i p ( z ) ( 0 卢 1 ) , t 是c a l d e r 6 n z y g l n u n d 算子，那么，t ( f ) l l 。墨 c i i b l l l 。p ( 口) q ，其中i 1 = ；一i ，1 q i n 定理2 12 设6 ( z ) l i p ( e ) ( o 卢 1 ) ，丁是c a l d e r 6 n z y g m u n d 算子，对于3 p 。 那么i i b ，t ( f ) i i l p ( 目一；) 茎c l l b l l c i p ( s ) l l l i j ，( p ) 定理2 1 3 设b ( x ) el i p ( 1 3 ) ( o 卢 1 ) ，t 是c a l d e r d n z y g m u n d 算子，如果p = ，那 么i i 5 , t i ( f ) i l r b m o ( “) e l i b i i l 口) l l f l l l ， 第三章c a l d e r 6 n 再生公式在小波理论中的应用 正如g i l b e r t 等人在【g h h l 中所述，c a l d e r d n z y g m u n d 算子理论在发展的过程中， 表现为两大前沿问题，一类是有关c z 算子有界性问题，譬如r ( 1 ) 定理；另一类就是 有关小波等恒等算子的构造问题，表现为小波，框架，分子，原子的构造以及空间的刻 画问题，那么相关的精辟叙述可见m e y e r 的名著【m 或者 f j w 中 有关c a l d e r d n z y g m u n d 算子理论在小波理论中应用最直接的莫过于c a l d e r d n 再生 公式的离散化过程连续的c a l d e r 6 n 再生公式( d a u ) 可以看作对于fe 工2 ( r 7 。) ，称 妒四。( r ”) 是可容许的，如果满足铲i 审( 蜓) 1 2 譬= 1 o ) ，然后 = f 0 。蜘讧+ ，警， = 讥+ 仇+ ，；， il 一 其中书= 万( 一。) ，且仇( 。) = t - n 妒( ) 那么对于以上的再生公式的离散化，我们就可以得 到相关的小波，在【g h h l 】中得到了体现通过对于以上公式的离散化，以得到只需要 通过其表示的系数就可以刻画相当一部分空间，在 g h h l 中也得以体现 本章的第一部分就是根据【g h h l 】中的想法，通过t ( b ) 定理( d j s ) 得到了一类框 架， 定义3 1 我们称h i l b e r t 空间爿中的一族向量 妒) 。n 是相伴于强仿增长函数的框 架，如果存在0 q 岛使得对于任何g h ，有 c l l l g l l 2 ei b1 2 c 2 1 1 9 l l 2 ， 其中a 是无限集合，特别是集合 纵) 在h 中完全意味着有限 以) 的线性组合构成h 中的稠密子空间 我们证明了以下结论 定理1 1 1 存在两族算子皿，亩，使得对于任何ec 酽( r n ) ，有 ，( z ) = b 一驯2 巧路( x , t 0 - - ( ) b ( q 蹈j ) ( 1 7 ) k e z l e z ”i j l 茎 其中级数在l 2 ( 舻) 收敛 妒跚( r f a 一( + ”，z ) k f ，构成了相伴于强增长函数b ( z ) 的框 架，而且在l 2 ( 兄”) 中是完全的，每牌，( 。，r 括一( 切) = s - 1 ( 妒路( ，r 括+ ) ) ( 。) 在第二部分我们研究了一类t r i b e l - l i z o r k i n 空间的刻画问题，我们证明，我们利用 再生公式证明了以下定理 定理211 设砂( z ) m 。( r ) 是正交小波，其中一l n l ，m a x 击，t 杂再) p 1 q 0 ，使得 口 ，f f 磁。汕) si l i ( f ) i l l 一】c 2 1 f l l i 窄。) 其中w 7 0 ( ，) = ( 2 ，。i 1 2 j 2 x 2 - _ ，k , 2 - j ( k + 1 ) ) 。) 1 。，讪j ，( z ) = 2 2 妒( 矽z 一惫) ，j 惫 7 e t z 且u a o 。( q o 。墨p ( 1 + l + d ) ) a b s t r a c t t h ec a l d e r 6 n z y g m u n dt h e o r yh a sb e e na p p l i c a b l ei nm a n yu s e ss u c ha sp d e t h e o r y t h e b o u n d e d n e s so fs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r sa n dw a v e l e t st h e o r y i nt h ep o s t d o c t o r a lr e p o r tw e w i l ld e v o t eo u rs t u d i e st os o n i ca p p l i c a t i o n so fc a l d e r d n z y g m u n do p e r a t o rt h e o r yo nt h e s e a s p e c t s - i nc h a p t e r1 1w ef o c u so i lt h es t u d yo ft h es q u a r er o o to p e r a t o ra n di t sr e l a t e dq u e s t i o n s t h es q u a r er o o to p e r a t o rq u e s t i o ni s p o s e db yt k a t of i r s ti k 】，a n dr e f i n e db ya m c i n t o s h ( m e l m c 2 ) i tm a i n l yw a n t e dt ok n o wi ft h ed o m a i no fs o m ek i n do fe l l i p t i co p e r a t o rw a 3 s a m ew i t ht h ed o m a i no fi t ss q u a r er o o to p e r a t o r c o i f i n a n ，m c i n t o s ha n dm e y e r ( c m m ) s o l v e dt h ep r o b l e mu n d e ro n ed i m e n s i o n l a t e rc o i f m a n ，d e n ga n d m e y e r ( c d m ) ，a n df a b a s ， j e r i s o na n d k e n i g ( f j k ) s o l v e dt h ep r o b l e mp r o v i d e d l l a 一州se m ) t h em o r eb a c k g r o u n d a b o u tt h eq u e s t i o nc a nr e f e rt of a h l m t h a t i n2 0 0 1 ，a u s c h e r ，h o f m a n n ，l a c e y 、m c i n t o s h a n dt c h a m i t c h i a n ( a h l m t ) s o l v e dt h ep r o b l e mc o m p l e t e l yu n d e rh i g hd i m e n s i o n t h e p u r p o s eo ft h ec h a p t e rm a i n l yf o c u s e so nt h eb o u n d e d n e s so ff r a c t i o n a li n t e g r a la s s o c i a t e d t os q u a r er o o to p e r a t o r ，a n dt h eb o u n d e d n e s so fl i t t l e w o o d p a l e yf l m c t f o na s s o c i a t e dt ot h e s q u a r er o o to p e r a t o rt h ec h a p t e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i ns e c t i o n1 w eg i v et h eb o u n d e d n e s s o ff r a c t i o n mi n t e g r a la s s o c i a t e dt oh i g h e ro r d e re l l i p t i co p e r a t o ro n t 7 2 ；i ns e c t i o n2 ，w eg i v e t h eb o u n d e d n e s so ft h el i t t l e w o o d p a l e yf l l n c t i o na s s o c i a t e dt oh i g h e ro r d e re l l i p t i co p e r a t o r o nr 7 。：i ns e c t i o n3 w ed i s c u s st i l eb o u n d e d n e s so ff r a c t i o n a li n t e g r a la s s o c i a t e dt oh i g h e ro r d e r e l l i p t i co p e r a t o ro i ls t r o n g l yl i p s c h i t zd o m a i n i nc h a p t e ri f ，w em a i n l yf o c u so nt h es t u d yo ft h eb o u n d e d n e s so fs i n g u l a ri n t e g r a lo n n o n h o m o g e n e o u ss p a c e s i nc l a s s i c a lh a r m o n i ca n a l y s i s ) t h es o - c a l l e dd o u b l i n gc o n d i t i o n sf o r ar a d o nm e a s u r e 静o i l 忍4i sg i v e n 肛( 2 b ) d 肛( b ) ( bi sa n yb a l lo i l 咒d ) ， w h e r e2 bi st h eb a l lc o n c e n t r i cw i t hbo ft w i c et h er a d i u s a l s ow es e tp ( b ( z ，r ) ) c r ”( o n d ) ，w h e r eb ( x ，r ) i st h eb a l l o fc e n t e rza n dr a d i u sr w ec a l l e d s p a c e sw i t hd o u b l i n g m e a s u r ea nh o m o g e n e o u s s p a c e s ，a n dt h es p a c e sw i t h o u td o u b l i n gm e a s u r e a sn o n h o m o g e n e o u s s p a c e s w i t h o u td o u b l i n gm e a s u r e ls o m eb a s i cr e s u l t sd i d n th o l da n ym o r e ，s u c ha st h ew e a k t y p e ( 1 ，1 ) o fh a r d y l i t t l e w o o dm a x i m a lf u n c t i o nd e f i n e da s m ( ，) ( z ) ：咄s u p 厕1fi ( j b 洲日p 【石j t h i sh a sb e e no b s e r v e db ym a n yp e o p l e ( s e e b 【g 【s t l ) r e c e n t l yi l l d g d a v i ds o l v e dv i t u s h k i n sc o n j e c t u r ea n dh ef o u n da t ( 1 ) t h e o r e m ( d j ) f o rc a u c h y t r a n s f o r l nw i t h o u t a s s u n f i n g t h a tt h em e s s l l r es a t i s f i e dt h ed o u b l i n gc o n d i t i o n st h e t e c h n i q u ea n d r e s u l t si nt h ep a p e rw e r e d e v e l o p e db ym a n yp e o p l e n a z a r o v ，t r e i la n dv o l b e r g ( n t v l 【n t v 2 【n t v 3 ) ，xt o l s ae t a l l ( t 1 t 2 【t 3 t 4 t 5 t 6 v 】) g a v ec a l d e r d n z y g m u n dt h e o r yb yu s i n gd i f f e r e n tm e t h o d s m o r ed e t a i l sc a nr e f e rt o f v i nt h e i rt h e o r y ，t ( 1 ) t h e o r e ma n dt ( b ) t h e o r e mw e r eg i y e nb 7 u s i n gd i f f e r e n tt e c h n i q u e s i nt h ec h a p t e r ，i ns e c t i o nl ，w ef o c u so n t h e r f l lt h e o r e mo n n o n h o - i n o g e n e o u ss p a c e sw i t ht h ek e r n e lc o n d i t i o n sw e a k e rt h a j lt h eg e n e r a lc o n d i t i o n s ；i ns e c t i o n2 w ef o c u so nt h ec o m m u t a t o rr e l a t e dt of r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o ro nn o n h o m o g e n e o u s s p a c e s i nc h a p t e ri i i ，w em a i n l yf r m u so nt h ea p p l i c a t i o n so fc a l d e r d nr e p r o d u c i n g f o r m u l ao n t h et h e o r yo fw a v e l e t s t h ec a l d e r d n z y g m u n dr e p r o d u c i n gf o r m u l ap r o v i d e dac o n t i n u o t l s d e c o m p o s i t i o n so ft h ei d e n t i t yo p e r a t o r ，i e ，f o r ，l 2 ( 兄”) ，i faf u n c t i o n 一妒( ：铲( r - ) i ss a i d t ob e a d m i s s i b l es a t i s f y i n g 舻i 妒( 蝤) 1 2 譬= 1 嬉o ) ， ，o 。4 - ，= 仇* 妣+ ，竿， w h e r e 妒2 妒( 一z ) ，a n d 妒t ( z ) = t - n 妒( ；) b yu s i n gs u c ha b o v ei n e q u a l i t y ，t i l et ( 1 ) t h e o r e n lf o r s o l n ec a s e sc a l lb eo b 协i n e d ( s e e 【d h h h ) a t o m s ，m o l e c u l e sa n d w a v e l e t s ，o nt h eo t t l e rh a n d w e r eu s e dt op r o v i d e c o r r e s p o n d i n g d i s c r e t ed e c o m p o s i t i o n s f j w 】【d m l f r o ms o m e p o i n t s ，w e c a ns e et h ew a v e l e t sd e c o m p o s i t i o n sa st h ed i s c r e t i z e dr e p r o d u c i n g f o r m u l a i nt h ec h a p t e r w e m a i n l yf o c u so nt h ef r a m ec o n s t r u c t i o na n dt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fs o m e s p a c e sb yu s i l l gs o l e k i n do fc m d e r 6 n r e p r o d u c i n gf o r m u l a i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ef o l l o wo u ei d e ai nf g h h l l a n d b yu s i n gt ( b ) t h e o r e m ，c o n s t r u c taf r a m ea s s o c i a t e dt oa c c r e t i v ef u n c t i o n6 b 1i i l l 2 ( r n ) w e a l s op r o v e dt h ef r a m ei sc o m p l e t ei nl 2 ( r “) ；i l ls e c t i o n2 ，w em a i n l yc a r eo n eq u e s t i o na b o u t t h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft r i e b e l - l i z o r k i ns p a c e s ，w h i c hg e n e r a l i z eo n er e s u l ti n f d x y 致谢 本文是在合作导师陈杰诚教授的悉心指导和关怀下完成的，作者对 于陈老师两年的关心和照顾表示衷心感谢，同时对于王斯雷老师也表 示感谢，两位老师的严谨治学风格，宽厚待人的处事风尚给我留下了 深刻印象。 同时此文特别也献给我的博士导师邓东皋老师，虽然已经离开中山 大学两年，但是老师谆谆教诲时刻在耳边，不敢忘记；此外此文也献 给我敬爱的师母陈老师，虽然她已经离我们而去，但是她对我的帮助 和爱护，让我无法忘怀。 在此也要感谢这两年对我时时关心的颜立新师兄和师嫂，同时感谢 这两年同我在一起相处，起讨论的贾厚玉，姜丽娅，高进寿等师兄 师弟师妹，有了他们，我在杭州的两年生活变得更充实有趣。还要感 谢数学系一些老师对于我的关心和照顾，感谢陶继成博士对我生活方 面和学习方面的照顾。 最后我要感谢我的家人，我的父母和兄长，谢谢他们贯的支持和 照顾。 许明 2 0 0 4 年4 月 c h a p t e r1 s q u a r er o o to p e r a t o ra n di t sr e l a t e dq u e s t i o n s l e ta = a ( x ) b ea nn nn l a t r i xo fc o m p l e x ，l o 。c o e f f i c i e n t s ，d e f i n e do i l 爬“，a n d s a r i s f y i n g f 00 1 1 a 1 1 r e a 掣a n d a f 1 曼a 1 引i ( f o r ， c ”a n df o r0 asa o o ，4 0a r i da 0a n da + 。i n d e p e n d e n to ffg h “( 碾”) h e r ev f = ( 伊，) 川：，n a n df v m ， f 2 = ( ：，兀丘。f o 。， 2 ) 1 2 b y t h eh o l o m o r p h i cf u n c t i o n a lc a l c u l u st h e o r y ( m e ) 1lh a sa u n i q u e f r a c t i o n a lp o w e r l 一。2f o r0 a n m ，d e f i n e db y ( 1 13 ) p 2 ( ，) ( z ) = 丽1 西上s o e “( ，) ( 。) ，d ，t 丽 w h e n n 曼2 m ，w e c a nf o l l o wt h es t a n d a r dh a r m o n i ca n a l y s i sa si n 【s t c h a p t e r5 t o o b t a i nt h et t a r d y l i t t l e w o o d - s o b o l e vt h e o r e m st h a tt h eo p e r a t o rl “胆0 。 7 t 7 n i sb o u n d e df r o ml ”( 碾“) t ol 。( “) f o r 1 0 ，a n da l l 茁，y r “u n f o r t u n a t e l y ，i f 礼 2 mt h eo p e r a t o rla si n ( 1 1 1 1 g e n e r a l l yf a i l t oh a v eah e a tk e r n e l ( 1 14 ) ( i d 2 1 ) ，h e n c et h em e t h o da si n s t ，c h a p t e r 5 1 d o e sn o tw o r ki nt h i sc a s e r e c e n t l y ，b yu s i n ga na p p r o a c ho fb l u n c ka n dk u n s t m a n n t h ef i r s ta n dt h i r da u t h o r sp r o v e dt h a tw h e nli sas e c o n do r d e re l l i p t i c o p e r a t o r 、t h e h a r d y - l i t t l e w o o d s o b o l e vt h e o r e m sf o r 一叫2a r es t i l jt r u ef o rn 2i nt h i sp a p e rw e g e n e r a l i z et h er e s u l t si n 【d y t oa na r b i t r a r ye l l i p t i co p e r a t o rlo fo r d e r2 mb yu s i n ga n i d e ao fh o f i n a n r la n dm a r t e l l t h em e t h o dh e r ei sd i t i e r e n tf r o mo n ei n f d y l p r e c i s e l y 、 w eh a v e t h e o r e m1ll l e t 几 2 ma n d0 o n mw ea s s u m et h a tp o = i 磊2 n p ，= ( 訾+ f - ) a n di 1 = ；一警t h 叭 俐l 一。2i sb o u n d e d k o ml v ( n “) t ol q ( r ”) o r p o 0 4c h a p t e r i t h es e c t i o ni so r g a n i z e da sf o l l o w s i ns u b s e c t i o n2w ep r o v e s e i n et e c h n i c a le s t i m a t e s t h a tw i l lb eu s e di nt h es e q u e l t h ep r o o fo ft h e o r e m1 - 11w i l lb eg i v e ni ns u b s e c t i o n 3 1 2 p r e l i m i n a r i e s w ea r eg i v e na ne l l i p t i co p e r a t o ra si i l ( 1 ，11 ) w i t he l l i p t i c i t y c o n s r a n t s a n dai nf l12 1 t h ei d e n t i t yo p e r a t o rw i l lb ew r i t t e na sz f o ra n yt w o c l o s e ds e t sea n dfo f